Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - Huỳnh Thái Hoàng

98 trang cucquyet12 7791

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - Huỳnh Thái Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_2_mo_hinh_toan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - Huỳnh Thái Hoàng

Môn học LÝLÝ THUYẾTTHUYẾT ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN TỰTỰ ĐỘNGĐỘNG Giảng viên: Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@dee.hcmut.edu.vn 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
Chương 2 MÔMÔ HÌNHHÌNH TOÁNTOÁN HỌCHỌC HỆHỆ THỐNGTHỐNG ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN LIÊNLIÊN TỤCTỤC 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
Nội dung chương 2 Khái niệm về mô hình toán học Hàm truyền Phép biến đổi Laplace Định nghĩa hàm truyền Hàm truyền của một số phần tử Hàm truyền của hệ thống tự động Đại số sơ đồ khối Sơ đồ dòng tín hiệu Phương trình trạng thái (PTTT) Khái niệm về PTTT Cách thành lập PTTT từ phương trình vi phân Quan hệ giữa PTTT và hàm truyền 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
Khái niệm về mô hình toán học Hệ thống điều khiển thực tế rất đa dạng và có bản chất vật lý khác nhau. Cần có cơ sở chung để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác nhau. Cơ sở đó chính là toán học. Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục có thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: r t ( ) Hệ thống tuyến tính c(t) bất biến liên tục d nc(t) d n−1c(t) dc(t) d mr(t) d m−1r(t) dr(t) a0 n + a1 n−1 +L+ an−1 + anc(t) = b0 m + b1 m−1 + + bm−1 + bmr(t) dt dt dt dt dt L dt n: bậc của hệ thống, hệ thống hợp thức nếu n≥m. ai, bi: thông số của hệ thống 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân Thí dụ 2.1: Đặc tính động học tốc độ xe ô tô dv(t) M + Bv(t) = f (t) dt M: khối lượng xe, B hệ số ma sát: thông số của hệ thống f(t): lực kéo của động cơ: tín hiệu vào v(t): tốc độ xe: tín hiệu ra 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân Thí dụ 2.2: Đặc tính động học hệ thống giảm chấn của xe d 2 y(t) dy(t) M + B + Ky(t) = f (t) dt 2 dt M: khối lượng tác động lên bánh xe, B hệ số ma sát, K độ cứng lò xo f(t): lực do sốc: tín hiệu vào y(t): dịch chuyển của thân xe: tín hiệu ra 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân Thí dụ 2.3: Đặc tính động học thang máy d 2 y(t) dy(t) M + B + M g = Kτ (t) + M g T dt 2 dt T Đ MT: khối lượng buồng thang, MĐ: khối lượng đối trọng B hệ số ma sát, K hệ số tỉ lệ τ(t): moment kéo của động cơ: tín hiệu vào y(t): vị trí buồng thang: tín hiệu ra 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
Hạn chế của mô hình toán dưới dạng phương trình vi phân Phương trình vi phân bậc n (n>2) rất khó giải d nc(t) d n−1c(t) dc(t) d mr(t) d m−1r(t) dr(t) a + a + + a + a c(t) = b + b + + b + b r(t) 0 dt n 1 dt n−1 L n−1 dt n 0 dt m 1 dt m−1 L m−1 dt m Phân tích hệ thống dựa vào mô hình toán là phương trình vi phân gặp rất nhiều khó khăn (một thí dụ đơn giản là biết tín hiệu vào, cần tính đáp ứng của hệ thống, nếu giải phương trình vi phân thì không đơn giản chút nào!!!.) Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân hầu như không thể thực hiện được trong trường hợp tổng quát. ⇒ Cần các dạng mô tả toán học khác giúp phân tích và thiết kế hệ thống tự động dể dàng hơn. Hàm truyền Phương trình trạng thái 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
Phép biến đổi Laplace Định nghĩa: Cho f(t) là hàm xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là: +∞ L {}f (t) = F(s) = ∫ f (t).e−st dt 0 Trong đó: − s : biến phức (biến Laplace) − L : toán tử biến đổi Laplace. − F(s) : biến đổi Laplace của hàm f(t). Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa trên hội tụ. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
