Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng

97 trang cucquyet12 13571

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_3_khao_sat_tin.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng

Môn học LÝLÝ THUYẾTTHUYẾT ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN TỰTỰ ĐỘNGĐỘNG Giảng viên: Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@dee.hcmut.edu.vn 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
Nội dung chương 3 Khái niệm ổn định Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn Hurwitz Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Khái niệm về QĐNS Phương pháp vẽ QĐNS Xét ổn định dùng QĐNS Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm về đặc tính tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản Đặc tính tần số của hệ thống tự động Tiêu chuẩn ổn định Bode Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
Khái niệm ổn định Định nghĩa ổn định BIBO Hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn. r(t) c(t) Hệ thống 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
Thí dụ minh họa khái niệm ổn định HT ổn địnhHT ở biên HT không ổn định giới ổn định 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Khái niệm ổn định Cực và zero Cho hệ thống tự động có hàm truyền là: m m−1 C(s) b0s + b1s +K+ bm−1s + bm G(s) = = n n−1 R(s) a0s + a1s +K+ an−1s + an n n−1 Đặt: A(s) = a0s + a1s +K+ an−1s + an mẫu số hàm truyền m m−1 B(s) = b0s + b1s +K+ bm−1s + bm tử số hàm truyền Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình B(s) = 0. Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là zi, i =1,2, m. Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình A(s) = 0. Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký hiệu là pi , i =1,2, m. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
Khái niệm ổn định Giản đồ cực - zero Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng phức. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
Khái niệm ổn định Điều kiện ổn định Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực. Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định. Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn định. Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống không ổn định. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
Khái niệm ổn định Phương trình đặc trưng (PTĐT) Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0 Đa thức đặc trưng: đa thức A(s) Chú ý: Hệ thống hồi tiếp Hệ thống mô tả bằng PTTT x&(t) = Ax(t) + Br(t)  c(t) = Cx(t) Phương trình đặc trưng Phương trình đặc trưng 1+ G(s)H(s) = 0 det(sI − A) = 0 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10
Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu. Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: 3 2 s + 3s − 2s +1= 0 Không ổn định 4 2 s + 2s + 5s + 3 = 0 Không ổn định s4 + 4s3 + 5s2 + 2s +1= 0 Chưa kết luận được 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Qui tắc thành lập bảng Routh Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: n n−1 a0s + a1s +K+ an−1s + an = 0 Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc: Bảng Routh có n+1 hàng. Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn. Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ. Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) được tính theo công thức: cij = ci−2, j+1 −αi.ci−1, j+1 ci−2,1 với αi = ci−1,1 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Phát biểu tiêu chuẩn Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 1 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s4 + 4s3 + 5s2 + 2s +1 = 0 Giải: Bảng Routh Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 2 Xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối: 50 G(s) = s(s + 3)(s2 + s + 5) 1 H (s) = s + 2 Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 1+ G(s).H (s) = 0 50 1 ⇔ 1+ . = 0 s(s + 3)(s2 + s + 5) (s + 2) ⇔ s(s + 3)(s2 + s + 5)(s + 2) + 50 = 0 ⇔ s5 + 6s4 +16s3 + 31s2 + 30s + 50 = 0 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 2 (tt) Bảng Routh Kết luận: Hệ thống không ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 3 Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định: K G(s) = s(s2 + s +1)(s + 2) Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 1+ G(s) = 0 K ⇔ 1+ = 0 s(s2 + s +1)(s + 2) ⇔ s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 3 (tt) Bảng Routh Điều kiện để hệ thống ổn định:  9 2 − K > 0 14  7 ⇔ 0 0 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Trường hợp đặc biệt 1 Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số ε dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 4 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s4 + 2s3 + 4s2 + 8s + 3 = 0 Giải: Bảng Routh Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định . 