›
›

Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học. Phần tử và hệ thống liên tục - Nguyễn Tấn Phúc

pdf 82 trang Gia Huy 20/05/2022 1590
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học. Phần tử và hệ thống liên tục - Nguyễn Tấn Phúc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_2_mo_ta_toan_h.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học. Phần tử và hệ thống liên tục - Nguyễn Tấn Phúc

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC NƠNG LÂM TPHCM. KHOA CƠ KHÍ CƠNG NGHỆ BỘ MƠN CƠ ĐiỆN TỬ. BÀI GiẢNG : LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc. phucpfiev1@gmail.com. •1
  2. Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •2
  3. Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •3
  4. 2.1 Phương trình vi phân Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO cĩ thể mơ tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: dn y d n 11 y d m r d m r a a a y(t) b b b r(t) ndtn n 1 dt n 11 0 m dt m m 1 dt m 0 ai , bi : thơng số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C, ) r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu ra n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m n (nguyên lý nhân quả) •4
  5. Ví dụ 2.1: Hệ lị xo – khối lượng – giảm chấn m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] Áp dụng Định luật II Newton : dy2 m F F(t) F F dt2  i ms lx (+) F(t) dy Lực giảm chấn : Fb ms dt m Lực lị xo : Flx ky(t) d2 y dy m2 b ky(t) F(t) Flx Fms dt dt •5
  6. Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff : uRLC u u u Trong đĩ: 1 du u idt C C iC Tín hiệu vào: điện áp u C dt du Tín hiệu ra: điện áp u u Ri RC C c R dt di du2 uL LC C L dt dt2 d2 u du LCCC RC u u dt2 dt C •6
  7. Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ơtơ v(t) f(t) b dv m bv(t) f(t) dt m : khối lượng xe b : hệ số cản của khơng khí (ma sát nhớt)  Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)  Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t) •7
  8. Ví dụ 2.4: Bộ giảm xĩc của xe ơtơ, xe máy m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] d2 y dy dr m b ky(t) b kr(t) dt2 dt dt •8
  9. Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC d2 u du RLCCC L Ru Ru i dt dt C d2 u du du RLCCC L Ru L dt dtC dt i •9
  10. Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •10
  11. 2.2 Phép biến đổi Laplace Nghiệm y(t) Nghiệm Y(s) •11
  12. 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.1 Định nghĩa • Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t 0, biến đổi Laplace của f(t) là: F(s) L[f(t)] f(t)e st dt 0 s : biến Laplace (biến số phức) L : tốn tử biến đổi Laplace F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t) Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn). •12
  13. 2.2 Phép biến đổi Laplace • Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một hàm thời gian f(t) xác định bởi: 1 f (t) L 1 [F(s)] F(s)e ts ds t 0 2j c Trong đĩ :  C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s 2  j là số ảo đơn vị (j =-1) •13
  14. 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.2 Tính chất 1) Tuyến tính L [f1(t) f2(t)] = F1(s) F2(s) L[kf(t)] = kF(s) 2) Ảnh của đạo hàm Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu: f (0), f (0), f (0), , f(n 1) (0) Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mơ tả chuyển động bậc hai: 300y(t) 5 y(t) 20 y(t) 100 2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0) y(0 ) là vận tốc ban đầu (tại t=0). •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •14