Phép biến đổi Laplace (tt) Tính chất: Cho f(t) và g(t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là L {}f (t) = F(s) và L {g(t)}= G(s) Tính tuyến tính L {a. f (t) + b.g(t)}= a.F(s) + b.G(s) −Ts Định lý chậm trể L {f (t − T )}= e .F(s) df (t) + Ảnh của đạo hàm L   = sF(s) − f (0 )  dt   t  F(s) Ảnh của tích phân L ∫ f (τ )dτ  = 0  s Định lý giá trị cuối lim f (t) = lim sF(s) t →∞ s→0 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
Phép biến đổi Laplace (tt) Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản: Hàm nấc đơn vị (step): tín hiệu vào hệ thống điều khiển ổn định hóa u(t) 1 1 nếu t ≥ 0 1 u(t) =  L {}u(t) = 0 nếu t < 0 s 0 t Hàm dirac: thường dùng để mô tả nhiễu 0 nếu t ≠ 0 δ(t) δ (t) =  1 ∞ nếu t = 0 L {δ (t)}=1 +∞ ∫δ (t)dt = 1 0 t −∞ 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
Phép biến đổi Laplace (tt) Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản (tt): Hàm dốc đơn vị (Ramp): tín hiệu vào hệ thống điều khiển theo dõi r(t) 1 t nếu t ≥ 0 1 t.u(t) = r(t) = tu(t) =  L {}2 0 nếu t < 0 s 0 1 t Hàm mũ f(t) −at −at e nếu t ≥ 0 −at 1 f (t) = e .u(t) =  1 L {e .u(t)}= 0 nếu t < 0 s + a 0 t 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
Phép biến đổi Laplace (tt) Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản (tt): Hàm sin: r(t) sinωt nếu t ≥ 0 f (t) = (sinωt).u(t) =  0 nếu t < 0 0 t ω L {}(sinωt)u(t) = s 2 + ω 2 Bảng biến đổi Laplace: SV cần học thuộc biến đổi Laplace của các hàm cơ bản. Các hàm khác có thể tra BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE ở phụ lục sách Lý thuyết Điều khiển tự động. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
Định nghĩa hàm truyền Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân: r t ( ) Hệ thống tuyến tính c(t) bất biến liên tục d nc(t) d n−1c(t) dc(t) a0 n + a1 n−1 +L+ an−1 + anc(t) = dt dt dt d mr(t) d m−1r(t) dr(t) b0 m + b1 m−1 +L+ bm−1 + bmr(t) dt dt dt Biến đổi Laplace 2 vế phương trình trên, để ý tính chất ảnh của đạo hàm, giả thiết điều kiện đầu bằng 0, ta được: n n−1 a0s C(s) + a1s C(s) +L+ an−1sC(s) + anC(s) = m m−1 b0s R(s) + b1s R(s) +L+ bm−1sR(s) + bmR(s) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
Định nghĩa hàm truyền (tt) Hàm truyền của hệ thống: m m−1 C(s) b0s + b1s +L+ bm−1s + bm G(s) = = n n−1 R(s) a0s + a1s +L+ an−1s + an Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0. Chú ý: Mặc dù hàm truyền được định nghĩa là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào nhưng hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống. Do đó có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Hàm truyền của các phần tử Cách tìm hàm truyền Bước 1: Thành lập phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra của phần tử bằng cách: Áp dụng các định luật Kirchoff, quan hệ dòng–áp trên điện trở, tụ điện, cuộn cảm, đối với các phần tử điện. Áp dụng các định luật Newton, quan hệ giữa lực ma sát và vận tốc, quan hệ giữa lực và biến dạng của lò xo, đối với các phần tử cơ khí. Áp dụng các định luật truyền nhiệt, định luật bảo toàn năng lượng, đối với các phần tử nhiệt. Bước 2: Biến đổi Laplace hai vế phương trình vi phân vừa thành lập ở bước 1, ta được hàm truyền cần tìm. Chú ý: đối với các mạch điện có thể tìm hàm truyền theo phương pháp tổng trở phức. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh) Các khâu hiệu chỉnh thụ động Mạch tích phân bậc 1: R 1 C G(s) = RCs +1 C RCs Mạch vi phân bậc 1: R G(s) = RCs +1 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh) Các khâu hiệu chỉnh thụ động (tt) C Mạch sớm pha: R αTs +1 1 R G(s) = K 2 C Ts +1 R R R C R + R K = 2 T = 2 1 α = 1 2 >1 C R + R 1 2 R1 + R2 R2 R Mạch trể pha: 2 R αTs +1 1 G(s) = K C Ts +1 C R α = 2 <1 KC =1 T = (R1 + R2 )C R1 + R2 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh) Các khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu tỉ lệ P: (Proportional) G(s) = KP R2 KP = − R1 Khâu tích phân tỉ lệ PI: (Proportional Integral) K G(s) = K + I P s R2 1 KP = − KI = − R1 R1C 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh) Các khâu hiệu chỉnh tích