›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương III: Không gian vector (Phần 2)

pdf 54 trang haiha333 07/01/2022 3920
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương III: Không gian vector (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_iii_khong_gian_vector_pha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương III: Không gian vector (Phần 2)

  1. CHƯƠNG 3 1
  2.  §3:Cơ sở và số chiều 3.1. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính. Trong không gian vectơ V, cho hệ vectơ S={v1, v2, ,vn}. + Hệ S gọi là hệ độc lập tuyến tính nếu từ hệ thức cv11 cv 22 cvn n  (c i ) ta suy ra được c1 c 2 cn 0 + Hệ S gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại (c1 ,c 2 , ,cn ) (0 ; 0 ; ; 0 ) sao cho c11 v c 22 v cn v n 
  3. §3:Cơ sở và số chiều  Nhận xét - Một hệ con của một hệ độc lập tuyến tính là một hệ độc lập tuyến tính. - Một hệ vectơ chứa một hệ phụ thuộc tuyến tính là một hệ phụ thuộc tuyến tính. - Một hệ vectơ chứa vectơ không là phụ thuộc tuyến tính.
  4. §3. Cơ sở và số chiều  1.
  5. §3. Cơ sở và số chiều  2.
  6. §3. Cơ sở và số chiều 
  7. §3. Cơ sở và số chiều  Ví dụ 3.
  8. §3. Cơ sở và số chiều 
  9. §3. Cơ sở và số chiều 
  10. §3. Cơ sở và số chiều  Chẳng hạn 1 7,  2 11 ,  3 6 71.(, 2 ) 1114 .(,) 635 .(,) (,) 00
  11. §3. Cơ sở và số chiều  4.
  12. §3. Cơ sở và số chiều 
  13. §3. Cơ sở và số chiều 
  14. §3. Cơ sở và số chiều  → Hệ chỉ có nghiệm tầm thường là (0;0;0). → Hệ độc lập tuyến tính
  15. §3. Cơ sở và số chiều  Ví dụ 5. Trong không gian các hàm số liên tục xét tính độc lập tuyến tính của hệ vectơ: x, sinx, e x . Lời giải: Xét x 1.x  2. sinx  3 .e 0 Cho x=0, ta được 1.0  2 . 0  3 . 10 Cho x , ta được  1. 2 .0  3 .e 0 Cho x , ta được .  .1  .e / 2 0 2 12 2 3 1  2  3 0 Hệ độc lập tuyến tính.
  16. §3. Cơ sở và số chiều 
  17. §3. Cơ sở và số chiều 
  18. §3. Cơ sở và số chiều   Ví dụ 6. Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ vector sau 10 12 X1 ; X 2 00 00 12 12 X3 ; X 4 30 34
  19. §3. Cơ sở và số chiều  10 12 X1 ; X 2 00 00 12 12 X3 ; X 4 Xét đẳng thức: 30 34 11X 22 X  33 X  44 X  10 12 12 12 00 1  2  3  4 00 00 30 34 00
  20. §3. Cơ sở và số chiều  10 12 12 12 00 1  2  3  4 00 00 30 34 00 1  2  3  4 0 11 1 1 22 2  3 2  4 0 02 2 2 3 3  0 A 3 4 00 3 3 44 0 00 0 4
  21. §3. Cơ sở và số chiều   Bài tập 1. Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ vector sau trong không gian tương ứng. aAx) 1 (1, 1,0); x 2 (2,3, 1); x 3 ( 1,4,5) 2 2 2 bBxtttxt) 1 () ;()2 2 t 31;() t xt 3 t 45 t  cC) {,,,} XXXX1 2 3 4 12 11 01 02 X1 ; X 2 ; X 3 ; X 4 10 02 32 24
  22. §3. Cơ sở và số chiều  Bài tập 2: Trong không gian cho hệ vectơ. v1 (1;1; 2), v 2 (3; 2;1), v 3 ( 1;1; m ) Tìm m để hệ trên độc lập tuyến tính.
  23.  §3. Cơ sở và số chiều 3.2. Cơ sở và số chiều. 3.2.1 Định lý. Trong không gian vectơ V, cho hai hệ vectơ S1 và S2. Nếu S1 là hệ sinh và S2 là độc lập tuyến tính thì |S1|≥|S2|.
  24.  §3. Cơ sở và số chiều 3.2.2. Định nghĩa: Hệ vectơ E trong KGVT V là một cơ sở của V nếu nó vừa là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính.
  25.  §3: Cơ sở và số chiều
  26.  §3: Cơ sở và số chiều
  27.  §3: Cơ sở và số chiều VD. Hệ E={e1=(1;0;0), e2=(0;1;0), e3=(0;0;1)} là cơ sở cua không gian R3. Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của không gian R3.
