Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

191 trang haiha333 07/01/2022 5440

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_co_so_ly_thuyet_truong_dien_tu_nguyen_viet_son.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐIỆN TỪ Giáo viên: TS. Nguyễn Việt Sơn Bộ môn: Kỹ thuật đo và Tin học công nghiệp C1 - 108 - Đại học Bách Khoa Hà Nội - 2010 -
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐiỆN TỪ Tài liệu tham khảo: 1. Cơ sở lý thuyết trƣờng điện từ - Nguyễn Bình Thành , 1970. 2. Electromagnetics -John D. Krauss - 4th edition, McGraw-Hill, 1991 3. Electromagnetic fields and waves - Magdy F. Iskander, Prentice Hall, 1992. 4. Electromagnetics - E.J. Rothwell, M.J. Cloud – CRC Press, 2001. 5. Engineering Electromagnetics - W.H. Hayt, J.A. Buck – McGraw-Hill, 2007 (*). 6. Fundamentals of Engineering electromagnetics - R. Bansal - CRC Press, 2006 (*) (*) Cơ sở lý thuyết trường điện từ 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐiỆN TỪ Nội dung chƣơng trình: 1. Giải tích vector 2. Giới thiệu 3. Luật Coulomb và cường độ điện trường 4. Dịch chuyển điện, luật Gauss, dive 7. Các phương trình Poisson và Laplace. 5. Năng lượng và điện thế 8. Từ trường dừng 6. Vật dẫn - Điện môi - Điện dung 9. Lực từ và điện cảm 10. Trường biến thiên và hệ phương trình Maxwell 11. Sóng phẳng 12. Phản xạ và tán xạ sóng phẳng 13. Dẫn sóng và bức xạ Cơ sở lý thuyết trường điện từ 3
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐiỆN TỪ Chƣơng 1: Giải tích vector I. Vô hƣớng và vector. II. Hệ tọa độ Descartes. III. Tích vô hƣớng - Tích có hƣớng. IV. Hệ tọa độ trụ. V. Hệ tọa độ cầu. VI. Một số công thức giải tích vector Cơ sở lý thuyết trường điện từ 4
Chƣơng 1: Giải tích vector I. Vô hƣớng và Vector.  Đại lƣợng vô hƣớng: Là các đại lượng được biểu diễn bằng 1 số thực (dương, âm).  Ví dụ: Khoảng cách, thời gian, nhiệt độ, khối lượng, áp suất, thể tích  Ký hiệu: t, m, E, P,  Đại lƣợng vector: Là các đại lượng được biểu diễn bằng độ lớn (số thực dương, âm) và hướng trong không gian (2 chiều, 3 chiều, nhiều chiều).  Ví dụ: Lực, vận tốc, gia tốc, điện trường, từ trường  Ký hiệu: A, B, E, H, (có thể thay bằng ABEH, , , , )  Có 3 phương pháp đơn giản để mô tả chính xác 1 vector:  Hệ tọa độ Descartes.  Hệ tọa độ trụ.  Hệ tọa độ cầu. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 5
Chƣơng 1: Giải tích vector z II. Hệ tọa độ Descartes. za z = z  Được tạo bởi 3 trục vuông góc với nhau từng đôi một. a  Các trục được chọn theo quy tắc vặn đinh ốc. y = ya  Một điểm A trong không gian Descartes : x = xa 0 y  Giao điểm của 3 mặt phẳng. xa  Xác định được tọa độ xa, ya, za. x  P là điểm gốc của vi khối có các vi phân kích thước z dx, dy, dz. dz Thể tích của vi khối: dV = dxdydz P 0 y dx dy dV = dxdydz x Cơ sở lý thuyết trường điện từ 6
Chƣơng 1: Giải tích vector z II. Hệ tọa độ Descartes.  Xét vector r trong hệ tọa độ Descartes: z r = x + y + z x, y, z là các vector thành phần của r r  Vector thành phần x, y, z 0 y y  Độ lớn phụ thuộc vào vector r. x  Hướng không thay đổi.  Phân tích theo các vector đơn vị. x z x = xax ; y = yay ; z = zaz az r = xax + yay + zaz = rxax + ryay + rzaz y  Độ lớn của vector: 0 a a 222 x y ||B BBBx y z BBx  Vector đơn vị theo hướng của B: a B 222||B BBBx y z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 7
Chƣơng 1: Giải tích vector III. Tích vô hƣớng – Tích có hƣớng. B 1. Tích vô hƣớng A . B = |A| |B| cosθAB θBa a - |A|, |B| độ lớn của vector A, B B . a - θ là góc nhỏ hơn giữa 2 vector A và B AB Thành phần vô hướng của vector B theo hướng vector đơn vị a  A . B = AxBx + AyBy + AzBz ; A . B = B . A 2 2  A . A = A = |A| ; aA . aA = 1 B  Xét vector B và vector đơn vị a theo hướng của B: θBa a  B . a = |B| |a| cos θBa = |B| cos θBa  (B . a) a vector hình chiếu của vector B lên (B . a) a phương (hướng) của vector đơn vị a Thành phần có hướng của vector B theo hướng vector đơn vị a Cơ sở lý thuyết trường điện từ 8
Chƣơng 1: Giải tích vector III. Tích vô hƣớng – Tích có hƣớng. 1. Tích vô hƣớng  Ví dụ: Xét một trường vector G = yax – 2.5xay + 3az, và điểm Q(4, 5, 2), vector 1 .Tính: aN 22 a x a y a z 3 a. Giá trị của trường vector G tại điểm Q b. Tính thành phần vô hướng của G tại Q theo hướng của vector aN c. Tính thành phần có hướng của G tại Q theo hướng của vector aN Giải: a. Giá trị của trường vector: G(rQ) = 5ax – 2,5.4.ay + 3az = 5ax – 10ay + 3az b. Thành phần vô hướng: 11 G a (5 a 10 a 3 a ) (2 a a 2 a ) (10 10 6) 2 N x y z33 x y z c. Thành phần có hướng: 1 (G a ) a ( 2) (2 a a 2 a ) 1.333 a 0.667 a 1.333 a N N3 x y z x y z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 9
Chƣơng 1: Giải tích vector III. Tích vô hƣớng – Tích có hƣớng. 2. Tích có hƣớng  Định nghĩa: A x B = a |A| |B| sinθ N AB A trong đó aN vector pháp tuyến a a a x y z θAB B A x B = - (B x A) AB AAAx y z BBBx y z AB ax, ay, az : véctơ đơn vị của các trục x, y, z Ví dụ: A = 2ax - 3ay + az ; B = -4ax - 2ay + 5az ax a y a z A B 2 3 1 13 ax 14 a y 16 a z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 4 2 5 10
Chƣơng 1: Giải tích vector IV. Hệ tọa độ trụ tròn  Một điểm P trong hệ tọa độ trụ tròn:  ρ khoảng cách từ P đến trục trụ.  φ góc dương hợp bởi trục tọa độ góc với đường thẳng nối gốc tọa độ với hình chiếu của P lên mặt tọa độ cực.  z độ cao của điểm P so với mặt phẳng của hệ tọa độ góc.  Có thể coi P là giao của 3 mặt:  Mặt phẳng z = const  Mặt cong ρ = const.  Mặt phẳng đường sinh φ = const. P(ρ, φ, z)  Không xét các hệ tọa độ trụ ellipse, hệ tọa độ trụ hyperbol, Cơ sở lý thuyết trường điện từ 11
Chƣơng 1: Giải tích vector IV. Hệ tọa độ trụ tròn .  Vector đơn vị trong hệ tọa độ trụ tròn: aρ , aφ , az  aρ : vector pháp tuyến của mặt trụ ρ = ρ1  aφ : vector pháp tuyến của mặt phẳng φ = φ1  az : tương tự trong trục tọa độ Descartes  Tính chất:  aρ , aφ thay đổi theo φ trong các phép đạo hàm, tích phân theo biến φ, các vector a , a là hàm của φ. ρ φ xy22 x cos  aρ x aφ = az Công thức y y sin arctg chuyển đổi: x zz zz Cơ sở lý thuyết trường điện từ 12
Chƣơng 1: Giải tích vector IV. Hệ tọa độ trụ tròn .  Xét vi khối có kích thướng vô cùng nhỏ có kích thước dρ, ρdφ, và dz dV = ρ dρ dφ dz  Diện tích mặt trụ: 2πr.(h + r)  Thể tích khối trụ: π.r2.h (h chiều cao của trụ) Cơ sở lý thuyết trường điện từ 13
Chƣơng 1: Giải tích vector V. Hệ tọa độ cầu P(r, θ, φ)  Xây dựng hệ tọa độ cầu dựa trên hệ tọa độ Descartes: Một điểm P trong không gian được xác định bởi  r khoảng cách từ P đến gốc tọa độ (tâm cầu).  θ góc hợp bởi chiều dương của trục z với đường thẳng nối gốc tọa độ với điểm P.  φ góc dương hợp bởi trục x với đường thẳng nối gốc tọa độ với hình chiếu của P lên mặt tọa độ cực.  Có thể coi điểm P trong không gian tọa độ cầu là giao của 3 mặt phẳng: Cơ sở lý thuyết trường điện từ 14
Chƣơng 1: Giải tích vector V. Hệ tọa độ cầu  Xây dựng hệ tọa độ cầu dựa trên hệ tọa độ Descartes: Một điểm P trong không gian được xác định bởi:  r khoảng cách từ P đến gốc tọa độ (tâm cầu).  θ góc hợp bởi chiều dương của trục z với đường thẳng nối gốc tọa độ với điểm P.  φ góc dương hợp bởi trục x với đường thẳng nối gốc tọa độ với hình chiếu của P lên mặt tọa độ cực. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 15
Chƣơng 1: Giải tích vector V. Hệ tọa độ cầu  Vector đơn vị trong hệ tọa độ cầu:  ar: vector pháp tuyến của mặt cầu tại điểm P, có chiều hướng ra ngoài, nằm trên đáy của hình nón θ = const, và mặt phẳng φ = const  aθ : vector pháp tuyến của đáy mặt nón, nằm trong mặt phẳng, và tiếp tuyến với mặt cầu tại P. xr sin cos  aφ : giống trong hệ tọa độ trụ tròn. Công thức chuyển đổi: yr sin sin zr cos Cơ sở lý thuyết trường điện từ 16
Chƣơng 1: Giải tích vector V. Hệ tọa độ cầu  Xét 1 vi khối có kích thước vô cùng nhỏ: dV = r2 sinθ dr dθ dφ  Diện tích mặt cầu: 2 Scầu = 4π.r  Thể tích khối cầu: 3 Vcầu = 4/3. π. r Cơ sở lý thuyết trường điện từ 17
Chƣơng 1: Giải tích vector VI. Một số công thức giải tích vector Tính độ biến thiên vector (Grad - gradient) Tính độ tản của vector (div - divergence) AAA    A  A  A Grad A a a a divAA  x y z xx  y y  z z x  y  z Tính độ xoáy của vector (Rot - rotationnel) ax a y a z 222AAA AAA divgradAA RotAA  x2  y 2  z 2 x  y  z AAAx y z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 18
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐiỆN TỪ Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ I. Khái niệm cơ bản. II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện. III. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích điểm. IV. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích khối liên tục. V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng. VI. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích mặt. VII. Đƣờng sức - Ống sức. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 19
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ I. Khái niệm cơ bản  Định nghĩa: Trường điện từ là một dạng vật chất cơ bản, chuyển động với vận tốc c trong mọi hệ quy chiếu quán tính trong chân không, nó thể hiện sự tồn tại và vận động qua những tương tác với một dạng vật chất khác là những hạt hoặc những môi trường mang điện.  Tính tồn tại: Trường điện từ có khả năng tác dụng động lực học lên các vật thể, trường điện từ có năng lượng, động lượng phân bố, chuyển động trong không gian, với vận tốc hữu hạn.  Tính vận động: Thể hiện ở khả năng tác dụng lên các vật thể, môi trường (vd: lực lorenx) và sự lan truyền tác dụng đó. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 20
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ I. Khái niệm cơ bản  Trong một hệ quy chiếu có quán tính, trường điện từ có hai mặt tương tác lực (lực Lorentz) với hạt (vật nhỏ) mang điện tùy theo cách chuyển động của vật trong hệ.  Lực điện FE: Thay đổi theo vị trí của vật, không phụ thuộc vào vận tốc của q eE F vật (mặt điện trường). E FM  Lực từ FM: Chỉ tác động khi vật chuyển động (mặt từ trường). F = FE + FM q eB  Điện trường, từ trường, các lực Lorentz và năng lượng của chúng là những khái niệm tương đối do sự chuyển động của v vật mạng điện chỉ xác định trong một hệ quy chiếu cụ thể. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 21
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện  Để xây dựng mô hình hệ Trường – Môi trường mang điện, cần xác định những thông số biểu diễn và mô tả hệ:  Biến trạng thái: Đo và biểu diễn trạng thái và quá trình động lực học của hệ hoặc năng lực tương tác của các thành viên trong hệ.  Biến hành vi: Biểu diễn tính quy luật các hoạt động, hành vi của một thực thể trong quá trình tương tác với thực thể khác. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 22
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện 1. Biến trạng thái cơ bản của vật mang điện  Biến trạng thái cơ bản của vật mang điện là điện tích q của vật mang điện.  Đo năng lực tương tác lực (chịu tác dụng lực) của vật với trường điện từ.  Hạt và vật mang điện được chia làm 2 loại:  Hạt mang điện tích âm e = -1,6.10-19 (C).  Hạt mang điện tích dương.  Hạt và vật mang điện có điện tích bằng không nếu nó không có khả năng tương tác lực với trường điện từ. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 23
