›
›

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê - Chương 3: Một số phân phối xác suất thông dụng - Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

pdf 68 trang cucquyet12 3820
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê - Chương 3: Một số phân phối xác suất thông dụng - Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_xac_suat_thong_ke_chuong_3_mot_so_phan_p.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê - Chương 3: Một số phân phối xác suất thông dụng - Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

  1. Chương 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG IDỤNG- Phân phối nhị thức a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối nhị thức
  2. ª Tiến hành n phép thử độc lập. ª P(A) = p đối với mọi phép thử. ª X là số lần A xảy ra trong n phép thử, thì X là đ.l.n.n rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2. . . . , n X có phân phối nhị thức với các tham số : n, p.
  3. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với các tham số n và p được ký hiệu là: X  B(n, p).
  4. Thí dụ 1: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại I là 0,8. Cho máy sản xuất 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 5 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(5; 0,8).
  5. Thí dụ 2: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia trong mỗi lần bắn như nhau và đều bằng 0,9. Xạ thủ này bắn 10 viên. Gọi X là số viên trúng bia của xạ thủ này thì X  B(10; 0,9).
  6. Thí dụ 3: Có 3 cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi người ném một quả). Xác suất ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6. Gọi X là số lần ném trúng rổ của 3 cầu thủ này. X có phân phối nhị thức hay không?
  7. Khái niệm các phép thử độc lập 1 và 2 là hai phép thử độc lập nếu như xác suất xảy ra một biến cố nào đó của phép thử 1 không phụ thuộc vào kết quả của phép thử 2 và ngược lại.
  8. b- Công thức tính xác suất Nếu X  B(n, p) x x n x Px P(X x) Cnp q (x 0,1,2, ,n) (3.1)
  9. Thí dụ: X  B(5; 0,8) P(X 0) (0,2)5 0,00032 1 4 P(X 1) C5 (0,8)(0,2) 0,0064 2 2 3 P(X 2) C5 (0,8) (0,2) 0,0512 3 3 2 P(X 3) C5 (0,8) (0,2) 0,2048 4 4 P(X 4) C5 (0,8) (0,2) 0,4096 P(X 5) (0,8)5 0,32768
  10. Nếu X  B(n, p), thì: P(x X x+h) = P(X = x) + P(X = x+ 1) + . . . . + P(X = x+h) (3.2) Trong đó: P(X=x), P(X=x+1),. . . , P(X=x+h) được tính theo công thức (3.1)
  11. Thí dụ: X  B(5; 0,8) P(1 X 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,0064 + 0,0512 + 0,2048 = 0,2624
  12. c- Các tham số đặc trưng: Kỳ vọng toán: Nếu X  B(n , p) thì: E(X) = np Phương sai: Nếu X  B(n , p) thì: Var(X) = npq
  13. Giá trị tin chắc nhất: Nếu X  B(n , p) thì: np + p - 1 Mod(X) np + p
  14. II- Phân phối Poisson a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối Poisson X  B(n, p) nhưng n lớn, p nhỏ (p < 0,1), np =  không đổi thì ta có thể coi X có phân phối Poisson với tham số .
  15. X có phân phối Poisson với tham số  được ký hiệu là: X  P() Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là 0,001. Cho máy sản xuất 2000 sản phẩm.
  16. Gọi X là số phế phẩm có trong 2000 sản phẩm do máy sản xuất thì X  B(2000; 0,001). Khi đó ta có thể coi X  P(2) b- Công thức tính xác suất
  17. Nếu X  P() thì: k P = P(X = k) = e- k k! (k = 0, 1, 2, . . .) e - hằng số nêpe: n 1 e = Lim 1 ; e 2,71828 n n
  18. Nếu X  P() thì: P(k X k+h) = Pk+ Pk+1+. . .+Pk+h (3.9)
  19. Thí dụ: Một máy dệt có 500 ống sợi. Xác suất để một ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ máy hoạt động là 0,004. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt.