  15. 2.2 Phép biến đổi Laplace 2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0 n L[ f(n ) ( t )] s n F ( s )  s n i f ( i 1) (0) i 1 L[f (t)] s2 F(s) sf (0) f (0) L[f(3) (t)] sF(s) 3 sf(0) 2 sf(0) f(0) 2b) Nếu các điều kiện đầu = 0 L[ f()nn ( t )] s F ( s ) Ví dụ, xét ptvp: 300y(t) 5 y(t) 20 y(t) 100 r(t) Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được: 300s2 Y(s) 5 sY(s) 20 Y(s) 100 R(s) (300 s2 5 s 20 )Y(s) 100 R(s) •15
  16. 2.2 Phép biến đổi Laplace 3) Ảnh của tích phân t Fs() L f() t dt 0 s 4) Ảnh của hàm trễ f(t-T) = f(t) khi t T = 0 khi t<T L[f (t T)] e Ts F(s) 5) Ảnh của tích chập ĐN tt f(t)*f(t) f().f(t   )d  f(t  ).f()d   1 2 00 1 2 1 2 L[f1 (t)*f 2 (t)] F(s).F 1 2 (s) •16
  17. 2.2 Phép biến đổi Laplace 6) Nhân hàm f(t) với e- t L[ e t f ()] t e t f () t e st dt L [( f t )]( F s ) 0 Nhân f(t) với e- t thay s bằng (s+ ) trong ảnh Laplace. 7) Định lý giá trị cuối f ( ) lim f (t) lim [s.F(s)] t s 0 8) Định lý giá trị đầu f (0) limf (t) lim [s.F(s)] t 0 s •17
  18. 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị 1 1 1 L[1(t)] e st dt .e st (0 1) 0 0 s s s Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t): K L[K.1(t)] K.L[1(t)] s •18
  19. 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac) h a 0 (t) 1 t t 0 a 0 00 L[ (t)] (t)e st dt  (t)e 0 dt  (t)dt 1 0 0 0 3) Hàm mũ e - t ( <0) e1 (s )t L[e t ] e t e st dt e (s )t dt ss 0 00 •19
  20. 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 4) Hàm dốc đơn vị t.1(t) t khi t 0 r(t) t.1(t) 0 khi t < 0 0 t Lấy tích phân từng phần e st udv uv vdu u t ; v s te st e st 1 1 L[t.1(t)] te st dt dt 0 ss0 22 00ss Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn Cũng cĩ thể dùng tính chất ảnh của tích phân: t L[1(t)] 1 L[t.1(t)] L 1(t)dt 2 0 s s •20
  21. 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 5) Hàm lượng giác sint, cost, Cơng thức Euler: cos t jsin  t e jt jt cos t jsin  t e 11 cos  t ej t e j  t ; sin  t e j  t e j  t 2 2j 11 L[cos t] ej t e j  t e st dt e s j  t e s j  t dt 22 00 1 1 1 s 2 s j  s j  s22  1 1 1  L[sin t] 22 2j s j sj  s  •21
  22. Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20) TT f(t) F(s) 1 1(t) 1/s 1 3 e t s 1 8 te t (s )2 n1 1 9 t t e n (n 1)! (s ) s 17 e t cos t (s )22   18 e t sin t (s )22  •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •22
  23. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Bài tốn : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=? Y(s) thường cĩ dạng tỉ số của hai đa thức theo s: b sm b s m 1 b P(s) m m 1 0 (m<n) Y(s) n n 1 Q(s) an s a n 1 s a 0  PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức đơn giản, sau đĩ áp dụng các cơng thức cơ bản. nn 11 y(t) L [Y(s)]  L [Y(s)]ii y(t) i 1 i 1  Cách phân tích Y(s) hồn tồn phụ thuộc vào loại nghiệm của mẫu số Q(s) (nghiệm đơn/ bội/ phức). •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •23
  24. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 1) Mẫu số của Y(s) chỉ cĩ nghiệm đơn Giả sử Q(s) cĩ n nghiệm đơn s1 , s2 , , sn Khi đĩ cĩ thể phân tích : Q(s) an (s s 1 )(s s 2 ) (s s n ) P(s) AAAA Y(s) 1 2 i n Q(s)ssss 1 2 ss i ss n Các hệ số Ai (i=1,2, ,n) xác định bởi: A lim [(s s ).Y(s)] [(s s ).Y(s)] i i i ss i ss i 1 Ai sti Tra bảng ta cĩ: L Ai e ss i n si t s 1 t s 2 t s n t y(t)  Ai e A 1 e A 2 e A n e i1 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •24
  25. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 5s 3 Ví dụ : Tìm y(t) biết Y(s) s(2s2 14s 20) Giải. Mẫu số của Y(s) cĩ 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 =-2 , s3 =-5 và hệ số an=2. Do đĩ cĩ thể phân tích : 5s 3 AA A Y(s) 12 3 2s(s 2)(s 5) s s 2 s 5 5s 3 3 A1 lim [s.Y(s)] lim s 0 s 0 2(s 2)(s 5) 20 5s 3 7 A2 lim [(s 2)Y(s)] lim s 2 s 2 2s(s 5) 12 5s 3 22 11 A3 lim [(s 5)Y(s)] lim s5 s5 2s(s 2) 30 15 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •25