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện 2. Biến trạng thái cơ bản của trƣờng điện từ a. Vector cường độ điện trường E:  Xét một vật nhỏ mang điện tích dq, đặt tĩnh trong một hệ quy chiếu có quán tính, chịu một lực dFE. Khi đó ta có thể nói ở lân cận vật mang điện có một điện trường. Vector trạng thái về cường độ điện trường là biến trạng thái đo và biểu diễn năng lực tác động của lực Lorenx về điện ở lân cận vật mang điện trong trường điện từ: dFE = dqE Thứ nguyên: []F N Nm V []E []q C Cm m Cơ sở lý thuyết trường điện từ 24
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện 2. Biến trạng thái cơ bản của trƣờng điện từ b. Vector cường độ từ cảm B:  Xét một vật nhỏ mang điện tích dq, chuyển động trong một hệ quy chiếu có quán tính, chịu một lực dFM. Khi đó ta có thể nói ở lân cận vật mang điện có một từ trường. Lực dFM hướng theo chiều eF, vuông góc với vận tốc v của hạt mang điện, và vuông góc với một chiều eB xác định trong mỗi điểm trong hệ quy chiếu. dFM dq() v B dqvB e v e B dl Mặt khác: dqv dq idl dt Ta có: dFM iBdl e v e B [T] Cơ sở lý thuyết trường điện từ 25
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện 3. Tính tƣơng đối của E và B  Điện trường E và từ trường B là những thể hiện cụ thể của trường điện từ trong một hệ quy chiếu. Trường điện từ được “cảm nhận” thông qua E và B.  Điện trường E và từ trường B được định nghĩa theo sự chuyển động của hạt mang điện chỉ mang tính tương đối. F FEM F q() E v B  Lực Lorenz gồm 2 thành phần:  Không đổi: FEE q  Phụ thuộc vào hệ quy chiếu: FM q() v B Cơ sở lý thuyết trường điện từ 26
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện 4. Quan hệ giữa điện tích q và lực tĩnh điện – Luật Coulomb  Luật Coulomb là luật về tương tác giữa các hạt mang điện: Độ lớn lực tương tác giữa 2 hạt mang điện tỷ lệ thuận với điện tích q1, q2, và tỉ lệ nghịch với khoảng cách giữa chúng. QQ12 ε0: hằng số điện môi trong chân không Fk 2 r Q1, Q2: điện tích của hạt mang điện 1 1 12 trong đó: k với 0 72 8,854.10Fm / 4  0 4 10 c Cơ sở lý thuyết trường điện từ 27
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện 4. Quan hệ giữa điện tích q và lực tĩnh điện - Luật Coulomb  Xét 2 điện tích cùng dấu Q1 và Q2 trong chân không, có tọa độ xác định bởi vector r1 và r2.  Lực F2 đặt trên điện tích Q2 có:  Phƣơng: Cùng phương với vector R12 nối giữa Q1 và Q2. R12 = r2 – r1  Hƣớng: Cùng hướng với vector R12. a12 là vector đơn vị theo hướng vector R12 QQ12 Fa2 2 12 4  R R12 r 2 r 1 0 12 a12 |R12 | | r 2 r 1 | Cơ sở lý thuyết trường điện từ 28
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện 4. Quan hệ giữa điện tích q và lực tĩnh điện - Luật Coulomb -4 -4 Ví dụ 1: Cho điện tích Q1 = 3.10 (C) đặt tại A(1, 2, 3), và điện tích Q2 = -10 (C) đặt tại B(2, 0, 5) trong chân không. Tính lực tác dụng của Q1 lên Q2. QQ12 Fa2 2 12 4  0R 12 R12 rr21(2 1) a x (0 2) a y (5 3) a z a x 2 a y 2 a z R 12 ( 2) 2 2 2 3 12 F 10 a 20 a 20 a (N ) R12 1 2 2 2 x y z a12 a x a y a z R12 3 3 3 44 QQ12 3.10 ( 10 ) 1 2 2 1 2 2 F2 0 a 12 12 2 () a x a y a z 30(ax a y a z ) 4 0R 12 4 .8,854.10 .3 3 3 3 3 3 3 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 29
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ III. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích điểm  Xét điện tích điểm Q1 đặt cố định, và điện tích thử Qt đặt trong không gian xung quanh điện tích Q1 Qt luôn chịu sự tác dụng của lực tĩnh điện Coulomb QQ1 t Ft Q1 Ft 22 a 1t a 1t 44 0RQR 1t t  0 1 t  Cường độ điện trường của một điện tích điểm tạo ra trong chân không:  Vector lực tác dụng đặt lên một điện tích thử 1C  Thứ nguyên: V/m Q  Vector: Ea 2 R - R: vector hướng từ điện tích Q đến điểm xét 4  0R - aR : vector đơn vị của R Cơ sở lý thuyết trường điện từ 30
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ III. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích điểm  Hệ tọa độ cầu:  Xét điện tích điểm Q đặt tại tâm của hệ tọa độ cầu.  Xét cường độ điện trường tại một điểm trên mặt của cầu bán kính r: Q ar : vector đơn vị của hệ tọa độ cầu Ea 2 r 4  0r  Hệ tọa độ descartes:  Xét điện tích điểm Q đặt tại điểm gốc tọa độ.  Xét cường độ điện trường tại một điểm bất kỳ có tọa độ (x, y, z) Q x y z E a a a 4  (x2 y 2 z 2 ) 2 2 2x 2 2 2 y 2 2 2 z 0 x y z x y z x y z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 31
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ III. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích điểm  Hệ tọa độ descartes:  Xét điện tích điểm Q đặt tại 1 điểm bất kỳ có tọa độ (x’, y’, z’).  Xét cường độ điện trường tại P(x, y, z) R ||r r' R r r ' r r' a R ||r r' QQr r'() r r' Q ( x x ')ax ( y y ') ayz ( z z ') a E 232 2 2 3/2 4 00 |r r' | | r r' | 4  | r r' | 4  0 (x x ') ( y y ') ( z z ') Cơ sở lý thuyết trường điện từ 32
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ III. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích điểm z Q2  Xét 2 điện tích điểm Q1 và Q2 trong chân không. r 2 r – r2 Q1 r - r1 P  Xét 1 điểm P bất kỳ trong chân không a1 E r 1 r1  Do lực Coulomb có tính chất tuyến tính a2 y cường độ điện trường do 2 điện tích điểm tạo ra: E2 x E(r) QQ12 E() r 22 a12 a 4 0 |r r1 | 4  0 | r r 2 |  Tổng quát: n Q E() r k a  2 k k 1 4  0 |rr k | Cơ sở lý thuyết trường điện từ 33
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ III. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích điểm -9 -9 Ví dụ: Cho Q1 = 4.10 C tại điểm P1(3, -2, 1), Q2 = 3.10 C tại điểm P2(1, 0, -2), Q3 -9 -9 = 2.10 C tại điểm P3(0, 2, 2), Q4 = 10 C đặt tại điểm P4(-1, 0, 2). Tính cường độ điện trường tại điểm P(1, 1, 1). QQQ1 2Q3 4 E() r 2 a1 2 a 2 2 a 3 2 a 4 4||4||4||4|| 0r r1  0 r r 2  0 r r 3  0 r r 4 Trong đó: 22 |rr | (2) 3 3,32 1 r r(x x ) a ( y y ) a ( z z ) a 2 a 3 a 11 x 1 y 1 z x y rr 1 23 a1 a x a y |rr 1 | 3,32 3,32 |r r2 | 3,16 a 2 0,32 a y 0.95 a z |r r3 | 1,73 a 3 0,58 a x 0,58 a y 0,58 a z E 24,66 ax 9,99 a y 32,4 a z |r r4 | 2,45 a 4 0,82 a x 0,41 a y 0,41 a z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 34
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ IV. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích khối liên tục  Xét vùng không gian được lấp đầy bằng các hạt mang điện. Ví dụ: Không gian giữa lưới điều khiển và cực cathode của ống phóng điện tử trong tivi, màn hình CRT  Có thể coi sự phân bố của các hạt mang điện là liên tục và có thể mô tả sự phân bố đó bằng hàm mật độ điện tích khối (C/m3). Q v lim v 0 v  Tổng số điện tích tồn tại trong một không gian hữu hạn thể tích V là: Q dv v V Cơ sở lý thuyết trường điện từ 35
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ IV. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích khối liên tục Ví dụ: Tính điện tích tổng của chùm điện tử dạng hình 105 z 3 trụ, biết mật độ điện tích khối điện tử v 5/e C m Giải: Áp dụng công thức: 5 Q dV 5.10 6 . e 10 z dV v VV Thể tích của trụ tròn: dV d d dz 0,042 0,01 5 Vậy: Q 5.10 6 . e 10 z d d dz 0,02 0 0 0,042 0,01 0,040,01 55 Q d 5.10 6 . e 10 zz d dz 10 5 e 10 d dz 0,020 0 0,020 0,01 0,04 0,010,04 0,01 55 Q d 10 5 e 10 zz dz 10 10 e 10 d 10 10 e 4000 e 1000 d 0 0,02 0 0,02 0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 36
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ IV. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích khối liên tục Ví dụ: Tính điện tích tổng của chùm điện tử dạng hình 105 z 2 trụ, biết mật độ điện tích khối điện tử v 5/e C m Giải: 0,01 4000 2000 10 ee Q 10 4000 2000 0 Vậy điện tích tổng có giá trị là: 10 11 Q 10 0,0785 pC 2000 4000 40 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 37
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ IV. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích khối liên tục  Cường độ điện trường tại r do một điện tích khối ΔQ gây ra được tính theo công thức: QQr r' r r' v v r r' E(r) 2 ΔE(r) 2 2 4| 0r r' || r r' | 4|  0 r r' || r r' |4|  0 r r' || r r' | ()'r' dv E(r) v () r r' 3 V 4  0 |r r' | Trong đó: r: vector định vị cường độ điện trường E r’: vector định vị nguồn điện tích khối ρ(r’)dv’ Tích phân trên là tích phân 3 lớp với biến là x’, y’, z’ trong hệ tọa độ Descartes Cơ sở lý thuyết trường điện từ 38
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng  Xét một tia điện tử trong ống phóng cathode hoặc một dây dẫn tích điện có bán kính rất nhỏ. Nếu:  Các điện tử chuyển động đều.  Bỏ qua từ trường sinh ra bởi các điện tử. Coi tia điện tử/dây dẫn tích điện có một mật độ điện tích đường ρL (C/m) Q L lim L 0 L  Xét dây dẫn thẳng, tích điện, dài vô hạn nằm trên trục z E.  Để đơn giản hóa việc tính E của điện tích đường:  Sự thay đổi của E theo các trục tọa độ: ρ, φ, z  E = Eρ + Eφ + Ez, thành phần nào triệt tiêu. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 39
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng  Sự thay đổi của E theo các các trục tọa độ: ρ, φ, z z z z φ = const ρL z = const ρL z = var ρL z = const φ = var φ = const ρ = const ρ = const ρ = var y y y x x x const const var  z const E const z var  E const z const  E var var  const const Cơ sở lý thuyết trường điện từ 40
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng  E = Eρ + Eφ + Ez, thành phần nào triệt tiêu:  Mỗi vi phân độ dài của điện tích đường đều tạo ra E.  Mỗi vi phân độ dài của điện tích đường chỉ tạo ra thành phần Eρ, Ez, không tạo ra thành phần Eφ (Eφ = 0).  Thành phần Ez tạo bởi hai vi phân độ dài đối xứng trên trục z có độ lớn bằng nhau và ngƣợc chiều thành phần Ez bị triệt tiêu. E = Eρ(ρ) Cơ sở lý thuyết trường điện từ 41
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng  Xét đường dây dài vô hạn (ρL) nằm trên trục z dQ = ρLdz’ z hệ tọa độ trụ. Tính E tại điểm P(0, y, 0). (0, 0, z’)  Vi phân cường độ điện trường dE tại điểm P ar do vi phân điện tích dQ = ρ dz’ được tính R = r – r’ L r’ θ theo công thức: P(0, y, 0) dQ()r r' r y dE 3 dEρ 4  0 |r r' | ρ x L dE Trong đó: r = ya = ρa ; r’ = z’a z y ρ z dE r – r’ = ρaρ - z’az Ldz'(aaρz z ' ) E = 0 L dz ' φ dE dE 2 2 3/2 2 2 3/2 4 0 ( z ' ) Ez triệt tiêu 4 0 ( z ' ) Cơ sở lý thuyết trường điện từ 42
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng dz ' 1'z E LLL EaL 2 2 3/2 2 22 ρ 4 0 ( z ' ) 4  0 z ' 2  0 2 0  Tổng quát: Tính E của điểm P(ρ,φ,z) bất kỳ. z dQ = ρLdz’ dv '(r r' ) Trong đó: r = ρa + za E v ρ z 4  |r r' |3 (0, 0, z’) V 0 r’ = z’az ar R = r – r’ R 22 ( z z ') r’ P(ρ, φ, z) R r r' aρz (zz ') a aa (zz ') a ρz R 22 r (zz ') z y Ldz' aaρz ( z z ') E φ ρ 223/2 x ρ 4 0 (zz ') L  dz 'aρ (z z ') dz 'a E L  z 2 23/2 2 2 3/2 4  0 (z z ') ( z z ') Cơ sở lý thuyết trường điện từ  43
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng aρ, az là hàm  dz 'aρ (z z ') dz 'a của z’ ??? E L z 2 23/2 2 2 3/2 4  0  (z z ') ( z z ')  Vector đơn vị aρ, az luôn const (giá trị và hướng) khi z’ thay đổi.  L dz' ( z z ') dz ' E  aρz a 2 23/2 2 2 3/2 4  0  (z z ') ( z z ')  1 (zz ') 1 E L a a ρz2 2 2 2 2 4 0 (z z ') ( z z ')  2 L Vector cường độ điện trường E L a a 0 Ea ρz 2  ρ E của điện tích đường tỉ lệ 4 0 0 nghịch với khoảng cách. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 44
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng Ví dụ: Xét đường dây tích điện dài vô hạn nằm song song với trục z, tại điểm x = 6, y = 8. Tính vector cường độ điện trường E tại điểm P(x, y, z). z L  Xuất phát từ công thức: Ea ρ 2 0 (6, 8, z)  Thay ρ bằng R (bán kính trong hệ tọa độ trụ với trục R P(x, y, z) của trụ là dây tích điện) aρ = aR ρL Ea L 22R (0, 8, 0) y 2  0 (xy 6) ( 8) (6, 0, 0) R (xy 6)aaxy ( 8) Trong đó: aR (6, 8, 0) ||R (xy 6)22 ( 8) R x (x, y, 0) (xy 6)aa ( 8) L xy E 22 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 2  0 (xy 6) ( 8) 45
