›
›

Bài giảng môn Sức bền vật liệu - Chương 2: Ổn định của các thanh thẳng

ppt 40 trang cucquyet12 4340
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Sức bền vật liệu - Chương 2: Ổn định của các thanh thẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_mon_suc_ben_vat_lieu_chuong_2_on_dinh_cua_cac_than.ppt

Nội dung text: Bài giảng môn Sức bền vật liệu - Chương 2: Ổn định của các thanh thẳng

  1. Chương 2 Ổn định của các thanh thẳng
  2. Nội dung 2.1. Ổn định của thanh thẳng có liên kết cứng ở hai đầu chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler). 2.2. Ổn định của thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh. 2.3. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén lệch tâm. 2.4. Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong các thanh thẳng chịu nén uốn. 2.5. Ổn định của các thanh ghép. 2.6. Những giới hạn của lý thuyết Euler. 2.7. Sự phá hoại của cột có chiều dài cột bất kỳ : lý thuyết Rankin. 2.8. Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn định của cột.
  3. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) Các thanh thẳng chịu nén trong kết cấu công trình có thể là các cột, các dầm giằng hoặc các thanh chịu nén của dàn Khi lực nén đúng tâm tác dụng vào cột tăng dần đến một giá trị tới hạn ➔ cột sẽ bị uốn theo một phương nào đó tùy thuộc vào hình dạng hình học của cột và các khiếm khuyết của vật liệu Lý thuyết Euler nghiên cứu sự mất ổn định uốn dọc của các thanh có độ mảnh lớn, tuyệt đối thẳng, vật liệu cấu tạo đồng nhất và lực tác dụng một cách chính xác dọc theo đường trục thẳng qua tâm của tiết diện Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi
  4. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.1. Thanh có hai đầu liên kết khớp Phương trình vi phân của đường đàn hồi : z P d 2v M v"= 2 = − (2.1) a) b) dz EJ x Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ L y G M(z) = Pth v v’ Phương trình đường đàn hồi: y v = Asin z + Bcos z O P A, B : hằng số, 2 = th (2.2) Hình 2.1. EJ Điều kiện biên : tại z = 0 và z = L, v = 0 ➔ B = 0 , A sinαL= 0, A ≠0 ➔ αL = k π
  5. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) k 2 2 EJ P = (2.3) th l 2 Khi k = 1 ➔ lực tới hạn Euler 2 EJ P = (2.4) th l 2 Hình 2.2. Các dạng mất ổn định của dầm hai đầu khớp ứng với k = 1, 2, 3.
  6. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.2. Thanh có hai đầu liên kết ngàm Pth Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ M(z) = Pv - Mo v Phương trình vi phân của đường đàn hồi: L P M v"+ v = o (2.5) EJ EJ Nghiệm tổng quát của Pt. (2.5) y M M o v(z) = Asin z + Bcos z + o 2 EJ Hình 2.3. Điều kiện biên: tại z = 0 và z = L, v(o) = 0, v’(o) = 0 và v(L) = 0, v’(L) = 0 ➔ A, B
  7. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.2. Thanh có hai đầu liên kết ngàm Phương trình đường đàn hồi: M (1− cos L) v(z) = − o cos z + sin z −1 2 EJ sin L (2.6) Góc xoay tại một mặt cắt Z bất kỳ: M (1− cos L) v'(z) = − o − sin z + cos z 2 EJ sin L (2.7) Lực tới hạn: Thay v’(L) = 0 vào phương trình (2.7) ➔ 1−cos L = 0 ➔ L = k với k = 0, 2, 4 4 2 EJ P = (2.8) th L2