  28.  §3: Cơ sở và số chiều
  29.  §3: Cơ sở và số chiều
  30.  §3: Cơ sở và số chiều 3.2.3. Định lý. Nếu B1={v1, v2, , vm} và B2={u1, u2, , un} là hai cơ sở của KGVT V thì m=n. (tức là mọi cơ sở của V có cùng số phần tử) C/m: 3.2.4 Định nghĩa. Nếu V có một cơ sở gồm n phần tử thì V gọi là không gian n chiều, kí hiệu là dimV=n Khi đó, ta nói V là không gian hữu hạn chiều. Ngược lại, ta nói V là không gian vô hạn chiều.
  31.  §3: Cơ sở và số chiều
  32.  §3: Cơ sở và số chiều 3.2.5. Cơ sở chính tắc của một số không gian n (i)R Cơ sở chính tắc là E={e1, e2, , en} với e1 (;100 ; ; ; 0 ) e2 (010 ; ; ; ; 0 )  en (00 ; ; ; 01 ;) dim Rn = n
  33.  §3: Cơ sở và số chiều 3.2.5. Cơ sở chính tắc của một số không gian (ii) Không gian các đa thức bậc không quá n: Pn[x] Cơ sở chính tắc là E={1, x, x2, , xn} dim Pn[x] = n+1
  34.  §3: Cơ sở và số chiều 3.2.5. Cơ sở chính tắc của một số không gian (iii) Không gian M(m,n) các ma trận cỡ mxn Cơ sở chính tắc là E={Akl| 1≤k ≤ m,1 ≤ l ≤ n} A akl với kl ij xác định bởi kl 1 khi (i=k) (j=l) aij 0 khi (i k)  (j l) dim M(m,n) = m.n
  35.  §3: Cơ sở và số chiều 3.2.6. Định lý: Cho V là không gian vecto n chiều. Khi đó, B={v1, v2, , vn} là cơ sở nếu B độc lập tuyến tính hoặc B là hệ sinh. Ví dụ: Chứng minh rằng hệ vecto B eee 1 , 2 , 3  với e1 (1,1,1); e 2 (1,1,0); e 3 (1,0,1) là cơ sở của 3
  36.  §3: Cơ sở và số chiều 3.2.7. Định lý. Từ một hệ độc lập tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, ta luôn có thể bổ sung các vec tơ để được một cơ sở. C/m: G/s S là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều V. Nếu S không phải là một cơ sở của V, tức là span(S)≠V. Khi đó, lấy vV\span(S) ta sẽ có S’=SU{v} là một hệ độc lập tuyến tính. Làm tương tự cho hệ S’. Vì V hữu hạn chiều nên quá trình trên là hữu hạn.
  37.  §3: Cơ sở và số chiều 3.3. Tọa độ của một vecto đối với một cơ sở. 3.3.1. Định lý và định nghĩa. Cho B={v1, v2, , vn} là một cơ sở của KGVT V. Với mọi vec tơ x của V, ta luôn có biểu diễn duy nhất: x xv11 xv 22 xvn n Bộ số (x1, x2, , xn) gọi là tọa độ của x đối với B Kí hiệu: (x)B= (x1, x2, , xn)
  38.  §6: Cơ sở và số chiều Ma trận tọa độ của x đối với cơ sở B là: x1 x x 2 B  xn
  39.  §6: Cơ sở và số chiều VD1. Trong không gian 3 ,cho các vectơ v1 (2;3;1), v 2 (1;2;1), v 3 (1;1;1), u (9;14;6) a) Tìm tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc E. b) Tìm tọa độ của u đối với cơ sở B {v1 ,v 2 ,v 3 } u (9;14;6) Đ/s: E u (3;2;1) B
  40.  §6: Cơ sở và số chiều 3.3.2. Công thức đổi tọa độ4 khi đổi cơ sở a.Bài toán: Trong kgvt V cho hai cơ sở B và B’ và vecto v ∈V. Tìm mối quan hệ giữa [v] vàB [v]B/ b. Ma trận chuyển cơ sở. G/s B’={u1, u2, , un}. Ma trận C  [u 1 ] B [u 2 ] B  [u nB ]  gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’.
  41.  §6: Cơ sở và số chiều ĐL. Nếu C là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’ thì C là mtr khả nghịch và C-1 là mtr chuyển cơ sở từ B’ sang B. c. Công thức Nếu C là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’ thì 1 v C v v/ C v  B  B/ hay  B  B
  42.  §6: Cơ sở và số chiều VD. Trong không gian 4 ,cho các vectơ v1 (2;3;1), v 2 (1;2;1), v 3 (1;1;1), u (9;14;6) a)Xác định mtr chuyển cơ sở từ E sang B {v1 ,v 2 ,v 3 } b) Xác định mtr chuyển cơ sở từ B sang E u C u c) Kiểm tra  E  B
  43.  §6: Cơ sở và số chiều Bài tập: Trong KGVT 3 cho các vector f1 (1,2,3), f 2 ( 1,1,0), f 3 (2,1,1), x (4,6, 3) 3 CMR: hệ vector F {, fff 1 2 , 3 } là cơ sở của , tìm tọa độ của vector x đối với cơ sở F.