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ VI. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích mặt  Điện tích mặt là một mặt phẳng (vd: bản cực của tụ điện) có điện tích phân bố 2 đều, đặc trưng bằng hàm mật độ điện tích mặt ρS (C/m ). z Q dy’ S lim S 0 S y’  Xét một tấm phẳng tích điện rộng vô hạn, có mật độ ρS điện tích mặt ρ đặt trên mặt phẳng yOz. S y  Chia mặt phẳng tích điện thành các dải điện tích dài vô hạn, có độ rộng dy’ rất nhỏ (dy’ 0). x  Coi mỗi dải điện tích là một điện tích đường. dQ SSdS Ldy ' LS dy ' L LLL Cơ sở lý thuyết trường điện từ 46
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ VI. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích mặt z  Xét P(x, 0, 0), áp dụng công thức tính E của điện dy’ tích đường: y’ dy 'a E L a d E S R ρ 2  R R 22 S 0 2'  0 xy y S dy ' ddEEx cos dEx cos θ 2'  xy22 0 dE P(x, 0, 0) 22 x xdy ' R x y ' cos dE S dEx 22 x 22 x xy ' 2'  0 xy xy ' E SSS dy' artg EaS x 22 N 2 0 x y ' 2  0 x 2  0 20 aN là vector pháp tuyến Cơ sở lý thuyết trường điện từ của mặt phẳng tích điện 47
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ VI. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích mặt Ea S 2 N E = E+ + E- 0 z a<x -ρS a<x<0 ρS x<0 a x 0 y S S S Ea+x Ea+x Ea+x 2 0 2 0 2 0 S S S Ea-x Ea-x Ea-x 2 0 2 0 2 0 EEE +- 0 S EEE +- 0 E E+ E - a x  0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 48
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ Cƣờng độ điện trƣờng của các vật mang điện Điện tích điểm Điện tích khối Q ()'r' dv E () r r' E v () r r' 4  |r r' |3 3 0 V 4  0 |r r' | Điện tích đƣờng Điện tích mặt Ea L Ea S 2  ρ N 0 20 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 49
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ VII. Đƣờng sức - Ống sức  Đƣờng sức:  Đường sức là một đường hình học minh họa một cách trực quan sự phân bố chiều của cường độ trường trong không gian.  Các tiếp tuyến tại mọi điểm trong không gian của đường sức đều trùng với phương của vector cường độ điện trường.  Đường sức xuất phát từ miền mang hạt điện dương và tận cùng ở miền mang hạt điện âm đường sức cho ta biết sự phân bố của chất và trường. L Ví dụ: Xét E của một dây dẫn thẳng, dài vô hạn:Ea ρ 2 0  Đặt một điện tích dương, tự do trên một đường sức, điện tích đó sẽ tăng tốc theo hướng của đường sức tại điểm đặt. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 50
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ VII. Đƣờng sức - Ống sức  Ống sức:  Cho một mặt ΔS và vẽ một tập những đường sức tỳ lên chu vi của mặt ΔS các đường sức sẽ làm thành một mặt hình ống bao lấy một miền không gian, gọi là ống sức. ΔS1 ΔS2 ΔS3  Ống sức cho biết chiều của cường độ trường ở lân cận mỗi điểm và sự phân bố độ lớn tương đối của cường độ trường E dọc theo ống (cường độ điện trường tỉ lệ nghịch với tiết diện của ống sức). Cơ sở lý thuyết trường điện từ 51
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐIỆN TỪ Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive I. Dịch chuyển điện. II. Luật Gauss. III. Dive. IV. Phƣơng trình Maxwell 1 trong trƣờng tĩnh. V. Toán tử vector  và định lý Dive. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 52
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive I. Dịch chuyển điện  Thí nghiệm của M. Faraday (1937):  Hai mặt cầu kim loại đặt đồng tâm, mặt cầu ngoài gồm 2 nửa bán cầu có thể gắn chặt với nhau.  Lấp đầy khoảng không gian (2cm) giữa 2 mặt cầu bằng dung dịch điện môi.  Gỡ bỏ mặt cầu ngoài, nạp lượng +Q cho mặt cầu trong.  Lắp mặt cầu ngoài và đổ đầy chất điện môi giữa 2 mặt cầu.  Nối đất mặt cầu ngoài. Ψ = Q  Đo điện tích trên mặt cầu ngoài được kết quả -Q.  Hiện tƣợng: Tổng lượng điện tích ở mặt cầu ngoài có trị tuyệt đối bằng tổng lượng điện tích nạp vào mặt cầu trong, không phụ thuộc vào chất điện môi giữa 2 mặt cầu.  Kết luận: Tồn tại một sự dịch chuyển điện (ψ) từ mặt cầu trong ra ngoài: Cơ sở lý thuyết trường điện từ 53
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive I. Dịch chuyển điện D  Sự dịch chuyển điện ψ diễn ra trên toàn bộ diện tích bề 22 mặt của quả cầu: Sa 4 a ( m ) -Q  Để đặc trưng cho khả năng dịch chuyển điện của một bề +Q mặt, người đưa ra khái niệm vector mật độ dịch chuyển điện D [C/m2]: Q Q Q Da Da Da ra 4 a2 r 4 r 2 r rb 4 b2 r  Hướng của D tại một điểm là hướng của dòng dịch chuyển điện tại điểm đó.  Độ lớn của D tại một điểm cho biết giá trị dịch chuyển điện trung bình qua mặt vuông góc với đường dịch chuyển. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 54
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive I. Dịch chuyển điện  Trong chân không:  Điện tích điểm: Q  Da 4 r 2 r  DE0 Q Ea 2 r 4  0r   Với điện tích khối: dv dv Ea v Da v 2 r 2 r V 4  0R V 4 R Cơ sở lý thuyết trường điện từ 55
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 1. Phát biểu: Thông lượng chảy ra khỏi mặt kín S vừa bằng điện tích tự do bao trong mặt kín đó. ΔS  Xét nhóm các điện tích điểm bao bọc bởi một DS, pháp tuyến θ mặt kín hình dáng bất kỳ. DS  Tại mỗi diện tích S của mặt kín, có thông lượng DS P ΔS Q đi qua (vector DS thay đổi về độ lớn và hướng tại mỗi vị trí bề mặt S).  Gọi Δψ là thông lượng qua mặt ΔS: Δψ = DS, pháp tuyến cosθ ΔS = DS.ΔS  Tổng thông lượng qua mặt kín là (công thức luật Gauss):  ddDS. = Điện tích trong mặt kín = Q S mÆt kÝn Cơ sở lý thuyết trường điện từ 56
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 1. Phát biểu  ddDS. = Điện tích trong mặt kín = Q S mÆt kÝn Điện tích điểm Điện tích đƣờng: QQ Q dL  n L Điện tích mặt (S không cần kín) Điện tích khối: Q dS Q dv S V S V DS.d dv SV SV Cơ sở lý thuyết trường điện từ 57
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 1. Phát biểu  Xét một điện tích điểm Q đặt tại tâm quả cầu, bán kính a Q Q  Khi đó: Ea 2 r D 0 E 2 ar 4  0r 4 r Q  Trên bề mặt của cầu bán kính a: Da 4 a2 r  Mặt cong dS trên cầu có diện tích: dS r22sin d  d  a sin  d  d   Vậy tổng thông lượng qua mặt cầu: QQQ 2  D.d S a2 sin d  d  a . a sin  d  d  sin  d  d  S 2 RR SSS4 a 4  00 4 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 58
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 1. Phát biểu  2  QQQ22 DS.d sin d  d  ( cos  ) d  d  Q S S  0 04 0 4 0 0 2  Kết luận:  Tổng thông lượng qua mặt cầu kín bằng tổng điện tích bên trong của mặt cầu đó.  Thí nghiệm của M. Faraday đã được kiểm chứng bằng luật Gauss  Đóng góp to lớn của Gauss không phải là phát biểu luật mà là tìm ra công thức toán học cho luật này. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 59
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 1. Phát biểu Ví dụ: Tính tổng thông lượng qua một hình lập phương giới hạn bởi 6 mặt phẳng x, y, z = ± 5, biết sự phân bố điện tích trong hình lập phương là:  Hai điện tích điểm Q1 = 0,1μC tại A(1, -2, 3), và Q2 = 0,14μC tại B(-1, 2, -2).  Áp dụng công thức:  d DS. d Q S S  Tổng thông lượng qua hình lập phương là : ψ = Q = 0,1 + 0,14 = 0,24 μC  Điện tích đường ρL = π μC/m tại x = -2 và y = 3 5  Q dz z5 10 31,4  C LL 5 5 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 60
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng luật Gauss Qd DS. S S  Luật Gauss được sử dụng để tính D(E) khi biết Q  Việc tính D(E) sẽ đơn giản hơn nếu chọn được mặt kín thỏa mãn 2 điều kiện (mặt Gauss):  DS vuông góc hoặc tiếp tuyến với mặt kín tại mọi điểm của mặt kín DS dS DSS .d 0  DS = const tại những vị trí trên mặt kín mà DS.dS ≠ 0 Q D dS D dS SS SS Cơ sở lý thuyết trường điện từ 61
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss Ví dụ 1: Xét một điện tích điểm Q đặt tại gốc tọa độ của hệ tọa độ cầu. Tính vector cường độ điện trường E.  Mặt kín bao quanh điện tích điểm Q thỏa mãn 2 điều kiện trên (mặt Gauss) là các mặt cầu với mọi bán kính r, có tâm trùng với vị trí của điện tích điểm 2  Q DS. dDdSD r22 sin ddDr  4 SSSS cÇu cÇu  00  Với mọi giá trị của r, vector DS luôn chảy qua theo phương pháp tuyến, ta có QQ D 22 aRr E a 44 rr 0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 62
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss Ví dụ 2: Xét một dây dẫn thẳng, dài vô hạn đặt trên trục z của hệ ρ L tọa độ trụ. Tính vector cường độ điện trường E.  Nhận xét: D = Dρaρ và Dρ = f(ρ) ρL  Mặt Gauss đối với hệ tọa độ trụ sẽ là mặt trụ bao kín lấy đường dây tích điện Q DS. d D dS 0 dS 0 dS SS trô trßn sên ®Ønh ®¸y zL 2 Q L Q D d dz D2 L LL SS DS z 00 222 LL  Vậy ta có: LL DE 22 0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 63
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss Ví dụ 3: Xét hai mặt trụ tròn đồng trục dẫn điện, dài vô tận (cáp đồng trục). Bán kính mặt trụ trong là a, bán kính mặt b a trụ ngoài là b. Mật độ điện tích mặt của mặt trụ trong là ρS.  Mặt Gauss: Mặt trụ tròn độ dài L, bán kính a < ρ < b, khi đó ta có: QDL S 2  Tổng điện tích vật dẫn trụ tròn ρ = a, độ dài z = L là: zL 2 aa Q ad dz 2 aL D SS Da ( a b ) SSS z 00  Mặt khác: Q S 2 a L LSSL 11 m L m S 2 a L  Vậy ta có: Da Cơ sở lý thuyết trường điện từ 2 64
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss  Sự dịch chuyển điện từ bề mặt của lõi hình trụ tròn bên trong sẽ hướng ra ngoài và gặp mặt tích điện âm của b mặt trong của hình trụ tròn ngoài. Do đó tổng điện tích a của bề mặt trụ tròn ngoài là: QQmÆt trô ngo¯i mÆt trô trong Mặt trụ trong Mặt trụ ngoài QmÆt trô trong 2 aL S, mÆt trô trong QmÆt trô ngo¯i 2 bL S, mÆt trô ngo¯i a SS,,mÆt trô ngo¯ib mÆt trô trong Cơ sở lý thuyết trường điện từ 65
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss  Chọn mặt Gauss là hình trụ tròn đồng trục với cáp đồng trục, có bán kính ρ > b (ρ > b được gọi là một tụ đồng trục Cơ sở lý thuyết trường điện từ 66
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss Ví dụ 4: Xét cáp đồng trục có: L = 0,5m, bán kính lõi 1mm, bán kính vỏ 4mm. Giữa lõi và vỏ là không khí. Tổng điện tích của lõi: 30nC. Tính mật độ điện tích trên lõi, vỏ ; Tính E, D. Q 30(10 9 )  lâi 9,55Cm / 2 S,lâi 2 aL 2 (10 3 )(0,5)  Mật độ điện tích mặt: Q 30 10 9  vá 2,39Cm / 2 S,vá 2 bL 2 (4 10 3 )(0,5)  Tính vector cường độ trường E và vector dịch chuyển điện D: a 10 36 (9,55 10 ) 9,55 D S,lâi nC/ m2 10 33 4.10 D 9,55 10 9 1079 E V/ m 10 33 4.10 12 0 8,854 10 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 67
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss Ví dụ 5: Hệ tọa độ cầu có: Điện tích điểm Q = 0,25μC tại tâm của cầu; 2 mặt cầu 2 2 tích điện tại vị trí: (r1 = 1cm, ρS = 2mC/m ) và (r2 = 1,8cm, ρS = -0,6mC/m ). Tính D tại: r3 = 0,5cm ; r4 = 1,5cm ; r5 = 2,5cm. Tính mật độ điện tích mặt tại vị trí r6 = 3cm để có D = 0 tại vị trí r7 = 3,5cm. Giải:  r3 = 0,5cm: Mặt cầu Gauss bán kính r3 = 0,5cm bao điện tích điểm Q Q 0.25 D(r 0,5 cm ) a a 796 a  C / m2 3 4 a22r 4 0,005 r r  r4 = 1,5cm: Mặt cầu Gauss bán kính r4 = 1,5cm bao điện tích điểm Q và mặt cầu 2 tích điện r1 = 1cm, ρS = 2mC/m 6 2 3 Q 0,25.10 4 .0,01 .2.10 2 D(r3 1,5 cm ) 22 ar a r 977,3 a r  C / m Cơ sở lý thuyết trường điện từ 4 a 4 .0,015 68
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss Ví dụ 5: Hệ tọa độ cầu có: Điện tích điểm Q = 0,25μC tại tâm của cầu; 2 mặt cầu 2 2 tích điện tại vị trí: (r1 = 1cm, ρS = 2mC/m ) và (r2 = 1,8cm, ρS = -0,6mC/m ). Tính D tại: r3 = 0,5cm ; r4 = 1,5cm ; r5 = 2,5cm. Tính mật độ điện tích mặt tại vị trí r6 = 3cm để có D = 0 tại vị trí r7 = 3,5cm. Giải:  r5 = 2,5cm: Mặt cầu Gauss bán kính r5 = 2,5cm bao điện tích điểm Q và cả 2 mặt cầu tích điện Q Da(r 1,5 cm )  3 4 a2 r 0,25.10 6 4 .0,01 2 .2.10 3 4 .0,018 2 .( 0,6.10 3 ) D a 40,79 a Cm / 2 4 .0,0252 rr Cơ sở lý thuyết trường điện từ 69