  26. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 3 7 11 Y(s) 20s 12(s 2) 15(s 5) 3 7 11 y(t) e 2t e 5t 20 12 15 Nhận xét: y(0) lim[y(t)] 0 t0 y(0) lim[s.Y(s)] 0 s y( ) lim[y(t)] 3/ 20 t y( ) lim[s.Y(s)] 3/ 20 s0 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •26
  27. 18s 126 Y(s) s(s2 23s 126) 49 y(t) 1 e 9t e 14t 55 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •27
  28. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 2) Mẫu số của Y(s) cĩ nghiệm bội Giả sử Q(s) cĩ (n-r) nghiệm đơn s1 , s2 , , sn-r và một nghiệm bội sk lặp r lần Khi đĩ cĩ thể phân tích : r Q(s) an (s s 1 ) (s s n r )(s s k ) AABBB Y(s) 1 n r r 2 1 s s s sr2 s s 1 n r s skk s s k Aii lim [(s s ).Y(s)] ( i=1,2, ,n-r) ss i 1d ri B lim (s s )r .Y(s) ( i=r,r-1, ,1) ik ri (r i)! ss k ds •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •28
  29. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 1d ri B lim (s s )r .Y(s) ( i=r,r-1, ,1) ik ri (r i)! ss k ds :  Nếu r =2 (nghiệm kép), cần tìm 2 hệ số B2 , B1 d 22  B2 lim (s s k ) .Y(s) ; B 1 lim  (s s k ) .Y(s) s skk s s ds AABBB Y(s) 1 n r r 2 1 s s s sr2 s s 1 n r s skk s s k nr r1 si tt s k t s k t s k t y(t)  Ai e B r e B 2 te B 1 e i1 (r 1)! •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •29
  30. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 5s 24 Ví dụ : Tìm y(t) biết Y(s) 2 s(s 4)(s 3) Giải. Mẫu số của Y(s) cĩ 2 nghiệm đơn s1=0 ; s2=-4 và một nghiệm kép sk =-3 nên cĩ thể phân tích : 5s 24 AABB Y(s) 1 2 2 1 s(s 4)(s 3)2 s s 4 s3 2 s 3 5s 24 24 2 A1 lim [s.Y(s)] lim s 0 s 0 (s 4)(s 3)2 36 3 5s 24 4 A2 lim [(s 4)Y(s)] lim 1 s 4 s 4 s(s 3)2 4 2 5s 24 9 B2 lim [(s 3) Y(s)] lim 3 s 3 s 3 s(s 4) 3 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •30
  31. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược d2  d 5s 24 B1 lim [(s 3) Y(s)]  lim  s 3 ds s 3  ds s(s 4) Lưu ý: u' u v v u v v2 5s(s 4) (2s 4)(5s 24) 3 1 B1 lim s3 s22 (s 4) 93 2 1 3 1 Y(s) 3s s 4 s3 2 3(s 3) 21 y(t) e 4t 3te 3t e 3t 33 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •31
  32. 3s 40 Y(s) s(s 5)(s 3)2 8 5 31 13 y(t) e 5t te 3t e 3t 9 4 6 36 •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự •32 Động
  33. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 3) Mẫu số của Y(s) cĩ nghiệm phức Giả sử Q(s) cĩ (n-2) nghiệm đơn s1 , s2 , , sn-2 và 2 nghiệm phức p1,2 = a j Khi đĩ cĩ thể phân tích : Q(s) an (s s 1 ) (s s n 2 )(s p 1 )(s p 2 ) 22 Q(s) an (s s 1 ) (s s n 2 )[(s a)  ] A A C (s a) C  Y(s) 1 n 2 1 2 2 2 s s1 s s n 2 sa  Các hệ số Ai , C1 ,C2 xác định bằng : - Phương pháp đồng nhất hệ số đa thức, - hoặc Tính theo cơng thức: •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •33
  34. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Aii lim [(s s )Y(s)] (i=1, ,n-2) ss i 1 C Im (s p )(s p )Y(s) 1 1 2 sp 1 1 C Re (s p )(s p )Y(s) 2 1 2 sp 1 A A C (s a) C  Y(s) 1 n 2 1 2 2 2 s s1 s s n 2 sa  Biến đổi ngược Laplace hàm ảnh Y(s) ta được : n2 sti at at y(t)  Ai e C 1 e cos  t C 2 e sin  t i1 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •34
  35. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Nhận xét : Cĩ thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos của tổng/hiệu.    sin t cos t22 sin  t cos  t 2 2 2 2   22  sin  t cos cos  tsin 22 sin(  t ) Trong đĩ :  arccos arcsin 2  2 2  2 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •35
  36. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 2s 5 Ví dụ: Tìm y(t) biết Y(s) s(s2 6s 25) Giải. Mẫu số của Y(s) cĩ một nghiệm đơn s=0 và hai nghiệm phức p1,2 =-3 4j nên cĩ thể phân tích : 2s 5 A C (s 3) 4C Y(s) 12 s(s22 6s 25) s s 6s 25 (A C )s2 (6A 3C 4C )s 25A Y(s) 1 1 2 s(s2 6s 25) So sánh với Y(s) đã cho, ta được: 25A 5 A 1/ 5 A C1 0 C1 1/ 5 6A 3C12 4C 2 C2 7 / 20 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •36