  8. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.3. Thanh có một đầu khớp, một đầu ngàm Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ z P M(z) = P v + F(L – z) F th v Phương trình vi phân của đường đàn hồi: L d 2v P F(L − z) EJ + th v = − (2.9) dz 2 EJ EJ F Nghiệm tổng quát của Pt. (2.9) M P F(L − z) v(z) = Asin z + Bcos z − Hình 2.4. 2 EJ Điều kiện biên: tại z = 0, v(o) = 0, v’(o) = 0 và tại z = L, v(L) = 0, ➔ A, B
  9. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.3. Thanh có một đầu khớp, một đầu ngàm Phương trình đường đàn hồi: F v(z) = [−sin z + tan Lcos z − (L − z)] (2.10) L = 4.49 3 EJ tan L F L Tại z = 0, v(0) = 0 ➔ v(o) = [tan L − L] = 0 3 EJ ➔ tan L− L = 0 (2.11) Lực tới hạn: 2.05 2 EJ Hình 2.5. ➔ P = (2.12) th L2
  10. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.4. Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do z δ Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ Pth M(z) = -Pth(δ – v) v Phương trình vi phân của đường đàn hồi: L z EJ d 2v P P  + th v = th dz 2 EJ EJ (2.13) y Nghiệm tổng quát của Pt. (2.13) M P th v(z) = Asin z + Bcos z + Hình 2.6. Điều kiện biên: tại z = 0, v(o) = 0, v’(o) = 0 và tại z = L, v(L) = δ, ➔ A, B
  11. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.4. Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do Phương trình đường đàn hồi: cos L v(z) =  ( sin z − cos z +1) (2.14) sin L cos L ➔ v'(z) = ( cos z + sin z) (2.15) sin L cos L • Tại z = 0, v’(0) = 0 v'(0) =  = 0 ➔ sin L • Nếu sin L 0 ➔ cos L = 0 ➔ αL= k với k = 1, 3, 5 2 Lực tới hạn nhỏ nhất: 2 EJ P = (2.16) th 4L2
  12. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) Lực tới hạn: k 2 2 EJ P = (2.17) th (L)2 • Ltt = μL : chiều dài tương đương tính toán của thanh • μ là hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết ở hai đầu thanh • Thanh có hai đầu liên kết ngàm μ = 0.5 • Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu liên kết khớp, μ = 0.7 • Thanh có hai đầu liên kết khớp, μ = 1 • Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do , μ = 2
  13. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh Phương pháp nghiên cứu: Chia thanh thành từng đọan trong đó chuyển vị và nội lực là liên tục Thiết lập các phương trình vi phân đường đàn hồi cho từng đọan thanh Căn cứ vào điều kiện biên ở các đầu thanh và điều kiện nối tiếp giữa các đọan thanh ➔ thiết lập phương trình ổn định
  14. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.1. Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp ❖ Thiết lập phương trình chuyển vị cho đọan thanh O C z 1 ở trạng thái biến dạng: 0 z1 a O2 QB • Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đọan O1C b vc M1(z1 ) = Pv1 – QA z1 L C a • Phương trình vi phân của đường đàn hồi Pth 2 P v −Q z y d v1 th 1 A 1 (2.18) 2 = − O1 dz 1 EJ QA • Nghiệm tổng quát của Pt. vi phân P th Q z v (z) = Asin z + Bcos z + A 1 Hình 2.7. 1 1 1 2 EJ • Điều kiện biên : tại z1 = 0, v1(0) = 0, v’1(0) ➔A, B