cực (tt) Khâu vi phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative) G(s) = K P + KDs R2 K P = − KD = −R2C R1 Khâu vi tích phân tỉ lệ PID: (Proportional Integral Derivative) K G(s) = K + I + K s P s D 1 R1C1 + R2C2 K = − KI = − P R C R1C2 1 2 K D = −R2C1 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp Hàm truyền động cơ DC − Lư : điện cảm phần ứng − ω : tốc độ động cơ − Rư : điện trở phần ứng − Mt : moment tải − Uư : điện áp phần ứng − B : hệ số ma sát − Eư : sức phản điện động − J : moment quán tính 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt) Hàm truyền động cơ DC (tt) Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch điện phần ứng: di (t) U (t) = i (t).R + L ư + E (t) (1) ư ư ư ư dt ư (2) trong đó: Eư (t) = KΦω(t) K : hệ số Φ : từ thông kích từ Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay của trục đ.cơ: dω(t) M (t) = M (t) + Bω(t) + J (3) t dt (4) trong đó: M (t) = KΦiư (t) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt) Hàm truyền động cơ DC (tt) Biến đổi Laplace (1), (2), (3), (4) ta được: U ư (s) = Iư (s).Rư + Lư sI ư (s) + Eư (s) (5) (6) Eư (s) = KΦω(s) (7) M (s) = M t (s) + Bω(s) + Jsω(s) (8) M (s) = KΦiư (s) Đặt: Lư Tư = hằng số thời gian điện từ của động cơ Rư J T = hằng số thời gian điện cơ của động cơ c B 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt) Hàm truyền động cơ DC (tt) (5) và (7) suy ra: U ư (s) − Eư (s) Iư (s) = (5’) Rư (1+ Tư s) M (s) − M (s) ω(s) = t (7’) B(1+ Tc s) Từ (5’), (6), (7’) và (8) ta có sơ đồ khối động cơ DC: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt) Hàm truyền lò nhiệt r(t) c(t) Công suất điện Nhiệt độ lò cấp cho lò 100% 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt) Xe ô tô M: khối lượng xe B hệ số ma sát f(t): lực kéo v(t): tốc độ xe dv(t) Phương trình vi phân: M + Bv(t) = f (t) dt V (s) 1 K Hàm truyền: G(s) = = ⇔ G(s) = F(s) Ms + B Ts +1 1 M với K = T = B B 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt) Hệ thống giảm xóc của ô tô, xe máy M: khối lượng tác động lên bánh xe, B hệ số ma sát, K độ cứng lò xo f(t): lực do xóc y(t): dịch chuyển của thân xe d 2 y(t) dy(t) Phương trình vi phân: M + B + Ky(t) = f (t) dt 2 dt Y(s) 1 Hàm truyền: G(s) = = F(s) Ms2 + Bs + K 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 30
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt) Thang máy MT: khối lượng buồng thang, MĐ: khối lượng đối trọng B hệ số ma sát, K hệ số tỉ lệ τ(t): moment kéo của động cơ y(t): vị trí buồng thang d 2 y(t) dy(t) Phương trình vi phân: M + B + M g = Kτ (t) + M g T dt 2 dt T Đ Nếu khối lượng đối trọng d 2 y(t) dy(t) M + B = Kτ (t) bằng khối lượng buồng thang: T dt 2 dt Y (s) K Hàm truyền: G(s) = = 2 τ (s) MT s + Bs Nếu khối lượng buồng thang không bằng khối lượng đối trọng? 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31
Hàm truyền của cảm biến c(t) cht(t) Cảm biến Tín hiệu cht(t) có là tín hiệu tỉ lệ với c(t), do đó hàm truyền của cảm biến thường là khâu tỉ lệ: H (s) = K ht TD: Giả sử nhiệt độ lò thay đổi trong tầm c(t)=0÷5000C, nếu cảm biến nhiệt biến đổi sự thay đổi nhiệt độ thành sự thay đổi điện áp trong tầm cht(t) 0÷5V, thì hàm truyền của cảm biến là: H (s) = Kht = 0.01 Nếu cảm biến có trể, hàm truyền cảm biến là khâu quán tính bậc 1: K H (s) = ht 1+ Tht s 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32
Đại số sơ đồ khối Sơ đồ khối Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống. Sơ đồ khối có 3 thành phần chính là Khối chức năng: tín hiệu ra bằng hàm truyền nhân tín hiệu vào Bộ tổng: tín hiệu ra bằng tổng đại số các tín hiệu vào Điểm rẽ nhánh: tất cả tín hiệu tại điểm rẽ nhánh đều bằng nhau bộ tổng khối chức năng điểm rẽ nhánh 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34
Đại số sơ đồ khối Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt) Hệ thống nối tiếp n Gnt (s) = ∏Gi (s) i=1 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35