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss Ví dụ 5: Hệ tọa độ cầu có: Điện tích điểm Q = 0,25μC tại tâm của cầu; 2 mặt cầu 2 2 tích điện tại vị trí: (r1 = 1cm, ρS = 2mC/m ) và (r2 = 1,8cm, ρS = -0,6mC/m ). Tính D tại: r3 = 0,5cm ; r4 = 1,5cm ; r5 = 2,5cm. Tính mật độ điện tích mặt tại vị trí r6 = 3cm để có D = 0 tại vị trí r7 = 3,5cm. Giải:  Để có D = 0 tại r6 = 3cm thì mặt Gauss tại vị trí r6 phải có điện tích bằng tổng điện tích bao bên trong, và trái dấu. 6 2 3 2 3 Q 0,25.10 4 .0,01 .2.10 4 .0,018 .( 0,6.10 ) 320,37 nC  Vậy mật độ điện tích mặt của mặt cầu bán kính r7 = 3,5cm là Q 320,37  28,33Cm / 2 S 4 r 22 4 0,03 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 70
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss  Việc áp dụng luật Gauss (tính D, E) theo cách trên cần tìm được mặt Gauss (thỏa mãn 2 điều kiện: DS vuông góc hoặc DS = const trên mặt kín)  Trong trường hợp khó tìm mặt Gauss, giải pháp là chọn một mặt kín rất nhỏ sao cho DS ≈ const trên mặt kín đó.  Xét P(x, y, z) bất kỳ trong không gian Descartes: z P(,,) x y z D D0 DDDx 0 a x y 0 a y z 0 a z D D0 DDDx 0 a x y 0 a y z 0 a z  Chọn mặt kín hình lập phương (Δx, Δy, Δz) có tâm z là điểm P: D ≈ const trên từng mặt. x y Qd DS. y Stríc sau tr¸i ph°i trªn díi x Cơ sở lý thuyết trường điện từ 71
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss z P(,,) x y z 2. Ứng dụng của luật Gauss D D0 DDDx 0 a x y 0 a y z 0 a z Qd DS. Stríc sau tr¸i ph°i trªn díi z  Xét mặt trước: x y D S D y z a D y z y tríc tríc trícxx, tríc tríc x  Do P là tâm của hình lập phương khoảng cách từ mặt trước đến P là Δx/2 xxD D D ()tèc ®é thay ®æi cña D theo x D x x,tríc x 022 x x 0 x trong đó Dx0 là giá trị của Dx tại P x D  Vậy ta có: D x y z x0 tríc 2 x Cơ sở lý thuyết trường điện từ 72
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss D. S D .( y z a ) D y z  Tương tự xét mặt sau có: sau sau sau x x, sau sau xxD D D ()tèc ®é thay ®æi cña D theo x D x x, sau x 022 x x 0 x x D D x y z x0 sau 2 x D  Khi đó ta có: x x y z tríc sau x  Tương tự xét cặp mặt (phải - trái), (trên - dưới): D D y x y z z x y z ph°i tr¸i y trªn díi z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 73
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss  Tóm lại: D Dy D Q DS. d x z x y z S tríc sau tr¸i ph¶i trªn díi x  y  z D Dx y Dz Qv v x  y  z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 74
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss Ví dụ 6: Xác định tổng lượng điện tích của một khối thể tích 10-9m3 đặt tại gốc tọa xx 2 độ biết vector dịch chuyển điện: D esin y ax e cos y a y 2 z a z ( C / m )  Độ biến thiên của D theo các trục x, y, z là: D D D x ey x sin y ey x sin z 2 x y z  Tại gốc tọa độ ta có D D x ey x sin 0 y ey x sin 0 x y  Vậy tổng điện tích của 10-9m3 đặt tại gốc tọa độ là: D Dx y Dz 9 Q v v 2 v 2.10 2 nC x  y  z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 75
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss 4 2 4 2 3 2 Ví dụ 7: Trong chân không biết: D 8xyz ax 4 x z a y 16 x yz a z ( pC / m ) a. Tìm thông lượng qua hộp chữ nhật: z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 theo hướng az. b. Tính E tại P(2, -1, 3) c. Tính tổng điện tích của quả cầu có thể tích 10-12m3 đặt tại P(2, -1, 3). Giải: a. Thông lượng qua hộp chữ nhật z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 theo hướng az là: 2 3 2 3 1123  D dxdy 16 x2 y (2) 3 dxdy 16 x 3 y 2 1365,33 pC z 01 0 1 0 1 32 4 2 4 2 3 12 D 8.2( 1)3ax 4.2 .3 a y 16.2 ( 1)3 a z .10 b. E tại P(2, -1, 3) E 12 0 8,85.10 E 146,44 a 146,4 a 195,2 a Vm / Cơ sở lý thuyết trường điện từ x y z 76
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive II. Luật Gauss 2. Ứng dụng của luật Gauss 4 2 4 2 3 2 Ví dụ 7: Trong chân không biết: D 8xyz ax 4 x z a y 16 x yz a z ( pC / m ) a. Tìm thông lượng qua hộp chữ nhật: z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 theo hướng az. b. Tính E tại P(2, -1, 3) c. Tính tổng điện tích của quả cầu có thể tích 10-12m3 đặt tại P(2, -1, 3). Giải: c. Tổng điện tích của quả cầu có thể tích 10-12m3 đặt tại P(2, -1, 3). D Dx y Dz 12 12 4 2 2 QcÇu 10 10 .(8 yz 48 x yz ) x  y  z P(2, 1,3) P(2, 1,3) 21 QCcÇu 2,376.10 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 77
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive III. Dive D Dy D  Xuất phát từ công thức: DS.d Qx z v v S x  y  z DS.d D Dy D Q xS z x  y  z v v DS.d D DxSy Dz Q lim lim v x  y  z vv 00 v v AS.d A Ay A xS z lim x  y  z v 0 v AS.d  Công thức định nghĩa Đive: Dive cña AA div lim S v 0 v Cơ sở lý thuyết trường điện từ 78
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive III. Dive AS.d Dive cña AA div lim S v 0 v D D D Hệ tọa độ Descartes: divD x y z x  y  z 11 D D Hệ tọa độ trụ tròn: divD () D z   z 1 1 1 D Hệ tọa độ cầu: divD ( r2 D ) (sin D ) r2  rr rsin   r sin   Cơ sở lý thuyết trường điện từ 79
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive III. Dive AS.d Dive cña AA div lim S v 0 v  divA (đive của mật độ thông lượng vector A) là thông lượng chảy ra từ mặt kín của mỗi đơn vị thể tích có thể tích tiến đến zero.  Dive là một phép toán có đối số là một vector, nhưng kết quả là một giá trị vô hướng.  Dive chỉ cho kết quả là có bao nhiêu thông lượng (trên mỗi đơn vị thể tích) chảy ra khỏi một mặt kín (dive không cho thông tin về hướng của thông lượng). Cơ sở lý thuyết trường điện từ 80
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive III. Dive -x -x Ví dụ 8: Tìm divD tại gốc tọa độ nếu D = e sinyax – e cosyay + 2zaz Giải:  Áp dụng công thức tính div: D D D divD x y z e xxsin y e sin y 2 2 x  y  z  Giá trị div D = 2 = const mà không phụ thuộc vào vị trí cần tính.  Nếu đơn vị của D là C/m2, khi đó đơn vị của divD sẽ là C/m3 (mật độ điện tích khối). Cơ sở lý thuyết trường điện từ 81
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive III. Dive Ví dụ 9: Tìm divD tại: 2 2 2 2 a) D (2 xyzy ) ax ( xzxy 2) a y xyCm a z / t¹i PA (2,3,1)  Áp dụng công thức tính div trong hệ tọa Descartes: D D D divD x y z 2 yz 2 x 0 10 x  y  z 2 2 2 2 2 2 b) D 2 z sin aρ z sin 2 a φ 2 z sin a z C / m 0 t¹i PzB ( 2, 110 , 1)  Áp dụng công thức tính div trong hệ tọa độ trụ tròn: 11 D D divD () D z   z divD 4 z2 sin 2 2 z 2 cos2 2 2 sin 2 9 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 82
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive III. Dive Ví dụ 9: Tìm divD tại: 2 c) D 2 r sin cos ar r cos  cos aθφ r sin a C / m 00 t¹i PrC ( 1.5, 30 , 50 )  Áp dụng công thức tính div trong hệ tọa độ cầu: 1 1 1 D divD ( r2 D ) (sin D ) r2  rr rsin   r sin   cos cos2  cos divD 6sin cos 2,57 sin sin Cơ sở lý thuyết trường điện từ 83
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive IV. Phƣơng trình Maxwell 1 trong trƣờng tĩnh DS.d  Từ công thức định nghĩa div có: divD lim S v 0 v DS.d Xét cho một Q  Mặt khác, theo luật Gauss có: DS.dQ S vi khối Δv S vv DS.d S Q  Xét vi khối có thể tích tiến đến zero: lim lim v vv 00 vv divD v (Phương trinh Maxwell 1) Cơ sở lý thuyết trường điện từ 84
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive IV. Phƣơng trình Maxwell 1 trong trƣờng tĩnh divD v  Công thức Maxwell 1 được áp dụng cho điện trường tĩnh và từ trường dừng  Phát biểu: Thông lượng trên một đơn vị thể tích chảy ra khỏi một vi khối rất nhỏ đúng bằng giá trị mật độ điện tích khối tại đó  Phương trình Maxwell 1 được coi là dạng vi phân của luật Gauss vì:  Luật Gauss liên hệ giá trị thông lượng của một điện tích (vật mang điện) đi ra khỏi một mặt kín bao quanh.  Phương trình Maxwell 1 phát biểu về thông lượng trên mỗi đơn vị thể tích chảy ra khỏi một vi khối rất nhỏ (coi như 1 điện tích điểm).  Luật Gauss được xem như là dạng tích phân của phương trình Maxwell 1 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 85
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive IV. Phƣơng trình Maxwell 1 trong trƣờng tĩnh Ví dụ 1: Tính mật độ điện tích khối ρv trong không gian xung quanh của một điện tích điểm Q đặt tại gốc tọa độ. Giải: Q  Vector thông lượng D của điện tích điểm Q đặt tại gốc tọa độ: Da 4 r 2 r  Áp dụng công thức tính divD trong hệ tọa độ cầu: 1 1 1 D divD ( r2 D ) (sin D ) r2  rr rsin   r sin   1 dQ divD ( r 2 ) 0 (r 0) 0 r22 dr4 r v Vậy mật độ điện tích khối ρv của điện tích điểm Q bằng zero tại mọi điểm trong không gian và không xác định tại gốc tọa độ Cơ sở lý thuyết trường điện từ 86
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. 1. Toán tử vector Định nghĩa một toán tử vector nabla (gọi là toán tử del)     a a a xx  y y  z z     Xét:  D ax a y a z DDDxyz a x a y a z x  y  z D D D .DD x y z div x  y  z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 87
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. 2. Định lý Đive  Xuất phát từ luật Gauss, có: DS.dQ S  Mặt khác: Q dv trong đó v  .D v khèi  Vậy ta có: DSD d  dv S khèi  Phát biểu: Tổng thành phần pháp tuyến của một trường vector bất kỳ có đạo hàm riêng trên một mặt kín đúng bằng tổng dive của trường vector đó trong không gian nằm trong mặt kín. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 88
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. DSD d  dv 2. Định lý Đive S khèi 2 2 Ví dụ 1: Kiểm nghiệm lại định lý Đive biết D = 2xyax + x ay C/m và hình hộp chữ nhật giới hạn bởi mặt phẳng x = 0, x = 1 ; y = 0 , y = 2 ; và z = 0, z = 3 Giải:  Vế trái: DS.d Stríc sau tr¸i ph°i trªn díi z 3y 2 z 3 y 2 z 3 y 2 (Da ) .(dydz ) D .( dydz ) 2 ydydz xx 1 x x 1 tríc z 0 y 0 z 0 y 0 z 0 y 0 z 3 4dz 12 C tríc z 0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 89
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. DSD d  dv 2. Định lý Đive S khèi 2 2 Ví dụ 1: Kiểm nghiệm lại định lý Đive biết D = 2xyax + x ay C/m và hình hộp chữ nhật giới hạn bởi mặt phẳng x = 0, x = 1 ; y = 0 , y = 2 ; và z = 0, z = 3 Giải:  Vế trái: DS.d Stríc sau tr¸i ph°i trªn díi zz 33yy 22 (Da ) .( dydz ) D .( dydz ) 0 xx 0 x x 0 sau z 0 y 0 z 0 y 0 z 3 x 2 z 3 x 2 z 3 x 2 (Da ) .(dxdz ) D .( dxdz ) x2 ( dxdz ) y 2 y y y 2 ph°i z 0 x 0 z 0 x 0 z 0 x 0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 90
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. DSD d  dv 2. Định lý Đive S khèi 2 2 Ví dụ 1: Kiểm nghiệm lại định lý Đive biết D = 2xyax + x ay C/m và hình hộp chữ nhật giới hạn bởi mặt phẳng x = 0, x = 1 ; y = 0 , y = 2 ; và z = 0, z = 3 Giải:  Vế trái: DS.d Stríc sau tr¸i ph°i trªn díi z 3 x 2 z 3 x 2 (Da ) .( dxdz ) D .( dxdz ) y 0 y y y 0 tr¸i z 0 x 0 z 0 x 0 zx 32 x2 () dxdz tr¸i zx 00 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 91
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. DSD d  dv 2. Định lý Đive S khèi 2 2 Ví dụ 1: Kiểm nghiệm lại định lý Đive biết D = 2xyax + x ay C/m và hình hộp chữ nhật giới hạn bởi mặt phẳng x = 0, x = 1 ; y = 0 , y = 2 ; và z = 0, z = 3 Giải:  Vế trái: DS.d Stríc sau tr¸i ph°i trªn díi 2 Vì D = 2xyax + x ay , không phụ thuộc vào z D song song với mặt trên và mặt dưới D.dS = 0 0 trªn díi Cơ sở lý thuyết trường điện từ 92