  44.  §6: Cơ sở và số chiều Bài tập: Trong KGVT 3 cho các vector f1 (1,2,3), f 2 ( 1,1,0), fm 3 (2,1, ) 3 Tìm m để hệ vector F {, fff 1 2 , 3 } là cơ sở của
  45.  §6: Cơ sở và số chiều Bài tập: Trong KGVT 3 cho các vector f1 (1,0,2), f 2 ( 1,1,0), f 3 (0,1,1), xm (4,7, ) Tìm m để x là tổ hợp tuyến tính của hệ vector F {, fff1 2 , 3 }
  46.  §4: Cơ sở của không gian con 4.1. Hạng của hệ vectơ 4.1.1. Định nghĩa. Cho S={v1, v2, , vm} trong không gian vecto V. Ta gọi hạng của S, kí hiệu r(S) là số tối đa các vecto độc lập tuyến tính của hệ đó. * NX: +) r(S) ≤ m +) r(S) = m S độc lập tuyến tính
  47.  §6: Cơ sở của không gian con 4.1.2. Cách tìm hạng của hệ vectơ trong không gian hữu hạn chiều Cho S={v1, v2, , vm} trong không gian vecto V. Giả sử B là một cơ sở của V và ta có (v)i B (a i1 ,a i 2 , ,a in ),  i 1 ,m Đặt A=[aij]. Khi đó, ta có r(S)= r(A)
  48.  §4: Cơ sở của không gian con Ví dụ 1. Trong không gian R4, tìm hạng của hệ vecto sau: { v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) } Ví dụ 2. Trong không gian P3[x], tìm hạng của hệ vecto sau: 2 3 2 3 { p1=1+2x - 3x +x , p2 =2- x +x - x , 2 2 3 p3=3+x - 2x , p4=1+x +x +x }
  49.  §4: Cơ sở của không gian con 4.1.3. Không gian con sinh bởi hệ vectơ a.Định lý. Số chiều của không gian con W sinh bởi hệ vectơ S bằng hạng của hệ vectơ đó. dimW = dimspan(S) = r(S)
  50.  §4: Cơ sở của không gian con b. Bài toán xác định số chiều và một cơ sở của không gian sinh bởi hệ vectơ Cho hệ vecto S và W=span(S). + dimW = r(S)=r. + Tìm r vec tơ trong hệ S sao cho chúng độc lập tuyến tính. Khi đó, r vec tơ đó lập thành một cơ sở của W.
  51.  §4: Cơ sở của không gian con Ví dụ 1. Trong không gian R4, tìm số chiều và một cơ sở của không gian con W= span{v1, v2, v3} với v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) Ví dụ 2. Trong không gian P3[x], tìm số chiều và một cơ sở của không gian con W=span{p1, p2, p3, p4} với 2 3 2 3 2 p1=1+2x - 3x +x , p2 =2- x +x - x , p3=3+x - 2x , 2 3 p4=1+x +x +x
  52.  Một số đề thi Câu 1.(K51) (i) Trong không gian P2[x], cho các vectơ 2 2 2 v123 1 xv , 2, xv 3 xxv 2, 4 11611 xx Chứng minh rằng B={v1,v2,v3} lập thành một cơ sở của P2[x]. Xác định tọa độ của vecto v đối với cơ sở B. (Đề III) (ii) Câu hỏi tương tự với 2 2 2 v12 1, xvxxv 2, 3 2 xxv , 4 539 xx (Đề IV)
  53.  Một số đề thi Câu 2.(K54) (i) Trong không gian P2[x], cho các vectơ 2 2 v1 1 xxv ,3 2 xx , 2 2 v3 2 xxv , 4 254 xx Gọi V1=Span{v1,v2}, V2=Span{v3,v4}. Xác định một cơ sở của V V 1 2 (Đề I) (ii) Câu hỏi tương tự với 2 2 v1 1 xxv ,2 2 xx , 2 2 v3 42 xxv ,1 4 xx 2 (Đề II)
  54.  Một số đề thi Câu 3. Trong không gian P3[x], cho các vectơ 2 3 3 v1 1 xxxv 2 3, 2 2 xx 2, 23 23 v3 32 xxv 4, 4 5 xxx 2 7 Đặt V1=span(v1,v2), V2 =span(v3,v4). a) Tìm cơ sở và số chiều của V1+V2. 2 3 b) Vectơ v=1+x+x +x có thuộc V1+V2 hay không? (Hè 2009)