  20. Giải: Nếu coi việc quan sát 1 ống sợi xem có bị đứt hay không trong khoảng thời gian 1 giờ là một phép thử thì ta có 500 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử biến cố A (ống sợi bị đứt) xảy ra với xác suất là p = 0,004.
  21. Nếu gọi X là số ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ thì X ~ B(500; 0,004) Vì n = 500 khá lớn, p = 0,004 rất nhỏ; np = 500×0,004 = 2 không đổi nên ta có thể coi X ~ P(2)
  22. Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ là: P(0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 20 P P(X 0) e 2 e 2 0 0!
  23. 21 P P(X 1) e 2 2e 2 1 1! 22 P P(X 2) e 2 2e 2 2 2! P(0 X 2) e 2 2e 2 2e 2 5e 2 0,6767
  24. c- Các tham số đặc trưng: Có thể chứng minh được rằng: Nếu X  P() thì: E(X) = Var(X) =   1 Mod(X) 
  25. III- Phân phối Siêu bội a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân phối siêu bội Từ một tập hợp gồm N phần tử (trong đó có M phần tử có tính chất A) lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra n phần tử.
  26. Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử lấy ra, X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị trong khoảng [n1, n2]. n1 = max{0, n-N+M} n2 = min{n, M}
  27. X có phân phối siêu bội với các tham số: N, M, n. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với các tham số N, M, n được ký hiệu là: X  H(N, M, n)
  28. Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm loại A). Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm lấy ra. X có phân phối siêu bội với các giá trị có thể nhận là: 2, 3, 4, 5.
  29. b- Công thức tính xác suất Nếu X  H(N, M, n) Cx Cn x P(X = x) = M N M n CN (3.12) Max 0, M+n-N x Min n, M
  30. 3- Các tham số đặc trưng Nếu X  H (N, M, n) thì: E(X) = np (với p = M ) N Var(X) = npq N-n N-1 (với q = 1-p)
  31. Nếu X  H (N, M, n) nhưng n rất bé so với N thì ta có thể coi X  B(n, p) với M p = N Công thức xấp xỉ: x n x CMCN M x x n x n Cnp q CN
  32. Thí dụ: Một lô hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 800 sản phẩm loại A và 200 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 10 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra ?
  33. Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra. X  H(1000, 800, 10). Nhưng vì lấy ít (10) từ một tập hợp có số phần tử lớn (1000) nên ta có thể coi X  B(n, p), với n = 10 và p = 0,8
  34. Xác suất cần tìm là P(X 8). P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) 8 8 2 + P(X = 10)= C10 (0,8) (0,2) 9 9 10 + C10 (0,8) (0,2) +(0,8) = 0,6778 Hãy tính xác suất trên bằng công thức của phân phối siêu bội.
  35. IV- Phân phối Chuẩn a- Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (  được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:
  36. (x - )2 1 f(x) = e 2 2 2 Nếu tiến hành khảo sát hàm này ta thấy: f(x) > 0 ( x) Khi x thì f(x) . Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 
  37. 1 f() =  2 Đồ thị của hàm f(x) có dạng như hình chuông, đối xứng qua đường thẳng x = 
  38. b- Các tham số đặc trưng - Kỳ vọng toán: Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : E(X) =  - Phương sai:
  39. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : Var(X) = 2 Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2 được ký hiệu là: X  N(  2).