  37. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 1 7 1 7 (s 3) (4) (s 3) (4 ) 11 Y(s) 5 20 5 20 5s s2 6s 25 5s (s 3) 2 4 2 (s 3) 2 42 1 1 7 y(t) L[Y(s)] 1 e 3t cos4t e 3t sin4t 5 5 20 11 e 3t (7sin 4t 4cos4t) 5 20 1 65 3t 7 4 1 65 3t e sin 4t cos4t e sin(4t ) 5 20 65 65 5 20 74 Với arccos arcsin 65 65 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •37
  38. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược  Cũng cĩ thể tính A, C1 , C2 bằng cơng thức : 2s 5 1 A lim [sY(s)] lim ss 00s2 6s 25 5 2s 5 D  (s p1 )(s p 2 )Y(s) s p s 3 4 j 1 s 1 8j 1 8j 3 4j 35 20j 7 4 Dj 3 4j9 16j2 25 5 5 1 1 4 1 C1 Im D  4 5 5 1 1 7 7 C2 Re D  4 5 20 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •38
  39. •Tìm Hàm y(t) biết : 15s 225 Y(s) s(s2 18s 225) 1 y(t) 1- e 9t cos12t e 9t sin12t 2 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •39
  40. Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=? s 20 2 17 3 Y(s) y(t) e 3t e 5t s(2s2 16s 30) 3 12 4 6s 15 15 t 3 4t 1 4t Y(s) 2 y(t) - e - te + e s(s 1)(s 8s 16) 16 4 16 s5 Y(s) 2t 2 y(t) 1 2e sin t s(s 4s 5) 4 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •40
  41. Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •41
  42. 2.3 Hàm truyền 1) Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào khi các điều kiện đầu bằng 0. Từ PTVP mơ tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục : dn y d n 1 y d m r d m 1 r a a ay(t)b b br(t) ndtn n 1 dt n 1 0 m dt m m 1 dt m 1 0 Biến đổi Laplace hai vế với ĐKĐ =0 ta được : n n 1 m m 1 (asn a n 1 s a)Y(s) 0 (bs m b m 1 s b)R(s) 0 Lập tỉ số Y(s)/ R(s) ta được hàm truyền G(s): m m 1 Y(s) bm s b m 1 s b 0 G(s) n n 1 R(s) an s a n 1 s a 0 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •42
  43. 2.3 Hàm truyền 2) Nhận xét  Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống (hay phần tử) tuyến tính bất biến.  Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thơng số và bậc của hệ thống mà khơng phụ thuộc vào loại và giá trị của tín hiệu vào, tín hiệu ra.  Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền để nghiên cứu bản chất động học của hệ thống.  Dùng hàm truyền để mơ tả và phân tích hệ thống thuận lợi hơn PTVP vì hàm truyền là phân thức đại số. Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số: G(s) Y(s)/R(s) Y(s) R(s).G(s) Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •43
  44. 2.3 Hàm truyền 3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính - Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính: n n 1 A(s) asn a n 1 s a 0 - Cho mẫu số hàm truyền =0 ta cĩ phương trình đặc tính: n n 1 an s a n 1 s a 0 0 Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc tính cĩ thể xét tính ổn định của hệ thống (chương 4). 4) Mơ tả hệ MIMO Để mơ tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền. Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra. R1 Y1 Hệ MIMO GY/Rij i j R3 Y4 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •44
  45. 2.3 Hàm truyền 5) Biểu diễn hàm truyền theo dạng zero-cực-độ lợi Y(s) (s z )(s z ) (s z ) G(s) K 1 2 m R(s) (s p1 )(s p 2 ) (s p n ) Trong đĩ: zi (i=1,2, ,m) _ là nghiệm đa thức tử số, gọi là các zero. pi (i=1,2, ,n)_ là nghiệm đa thức mẫu số, gọi là các cực (pole); pi cũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính. b K m _ là độ lợi (gain). an 4s2 28s 40 (s 2)(s 5) Ví dụ: G(s) 4 s2 13s 30 (s 3)(s 10) •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •45
  46. Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự •46 Động
  47. Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự •47 Động •47