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Trường hợp đặc biệt 2 Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0: Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s). Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá trình tính toán tiếp tục. Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 5 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4 = 0 Giải: Bảng Routh 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí dụ 5 (tt) Đa thức phụ: dA (s) A (s) = 4s2 + 4 ⇒ 0 = 8s + 0 0 ds Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng): 2 A0 (s) = 4s + 4 = 0 ⇔ s = ± j Kết luận: Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo. Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3. Hệ thống ở biên giới ổn định 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Qui tắc thành lập ma trận Hurwitz Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: n n−1 a0s + a1s +K+ an−1s + an = 0 Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc: Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n. Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an . Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẳn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Dạng ma trận Hurwitz a1 a3 a5 a7 K 0  a a a a 0   0 2 4 6 K   0 a1 a3 a5 K 0    0 a a a 0  0 2 4 K   M M M M M     0 K K K K an  Phát biểu tiêu chuẩn Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Thí dụ 1 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: s3 + 4s2 + 3s + 2 = 0 Giải: a1 a3 0  4 2 0 a a 0  = 1 3 0 Ma trận Hurwitz  0 2     0 a1 a3  0 4 2 Các định thức: ∆1 = a1 = 1 a1 a3 4 2 ∆2 = = = 4×3−1× 2 =10 a0 a2 1 3 a1 a3 0 a1 a3 4 2 ∆3 = a0 a2 0 = a3 = 2× = 2×10 = 20 a0 a2 1 3 0 a1 a3 Kết luận: Hệ thống ổn định do các định thức đều dương 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 28
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz Hệ bậc 2 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: ai > 0, i = 0,2 Hệ bậc 3 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: a > 0, i = 0,3  i a1a2 − a0a3 > 0 Hệ bậc 4 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: ai > 0, i = 0,4  a1a2 − a0a3 > 0  2 2 a1a2a3 − a0 a3 − a1 a4 > 0 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Định nghĩa Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 →∞. 2 Thí dụ: QĐNS của hệ thống có PTĐT s + 4 s + K = 0 có dạng như hình vẽ dưới đây: 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dạng: N(s) 1+ K = 0 (1) D(s) N(s) Đặt: G (s) = K 0 D(s) Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của G0(s) (1) ⇔ 1+ G0 (s) = 0 G0 (s) =1 Điều kiện biên độ ⇔  ∠G0 (s) = (2l +1)π Điều kiện pha 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n. Qui tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s). Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6. Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực. Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt) Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi : (2l +1)π α = (l = 0,±1,±2,K) n − m Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi: n m ∑ pi − ∑ zi (pi và zi là các cực ∑cực − ∑zero i=1 i=1 OA = = và các zero của G0(s) ) n − m n − m Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình: dK = 0 ds 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt) Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay s=jω vào phương trình đặc trưng. Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi: m n 0 θ j =180 + ∑arg( p j − zi ) − ∑arg( p j − pi ) i=1 i=1 i≠ j Dạng hình học của công thức trên là: 0 θj = 180 + (∑góc từ các zero đến cực p j ) − (∑góc từ các cực còn lại đến cực p j ) 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. K G(s) = s(s + 2)(s + 3) Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống: K 1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1) s(s + 2)(s + 3) Các cực: p1 = 0 p2 = −2 p3 = −3 Các zero: không có 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) π Tiệm cận: α = (l = 0) 1 3 (2l +1)π (2l +1)π π α = = ⇒ α = − (l = -1) n − m 3 − 0 2 3 α3 = π (l =1) cực − zero [0 + (−2) + (−3)] − 0 5 OA = ∑ ∑ = = − n − m 3 − 0 3 Điểm tách nhập: (1) ⇔ K = −s(s + 2)(s + 3) = −(s3 + 5s2 + 6s) dK ⇒ = −(3s2 +10s + 6) ds dK s1 = −2.549 (loại) Do đó = 0 ⇔  ds s2 = −0.785 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) Giao điểm của QĐNS với trục ảo: Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Hurwitz (1) ⇔ s3 + 5s2 + 6s + K = 0 (2) Điều kiện ổn định: K > 0  K > 0 ⇔  ⇔  0 0 5× 6 −1× K > 0 Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo s1 = −5 3 2  s + 5s + 6s + 30 = 0 ⇔ s2 = j 6  s3 = − j 6 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) Giao điểm của QĐNS với trục ảo: Cách 2: (1) ⇔ s3 + 5s2 + 6s + K = 0 (2) Thay s=jω vào phương trình (2): ()jω 3 + 5 ()jω 2 + 6( jω)+ K = 0 ⇔ − jω3 − 5ω 2 + 6 jω + K = 0 ω = 0  K = 0 − jω3 + 6 jω = 0  ⇔  ⇔ − 5ω 2 + K = 0 ω = ± 6   K = 30 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) Im s j 6 Re s −3 −2 0 − j 6 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. K G(s) = s(s2 + 8s + 20) Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống: K 1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1) s(s2 + 8s + 20) Các cực: p1 = 0 p2,3 = −4 ± j2 Các zero: không có 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 41
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) π Tiệm cận: α = (l = 0) 1 3 (2l +1)π (2l +1)π π α = = ⇒ α = − (l = -1) n − m 3 − 0 2 3 α3 = π (l =1) cực − zero [0 + (−4 + j2) + (−4 − j2)] − (0) 8 OA = ∑ ∑ = = − n − m 3 − 0 3 Điểm tách nhập: (1) ⇔ K = −(s3 + 8s2 + 20s) dK ⇒ = −(3s2 +16s + 20) ds dK s1 = −3.33 K Do đó = 0 1+ 2 = 0 ⇔  (hais(s điểm+ 8s tách+ 20 nhập)) ds s2 = −2.00 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 42
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) Giao điểm của QĐNS với trục ảo: (1) ⇔ s3 + 8s2 + 20s + K = 0 (2) Thay s=jω vào phương trình (2): ( jω)3 + 8( jω)2 + 20( jω) + K = 0 ⇔ − jω 3 − 8ω 2 + 20 jω + K = 0 ω = 0 2  − 8ω + K = 0 K = 0 ⇔  ⇔ −ω3 + 20ω = 0  ω = ± 20  K K =160 1+ = 0 s(s2 + 8s + 20) 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 43
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2: 0 θ2 =180 −[arg( p2 − p1) + arg( p2 − p3)] =1800 − {}arg[(−4 + j2) − 0] + arg[(−4 + j2) − (−4 − j2)] 0  −1 2   =180 − tg   + 90   − 4   =1800 − {}153.5 + 90 0 θ2 = −63.5 m n 0 θ j =180 + ∑arg( p j − zi ) − ∑arg( p j − pi ) i=1 i=1 i≠ j 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 44
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) Im s j 20 +j2 −63.50 Re s −4 −2 0 −j2 − j 20 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 45
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. K(s +1) G(s) = s(s + 3)(s2 + 8s + 20) Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống: K(s +1) 1+ G(s) = 0 ⇔ 1+ = 0 (1) s(s + 3)(s2 + 8s + 20) Các cực: p1 = 0 p2 = −3 p3,4 = −4 ± j2 Các zero: z1 = −1 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 46
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) π Tiệm cận: α = (l = 0) 1 3 (2l +1)π (2l +1)π π α = = ⇒ α = − (l = -1) n − m 4 −1 2 3 α3 = π (l =1) cực − zero [0 + (−3) + (−4 + j2) + (−4 − j2)] − (−1) 10 OA = ∑ ∑ = = − n − m 4 −1 3 Điểm tách nhập: s(s + 3)(s2 + 8s + 20) dK 3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60 (1) ⇔ K = − ⇒ = − (s +1) ds (s +1)2 dK  s1,2 = −3,67 ± j1,05 (không có Do đó = 0 ⇔  K(s +1) s = −0,661+± j0.97 = 0 ds  3,4 s(s + 3)(sđiểm2 + 8 stách+ 20 nhập)) 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 47
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) Giao điểm của QĐNS với trục ảo: (1) ⇔ s4 +11s3 + 44s2 + (60 + K)s + K = 0 (2) Thay s=jω vào phương trình (2): ω 4 −11jω3 − 44ω 2 + (60 + K) jω + K = 0 ω = 0  K = 0 ω 4 − 44ω 2 + K = 0 ⇔ ω = ±5,893  3 ⇔  −11ω + (60 + K)ω = 0 K = 322 ω = ± j1,314  K(s(loại)+1) 1+K = −61,7 = 0 s(s + 3)(s2 + 8s + 20) Vậy giao điểm cần tìm là: s = ± j5,893 HSKĐ giới hạn là: K gh = 322 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 48
