›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính

pdf 40 trang haiha333 07/01/2022 4040
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_ii_ma_tran_dinh_thuc_he_p.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính

  1.  CHƯƠNG II: MA TRẬN-ĐỊNH THỨC -HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. MA TRẬN II. ĐỊNH THỨC III. HẠNG MA TRẬN-MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
  2.      BÀI 1
  3.  §1: Ma Trận 1.1 Các khái niệm a) Định nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau: a11 a 12 a 1n a a a 21 22 2n am1 a m 2 a mn Ký hiệu: A = [aij]mn
  4.  §1: Ma Trận Hàng thứ nhất aa11 12 a 1j a 1 n aa a a 21 22 2j 2 n Hàng thứ i aai1 i 2 a ij ij a in mn: gọi là cấp của ma trận aam1 m 2 a mj a mn aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j Cột thứ 2 Cột thứ j
  5.  §1: Ma Trận Ví dụ: 2 8 6 1 0 2 A B 2 9 0 3 1.5 5 23 0 7 2 33 a21 đường chéo chính
  6.  §1: Ma Trận b) Các ma trận đặc biệt. 1. Ma trận không:a ij 0,  i , j . (tất cả các phần tử đều = 0) Ví dụ: 0 0 0 O 0 0 0
  7.  §1: Ma Trận 2. Ma trận vuông: m = n. (số hàng = số cột) Đ/n: Ma trận vuông n hàng, n cột được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp 3 Ví dụ: 0 7 8 1 3 ; 4 20 2 7 5 0 2 Ma trận vuông cấp 2
  8.  §1: Ma Trận A [ a ] a Cho ma trận vuông cấp n ij . Các phân tử ii gọi là các phần tử chéo. Đường thẳng qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính. Ví dụ: 2 8 6 B 2 9 0 0 7 2 33 đường chéo chính
  9.  §1: Ma Trận 3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có: aij 0,  i j . (các phần tử ngoài đường chéo chính = 0) Ví dụ: a11 0 0 2 0 0 0a 0 22 0 4 0 0 0 9 0 0 ann
  10.  §1: Ma Trận 4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có: aii 1,  i 1,2, , n . Ký hiệu: E, En ( hoặc I, In). Ví dụ: 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 E , E 010, E 2 3 n 0 1 0 0 1 0 0 1
  11.  §1: Ma Trận 5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có aij 0,  i j . (tam giác trên) aij 0,  i j . (tam giác dưới) Ví dụ: 12 5 4 20 00 71 00 03 10 00 2 6 08 20 00 0 9 29 1 5 MT tam giác trên MT tam giác dưới
  12.  §1: Ma Trận 6. Ma trận cột:là ma trận có n=1. Ma trận cột có dạng: a11 a 21 : ai  m am1 7. Ma trận hàng: là ma trận có m=1. Ma trận hàng có dạng: a11 a 12 a 1n 
  13.  §1: Ma Trận 8. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: T T A và xác định A =[bij]nm với bij=aji với mọi i,j. (chuyển hàng thành cột, cột thành hàng ) Ví dụ: 1 6 1 2 5 T A A 2 7 6 7 9 5 9 NX: (AT ) T A
  14.  §1: Ma Trận 1.2. Ma trận bằng nhau: Aa b  Babij, , . ijmn ij mn ij ij VD a 1 a1 2 11y b 3 9b0 x30 x 9 y 2 Chú ý: Chỉ xét 2 ma trận bằng nhau nếu chúng cùng cỡ.
  15.  §1: Ma Trận 1.3. Các phép toán trên ma trận: a. Phép cộng hai ma trận: (cùng cỡ) a b ab ijmn ij mn ij ij mn (cộng theo từng vị trí tương ứng) Ví dụ: 12 03 -1 1 35 24 4 2 15 5 3
  16.  §1: Ma Trận Bài tập: Tính 23 3 342 5 7 -1 0 11 8 146 172 420 632 -2 1 2
  17.  §1: Ma Trận Các tính chất: Giả sử A,B,C, θ là các ma trận cùng cấp, khi đó: iAB) B A ii) A  A iiiA)( BC )( AB ) C
  18.  §1: Ma Trận 1.3. Các phép toán trên ma trận: b. Phép nhân một số với một ma trận:  a . a ,   ijmn ij mn (các phần tử của ma trận đều được nhân cho  ) Ví dụ: 3 2 0 0 27 4 5 14 8 10 0 2 1 0 -4 2
  19.  §1: Ma Trận Bài tập: Tính 2 3 -9 3 4 0 12 0 5 1 15 -3
  20.  §1: Ma Trận Các tính chất:  ,  R ,  A , B là hai ma trận cùng cấp, khi đó i) ( AB ) AB ii) (  ) A A  A iii) ( A ) (  ) A iv) 1 A A
  21.  §1: Ma Trận  Chú ý: ABA ( 1) B  Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng 13 65 52 45 13 32
  22.  §1: Ma Trận Bài tập: Tính 2+(-2).1=0 24 13 0 -2 2 37 24 7 -1
  23.  §1: Ma Trận 1.3 Các phép toán trên ma trận: c. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận A mp ; B pn , Khi đó ma trận A mp B pn [ c ij ] mn gọi là tích của hai ma trận A, B. Trong đó: cababij i11 j i 22 j ab ip pj ,  i 1, mj ; 1, n . ai1 ai2 aip Hàng thứ i của ma trận A. Cột thứ j của ma trận B. b1 j b2 j bpj Như vậy c i j = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.