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. DSD d  dv 2. Định lý Đive S khèi 2 2 Ví dụ 1: Kiểm nghiệm lại định lý Đive biết D = 2xyax + x ay C/m và hình hộp chữ nhật giới hạn bởi mặt phẳng x = 0, x = 1 ; y = 0 , y = 2 ; và z = 0, z = 3 Giải:  Vế trái: DS.d Stríc sau tr¸i ph°i trªn díi z 3 x 2 z 3 x 2 DS.d 12 0 x22 ( dxdz ) x ( dxdz ) 0 0 S z 0 x 0 z 0 x 0 DS.dC 12 S Cơ sở lý thuyết trường điện từ 93
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. DSD d  dv 2. Định lý Đive S khèi 2 2 Ví dụ 1: Kiểm nghiệm lại định lý Đive biết D = 2xyax + x ay C/m và hình hộp chữ nhật giới hạn bởi mặt phẳng x = 0, x = 1 ; y = 0 , y = 2 ; và z = 0, z = 3 Giải:  Vế phải: .DdV V D D D    .D x y z 2xy x2 0 2 y x  y  z  x  y  z z 3yy 22 x 1 z 3 z 3 .DdV 2 ydV 2 ydxdydz 2 ydydz 4 dz 12 C V V z 0 y 0 x 0 z 0 y 0 z 0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 94
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. DSD d  dv 2. Định lý Đive S khèi 2 2 Ví dụ 1: Kiểm nghiệm lại định lý Đive biết D = 2xyax + x ay C/m và hình hộp chữ nhật giới hạn bởi mặt phẳng x = 0, x = 1 ; y = 0 , y = 2 ; và z = 0, z = 3 Giải: VÕ tr¸i = DSD d  dV VÕ ph°i =12C = Q Nhận xét: SV  Có thể dụng định lý Dive để tính thông lượng chảy ra khỏi một mặt kín hoặc tính điện tích bên trong (được bao bởi) một mặt kín.  Có 2 cách tính:  Luật Gauss  Luật Dive Cơ sở lý thuyết trường điện từ 95
Chƣơng 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive V. Toán tử vector  và định lý Dive. 2. Định lý Đive 2 Ví dụ 2: Kiểm nghiệm lại định lý Đive biết D = 6ρsin0,5φaρ + 1,5ρcos0,5φaφ C/m và phần mặt cong giới hạn bởi ρ = 2, φ = 0 ; φ = π , và z = 0, z = 5 Giải: DSD d  dv S khèi Đ/S: 225 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 96
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐIỆN TỪ Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trƣờng II. Tích phân đƣờng III. Hiệu điện thế - Điện thế IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm V. Gradient thế VI. Lƣỡng cực VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện Cơ sở lý thuyết trường điện từ 97
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trƣờng  Xét một điện tích điểm Q dịch chuyển một đoạn dL dưới tác dụng của điện trường E. Khi đó lực do điện trường tác động lên điện tích: FE = QE  Thành phần lực điện trường theo hướng của dL: FEL = F.aL = QE.aL  Vậy lực cần tác dụng để dịch chuyển điện tích: Ftd = -QE.aL  Vậy công sinh ra để dịch chuyển điện tích điểm Q trong điện trường một đoạn dL là: dW QEa L dL Q E d L Cơ sở lý thuyết trường điện từ 98
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trƣờng dW QEL. d  Công dịch chuyển điện tích Q bị triệt tiêu nếu:  Q = 0, E = 0, L = 0 hoặc  E vuông góc với dL  Xét điện tích điểm Q đứng yên trong không gian có điện trường E.  Công dịch chuyển điện tích Q trong một quãng đường hữu hạn: cuèi W Q EL. d ®Çu Cơ sở lý thuyết trường điện từ 99
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế I. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trƣờng 1 22 Ví dụ: Xét không gian có E 2 8xyz ax 4 x z a y 4 x y a z V / m. Tính vi phân công z để dịch chuyển một điện tích 6nC đi quãng đường dài 2μm từ điểm P(2, -2, 3) theo 6 3 2 hướng: a a a a L 7x 7 y 7 z Giải: 1 22 EP 2 8xyz ax 4 x z a y 4 x y a z 10,67 a x 5,33 a y 3,56 a z V / m z P(2, 2,3) 6 3 2 a a a x y z 12 6 4 dL dL a 2.10 6 7 7 7 a a a  m L 222 x y z 6 3 2 7 7 7 777 Vậy vi phân công dịch chuyển điện tích là: 12 6 4 dW QE. d L 6.10 9 ( 10,67 a 5,33 a 3,56 a )( a a a ) 149,37 J P x y z7 x 7 y 7 z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 100
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế II. Tích phân đƣờng A ΔL E 6  Xét công dịch chuyển điện tích điểm Q từ điểm B đến L6 ΔL5 điểm A trong không gian có điện trường đều E. EL5 E ΔL4 EL4  Chia B-A thành 6 đoạn: ΔL , ΔL , ΔL E 1 2 EL3 3 ΔL2 EL2 E ΔL3, ΔL4, ΔL5, ΔL6 E ΔL1 E E  Ứng với mỗi đoạn có: EL1, EL2, EL3, L1 B EL4, EL5, EL6 E  Công dịch chuyển điện tích điểm Q từ B đến A được tính theo công thức: WQELELEL (LLL1 1 2 2 6 6 ) WQQ (E1 ΔL 1  E 2 ΔL 2  E 6 ΔL 6 )  E ( ΔL 1 ΔL 2 ΔL 6 ) WQ EL  BA Cơ sở lý thuyết trường điện từ 101
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế II. Tích phân đƣờng A ΔL6 EL6 AAdo E c ons t ΔL5 W QELELEL  d Q  d Q  BA EL5 E BB ΔL4 EL4 ΔL E EL3 3 ΔL2 EL2 E  Nhận xét: Công dịch chuyển điện tích E ΔL1 điểm phụ thuộc: EL1 E B  Giá trị điện tích điểm Q E  Độ lớn của cường độ điện trường E (đều và không đều)  Khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối LBA (không phụ thuộc vào đường đi giữa 2 điểm B, A). Cơ sở lý thuyết trường điện từ 102
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế II. Tích phân đƣờng Ví dụ 1: Cho không gian biết vector cường độ điện trường E = yax + xay + 2az. Xác định công dịch chuyển điện tích điểm Q = 2C từ điểm B(1, 0, 1) đến điểm A(0,8 ; 0,6 ; 1) theo đường cong: x2 + y2 = 1, z = 1. Giải: A E yx ax a y 2 a z  Áp dụng công thức: W Q EL  d trong đó: B dL dx ax dy a y dz a z AA WQd E  L 2 ( yx a a 2 a )  ( dxdydz a a a ) x y z x y z BB 0,8 0,6 1 0,8 0,6 W 2 ydx 2 xdy 4 dz W 2 1 x22 dx 2 1 y dy 0 1 0 1 10 0,8 0,6 W x1 x2 sin 1 x y 1 y 2 sin 1 y 0,96 J 10 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 103
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế II. Tích phân đƣờng Ví dụ 1: Cho không gian biết vector cường độ điện trường E = yax + xay + 2az. Xác định công dịch chuyển điện tích điểm Q = 2C từ điểm B(1, 0, 1) đến điểm A(0,8 ; 0,6 ; 1) theo đường cong: x2 + y2 = 1, z = 1. Giải: E yx ax a y 2 a z A  Áp dụng công thức: W QEL  d trong đó: dL dx a dy a dz a x y z B A 0,8 0,6 1 W Q EL  d 2 ydx 2 xdy 4 dz B 1 0 1 Đường thẳng nối 2 điểm B – A có phương trình: yyAB y yBB () x x yx 3( 1) xxAB 0,8 0,6 y W 6 ( x 1) dx 2 1 dy 0,96 J Cơ sở lý thuyết trường điện từ 10 3 104
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế II. Tích phân đƣờng Công thức tính vi phân đƣờng  Hệ tọa độ Descartes: dL dx ax dy a y dz a z  Hệ tọa độ trụ tròn: dL d a d a dz az  Hệ tọa độ cầu: dL dr ar rd a rsin  d a Cơ sở lý thuyết trường điện từ 105
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế II. Tích phân đƣờng Ví dụ 2: Xét điện tích đường ρL nằm trên trục z trong chân không. Tính công di chuyển điện tích Q trên đường tròn bán kính ρ, tâm nằm trên trục z và trên mặt phẳng song song với mặt Oxy. z Giải:  Áp dụng công thức tính công: dL cuèi Q y W Q EL  d trong ®ã ®Çu ρ dL d a d a dz az L E E aL a d 0 x ρρ2  0 dz 0 2 2 W QL aa  d QdL aa  0 ρφ ρφ 0 2 0 0 2  0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 106
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế II. Tích phân đƣờng Ví dụ 3: Xét điện tích đường ρL nằm trên trục z trong chân không. Tính công di chuyển điện tích Q từ ρ = a đến ρ = b. Giải: z  Áp dụng công thức tính công: Q cuèi W QEL  d trong ®ã a dL y ®Çu dL d a d a dz az L ρL b E E aρρ a d 0 2  x 0 dz 0 bb db Q W QLLLaa  d Q ln ρ aa2 0 2  0 2  0 a Cơ sở lý thuyết trường điện từ 107
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế III. Hiệu điện thế - Điện thế  Định nghĩa: Hiệu điện thế giữa 2 điểm A và B (VAB) là công để dịch chuyển một điện tích thử 1C trong điện trường E từ điểm B đến điểm A. A J V EL  d V AB B C  Trong nhiều trường hợp, nếu coi 1 điểm trong hệ thống có điện thế bằng 0 (điểm tham chiếu, điểm “đất” của hệ thống) thì hiệu điện thế của các điểm khác so với điểm tham chiếu chính là điện thế (điện thế tuyệt đối) của chúng.  Nếu biết thế VA, VB của 2 điểm A, B (chung điểm tham chiếu) thì hiệu điện thế giữa A và B (VAB) được tính theo công thức: VVVAB A B Cơ sở lý thuyết trường điện từ 108
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế III. Hiệu điện thế - Điện thế Ví dụ 1: Tính hiệu điện thế giữa 2 điểm A, B cùng nằm trên 1 trục xuyên tâm có khoảng cách rA, rB đặt trong điện trường của một điện tích điểm Q.  Chọn hệ tọa độ cầu có tâm trùng vị trí của điện tích điểm Q Q  Vector cường độ điện trường do Q tạo ra: E E aρ 2 ar 4  0r  Hiệu điện thế VAB là: A rA QQ 11 VAB EL  d dr 44 r2  r r BrB 00 AB Cơ sở lý thuyết trường điện từ 109
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế III. Hiệu điện thế - Điện thế 2 Ví dụ 2: Trong không gian có E = 6x ax + 6yay + 4az V/m. a. Tính VMN nếu M(2, 6, -1), N(-3, -3, 2) MM V E  d L (6 x2 a 6 y a 4 a )  ( dx a dy a dz a ) MN x y z x y z NN 2 6 1 V 6 x2 dx 6 ydy 4 dz 139 V MN 3 3 2 b. Tính VN nếu điểm P(1, 2, -4) có VP = 2 N 3 3 2 V V V 2 EL  d 2 6 x2 dx 6 ydy 4 dz 19 V N NP P P 1 2 4 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 110
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm 1. Trƣờng thế của điện tích điểm  Phần trước đã chứng minh hiệu điện thế giữa 2 điểm A, B cùng nằm trên 1 trục xuyên tâm có khoảng cách rA, rB đặt trong điện trường của một điện tích điểm Q được tính theo công thức: A(rA, θA, φA) Q 11 VAB E = Er.ar 4  rr 0 AB rA dL = dra + rdθa + rsinθdφa  Với 2 điểm A, B bất kỳ, hiệu điện thế r θ φ r để di chuyển một điện tích điểm Q từ B đến A được tính theo công thức: Q rB rrAAQQ 11 VAB E r dr dr B(rB, θB, φB) 44 r2  r r rrBB00 AB Cơ sở lý thuyết trường điện từ 111
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm A(r , θ , φ ) 1. Trƣờng thế của điện tích điểm A A A  Với 2 điểm A, B bất kỳ, hiệu điện thế để E = Er.ar r di chuyển một điện tích điểm Q từ B đến A dL = drar + rdθaθ + rsinθdφaφ A được tính theo công thức: r rA QQ 11 V dr AB 2 r 44 r  r r Q B rB 00 AB  Hiệu điện thế giữa 2 điểm bất kỳ trong trường điện của một điện tích B(rB, θB, φB) điểm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa 2 điểm đó đến điện tích điểm mà không phụ thuộc vào quãng đường nối giữa 2 điểm đó.  Coi r = ∞ và V = 0: Q B B V (Trường thế của điện tích điểm) 4  r Cơ sở lý thuyết trường điện từ 0 112
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm 1. Trƣờng thế của điện tích điểm Q V 4  0r  Trường thế của điện tích điểm cho ta biết công để di chuyển 1 điện tích thử 1C từ vị trí xa vô cùng (điểm tham chiếu, V = 0) về 1 điểm bất kỳ cách điện tích Q một khoảng r.  Trường thế của điện tích điểm là một trường vô hướng, không có vector đơn vị.  Gọi mặt đẳng thế là tập hợp tất cả các điểm có cùng một điện thế, và do đó công dịch chuyển điện tích trên một mặt đẳng thế luôn bằng không.  Mặt đẳng thế của một điện tích điểm là các mặt cầu đồng tâm, có tâm trùng với vị trí của điện tích điểm đó. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 113
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm 1. Trƣờng thế của điện tích điểm Ví dụ : Cho điện tích điểm Q = 15nC ở gốc tọa độ. Tính VP nếu P(-2, 3, -1) và: a. V = 0 tại điểm A(6, 5, 4) Q 1 1 15.10 9 1 1 VVPA 20,68 44 00 rrPA  4 9 1 36 25 16 b. V = 0 tại vô cùng Q 15.10 9 VVPA 36,1 4  0rP 4  0 4 9 1 c. V = 5 tại B(2, 0, 4) 15.10 9 1 1 VVVVP PB B 5 10,89 4  0 4 9 1 4 0 16 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 114
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế Q2 IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm Q1 r2 r – r 2. Trƣờng thế của hệ điện tích điểm 2 r - r  Xét không gian, gồm 1 điện tích điểm Q1. Khi đó điện thế r 1 1 A tại điểm A bất kỳ sẽ được tính theo công thức: r Q V ()r 1 Gốc tọa độ 4  0 |rr 1 |  Nếu không gian có n điện tích điểm Q1, Q2, , Qn, điện thế tại A là: n Q V ()r  k k 1 4  0 |rr k |  Coi Qk là một phần tử của phân bố điện tích khối liên tục ρVΔvm: n ()r v n (r ')dv ' V ()r  vkk V ()r v k 1 4  0 |rr k | V 4  0 |r r' | Cơ sở lý thuyết trường điện từ 115
