Bài giảng Các phép biến đổi 3 chiều

Nội dung text: Bài giảng Các phép biến đổi 3 chiều

1. 3D Transformations Các phép biến đổi 3 chiều 1
2. Translation - Tịnh tiến x' 1 0 0 tx x y' 0 1 0 t y = y  z' 0 0 1 tz z 1 0 0 0 1 1 (x’,y’,z’) (x,y,z) T=(tx,ty,tz) 2
3. Scaling – Biến đổi tỉ lệ x' sx 0 0 0 x y' 0 s 0 0 y = y  z' 0 0 sz 0 z 1 0 0 0 1 1 3
4. Rotation - Quay Trong 2D, phép quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trong mặt phẳng Oxy. Trong 3D, chúng ta có thể quay trên nhiều mặt phẳng: Oxy, Oxz, Oyz, Mặt phẳng bất kì. Chúng ta có thể xác định mặt phẳng quay bằng vetơ vuông góc với nó. Trục z, Trục y, Trục x, Trục bất kì. 4
5. Quay quanh trục tọa độ x' cos − sin  0 0 x y' sin  cos 0 0 y =  z' 0 0 1 0 z 1 0 0 0 1 1 x' cos 0 sin  0 x y' 0 1 0 0 y =  z' − sin  0 cos 0 z 1 0 0 0 1 1 x' 1 0 0 0 x y' 0 cos − sin  0 y =  z' 0 sin  cos 0 z 1 0 0 0 1 1 5
6. Quay quanh trục bất kì Kí hiệu : R(rx, ry, rz, ) Phép quay xác định bằng một vetơ và góc quay: Trục quay đi qua gốc tọa độ và một điểm r Phép quay ngược chiều kim đồng hồ theo trục quay 6
7. Các bước thực hiện phép quay B1. Quay trục quay để nó nằm trên một trục tọa độ (Oz). B2. Áp dụng phép quay góc  theo trục tọa độ. B3. Áp dụng phép quay ngược để trở về trục ban đầu. 7
8. Phân tích Đầu tiên, xác định vectơ đơn vị cùng hướng với trục quay. r ,r ,r u = x y z rx ,ry ,rz Bây giờ ta thực hiện phép quay quanh vectơ đơn vị. 8
9. Bước 1 Quay trục quay u để nó nằm trên một trục tọa độ Oz. u’ = u= u =  u = z uz= u”= u”= 9
10. Phân tích Bước 1 1. Quay u trở thành u” nằm trên mặt phẳng Oxz : Quay u theo trục Ox. Ta có thể bỏ thành phần x của u mà không mất tính tổng quát: u u c u = a,b,c cos = z = 1 0 0 0 u uz d 0 c − b 0 u = 0,b,c d d b 0 b c 0 u = d = b2 + c2 sin = d d d 0 0 0 1 2. Quay u” trở thành uz nằm trên trục Oz : Quay u’’ theo trục Oy. d 0 − a 0 u uz u = a,0,d cos  = = d 0 1 0 0 u uz u =1 a 0 d 0 sin  = −a 0 0 0 1 10
11. Bước 2 Quay theo trục Oz góc  cos − sin  0 0 sin  cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 11
12. Tổng hợp Kết quả của phép quay quanh trục bất kì P’ = R(ux,– ) · R(uy,–) · R(uz,) · R(uy,) · R(ux, ) · P 12
13. Quay quanh trục bất kì Khi trục quay không đi qua gốc tọa độ : trục quay được xác định bởi 2 điểm. Tịnh tiến về gốc tọa độ Quay quanh trục qua gốc tọa độ Tịnh tiến ngược lại vị trí ban đầu 13