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3: θ3 =180 + β1 − (β2 + β3 + β4 ) =180 +146,3 − (153,4 +116,6 + 90) 0 θ3 = −33.7 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 49
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) Im s +j5,893 +j2 −33.70 β 1 β2 β3 Re s −4 −3 −1 0 β4 −j2 −j5,893 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 50
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối như sau: 10 G(s) = (s2 + 9s + 3) K G (s) = K + I C P s Cho KI = 2.7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi KP =0→+∞, biết rằng dKP / ds=0 có 3 nghiệm là −3, − 3, 1.5. Khi KP =270, KI = 2.7 hệ thống có ổn định hay không? 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 51
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống: 1+ GC (s)G(s) = 0  2.7  10  ⇔ 1+  KP +   = 0  s  s2 + 9s + 3 10K s ⇔ 1+ P = 0 (1) (s + 9)(s2 + 3) Các cực: p1 = −9 p2 = + j 3 p3 = − j 3 Các zero: z1 = 0 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 52
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) Tiệm cận: (2l +1)π (2l +1)π π / 2 (l = 0) α = = ⇒ n − m 3 −1 − π / 2 (l = −1) cực − zero [−9 + ( j 3) + (− j 3)] − (0) 9 OA = ∑ ∑ = = − n − m 3 −1 2 Điểm tách nhập: s1 = −3 dKP  = 0 ⇔ s2 = −3 ds  s3 =1.5 (loại) QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tại −3 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 53
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2: 0 θ2 =180 + arg( p2 − z1) −[arg( p2 − p1) + arg( p2 − p3)] =1800 + arg( j 3 − 0) −[arg( j 3 − (−9)) + arg( j 3 − (− j 3))] 0  −1 3   =180 + 90 − tg   + 90   − 9   0 θ2 = −169 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 54
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) Khi KI =2.7, QĐNS của hệ thống nằm hoàn toàn bên trái mặt phẳng phức khi KP =0→+∞, do đó hệ thống ổn định khi KI =2.7, KP =270. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 55
Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm đặc tính tần số Hãy quan sát đáp ứng của hệ thống tuyến tính ở trạng thái xác lập khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 57
Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm đặc tính tần số Hệ thống tuyến tính: khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ở trạng thái xác lập tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần số với tín hiệu vào, khác biên độ và pha. Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin . C( jω) Đặc tính tần số = R( jω) Người ta chứng minh được: G(s) G( j ) Đặc tính tần số = s= jω = ω 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 58
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đáp ứng biên độ – Đáp ứng pha Tổng quát G(jω) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dưới dạng đại số hoặc dạng cực: G( jω) = P(ω) + jQ(ω) = M (ω).e jϕ(ω) Trong đó: M (ω) = G( jω) = P2 (ω) + Q2 (ω) Đáp ứng biên độ −1Q(ω) ϕ(ω) = ∠G( jω) = tg   Đáp ứng pha  P(ω) Ý nghĩa vật lý: Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 59
Tiêu chuẩn ổn định tần số Biểu đồ Bode – Biểu đồ Nyquist Biểu đồ Bode: là hình vẽ gồm 2 thành phần: Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ω L(ω) = 20lgM (ω) [dB] Biểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha ϕ(ω) theo tần số ω . Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuông góc với trục hoành ω được chia theo thang logarith cơ số 10. Biểu đồ Nyquist: (đường cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G(jω) trong hệ tọa độ cực khi ω thay đổi từ 0→∞. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 60
Tiêu chuẩn ổn định tần số Các thông số quan trọng của đặc tính tần số Tần số cắt biên (ωc): là tần số mà tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (hay bằng 0 dB). M (ωc ) =1 ⇔ L(ωc ) = 0 Tần số cắt pha (ω−π): là tần số mà tại đó pha của đặc tính tần số bằng −1800 (hay bằng −π radian). 0 ϕ(ω−π ) = −180 ⇔ ϕ(ω−π ) = −π rad Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin): 1 GM = ⇔ GM = −L(ω−π ) [dB] M (ω−π ) Độ dự trữ pha ( ΦM – Phase Margin): 0 ΦM =180 + ϕ(ωc ) 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 62
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệ Hàm truyền: G(s) = K Đặc tính tần số: G( jω) = K Biên độ: M (ω) = K ⇒ L(ω) = 20lg K Pha: ϕ(ω) = 0 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 63