  24.  §1: Ma Trận Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 5 3 21 12 0 14 30 230 4 1 33 32 32 số cột của A= số hàng =của B Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí c12
  25.  §1: Ma Trận Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 3 21 12 135 0 14 30 230 4 1 -4 33 32 32
  26.  §1: Ma Trận Cột 1 Ví dụ: Tính Hàng 1 = 2 4 1 1 4 2 16 2 3 2 3 0 1 0 4 10 16 3 23 23 3 5 1 33
  27.  §1: Ma Trận  Bài tập: Tính 12 33 1 0 4220 51 16 3
  28.  §1: Ma Trận  Chú ý: - Muốn nhân A với B thì số cột của A = số hàng của B. Do đó, việc tồn tại AB không suy ra được việc tồn tại BA. -Nói chung AB BA Ví dụ: 3 3 36 1 2  11  1 2 4 4 48 14 31 19 1 31 14 2 10 5 2 4 0 23 5 4 0 5 2 4 16
  29.  §1: Ma Trận Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp phù hợp để tồn tại ma trận tích i)( A BC )( AB ) C ii) A ( B C ) AB AC iii)( A B ) C AC BC iv) AE EA A ( E là MT đơn vị)
  30.  §1: Ma Trận  Ví dụ: 157100 157 AE 842010 842 A 310001 310 100157 157 EA 010842 842 A 001310 310
  31.  §1: Ma Trận *Chú ý: - Nếu A, B là các ma trân vuông cấp n thì AB và BA tồn tại và cũng là ma trận vuông cấp n. - Kí hiệu: Am = A.A A (m ma trận A) - Đa thức của ma trận: n n 1 Cho đa thức Pxn() ax0 ax 1 a n và ma trận vuông A [ aij ] n Khi đó: n n 1 PAn( ) aA0 aA 1 aE n n
  32.  §1: Ma Trận 2  Bài tập: Cho fx() x 34 x 1 2 3 và ma trận A 0 3 4 0 0 2 Tính f(A) =?
  33.  §1: Ma Trận 2 fA() A 34 A I3 123123 123 100 034034 3034 4010 002002 002 001 0 14 26 0 14 32 0 0 6
  34.  §1: Ma Trận 1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận: 1. Nhân một số khác không với một hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu: A hi (  c i ) B 2. Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu: A hi hc ji (  c j ) B 3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số khác không. Ký h  hc (  c ) hiệu: A i ji j B
  35.  §1: Ma Trận  Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang. -5=-1+(-2)2 112 0 11 20 21 13 0 -1? -5 3 h2 ( 2) h 1  h 4 h 452 1 3 1 h 1 h 0 9 10 -1 4 1 17 3 2 0 8 5 2  Ta làm cho phần dưới  Ta lặp lại như trên cho đường chéo chính = 0. phần ma trận này
  36.  §1: Ma Trận 1120 1120 2113 0153  h2 ( 2) h 1 h3 4 h 1 4521 h 1 h 09101 4 1 1732 0852 11 20 11 2 0 h 9 h 3 2 0 1 53 0 1 53   h4 ( 1) h 3 h4 8 h 2 0 0 -35 26 0 0 35 26 0 0 -35 26 00 0 0
  37.  §1: Ma Trận  Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang: 0 2 1 2 1 3 2 1 3 h1 h 2 2h3 (3) h 1  0 2 1  3 0 5 3 0 5 2 1 3 2 1 3 2h 3 h  3 2 0 2 1 0 2 1 0 -3 1 0 0 -1
  38.  §1: Ma Trận  Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang: 1 2 10 12 10 2 3 0 5 h 2 h 0 -1 2 5 h 7 h  2 1 3 2 4 1 2 0 h3 4 h 1 0 -7 6 0 h 6 h h 3 h 4 2 30 5 7 4 1 0 6 2 7
  39.  §1: Ma Trận 12 1 0 12 1 0 0 12 5 0 12 5 8h4 14 h 3 0 0 8 35 0 0 8 35 0 0 0 194 0 0 14 37
  40.  MỘT SỐ ĐỀ THI 2 1 2 Câu 1. Cho ma trận A và đa thức fx ()3 x 5 x 1 5 3 Tính f ( A ) . Tìm ma trận X thỏa mãn (5A2 AX 3 ) At (Đề 1- K55) 1 3 2 Câu 2. Cho ma trận A và đa thức fx () x 81 x 2 7 Tính f ( A ) . Tìm ma trận Y thỏa mãn YA(82 A 3 ) At (Đề 2- K55) Câu 3. (6/2014) Tìm ma trận X thỏa mãn 13 21 1 33 21 23 (i) X X (ii) X 24 12 3 24 12 01 40