  48. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.1 Phần tử cơ khí  Hệ lị xo-khối lượng-giảm chấn - Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t) - Tín hiệu ra: lượng di động y(t) Phương trình vi phân: d2 y dy m b ky(t) F(t) dt2 dt Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 : (ms2 bs k)Y(s) F(s) Hàm truyền bậc hai: Y(s) 1 G(s) F(s) ms2 bs k •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •48
  49. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.1 Phần tử cơ khí  Trục vít –đai ốc (bàn máy) -Tín hiệu vào: vận tốc gĩc (t) -Tín hiệu ra:lượng di động y(t) n_số vịng quay; P_bước ren vít ttP Phương trình chuyển động: y(t) P n(t)dt .  (t)dt 002 P (s) K Biến đổi Laplace 2 vế : Y(s) .  (s) 2 s s Y(s) K Hàm truyền tích phân: (K=P/2 : hệ số tích phân) (s) s •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •49
  50. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.2 Phần tử điện  Mạch RL nối tiếp -Tín hiệu vào: điện áp u(t) -Tín hiệu ra: dịng điện i(t) Phương trình vi phân: di u u u L Ri LR dt Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 : U(s) (Ls R)I(s) Hàm truyền bậc nhất: I(s) 1 G(s) U(s) Ls R •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •50
  51. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.2 Phần tử điện  Mạch RLC nối tiếp Phương trình vi phân: d2 u du LCCC RC u u dt2 dt C Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 : 2 (LCs RCs 1)UC (s) U(s) Hàm truyền bậc hai: Tín hiệu vào: điện áp u(t) U (s) 1 Tín hiệu ra: điện áp uc(t) G(s) C U(s) LCs2 RCs 1 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •51
  52. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình  Mạch RLC nối tiếp & // - Theo Kirchoff : uRC u u (*) 1 du u i dt i C C CCCC dt di 1 u u LL i u dt CLLC i dt L uRLC Ri R() i i duC R -Thế vào (*) , ta được: RC uCC u dt u dt L d2 u du du - Lấy đạo hàm 2 vế, được: RLCCC L Ru L dt dtC dt 2 - Lấy Laplace 2 vế, được: ()()()RLCs Ls R UC s LsU s Us() Ls - Hàm truyền: Gs() C U() s RLCs2 Ls R •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •52
  53. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình  Khuếch đại thuật tốn (op-amp) u0 K(u 2 u) 1 K(u 1 u) 2 - Tín hiệu ngõ ra u0 tỉ lệ với hiệu của hai tín hiệu vào. - Hệ số khuếch đại K 105106. - Op-amp thường được ghép nối thành các mạch khuếch đại, mạch cảm biến, bộ lọc tín hiệu, bộ điều khiển. •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •53
  54. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình  Cảm biến Các cảm biến thường cĩ tín hiệu ra yht(t) tỉ lệ với tín hiệu vào y(t). Ví dụ: - Một cảm biến đo áp suất trong tầm 010 bar và chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ cĩ hàm truyền là H(s)=K =10/10 = 1 [V/bar] - Một cảm biến nhiệt đo nhiệt độ trong tầm 0500C và chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ cĩ hàm truyền là H(s)=K =10/500 = 0,02 [V/C] Nếu cảm biến cĩ độ trễ đáng kể thì được mơ tả bằng hàm truyền bậc nhất. •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •54
  55. 2.5.3 Động cơ điện DC Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: vận tốc gĩc  R: điện trở phần ứng L: điện cảm phần ứng Ke: hằng số sức điện động e=Ke: sức phản điện động Sử dụng 3 phương trình cơ bản: di 1) Phương trình mạch điện phần ứng : u L Ri K  dt e Biến đổi Laplace 2 vế: U(s) 1 I(s) U(s) LsI(s) RI(s) Ke  (s) U(s) K  (s) Ls R I(s) Ls R e (s) Sơ đồ khối (1): Ke •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •55
  56. 2.5.3 Động cơ điện DC 2) Phương trình mơmen điện từ: Sơ đồ khối (2): M(t) K i(t) M(s) K I(s) m m I(s) M(s) Km : hằng số mơmen của động cơ Km 3) Phương trình cân bằng mơmen cơ: d M(t) J B(t)  M(t) dt t Sơ đồ khối (3): M(s) Js  (s) B  (s) M(s)t Mt(s) M(s) Mt (s) (Js B).  (s) J: mơmen quán tính của đcơ M(s) 1 (s) và tải quy về trục động cơ Js B B: hệ số ma sát của đcơ và tải quy về trục động cơ Mt : mơmen phụ tải (nhiễu) •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •56
