Bài giảng môn Sức bền vật liệu - Chương 4: Ổn định của các khung phẳng

Nội dung text: Bài giảng môn Sức bền vật liệu - Chương 4: Ổn định của các khung phẳng

1. Chương 4 ỔN ĐỊNH CỦA CÁC KHUNG PHẲNG
2. 4.1. Các giả thiết Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi. Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển vị của các thanh qui tụ tại một nút đều như nhau. Khi xét biến dạng của thanh chịu uốn, bỏ qua biến dạng trượt và biến dạng dọc trục. Do đó trước và sau biến dạng, chiều dài theo phương ban đầu của các thanh không đổi. Trừ trường hợp biến dạng dọc trục do nhiệt độ gây ra Khi xác định chuyển vị trong khung chỉ kể đến ảnh hưởng của biến dạng uốn và do lực dọc xuất hiện trước biến dạng gây ra. Ảnh hưởng của gia số lực dọc xuất hiện sau khi hệ mất ổn định được bỏ qua. Tải trọng tác dụng lên khung chỉ đặt tại các nút. Những tải trọng này chỉ gây ra hiện tượng kéo hoặc nén mà không gây ra hiện tượng uốn ngang trong các thanh của khung khi hệ chưa mất ổn định.
3. Theo giả thiết trên: Trước khi nghiên cứu sự ổn định cần phải xác định lực dọc trong các thanh của khung chịu tải trọng đã cho không đặt tại nút (Hình 4.1a), tiếp đó xác định tải trọng tới hạn của khung chịu tải trọng đặt tại nút có giá trị bằng lực dọc đặt trong các thanh tương ứng ( Hình 4.1b) Các lực ngang chỉ xuất hiện sau khi hệ mất ổn định với giá trị rất nhỏ, ➔ giữa chuyển vị ngang và tải trọng ngang có sự liên hệ tuyến tính ➔ có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng đối với các tải trọng ngang trong các thanh chịu uốn cùng với nén. Q P1 P2 q2 q 3 P3 P P 4 4 5 2 3 2 3 5 P q3 5 1 4 6 1 4 6 Hình 4.1
4. 4.2. Cách xác định chuyển vị trong các thanh chịu kéo hoặc nén. P P1 2 Định lý công tương hổ: P1 ∆12 = P2 ∆21 ∆11+ ∆12 ∆21+ ∆22 Phương pháp tính chuyển vị ‘’m’’ Nếu P2 = 1 A 21 = P2 ∆21 = 1 ∆21 = ∆21 ∆21 _ P =1 ‘’k’’ M 2 = M 1 ds (4.1) 21  2 EJ Hình.4.2
5. 4.2.1. Thanh đặt tự do trên hai khớp tựa Xét thanh đặt tự do trên hai khớp tựa chịu lực nén P và các tải trọng đặt ở đầu thanh như trên Hình 4.3a. Yêu cầu xác định chuyển vị tại các đầu thanh. MA = c M = d y B P a) z z RA L b) c d Mk c) a b Mm Hình 4.3
6. Momen Mm tại một mặt cắt ngang z bất kỳ: d − c M = M + R z + Py = c + z + Py (4.2) m A A L Phương trình vi phân đường đàn hồi: y” = - Mm / EJ Từ điều kiện biên: khi z = 0 và z = L thì y = 0 c d − ccos L 1 d − c y = cos L + sin z − [c + z] (4.3) P sin L P L Thay giá trị y vào Pt. (4.1) ta được: d c M m = ccos z + − sin z (4.4) sin L tan L Trong đó: 2 P = (4.5) EJ
7. _ M k Momen Mk tại mặ cắt ngang z bất kỳ: _ b − a M k = a + z (4.6) L Thay Pt.(4.5) và (4.6) vào (4.1) ta được : L _ L b − a d c L b − a EJ = M M dz = c (a + z)cos zdz + − a + z sin zdz (4.7) km k m 0 0 L sin L tan L 0 L Sau khi lấy tích phân và biến đổi ta có: acL bdL adL bcL (4.8) EJ km = + 1 (v) + + 2 (v) 3 3 6 6 Trong đó: P v = L = L EJ (4.9) 3 v  ( L) = (1− ) 1 v 2 tan v (4.10) 6 v (4.11) 2 ( L) = −1 v2 sin v