  15. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.1. Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp • Phương trình chuyển vị cho đọan thanh O1C: QA QA v (z) = Asin z + z v'1 (z) = Acos z1 + (2.18) 1 1 2 EJ 1 2 EJ ❖ Thiết lập phương trình chuyển vị cho đọan thanh O2C ở trạng thái biến dạng: • Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đọan O2C : M(z) = QB z2 d 2v Q z • Phương trình vi phân của đường đàn hồi : 2 = − B 2 dz 2 EJ • Nghiệm tổng quát của Pt. vi phân: Q v = − B z 3 + C z + C 2 6EJ 2 1 2 2 • Điều kiện biên : tại z =0, v2 = 0, v’2 (0), ➔C1, C2 • Phương trình chuyển vị cho đọan thanh O2C: Q 3 QB 2 (2.19) v = − B z + C z v' = − z + C 2 6EJ 2 1 2 2 2EJ 2 1
  16. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.1. Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp ❖ Điều kiện nối tiếp giữa các đọan thanh ➔ thiết lập phương trình ổn định Pv 2 EJv LQ Q • Điều kiện cân bằng c c v = A B 3 QA = QB = = ➔ c 2 ➔ vc = v2 (b) = − b + C1b L L EJ 6EJ • Điều kiện liên tục v1(C) = v2(C) và v’1(C) = -v’2(C), và điều kiện cân bằng ta được: 3 • v1(C) = v2(C) QA a b ➔ Asin a − ( + ) −C1b = 0 (2.20) EJ 2 6 Q 1 b2 • v’1(C) = -v’2(C), ➔ Acos a + A ( − ) + C = 0 EJ 2 2 1 (2.21) 3 QA b L • vc = v2(b) ➔ ( + 2 ) −C1b = 0 (2.22) EJ 6 • Hệ thống phương trình trên có nghiệm ➔ Định thức = 0 ➔ tải trọng tới hạn
  17. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.1. Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp a b3 1 sin a ( + ) - b 2 6 EJ D(α) = 1 b2 1 cos a ( − ) 1 = 0 2 2 EJ b3 L 1 0 ( + ) - b 6 2 EJ b(L − a)  6 tan a = 2 3 tan = ➔ b Và nếu a = b = L/2, và đặt αL = β ➔ 2 (2.23) − L − b 2  −36 3 ❖ Nghiệm của Pt. (2.23) là = 4.23, vậy lực tới hạn nhỏ nhất sẽ là: 18.66EJ P = 2 EJ = (2.24) th L2
  18. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. z a) P1 b) P1 c) P1 δ L1 C C C L P L2 2 P2 P2 y O2 O O M 1 1 P1+P2 Hình 2.8. Các dạng mất ổn định • H 2.8b. đoạn thanh O2C có đường biến dạng như thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do. Tại C sẽ có điểm uốn và lực P1 sẽ đi qua điểm C • H.2.8c: Đoạn thanh O1C có đường biến dạng giống như thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do, tiếp tuyến tại C sẽ thẳng đứng.
  19. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn ❖ Đoạn thứ nhất: 0≤ z1 ≤ L1 ( gốc toạ độ đặt tại O1) • Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đoạn này cho bởi: M1 = -P1(δ – v1) 2 d v1 P1 ( − v1 ) • Phương trình vi phân của đường đàn hồi : 2 = dz1 EJ • Điều kiện biên :z1 = 0, v1(0) = δ, và v’1(0) = v’o, , , vo ➔ Phương trình vi phân của đường đàn hồi : v1 (z1 ) = ( )sin 1z1 + (2.25) 1 , , (2.26) v1 (z1 ) = vo cos 1z1 P = 1 Trong đó: 1 EJ