Đại số sơ đồ khối Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt) Hệ thống song song n Gss (s) = ∑Gi (s) i=1 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36
Đại số sơ đồ khối Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt) Hệ thống hồi tiếp âm Hệ thống hồi tiếp âm đơn vị G(s) G(s) G (s) = G (s) = k 1+ G(s).H (s) k 1+ G(s) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37
Đại số sơ đồ khối Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt) Hệ thống hồi tiếp dương Hệ thống hồi tiếp dương đơn vị G(s) G(s) G (s) = G (s) = k 1− G(s).H (s) k 1− G(s) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38
Đại số sơ đồ khối Hàm truyền của hệ thống hồi tiếp nhiều vòng Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực hiện các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối để làm xuất hiện các dạng ghép nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp 1 vòng) và tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ trong ra ngoài. Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa các tín hiệu vào và tín hiệu ra như nhau. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39
Đại số sơ đồ khối Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước ra phía sau 1 khối: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40
Đại số sơ đồ khối Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước 1 khối: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 41
Đại số sơ đồ khối Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau 1 khối: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 42
Đại số sơ đồ khối Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước 1 khối: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 43
Đại số sơ đồ khối Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối Chuyển vị trí hai bộ tổng: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 44
Đại số sơ đồ khối Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối Tách 1 bộ tổng thành 2 bộ tổng : 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 45
Đại số sơ đồ khối Chú ý Không được chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng : Không được chuyển vị trí 2 bộ tổng khi giữa 2 bộ tổng có điểm rẽ nhánh : 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 46
Đại số sơ đồ khối Thí dụ 1 Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 47
Đại số sơ đồ khối Bài giải thí dụ 1: Biến đổi tương đương sơ đồ khối Chuyển vị trí hai bộ tổng c và d, Rút gọn GA(s)=[G3(s)//G4(s)] GA (s) = G3(s) − G4 (s) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 48
Đại số sơ đồ khối Bài giải thí dụ 1: Biến đổi tương đương sơ đồ khối GB(s)=[G1(s) // hàm truyền đơn vị ] , GC (s)= vòng hồi tiếp[G2(s),GA(s)]: GB (s) =1+ G1(s) G2 (s) G2 (s) GC (s) = = 1+ G2 (s).GA (s) 1+ G2 (s).[G3(s) − G4 (s)] Hàm truyền tương đương của hệ thống: Gtd (s) = GB (s).GC (s) [1+ G1(s)].G2 (s) Gtd (s) = 1+ G2 (s).[G3(s) − G4 (s)] 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 49
Đại số sơ đồ khối Thí dụ 2 Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 50
Đại số sơ đồ khối Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối Chuyển vị trí hai bộ tổng d vàe Chuyển điểm rẽ nhánh f ra sau G2(s) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 51
Đại số sơ đồ khối Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối GB(s) = vòng hồi tiếp[G2(s), H2(s)] GC(s) = [GA(s)// hàm truyền đơn vị ] 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 52
Đại số sơ đồ khối Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối GD(s) = [GB (s) nối tiếp GC(s) nối tiếp G3(s)] GE(s) = vòng hồi tiếp [GD(s), H3(s)] 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 53
Đại số sơ đồ khối Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối Tính toán cụ thể: H1 * GA = G2 G2 * GB = 1+ G2H2 H1 G2 + H1 * GC =1+ GA =1+ = G2 G2  G2  G2 + H1  G2G3 + G3H1 * GD = GB.GC .G3 =   G3 = 1+ G2H 2  G2  1+ G2H 2 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 54