  57. 2.5.3 Động cơ điện DC Kết nối các SĐK (1),(2),(3) ta được SĐK chung của động cơ DC: Mt(s) U(s) 1 I(s) M(s) 1 (s) Km Ls R Js B (s) Ke Dùng đại số SĐK tìm hàm truyền động cơ (coi nhiễu Mt=0): Km (s) (Ls R)(Js B) K G(s) m U(s)KK (Ls R)(Js B) K K 1 me me (Ls R)(Js B) (s) K m (2-47 tr.45) G(s) 2 U(s) LJs (LB RJ)s Kme K RB •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •57
  58. 2.5.3 Động cơ điện DC Nếu đặt :  t L/R _là hằng số thời gian điện  c J/B _là hằng số thời gian cơ Thì hàm truyền cĩ dạng: (2-48 tr.46) K K / RB G(s) mm RB(t s 1)(  c s 1) K m K e 2 KKme t  cs (  t  c )s 1 RB Nếu bỏ qua điện cảm: Km (s) KRB K K K G(s) m me (2-49) RJ U(s) RJs RB Kme Ks1 Ts 1 RB Kme K  Nhận xét : Tổng quát, động cơ DC điều khiển vận tốc được mơ tả bằng hàm truyền bậc hai, nếu bỏ qua điện cảm thì cĩ thể mơ tả bằng hàm truyền bậc nhất. •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •58
  59. 2.5.3 Động cơ điện DC  Nếu động cơ được điều khiển gĩc quay (định vị); Do =d /dt (s)=s.(s) nên sơ đồ khối cĩ thêm khâu tích phân 1/s. Mt(s) U(s) 1 I(s) M(s) 1 (s) 1 (s) Km Ls R Js B s (s) Ke Hàm truyền: (s) K G(s) m (2-50 tr.46) U(s) s[(Ls R)(Js B) Kme K ) Nếu bỏ qua điện cảm: Km (s) KRB K K K G(s) m me U(s) s(RJs RB Kme K ) RJ s(Ts 1) s s 1 RB Kme K •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •59
  60. Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự •60 Động
  61. Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động •61
  62. 2.7 Mơ hình phương trình trạng thái 2.7.1 Giới thiệu  Mơ hình hàm truyền cĩ một số điểm hạn chế: - Chỉ áp dụng được với điều kiện đầu bằng 0. - Chỉ mơ tả được quan hệ tuyến tính một vào, một ra (SISO). - Chỉ áp dụng được cho hệ tuyến tính bất biến, khơng dùng được cho hệ phi tuyến hay hệ cĩ thơng số biến đổi theo thời gian. Để khắc phục, người ta dùng mơ hình phương trình trạng thái.  Trạng thái của hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại thời điểm t=t0 và biết các tín hiệu vào ở t t0, ta hồn tồn cĩ thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t0. Với hệ tuyến tính bất biến, thời điểm đầu thường được chọn là t0=0.  Biến trạng thái khơng nhất thiết phải là các thơng số đo được (biến vật lý). Các biến khơng đại diện cho các đại lượng vật lý (chỉ là biến tốn học) cũng cĩ thể chọn làm biến trạng thái. •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •62
  63. 2.7 Mơ hình phương trình trạng thái  Để mơ tả hệ thống bậc n cần dùng n biến trạng thái, hợp thành véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu là: T x  x1 x 2 x n   Sử dụng biến trạng thái ta cĩ thể chuyển ph. trình vi phân bậc n mơ tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như sau : x(t) Ax(t) Br(t) : Phương trình trạng thái y(t) Cx(t) Dr(t) : Phương trình ngõ ra Trong đĩ: x(t) là véctơ trạng thái r(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra của hệ.  Với hệ tuyến tính bất biến MIMO thì A, B, C, D là các ma trận hệ số.  Với hệ tuyến tính bất biến SISO thì A là ma trận, B là vectơ cột, C là vectơ hàng, D là một hằng số. •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •63
  64. 2.7 Mơ hình phương trình trạng thái a11 a 12 a 1n b1 a a a b C  c c c  A 21 22 2n B 2 1 2 n D d const. b 1 an1 a n2 a nn n  Nếu hệ tuyến tính bất biến SISO cĩ hàm truyền với bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số (gọi là hệ hợp thức chặt) thì D = 0.  Việc chọn biến trạng thái khơng phải chỉ theo một cánh duy nhất. Do đĩ: Một hệ thống cĩ thể mơ tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau, tuỳ thuộc vào cách chọn các biến trạng thái. •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •64