  20. 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn ❖ Đoạn thứ hai: 0≤ z2 ≤ L2 ( gốc toạ độ đặt tại O2) • Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đoạn này cho bởi: d 2v (P + P )v − P − P v • Phương trình vi phân của đường đàn hồi : 2 1 2 2 1 2 c 2 = − dz2 EJ • Điều kiện biên :: z2 = 0, v2 = v1 (L1) và v’2 (0) = v’1 (L1) ➔ Phương trình của đường đàn hồi : , , vo P1 vo , sin 1L1 v2 = cos 1L1 sin 2 z2 − sin 1L1 (1− cos 2 z2 ) + + vo (2.27) 2 P1 + P2 1 1 , , , P1 vo v2 = 1vo cos 1L1 cos 2 z2 − 2 sin 2 z2 (2.28) P1 + P2 1
  21. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn • Thay vào phương trình (2.27) và (2.28) điều kiện biên ở ngàm: khi z2 = L2, v2 (0) = 0 và v’2 (0) = 0, , , vo P1 vo , sin 1L1 ➔ cos 1L1 sin 2 L2 − sin 1L1(1− cos 2 L2 ) + + vo = 0 (2.29) 2 P1 + P2 1 1 , , P1 vo 1vo cos 1L1 cos 2 L2 − 2 sin 2 L2 = 0 (2.30) P1 + P2 1 • Điều kiện tồn tại v’o và δ thì định thức của hệ phương trình (2.29) và (2.30) phải bằng không. Triển khai định thức ta tìm được phương trình ổn định: P cos L cos L 1− 1 2 tan L tan L = 0 1 1 2 2 1 1 2 2 (2.31) P1 + P2 1
  22. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn • Phương trình (2.31) thoả mãn với một trong ba trường hợp sau: P + P P1 2 1 2 1 2 1− tan L tan L = 0 tan 1L1 tan 2 L2 = = a) 1 1 2 2 ➔ P (2.32) P1 + P2 1 1 2 1 ➔ Lúc này hệ sẽ mất ổn định theo dạng như Hình 2.8a 2 EJ (P + P ) = cos L = 0 ➔ 1 2 th 2 b) 2 2 4L2 (2.33) ➔ Hệ sẽ mất ổn định theo dạng như Hình 2.8b 2 EJ (P ) = (2.34) ➔ 1 th 4L2 b) cos 1L1 = 0 1 ➔ Hệ sẽ có dạng mất ổn định như Hình 2.8c
  23. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.2. Cách tính gần đúng a) z δ b) z c) z Pth v P3 z L L L 3 EJ Pzth P2 z z2 P1 z1 y y y Hình 2.9. 2 2 2 EJ EJ Pth z Hình 2.9a ➔ P = ➔ = 2 = (z) (2.35) Pth = 2 Hình 2.9b ➔ zth 2 4L 4z Pzth L
  24. 2.3. Ổn định thanh thẳng chịu lực nén lệch tâm z • Moment uốn tại một mặt cắt bất kỳ cho bởi: M = P(e + Pth e v) a) • Phương trình vi phân cuả đường đàn hồi: v d 2v P(e + v) L = − dz 2 EJ z v’ • Điều kiện biên ại z = 0, v(0) = 0 và khi z = L, v(L) = 0 y : t O • Phương trình cuả đường đàn hồi: b) x e(1− cos L) v(z) = sin z + ecos z − e (2.36) Điểm đặt sin L lực y C • Độ võng lớn nhất 1 1 2sin L(1− cos L) e 2 2 1 vo = v(L / 2) = e = e sec L −1 (2.37) 1 1 2 2sin Lcos L Hình 2.10. 2 2
  25. 2.3. Ổn định thanh thẳng chịu lực nén lệch tâm 1 L P • Khi P = 0 thì L = = 0 và v = 0 2 2 EJ o 2 2 1 • Khi P → EJ / L thì L → π/2 và sec → 2 • Khi bắt đầu chất tải xuất hiện vo. • Khi P v Hình 2.11. o • Khi P vo Vật liệu bị phá hủy ở một giá trị P nào đó <
  26. 2.4. Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong các thanh thẳng z • Khi thanh bị uốn, ngoài moment uốn trong thanh còn có lực cắt, P Gọi: y1 là độ võng của thanh do momem uốn và y2 là độ võng của thanh do lực cắt gây ra dv dv 1 + 2 • Góc trượt γ của phân tố có chiều dài dz do lực cắt Q gây ra: L dz dz dv Q  dM Z 2 =  = = y dz GF GF dz G là modul đàn hồi khi trượt, F là tiết diện mặt trượt, dv2 μ là hệ số phụ thuộc hình dạng tiết diện. Q • Độ võng của thanh do momem uốn và lực cắt dz γ d 2v M Q 1 = − h dz 2 EJ d 2v  d 2 M Hình 2.12. 2 = dz 2 GF dz 2