8. 4.2.2. Thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do: Các tải trọng ngang tác dụng ở đầu thanh có dạng như trên Hình 4.4a. Biểu đồ Mm do tải trọng ngang và lực nén P gây ra có dạng như trên Hình 4.4b MA = c δ a) P z QA= e L b) c d Mm PyA c) a b Mk Hình 4.4
9. Momen uốn tại tại tiết diện cắt bất kỳ: Mm (z)= c + ez +P(δ – y) (4.12) Từ phương trình vi phân đường đàn hồi: y” = - Mm / EJ Với điều kiện biên khi z = 0, y = δ và khi z = L, y’ = 0 ➔ Phương trình đường đàn hồi: c + ez − P y = Asin z + Bcos z − P (4.13) Trong đó csin L + e c A = và B = P cos L P Thay Pt. (4.13) vào (4.12) ta được: c(vsin v −1) + d M (z) = ccos z + sin z (4.14) m vcosv
10. Phương trình Mk có dạng: _ b − a M k = a + z (4.15) L Sau khi thay Pt. (4.14) và (4.15) vào (4.1), lấy tích phân và biến đổi ➔ công thức tính chuyển vị như sau: bdL acL adL bcL EJ km = 1 (v) + 2 (v) + + 3 (v) (4.16) 3 3 6 6 Trong đó: 3 tan v 1 (v) = −1 v3 v 3 2 tan v (4.17) 2 (v) = 1− v tan v − + v 2 cosv v 6 1 tan v 3 (v) = − v 2 cosv v
11. 4.3. Cách tính ổn định các khung phẳng theo phương pháp lực 4.3.1. Cách chọn hệ cơ bản: Nên chọn hệ cơ bản bằng cách lọai trừ các liên kết thừa để sao cho các thanh chịu nén trở thành các thanh có hai đầu là khớp tựa hoặc thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do ➔dễ dàng xác định chuyển vị trong hệ cơ bản theo các công thức đã thiết lập sẵn c) X2 a) b) X 2 X 3 X1 1 X1 X1 X4 X 2 2 X2 6 2 4 4 2 4 6 X3 6 5 X5 1 5 1 1 5 X5 Hình 4.5
12. 4.3.2. Hệ phương trình chính tắc Theo giả thiết, tải trọng chỉ gây ra hiện tượng nén hoặc kéo trong o các thanh của hệ cơ bản mà không gây ra uốn ➔biểu đồ Mp do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản sẽ không tồn tại ➔các số hạng tự do ∆kp của phương trình chính tắc phải bằng không Do đó hệ phương trình chính tắc trở thành: δ11X1 + δ12X2 + + δ1nXn = 0 δ X + δ X + + δ X = 0 21 1 22 2 2n n (4.18) δn1X1 + δn2X2 + + δnnXn = 0
13. 4.3.3. cách xác định các hệ số của phương trình chính tắc: Để xác định các hệ số δkm ta thực hiện như sau: ◼ Tạo trạng thái “k” do lực Xk = 1 gây ra trong hệ cơ bản ◼ Tạo trạng thái “m” do lực Xm = 1 và do các lực nén hoặc kéo P gây ra trong hệ cơ bản. ◼ Đối với những thanh không có lực kéo hay nén P, áp dụng công thức chuyển vị (4.1) hoặc dùng phương pháp nhân biểu đồ ◼ Đối với những thanh có lực kéo hay nén P, áp dụng công thức (4.8) hay (4.16) ◼ Khi xác định chuyển vị trong các thanh chịu kéo hoặc nén ta quan niệm lực kéo hay nén là tải trọng đặt tại nút. ➔ Khi mất ổn định những lực này có thể thay đổi. Tuy nhiên, các lực X này chỉ xuất hiện khi hệ mất ổn định và rất nhỏ nên có thể bỏ qua.
