Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 3: Khí electron tự do, mặt Fermi (Phần 2) - Phạm Đỗ Chung

Nội dung text: Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 3: Khí electron tự do, mặt Fermi (Phần 2) - Phạm Đỗ Chung

1. VẬT LÍ CHẤT RẮN Phạm Đỗ Chung Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2. Chương 3 Khí electron tự do, mặt Fermi 1. Khí electron cổ điển (mô hình Drude) 2. Khí electron lượng tử (mô hình Sommerfeld) 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại 4. Sự dẫn điện của electron, định luật Ohm 5. Sự dẫn nhiệt của electron, định luật Wiedemann Franz PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 2
3. Khí electron tự do Electron Mạng không gian Mạng tinh thể Gốc Các cấu trúc xếp chặt Gốc hình Các loại tinh cầu cứng thể (ion, ) Gốc tương tác lẫn nhau Gốc dao động Dao động mạng PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 3
4. Sự dẫn điện của kim loại Tại sao electron dẫn trong kim loại không cảm nhận được trường thế do các ion dương tạo ra? Electron dẫn không “phát hiện” được sự có mặt của ion trong mạng tinh thể tuần hoàn. Do sóng vật chất gần như tự do với cấu trúc tuần hoàn Electron dẫn chỉ tán xạ trên các electron dẫn khác bởi nguyên lí Pauli Free electron Fermi gas PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 4
5. 2. Khí electron lượng tử (mô hình Sommerfeld) Mô hình electron tự do 1. Coi như electron chuyển động tự do trong toàn bộ tinh thể 2. Bỏ qua lực tương tác giữa electron hoá trị và lõi nguyên tử 3. Năng lượng của electron chỉ có động năng (bỏ qua thế năng) Electron dẫn tạo thành khí electron tuân theo nguyên lí Pauli, chuyển động tự do và không tương tác. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 5
6. Electron trong giếng thế 1 chiều ℏ2 2휓 휓 = − 푛 = 휖 휓 푛 2 2 푛 푛 2 휓푛 = A sin 휆푛 2퐿 휆 = 푛 푛 ℏ2 푛 2 휖 = 푛 2 퐿 Fig 2, p135, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th Mỗi giá trị của n ứng với 1 mode – có khả năng chứa 2 electron PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 6
7. Mức Fermi trong giếng thế 1 chiều Hệ có 6 electron 2푛퐹 = ℏ2 푛 2 ℏ2 2 휖 = 퐹 = 퐹 2 퐿 2 2퐿 Table, p135, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 7
8. Hàm phân bố Fermi-Dirac 1 (휖)= 휖−휇 푒 −1 T=0K 휖 = 휖퐹 = 휇: mức Fermi 1 T>0K (휖) = khi 휖 = 휇: thế hoá học 2 휖 − 휇 > T Phân bố Fermi-Dirac chuyển thành phân bố Boltzmann hoặc Maxwell 휇−휖 휖 ≅ 푒 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 8
9. Hàm phân bố Fermi-Dirac Fig 3, p136, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 9
10. Electron trong tinh thể 3 chiều Phương trình Schrodinger cho electron tự do ℏ2 − 훻2휓 ( Ԧ) = 휖 휓 ( Ԧ) 2 Hàm sóng của electron tự do: −푖 Ԧ 휓 Ԧ = 푒 Năng lượng: ℏ2 휖 = ( 2 + 2 + 2) 2 Xung lượng: Ԧ휓 Ԧ = −iℏ훻휓 Ԧ = ℏ 휓 ( Ԧ) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 10
11. Mặt Fermi  Trạng thái cơ bản khi T = 0K trong không gian k: electron chiếm các trạng thái nằm trong một hình cầu.  Năng lượng ứng với mặt cầu chính là năng lượng Fecmi.  Mặt Fecmi chứa N trạng thái khả dĩ của electron ℏ2 휖 = 2 퐹 2 퐹 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 11