  27. 2.4. Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong các thanh thẳng • Phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng d 2v M  d 2M = − + dz 2 EJ GF dz 2 d 2 M d 2v = P • Moment tại một tiết diện cắt bất kỳ là: M = Pv dz 2 dz 2 P d 2v EJ 1− + Pv = 0 (2.38) GF dz 2 • Nghiệm của phương trình trên có dạng : v = Asin z + Bcos z P = Trong đó : P EJ(1− ) GF
  28. 2.4. Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong các thanh thẳng • Từ các điều kiện biên khi z = 0 và z = L, v = 0, ta tìm được phương trình ổn định : sin L = 0 Phương trình này được thỏa với αL = kπ , k = 1, 2, 3, . 2 EJ 1 P = = P k = 1 th L2  2 EJ Euler (2.39) 1+ GF L2 1 Trong đó :  =  2 EJ < 1 1+ GF L2 ➢ Nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt thì lực tới hạn sẽ nhỏ hơn lực Euler ➢ Ảnh hưởng của lực cắt đối với tải trọng tới hạn bé tính ổn định có thể bỏ qua
  29. 2.5. Ổn định các thanh ghép • Khi thiết kế các thanh chịu lực nén tương đối lớn ➔ dùng các thanh cơ bản ghép lại với nhau để mở rộng tiết diện ➔ ghép với nhau bằng các thanh giằng hay các bản giằng • Dưới tác dụng của lực nén ➔ hiện tượng trượt xảy ra a) b) c) trong các thanh giằng ➔ kể đến lực cắt khi tính ổn định. • S.P. Timoshenco đã đưa ra cách tính gần đúng: • Xem thanh ghép như là thanh đặc nhưng phải kể đến ảnh hưởng của lực cắt. • Nối bằng các thanh giằng ngang, ➔ các mối nối được xem là liên kết khớp • Nối với nhau bằng các bản giằng, ➔ các mối nối được xem là liên kết ngàm Hình 2.13.
  30. 2.5. Ổn định các thanh ghép 2.4.1. Thanh ghép được liên kết bằng các thanh giằng : δ11 • Góc trượt do lực cắt bằng một đơn vị gây ra : _    = = Q=1 Q GF h _ _ _ Fg 11  Vì biến dạng nhỏ ➔   tan  = Fx h α Q=1 Fn • Chuyển vị do các lực dọc N trong các thanh giằng : b N 2 L 11 =  Hình 2.14. EF • Lực dọc Nn trong thanh giằng ngang : Nn = 1 Lực Q = 1 ➔ • Lực dọc Nx trong thanh giằng xiên : Nx = 1/cosα
  31. 2.5. Ổn định các thanh ghép 2.4.1. Thanh ghép được liên kết bằng các thanh giằng : h 1 1 11 = 2 + E Fx cos sin Fn tan Trong đó: Fx diện tích mặt cắt ngang của thanh giằng xiên. Fn là diện tích mặt cắt ngang của thanh giằng ngang _  11 1 1 1  = = = 2 + GF h E Fx cos sin Fn tan _  Thay  = vào phương trình (2.39) GF 2 EJ 1 Pth = L2 2 EJ 1 1 1+ + (2.40) 2 2 L EFx cos sin EFn tan Trong đó:J là moment quán tính của tiết diện các thanh cơ bản
  32. 2.5. Ổn định các thanh ghép 2.4.1. Thanh ghép được liên kết bằng các thanh giằng : Từ công thức (2.40 ): ➔ Pth tỉ lệ với Fx và Fn ➔ Các thanh xiên có tác dụng đảm bảo ổn định tốt hơn thanh ngang 1 o P = P Ví dụ : nếu Fx = Fy và góc α = 45 thì th Euler P 1+ Euler (2,83+1) EF Nếu trong mỗi khoang có hai thanh xiên: ➔ một thanh xiên chịu kéo và một thanh xiên chịu nén ➔ thanh ngang không chịu lực 1 Pth = PEuler P 1 (2.41) Công thức (2.40 ) ➔ 1+ Euler 2 E Fx cos sin