14. 4.3.3. Phương trình ổn định Hệ phương trình thuần nhất (4.18) được thỏa mãn với hai khả năng: ◼ Tất cả các ẩn số X đều bằng không. Lúc này trong hệ chỉ có biến dạng kéo hoặc nén mà chưa có biến dạng uốn, do đó hệ vẫn ở trạng thái cân bằng chưa bị mất ổn định. ◼ Tất cả hoặc một số các ẩn số X khác không. Lúc này trong các thanh có xuất hiện biến dạng uốn và hệ bị mất ổn định. ◼ Điều kiện để cho các ẩn số X khác không là định thức của hệ phương trình phải bằng không. Điều kiện này là phương trình ổn định theo phương pháp lực δ11 δ12 δ1n D = = 0 δ21 δ22 δ2n (4.19) δn1 δn2 δnn
15. Bởi vì các chuyển vị δkm phụ thuộc gía trị của các lực P, do đó ta có thể xác định lực tới hạn từ điều kiện (4.19) Theo cách giải quyết bài tóan như trên, ta chưa tìm được các giá trị của ẩn số X, vì những ẩn số này là vô định. Để tìm được sự phân bố nội lực và đường hình dạng đường biến dạng của hệ, ta qui ước cho một ẩn số nào đó bằng đơn vị, chẳng hạn cho X1 = 1 rồi xác định các ẩn số còn lại theo phương trình chính tắc (4.18) Ví dụ 4.1: Xác định giá trị Pth của hệ vẽ trên hình 4.6a, chọn hệ cơ bản như trên hình 4.6b và các biểu đồ đơn vị trên Hình 4.6c, d. P 0.36P b) P 0.36P a) 5 2 3 X1 X2 L EJ=const 4 L/2 L/2 1 L Hình 4.6
16. P v = L EJ P 0.36P P 0.36P c) d) X X1 2 =1 = 1 Hình 4.6 Đặt là thông số tới hạn, ta có: P v = L = v Đối với thanh chịu nén 1-2 : 1 EJ 0.36P v = L = 0.6v Đối với thanh chịu nén 3-4: 2 EJ Áp dụng nhân biểu đồ và công thức (4.8) ta được: EJ δ11 = ⅓Ф(v1) +⅔L EJ δ22 = ⅓Ф(v2) +⅓L EJδ12 = -⅓L
17. Thay các kết qủa này vào định thức (4.19) ta được phương trình ổn định: 1 D = 2+Ф(v1) - 1 = 0 3EJ -1 1+Ф(v2) Hay: 2Ф(0.6v) + Ф(v) + Ф(v) . Ф(0.6v) + 1 = 0 Dùng phương pháp thử dần ta sẽ tìm được giá trị của thông số tới hạn: v = 3.57 Do đó: EJ EJ P = v 2 =12.7 th L2 L2
18. 4.4. Cách tính ổn định các khung phẳng theo phương pháp chuyển vị Khi dùng phương pháp chuyển vị để tính ổn định ta thực hiện các bước như sau: ◼ Chọn hệ cơ bản ◼ Gây chuyển vị cuỡng bức tại các liên kết đặt thêm vào ◼ Lập hệ phương trình chính tắc ◼ Lập phương trình ổn định
19. 4.4.1. Hệ cơ bản Để lập hệ cơ bản ta đặt thêm vào hệ đã cho các liên kết lực và liên kết momen tại các nút của khung • Liên kết momen momen có tác dụng làm cho nút không thể xoay được nhưng vẫn có thể chuyển vị thẳng. • Liên kết lực đặt vào các nút có chuyển vị thẳng được chọn làm ẩn số, có tác dụng làm cho nút không chuyển vị thẳng được. Ví dụ Hình 4.7b là hệ cơ bản của hệ đã cho trên H 4.7a. P 2 Z Z6 a) b) Z1 2 P 1 Z 3 Z4 Z5 Z7 Hình 4.7
20. 4.4.2. Phương trình chính tắc Lập hệ cơ bản và gây các chuyển vị cưỡng bức Zi tại các liên kết đặt thêm vào Các chuyển vị Zi cần phải có giá trị để sao cho phản lực tại các liên kết đặt thêm vào hệ do chúng gây ra và do các tải trọng gây ra phải bằng không ➔ Hệ phương trình chính tắc gồm có n điều kiện để xác định n phản lực cần tìm R + R + R + + R + R = 0 kz1 kz2 kz3 kzn kP với k = 1 n Trong đó: • Rkzi phản lực tại liên kết thứ k trong hệ cơ bản do chuyển vị cưỡng bức tại liên kết thứ i gây ra. • RkP phản lực tại liên kết thứ k do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản
21. Do tải trọng chỉ đặt tại nút nên khi hệ chưa mất ổn định, các thanh của hệ chỉ xuất hiện lực kéo, nén tự cân bằng mà không xuất hiện momen uốn ➔ các số hạng tự do RkP bằng không . Hệ phương trình chính tắc trở thành hệ phương trình thuần nhất: r11Z1 + r12Z2 + + r1n Zn = 0 r Z + r Z + + r Z = 0 12 1 22 2 2n n (4.20) . rn1Z1 + rn2Z2 + + rnnZn = 0
22. 4.4.3. Cách xác đinh các hệ số của phương trình chính tắc: Khi tính ổn định các hệ số rkm trong hệ phương trình (4.20) là phản lực tại liên kết thứ k trong hệ cơ bản do chuyển vị cưỡng bức Zm = 1 và do các lực kéo hoặc nén tại liên kết thứ m gây ra. Muốn xác định các hệ số rkm ta thực hiện các bước như sau: ◼ Vẽ biểu đồ momen biểu đồ momen do chuyển vị cưỡng Mm bức Zm = 1 và do các lực kéo hoặc nén tại liên kết thứ m gây ra trong hệ cơ bản ◼ Xử dụng phương pháp tách nút hoặc mặt cắt để tính phản lực trong liên kết thứ k ◼ rkm = rmk Biểu đồ nội lực trong các thanh thẳng do các chuyển vị cưỡng bức gây ra tra trong bảng 6.1 của Cơ kết cấu tập II Biểu đồ nội lực trong các thanh thẳng do các chuyển vị cưỡng bức và do lực kéo hoặc nén gây ra tra trong bảng 4.1 của Ổn định công trình (Cơ kết cấu tập III)
23. 4.4.4. Phương trình ổn định Hệ phương trình thuần nhất (4.20) thỏa mãn với hai khả năng: ◼ Tất cả các hệ số Zi phải bằng không. Trong trường hợp này các nút không chuyển vị nên hệ chưa mất dạng cân bằng ban đầu tức là chưa mất ổn định. ◼ Tất cả hoặc một số ẩn số Zi khác không. Trong trường hợp này các nút có chuyển vị và hệ có dạng biến dạng mới khác với dạng biến dạng ban đầu tức là mất ổn định. Muốn thỏa điều kiện này thì định thức các hệ số của hệ Pt. (4.20) phải bằng không. ➔ phương trình ổn định theo phương pháp chuyển vị. r11 r12 r1n r21 r22 .r2n D = = 0 (4.21) rn1 rn2 . .rnn
24. Với cách giải trên ta mới chỉ tìm được tải trọng tới hạn mà chưa tìm được đường biến dạng của hệ vì chưa biết các giá trị của các ẩn số Zi. Những ẩn số này là vô định. Muốn tìm được biến dạng của hệ khi mất ổn định ta có thể cho một ẩn số nào đó, chẳng hạn Z1 = 1 xác định các ẩn số còn lại theo phương trình chính tắc (4.20). Ví dụ 4.2: Xác định lực tới hạn cho hệ vẽ trên hình 4.8a. Chọn hệ cơ bản như trên hình 4.8b P = P Z1 1 P2 = 0.8P P = P a) 1 b) Z P2 = 0.8P 2 i J 2J o 2io L J io io L L Hình 4.8
25. P P2 P 1 1 Z =1 P2 Z1 8i 2 4io o 3io = = 0 4i φ (v ) 4io o 2 o 8io M 4ioφ2(αvo) k M1 2ioφ3(vo) 4ioφ2(αvo) độ cứng của từng thanh theo io= EJ/L Xác định các thông số v trong các thanh chịu nén: P P v = L 1 = L = v 1 EJ EJ o P 0.8P v = L 2 = L = 0.8v = kv 2 EJ EJ o o Phương trình ổn định r r 11 12 2 D = = r11r22 - r 12 = 0 r21 r22
26. sử dụng phương pháp tách nút từ các biểu đồ xác định được: r11 = 4ioφ2(αvo) +3io +8io = io(4φ2(αvo) + 11) r12 = r21 = 4io r22 = 4ioφ2(vo) + 8io = 4io(φ2(vo) + 2) Thay các kết quả này vào phương trình ổn định ta được: φ2(αvo) φ2(vo) + 2φ2(αvo) + 2.75 φ2(vo) + 4.5 = 0 Giải phương trình siêu việt này bằng cách thử dần, cuối cùng ta tìm được: vo = 5.56 2 2 do đó: Pth = (vo /L) EJ = 30.9 EJ/L