12. Mặt Fermi Ứng với mỗi giá trị kx, ky, kz là một yếu tố thể tích trong không gian k (2 )3 (2 )3 = 퐿1퐿2퐿3 Giả sử hệ có N electron: 4 3/3 2 퐹 = 3 = 2 /퐿 3 3 2 퐹 N là số electron tự do trong tinh thể Thừa số 2 là để tính đến hai giá trị của spin electron 2 1/3 = 3 n 2/3 퐹 ℏ2 3 2 휖퐹 휖퐹 = 퐹 = 2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 12
13. Mật độ trạng thái của hệ Giả sử hệ có N electron: 3/2 2 휖 = 3 2 ℏ2 Hàm mật độ trạng thái: 3/2 2 (휖) = = 휖1/2 휖 2 2 ℏ2 Hàm mật độ trạng thái có thể tính gần đúng là: 3 (휖) = = 휖 2휖 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 13
14. Mật độ trạng thái của hệ Mật độ trạng thái của electron trong tinh thể 3 chiều (nét liền) 휖, . (휖) ở nhiệt độ T nhỏ so với TF (nét đứt) Fig 5, p140, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 14
15. 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại Nhìn lại thuyết cổ điển: 3 E = k T 2 B Nhiệt dung của electron cùng bậc với nhiệt dung của mạng tinh thể: 3 C = k 2 B PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 15
16. 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại • Nhiệt dung riêng của kim loại (có chứa electron tự do) lớn hơn nhiệt dung riêng của tinh thể không dẫn điện, vì rằng trong kim loại có nhiều electron tự do. • Thực nghiệm lại cho thấy rằng sự đóng góp của electron vào nhiệt dung là rất nhỏ, ở nhiệt độ phòng chỉ vào khoảng 1/100 giá trị vừa nêu ở trên. • Vì sao các electron tham gia vào quá trình dẫn điện với tính chất giống như các hạt chuyển động hoàn toàn tự do, nhưng lại không đóng góp đáng kể vào nhiệt dung của tinh thể? PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 16
17. 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại • Ở T = 0K, các trạng thái ứng với năng lượng 휖 ≤ 휖퐹 bị chiếm hoàn toàn. • Ở T > 0K một số ít electron ứng với năng lượng ở xung quanh 휖퐹 thu thêm năng lượng. • << 퐹 số electron thu thêm năng lượng là rất nhỏ so với tổng số electron của kim loại. • Chỉ có những electron này tham gia vào nhiệt dung của khí electron 휕푈 푈 ≈ el = ≈ 퐹 휕 퐹 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 17
18. 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại << 휖퐹 ∆푈 = 푈 − 푈(0) ∞ 휖퐹 ∆푈 = න 휖 휖 휖 휖 − න 휖 휖 휖 0 0 Chú ý điều kiện bảo toàn số electron ∞ 휖퐹 = න 휖 휖 휖 = න 휖 휖 0 0 휖퐹 ∞ 휖퐹 න + න 휖퐹 휖 휖 휖 = න 휖퐹 휖 휖 0 휖퐹 0 ∞ 휖퐹 ∆푈 = න (휖 − 휖퐹) 휖 휖 휖 + න (휖퐹−휖)[1 − (휖)] 휖 휖 휖퐹 0 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 18
19. 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại Fig 6, p143, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 19
20. 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại ∞ el = = න (휖 − 휖퐹) 휖 휖 0 ∞ el ≅ 휖퐹 න (휖 − 휖퐹) 휖 0,763휖퐹 0 Fig 7&8, p143&144, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 20
21. 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại Với hầu hết kim loại ở nhiệt độ phòng đều có << 휖퐹 nên có thể bỏ qua sự phụ thuộc của thế hoá vào nhiệt độ. 휖−휖퐹 휖 − 휖 푒 휖 − 휖퐹 = 퐹 đặt = 2 휖−휖 2 퐹 푒 + 1 ∞ 푒 2 2 el = 휖퐹 න −휖퐹 푒 + 1 2 휖 Hàm 푒 giảm rất nhanh khi số mũ âm, nên với 퐹 ~100 thì ta có thể thay bằng −∞ 1 2 2 1 2 el = 휖퐹 = 3 2 퐹 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 21
22. 3. Nhiệt dung của khí electron, nhiệt dung của kim loại Nhiệt dung của kim loại được đóng góp bởi phonon và electron = 훾 + 3 ⟹ = 훾 + 2 Fig 9, p145, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 22