  65. Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mơ tả động cơ DC 3 phương trình cơ bản: -Phương trình điện : di u L Ri Ke  (1) dt d M(t) J B  (t) -Ph. trình mơmen điện từ: dt M(t) Km i(t) (2) d -Phương trình cân bằng mơmen cơ: J M(t) B  (t) (3) (để đơn giản, xem mơmen tải =0) dt di R1K (1) iu e  (4) dt LLL d K B (2) và (3) m i  (5) dt JJ •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •65
  66. Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mơ tả động cơ DC Đặt 2 biến trạng thái x12 i ; x  R1K (4) và (5) x x e x u 1LLL 1 2 K B x m x x 2JJ 1 2 xx R/LK/L 1/ L 11 e u x22 K/JB/Jm x 0 x1  01 x2 R/LK/L 1/ L x Ax Bu e B A 0 K/JB/Jm  Cx Du C  0 1 D0 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •66
  67. Ví dụ 2.15 (trang 63) _Lập phương trình trạng thái  Các phương trình cân bằng lực: by221 y k(y 221 y)by 1111 ky my 11 Fb(y 2 2 y) 1 k(y 2 2 y) 1 my 2 2  Đặt 4 biến trạng thái: x1 y;x 1 2 y;x 2 3 y;x 1 4 y 2 Ta viết được hệ phương trình trạng thái : •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •67
  68. Ví dụ 2.15 (trang 63) xx13 xx24 1 k2 b 1 b 2 b 2 x3 y 1 (k 1 k 2 )x 1 x 2 x 3 x 4 m1 m 1 m 1 m 1 k2 k 2 b 2 b 2 F(t) x4 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4 m2 m 2 m 2 m 2 m 2 0 0 1 0 0 xx 0 0 0 1 11 0 xx k k k b b b 22 1 2 2 1 2 2 . 0 .F xx33 m1 m 1 m 1 m 1 1 xx44 k2 k 2 b 2 b 2 m2 m2 m 2 m 2 m 2 x A x B r •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •68
  69. Ví dụ 2.15 (trang 63) x1 y1 0 0 0 x x 1 2 1 y2 0 1 0 0 x 3 x 2 x4 y C x x(t) Ax(t) B.F(t) Dạng tổng quát : y(t) Cx(t) D.F(t) Trong đĩ A, B, C được xác định như trên. Hằng số D=0. •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •69
  70. 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân 1) Ph.trình vi phân khơng chứa đạo hàm tín hiệu vào  Xét hệ thống tuyến tính SISO cĩ ph.trình vi phân: dn y d n 1 y a a y(t) b r(t) dtnn 1 dt n 1 0 0 (Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái: -Biến thứ nhất bằng tín hiệu ra: x1 =y -Biến sau bằng đạo hàm của biến trước: xi= xi-1 (i=2, ,n) Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ tìm được phương trình trạng thái mơ tả hệ thống (trường hợp này cĩ D=0): x Ax Br y Cx •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •70
  71. 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân 2) Ph.trình vi phân cĩ chứa đạo hàm tín hiệu vào  Xét hệ thống tuyến tính SISO cĩ ph.trình vi phân: dn y d n 1 y d n r d n 1 r a ay(t)b b br(t) dtnn 1 dt n 1 0 n dt n n 1 dt n 1 0 (Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái: - Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1 =y- 0r Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1 =y - Đặt biến thứ i (i=2,3, ,n): x i x i 11  i r - Và đặt xn ax n1n ax n2n1 axax 12 01  n r Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ xác định được các hệ số . Từ đĩ lập được ph.trình trạng thái mơ tả hệ thống, trong đĩ: T B [ 1  2 nn ] ; D  0 b •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •71
  72. 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 1: Lập phương trình trạng thái của hệ cĩ ph.trình vi phân: 5y(t) 2y(t) 7y(t) r(t) Giải. Đặt hai biến trạng thái: x1 y ; x 2 x 1 xy2 xx Phương trình trạng thái: 12 7 2 1 x2 x 1 x 2 r x Ax5 Br 5 5 Viết theo dạng ma trận: y Cx xx0 1 0 11 .r x22 7/5 2/5x 1/5 x y  1 0 1 x2 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •72
  73. 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 2: Lập phương trình trạng thái của hệ cĩ ph.trình vi phân: y 5y 6y 8y 8r 24r Giải. Đặt các biến trạng thái: xy 1 x2 x 1  1 r x3 x 2  2 r Và đặt x3 a 2312013 x a x a x  r 5x 3 6x 2 8x 13  r Ta được: yx 1 y x1 x 2  1 r y x2  1 r x 3  2 r  1 r y x3   2 r 1 r 5x 3 6x 2 8x 1    3 r 2 r 1 r y 5y 6y 8y ( 5x3 6x 2 8x 1    3 r 2 r 1 r) (5x3 5  2 r 5  1 r) (6x 2 6  1 r) 8x 1 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •73