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm 2. Trƣờng thế của hệ điện tích điểm  Vậy trường thế của một vật mang điện:  Có mật độ điện tích khối ρV: (r ')dv ' V ()r v V 4  0 |r r' |  Có mật độ tích đường ρL (dây dẫn thẳng mang điện, dài vô hạn): (r ')dL ' V ()r L 4  0 |r r' |  Có mật độ điện tích mặt ρS (mặt tích điện, rộng vô hạn) (r ')dS ' V ()r S S 4  0 |r r' | Cơ sở lý thuyết trường điện từ 116
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế z IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm (0, 0, z) 2. Trƣờng thế của hệ điện tích điểm r ||r r' az22 Ví dụ 1: Tính thế 1 điểm trên trục z trong trường của ρ = a dây tròn ρL, bán kính a, nằm trên mặt phẳng z = 0 (r ')dL ' y  Ta có công thức: V ()r L φ’ r’ 4  0 |r r' | dL’=adφ’ x ρL dL'' ad ; r z az ; r' a aρ trong đó: 2 ad ' a ||r r' az22 V LL 2 2 2 2 0 42 00a z  a z  Nhận xét:  Điện thế tại 1 điểm là công sinh ra để đưa 1 điện tích thử từ vô cùng về điểm đó mà không phụ thuộc vào đường đi giữa chúng.  Trường thế của một hệ nhiều điện tích điểm là tổng của các trường thế do từng điện tích điểm tạo nên. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 117
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm 2. Trƣờng thế của hệ điện tích điểm  Mặt khác, điện thế của điểm A bất kỳ được tính theo công thức: A Vd EL  A  Hiệu điện thế giữa 2 điểm A, B không phụ thuộc vào đường nối giữa A và B A V V V EL  d AB A B B  Đối với điện trường tĩnh (vector cường độ điện trường không thay đổi phương, hướng và độ lớn theo thời gian t): EL d 0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 118
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế IV. Trƣờng thế của điện tích điểm, hệ điện tích điểm 2. Trƣờng thế của hệ điện tích điểm Ví dụ 2: Trong chân không, coi điểm vô cùng có thế bằng 0, tính điện thế điểm A(0, 0, 2) gây ra bởi vật mang điện: a. Điện tích đường ρL = 12nC/m, tại ρ = 2,5m, z = 0 a 12.10 9 .2,5 VV L 529,4 A 2 2 2 2 200az 2 2,5 2 b. Điện tích điểm Q = 18nC tại B(1, 2, -1) 9 Q1 18.10 VVA 43,26 4  0 |rr B | 4  0 1 4 9 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 119
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế V. Gradient thế  Có 2 cách xác định điện thế tại một điểm gây ra bởi một vật mang điện:  Thông qua vector cường độ điện trường E (tích phân đường)  Thông qua hàm phân bố mật độ điện tích (tích phân khối)  Tuy nhiên thực tế, giá trị của vector cường độ điện trường và hàm phân bố mật độ điện tích đều chưa biết.  Trong nhiều trường hợp, ta đã biết điện thế của hai mặt đẳng thế. Khi đó cần xác định cường độ điện trường E hoặc phân bố mật độ điện tích của các mặt đẳng thế. Phương pháp gradient thế Cơ sở lý thuyết trường điện từ 120
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế V. Gradient thế V = +90 +80  Xuất phát từ công thức: Vd EL  +70  Xét đoạn nhỏ ΔL rất nhỏ sao cho E = const: +60 VEL EL  cos P ΔL +50  Xét vi phân quãng đường L: E +40 dV dV E cos E (cos 1 ) +30 dL dL max +20 +10  Độ lớn của cường độ điện trường E bằng giá trị cực đại tốc độ biến thiên của điện thế theo khoảng cách.  Giá trị cực đại đạt được nếu hướng của vi phân khoảng cách ngược hướng với E (hướng của E ngược hướng với hướng tăng nhanh nhất điện thế). Cơ sở lý thuyết trường điện từ 121
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế V. Gradient thế  Gọi a là vector pháp tuyến đơn vị của các mặt V = +90 N +80 đẳng thế, và có hướng về phía các mặt đẳng thế có aN +70 điện thế cao. Khi đó +60 P ΔL dV +50 Ea N +40 dL max E +30  Do dV/dL max khi dL cùng hướng với aN +20 +10 dV dV dV Ea N dLmax dN dN Cơ sở lý thuyết trường điện từ 122
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế V. Gradient thế  Định nghĩa toán tử gradient (grad) của một trường vector T bất kỳ: dT aN là vector pháp tuyến đơn vị của các Gradient of T = grad T aN mặt đẳng thế, có hướng theo hướng dN tăng của trường vector T  Vậy ta có: E grad V V  Mặt khác ta có: V = V(x, y, z) Ex x VVV   dV dx dy dz V x  y  z Ey y dV EL  d E dx E dy E dz x y z V Ez  Suy ra: z VVV   VVV   grad V a a a E ax a y a z x y z x  y  z x  y  z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 123
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế V. Gradient thế VVV   grad V a a a xx  y y  z z  Mặt khác ta có    TTT    a a a T a a a xx  y y  z z xx  y y  z z  Vậy ta có:  T grad T  Mặt khác:E grad V  Suy ra quan hệ giữa vector cường độ điện trường và trường thế: E V Cơ sở lý thuyết trường điện từ 124
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế V. Gradient thế E V  Hệ tọa độ Descartes: VVV   V a a a xx  y y  z z  Hệ tọa độ trụ tròn: VVV1   V a a a  ρ  φ z z  Hệ tọa độ cầu: VVV11   V a a a rr r θφ r sin   Cơ sở lý thuyết trường điện từ 125
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế V. Gradient thế  Chú ý phân biệt 2 toán tử  Gradient: VVV   V a a a xx  y y  z z Gradient của một đạt lượng vô hướng là một vector  Dive: D D D .D x y z x  y  z Dive của một đại lượng vector cho ta một giá trị vô hướng. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 126
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế V. Gradient thế Ví dụ 1: Xét một trường thế V = 2x2y - 5z và điểm P(-4, 3, 6). Hãy tính điện thế, cường độ điện trường E, hàm mật độ dịch chuyển điện D, và hàm mật độ phân bố điện tích ρV tại P. Giải: 2  Điện thế tại P: VP = 2(-4) .3 – 5.6 = 66V  Vector cường độ điện trường E tại P: E V 4 xy a 2 x2 a 5 a 48 a 32 a 5 a V / m P P( 4,3,6) x y zP( 4,3,6) x y z  Hàm mật độ dịch chuyển D tại P: 23 D 0 E 35,4xy ax 17,71 x a y 44,3 a z pC / m 3 Hàm mật độ phân bố điện tích khối ρV: V D 35,4y =-106,2 pC / m Cơ sở lý thuyết trường điện từ 127
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VI. Lƣỡng cực  Việc nghiên cứu hiện tượng lưỡng cực cho phép ta phân tích các quá trình điện từ trong các chất điện môi khi chúng được đặt trong điện trường E.  Lưỡng cực điện (lưỡng cực) là khái niệm để chỉ 2 điện tích điểm trái dấu có cùng độ lớn, đặt cạnh nhau sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn nhiều so với khoảng cách đến điểm P cần xét (cường độ trường EP hay điện thế VP)  Điện thế của điểm P(r, θ, φ=-900): z QQ 11 RR V 21 P θ R 44 0 RRRR 1 2  0 1 2 1 +Q  Xét quỹ tích các điểm có z = 0 R1 = R2 V = 0 r R 2 y (điểm “đất”) d  Nếu P càng xa vị trí lưỡng cực điện: x -Q RR12 VP 0 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 128
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VI. Lƣỡng cực z R1  Ở khoảng cách đủ gần, coi R1 song song với R2 θ +Q r R21 R d cos R d 2  Vậy thế tại điểm P được tính theo công thức: y x Qd cos (điểm tham chiếu: -Q R – R = dcosθ V 2 2 1 4  0r mặt phẳng z = 0)  Áp dụng công thức tính vector cường độ trường E trong hệ tọa độ cầu: VVV11   2Qd cos Qd sin E V ar aθφ a 33aar θ r r  r sin   44 00rr  Qd E 3 2cos ar sin aθ 4  0r Cơ sở lý thuyết trường điện từ 129
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VI. Lƣỡng cực Qd Qd cos Qd Chọn 1 V E 2cos a sin a 4  0 4  r 2 4  r3 r θ 0 0 cos Vr 2 z 0,2 Mặt đẳng thế 0,4 0,6 0,8 1 0 0 -1 -0,8 -0,6 -0,4 Cường độ -0,2 điện trường E Cơ sở lý thuyết trường điện từ 130
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế z VI. Lƣỡng cực P θ R1  Momen lưỡng cực điện: p = Qd [C.m] +Q ar r R2 d y Qd cos da.r d cos pa. r V 2 V 2 4  0r 4  0r x -Q 1'rr r: vector định vị P V 2 p. 4  0 |r r '| | r r '| r’: vector định vị tâm lưỡng cực điện  Nhận xét:  Điện thế V tại một điểm do lưỡng cực điện gây ra tỷ nghịch với bình phương khoảng cách.  Cường độ điện trường E tại một điểm do lưỡng cực điện gây ra tỷ nghịch với khoảng cách mũ ba. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 131
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VI. Lƣỡng cực Ví dụ 1: Một lưỡng cực điện đặt trong chân không, tại gốc tọa độ có momen lưỡng cực p = 3ax – 2ay + az nC.m. 2a 3 a 4 a x y z 2 2 2 a. Tính V tại A(2, 3, 4) ar r 2 3 4 29 2342 2 2  Áp dụng công thức: (3a 2 a a ).(2 a 3 a 4 a ) pa. r x y z x y z V 2 3 0,23 4  0r 4  0 29 b. Tính V tại B(r = 2,5 ; θ = 300 ; φ = 400) B(0,96 ; 0,8 ; 2,17) 0,96a 0,8 a 2,17 a x y z 2 2 2 ar r 0,96 0,8 2,17 2,5 0,962 0,8 2 2,17 2 (3ax 2 a y a z ).(0,96 a x 0,8 a y 2,17 a z ) 3 1,985V 4  0 2,5 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 132
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VI. Lƣỡng cực Ví dụ 2: Một lưỡng cực điện đặt trong chân không, tại gốc tọa độ có momen lưỡng 0 cực p = 6az nC.m. Tính E tại A(r = 4 ; θ = 20 ; φ = 0) D/ S :E 1,584 ar 0,288 aθ V / m Cơ sở lý thuyết trường điện từ 133
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện  Nếu cần di chuyển 1 điện tích dương Q2 từ xa vô cùng vào không gian có điện trường gây ra bởi điện tích điểm dương Q1 cố định, ta cần thực hiện một công.  Nếu Q2 được giữ nguyên: Q2 có một thế năng  Nếu Q2 được đặt tự do:  Q2 sẽ dịch chuyển ra xa Q1  Q2 sẽ tích lũy động năng trong quá trình chuyển động.  Cần xác định thế năng của một hệ điện tích điểm. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 134
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện  Xét điện tích điểm Q2 đặt trong không gian có điện trường của Q1  Gọi V2,1 là điện thế tại vị trí của Q2 do Q1 tạo ra Công di chuyển Q2 = Q2V2,1  Không gian có điện tích điểm Q3 Công di chuyển Q3= Q3V3,1 + Q3V3,2  Không gian có điện tích điểm Q4 Công di chuyển Q4= Q4V4,1 + Q4V4,2 + Q4V4,3  Tổng công di chuyển = Thế năng của điện trường WE = Q2V2,1 + Q3V3,1 + Q3V3,2 + Q4V4,1 + Q4V4,2 + Q4V4,3 + Cơ sở lý thuyết trường điện từ 135
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện WE = Q2V2,1 + Q3V3,1 + Q3V3,2 + Q4V4,1 + Q4V4,2 + Q4V4,3 + Q  QVQ 1  Mặt khác: 3 3,1 3 Q3 4  0R 13  QVQQV3 3,1 1 1 1,3 4  0R 31 RR13 31  WE = Q1V1,2 + Q1V1,3 + Q1V1,4 + Q2V2,3 + Q2V2,4 + Q3V3,4 + 2WE = Q1(V1,2 + V1,3 + V1,4 + ) + V1,2 + V1,3 + V1,4 + = V1 Q2 (V2,1 + V2,3 + V2,4 + ) + V2,1 + V2,3 + V2,4 + = V2 V + V + V + = V Q3 (V3,1 + V3,2 + V3,4 + ) + 3,1 3,2 3,4 3 11N  Vậy ta có: WQVQVQVQVE 1 1 2 2 3 3  k k 1 22k 1 W Vdv EV 2 V  Để tính năng lượng 1 vật mang điện, coi: QkV dv Cơ sở lý thuyết trường điện từ 136
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện 1 N 1 W Vdv WE QV k k EV 2 k 1 2 V  Công thức cho phép tính thế năng của một hệ điện tích điểm, hoặc một vật mang điện có hàm mật độ phân bố điện tích khối ρV  Công thức tính thế năng của vật mang điện có hàm mật độ phân bố điện tích khối ρV có thể coi là công thức tính thế năng tổng quát cho các vật mang điện khác nhau:  Điện tích điểm  Điện tích đường  Điện tích mặt Cơ sở lý thuyết trường điện từ 137
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện 1  Xét công thức:W Vdv EV  1 2 V W () D Vdv  E  2 V  Áp dụng phương trình Maxwell 1: V D  Mặt khác: ()()()VVVDDD    1 W ()()VDD   V dv E   2 V 11 W ()()VDD dv   V dv E 22VV  Áp dụng định lý Dive: DSD.d  dv SV 11  Vậy ta có công thức: W ()()VDSD  d   V dv E 22SV Cơ sở lý thuyết trường điện từ 138
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện 11 W ()()VDSD  d   V dv E 22SV  Ta có: Q 1  V : suy gi°m víi tèc ®é 4  0rr 1 Q 1  (VdDS )  0 Da 22r : suy gi°m víi tèc ®é 4 rr 2 S dS : suy gi°m víi tèc ®é r2  1   Vậy ta có: WE D () V dv 112 2 V W DE dv  E dv  E 0 22VV  Theo công thức gradient thế: E V  Cơ sở lý thuyết trường điện từ 139