Đại số sơ đồ khối Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối Tính toán cụ thể (tt): G2G3 + G3H1 G 1+ G H * G = D = 2 2 E G G + G H 1+ GDH3 2 3 3 1 1+ H3 1+ G2H2 G2G3 + G3H1 ⇒ GE = 1+ G2H 2 + G2G3H3 + G3H1H3 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 55
Đại số sơ đồ khối Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối Hàm truyền tương đương của hệ thống: G G + G H G . 2 3 3 1 G G 1 1+ G H + G G H + G H H * G = 1 E = 2 2 2 3 3 3 1 3 td G G + G H 1+ G1GE 2 3 3 1 1+ G1. 1+ G2H2 + G2G3H3 + G3H1H3 G G G + G G H ⇒ G = 1 2 3 1 3 1 1+ G2H 2 + G2G3H3 + G3H1H3 + G1G2G3 + G1G3H1 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 56
Đại số sơ đồ khối Thí dụ 3 Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 57
Đại số sơ đồ khối Hướng dẫn giải thí dụ 3: Biến đổi tương đương sơ đồ khối Chuyển bộ tổng e ra trước G1(s), sau đó đổi vị trí 2 bộ tổng d vàe Chuyển điểm rẽ nhánh f ra sau G2(s) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 58
Đại số sơ đồ khối Một số nhận xét Phương pháp biến đổi sơ đồ khối là một phương pháp đơn giản. Khuyết điểm của phương pháp biến đổi sơ đồ khối là không mang tính hệ thống, mỗi sơ đồ cụ thể có thể có nhiều cách biến đổi khác nhau, tùy theo trực giác của người giải bài toán. Khi tính hàm truyền tương đương ta phải thực hiện nhiều phép tính trên các phân thức đại số, đối với các hệ thống phức tạp các phép tính này hay bị nhầm lẫn. ⇒ Phương pháp biến đổi tương đương sơ đồ khối chỉ thích hợp để tìm hàm truyền tương đương của các hệ thống đơn giản. Đối với các hệ thống phức tạp ta có một phương pháp hiệu quả hơn, đó là phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu sẽ được đề cập đến ở mục tiếp theo 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 60
Sơ đồ dòng tín hiệu Định nghĩa Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh. Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống. Nhánh: là đường nối trực tiếp 2 nút, trên mỗi nhánh có ghi mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở 2 nút. Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng ra. Nút đích: là nút chỉ có các nhánh hướng vào. Nút hỗn hợp: là nút có cả các nhánh ra và các nhánh vào. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 61
Sơ đồ dòng tín hiệu Định nghĩa (tt) Đường tiến: là đường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu đi từ nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần. Độ lợi của một đường tiến là tích của các hàm truyền của các nhánh trên đường tiến đó. Vòng kín: là đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần. Độ lợi của một vòng kín tích của các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín đó. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 62
Sơ đồ dòng tín hiệu Công thức Mason Hàm truyền tương đương từ một nút nguồn đến một nút đích của hệ thống tự động biểu diễn bằng sơ đồ dòng tín hiệu được cho bởi: 1 G = ∑∆k Pk ∆ k 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 63
Sơ đồ dòng tín hiệu Thí dụ 1 Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ dòng tín hiệu như sau: Giải: Đường tiến: Vòng kín: L = −G H P1 = G1G2G3G4G5 1 4 1 L = −G G H P2 = G1G6G4G5 2 2 7 2 L3 = −G6G4G5H2 P3 = G1G2G7 L4 = −G2G3G4G5H 2 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 64
Sơ đồ dòng tín hiệu Thí dụ 1 (tt) Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ =1− (L1 + L2 + L3 + L4 ) + L1L2 Các định thức con: ∆1 = 1 ∆2 =1 ∆3 = 1− L1 Hàm truyền tương đương của hệ thống: 1 G = (P∆ + P ∆ + P ∆ ) td ∆ 1 1 2 2 3 3 G1G2G3G4G5 + G1G6G4G5 + G1G2G7 (1+ G4H1) Gtd = 1+ G4H1 + G2G7 H 2 + G6G4G5H 2 + G2G3G4G5H 2 + G4H1G2G7 H 2 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65
Sơ đồ dòng tín hiệu Thí dụ 2 Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau: Giải: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66