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng 1 Hàm truyền: G(s) = s 1 1 Đặc tính tần số: G( jω) = = − j jω ω 1 Biên độ: M (ω) = ⇒ L(ω) = −20lgω ω Pha: ϕ(ω) = −900 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng Hàm truyền: G(s) = s Đặc tính tần số: G( jω) = jω Biên độ: M (ω) = ω ⇒ L(ω) = 20lgω Pha: ϕ(ω) = 900 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 1 1 Hàm truyền: G(s) = Ts +1 1 K(1−Tjω) Đặc tính tần số: G( jω) = = Tjω +1 1+ T 2ω 2 1 Biên độ: M (ω) = ⇒ L(ω) = −20lg 1+ T 2ω 2 1+ T 2ω2 Pha: ϕ(ω) = −tg −1(Tω) Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: 1 ω : đường thẳng có độ dốc −20dB/dec T 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 1 tần số gãy 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1 Hàm truyền: G(s) = Ts +1 Đặc tính tần số: G( jω) = Tjω +1 2 2 Biên độ: M (ω) = 1+ T ω ⇒ L(ω) = 20lg 1+ T 2ω 2 −1 Pha: ϕ(ω) = tg (Tω) Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: 1 ω : đường thẳng có độ dốc +20dB/dec T 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 71
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1 tần số gãy 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 72
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2 1 Hàm truyền: G(s) = (0 1/T : đường thẳng có độ dốc −40dB/dec 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 73
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2 tần số gãy 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 74
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hoãn Hàm truyền: G(s) = e−Ts Đặc tính tần số: G( jω) = e−Tjω Biên độ: M (ω) =1 ⇒ L(ω) = 0 Pha: ϕ(ω) = −Tω 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hoãn 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76
Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của hệ thống Xét hệ thống tự động có hàm truyền G(s) có thể phân tích thành tích của các hàm truyền cơ bản như sau: l G(s) = ∏Gi (s) i=1 l Đặc tính tần số: G( jω) = ∏Gi ( jω) i=1 l l Biên độ: M (ω) = ∏ Mi (ω) ⇒ L(ω) = ∑ Li (ω) i=1 i=1 l Pha: ϕ(ω) = ∑ϕi (ω) i=1 ⇒ Biểu đồ Bode của hệ thống (gồm nhiều khâu ghép nối tiếp) bằng tổng biểu đồ Bode của các khâu thành phần. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 77
Tiêu chuẩn ổn định tần số Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng: α G(s) = Ks G1(s)G2 (s)G3(s)K (α>0: hệ thống có khâu vi phân lý tưởng α 1 thì có thể chọn ω0 =1. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 78
Tiêu chuẩn ổn định tần số Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận (tt) Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc: (− 20 dB/dec ×α) nếu G(s) có α khâu tích phân lý tưởng (+ 20 dB/dec ×α) nếu G(s) có α khâu vi phân lý tưởng Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. Bước 4: Tại tần số gãy ωi =1/Ti , độ dốc của đường tiệm cận được cộng thêm một lượng: (−20dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu quán tính bậc 1 (+20dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 1 (−40dB/dec ×βi) nếu Gi(s) là βi khâu dao động bậc 2 (+40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 2 Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận tại tần số gãy cuối cùng. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79
Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Bode gần đúng Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 100(0,1s +1) G(s) = s(0,01s +1) Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của hệ thống. Giải: Các tần số gãy: 1 1 1 1 ω1 = = = 10 (rad/sec) ω2 = = = 100 (rad/sec) T1 0,1 T2 0,01 Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ ω = 1  L(ω) = 20lg K = 20lg100 = 40 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80
Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 1 (tt) L(ω), dB A 40 −20dB/dec 0dB/dec 20 −20dB/dec 0 -1 0 1 2 3 lgω 10-1 100 101 102 ωc ω Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 103 rad/sec 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 81
Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 2: Xác định hàm truyền dựa vào biểu đồ Bode Xác định hàm truyền của hệ thống có biểu đồ Bode biên độ gần đúng như sau: L(ω), dB 60 0dB/dec 54 D E A 40 −20dB/dec B C 26 20 0dB/dec 0 -1 0 1 1.301 2 lgω ωg1 ωg2 ωg3 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 82
Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 2 (tt) 54 − 26 Độ dốc đoạn CD: = +40 (dB/dec) 2 −1.301 Các tần số gãy: 40 − 26 lgω = 0 + = 0.7 ⇒ ω =100.7 = 5 (rad/sec) g1 20 g1 lgω =1.301 1.301 g 2 ⇒ ωg 2 =10 = 20 (rad/sec) lgω = 2 2 g3 ⇒ ωg3 =10 =100 (rad/sec) K(T s +1)(T s +1)2 Hàm truyền cần tìm có dạng: G(s) = 1 2 s(T s +1)2 20lg K = 40 ⇒ K =100 3 1 1 1 1 1 1 T1 = = = 0.2 T2 = = = 0.05 T3 = = = 0.01 ωg1 5 ωg 2 20 ωg3 100 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 83
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (−1, j0) l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞, trong đó l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s) . 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 84
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống kín. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 85
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1 (tt) Giải: Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0) Trường hợp c: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định. Trường hợp d: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định; Trường hợp e: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 86
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2 Hãy đánh giá tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết K rằng hàm truyền hệ hở G(s) là: G(s) = s(T1s +1)(T2s +1)(T3s +1) Giải: Biểu đồ Nyquist: 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 87
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2 (tt) Vì G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0) Trường hợp c: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định. Trường hợp d: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định; Trường hợp e: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 88
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Ổn định Không ổn định 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 89
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt) Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Không ổn định 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 90
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt) Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Ổn định Không ổn định 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 91
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là: K G(s) = (K>0, T>0, n>2) (Ts +1)n Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn định. Giải: K Đặc tính tần số của hệ thống là: G( jω) = (Tjω +1)n K Biên độ: M (ω) = n 2 2 ( T ω +1) −1 Pha: ϕ(ω) = −ntg (Tω) 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 92
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt) Biểu đồ Nyquist: Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist không bao điểm (−1,j0). Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi: M (ω−π ) <1 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 93
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt) −1 Ta có: ϕ(ω−π ) = −ntg (Tω−π ) = −π −1 π π  ⇒⇒tg (Tω ) = (Tω−π ) = tg  −π n  n  1 π  ⇒ ω−π = tg  T  n  K Do đó: M (ω ) <1 −π ⇔ n <1  2  2  1 π   T tg +1      n T  n      ⇔  2π   K <  tg   +1   n   27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 94
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Bode Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). Tiêu chuẩn Bode: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương: GM > 0  ⇔ Hệ thống ổn định ΦM > 0 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 95
Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Bode: Thí dụ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hệ hở có biểu đồ Bode như hình vẽ. Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống hở. Hỏi hệ kín có ổn định không? Theo biểu đồ Bode: ωc = 5 ω = 2 L(ω ) −π −π GM L(ω−π ) = 35dB 0 ϕ(ωc ) = −270 GM = −35dB ΦM =1800 + (−2700 ) = −900 −180 ΦM Do GM<0 và ΦM<0 ϕ(ω ) C nên hệ thống kín không ω ω −π C ổn định. 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 96
Tiêu chuẩn ổn định tần số Chú ý Trường hợp hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ, vẫn có thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist hoặc Bode, trong trường hợp này hàm truyền hở là G(s)H(s) . 27 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 97