  33. 2.5. Ổn định các thanh ghép 2.4.1. Thanh ghép được liên kết bằng các bản giằng : • Giả thiết khi mất ổn định đường biến dạng của thanh cơ a) δ11 bản có điểm uốn ở giữa mỗi khoang 1/2 _ _ 3 1/2 h bh 11 = M1 M 1 = + h/2 24EJc 12EJb Jc Jb _  h2 b   = 11 = + = h/2 h 24EJc 12EJb GF 1/2 1/2 b • Thay giá trị này vào phương trình (2.39) b) 1 Pth = PEuler h/2 h2 bh 1+ PEuler + h/4 24EJc 12EJb h/4 Jb : moment quán tính của tiết diện hai bản giằng Jc : moment quán tính của một bên thanh cơ bản _ Hình 2.15. đối với trục quán tính chính trung tâm của nó. M1
  34. 2.6. Những giới hạn của lý thuyết Euler Từ công thức tính lực tới hạn Euler (2.7) σth Lý thuyết Euler 2 Pth EJ Cường độ phá họai ➔ ứng suất tới hạn  th = = A AL2 của vật liệu 2 Ứng suất phá Với : J = Ar họai thực tế 2 2 Pth E E λ  th = = = (2.42) A (L / r)2 2 nhỏ λ lớn λ Trong đó λ = L / r là hệ số độ mảnh của cột. Hình 2.16. Cột dài và mảnh: λ lớn ➔ Phá họai do mất ổn định Cột ngắn, tiết diện lớn: λ nhỏ ➔ Phá họai do vật liệu bị nén
  35. 2.7. Sự phá hoại của cột có chiều dài cột bất kỳ : lý thuyết Rankin ▪ Do sự hạn chế của lý thuyết Euler ➔phương pháp thực nghiệm và nửa thực nghiệm dùng để tiên đoán sự phá hoại của cột có chiều dài bất kỳ ▪ Lý thuyết phù hợp với thực nghiệm là phương pháp của Rankin ▪ Với một lọai vật liệu, Rankin đề nghị rằng : 1 1 1 = + (2.43) Pph Pc Pth Trong đó: Pn là tải trọng phá hoại của cột ngắn do nén Pth là tải trọng tới hạn do mất ổn định của cột dài và mảnh ▪ Phương trình (2.43) đúng với cột có chiều rất dài ngắn vì khi đó 1/Pth → 0 thì Pph → Pn. ▪ Khi cột dài và mảnh thì 1/Pn rất bé so với 1/Pth và khi đó Pph → Pth ➢ phương trình (2.43) thoả cho hai cực của chiều dài cột.
  36. 2.7. Sự phá hoại của cột có chiều dài cột bất kỳ : lý thuyết Rankin P  = c ▪ cường độ của vật liệu do nén c A P 2 E  = th = ▪ ứng suất tới hạn do mất ổn định th A 2 2 AE c Thay vào Pt. (2.43) ta được : Pph = 2 2 E +   c P   = ph = c (2.44) Như vậy : ph A 1+ k2 Trong đó k là một hằng số phụ thuộc vào vật liệu Khả năng chịu nén của cột có chiều dài bất kỳ phụ thuộc vào hệ số độ mảnh của cột.
  37. 2.8. Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn định của cột ▪ Tiết diện ngang của cột có hai trục đối xứng ➔mất ổn định uốn sẽ xảy ra đối với trục có độ cứng nhỏ ▪ sự biến dạng võng thường xảy ra trong một mặt phẳng Ví dụ: uốn quanh trục Cx và võng trong mặt phẳng Cyz ( Hình 2.17) Hình 2.17.
  38. 2.8. Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn định của cột ▪ Diện ngang chỉ có một trục đối xứng, ví dụ Cy như trên Hình 2.18 • Khi sự mất ổn định do uốn xảy ra quanh trục trọng tâm chính có độ cứng yếu hơn, thì sự xoắn cũng xảy ra đồng thời • Ảnh hưởng của sự xoắn sẽ trở nên quan trọng nếu tâm của lực cắt không trùng với tâm của tiết diện. Hình 2.18.
  39. 2.8. Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn định của cột ▪ Diện ngang không có trục đối xứng, ví dụ như Hình 2.19 • Dạng võng mất ổn định luôn luôn có liên quan đến xoắn • Sự mất ổn định phần lớn gây ra do xoắn, uốn chỉ có một đóng góp nhỏ