Sơ đồ dòng tín hiệu Thí dụ 2 (tt) Đường tiến: Vòng kín: L = −G H P1 = G1G2G3 1 2 2 L2 = −G2G3H3 P2 = G1H1G3 L3 = −G1G2G3 L4 = −G3H1H3 L5 = −G1G3H1 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67
Sơ đồ dòng tín hiệu Thí dụ 2 (tt) Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ =1− (L1 + L2 + L3 + L4 + L5 ) Các định thức con: ∆1 = 1 ∆2 =1 Hàm truyền tương đương của hệ thống: 1 G = (P∆ + P ∆ ) td ∆ 1 1 2 2 G1G2G3 + G1G3H1 Gtd = 1+ G2H2 + G2G3H3 + G1G2G3 + G3H1H3 + G1G3H1 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68
Sơ đồ dòng tín hiệu Thí dụ 3 Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau: Giải: 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69
Sơ đồ dòng tín hiệu Thí dụ 3 (tt) Đường tiến: Vòng kín: L = −G H P1 = G1G2G3 1 1 2 L2 = −G1G2H1 P2 = G4 L3 = −G1G2G3 L4 = −G2G3H3 L5 = −G4 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70
Sơ đồ dòng tín hiệu Thí dụ 3 (tt) Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ =1− (L1 + L2 + L3 + L4 + L5 ) + (L1L4 + L1L5 + L2L5 + L4L5 ) − L1L4L5 Các định thức con: ∆1 = 1 ∆2 =1− (L1 + L2 + L4 ) + (L1L4 ) Hàm truyền tương đương của hệ thống: 1 G = (P∆ + P ∆ ) td ∆ 1 1 2 2 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 71
Trạng thái của hệ thống Trạng thái: Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t > t0, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t ≥ t0. Hệ thống bậc n có n biến trạng thái. Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hoặc không phải là biến vật lý. Vector trạng thái: n biến trạng thái hợp thành vector cột: T x = [x1 x2 K xn ] gọi là vevtor trạng thái. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 73
Phương trình trạng thái Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất, (hệ phương trình trạng thái) x&(t) = Ax(t) + Br(t) (*)  trong đó c(t) = Cx(t) a11 a12 K a1n  b1  a a a  b   21 22 K 2n   2  A = B = C = [c1 c2 K cn ]  M M M   M      an1 an2 K ann  bn  Chú ý: Tùy theo cách đặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể được mô tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau. Nếu A là ma trận thường, ta gọi (*) là phương trình trạng thái ở dạng thường, nếu A là ma trận chéo, ta gọi (*) là phương trình trạng thái ở dạng chính tắc. 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 74
Vài thí dụ về phương trình trạng thái Thí dụ 1: Hệ thống giảm xóc của ô tô, xe máy Phương trình vi phân: d 2 y(t) dy(t) M + B + Ky(t) = f (t) dt 2 dt (*) Đặt: x1(t) = x2 (t) x1(t) = y(t)  &  ⇒  K B 1 x2 (t) = y(t) x&2 (t) = − x1(t) − x2 (t) + f (t)  &  M M M  0 1   0   x&1(t) x1(t) =  K B . +  1  f (t) x (t) − − x (t) ⇔  &2   M M   2  M   x1(t) y(t) = []1 0   x2 (t)  0 1   0  x&(t) = Ax(t) + Bf (t) A =  K B  B =  1  C = [1 0] ⇔  − −    y(t) = Dx(t)  M M  M  9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75
Vài thí dụ về phương trình trạng thái Thí dụ 2: Động cơ DC − Lư : điện cảm phần ứng − ω : tốc độ động cơ − Rư : điện trở phần ứng − Mt : moment tải − Uư : điện áp phần ứng − B : hệ số ma sát − Eư : sức phản điện động − J : moment quán tính 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76
Vài thí dụ về phương trình trạng thái Thí dụ 2: Động cơ DC (tt) Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch điện phần ứng: di (t) U (t) = i (t).R + L ư + E (t) (1) ư ư ư ư dt ư (2) trong đó: Eư (t) = KΦω(t) K : hệ số Φ : từ thông kích từ Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay của trục đ.cơ (để đơn giản giả sử moment tải bằng 0): dω(t) M (t) = Bω(t) + J (3) dt (4) trong đó: M (t) = KΦiư (t) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 77
Vài thí dụ về phương trình trạng thái Thí dụ 2: Động cơ DC (tt) diư (t) Rư KΦ 1 (1) & (2) ⇒ = − iư (t) − ω(t) + U ư (t) (5) dt Lư Lư Lư dω(t) KΦ B (3) & (4) ⇒ = i (t) − ω(t) (6) dt J ư J x1(t) = iư (t) Đặt:  x2 (t) = ω(t)  Rư KΦ 1 x&1(t) = − x1(t) − x2 (t) + Uư (t)  L L L (5) & (6) ⇒  ư ư ư  KΦ B x&2 (t) = x1(t) − x2 (t)  J J 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 78