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện Ví dụ 1: Tính thế năng của cáp đồng trục (tụ) độ dài L, có mật độ phân bố điện mặt trong của cáp ρS Cách 1: b 1 a  Áp dụng công thức: W  E2 dv E 0 2 V a a trong đó: S S D () a b Eaρ  0 1 Lb2 a2 2 La 2 2 b W SS d d dz ln E 0 22 2 00a 00  a Cơ sở lý thuyết trường điện từ 140
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện Ví dụ 1: Tính thế năng của cáp đồng trục (tụ) độ dài L, có mật độ phân bố điện mặt trong của cáp ρS Cách 2: b a 1  Áp dụng công thức: W Vdv EV 2 V  Coi các điểm trên mặt ngoài của cáp là điểm tham chiếu (V = 0). Thế của các điểm trên mặt trong của cáp là: a  aa Vdab EL  aa b V E d SS d ln b  a bb00  a Vb 0  Cơ sở lý thuyết trường điện từ 141
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện Ví dụ 1: Tính thế năng của cáp đồng trục (tụ) độ dài L, có mật độ phân bố điện mặt trong của cáp ρS 1 a b Cách 2: W V ln dv EV 2 V 0 a b a tt S ,,a a t a V t 22 t a 1 zL 2 2 bb La22 W SSSaln d d dz ln E 2 t t00 a a z 00 a  Chú ý: 2  Tổng điện tích lõi cáp: 22 Q 2 aL S  1 La b W QV S ln a S b  Ea  Điện thế lõi cáp: Va ln  2 0 a  a 0 Năng lượng của tụ Cơ sở lý thuyết trường điện từ 142
Chƣơng 4: Năng lƣợng - Điện thế VII. Mật độ năng lƣợng trong trƣờng tĩnh điện 0 Ví dụ 2: Tính năng lượng WE của một vật mang điện 2mm < r < 3mm, 0 < θ < 90 , 0 < φ < 900 trong chân không, biết trường thế V: 200 a. V r 300cos b. V r 2 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 143
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐIỆN TỪ Chƣơng 5: Vật dẫn - Điện môi - Điện dung I. Dòng điện - Mật độ dòng điện II. Vật dẫn kim loại III. Phƣơng pháp soi ảnh IV. Bán dẫn V. Chất điện môi VI. Điện dung VII. Phƣơng pháp đƣờng sức – đẳng thế VIII. Phƣơng pháp lƣới Cơ sở lý thuyết trường điện từ 144
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung I. Dòng điện - Mật độ dòng điện  Dòng điện là dòng chuyển dời có hướng của các hạt mang điện dương (tốc độ biến thiên của điện tích theo thời gian qua 1 điểm, một mặt phẳng cho trước). dQ I [A] dt  Mật độ dòng điện J [A/m2] đo sự phân bố dòng điện trên một đơn vị diện tích.  Dòng điện chảy ra khỏi một mặt ΔS vuông góc với mật độ dòng điện, được tính theo công thức: ΔI = JNΔS  Nếu mặt ΔS không vuông góc với mật độ dòng điện: ΔI = J.ΔS  Tổng dòng điện qua mặt S có mật độ dòng điện J được tính theo công thức: Id  JS S Cơ sở lý thuyết trường điện từ 145
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung I. Dòng điện - Mật độ dòng điện z QV V  Xét vật mang điện có hàm mật độ điện tích khối ρV S QVSL VV y  Đơn giản hóa: Coi vật mang điện dịch chuyển song x song với trục x: Δx trong khoảng thời gian Δt L z Q V S x  Vậy trong Δt, lượng dòng điện ΔI chảy qua mặt vuông góc với phương Δx là: y Qx I V S I V Sv x J x S tt x x  Vậy ta có: Jv V Cơ sở lý thuyết trường điện từ 146
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung I. Dòng điện - Mật độ dòng điện 2 2 2 Ví dụ: Cho vector mật độ dòng điện J 10 z aρφ 4 cos a A / m Tính tổng dòng điện chảy qua mặt tròn ρ = 3, 0 < φ < 2π, 1 < z < 2 Giải:  Áp dụng công thức: I JSJS  d  d 3 SS 2 2 2 J 3 10.3zz aρ 4.3cos a φ 90 a ρ 12cos a φ  Ta có: dS d dz aρρ3 d dz a  Suy ra: zz 22 2 I JS  d 270 zd dz 270 zd dz 2 .270 zdz 2,54 A S S z 1 0 z 1 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 147
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung I. Dòng điện - Mật độ dòng điện  Xét một mặt kín S: Id  JS S  Theo định nghĩa: Dòng điện chảy ra khỏi một mặt kín tỷ lệ với độ giảm của các hạt mang điện tích dương (tỉ lệ với độ tăng lên của các hạt mang điện tích âm).  Gọi Qi là các hạt mang điện trong một mặt kín. dQi trong ®ã Q dv Id JS  iV S dt V d  () J dv dv V dv  Định lý Dive: JSJd ()  dv V SV VVVdt t   () J vv V J V t t Cơ sở lý thuyết trường điện từ 148
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung I. Dòng điện - Mật độ dòng điện e t Ví dụ: Khảo sát mật độ dòng điện: Ja A/m2 r r  Tại t = 1s, tổng dòng điện chảy ra khỏi mặt cầu kín bán kính 1  Bán kính r = 5m: I J S e 124 5 23,1 A r 5 1  Bán kính r = 6m: I J S e 124 6 27,7 A r 6  1 1 1 1  Mật độ điện tích khối: V t2 t t Ja  er 22 r e e t r r r r r khi r 11 1 t 3 e tt dt K()() r e K r e C/m V 22 V 2 rr V 0 r 1 e t J  Vận tốc dịch chuyển của điện tích: Jv vr r r m/s Vr 1 V t 2 e Cơ sở lý thuyết trường điện từ r 149
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung II. Vật dẫn kim loại 1. Khái niệm  Cấu tạo của một nguyên tử: Năng lƣợng = Động năng + thế năng  Hạt nhân mang điện tích dương.  Các electron mang điện tích âm chuyển động xung quanh.  Electron ở mức năng lượng thấp có quỹ đạo chuyển động gần hạt nhân (và ngược lại).  Khi electron chuyển từ mức năng lượng này sang mức năng lượng khác thì nó sẽ nhận (hoặc phát) ra năng lượng.  Các electron hóa trị có mức năng lượng cao nhất dễ bị kích thích, thoát ra khỏi trạng thái cân bằng và trở thành các electron tự do (dòng các electron tự do). Cơ sở lý thuyết trường điện từ 150
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung II. Vật dẫn kim loại 1. Khái niệm Vùng dẫn Vùng dẫn Vùng trống Vùng dẫn Vùng trống Năng Năng lƣợng Vùng hóa trị Vùng hóa trị Vùng hóa trị Vật dẫn điện Vật bán dẫn Vật cách điện  Xét electron tự do trong vật dẫn điện, đặt ở trong cường độ trường E F = - eE  Chân không: Vận tốc electron sẽ tăng liên tục  Vật dẫn: Vận tốc electron tiến đến giá trị trung bình Jv v 2 vd  e E  J e  e E μe [m /Vs]: độ cơ động của electron Cơ sở lý thuyết trường điện từ (luôn dương) 151
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung II. Vật dẫn kim loại 1. Khái niệm JE ee ρe: mật độ điện tử tự do (luôn âm)  Trong các vật dẫn kim loại, ta có quan hệ: JE  σ [S/m]: độ dẫn điện (điện dẫn suất)  Độ dẫn điện (điện trở suất) của vật dẫn thay đổi theo nhiệt độ (VD: Điện trở suất của đồng nhôm bạc thay đổi khoảng 0,4% khi nhiệt độ tăng 10K).  Nhiều vật dẫn trở thành siêu dẫn (điện trở suất 0) khi nhiệt độ xấp xỉ 00K (VD: Nhôm trở siêu dẫn ở t0 ~1,140K).  ee  Cơ sở lý thuyết trường điện từ 152
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung II. Vật dẫn kim loại S 1. Khái niệm J = const σ  Xét một dây dẫn hình trụ, có J và E đẳng E = const hướng I L I JS  d JS JE  S S bb  Ta có:V ELELELEL  d  d   V EL ab ba ab aa IV L  Suy ra:  VI SL  S   V RI (Luật Ohm) L ®Æt R   S b ELd V  Điện trở của dây dẫn có thể tính theo công thức: R ab a I  ESd Cơ sở lý thuyết trường điện từ S 153
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung II. Vật dẫn kim loại 2. Tính chất vật dẫn - Điều kiện bờ  Xét điều kiện tĩnh: Giả thiết tồn tại các electron bên trong một vật dẫn.  Cường độ trường của các electron làm chúng chuyển động ra bề mặt của vật dẫn và có xu hướng tách rời nhau.  Mật độ điện tích tại mọi điểm bên trong vật dẫn bằng không, bề mặt vật dẫn xuất hiện một điện tích mặt.  Tại mọi điểm trong vật dẫn, dòng điện bằng không cường độ điện trường tại mọi điểm trong vật dẫn bằng không (theo luật Ohm) Cơ sở lý thuyết trường điện từ 154
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung II. Vật dẫn kim loại Chân không E E 2. Tính chất vật dẫn - Điều kiện bờ D N D N a Δw b  Xét bề mặt vật dẫn: Phân cách ΔS Δh Δh Δh Et vật dẫn và chân không. d Δw c D  Vector : E = E + E ; D = D + D t N t N t Vật dẫn  Ta có: EL d 0 b c d a 0 hh a b c d  EEEt w N,, t¹i b N t¹i a 0  E 0 22 t  Trong vật dẫn: E = 0  h 0  Dt 0  Áp dụng luật Gauss: Qd DS  S trªn díi xung quanh   DSQSNS  DSN ; 00 ; DENSN  0 trªn díi xungquanh Cơ sở lý thuyết trường điện từ 155
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung II. Vật dẫn kim loại Chân không E E 2. Tính chất vật dẫn - Điều kiện bờ D N D N a Δw b ED 0 ΔS tt Δh Δh Δh Et DENNS  0 d Δw c y Dt Vd EL  0 Vật dẫn xy x  Tính chất của vật dẫn trong điện trường tĩnh  Cường độ điện trường tĩnh bên trong vật dẫn bằng không.  Tại mọi điểm trên bề mặt của vật dẫn, vector cường độ điện trường tĩnh luôn vuông góc với bề mặt tại điểm đó.  Bề mặt của vật dẫn có tính đẳng thế. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 156
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung II. Vật dẫn kim loại 2. Tính chất vật dẫn - Điều kiện bờ Ví dụ: Cho trường thế V = 100(x2 – y2) và điểm P(2, -1, 3) nằm trên biên giới giữa vật dẫn và chân không. Tính V, E, D, ρS tại P và viết phương trình của mặt dẫn. 22  Điện thế tại P:VVP 100 2 ( 1) 300  Do mặt vật dẫn là mặt đẳng thế mọi điểm trên mặt của vật có V=300V quỹ tích các điểm có điện thế V = 300V = 100(x2 – y2) x2 – y2 = 3 22  Tính E V 100  ( x y ) 200 x axy 200 y a 2 EP 400 axy 200 a V/m DPP 0 E 3,54 axy 1,771 a nC/m 2 DNPP, D 3,96 nC / m 2 SPNP,, D 3,96 nC / m Cơ sở lý thuyết trường điện từ 157
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung III. Phƣơng pháp soi ảnh  Một đặc điểm quan trọng của lưỡng cực điện là mặt phẳng nằm giữa lưỡng cực điện luôn có thế bằng không có thể biểu diễn bằng một mặt phẳng dẫn có độ rộng vô hạn và độ dày tiến tới không.  Có thể thay một lưỡng cực điện bằng một điện tích và một mặt phẳng dẫn mà không làm thay đổi các cường độ trường trên mặt dẫn. +Q ρL +Q ρL Mặt phẳng dẫn, V = 0 Mặt đẳng thế, V = 0 hoặc -ρ L Mặt đẳng thế, V = 0 -Q Cơ sở lý thuyết trường điện từ -Q 158
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung z III. Phƣơng pháp soi ảnh 30nC/m Ví dụ: Tính mật độ điện tích mặt ρS tại điểm P(2, 5, 0) Mặt phẳng dẫn trên mặt phẳng dẫn z = 0 nếu có một điện tích đường ρL = 30nC/m đặt tại x = 0 và z = 3 y  Áp dụng phương pháp soi ảnh. P(2, 5, 0) x R+ 23 a x a z R- 23 a x a z z 9 23aa 30nC/m L 30.10 xy Ea+ R+ 2  0 R 2  13 13 0 R+ 9 23aa L 30.10 xy y Ea R P 2  0R 2  0 13 13 R- 9 180.10 az x -30nC/m E E+ E - 249 a z V/m 2  0 (13)  E 2,20 nC / m2 Cơ sở lý thuyết trường điện từ SN0 159
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung IV. Bán dẫn  Trong các vật liệu bán dẫn, có 2 hạt mang điện: Electron, và lỗ trống  Các electron ở vùng hóa trị nhận năng J, E lượng kích thích vượt qua vùng cấm để tới vùng dẫn.  Trong các chất bán dẫn, các khoảng trống do electron để lại (lỗ trống) cũng di chuyển (ngược hướng với electron).  Độ dẫn điện của chất bán dẫn:  e  e h  h  Độ dẫn điện của chất bán dẫn tăng khi nhiệt độ tăng (ngược với kim loại)  Điện dẫn của chất bán dẫn tăng lên đáng kể khi có lẫn tạp chất (n-type, p-type) Cơ sở lý thuyết trường điện từ 160
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi 1. Khái niệm  Các chất điện môi được cấu tạo bởi rất nhiều các phân cực điện đặt trong chân không.  Các phân cực điện không thể phân bố như quá trình dẫn đối với kim loại hay bán dẫn do chúng chịu lực tương tác của nguyên tử và phân tử.  Ở trạng thái bình thường, các phân cực điện sẽ xoay theo các hướng khác nhau.  Khi có tác động của điện trường ngoài, các phân cực điện sẽ sắp xếp lại theo hướng của điện trường, tạo ra trường điện từ tĩnh.  Tính chất: Các chất điện môi đều có khả năng tích lũy năng lượng điện năng. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 161
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi Q d 1. Khái niệm E  Gọi p là vector momen lưỡng cực điện: p = Qd [Cm]  Nếu vi phân thể tích Δv có n lưỡng cực điện p momen lưỡng cực điện tổng: nv pptæng  i i 1  Ở trạng thái tự nhiên, các pi sắp xếp ngẫu nhiên ptổng xấp xỉ không.  Nếu pi cùng hướng (chịu tác động điện từ trường ngoài) ptổng khá lớn.  Vector phân cực P cho biết số lượng momen lưỡng cực trên một đơn vị thể tích nv 1 2 Pp lim i [C/m ] v 0  v i 1 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 162