  74. 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân y5y6y8y   1 r( 2 5)r( 1    3 5 2 6)r 1 So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:  0 1 2 5  1 8  2 8    35 2 6 1 24  3 24   5 2 6 1 16 Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là: x1 x 2  1 r x 2 x2 x 3  2 r x 3 8r x3 5x 3 6x 2 8x 1  3 r 8x 1 6x 2 5x 3 16r Dạng ma trận: xx11 0 1 0 0 x22 0 0 1 x 8 r xx33 8 6 5 16 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •74
  75. 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Đáp ứng ngõ ra: x1 y x 1 0 0 x 12 x3 Ví dụ 3: Lập phương trình trạng thái của hệ cĩ ph.trình vi phân: y 7y 4y 2r 8r 3r Giải. Đặt các biến trạng thái như sau: x10 y  r x x  r 2 1 1 Và đặt: x2 axax 1 2 0 1  2 r 7x4x 2 1  2 r y x  r Ta được: 10 y x1  0 r x 2  1 r  0 r y x2  1 r  0 r 7x2 4x 1  2 r  1 r  0 r y7y4y(7x 2 4x 1    2 r 1 r 0 r) (7x2 7  1 r 7  0 r) (4x 1 4  0 r) •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •75
  76. 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân y7y4y   0 r( 1 7)r( 0    2 7 1 4)r 0 So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:  2 0 1 7  0 8  1 6    27 1 4 0 3    2 3 7 1 4 0 37 Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là: x1 x 1  0 r x 2 2 x 7x 4x  r 4x 7x 37r 2 2 1 2 1 2 Dạng ma trận: xx11 0 1 6 r x22 47 x 37 x1 y  0 1 2r x2 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •76
  77. 2.7.3 Lập ph.trình trạng thái từ hàm truyền, sơ đồ khối Cách 1: Hàm truyền ph.trình vi phân ph.trình trạng thái Y(s) 8s 24 Ví dụ: G(s) R(s) s32 5s 6s 8 (s32 5s 6s 8).Y(s) (8s 24).R(s) Lấy Laplace ngược 2 vế y 5y 6y 8y 8r 24r (tiếp tục giải như ở ví dụ 2 mục 2.7.2 ) Cách 2: Đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối Ví dụ: (Xem cách giải ví dụ 2.19 trang 69 sách ĐKTĐ ) •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •77
  78. 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái  Xét hệ thống tuyến tính SISO cĩ ph.trình trạng thái: x Ax Br y Cx Dr Y(s) Hệ thống sẽ cĩ hàm truyền: G(s) C(sI A) 1 B D R(s) (xem chứng minh tr. 71_sách ĐKTĐ) - Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, cĩ thể dùng cơng thức: det(sI A BC) G(s)C(sIA)BD 1 1D det(sI A) - Phương trình đặc tính của hệ thống: det(sI A) 0 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •78
  79. 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái Ví dụ 2.21 (trang 71) Xét hệ thống cĩ ph.trình trạng thái: x11 (t) 5 1 x 2 r(t) x22 (t) 1 0 x 0 Hàm truyền x1 (t) của hệ thống =? y(t)  1 0,5 x2 (t) Cách 1: Hàm truyền G(s) C(sI A) 1 B D 1 0 5 1 s 5 1 (sI A) s 0 1 1 0 1 s 1 1 a b 1 d b M c d det(M) c a 1 11 s 1 s 1 (sI A) 2 det(sI A) 1 s 5 s 5s 1 1 s 5 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •79
  80. 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái 1 11 s 1 s 1 (sI A) 2 det(sI A) 1 s 5 s 5s 1 1 s 5 1 11 s 1 2 2s (sI A) B 22 s 5s 1 1 s 5 0 s 5s 1 2 1 1 2s 2s 1 C(sI A) B 22 1 0,5 s 5s 1 2 s 5s 1 2s 1 G(s) C(sI A) 1 B D s2 5s 1 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •80
  81. 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái Cách 2: Hàm truyền det(sI A BC) G(s) C(sI A) 1 B 1 det(sI A) 1 0 5 1 s 5 1 sI A s 0 1 1 0 1 s s 5 1 2 sI A BC  1 0,5 1 s 0 s 5 1 2 1 s 7 2 1 s 0 0 1 s s2 7s 2 2s 1 G(s) 1 s22 5s 1 s 5s 1 •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •81
  82. Tổng kết chương 2  Một hệ thống cĩ thể mơ tả bằng một trong ba dạng mơ hình: Ph.trình vi phân, hàm truyền và ph.trình trạng thái. Ba dạng mơ hình này cĩ thể chuyển đổi qua lại. Ph.trình vi phân L Đặt x L-1 Hàm Ph.trình truyền trạng thái G()() s C sI A 1 B D •Bộ mơn : Cơ Điện Tử •82