Vài thí dụ về phương trình trạng thái Thí dụ 2: Động cơ DC (tt)  R KΦ − ư −  1   x (t)   x (t) &1 Lư Lư 1     =    + Lư U ư (t) x&2 (t) KΦ B x2 (t)    −   0  ⇔  J J   x1(t) ω(t) = []0 1   x2 (t) x&(t) = Ax(t) + BU u (t) ⇔  ω(t) = Dx(t)  R KΦ − ư −  1   L L  trong đó: A = ư ư   C = [0 1]   B = Lư  KΦ B    −  0   J J  9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79
Cách thành lập PTTT từ PTVP Trường hợp 1: Vế phải của PTVP không chứa đạo hàm của tín hiệu vào Hệ thống mô tả bởi PTVP d nc(t) d n−1c(t) dc(t) a0 n + a1 n−1 +L+ an−1 + anc(t) = b0r(t) dt dt dt Đặt biến trạng thái theo qui tắc: Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra: x1(t) = c(t) Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng đạo hàm x2 (t) = x&1(t) của biến thứ i−1: x3 (t) = x&2 (t) M xn (t) = x&n−1(t) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80
Cách thành lập PTTT từ PTVP Trường hợp 1 (tt) x&(t) = Ax(t) + Br(t) Phương trình trạng thái:  c(t) = Cx(t) trong đó: 0 1 0 0  x (t)   K   0  1      x (t)  0 0 1 K 0 0  2      x(t) =   A =  M M M M  B =  M  M       0 0 0 K 1 0 xn−1(t)       an an−1 an−2 a1 b0   − − − K −     xn (t)   a0 a0 a0 a0  a0  C = [1 0 K 0 0] Chứng minh: xem LT ĐKTĐ, trang 64-65 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 81
Cách thành lập PTTT từ PTVP Thí dụ trường hợp 1 Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau: 2&c&&(t) + 5c&&(t) + 6c&(t) +10c(t) = r(t) x1(t) = c(t)  Đặt các biến trạng thái: x2 (t) = x&1(t)  x3(t) = x&2 (t) Phương trình trạng thái: x&(t) = Ax(t) + Br(t)  c(t) = Cx(t) trong đó:    0   0    B =  0  =  0   0 1 0   0 1 0  b         0  0.5 A = 0 0 1 = 0 0 1 a   a a a     0  − 3 − 2 − 1  − 5 − 3 − 2.5  a0 a0 a0  C = [1 0 0] 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 82
Cách thành lập PTTT từ PTVP Trường hợp 2: Vế phải của PTVP có chứa đạo hàm của tín hiệu vào Hệ thống mô tả bởi PTVP: d nc(t) d n−1c(t) dc(t) a0 n + a1 n−1 +L+ an−1 + anc(t) = dt dt dt d n−1r(t) d n−2r(t) dr(t) b0 n−1 + b1 n−1 +L+ bn−2 + bn−1r(t) dt dt dt Chú ý: đạo hàm ở vế phải thấp hơn đạo hàm ở vế trái 1 bậc Đặt biến trạng thái theo qui tắc: x1(t) = c(t) Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra: x2 (t) = x&1(t) − β1r(t) Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng đạo hàm của biến thứ i−1 trừ 1 lượng tỉ lệ với x3 (t) = x&2 (t) − β2r(t) tín hiệu vào: M xn (t) = x&n−1(t) − βn−1r(t) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 83
Cách thành lập PTTT từ PTVP Trường hợp 2 (tt) x&(t) = Ax(t) + Br(t) Phương trình trạng thái:  c(t) = Cx(t) trong đó:  x (t)   0 1 0 K 0  β 1    1   x (t)  0 0 1 K 0    2    β2     x(t) =  M  A = M M M M B =  M      x (t) 0 0 0 K 1    n−1    βn−1 an an−1 an−2 a1    x (t)  − − − K −     n   βn   a0 a0 a0 a0  C = [1 0 K 0 0] 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 84
Cách thành lập PTTT từ PTVP Trường hợp 2 (tt) Các hệ số β trong vector B xác định như sau: b0 β1 = a0 b1 − a1β1 β2 = a0 b2 − a1β2 − a2β1 β3 = a0 M bn−1 − a1βn−1 − a2βn−2 −K− an−1β1 βn = a0 Chứng minh trường hợp n=3: xem LT ĐKTĐ, trang 67-68 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 85
Cách thành lập PTTT từ PTVP Thí dụ trường hợp 2 Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau: 2&c&&(t) + 5c&&(t) + 6c&(t) +10c(t) =10r&(t) + 20r(t) x1(t) = c(t)  Đặt các biến trạng thái: x2 (t) = x&1(t) − β1r(t)  x3(t) = x&2 (t) − β2r(t) x&(t) = Ax(t) + Br(t) Phương trình trạng thái:  c(t) = Cx(t) trong đó: β    1 0 1 0  0 1 0  B = β     2      A = 0 0 1 = 0 0 1 β3   a a a    − 3 − 2 − 1  − 5 − 3 − 2.5  a0 a0 a0  C = [1 0 0] 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 86
Cách thành lập PTTT từ PTVP Thí dụ trường hợp 2 (tt) Các hệ số của vector B xác định như sau:  b0 0 β1 = = = 0  a0 2  b1 − a1β1 10 − 5× 0 β2 = = = 5  a0 2 b − a β − a β 20 − 5×10 − 6× 0 β = 2 1 2 2 1 = = −15  3  a0 2  0  B =  5  ⇒   −15 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 87