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi 1. Khái niệm  Xét vật liệu điện môi có P = 0  Xét một vi phân diện tích ΔS chịu tác động của cường độ điện trường E  Dưới tác động của E, mỗi phân tử điện môi có lưỡng cực điện: p = Qd  Mỗi điện tích sẽ dịch chuyển theo hướng ΔS một khoảng ½ dcosθ  Điện tích dương dịch cùng chiều với ΔS  Điện tích âm dịch ngược chiều với ΔS + ΔS + + Chất điện môi +  1 + θ  d cos E ΔS 2 ΔS -  + + - + - + - + - d - - - - Cơ sở lý thuyết trường điện từ - 163
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi 1. Khái niệm  Với mật độ: n phân tử / m3  Số phân tử dịch theo hướng ΔS trong một vi phân thể tích: Q nQdcos S nQ d  S  b Qd PS   Qb PS  b p Q d P nQ d  S  Áp dụng luật Gauss cho một mặt kín: Q  ES  d Q Q tæng 0 b S Q Q Q  EPS  d tæng b 0 S DEP 0  Theo định lý Dive: DSDd  dv  SV  D V Q dv  V Cơ sở lý thuyết trường điện từ V 164
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi 1. Khái niệm  Trong vật liệu đẳng hướng, E luôn cùng chiều P, không phụ thuộc hướng của trường. PE e 0 χe : hệ số phân cực điện môi (kp)  Ta có: DEPEEE 0  0 ee  0 (1  )  0  Gọi: re 1 hằng số phân cực điện của vật liệu  Vậy: DEE 0 r  với  0 r là hằng số điện môi của vật liệu  Trong vật liệu dị hướng, E không cùng chiều P DEEE    DE  x xx x xy y xz z DEEEy  yx x  yy y  yz z  0  R DEEEz  zx x  zy y  zz z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 165
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi Chất điện môi 1 DN1 ε 2. Điều kiện bờ của chất điện môi lý tƣởng 1 Ett1 ΔS Δh  Xét mặt phân cách giữa 2 chất điện môi Δw Ett2 EL d 0  Chất điện môi 2 DN2 hh ε2 EEEt w N N 0  Ett12 w E tt w 0 22  h 0 EEtt12 tt (biến thiên liên tục) DDD   Mật độ dòng điện D: tt12 EE tt tt1 1 (biến thiên không tt12 tt liên tục) 12Dtt22  Xét E : DSDSQS N NNS12 1EENN 1 2 2 DD  S 0 DD E  NNS12 NN12 N1 2 (Trên bề mặt chất điện môi không có các điện tích tự do) EN 21 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 166
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi 2. Điều kiện bờ của chất điện môi lý tƣởng D1 DN1  Xét mặt phân cách giữa 2 chất điện môi có: θ1 Chất điện môi 1 Dtt1 ε1  D1 lệch với phương pháp tuyến góc θ1 ε1 > ε2 DN2  D2 lệch với phương pháp tuyến góc θ2 D θ 2 2 Chất điện môi 2 DD  ε2 NN12 Dtt2 D cos D c os DN1 D 1 cos 1  1 1 2 2  DN 2 D 2 cos 2  tg11  2  Dtt1  tg22 D 1   2 D  D cos D c os  tt 22 DDsin   sin   1 1 2 2 DD sin  2 1 1 1 2 2 tt1 1 1  DDtt2 2sin 2 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 167
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi D D1 2. Điều kiện bờ của chất điện môi lý tƣởng N1 θ1 Chất điện môi 1  Trên mỗi bề mặt của mặt phân cách: D = εE (D Dtt1 ε1 và E luôn cùng hướng) ε1 > ε2 DN2 D2 θ2 2 Chất điện môi 2 22  2 ε2 D2 D 1 cos  1 sin 1 Dtt2 1  Nhận xét: 2 22  2  Nếu biết trường (E, D) của một bên E2 E 1sin  1 cos 1 1 thì có thể tính được bên còn lại.  Chất điện môi có ε lớn thì D lớn  2 21 arctg tg  2  Chất điện môi có ε nhỏ thì E lớn Cơ sở lý thuyết trường điện từ 168
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung V. Chất điện môi 2. Điều kiện bờ của chất điện môi lý tƣởng Ví dụ: Xét vùng z 0 có chất điện môi 2: ε2 = 2. Tính DN1, Dtt1, Dtt1, DN2, Dtt2, D2, θ2 Giải: 2 2 DN1 D 1z 70 a z DN1 70 nC / m DNN12 D DaN2 70 z nC / m D 30 a 50 a nC / m2 2 2 2 tt1 x y Dtt1 ( 30) 50=58,31 nC / m Dtt1 1 2Dtt1 2 2 Dtt2 ( 30 a x 50 a y ) 18,75 a x 31,25 a y nC/m Dtt 22 1 3,2 2 D2 D N2 D tt2=-18,75 a x +31,25 a y +70 a z nC/m Dtt1 58,3 0  2 0 1 arctg arctg 39,8 21 arctg tg 27,5 D1z 70 1 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 169
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung 1. Khái niệm - - - - - - vật dẫn M -  Xét 2 vật dẫn đặt trong điện môi đồng chất: - 2 -  Vật dẫn M : +Q + ++ - -Q 1 QQQ 0 + + - -  Vật dẫn M : -Q  + - - 2 + +Q + - - - -  Nhận xét: + + Chất điện môi, ε + vật dẫn M1  Bề mặt mỗi vật dẫn đóng vai trò như + + điện tích mặt, và mặt đẳng thế. + +  Vector cường độ điện trường vuông góc +++ với bề mặt của vật dẫn tại điểm xét.  M2 tích điện dương cường độ trường hướng từ M2 sang M1, và điện thế của mặt M1 dương hơn so với điện thế của mặt M2  Định nghĩa: Điện dung C giữa hệ hai vật dẫn có giá trị bằng tỉ số điện tích của vật dẫn với hiệu điện thế giữa hai vật dẫn đó. Q C V0: hiệu điện thế giữa 2 V vật dẫn M1 và M2 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 0 170
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung QC - - - 1. Khái niệm C [ =F] - - - vật dẫn M2 - VV0 - + - - + ++ -Q  Tổng quát: + + - -  Điện tích Q được tích cho toàn bộ + - - - - + +Q + mặt kín của vật mang điện M1: + Chất điện môi, ε vật dẫn M + 1 + Q  ESd ++ + S +++  Hiệu điện thế V0 là công sinh ra để di chuyển điện tích thử từ M2 sang M1 Vd EL  0 ESd Giá trị điện dung phụ thuộc vào kích thước vật lý của  S Vậy: C hệ vật dẫn và phụ thuộc vào hằng số điện môi của  ELd chất điện môi. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 171
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung 1. Khái niệm mặt dẫn, -ρS z = d  Xét 2 mặt dẫn phẳng, rộng vô hạn, đặt song E song, cách nhau 1 khoảng d mặt dẫn, +ρS z = 0  Mặt trên có mật độ điện tích mặt +ρS  Mặt dưới có mật độ điện tích mặt -ρS  Cường độ trường giữa 2 mặt dẫn: Ea S Da ε: hằng số điện môi của chất điện môi  z S z giữa 2 mặt phẳng dẫn điện  Hiệu điện thế giữa 2 mặt dẫn điện: díi 0 V EL  d SS dz d 0 trªn d  Cơ sở lý thuyết trường điện từ 172
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung 1. Khái niệm mặt dẫn, -ρS z = d  Thực tế: Xét 2 mặt phẳng dẫn điện có độ rộng E hữu hạn, có diện tích S lớn hơn nhiều khoảng cách d giữa chúng. mặt dẫn, +ρS z = 0 QS S  Vậy điện dung giữa 2 mặt phẳng dẫn điện là: Q  S C Vd0  Năng lượng: 1 1Sd 2 1 2 1 S 2d 2 W  E2 dv SSS dzdS Sd E 22 2V 200  2  2 d  1 1 1 Q2 W CV2 QV E 200 2 2 C Cơ sở lý thuyết trường điện từ 173
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung ρ = a ρL ρ = b 2. Một số bài toán tính điện dung ε  Cáp đồng trục, dài L: L  Lõi bán kính a  Vỏ bán kính b L b Vab ln  QL2  2  a  C V b QL  ab ln L a  Tụ cầu đồng tâm: Q  Mặt cầu trong, bán kính a ε  Mặt cầu ngoài, bán kính b a Q 11 Q 4  b Vab C 4  ab V 11 ab ab Cơ sở lý thuyết trường điện từ 174
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung Mặt dẫn 2. Một số bài toán tính điện dung diện tích S  Xét 2 mặt dẫn song song, diện tích S, cách nhau d (d << S), tích điện Q  Hiệu điện thế giữa 2 mặt dẫn: d ε2 2 d V0 V 1 V 2 E 1 d 1 E 2 d 2 ε1 d1  Tại mặt phân cách giữa 2 điện môi, vector dịch chuyển điện D theo phương pháp tuyến: DDDNN12  Ta có: DQ Qd1 DQ Qd2 E1 V1 E 1 d 1 EV22 11S 1S 2  2SS  2 QQ 11 C VVV dd 11 12 12 SSCC Cơ sở lý thuyết trường điện từ 12 12 175
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung Mặt dẫn 2. Một số bài toán tính điện dung  Xét trường hợp, mặt phân cách của 2 chất điện môi theo phương pháp S S tuyến với mặt dẫn 1 2 d ε1 ε2  Giả thiết V0 là điện thế giữa 2 mặt dẫn V EE 0 12d  Điện dung C được tính theo công thức: SS CCC 1 1 2 2 d 12 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 176
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung y VI. Điện dung P(x, y, 0) 2. Một số bài toán tính điện dung R2 R  Xét 2 dẫn dẫn thằng dài vô hạn, đặt song (-a, 0, 0) 1 x (a, 0, 0) song với nhau trong không gian 2a z  Điện thế điểm P(x, y, 0) +ρL -ρL LLLRRRR01 02 01 2 VVV 12 ln ln ln 2 RRRR1 2  2 2  02 1  Chọn R01 = R02  2 2 2 2 22 LL()()x a y x a y R1 () x a y  V ln ln 2  (x a )2 y 2 4  ( x a ) 2 y 2 22 R2 () x a y  Cơ sở lý thuyết trường điện từ 177
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung y 2. Một số bài toán tính điện dung P(x, y, 0) 22 L ()x a y R2 V ln 22 4  (x a ) y R 4  (-a, 0, 0) 1 x V1  Giả sử V là mặt đẳng thế, đặt: L 1 Ke1 2a (a, 0, 0) 4  (x a )22 y L ln 22 22 ()x a y Ke L 4  ()x a y 1 22 z +ρL ()x a y -ρL 2 2 K 1 K 1 2 2aK1 x2 20 ax1 y 2 a 2 x a1 y KK 11 K1 1 11  Nhận xét:  Mặt đẳng thế V = V1 không phụ thuộc vào z V1 có dạng một mặt trụ  Giao giữa mặt V1 với mặt x0y là đường tròn: 2aK  Bán kính: b 1 K 1 1 K 1  Tọa độ tâm:ya 0 ; h 1 K 1 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 1 178
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung y 2. Một số bài toán tính điện dung V0 = 0 h  Nhận xét: V1  Giao giữa mặt V1 với mặt x0y là đường tròn: x 2aK b  Bán kính: b 1 K 1 1 K 1  Tọa độ tâm:ya 0 ; h 1 z K1 1 22 a h b 4 V1 L 4 V Ke1 1 Biết h, b, V 22 1 h h b L K ln K1 xác định được a, ρL 1 b L 4 LLL 2  2  C L L chiều dài của trụ tròn mÆt ph¼ng, trô 22 h VK11ln h h b 1 ln cosh theo phương z b b Cơ sở lý thuyết trường điện từ 179
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung y 2. Một số bài toán tính điện dung V0 = 0 h L L 4 LLL 2  2  CmÆt ph¼ng, trô V1 VKln 22 1 h 11h h b cosh x ln b b b h h22 b h h2 h  Nếu b << h: ln ln ln b b b z 2  L CC mÆt ph¼ng, trô mÆt ph¼ng, d©y 2h y ln h b  Tổng quát, ta có công thức tính điện dung giữa 2 dây dẫn thẳng đặt song song: x  L C d©y, d©y 2h ln b z Cơ sở lý thuyết trường điện từ 180
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung y Điện tích đường tương đương 2. Một số bài toán tính điện dung V = 0 Ví dụ 1: Cho đường tròn có tọa độ tâm x = 13, y = 0, bán kính b = 5 là giao của mặt x0y với mặt trụ đẳng Tâm (13, 0) thế V = 100V. V = 100 x a. Tìm vị trí, độ lớn của điện tích đường tương đương h=13 b=5 a h2 b 2 13 2 5 2 12 m h h22 b 13 12 KK 5 25 11b 5 12 4 V1 4 .8,854.10 .100 L 3,46nC / m lnK1 ln 25 b. Tính điện dung giữa mặt đẳng thế V = 0 và điện tích đường tương đương. 2  2 .8,854.10 12 C 34,6 pF / m mÆt ph¼ng, trô h 13 cosh 11 cos h b 5 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 181
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VI. Điện dung y Điện tích đường tương đương 2. Một số bài toán tính điện dung V = 0 c. Biết mặt đẳng thế V1= 50V của điện tích đường. Tìm tọa độ tâm của đường tròn giao giữa mặt trụ Tâm (13, 0) đẳng thế với mặt phẳng x0y V = 100 x b=5 12 h=13 4 V1 4 .8,854.10 .50 9 L 3,46.10 K1 e e 5 Tâm (18; 0), bán kính 13, 42; 2aK 2.12 5 V = 50 bm 1 13,42 K1 1 5 1 K 1 51 h a1 12 18 m K1 1 5 1 Cơ sở lý thuyết trường điện từ 182
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VII. Phƣơng pháp đƣờng sức – đẳng thế Mặt đẳng thế  Các kết quả đã chứng minh:  Mặt dẫn là một mặt đẳng thế B A B’ ΔLtt  Vector cường độ điện trường E và vector mật A’ ΔL độ dịch chuyển điện D luôn vuông góc với N mặt đẳng thế. Mặt dẫn biên  Vector cường độ điện trường E và vector mật độ dịch chuyển điện D vuông mặt dẫn phân cách và có thành phần tiếp tuyến bằng không.  Các đường sức (biểu diễn dòng điện dịch) luôn bắt đầu và kết thúc trên 1 điện tích, do đó đối với các chất điện môi đồng chất (không có các điện tích tự do), các đường sức sẽ bắt đầu và kết thục trên các mặt dẫn phân cách. Cơ sở lý thuyết trường điện từ 183
Chƣơng 5: Vật Dẫn - Điện Môi - Điện Dung VII. Phƣơng pháp đƣờng sức – đẳng thế Mặt đẳng thế  Giả thiết, tổng đường sức trong ống AB là: ΔΨ  Coi ΔLtt là chiều ngang từ A đến B của ống AB B  Độ sâu của ống AB là 1m A B’ ΔLtt A’  Cường độ điện trường E tại điểm giữa của ống ΔLN AB được tính theo công thức 1  Mặt dẫn biên E  Ltt V ΔV: hiệu điện thế giữa 2 mặt đẳng thế kề nhau  Mặt khác, ta có:E LN ΔLN : khoảng cách 2 mặt đẳng thế kề nhau  Do các mặt đẳng thế rất gần nhau (ΔV nhỏ) và khoảng cách giữa 2 đường sức nhỏ (ΔΨ nhỏ) 1  V  cons t, V c ons t Ltt 1    ctons ct ons  LLtt N LVN  Cơ sở lý thuyết trường điện từ 184