  40. Phân phối chuẩn do nhà toán học Đức Karl Gauss tìm ra nên còn gọi là phân phối Gauss. c- Phân phối chuẩn chính tắc Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là  và phương sai là 2. Xét đại lượng ngẫu nhiên:
  41. X  Z =  Đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị trong khoảng (  ) được gọi là có phân phối chuẩn chính tắc nếu hàm mật độ xác suất của Z có dạng:
  42. 1 z2 f(z) = e 2 2 Đồ thị của hàm f(z) cũng có dạng hình chuông, đối xứng qua trục tung. (hình vẽ)
  43. Có thể chứng minh được rằng: Nếu đại lượng ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn chính tắc thì: E(Z) = 0 và Var(Z) = 1 ĐLNN Z có phân phối chuẩn chính tắc được ký hiệu là: Z  N(0, 1)
  44. d- Công thức tính xác suất: ª Nếu X  N(, 2) thì : b - a - P(a X b) =     Trong đó: x  x = f(z)dz (Hàm Laplace) 0
  45. Đồ thị hàm Laplace
  46. Giá trị hàm Laplace f(z) (x) 0 x z
  47. Các giá trị của hàm (x) được tính sẵn ở phụ lục 2. (Lý thuyết xác suất và thống kê toán). Chú ý: (x) là hàm lẻ, do đó: ( x) = (x)
  48. Trong bảng chỉ tính (x) với x 4, với x > 4 thì hàm (x) tăng rất chậm và nhận giá trị rất gần 0,5. Do vậy ta lấy (x) = 0,5 (x > 4).
  49. (1,96) = 0,475; (2,33) = 0,4901
  50. ª Nếu X  N( 2) thì :  P( X   ) = 2 
  51. Thí dụ: Chiều cao của sinh viên ở một trường Đại học là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với chiều cao trung bình  = 160 cm và độ lệch tiêu chuẩn  = 5 cm. Tính tỷ lệ sinh viên có chiều cao trong khoảng từ 150 cm đến 170 cm.
  52. Giải: Gọi X là chiều cao của sinh viên trường này. Theo giả thiết thì: X  N(160; 52) Tỷ lệ sinh viên có chiều cao từ 155 đến 165 cm chính là: P(155 X 165)
  53. Tức tỷ lệ s/v có chiều cao từ 155 cm đến 165 cm là 68,26%.
  54. Minh họa hình học: 68,26%
  55. e- Sự hội tụ của phân phối nhị thức về phân phối chuẩn X ~ B(n, p) nhưng n lớn, p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì có thể coi X ~ N(np, npq). Các công thức xấp xỉ:
  56. 1 P(X = x) = xpxqn-x f(z) Cn npq (công thức địa phương Laplace) Trong đó: x np 1 z = ; f(z) = exp( z 2 / 2) npq 2
  57. Khi n lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì ta có thể dùng công thức xấp xỉ: P(x X x+h) (x2) (x1) (Công thức tích phân Laplace)
  58. 1 X (x) = exp( z 2 / 2)dz 2 0 (Hàm Laplace) x np x h np x1 = ; x2 = npq npq
  59. Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8. Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm do máy sản xuất có: a) 336 sản phẩm loại A b) Số sản phẩm loại A trong khoảng (304; 328)
  60. Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 400 sản phẩm do máy sản xuất. X  B(400, 0,8). Vì n = 400 khá lớn, p = 0,8 không quá gần 0 và không quá gần 1, nên có thể áp dụng công thức địa phương Laplace.
  61. 1 a) P(X 336) f(z) 400 0,8 0,2 336 400 0,8 z 2 400 0,8 0,2 f(z) f(2) 0,054 f(z) 0,054 P(X 336) 0,00675 8 8
  62. b) Ta cần tính P(304 ≤ X ≤ 328) Áp dụng công thức tích phân Laplace, ta có: P(304 ≤ X ≤ 328) (x2) - (x1) Trong đó:
  63. 328 400 0,8 x 1 2 400 0,8 0,2 304 400 0,8 x 2 1 400 0,8 0,2
  64. P(304 X 328) (1) - (-2) = (1) + (2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185
  65. TỔNG KẾT CHƯƠNG 3 pp pp pp pp nhị siêu Poisson chuẩn thức bội Bài toán tổng quát ĐN, đồ thị Công thức tính xác suất Các tham số đặc trưng
  66. Bài tập chương 3 3.9; 3.22; 3.23; 3.24; 3.25; 3.26; 3.29; 3.30; 3.31; 3.32; 3.38; 3.40. Hết chương 3