Thành lập PTTT từ PTVP dùng phương pháp tọa độ pha Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân d nc(t) d n−1c(t) dc(t) a0 n + a1 n−1 +L+ an−1 + anc(t) = dt dt dt d n−1r(t) d n−2r(t) dr(t) b0 n−1 + b1 n−1 +L+ bn−2 + bn−1r(t) dt dt dt Đặt biến trạng thái theo qui tắc: Biến trạng thái đầu tiên là nghiệm của phương trình: n n−1 d x1(t) a1 d x1(t) an−1 dx1(t) an n + n−1 +L + + x1(k) = r(k) dt a0 dt a0 dt a0 Biến thứ i (i=2 n) đặt đạo hàm x2 (t) = x&1(t) biến i−1 x3(t) = x&2 (t) M xn (t) = x&n−1(t) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 88
Thành lập PTTT từ PTVP dùng phương pháp tọa độ pha x&(t) = Ax(t) + Br(t) Phương trình trạng thái:  c(t) = Cx(t) trong đó:  0 1 0 K 0  0    x1(t) 0 0 1 0    K  0 x (t)   x(t) =  2  A =  M M M M  B = M      M  0 0 0 1 0    K     an an−1 an−2 a1  xn (t) − − − K − 1  a0 a0 a0 a0  bm bm−1 b0  C =  K 0 K 0  a0 a0 a0  9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 89
Thí dụ thành lập PTTT từ PTVP dùng PP tọa độ pha Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau: 2&c&&(t) + c&&(t) + 5c&(t) + 4c(t) = &r&(t) + 3r(t) Đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, ta được phương trình trạng thái: x(t) = Ax(t) + Br(t)  c(t) = Cx(t) trong đó:    0 1 0   0 1 0  0   A =  0 0 1  = 0 0 1 B = 0       a3 a2 a1 − − −  − 2 − 2.5 − 0.5 1  a0 a0 a0  b2 b1 b0  C =   = []1.5 0 0.5 a0 a0 a0  9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 90
Thành lập PTTT từ sơ đồ khối Thí dụ Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau: R(s) 10 C(s) + − s(s +1)(s + 3) Đặt biến trạng thái trên sơ đồ khối: R(s) X (s) 1 X2(s) 10 X (s) C(s) + 1 3 1 − s (s +1) (s + 3) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 91
Thành lập PTTT từ sơ đồ khối Thí dụ (tt) Theo sơ đồ khối, ta có: 10 • X (s) = X (s) ⇒ sX (s) + 3X (s) =10X (s) 1 s + 3 2 1 1 2 (1) ⇒ x&1(t) = −3x1(t) +10x2 (t) 1 • X (s) = X (s) ⇒ sX (s) + X (s) = X (s) 2 s +1 3 2 2 3 (2) ⇒ x&2 (t) = −x2 (t) + x3 (t) 1 • X (s) = ()R(s) − C(s) ⇒ sX 3 (s) = R(s) − X1(s) 3 s (3) ⇒ x&3 (t) = −x1(t) + r(t) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 92
Thành lập PTTT từ sơ đồ khối Thí dụ (tt) Kết hợp (1), (2), và (3) ta được phương trình trạng thái: x&1(t) − 3 10 0x1(t) 0 x (t) =  0 −1 1x (t) + 0r(t)  &2    2    x&3 (t) −1 0 0x3 (t) 1 123 1424 434 123 { x&(t) A x(t) B Đáp ứng của hệ thống: x1(t)   c(t) = x (t) = []1 0 0 x (t) 1 142 43 2  C x3(t) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 93
Tính hàm truyền từ PTTT Cho hệ thống mô tả bởi PTTT: x&(t) = Ax(t) + Br(t)  c(t) = Cx(t) Hàm truyền của hệ thống là: C(s) G(s) = = C()sI − A -1 B R(s) Chứng minh: xem LT ĐKTĐ, trang 78 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 94
Tính hàm truyền từ PTTT Thí dụ Tính hàm truyền của hệ thống mô tả bởi PTTT: x&(t) = Ax(t) + Br(t)  c(t) = Cx(t) trong đó  0 1  3 A =   B =   C = [1 0] − 2 − 3 1 Giải: Hàm truyền của hệ thống là: C(s) G(s) = = C()sI − A -1 B R(s) 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 95
Tính hàm truyền từ PTTT Thí dụ (tt) 1 0  0 1  s −1  ()sI − A = s  −   =   0 1 − 2 − 3 2 s + 3 −1 −1 s −1  1 s + 3 1 ()sI − A =   =   2 s + 3 s(s + 3) − 2.(−1)  − 2 s −1 1 s + 3 1 1 C()sI − A = 2 []1 0   = 2 []s + 3 1 s + 3s + 2  − 2 s s + 3s + 2 −1 1 3 3(s + 3) +1 C()sI − A B = 2 []s + 3 1   = 2 s + 3s + 2 1 s + 3s + 2 3s +10 ⇒ G(s) = s2 + 3s + 2 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 96
Nghiệm của phương trình trạng thái Nghiệm của phương trình trạng thái x& ( t ) = A x ( t ) + B r(t) ? t x(t) = Φ(t)x(0+ ) + ∫Φ(t −τ )BR(τ )dτ 0 Trong đó:Φ(t) = L −1[Φ(s)] ma trận quá độ Φ(s) = (sI − A)−1 Chứng minh: xem Lý thuyết Điều khiển tự động Đáp ứng của hệ thống? c(t) = Dx(t) Thí dụ: xem TD 2.15, Lý thuyết Điều khiển tự động 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 97
Tóm tắt quan hệ giữa các dạng mô tả toán học PT vi phân L L -1 Đặt x Hàm truyền PT trạng thái G(s) = C(sI − A)-1 B 9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 98