Bài tập Đạo hàm có lời giải

Nội dung text: Bài tập Đạo hàm có lời giải

1. BÀI TẬP ĐẠO HÀM CÓ LỜI GIẢI Mục Lục KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 2 Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 8 Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức 8 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 11 Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn 24 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 25 Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân 27 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 29 ĐẠO HÀM TỔNG HỢP 33 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1
2. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm tại một điểm Hàm số y f() x liên tục trên (;)ab, được gọi là có đạo hàm tại x0 (;) a b nếu giới hạn sau tồn tại (hữu f()() x f x0 hạn): lim và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 .Ta kí hiệu xx 0 xx0 fx'(0 ) . f()() x f x0 Vậy fx'(0 ) lim xx 0 xx0 2. Đạo hàm bên trái, bên phải f()() x f x0 f()() x f x0 fx'(0 ) lim . fx'(0 ) lim . xx0 xx0 xx0 xx0 Hệ quả : Hàm fx()có đạo hàm tại x00 f ( x ) và fx'(0 ) đồng thời f'( x00 ) f '( x ) . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn Hàm số fx() có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (;)ab nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (;)ab. Hàm số fx() có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [;]ab nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (;)ab đồng thời tồn tại đạo hàm trái fb'( ) và đạo hàm phải fa'( ) . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Định lí: Nếu hàm số fx() có đạo hàm tại x0 thì fx() liên tục tại x0 . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0 . Chẳng hạn: Xét hàm f() x x liên tục tại x 0 nhưng không liên tục tại điểm đó. f( x ) f (0) f( x ) f (0) Vì lim 1, còn lim 1 . x 0 x x 0 x Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa Phương pháp: f()() x f x0 fx'(0 ) lim xx 0 xx0 f()() x f x0 fx'(0 ) lim xx0 xx0 f()() x f x0 fx'(0 ) lim xx0 xx0 Hàm số y f() x có đạo hàm tại điểm x x0 f'( x 0 ) f '( x 0 ) Hàm số y f() x có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2
3. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Các ví dụ Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ: xx3211 3 khi x 0 1. f( x ) 2 x 1 tại x 2 3. fx() x tại x 0 0 khi x 0 2. f( x ) x2 1 tại x 1 Lời giải. f( x ) f (2) 2x3 16 1. Ta có lim lim lim 2(xx2 2 4) 24 f '(2) 24 . x 2 xx22x 2 x 2 f( x ) f (1) x2 12 2. Ta có : f '(1) lim lim xx11xx11 (xx 1)( 1) 1 lim . x 1 (xx 1)(2 1 2) 2 f( x ) f (0) x32 x 1 1 x 1 1 3. Ta có f(0) 0 , do đó: lim lim lim 2 x 0 x x 0 x x 0 xx3211 2 1 Vậy f '(0) . 2 21xx2 Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số fx() liên tục tại x 1 nhưng không có đạo hàm tại x 1 điểm đó. Lời giải. Vì hàm fx() xác định tại x 1 nên nó liên tục tại đó. f( x ) f ( 1) 2x Ta có: f '( 1 ) lim lim 1 xx11xx11 f( x ) f ( 1) f '( 1 ) lim lim 2 2 xx11x 1 f'( 1 ) f '( 1 ) f ( x ) không có đạo hàm tại x 1 . x2 1 khi x 1 Ví dụ 3. Tìm a để hàm số fx x 1 có đạo hàm tại x 1 ax khi 1 Lời giải. Để hàm số có đạo hàm tại x 1 thì trước hết fx() phải liên tục tại x 1 x2 1 Hay limf ( x ) lim 2f (1) a . xx11x 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3
4. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x2 1 2 f( x ) f (1) Khi đó, ta có: lim lim x 1 1 . xx11xx11 Vậy a 2 là giá trị cần tìm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra Câu 1. f( x ) 2 x 1 tại x0 1 A.2 B.3 C.4 D.5 Bài làm 1. Ta có: fx'(0 ) 2 x 1 Câu 2. fx() tại x 2 x 1 0 A. 2 B.2 C.3 D.4 Bài làm 2 . fx'(0 ) 2 2 Câu 3. f() x x x 1 tại điểm x0 2 5 8 A. 2 B. C. D. 41 27 3 x2 x 1 7 (x 2)( x 3) 5 Bài làm 3. f '(2) lim lim xx22x 2 (x 2)( x2 x 1 7) 27 Câu 4. f( x ) sin2 x tại x 2 A. 0 B.1 C.2 D.3 Bài làm 4. f '( ) 0 2 x322 x x 1 1 khi x 1 Câu 5. fx() x 1 tại điểm x0 1 . 0 khi x 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 5 2 4 f( x ) f (1) x322 x x 1 1 x 1 Bài làm 5. lim lim lim 2 x 1 x 12x 1 (x 1) x 1 x322 x x 1 1 1 Vậy f '(1) . 2 Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4
5. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu 1. f( x ) sin2 x tại x 0 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Bài làm 1. Ta có: f( x ) f ( ) sin2 x sin 2cosx sin x 2 2 2 cosxx .sin f()() x f 22 lim 2 2 lim 2 xxxx 2222 Vậy f '1. 2 Câu 2. f( x ) tan x tại x 4 A. 2 B. 4 C. 5 D. 31 Bài làm 2. Ta có f( x ) f tan x tan 1 tanx .tan x 4 4 4 (1 tanxx )tan f()() x f 4 Suy ra lim 4 lim 2 xxxx 4444 Vậy f '2. 4 1 xx2 sin khi 0 Câu 3. fx() x tại x 0 . 0 khi x 0 1 2 A. 0 B. C. D. 7 2 3 f( x ) f (0) 1 Bài làm 3. Ta có: lim limx sin 0 xx00xx Vậy f '(0) 0 . Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm chỉ ra 3 Câu 1. f() x x tại x0 1 A. 4 B. 3 C. 5 D.6 Bài làm 1. Ta có: f( x ) f (1) x32 1 ( x 1)( x x 1) f( x ) f (1) Suy ra: lim limxx2 1 3 xx11x 1 Vậy f '(1) 3 . GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5
6. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 2x 3 khi x 1 32 Câu 2. fx() x2 x 7 x 4 tại x0 1 . khi x 1 x 1 A. 0 B. 4 C. 5 D. Đáp án khác Bài làm 2. Ta có limf ( x ) lim 2 x 3 5 xx11 x322 x 7 x 4 limf ( x ) lim lim (x2 3 x 4) 0 x 1 x 1 x 1 x 1 Dẫn tới limf ( x ) lim f ( x ) hàm số không liên tục tại x 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x0 1 . xx11 sin2 x khi x 0 Câu 3. fx() x tại x0 0 x x2 khi x 0 A.1 B.2 C.3 D.5 sin2 xx sin Bài làm 3. Ta có limf ( x ) lim lim .sinx 0 x 0 x 0 xxx 0 limf ( x ) lim x x2 0 nên hàm số liên tục tại x 0 xx00 f( x ) f (0) sin2 x lim lim 1 và xx00x x2 f( x ) f (0) xx2 lim lim 1 xx00xx Vậy f '(0) 1 . xx2 1 Câu 4. fx() tại x 1. x 0 A.2 B.0 C.3 D.đáp án khác Bài làm 4. Ta có hàm số liên tục tại x0 1 và 2 f( x ) f ( 1) x x x 1 x 1x ( x 1) f( x ) f ( 1) xx2 21 Nên lim lim 0 xx11x 1 x( x 1) f( x ) f ( 1) x2 1 lim lim 2 xx11x 1 x( x 1) f( x ) f ( 1)f ( x ) f ( 1) Do đó lim lim xx11xx11 Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 1. Nhận xét: Hàm số y f() x có đạo hàm tại xx0 thì phải liên tục tại điểm đó. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6
7. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Bài 4 x2 x khi x 1 Câu 1. Tìm ab, để hàm số fx() có đạo hàm tại x 1. ax b khi x 1 a 23 a 3 a 33 a 3 A. B. C. D. b 1 b 11 b 31 b 1 Bài làm 1. Ta có: limf ( x ) lim ( x2 x ) 2 ; limf ( x ) lim ( ax b ) a b xx11 xx11 Hàm có đạo hàm tại x 1 thì hàm liên tục tại x 1 ab 2 (1) f( x ) f (1) xx2 2 lim lim lim (x 2) 3 x 1 xx11x 1 x 1 f( x ) f (1) ax b2 ax a lim lim lim a (Do ba2 ) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a 3 Hàm có đạo hàm tại x 1 . b 1 x2 1 khi x 0 Câu 2. Tìm a,b để hàm số fx() có đạo hàm trên . 2x2 ax b khi x 0 A. ab10, 11 B. ab0, 1 C. ab0, 1 D. ab20, 1 Bài làm 2. Ta thấy với x 0 thì fx() luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại x 0 . Ta có: limf ( x ) 1; limf ( x ) b fx()liên tục tại xb01. xx00 f( x ) f (0) f( x ) f (0) Khi đó: f '(0 ) lim 0; f '(0 ) lim a xx00xx f'(0 ) f '(0 ) a 0 . Vậy ab0, 1 là những giá trị cần tìm. x2 1 khi x 0 Câu 3. Tìm ab, để hàm số fx() x 1 có đạo hàm tại điểm x 0 . ax b khi x 0 A. ab11, 11 B. ab10, 10 C. ab12, 12 D. ab1, 1 Bài làm 3. Ta có limf ( x ) 1 f (0); lim f ( x ) b xx00 Hàm số liên tục tại xb01 f( x ) f (0) x 1 f( x ) f (0) lim lim 1 , lim lim aa xx00xx1 xx00x Hàm số có đạo hàm tại điểm xa01 Vậy ab1, 1 là giá trị cần tìm. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7
8. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Quy tắc tính đạo hàm 1.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số ''' (u1 u 2 unn )' u1 u 2 u (k . u ( x ))' k . u '( x ) (uvw )' u ' vw uv ' w uvw ' (unn ())' x nu1 ().'() x u x ' u() x u '()() x v x v '()() x u x c c. u '( x ) ' . vx() vx2 () ux() ux2 () 1.2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y f( u ( x )) f ( u ) với u u() x . Khi đó y''.'x y u u x . 2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản Đạo hàm Hàm hợp (c )' 0 (x )' 1 1 (xx )' 1 u'.' u u 1 u' x ' u ' 2 x 2 u n 1 u' x ' n u ' n n 1 nx nun n 1 (sinxx )' cos (sinu )' u '.cos u (cosxx )' sin (cosu )' u 'sin u 1 (tanx )' u' 2 tanu ' cos x cos2 u 1 (cotx )' u' 2 cotu ' sin x sin2 u Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm Các ví dụ Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y x323 x 2 x 1 2. y x3 31 x x4 3 3. yx2 1 4. y21 x42 x 4 2 21x xx2 22 5. y 6. y x 3 x 1 Lời giải. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8
9. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. ' 1. Ta có: y' x32 3 x 1 3 x 6 x 2 ' 2. Ta có: y' x32 3 x 1 3 x 3 ' x4 3. Ta có: y' x231 x 2 x 4 ' 3 4. Ta có: y' 2 x4 x 2 1 8 x3 3 x 2 (2x 1)'( x 3) ( x 3)'(2 x 1) 7 5. Ta có: y' (xx 3)22( 3) (x22 2 x 2)'( x 1)( x 2 x 2)( x 1)' 6. Ta có: y' (x 1)2 (2x 2)( x 1)( x22 2 x 2) x 2 x 4 . 22 (x 1) x 1 ax b ad bc Nhận xét: Với hàm số y ta có: y' . cx d ()cx d 2 Ví dụ 2. Giải bất phương trình fx'( ) 0 biết: 1. f( x ) x 4 x2 2. f( x ) x 2 x2 12 3. f() x x22 x1 x x 1 4. f( x )4 x2 1 x Lời giải. 1. TXĐ: D 2;2 xx2242 Ta có: f'( x ) 4 x2 44xx22 Do đó: f'( x ) 0 4 2x2 0 2x 2 . 2. TXĐ: D 2x x2 12 2 x Ta có: fx'( ) 1 xx2212 12 Suy ra: f'( x ) 0 x2 12 2 x (1) Với x 0 thì (1) luôn đúng x 0 Với x 0 thì (1) 0x 2 xx2212 4 Vậy bất phương trình fx'( ) 0 có nghiệm x 2 . 3. TXĐ: D 2xx 1 2 1 Ta có: fx'( ) 2x22 x 1 2 x x 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9
10. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Suy ra f'( x ) 0 1 2x x22 x1 1 2 x x x 1 (1 2xx )(1 2 ) 0 22 1 3 2 1 3 (1 2x )2 x 1 2x x 2 4 2 4 11 x 22 x 0 . (1 2xx )22 (1 2 ) 4. TXĐ: D 0; x 1 Ta có: fx'( ) . 24 (x23 1) 2 x f'( x ) 0 x x4 ( x2 1) 3 x 6 ( x 2 1) 3 xx221 bất phương trình này vô nghiệm Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y2 x2 3 x 1 2. y5 2 x2 1 3 x 2 3. y 2sin2 (2x 1) cos x 4. y tan(sin2 3x ) cot2 (1 2x 3 ) 3 5. y3 sin(tan x ) cos(cot x ) Lời giải. (2x2 3 x 1)' 4x 3 1. Ta có: y' . 2 2x22 3 x 1 2 2 x 3 x 1 1 2. Ta có y' ( 2x2 1 3 x 2)' 5.5 ( 2xx24 1 3 2) 12x ( 3) . 2 5.5 ( 2xx24 1 3 2) 21x 1 2sin(4xx 2) sin (2sin2 (2xx 1) cos )' 3. Ta có: y' 2 x 2 2sin22 (2x 1) cos x 2 2sin (2x 1) cos x 4x sin(4 x 2) sin x . 4 2x sin2 (2 x 1) x cos x [cot23 (1 2x ) 3]' 4. Ta có: y' [1 tan2 (sin 2 3x )](sin2 3 x )' 2 cot23 (1 2x ) 3 6x2 [1 cot 2 (1 2x 3 )]cot(1 2 x3 ) 3[1 tan22 (sin 3xx )]sin6 . cot23 (1 2x ) 3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10
11. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. [sin(tanxx ) cos(cot )]' 5. Ta có: y' 3 [sin(tanxx ) cos(cot )]2 (1 tan22x )cos(tan x ) (1 cotx )sin(cot x ) . 3 [sin(tanxx ) cos(cot )]2 Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau : 1 x2 3 x 1 khi x 1 xx2 cos khi 0 1. fx() 2. fx() 2x 2xx 2 khi 1 0 khi x 0 Lời giải. 1.Với x1 f ( x ) x2 3 x 1 f '( x ) 2 x 3 Với x1 f ( x ) 2 x 2 f '( x ) 2 Với x 1 ta có: limf ( x ) lim x2 3 x 1 1f (1) hàm số không liên tục tại x 1, suy ra hàm xx11 số không có đạo hàm tại x 1 2xx 3 khi 1 Vậy fx'( ) . 2 khi x 1 1 1 1 1 2.Với x0 f ( x ) x2 cos f '( x ) 2 x cos cos 2x 2x 2 2 x f( x ) f (0) 1 Với x 0 ta có: lim limxf cos 0 '(0) 0 xx00xx2 11 2xx cos khi 0 Vậy fx'( ) 22x . 0 khi x 0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau Câu 1. y x423 x 2 x 1 A. y' 4 x3 6 x 3 B. yxx' 44 6 2 C. y' 4 x3 3 x 2 D. y' 4 x3 6 x 2 Bài làm 1. Ta có: y' 4 x3 6 x 2 x3 Câu 2. y21 x2 x 3 1 A. y' 2 x2 4 x 1 B. y' 3 x2 4 x 1 C. y' x2 4 x 1 D. y' x2 4 x 1 3 Bài làm 2. Ta có y' x2 4 x 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11
12. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 21x Câu 3. y x 2 3 3 3 2 A. B. C. D. 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (2x 1)'( x 2) ( x 2)'(2 x 1) 3 Bài làm 3. Ta có y' (xx 2)22( 2) xx2 1 Câu 4. y x 1 xx2 2 xx2 2 xx2 2 22x A. B. C. D. 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 (2x 1)( x 1) ( x22 x 1) x 2 x Bài làm 4. Ta có y' (xx 1)22( 1) ax b Câu 5. y, ac 0 cx d a ad bc ad bc ad bc A. B. C. D. 2 2 c cx d cx d cx d ab ad cb cd Bài làm 5. Ta có y' ()()cx d22 cx d ax2 bx c Câu 6. y , aa ' 0 . a'' x b aa' x2 2 ab ' x bb ' a ' c aa' x2 2 ab ' x bb ' a ' c A. B. (a ' x b ') (a ' x b ')2 aa' x2 2 ab ' x bb ' a ' c aa' x2 2 ab ' x bb ' a ' c C. D. (a ' x b ')2 (a ' x b ')2 (2ax bax )( ' b ') aax '(2 bx c ) Bài làm 6. Ta có: y' (a ' x b ')2 aa' x2 2 ab ' x bb ' a ' c . (a ' x b ')2 Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau Câu 1. y x x2 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12
13. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 21x2 x2 1 41x2 21x2 A. B. C. D. 21x2 x2 1 x2 1 x2 1 (x2 1)' Bài làm 1. Ta có: y' x ' x2 1 x2 1 ' x x2 1 .x 21x2 xx2221 x2 1 . xx2211 3 Câu 2. y (2x 5)2 12 12 6 12 A. B. C. D. 4 3 3 3 25x 25x 25x 25x ' 2 3 (2x 5) 12(2x 5) 12 Bài làm 2. Ta có: y' (2x 5)4 (2x 5)4 (2x 5)3 22xx2 Câu 3. y x2 1 2xx2 6 2 2xx2 6 2 2xx2 6 2 2xx2 6 2 A. B. C. D. 2 4 2 2 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 (2x 2)( x2 1) 2 x ( x2 2 x 2) 2 x2 6 x 2 Bài làm 3. Ta có y' (xx2 1) 2 (2 1) 2 Câu 4. y3 x 2tan x 5 2 tan2 x 5 2tan2 x 5 2 tan2 x 5 2tan2 x A. B. C. D. 2 3xx 2 tan 2 3xx 2 tan 2 3xx 2 tan 2 3xx 2 tan (3x 2tan x )' 3 2(1 tan22x ) 5 2tan x Bài làm 4. Ta có: y' 2 3x 2tan x 2 3 x 2tan x 2 3 x 2tan x Câu 5. yxsin2 (3 1) A. 3sin(6x 2) B. sin(6x 2) C. 3sin(6x 2) D. 3cos(6x 2) ' Bài làm 5. Ta có: y' 2sin(3 x 1). sin(3 x 1) 2sin(3x 1).3cos(3 x 1) 3sin(6x 2) . Câu 6. y( x 1) x2 x 1 . 4xx2 5 3 4xx2 5 3 4xx2 5 3 4xx2 5 3 A. B. C. D. 21xx2 21xx2 xx2 1 21xx2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13
14. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 2x 1 4 x2 5 x 3 Bài làm 6. Ta có y' x2 x1 ( x 1) 2x22 x 1 2 x x 1 Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau 2 Câu 1. y x7 x A. y' ( x76 x )(7 x 1) B. y' 2( x7 x ) C. yx' 2(76 1) D. y' 2( x76 x )(7 x 1) Bài làm 1.Đáp án D Câu 2. y x221 5 3 x A. y'4 x3 x B. y'4 x3 x C. y' 12 x3 4 x D. y' 12 x3 4 x Bài làm 2. Ta có: Đáp án D 2x Câu 3. y x2 1 22x2 2x2 343 22x2 22x2 A. B. C. D. (x22 1) (x22 1) (x22 1) (x22 1) 2(x22 1) 2 x .2 x 2 x 2 Bài làm y' (xx2 1) 2 (2 1) 2 Câu 4. y x2 2 x 1 5 x 3 A. y' 40 x22 3 x 6 x B. y' 40 x32 3 x 6 x C. y' 40 x32 3 x 6 x D. y' 40 x32 3 x x Bài làm y10 x4 x 3 3 x 2 y ' 40 x3 3 x 2 6 x 3 5 Câu 5. yx4 x2 2 2 10 5 10 5 A. yx' 3 4 4 B. yx' 3 4 4 xx32 xx32 2 2 5 10 5 C. yx'4 D. yx' 3 4 4 x2 xx32 2 10 5 Bài làm yx' 3 4 4 xx32 Câu 6. y( x 2)32 ( x 3) A. y' 3( x2 5 x 6)3 2( x 3)( x 2)3 B. y' 2( x2 5 x 6)2 3( x 3)( x 2)3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14
15. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. C. y' 3( x2 5 x 6) 2( x 3)( x 2) D. y' 3( x2 5 x 6)2 2( x 3)( x 2)3 Bài làm 2 2 3 y' 3( x 5 x 6) 2( x 3)( x 2) Câu 7. y x3232 x 36xx2 36xx2 36xx2 36xx2 A. y' B. y' C. y' D. y' xx3232 2xx32 3 2 2xx32 3 2 2xx32 3 2 36xx2 Bài làm y' 2xx32 3 2 Câu 8. y x2 x x 1 x x A. y' 2 x x 1 B. y' 2 x x 1 21x 21x x x C. y' D. y' 2 x x 1 21x 21x x Bài làm y' 2 x x 1 21x x Câu 9. y ax22 a2 a2 2a2 a2 A. y' B. y' C. y' D. y' ()ax2 2 3 ()ax2 2 3 ()ax2 2 3 ()ax2 2 3 x2 ax22 22 a2 Bài làm y' ax 22 ()ax ()ax2 2 3 1 Câu 10. y xx 31 1 1 31 A. y' B. y' C. y' D. y' 2 xx2 xx2 xx2 2 xx2 (xx )' 3 1 Bài làm y' x3 2 xx2 1 x Câu 11. y 1 x 13x 13x 1 1 3x 13x A. y' B. y' C. y' D. y' (1x )3 3 (1x )3 3 2 (1x )3 2 (1x )3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15
16. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 x 1 x 13x Bài làm y' 21 x 1 x 2 (1x )3 Câu 12. yxsin2 3 A. yx' sin6 B. yx' 3sin3 C. yx' 2sin6 D. yx' 3sin6 Bài làm yx' 3sin6 Câu 13. y3tan2 x cot 2 x 3tanx (1 tan22 x ) (1 cot 2x ) 3tanx (1 tan22 x ) (1 cot 2x ) A. y' B. y' 3 3tan2 xx cot 2 2 3tan2 xx cot 2 3tanx (1 tan22 x ) (1 cot 2x ) 3tanx (1 tan22 x ) (1 cot 2x ) C. y' D. y' 3tan2 xx cot 2 3tan2 xx cot 2 3tanx (1 tan22 x ) (1 cot 2x ) Bài làm y' 3tan2 xx cot 2 Câu 14. y3 x34cos (2 x ) 3 3x23 8cos(2 x )sin(2 x ) 3x23 8cos(2 x )sin(2 x ) A. y' 44 B. y' 44 3 3 33 xx34 cos (2 ) 43 xx34 cos (2 ) 3 3 6x23 8cos(2 x )sin(2 x ) 3x23 8cos(2 x )sin(2 x ) C. y' 44 D. y' 44 3 3 33 xx34 cos (2 ) 33 xx34 cos (2 ) 3 3 3x23 8cos(2 x )sin(2 x ) Bài làm y' 44 3 33 xx34 cos (2 ) 3 Câu 15. yx2sin2 2 A. y' x cos( x2 2) B. yx' 4cos(2 2) C. y' 2 x cos( x2 2) D. y' 4 x cos( x2 2) Bài làm y' 4 x cos( x2 2) Câu 16. yxcos23 sin GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16
17. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. A. y' sin(2sin32x )sin x cos x B. y' 6sin(2sin32x )sin x cos x C. y' 7sin(2sin32x )sin x cos x D. y' 3sin(2sin32x )sin x cos x Bài làm y' 3sin(2sin32x )sin x cos x x Câu 17. y sin x sinxx cos sinx x cos x sinxx cos sinx x cos x A. y' B. y' C. y' D. y' sin2 x sin x sin x sin2 x sinx x cos x Bài làm y' sin2 x cosx 4 Câu 18. yxcot 3sin3 x 3 A. yx' cot3 1 B. yx' 3cot4 1 C. yx' cot4 1 D. yx' cot4 1 4 1 Bài làm ycot x (1 cot23 x ) cot x cot x cot x 3 3 3 y' cot2 x (1 cot2 x ) 1 cot2 x cot 4 x 1 Suy ra 1 xx3 sin khi 0 Câu 19. fx() x 0 khi x 0 11 11 x2 sin x cos khi x 0 3x2 sin x cos khi x 0 A. fx'( ) xx B. fx'( ) xx 0 khi x 0 0 khi x 0 11 11 3x2 sin x cos khi x 0 3xx2 sin cos khi 0 C. fx'( ) xx D. fx'( ) xx 0 khi x 0 0 khi x 0 11 Bài làm x0 f '( x ) 3 x2 sin x cos xx f( x ) f (0) xf0 '(0) lim 0 Với x 0 x 11 3x2 sin x cos khi x 0 fx'( ) Vậy xx . 0 khi x 0 f '1 x Bài 4. Tính . Biết rằng : f() x x2 và (xx ) 4 sin . '0 2 f '(1) 4 f '(1) 2 f '(1) 4 f '(1) 4 A. B. C. D. '(0) 8 '(0) 8 '(0) '(0) 8 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17
18. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x Bài làm Bài 4. f'( x ) 2 x f '(1) 2; '( x ) 4 cos '(0) 4 2 2 2 f '(1) 4 Suy ra '(0) 8 . Bài 6. Tìm m để các hàm số Câu 1. y( m 1) x32 3( m 2) x 6( m 2) x 1 có yx' 0, A. m 3 B. m 1 C. m 4 D. m 42 Bài làm 1. Ta có: y' 3 ( m 1) x2 2( m 2) x 2( m 2) Do đó y' 0 ( m 1) x2 2( m 2) x 2( m 2) 0 (1) m 1 thì (1) 6xx 6 0 1 nên m 1 (loại) am10 m 1 thì (1) đúng với x '0 m 1 m 4 (mm 1)(4 ) 0 Vậy m 4 là những giá trị cần tìm. mx3 Câu 2. y mx2 (3 m 1) x 1 có yx' 0, . 3 A. m 2 B. m 2 C. m 0 D. m 0 Bài làm 2. Ta có: y' mx2 2 mx 3 m 1 Nên y' 0 mx2 2 mx 3 m 1 0 (2) m 0 thì (1) trở thành: 10 đúng với x am0 m 0 , khi đó (1) đúng với x '0 mm00 m 0 m(1 2 m ) 0 1 2m 0 Vậy m 0 là những giá trị cần tìm. Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau 1 xx2 sin khi 0 Câu 1. fx() x 0 khi x 0 11 11 xxsin cos khi 0 xsin x cos khi x 0 A. fx'( ) xx B. fx'( ) xx 0 khi x 0 0 khi x 0 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18
19. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 11 11 2x sin x cos khi x 0 2xx sin cos khi 0 C. fx'( ) xx D. fx'( ) xx 0 khi x 0 0 khi x 0 11 Bài làm 1. Với x 0 ta có: f'( x ) 2 x sin cos xx f( x ) f (0) 1 Tại x 0 ta có: lim limx sin 0 xx00xx 11 2xx sin cos khi 0 Vậy fx'( ) xx . 0 khi x 0 x2 x1 khi x 1 Câu 2. fx() xx1 3 khi 1 2xx khi 1 2xx 1 khi 1 A. fx'( ) 1 B. fx'( ) 1 khi x 1 khi x 1 21x x 1 2xx 1 khi 1 2xx 1 khi 1 C. fx'( ) 1 D. fx'( ) 1 khi x 1 khi x 1 x 1 21x Bài làm 2. Với x 1 ta có: f'( x ) 2 x 1 1 Với x 1 ta có: fx'( ) 21x Tại x 1 ta có: f( x ) f (1) xx2 2 lim lim 3 xx11xx11 f( x ) f (1) x 1 lim lim suy ra hàm số không có đạo xx11xx11 hàm tại x 1 2xx 1 khi 1 Vậy fx'( ) 1 . khi x 1 21x Bài 8. Tìm ab, để các hàm số sau có đạo hàm trên x2 x1 khi x 1 Câu 1. . fx() x2 ax b khi x 1 a 13 a 3 a 23 a 3 A. B. C. D. b 1 b 11 b 21 b 1 Bài làm 1 Với x 1 thì hàm số luôn có đạo hàm GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19
20. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Do đó hàm số có đạo hàm trên hàm số có đạo hàm tại x 1. Ta có limf ( x ) 1; lim f ( x ) a b 1 xx11 Hàm số liên tục trên a b1 1 a b 2 f( x ) f (1) Khi đó: lim 1; x 1 x 1 f( x ) f (1) x2 ax1 a lim lim a 2 xx11xx11 a b23 a Nên hàm số có đạo hàm trên thì . ab2 1 1 xx2 1 khi x 0 Câu 2. fx() x 1 . x2 ax b khi x 0 A. ab0, 11 B. ab10, 11 C. ab20, 21 D. ab0, 1 Bài làm 2. Tương tự như ý 1. ĐS: ab0, 1 . Bài 9. Tính đạo hàm các hàm số sau Câu 1. y( x33 2 x ) A. y' ( x3 2 x ) 2 (3 x 2 2) B. y' 2( x3 2 x ) 2 (3 x 2 2) C. y' 3( x3 2 x ) 2 (3 x 2 2) D. y' 3( x3 2 x ) 2 (3 x 2 2) ' Bài làm 1.Ta có: y' 3( x3 2 x ) 2 x 3 2 x 3( x3 2 x ) 2 (3 x 2 2) Câu 2. y( x23 1)(3 x 2 x ) A. y' x42 3 x 2 B. y' 5 x42 3 x 2 C. y' 15 x42 3 x D. y' 15 x42 3 x 2 Bài làm 2. Ta có: y'2(3 x x3 2)( x x2 1)(9 x 2 2)15 x4 3 x 2 2 2 2 Câu 3. yx 3x2 24 24 A. yx'1 B. yx' 2 1 33xx23 33xx23 24 24 C. yx'1 D. yx' 2 1 33xx23 33xx23 24 Bài làm 3.Ta có: yx' 2 1 33xx23 Câu 4. y2sin32 2 x tan 3 x x cos4 x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20
21. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. A. y' 12sin22 2 x cos2 x 6tan3 x 1 2tan 3 x cos4 x 4 x sin4 x B. y' 12sin22 2 x cos2 x 6tan3 x 1 tan 3 x cos4 x x sin4 x C. y' 12sin22 2 x cos2 x tan3 x 1 tan 3 x cos4 x 4 x sin4 x D. y' 12sin22 2 x cos2 x 6tan3 x 1 tan 3 x cos4 x 4 x sin4 x Bài làm 4. Ta có: y' 12sin22 2 x cos2 x 6tan3 x 1 tan 3 x cos4 x 4 x sin4 x sin 2xx Câu 5. y xxcos3 2x cos2 x sin 2 x cos3 x 3 x sin 3 x 2x cos2 x sin 2 x cos3 x 3 x sin 3 x A. y' B. y' xx22cos 3 xx22cos 3 2x cos2 x sin 2 x cos3 x 3 x sin 3 x 2x cos2 x sin 2 x cos3 x 3 x sin 3 x C. y' D. y' xx22cos 3 xx22cos 3 ' ' sin 2x 2 x cos2 x sin 2 x xcos3 x 3 x sin 3 x Bài làm 5. Ta có: , x x2 cos3x cos2 3x 2x cos2 x sin 2 x cos3 x 3 x sin 3 x Nên y' . xx22cos 3 Câu 6. y xsin2 x x32 x 1 32xx2 32xx2 A. y' sin 2 x 2 x cos2 x B. y' sin 2 x 2 x cos2 x 21xx32 xx321 32xx2 32xx2 C. y' sin 2 x 2 x cos2 x D. y' sin 2 x 2 x cos2 x 21xx32 21xx32 32xx2 Bài làm 6.Ta có: y' sin 2 x 2 x cos2 x 21xx32 Câu 7. y2sin23 x x 1 2sin 2xx 3 2 2sin 2xx 3 2 A. y' B. y' 2sin23xx 1 2 2sin23xx 1 sin 2xx 3 2 2sin 2xx 3 2 C. y' D. y' 2sin23xx 1 2 2sin23xx 1 2sin 2xx 3 2 Bài làm 7. Ta có: y' 2 2sin23xx 1 Câu 8. y x2 1 2 x 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21
22. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. xx212 xx2 1 A. y' B. y' (x22 1) x 1 2 x 1 (x22 1) x 1 2 x 1 xx2 1 xx212 C. y' D. y' 2 (x22 1) x 1 2 x 1 2 (x22 1) x 1 2 x 1 x 2 x2 1 xx212 Bài làm 8. Ta có: y' . 2xx2 1 2 1 2 (x22 1) x 1 2 x 1 x 1 Câu 9. y xtan 2 x cot x A. y' tan2 x 2 x 1 tan22 2 x tan x ( x 1)(tan 1) B. y' tan2 x x 1 tan22 2 x tan x ( x 1)(tan 1) C. y' tan2 x 2 x 1 tan22 2 x tan x 2( x 1)(tan 1) D. y' tan2 x 2 x 1 tan22 2 x tan x ( x 1)(tan 1) ' Bài làm 9. Ta có: xtan2 x tan2 x 2 x 1 tan2 2 x ' x 1 ' (x 1)tan x tan x ( x 1)(tan2 1) cot x Nên y' tan2 x 2 x 1 tan22 2 x tan x ( x 1)(tan 1) Câu 10. yxsin3 2 1 3 3sin2 2xx cos 2 sin2 2xx cos 2 33 33 A. y' B. y' 2 sin3 2x 1 2 sin3 2x 1 3 3 sin2 2xx cos 2 3sin2 2xx cos 2 33 33 C. y' D. y' sin3 2x 1 sin3 2x 1 3 3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22
23. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 3sin2 2xx cos 2 33 Bài làm 10. Ta có: y' . sin3 2x 1 3 Bài 10. Giải bất phương trình : Câu 1. fx'( ) 0 với f( x ) 2 x32 3 x 1 x 0 A. B. x 1 C. x 0 D. 01x x 1 Bài làm 1. TXĐ: D x 0 Ta có: f'( x ) 6 x2 6 x , suy ra fx'( ) 0 x 1 Câu 2. fx'( ) 0 với f( x ) 2 x42 4 x 1 10x A. B. 10x x 1 C. x 1 D. x 0 Bài làm 2. TXĐ: D 10x Ta có: f'( x ) 8 x3 8 x , suy ra fx'( ) 0 x 1 Câu 3. 2xf '( x ) f ( x ) 0 với f() x x x2 1 1 1 1 2 A. x B. x C. x D. x 3 3 3 3 Bài làm 3. TXĐ: D x fx() Ta có: fx'( ) 1 xx2211 Mặt khác: f() x x x2 x x0, x 2xf ( x ) Nên 2xf '( x ) f ( x ) 0 f( x ) 0 x2 1 x 0 1 21x x2 x . 31x2 3 Câu 4. fx'( ) 0 với f( x ) x 4 x2 . A. 22x B. x 2 C. 2 x D. x 0 Bài làm 4. TXĐ: D 2;2 x Ta có: f'( x ) 1 f'( x ) 0 4 x2 x 4 x2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23
24. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 20x 20x x 0 22x . 02x 4 xx22 Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn f()() x f x0 Từ định nghĩa đạo hàm fx'(0 ) lim ,ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của xx 0 xx0 hàm số. Cụ thể gx() Để tính A lim , biết gx(0 ) 0 . xx 0 xx0 Ta viết g()()() x f x f x0 . Khi đó nếu fx()có đạo hàm tại x0 thì : f()() x f x0 A lim f'( x0 ) . xx 0 xx0 Fx() Để tính: B lim , biết F( x00 ) G ( x ) 0 . xx0 Gx() Ta viết F()()() x f x f x0 và G()()() x g x g x0 . f()() x f x0 x x00 f'( x ) Nếu hai hàm số f( x ), g ( x ) có đạo hàm tại xx0 và gx'(0 ) 0 thì: B lim . xx 0 g()() x g x0 gx'(0 ) xx0 Các ví dụ Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau : 3 11x 3 2xx 1 3 2 1. A lim 2. B lim x 0 x x 1 x2 1 n 1 3x 1 3 1xx2 4 1 2 3. C lim 4. D lim x 0 x x 0 xx2 Lời giải. 1 1. Đặt f( x )3 1 x f '( x ) và f(0) 1 33 (1x )2 f( x ) f (0) 1 Aflim '(0) . x 0 x 03 2. Đặt f( x )3 2 x 1 3 x 2 23 fx'( ) và f(1) 0 . 3.3 (2x 1)2 2 3x 2 11f( x ) f (0) f( x ) f (0) 1 2 3 5 B lim . lim .lim .f '(1) . x 1 x1 x 1 x 1 x1x 1 x 1 2 3 2 9 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24
25. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. f( x ) f (0) 3 3. Đặt f( x )n 1 3 x C lim f '(0) . x 0 xn 21x 4. Đặt f( x )3 1 x2 4 1 2 x fx'( ) 3.3 (1xx2 ) 2 2.4 (1 2 )3 11f( x ) f (0) Dflim .lim '(0) . xx00xx12 1 2xx223 1 3 Ví dụ 2. Tính giới hạn sau : A lim x 0 1 cos x Lời giải. 1 2xx223 1 3 2 fx() Ta có: A lim x lim . xx00xx 2sin222sin 22 xx22 2 xx 2sin2 sin 11 Mà lim 22lim . xx00x2 22x 2 1 2tt3 1 3 Đặt t x2 lim f ( x ) lim 0 . xt00t Vậy A 0 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm các giới hạn sau (1 3xx )34 (1 4 ) Câu 1. A lim x 0 x A.25 B.26 C.27 D.28 Bài làm 1 Xét hàm số f( x ) (1 3 x )34 (1 4 x ) A f '(0) 25 (1x )(1 2 x )(1 3 x ) 1 Câu 2. B lim x 0 x A.6 B.4 C.3 D.2 Bài làm 2. Xét hàm số f( x ) (1 x )(1 2 x )(1 3 x ) 1 B f '(0) 6 n 11ax Câu 3.C lim (m , n ; a . b 0) x 0 m 11bx a m ma ma A. C B. C C. C D. C b n nb nb GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25
26. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Bài làm 3. Xét hai hàm số f( x )nm 1 ax 1, g ( x ) 1 bx 1 f '(0) ma Suy ra C . g'(0) nb 21xx Câu 4. D lim x 1 x2 1 A.0 B.1 C.2 D.3 1 Bài làm 4. Xét hàm số f( x ) 2 x 1 x D lim .f '(1) 0 x 1 x 1 Bài 2 Tìm các giới hạn sau 3 2x 1 1 Câu 1. A lim x 1 12x2 2 3 A. B.1 C.2 D. 3 2 22 Bài làm 1. Đặt f( x )3 2 x 1 1 f '( x ) f '(1) 3.3 (2x 1)2 3 x và g( x ) 1 2 x2 g '( x ) g'(1) 1 . 2 x2 f( x ) f (1) f( x ) f ( x ) f (1) f '(1) 2 Khi đó: A lim lim lim x 1 . x 1 g( x )x 1 g ( x ) g (1) x 1 g( x ) g (1) g'(1) 3 x 1 2xx 13 2 1 Câu 2. B lim x 0 sin x A.1 B.2 C.3 D.4 12x Bài làm 2. Đặt f( x ) 2 x 13 x2 1 f '( x ) . 21x 3.3 (x22 1) f '(0) 1 . Và g( x ) sin x g '( x ) cos x g '(0) 1. f( x ) f (0) f() x f '(0) Khi đó: B lim lim x 1. xx00g() x g( x ) g (0) g'(0) x 3 26xx34 14 80 1 Câu 3. C lim x 1 x 1 4 4 A. B.1 C.2 D. 27 27 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26
27. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 11 Bài làm 3. Đặt g( x ) x 1 g '( x ) g'(1) và 2 x 2 26 80x3 f() x3 26 x34 14 80 x 1 f '() x 3 (26xx3 1) 2 4 (804 1) 3 2 f '(1) . 27 f( x ) f (1) f() x f '(1) 4 Khi đó: C lim lim x 1 . xx10g() x g( x ) g (1) g'(1) 27 x 1 334 2x x22 4 2 x x Câu 4. E lim x 0 22xx 3 4. 2 3 4. 2 3 4 A. B. C. D.1 3 3 3 Bài làm 4. Xét hai hàm số f( x )33 4 2 x x22 4 2 x x g( x ) 2 x 2 x f '(0) 3 4. 2 Ta có: E . g'(0) 3 Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân Phương pháp: Vi phân của hàm số Tích f'( x0 ). x được gọi là vi phân của hàm số y f() x tại điểm x0 (ứng với số gia x ) được kí hiệu là df( x00 ) f '( x ) x . Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f'( x ) x được gọi là vi phân hàm số y f() x , kí hiệu là: df( x ) f '( x ) x . Đặc biệt: dx x' x x nên ta viết df( x ) f '( x ) dx . Đạo hàm cấp n Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: ff'' ( ')' . Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 (với nn,2) là f (n 1) . Nếu f (n 1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f ()n , tức là: ff(nn )( ( 1) )' . Các ví dụ 31x Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau: y x 2 Lời giải. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27
28. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 7 7.2 7.2.3 Ta có: y' , y'' , y''' (x 2)2 (x 2)3 (x 2)4 ( 1)n .7.n ! Bằng quy nạp ta chứng minh: y()n (2) (x 2)n 1 Với n 1 ta thấy (2) đúng ( 1)k .7.k ! Giả sử (2) đúng với nk, tức là: y()k (x 2)k 1 ' ( 1)kk .7.k ! ( 1) .7.k !.( k 1) Ta có: y(k 1) (xx 2)kk12( 2) ( 1)k 1 .7.(k 1)! (x 2)k 2 Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n . Ví dụ 2. Cho đa thức f( x ) x32 5 x 1 . Viết fx()dưới dạng lũy thừa của x 2 Lời giải. f (3)(2) f ''(2) f '(2) Ta có: f( x ) ( x 2)32 (x 2) (x 2) f (2) 3! 2! 1! Mà f'( x ) 3 x2 10 x , f ''( x ) 6 x 10, f '''( x ) 6 Nên f( x ) ( x 2)32 ( x 2) 8( x 2) 11 . Ví dụ 3. Tìm vi phân của của hàm số: 1. y x4 21 x 2. y( x3 2)( x 1) 2xx2 6 5 3. y 4. ysin3 x cos5 x 24x 5. y4 x2 tan x Lời giải. 1. Ta có dy( x43 2 x 1)' dx (4 x 2) dx 2. Ta có y x4 x 3 2 x 1 dy (4 x3 3 x 2 2) dx (4x 6)(2 x 4) 2(2 x22 6 x 5) 4 x 16 x 34 3. Ta có y' (2xx 4)22(2 4) 4xx2 16 34 Suy ra dy dx . (2x 4)2 11 4. Ta có ysin8 x sin2 x dy 4cos8 x cos2 x dx 22 8x 1 tan22 x 8 x 1 tan x 5. Ta có: y' dy dx 2 4x22 tan x 2 4x tan x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28
29. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số yxsin2 Câu 1. Tính y'' A. yx'' sin2 B. yx'' 4sin C. yx'' sin2 D. yx'' 4sin2 Bài làm 1. Ta có y' 2cos2 x y '' 4sin2 x Câu 2. Tính y'''( ) , y(4)() 3 4 A. 4 và 16 B. 5 và 17 C. 6 và 18 D. 7 và 19 Bài làm 2. Ta có y''' 8cos2x , y(4) 16sin2x 2 Suy ra yy'''( ) 8cos 4; (4) ( ) 16sin 16 . 3 3 4 2 Câu 3. Tính y()n A. y()nn2 sin(2x n ) B. yx()nn2 sin(2 ) 3 2 C. yx()nn2 sin( ) D. y()nn2 sin(2x n ) 2 2 Bài làm 3. Ta có y' 2sin(2 x ), y '' 22 sin(2 x 2 ) , yx''' 23 sin(2 3 ) 22 2 Bằng quy nạp ta chứng minh y()nn2 sin(2x n ) 2 Với n1 y ' 21 sin(2 x ) đúng 2 Giả sử y()kk2 sin(2x k ) , 2 suy ra y(k 1) y (k )' 2 k 1 cos(2x k ) 2k 1 sin 2x ( k 1) 22 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. Bài 2. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau 21x Câu 1. y x 2 (1)n 1 .3.n ! ( 1)n 1 .n ! A. y()n B. y()n (x 2)n 1 (x 2)n 1 ( 1)n 1 .3.n ! ( 1)n 1 .3.n ! C. y()n D. y()n (x 2)n 1 (x 2)n 1 ' 2 3 3 (x 2) 3.2 Bài làm 1. Ta có yy' , '' (x 2)2 (x 2)4 ( x 2)3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29
30. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 3.2.3 ( 1)n 1 .3.n ! y''' . Ta chứng minh y()n (x 2)4 (x 2)n 1 ( 1)0 .3 3 Với ny1' đúng (xx 2)22 ( 2) ( 1)k 1 .3.k ! Giả sử y()k (x 2)k 1 kk11 (1) .3.!.(kx 2) ' ( 1)k .3.(k 1)! yy(kk 1) ( ) ' (xx 2)2kk 2 ( 2) 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 1 Câu 2. ya,0 ax b (2)nn .an . ! ( 1)nn .an . ! ( 1)n .n ! ( 1)nn .an . ! A. y()n B. y()n C. y()n D. y()n ()ax b n 1 (x 1)n 1 ()ax b n 1 ()ax b n 1 a a23.2 a .2.3 Bài làm 2. Ta có y' ,y '' ,y ''' ()()()ax b2 ax b3 ax b 4 ( 1)nn .an . ! Ta chứng minh: y()n ()ax b n 1 ( 1)11 .aa .1! Với ny1' đúng ()()ax b22 ax b ( 1)kk .ak . ! Giả sử y()k ()ax b k 1 k k k 1 ( 1) .a . k !. ( ax b ) ' ( 1)kk11 .ak .( 1)! yy(kk 1) ( ) ' ()ax b 2kk 2 (x 2) 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 21x Câu 3. y xx2 56 (2)nn .7.nn ! (1) .5. ! ( 1)nn11 .7.nn ! ( 1) .5. ! A. y()n B. y()n (xx 2)nn11 ( 3) (xx 2)nn11 ( 3) ( 1)nn .7.nn ! ( 1) .5. ! ( 1)nn .7.nn ! ( 1) .5. ! C. y()n D. y()n (xx 2)nn ( 3) (xx 2)nn11 ( 3) Bài làm 3. Ta có: 2x 1 7( x 2) 5( x 3) ; x2 5 x 6 ( x 2)( x 3) 75 Suy ra y . xx32 ()nn() 1 (1).1.!n n n (1).!n n 1 (1).!n n Mà , xx22(x 2)n 1 ( x 2)n 1 (x 3)n 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30
31. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. ( 1)nn .7.nn ! ( 1) .5. ! Nên y()n . (xx 2)nn11 ( 3) Câu 4. yxcos2 n A. y()n 1 cos 2x n B. yx()nn2 cos 2 2 2 C. y(nn )2 1 cos 2x n D. y()nn2 cos 2x n 2 2 Bài làm 4. Ta có y' 2cos 2 x , y '' 22 cos 2x 2 , 22 yx''' 23 cos 2 3 . 2 Bằng quy nạp ta chứng minh được y()nn2 cos 2x n . 2 Câu 5. yx21 ( 1)n 1 .3.5 (3n 1) ( 1)n 1 .3.5 (2n 1) A. y()n B. y()n (2x 1)21n (2x 1)21n ( 1)n 1 .3.5 (2n 1) ( 1)n 1 .3.5 (2n 1) C. y()n D. y()n (2x 1)21n (2x 1)21n 1 1 3 Bài làm 5. Ta có y' ,y '' ,y ''' 21x (2xx 1)35 (2 1) ( 1)n 1 .3.5 (2n 1) Bằng quy nạp ta chứng minh được: y()n (2x 1)21n 21x Câu 6. y xx2 32 5.( 1)nn .nn ! 3.( 1) . ! 5.( 1)nn .nn ! 3.( 1) . ! A. y()n B. y()n (xx 2)nn11 ( 1) (xx 2)nn11 ( 1) 5.( 1)nn .nn ! 3.( 1) . ! 5.( 1)nn .nn ! 3.( 1) . ! C. y()n : D. y()n (xx 2)nn11 ( 1) (xx 2)nn11 ( 1) 53 Bài làm 6. Ta có: y xx21 5.( 1)nn .nn ! 3.( 1) . ! Bằng quy nạp ta chứng minh được: y()n . (xx 2)nn11 ( 1) Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 31
32. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Câu 1. y x322 x A. dy(3 x2 4 x ) dx B. dy(3 x2 x ) dx C. dy(3 x2 2 x ) dx D. dy(3 x2 4 x ) dx Bài làm 1. dy(3 x2 4 x ) dx Câu 2. yx32 3 1 1 3 A. dy dx B. dy dx C. dy dx D. dy dx 32x 2 3x 2 32x 2 3x 2 3 Bài làm 2. dy dx 2 3x 2 Câu 3. ysin2 x sin3 x A. dycos2 x 3sin2 x cos x dx B. dy2cos2 x 3sin2 x cos x dx C. dy2cos2 x sin2 x cos x dx D. dycos2 x sin2 x cos x dx Bài làm 3. dy2cos2 x 3sin2 x cos x dx Câu 4. yxtan2 A. dy (1 tan2 2x ) dx B. dy (1 tan2 2x ) dx C. dy 2(1 tan2 2x ) dx D. dy 2(1 tan2 2x ) dx Bài làm 4. dy 2(1 tan2 2x ) dx Câu 5. yx3 1 1 3 2 1 A. dy dx B. dy dx C. dy dx D. dy dx 3 (x 1)2 3 (x 1)2 3 (x 1)2 33 (x 1)2 1 Bài làm 5. dy dx 33 (x 1)2 Câu 6. yx(3 1)10 A. dy10(3 x 1)9 dx B. dy30(3 x 1)10 dx C. dy9(3 x 1)10 dx D. dy30(3 x 1)9 dx Bài làm 6. dy30(3 x 1)9 dx . Bài 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau x Câu 1. y xx2 56 ( 1)nn .3.nn ! ( 1) .2. ! ( 1)nn .3.nn ! ( 1) .2. ! A. y()n B. y()n (xx 3)nn11 ( 2) (xx 3)nn ( 2) ( 1)nn .3.nn ! ( 1) .2. ! ( 1)nn .3.nn ! ( 1) .2. ! C. y()n D. y()n (xx 3)nn11 ( 2) (xx 3)nn11 ( 2) Bài làm 1. Ta có: x3( x 2) 2( x 3) ; x2 5 x 6 ( x 2)( x 3) 32 Suy ra y . xx32 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 32
33. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. ()nn() 1 (1).1.!n n n (1).!n n 1 (1).!n n Mà , xx23(x 2)n 1 (x 2)n 1 ()x n 1 ( 1)nn .3.nn ! ( 1) .2. ! Nên ta có: y()n . (xx 3)nn11 ( 2) Câu 2. yxcos2 A. y(nn )2 1 cos 2x n B. y(nn )2 1 cos 2x n 2 2 C. yx()nn2 cos 2 D. y()nn2 cos 2x n 2 2 Bài làm 2. Ta có : y' 2cos 2 x , y '' 22 cos 2x 2 , yx''' 23 cos 2 3 . 22 2 Bằng quy nạp ta chứng minh được y()nn2 cos 2x n . 2 ĐẠO HÀM TỔNG HỢP Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 2 3 Câu 1: y x5 x 4 x 3 x 2 45 x 2 3 2 18 52 A. y' x4 x 33 x 2 3 x 4. B. y' x4 x 33 x 2 3 x 4. 23 23 58 58 C. y' x4 x 3 x 2 3 x 4. D. y' x4 x 33 x 2 3 x 4. 23 23 / / / / 1 2 3 1 2 / 3 / Bài làm: y' x5 x 4 x 3 x 2 4 x 5 y' x5 x4 x 3 x 2 4 x 5/ 2 3 2 2 3 2 58 y' x4 x 33 x 2 3 x 4. 23 11 Câu 2: y x x240,5 x 43 1 1 1 1 A. y' x2 x3 . B. y' 2 x x3 . C. y' x 2 x3 . D. y' 2 x 2 x3 . 3 3 3 3 / 11 Bài làm y/ x x20,5 x 4 43 // 11 // y/ x x2 0,5 x4 43 1 y' 2 x 2 x3 . 3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 33
34. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 Câu 3: y2 x43 x 2 x 5 3 1 1 1 1 A. y' 8 x32 x . B. y' 8 x32 x . C. y' 2 x32 x . D. y' 8 x32 x . x x x x / / 1 / 1 / 1 Bài làm y' 2 x43 x 2 x 5 y' 2 x4 x 3 2 x 5/ y' 8 x32 x . 3 3 x xx431 Câu 4: y x2 x a (a là hằng số) 4 3 2 1 1 A. y'1 x32 x x B. y' 4 x32 x x 1 C. y'1 x32 x x D. y'1 x32 x x 3 4 / xx431 Bài làm y' x2 x a y'1 x32 x x . 4 3 2 32 Câu 5: y x x x x2 3 61 61 61 61 A. x. B. x. C. x. D. x. x3 2 x x3 x x3 x x3 2 x / 32 / //2 Bài làm y' x x x y' 3. x2 x x x x2 3 3 12 / 6 1 2 1 y' 3. 2 . x 3/x x x x y'.x x 2 x 3 x3 22xx3 6 1 2 x 6 1 y'.x x xx3322xx32 1 Câu 6: y2 x43 x 2 x 5 3 1 1 1 1 A. y' 2 x32 x . B. y'. x32 x C. y' 8 x32 3 x . D. y' 8 x32 x . x x x x / / 1 / 1 / 1 Bài làm y' 2 x43 x 2 x 5 y' 2 x4 x 3 2 x 5/ y' 8 x32 x . 3 3 x Câu 7: y x534 x 2 x 3 x 3 3 A. y' 4 x4 12 x 2 . B. y' 5 x4 12 x 2 . 2 x 2 x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 34
35. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 3 C. y' 5 x4 4 x 2 . 2 x 3 D. y' 5 x42 12 x 2 . 2 x / // / 3 Bài làm y' x53 4 x 2 x 3 x y' x5 4 x 3 2. x / 3 x y' 5 x4 12 x 2 . 2 x Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau; Câu a). y x2 3 x 2 x . A. 3xx2 6. B. 3xx2 2 6. C. 3xx2 2 . D. 3xx2 2 6. / / / Bài làm y' x2 3 x 2 x x2 3 x . 2 x x2 3 x . 2 x 2x 3 2 x x223 x 1 3 x 2 x 6. Câu b). y2 x 3 x5 2 x A. 12x54 15 x 8 x 6. B. 12x54 5 x 8 x 6. C. 12x54 15 x x 6. D. 12x54 x x 6. / / / Bài làm y' 2 x 3 x5 2 x 2 x 3 x5 2 x x5 2 x 2 x 3 2x5 2 x 5 x4 22312 x x5 15 x 4 86. x Câu c). y x221 5 3 x A. 12xx3 4 . B. 12xx3 4 . C. 6xx3 4 . D. 12xx3 . / // Bài làm y' x2 1 5 3 x2 x 2 1 5 3x2 5 3 x2 x 2 1 253x x2 6 x x 2 1106 x x3 6 x 3 6 x 12 x3 4. x Câu d). y x2 x 1 3 x 2 2 x2 x 3 x 2 A. 18xx2 2 B. 18xx2 2. C. 8xx2 2 2. D. 18xx2 2 2. / / / Bài làm y'2 x2 x 32 x 2 x2 x 3232.2 x x x2 x 413232x x x22 x 18 x 22. x Câu e). y x222 x 3 2 x 3 A. 12x32 4 x 4 x 6. B. 2x32 4 x 24 x 6. C. 12x32 x 24 x 6. D. 12x32 4 x 24 x 6. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 35
36. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / // Bài làm y' x2 2323 x x2 x2 232323 x x2 x2 x 2 23 x 422x x2 34 x x2 2312 x x3 4 x 2 246. x Câu f) y x2 x xx 5 x 5xx 5xx A. . B. . C. . D. . 2 2 3 2 /// 1 1 5xx Bài làm yxx' 2 x2 . xxx .2 2 xx . . x2 2 xxxx . 2 x 22 21x Câu g) y 43x 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 43x x 3 43x 43x / // 21x 2143x x 4321243421 x x x x 2 Bài làm y' . 2 2 2 43x 4x 3 4x 3 4x 3 2x 10 Câu h) y 43x 46 4 46 46 A. B. C. D. 2 2 2 43x 43x 43x 43x / // 2x 10 2x 10.4 x 3 4 x 3.2 x 10 24x 3 42 x 10 46 Bài làm y' 2 2 2 43x 4x 3 4x 3 4x 3 3 Câu k). y 21x 6 16 26 36 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 21x 21x 21x 21x / / 1621x Bài làm y' 3. 3. . 22 21x 2xx 1 2 1 21x Câu l). y 13x 15 5 25 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 13x 13x 13x 13x / 21x Bài làm y' 13x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 36
37. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. // 2113x x 13 x 21213 x x 321 x 5 y'. 2 2 2 1 3x 1 3x 1 3x 1 xx2 Câu m). y 1 xx2 1 2x 1 x x221 2 x 1 x x 1 2x 1 x x221 2 x 1 x x A. B. 2 2 1 xx2 1 xx2 1 2x 1 x x222 x 1 x x 1 2x 1 x x221 2 x 1 x x C. D. 2 2 1 xx2 1 xx2 // / 2 2 2 2 1 xx2 1x x 1 x x1 x x 1 x x Bài làm y' 2 2 1 xx 1 xx2 1 2x 1 x x221 2 x 1 x x 2 1 xx2 xx2 33 Câu n). y x 1 xx2 xx2 2 x2 2 xx2 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 / 22/ 2 x3 x 3 x 1 x 1 x 3 x 3 2x 3 x 1 x 3 x 3 xx2 2 Bài làm y' . 2 22 x 1 xx11 2xx2 4 1 Câu o). y x 3 2xx2 2 11 2xx2 11 xx2 12 11 2xx2 12 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 x 3 x 3 x 3 x 3 Bài / 22/ 2 2x 4 x 1 x 3 x 3 2 x 4 x 1 4x 4 x 3 2 x 4 x 1 2xx2 12 11 làm y' . 2 22 x 3 xx33 Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 Câu a). y x7 x . A. x76 x71 x B. 2 7x6 1 C. 21x76 x x D. 2x76 x 7 x 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 37
38. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / Bài làm Sử dụng công thức u ' u1 u (với u x7 x ) / y' 2 x7 x . x 7 x 2 x7 x 7 x 6 1 2 Câu b). y2 x32 3 x 6 x 1 . A. 2 2x3 x 2 6 x 1 6 x2 6 x 6 . B. 2 2x3 3 x 2 x 1 x2 6 x 6 . C. 2 2x3 3 x 2 6 x 1 x2 6 x 6 . D. 2 2x3 3 x 2 6 x 1 6 x2 6 x 6 . / Bài làm Sử dụng công thức u với u2 x32 3 x 6 x 1 / yxxxxxx'223 3 2 6123 3 2 61 22 xxxxx3 3 2 6162 66. 3 Câu c). yx1 22 . 2 2 2 2 A. 12xx 1 22 . B. 12xx 1 22 . C. 24xx 1 22 . D. 24xx 1 22 . / Bài làm: Sử dụng công thức u với ux122 2 / 2 2 y'312 x2 12 x2 312x2 4 x 1212 x x2 . 32 Câu d). y x x2 . 31 31 31 A. x x2 . 1 2 x B. 32 xx2 C. 32 1 x2 31 D. 32x x2 . 1 2 x / Bài làm: Sử dụng công thức u với u x x2 31 / 31 y' 32 x x2 . x x2 32 x x2 . 1 2 x 4 Câu e). y x2 x 1 . 3 3 3 A. 4xx2 1 . B. x2 x1 . 2 x 1 C. xx2 1. 3 D. 4x2 x 1 . 2 x 1 / Bài làm: Sử dụng công thức u với u x2 x 1 3 / 3 y' 4 x2 x 1 . x2 x 1 4 x2 x 1 . 2 x 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 38
39. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 32 Câu f). y x22 x1 . x x 1 2 A. y' x2 x 1 3 2 x 1 x2 x 1 2 2 x 1 x2 x 1 2 B. y' x2 x 1 x2 x 1 3 2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 C. yxxxx'2 12 1321 xxx2 1221 xxx2 1 2 D. yxxxx'2 12 1321 xxx2 1221 xxx2 1 Bài làm: Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân. // 3 2 2 3 y' x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x 1 . / Sau đó sử dụng công thức u 2 / / 3 yxx' 32 1 xx2 1 xx2 1 2 xxxx2 12 1 xx2 1 2 2 3 yxx'32 121 xxx2 12 xxxxx2 1212 1 2 yxxxx'2 12 1321 xxx2 1221 xxx2 1 . 3 21x Câu g) y x 1 2 2 2 2 3 2x 1 21x 21x 3 2x 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 x 1 x 1 x 1 x 1 / 21x Bài làm: Bước đầu tiên sử dụng u , với u x 1 2 / 2 2 2x 1 2 x 1 2x 1 1 3 2x 1 y' 3. . 3. . . 24 x1 x 1 x 1 xx11 1 Câu h). y 5 xx2 1 5 2x 1 5 2x 1 21x 21x A. B. C. D. 6 6 6 6 xx2 1 xx2 1 xx2 1 xx2 1 / 1 5 Bài làm: Đầu tiên sử dụng công thức với u x2 x 1 u GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 39
40. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / 5 2 4/ xx1 22 5x x 1 . x x 1 5 2x 1 y' 2 10 6 5 2 2 xx2 1 x x 11x x 23xx23 Câu k). y 1 xx2 5x4 6 x 2 x 1 x x2 1 2 x 2 x2 3 x 3 A. y' 2 1 xx2 5x4 6 x 2 x 1 x x2 1 2 x 2 x2 3 x 3 B. y' 2 1 xx2 5x4 x 2 x1 x x2 1 x 2 x2 3 x 3 C. y' 2 1 xx2 5x4 6 x 2 6 x 1 x x2 1 2 x 2 x2 3 x 3 D. y' 2 1 xx2 / u Bài làm: Đầu tiên sử dụng v / / 2x2 3 x 3 . 1 x x2 1 x x2 2 x 2 3 x 3 y' 2 1 xx2 / // Tính 2x2 3 x 3 2 x2 3 x 3 3 x3 2 x 2 2x 3 x3 3 x 2 2 x 2 5 x 4 6 x 2 6 x . 5x4 6 x 2 6 x 1 x x2 1 2 x 2 x2 3 x 3 Vậy y' 2 1 xx2 Câu l). y1 2 x 2 3 x23 3 4 x A. y'23 x2 34 x 3 12634 x x x3 1223 x x2 12 x 2 B. y'423 x2 34 x 3 12634 x x x3 1223 x x2 12 x 2 C. y'223 x2 34 x 3 12634 x x x3 1223 x x2 12 x 2 D. y'223 x2 34 x 3 12634 x x x3 1223 x x2 12 x 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 40
41. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. Bài làm: / // y'1223 x x2 34 x 3 1223 x x2 34 x3 1223 x x2 34 x 3 y'223 x2 34 x 3 12634 x x x3 1223 x x2 12 x 2 . Bài 4. Tính đạo hàm các hàm số sau Câu a). y x2 x x 1 3 x x x 3 x A. x . B. 2.x C. x . D. 2.x 2 2 2 2 / /. / 13x Bài làm: yx' 2/ xx1 2 xxxxxxx '. . 2 . xx 2 . 2 x 2 Câu b). y12 x x2 . x 1 1 x 1 x A. B. C. D. 12xx2 12xx2 1 xx2 12xx2 / Bài làm: Sử dụng công thức u với u12 x x2 / 2 12xx 1 x y' . 1 2x x22 1 2 x x Câu c). y x2211 x 1 x x 1 11 xx A. . B. . C. . D. . xx2211 xx2211 xx2211 xx2211 // 22 //xx11 xx Bài làm: y' x22 1 1 x . 2x2 1 2 1 x2 x 2 1 1 x2 x2 1 Câu d). y . x 11 1 31 11 A. 1 B. C. 1 D. 1 2 2 2 x2 1 x x2 1 x2 1 x x2 1 x 2 2 2 x x x x / x2 1 Bài làm: Sử dụng công thức u với u x / 1x2 1 1 1 y' . 1 2 xx2211x x 22 xx GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 41
42. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 1 x Câu e). y . 1 x 11x 11x A. y' 2 . B. y' 2 . 2 2 1 x 1 x 1 x xx1 11x 11x C. y'. D. y' 2 . 2 2 1 x xx1 1 x xx1 / 1 x Bài làm: Đầu tiên sử dụng công thức u với u 1 x / 11xx y' 2 . 11xx // / 1 x 1x 1 x 1 x 1 x Tính 2 1 x 1 x 11 11xx 22xx 1 22 11x x x 11x Vậy y' 2 . . 2 1 x xx1 1 Câu f). yx1 x 1 11 11 A. . B. . x1 2 x 1 x 1 2xx 1 2 1 11 11 C. . D. . x1 x 1 x 1 2x 1 2 x 1 x 1 / / / 1 1 x 1 1 1 Bài làm: yx' 1 . 2 x1 2 x 1 x 1 2x 1 2 x 1 x 1 5 1 Câu g). yx . x 4 4 1 1 1 1 1 1 A. 5 x B. 5 x x2 x 2 x . x x x x. x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 42
43. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 4 4 1 1 1 1 1 1 C. x D. 5 x x2 x 2 x . x x2 x 2 x . x / 1 Bài làm: Bước đầu tiên sử dụng u với ux x / 4 / 4 1 1 1 1 x y' 5 x. x 5 x . 2 x x x2 x x 4 1 1 1 5 x x2 x 2 x . x 1 x Câu h). y . 1 x x 3 x 3 3 x A. . B. . C. . D. . 2 1xx 1 11xx 2 1xx 1 2 1xx 1 / / / u 1x 1 x 1 x 1 x Bài làm: Sử dụng được: y' v 2 1 x / 1 x 1 xx. 1 2 1xx 1 3 x 21 x . 1 x 2 1x . 1 x 2 1 x 1 x Câu i) y x x x. 1 1 1 1 1 1 A. . 1 . 1 . B. . 1 . 1 . 2 xxx 2 xx 2 x xxx xx x 1 1 1 1 1 1 C. . 1 . 1 . D. . 1 . 1 . xxx 2 xx 2 x 2 xxx 2 xx 2 x Bài làm: Đầu tiên áp dụng u với u x x x 1 / 1 1 / y' x x x 1 . x x 22x x x x x x 2 xx 1 1 1 . 1 . 1 . 2 xxx 2 xx 2 x 41x Câu k). y (áp dụng u chia v đạo hàm) x2 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 43
44. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. x x 8 x 8 x 8 A. B. C. D. xx2222 xx2222 xx2232 xx2222 / 2 / x 2 / 2 4x 1 x22 2 x 2 . 4 x 1 4.xx 2 . 4 1 22x2 Bài làm: y' 2 2 2 x 2 x 2 2 x 4xx 2 4 1 2 x2 2 4x 2 x 4 x 1 x 8 2 x 2 x22 x 2 2 x2 2 x 2 2 x3 Câu l). y (Áp dụng căn bặc hai của u đạo hàm). x 1 13xx32 A. y' 2 x3 x 1 2 x 1 12xx32 B. y' 2 x3 x 1 2 x 1 1 2xx32 3 1 2xx32 3 C. y' D. y' 2 2 x3 x 1 x3 x 1 2 x 1 x 1 / 1 x3 Bài làm: y'. x3 x 1 2 x 1 / / / 3323 x3 x x1 x 1 . x 31x x x 23x3 x 2 Ta có: 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2xx32 3 Vậy y' 2 x3 x 1 2 x 1 3 Câu m). yx2. x 2 x 2 32x 32x A. . B. . C. . D. . 22x x 2 x 2 22x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 44
45. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / 3 Bài làm: Đầu tiên áp dụng u với ux2 / 113232x y' .x 2 .3.x 2 . 33 2xx 2 2 2 22x 3 Câu n) yx1 1 2 . 2 2 2 2 6 1 1 2x 1 1 2x 1 1 2x 6 1 1 2x A. . B. . C. . D. . 12x 2 1 2x 12x 2 1 2x / Bài làm: Bước đầu tiên áp dụng u với ux1 1 2 2 / 2 / 2 12x 6 1 1 2x y'31 12x .1 12x 31 12x . . 2 1 2xx 2 1 2 Bài 5. Tính đạo hàm các hàm số sau: Câu a). y xcos x . A. cosxx sin . B. xxsin . C. xxsin . D. cosx x sin x . Bài làm: Ta áp dụng đạo hàm tích. / y' x 'cos x x . cos x cos x x sin x . 3 sin x Câu b) y . 1 cos x sin2 x 3sin2 x 2sin2 x 3sin2 x A. B. C. D. 3 2 2 3 1 cosx 1 cos x 1 cos x 1 cos x / sinx Bài làm: Bước đầu tiên ta áp dụng công thức u với u 1 cosx 2/ sinx sin y' 3 . 1 cosxx 1 cos / // 2 sin x sinx 1 cos x 1 cos x .sin x cos x 1 cos x sin x Tính : 22 1 cos x 1 cos xx1 cos cosx cos22 x sin x 1 . 2 1 cos x 1 cos x 2 sinxx 1 3sin2 Vậy y' 3 . . 3 1 cosxx 1 cos 1 cos x Câu c). yxsin3 2 1 . GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 45
46. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. A. sin2 2xx 1 cos 2 1 . B. 12sin2 2xx 1 cos 2 1 . C. 3sin2 2xx 1 cos 2 1 . D. 6sin2 2xx 1 cos 2 1 . / Bài làm: Bước đầu tiên áp dung công thức u với uxsin 2 1 / / Vậy y' sin32 2 x 1 3sin 2x 1 . sin 2 x 1 . / / Tính sin 2x 1 : Áp dụng sinu , với ux21 / / Ta được: sin2x 1 cos2x 1.2 x 1 2cos2x 1. y' 3.sin22 2 x 1 .2cos 2 x 1 6sin 2x 1 cos 2 x 1 . Câu d). yxsin 2 2 . 1 1 A. cos 2x2 . B. .cos 2x2 . C. .cos 2x2 . 2 x2 2 x D. .cos 2x2 . 2 x2 / Bài làm: Áp dụng công thức sinu với ux2 2 / 2 / 2 x x y' cos 2x2 . 2 x2 cos 2x2 . .cos 2x2 . 2 2xx22 2 Câu e). ysin x 2 x . cosx 2 cosx 2 2 cos x A. . B. . C. . D. . 2 sinxx 2 sinxx 2 2 sinxx 2 2 sinxx 2 / Bài làm: Áp dụng u , với usin x 2 x / sinxx 2 cosx 2 y'. 2 sinx 2 x 2 sin x 2 x Câu f). y2sin23 4 x 3cos 5 x . 45 5 A. y' sin8 x cos5 x .sin10 x B. y' 8sin8 x cos5 x .sin10 x 2 2 45 45 C. y' 8sin x cos5 x .sin10 x D. y' 8sin8 x cos5 x .sin10 x 2 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 46
47. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / Bài làm: Bước đầu tiên áp dụng uv // y' 2sin23 4 x 3 cos 5x / / Tính sin2 4x : Áp dụng u , với uxsin4 , ta được: / // sin2 4x 2sin4 x . sin4 x 2sin4 x .cos4 x 4 x 4sin8 x . / // Tương tự: cos3 5x 3cos2 5 x . cos5 x 3cos2 5 x . sin5 x . 5 x 15 15cos2 5x .sin5 x cos5x .sin10 x . 2 45 Kết luận: y' 8sin8 x cos5 x .sin10 x 2 3 Câu h). yx2 sin2 2 . 3 2 A. y' 6sin4 x 2 sin2 2 x . B. y' 3sin4 x 2 sin2 2 x . 2 2 C. y' s in4 x 2 sin2 2 x . D. y' 6sin4 x 2 sin2 2 x . / Bài làm: Áp dụng u , với ux2 sin2 2 . 2 / 2 / y' 3 2 sin2 2x 2 sin2 2x 3 2 sin2 2x sin2 2 x . / / Tính sin2 2x , áp dụng u , với uxsin2 . / // sin2 2x 2.sin2 x sin2 x 2.sin2 x .cos2 x 2 x 2sin4 x . 2 y' 6sin4 x 2 sin2 2 x . Câu i). ysin cos22 x .tan x . A. y' cos cos2x .tan 2 x sin2 x tan2 x 2tan x B. y' cos cos2x .tan 2 x sin2 x tan2 x tan x C. y' cos cos2x .tan 2 x sin2 x tan2 x tan x D. y' cos cos2x .tan 2 x sin2 x tan2 x 2tan x / Bài làm: Áp dụng sinu , với ucos22 x tan x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 47
48. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / y' cos cos2x .tan 2 x . cos 2 x .tan 2 x . / / / Tính cos22xx .tan , bước đầu sử dụng uv.,sau đó sử dụng u . / / / cos2x .tan 2 x cos2 x .tan 2 x tan2 x .cos 2 x // 2cosx cos x tan22 x 2tan x tan x cos x 1 2sinx cos x tan2 x 2tan x cos2 x sin2 x tan2 x 2tan x . cos2 x Vậy y' cos cos2x .tan 2 x sin2 x tan2 x 2tan x x 1 Câu j). y cos2 . x 1 11x 11x A. y' .sin . B. y' .cos 2. . 2 2 xx1 x 1 xx1 x 1 11x 11x C. y' .sin 2. . D. y' .sin 2. . 2 2 xx1 x 1 xx1 x 1 / x 1 Bài làm: Áp dụng u , với u cos x 1 / / x 1 x 1 x1 x 1 x 1 y' 2.cos . cos 2.cos .sin . x 1 x 1 x1 x 1 x 1 / xx11 y' sin 2 . . xx11 // / x 11x1 . x 1 x 1 . x 1 Tính . 22 x 1 x 11x x 11x Vậy y' .sin 2. . 2 xx1 x 1 sin 2xx cos2 Câu k). y . 2sin 2xx cos2 6 6 6 6 A. B. C. D. 2 2 2 2 2sin 2xx cos2 sin 2xx cos 2 2sin 2xx cos 2sin 2xx cos2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 48
49. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. // sin 2x cos2 x . 2sin 2 x cos2 x 2sin 2 x cos2 x . sin 2 x cos2 x Bài làm: y' 2 2sin 2xx cos2 2cos2x 2sin 2 x 2sin 2 x cos2 x 4cos2 x 2sin 2 x sin 2 x cos2 x y' 2 2sin 2xx cos2 6cos22 2xx 6sin 2 6 y' . 22 2sin 2x cos2 x 2sin 2x cos2 x 11 Câu l). y . cos22xx sin cos2x sin 2x sin x 2cos 2x 2sin 2x A. . B. . C. . D. . cos2 2x cos2 2x sin2 2x cos2 2x / 1 Bài làm: Áp dụng . u // cos2x sin 2 x . 2 x 2sin 2x y'. 2 2 2 cos2x cos 2xx cos 2 Câu m). ysin x .cos2 x . 5 4 5 5 A. cos2x . B. cos2x . C. 4 cos2x . D. 2 cos2x . / Bài làm: Áp dụng uv. / / / y' sin x .cos2 x cos2 x .sin x cos x .cos2 x sin2 x . 2 x .sin x y' cos x .cos2 x 2sin2 x .sin x . 5 Câu n). ycos44 x sin x A. 10cos4 2x . B. cos4 2xx .sin2 . C. 10cos4 2xx .sin . D. 10cos4 2xx .sin2 . 5 5 / Bài làm: cos2x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos2 x .Áp dụng u , với uxcos2 // y' 5.cos4 2 x . cos2 x 5.cos4 2x . sin2 x . 2 x 10cos4 2x .sin2 x . Câu o). yxsin24 cos tan 3 A. y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4tan3 3 x . 1 tan3 3 x .3 B. y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .tan3 3 x . 1 tan3 3 x . C. y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4tan3 3 x . 1 tan3 3 x D. y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4tan3 3 x . 1 tan3 3 x .3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 49
50. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. / Bài làm: Đầu tiên áp dụng u , với uxsin cos tan4 3 / y' 2sin cos tan44 3x . sin cos tan 3x / Sau đó áp dụng sinu , với uxcos tan4 3 / y' 2sin cos tan4 3x .cos cos tan4 3x . cos tan4 3x / Áp dụng cosu , với uxtan4 3 . / y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x . tan4 3 x . / Áp dụng u , với uxtan3 / y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4tan3 3 x . tan3 x . / y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4tan3 3 x . 1 tan2 3 x . 3 x . y' sin 2cos tan4 3x . sin tan4 3x .4tan3 3 x . 1 tan3 3 x .3 . Câu p) ysin33 2 x .cos 2 x 3 3 A. sin2 4xx .cos4 . B. sin2 xx .cos . C. sin2 xx .cos4 . D. sin2 4xx .cos4 . 2 2 3 3 11 / Bài làm: ysin3 2 x .cos 3 2 x sin 2 x .cos2 x sin 4x .sin3 4x . Áp dụng u, u sin 4 x . 28 1 //1 3 y' .3sin2 4x sin4 x .3sin2 4x .cos4 x . 4 x sin2 4x .cos4 x . 8 8 2 3 Câu q) ysin x cos x . 2 2 A. 3 sinx cos x cos x sin x . B. 3 sinx c os x cos x sin x . 2 2 C. sinx cos x cos x sin x . D. 3 sinx cos x cos x sin x . / Bài làm: Áp dụng u , với usin x cos x 2 / 2 y' 3 sin x cos x . sin x cos x 3 sin x cos x cos x sin x . Câu r). y5sin x 3cos x A. 5cosxx 3sin . B. cosxx 3sin . C. cosxx sin . D. 5cosxx 3sin . // Bài làm: y' 5sin x 3cos x 5cos x 3sin x . Câu s). ysin x2 3 x 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 50
51. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. A. cosxx2 3 2 B. 2x 3 .sin x2 3 x 2 C. x3 .cos x2 3 x 2 D. 2x 3 .cos x2 3 x 2 / Bài làm: Áp dụng sinu , với u x2 32 x / y'cos x2 3 x 2. x2 3 x 2 2 x 3.cos x2 3 x 2 Bài 6. Tính đạo hàm các hàm số sau: Câu a). yxsin . 1 1 1 1 A. .cosx . B. .cosx . C. .sinx . D. .cosx . x x x 2 x / Bài làm: Áp dụng sinu , với ux //1 y' sin x cos x . x .cosx . 2 x Câu b). yxcos2 . A. sin2x . B. sxin2 . C. cos2x . D. 2sin2x . / Bài làm: Áp dụng công thức u , với uxcos / / y' cos2 x 2.cos cosx 2cos x . sin x sin2 x . Câu c). yxcos 2 1 . 1 1 A. .sin 2x 1. B. .sin 2x 1. C. sin 2x 1. 21x 21x 1 D. .cos 2x 1. 21x / Bài làm: Áp dụng cosu , với ux21 / //21x Câu y' cos 2 x 1 sin 2x 1 2 x 1 sin 2x 1. 2 2x 1 21 sin 2xx 1. .sin 2 1. 2 2xx 1 2 1 11 Câu d). ysin3 x .cos5 x sin 2x sin8 x sin2x sin8 x 22 A. 4cos8xx cos2 B. cos8xx cos2 C. 4cos8xx cos2 D. 4cos8xx cos2 1 / 1/ 1/ 1 / 1 / Bài làm: y' sin8 x sin2 x sin8 x sin2 x cos8 x 8 x cos2 x . 2 x 2 2 2 2 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 51
52. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. 4cos8xx cos2 sinxx cos Câu e). y . sinxx cos sin 2x 3sin 2x sin 2x 2sin 2x A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 sinxx cos sinxx cos sinxx cos sinxx cos / u Bài làm: Áp dụng v // sinx cos x sin x cos x sin x cos x . sin x cos x y' 2 sinxx cos cosx sinx sin x cos x cos x sin x sin x cos x y' 2 sinxx cos 22 sinx cos x sin x cos x 2sin 2x y'. 22 sinx cos x sinx cos x Câu f). yxcos2 . sin 2x sin x sin 2x sin 2x A. . B. . C. . D. . cos 2x cos 2x 2 cos 2x cos 2x / Bài làm: Áp dụng u , với uxcos2 // cos2x sin 2 x . 2 x sin 2x y'. 2 cos2x 2 cos2x cos2x sin xx Câu g) y xxsin cosx sin x sin x x cos x xcos x sin x sin x x cos x A. . B. . xx22sin xx22sin xcos x sin x sin x cos x xcos x sin x sin x x cos x C. . D. . xx22sin xx22sin Bài làm: // //// sin xx sinx . x x .sin x x .sin x sin x . x xcos x sin x sin x x cos x y' .h) xxsin x2 sin2 x x2 sin2 x Câu Câu h). ysin cos x cos sin x A. sinxx cos B. sinxx cos C. sin cos x D. sin x // Bài làm: Bước đầu tiên sử dụng đạo hàm tổng, sau đó sử dụng sinuu , cos . GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 52
53. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. // // y' sin cos x cos sinx cos cosx . cos x sin sin x . sin x sinx .cos cos x cos x .sin sin x sin x .cos cos x cos x .sin sin x sinxx cos xxsin Câu i). y . xxsin 2sinx 2 x cos x 2sinx x cos x sinx x cos x 2sinx 2 x cos x A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 xxsin xxsin xxsin xxsin / u Bài làm: Sử dụng v // xsin x . x sin x x sin x . x sin x y' 2 xxsin 1 cosx x sin x 1 cos x x sin x 2sinx 2 x cos x . 2 2 xxsin xxsin 2 1 cos2x Câu k). y . 1 cos2x 1 cos 2xx 4sin 2 1 cos 2xx 4sin 2 A. 2. B. . 2 2 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2xx sin 2 1 cos 2xx 4sin 2 C. 2. D. 2. 2 2 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x / 1 cos2x Bài làm: Sử dụng u với u 1 cos2x / 1 cos2xx 1 cos2 y' 2 . 1 cos2xx 1 cos2 // 1 cos2x 1 cos2x 1 cos2 x 1 cos2x 1 cos2 x 2. 2 1 cos2x 1 cos2x 1 cos2x 2sin 2x 1 cos2 x 2sin 2 x 1 cos2 x 2. 2 1 cos2x 1 cos2x 1 cos 2xx 4sin 2 2. . 2 1 cos 2x 1 cos 2x Câu l). ysin44 x cos x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 53
54. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. A. sin4x . B. 2 sin4x . C. cos4xx sin4 . D. sin4x . 1 3 1 Bài làm: 1 sin2 2xx cos4 . 2 4 4 / 3 1 1 //1 y' cos4x cos4x sin 4x . 4 x sin 4 x . 4 4 4 4 2 Câu m). yxcos 2 . 4 2 2 A. 4xx .sin 2 . B. 2xx .sin 2 . 44 44 2 2 C. 4 2xx .sin . D. 4 2xx .sin 2 . 44 44 2 / Bài làm: Áp dụng cosu với ux2 4 / 2 2 2 / y' sin 2 x . 2 x sin 2x .2 2 x . 2 x 4 4 4 4 4 2 4 2xx .sin 2 . 44 sinx x cos x Câu n). y cosx x sin x x2 x2 2x2 x2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 cosxx sin cosxx sin cosx x sin x cosx x sin x // sinxxx cos cos xxx sin cos xxx sin sin xxx cos Bài làm: y' 2 cosx x sin x / / / Tính sinxxx cos cos xxx cos cos xxxxx '.cos . cos cosx cos x x sin x x sin x // Tính cosx x sin x sin x x '.sin x x . sin x sinx sin x x cos x x cos x xsin x cos x x sin x x cos x sin x x cos x x2 y'. 22 cosx x sin x cosx x sin x 1 2 3 Bài 7. Cho fx . Tính f '1. x xx23 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 54
55. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1. A.-14 B.12 C.13 D.10 / 1 Bài làm: Bước đầu tiên tính đạo hàm sử dụng công thức xx1 / 1 2 3 1 4 9 fx' f ' 1 1 4 9 14 x x2 x 3 x 2 x 3 x 4 11 Bài 8. Cho f x x2 . Tính f '1 x x 1 A. B.1 C.2 D.3 2 / / 1 1 1 x 1 1 Bài làm: Ta có f' x x2 2x 2x xxx xx222x x 11 Vậy f ' 1 1 2 22 Bài 9. Cho f x x53 x23 x . Tính f' 1 f ' 1 4 f 0 A.4 B.5 C.6 D.7 / Bài làm: Ta có f' x x5 x 3 2 x 3 5 x4 3 x 2 2 f'1 f ' 1 4 f 0 (5 32) (5 32) 4.(2) 4 x Bài 10. Cho fx . Tính f '0 4 x2 1 A. B.1 C.2 D.3 4 2 / 2 x / x' 4 x22 x 4 x 4 x x 2 4 Bài làm: fx' 4 x 2 2 4 x2 2 2 4 x 4 x2 4x 4 x 1 Vậy f '0 . 4 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 55
56. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM TẬP 2A. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM. Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489 để gặp thầy Vương. Hoặc liên hệ qua: Facebook: Page : Email: baovuong7279@gmail.com Website: 0946798489
57. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Vấn đề 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp điểm 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 13 LỜI TÂM SỰ Ở tài liệu tiếp tuyến này, tôi chia thành 3 tập nhỏ, vì đảm bảo chất lượng bố cục, và công tác trình bày, vì vậy mong quý vị bạn đọc theo dõi một cách thường xuyên để luôn được cập nhật tài liệu hay và chất lượng của chúng tôi. Thân ái. GIÁO VIÊN NÀO MUỐN MUA FILE WORD VUI LÒNG LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA NHÉ. THÂN ÁI. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1
58. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 x 0 ;f(x 0 ) . Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 x 0 ;f(x 0 ) là: y–y0 f(x 0 ).(x–x 0 ) y00 f(x ) Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng C1 : y f(x) và C2 : y g(x) tiếp xúc nhau f(xx ) g( ) tại điểm có hoành độ là hệ phƣơng trình 00có nghiệm f'(x00 ) g'(x ) Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đƣờng đó. 2 Nếu (C1 ) : y px q và C2 : y ax bx c thì 2 (C1) và C2 iếp xúc nhau phƣơng trình ax bx c px q có nghiệm kép. Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp - Viết phƣơng trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M x00 ; y , hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 . - Viết phƣơng trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A xAA ; y cho trƣớc. - Viết phƣơng trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Phương pháp: Cho hàm số y f x có đồ thị C và M x00 ; y là điểm trên C . Tiếp tuyến với đồ thị C tại M x00 ; y có: -Hệ số góc: k f' x0 - Phƣơng trình: y y00 k x x , hay y y0 f' x 0 x x 0 Vậy, để viết đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến tại M x00 ; y chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chƣa cho, ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y00 f x ) -Hệ số góc k f' x0 Vấn đề 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp điểm. Phương pháp: Bài toán 1 : Hai đƣờng cong C : y f x và C' : y g x tiếp xúc nhau tại M x00 ; y .Khi điểm M  C C' và tiếp tuyến tại M của C trùng với tiếp tuyến tại M của C' chỉ khi hệ phƣơng trình sau: f x00 g x có nghiệm x0 . f' x00 g' x GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2
59. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trƣờng hợp: C : y f x tiếp xúc nhau f x ax b 0 có nghiệm kép . d : y ax b k1 k Hàm fx nhận x0 làm nghiệm bội k nếu fx 0 f'x 0 f x0 0 và f x0 0 . Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép. Phép biến đổi tƣơng đƣơng của phƣơng trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm. Ví dụ 1. Đƣờng cong yx không tiếp xúc với trục hoành tại 0 , tức là phƣơng trình x0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 . Khi đó đồ thị C : y x3 của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại x0 nhƣng phƣơng trình x03 nhận 0 làm nghiệm bội 3 . Ví dụ 2. Đồ thị C : y sinx của hàm số tiếp xúc với đƣờng thẳng d : y x tại x0 nhƣng phƣơng trình sinx x 0 thì không thể có nghiệm kép. Nhƣ vậy, biến đổi tƣơng đƣơng của phƣơng trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến. Bài toán 2 : * Đƣờng cong C : y f x có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hàm số y f x khả vi tại x0 . Trong trƣờng hợp C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f' x0 . * Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị C : y f x tại điểm M x00 ;f x có dạng : y f' x0 x x 0 f x 0 Bài toán 3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M(x00 ;f(x )) . Giải. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) tại M(x00 ; y ) là: y f'(x)(x0 x) 0 y 0 . Bài toán 4. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết hoành độ tiếp điểm xx 0 . Giải: Tính y0 f(x 0 ),y'(x 0 ) phƣơng trình tiếp tuyến: y f'(x)(x0 x) 0 y 0 Bài toán 5. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết tung độ tiếp điểm bằng y0 . Giải. Gọi M(x00 ; y ) là tiếp điểm Giải phƣơng trình f(x) y0 ta tìm đƣợc các nghiệm x0 . Tính y'(x0 ) và thay vào phƣơng trình (1). Các ví dụ Ví dụ 1 : Cho hàm số y x32 3x 1 có đồ thị là (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm M 1;3 ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ; 3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;. 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3
60. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 5. Có hệ số góc là 9 ; 6. Song song với đƣờng thẳng (d ): 27x 3y 5 0 ; 7. Vuông góc với đƣờng thẳng (d’ ) : x 9y 2013 0 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D Ta có: y' 3x2 6x 1. Phƣơng trình tiếp tuyến t tại M 1;3 có phƣơng trình : y y' 1 x 1 3 Ta có: y' 1 3 , khi đó phƣơng trình là: y 3x 6 Chú ý: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M x00 ;f x . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại M x00 ; y là: y f' x0 x x 0 y 0 2. Thay x2 vào đồ thị của (C) ta đƣợc y 21 . Tƣơng tự câu 1, phƣơng trình là: y 24x 27 Chú ý: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết hoành độ tiếp điểm xx 0 , y00 f x , y' x0 phƣơng trình tiếp tuyến: y f' x0 x x 0 y 0 3. Thay y1 vào đồ thị của (C) ta đƣợc x2 x 3 0 x 0 hoặc x3 . Tƣơng tự câu 1, phƣơng trình là: y1 , y 9x 28 Chú ý: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết tung độ tiếp điểm bằng y0 . Gọi M x00 ; y là tiếp điểm Giải phƣơng trình f x y0 ta tìm đƣợc các nghiệm x0 . Tính y' x0 phƣơng trình tiếp tuyến: y f' x0 x x 0 y 0 4. Trục tung Oy : x 0 y 1.Tƣơng tự câu 1, phƣơng trình là: 5. Gọi x00 ; y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến . 2 2 Ta có : y' x0 3x 0 6x 0 , theo giả thiết y' x0 9 , tức là 3x00 6x 9 x30 hoặc x10 . Tƣơng tự câu 1 6. Gọi là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến . 5 Theo bài toán: td : y 9x . Tƣơng tự câu 1 3 7. Gọi là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến . 1 2013 Theo bài toán: t  d' : yx . Tƣơng tự câu 1 99 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4
61. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Ví dụ 2 . 1. Cho hàm số: yx 32 m1x 3m1xm2 . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A 2; 1 . 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y x32 (2m 1)x (m 3)x 3 và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có 7 hoành độ x = 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng . 17 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định với  x . Ta có: y' 3x2 2m 1x 3m 1 Với x1 y1 3m1 y'1 m6 Phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm có x1 : y m 6 x 1 3m 1 Tiếp tuyến này đi qua A 2; 1 nên có: 1 m 6 3m 1 m 2 Vậy, m2 là giá trị cần tìm. 2. Hàm số đã cho xác định với . Ta có: y' 3x2 2 2m 1 x m 3. Phƣơng trình tiếp tuyến (d) : y y'(2)(x 2) y(2) y 11– 7m x – 2 7 – 6m 11– 7m x 8m – 15 (11 7m)x y 8m 15 0 8m 15 7 d(0,(d)) 17(8m 15)22 49[(11 7m) 1] (11 7m)2 1 17 2153 1313m2 3466m 2153 0 m 1, m 1313 Ví dụ 3 : 42 1. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị C : y x x 6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng 1 y x 1. 6 12 2. Cho hàm số y x3 x có đồ thị là (C). Tìm tr n đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị 33 12 vuông góc với đƣờng thẳng yx . 33 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định D 1 Gọi t là tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số và t vuông góc với đƣờng thẳng y x 1, n n đƣờng 6 thẳng t có hệ số góc bằng 6 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5
62. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Cách 1: Gọi M x00 ; y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến t và đồ thị C của hàm số . Khi đó, ta có 3 phƣơng trình: y' x0 6 4x0 2x 0 6 2 2  x0 1 2x 0 2x 0 3 0 . Vì 2x0 2x 0 3 0, x0 n n phƣơng trình x00 1 y y 1 4 M 1;4 . Phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y 6 x 1 4 6x 10 . Cách 2: Phƣơng trình t có dạng y 6x m t tiếp xúc C tại điểm M x00 ; y khi hệ phƣơng trình sau có nghiệm x0 42 x0 x 0 6 6x0 m x10 có nghiệm x0 3 m 10 4x00 2x 6 2. Hàm số đã cho xác định D Ta có: y' x2 1 12 Gọi M(x;y)(C) y x3 x , 0 0 033 0 0 2 Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số góc: y'(x00 ) x 1 12 1 Đƣờng thẳng d: yx có hệ số góc k 33 2 3 4 22 1 x00 2 y  dk.k1 2 1(x1)0 1x40 3 3 x00 2 y 0 4 Vậy, có 2 điểm M 2;0 , 2; là tọa độ cần tìm. 3 Ví dụ 4 3x 1. Cho hàm số y (1). Viết phƣơng trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm x2 A 1; 2 và B 1;0 . 2. Cho hàm số y x32 6x 9x 1 (1). Viết phƣơng trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm A 2;7 và B 2;7 . Lời giải. 1. Cách 1. Phƣơng trình tiếp tuyến (d) có dạng y f'(x)(x0 x) 0 f(x) 0 ( x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) và (C)). 553 x ( x2 6x 6) = (x x ) 0 x 0 0 2 0 x2 2 2 (x0 2) 0 (x0 2) (x0 2) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6
63. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 22 5x(x 0 2)y x0 6x 0 6 0 2 2 2 52(x 0 2) x0 6x 0 6 5x 0 6x 0 6 d(A,(d)) d(B,(d)) 44 25 (x00 2) 25 (x 2) 22 x1 22x0 14x 0 19 x 0 6x 0 1 0 x0 14x 0 19 x0 6x 0 1 x0 1. 22x2 4x 9 0 x0 14x 0 19 x0 6x 0 1 00 Vậy phƣơng trình d : y 5x – 1 Cách 2. Tiếp tuyến (d) cách đều hai điểm A, B suy ra hoặc (d) song song với đƣờng thẳng AB hoặc (d) đi qua trung điểm I(0; - 1) của đoạn AB. * Trƣờng hợp 1: (d) //AB. yyAB Hệ số góc của đƣờng thẳng AB: k1AB . xxAB 5 (d) // AB suy ra hệ số góc của (d) : f’ x 1 1 (*) . Phƣơng trình (*) vô nghiệm do đó trƣờng 0 2 (x0 2) hợp này không xảy ra. * Trƣờng hợp 2: (d) qua trung điểm I của đoạn AB. Phƣơng trình (d) có dạng y = kx – 1. 3x0 kx0 1 (2) x20 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x có nghiệm . 0 5 k (3) 2 (x0 2) 5 3x 5 Thay k vào (2) ta đƣơc 0 1 2 x2 2 (x0 2) 0 (x0 2) x20 x2 0 x1 2 x1 0 (3 x)(x0 0 2) 5 (x0 2) 0 Thay x10 vào (2) ta đƣợc k5 . Vậy phƣơng trình 2. Phƣơng trình tiếp tuyến (D) có dạng : 2 3 2 2 3 2 y (3x0 12x 0 9)(x x)0 x 0 6x 0 9x 0 1 (3x0 12x 0 9)x 2x0 6x 0 1 2 3 2 (3x0 12x 0 9)x y 2x0 6x 0 1 0 (*) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7
64. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 3 2 2 3 2 2(3x0 12x 0 9) 7 2x0 6x 0 1 2(3x0 12x 0 9) 7 2x0 6x 0 1 d(A,(D)) d(B,(D)) 2 2 2 2 (3x0 12x 0 9) 1 (3x0 12x 0 9) 1 2x3 12x 2 24x 10 2x3 24x 26 (1) 2x3 12x 2 24x 10 2x3 24x 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2x0 12x 0 24x 0 10 2x0 24x 0 26 (2) 2 12x0 48x 0 360 x0 3  x 0 1 32 x 1  x 2 4x00 12x 16 0 00 Lần lƣợt thay x0 3  x 0 1  x 0 1  x 0 2 vào (*) ta đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến (D) là y 1 0, y 3 0, y 24x 7, y 3x 7. Ví dụ 5 Viết phƣơng trình tiếp tuyến d với đồ thị C : 1. y x32 3x 2 , biết d cắt các trục Ox, Oy lần lƣợt tại A, B thỏa mãn: OB 9OA . 2. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x32 6x 9x 2 tại điểm M, biết M cùng 2 điểm cực trị của C tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. Lời giải. 1. Gọi M x00 ; y x là toạ độ tiếp điểm. Theo bài toán, đƣờng thẳng d chính là đƣờng thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A,B . Gọi  là góc tạo bởi giữa d và Ox , do đó d có hệ số góc k tan  OB Dễ thấy, tam giác AOB vuông tại O , suy ra tan 9 OA y' x 9 3x2 6x 9 0 Nói khác hơn đƣờng thẳng d có hệ số góc là 9 , nghĩa là ta luôn có: 0 00 y' x 9 2 0 3x00 6x 9 0 2 2 x0 2x 0 3 0 x0 1 hoặc x30 vì x0 2x 0 3 0,  x0 . Với x10 suy ra phƣơng trình tiếp tuyến y 9x 7 Với x30 suy ra phƣơng trình tiếp tuyến y 9x 25 Vậy, có 2 tiếp tuyến y 9x 7 , y 9x 25 thỏa đề bài . 2. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 1;2 , B 3; 2 và đƣờng thẳng đi qua 2 cực trị là AB : 2x y 4 0 . Gọi M x00 ; y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C của hàm số và tiếp tuyến d cần tìm. Khi đó 32 y0 x 0 6x 0 9x 0 2 2x y 4 Ta có: AB 2 5 , d M;AB 00 5 1 Giả thiết S 6 .AB.d M;AB 6 2x y 4 6 MAB 2 00 2x00 y 10 hoặc 2x00 y 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8
65. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN y 2 2x 2x00 y 2 00 y2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 0 hay 32 x x2 6x 11 0 x0 y0 x 0 6x 0 9x 0 2 0 0 0 0 M 0; 2 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 2 . 2x00 y 10 TH2: Tọa độ thỏa mãn hệ: M 32 y0 x 0 6x 0 9x 0 2 y00 10 2x y2 0 hay M 4;2 x 4 x2 6x 11 0 x4 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 34 . Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 9x 2 và y 9x 34 x1 Ví dụ 6 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y . x3 1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại M 2. Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt đƣờng tiệm cận đứng của (C) tại A , cắt đƣờng tiệm cận ngang của (C) tại B và gọi I là tâm đối xứng của (C) . Viết phƣơng trình tiếp tuyến (d) biết: i) IA = 4IB. ii) IA + IB nhỏ nhất Lời giải. 1. Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 y5M . y5 7 M (C) M x TH1: x1 M 3 y5 5 M M y5 x3M M y5M M (C) x4M TH2: x1M y5M 5 y5M x3M 7 Phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ; 5 là y 9x 16. 3 Phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 4;5 là y 4x 21. 2. i) Ta có ABI bằng góc hình học hợp bởi tiếp tuyến (d) với trục hoành suy ra hệ số góc của (d) là IA k tanABI 4 IB Phƣơng trình tiếp tuyến d : y 4x 5 hoặc 44x 1 x2 2x 3 ii) Phƣơng trình tiếp tuyến (d) có dạng : y (x x ) 0 x 0 0 . 2 0 x3 2 2 (x0 3) 0 (x0 3) (x0 3) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9
66. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Tiệm cận đứng của (C) : D1 : x 3 Tiệm cận ngang của (C) : D2 : y 1. x2 2x 15 A là giao điểm của (d) và D y 00 1 A 2 (x0 3) B là giao điểm của (C) với D2 xB0 2x 3 . x2 2x 15 8 IA IB y y x x 00 1 2x 6 2x 6 AIBI 2 0 x3 0 (x0 3) 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có 8 IA IB 2 2x0 6 8 . x30 8 2 x10 IA IB 8 2x00 6 (x 3) 4 x30 x50 min IA IB 8 d: y x, y x 8 Ví dụ 7 32 1. Biết rằng tr n đồ thị y x m 1 x 4m 2 x 1, Cm tồn tại đúng 1 điểm mà từ đó kẻ đƣợc tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng x 10y 2013 0 .Viết phƣơng trình tiếp tuyến của Cm tại điểm đó 2x 3 2. Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến x1 đƣờng thẳng d: 3x 4y 2 0 bằng 2. Lời giải. 1. Gọi tiếp điểm là M a; b , tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k y'a 3a2 2m1a 4m 2 , theo giả thiết suy ra k 10 Tr n đồ thị chỉ có 1 điểm n n phƣơng trình 3a2 2 m 1 a 4m 8 0 có nghiệm kép hay '0 tức m5 , thay vào ta đƣợc a 2 M 2;29 . Vậy, tiếp tuyến cần tìm là y 10x 9 2x0 3 2. Gọi M x00 ; y là điểm thuộc đồ thị C , khi đó: y00 y x x10 3x 4y 2 00 Ta có: d M, d 2 2 3x00 4y 12 0 hoặc 3422 3x00 4y 8 0 2x 3 0 2 TH1: 3x0 4y 0 12 0 3x0 4 12 0 3x00 x 0 x00 x10 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10
67. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 hoặc x 0 3 2x 3 0 2 TH2: 3x00 4y 8 0 3x0 4 8 0 3x00 19x 20 0 x10 4 x5 hoặc x 0 0 3 Phƣơng trình tiếp tuyến d tại M thuộc đồ thị C có dạng: 1 y y' x x x y x trong đó và y' x , x1 . 0 0 0 0 2 0 x10 Phƣơng trình tiếp tuyến d1 tại M1 0;3 là y x 3 . 1 11 9 47 Phƣơng trình tiếp tuyến d2 tại M;2 là yx . 34 16 16 7 1 23 Phƣơng trình tiếp tuyến d3 tại M3 5; là yx . 4 16 16 4 Phƣơng trình tiếp tuyến d4 tại M4 ; 1 là y 9x 13 . 3 Vậy, có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài: 9 47 1 23 y x 3, y x , y x , y 9x 13 . 16 16 16 16 Ví dụ 8 x3 1. Cho hàm số yC và đƣờng thẳng d : y 2x m. Tìm m để đƣờng thẳng d cắt C tại x2 m m hai điểm phân biệt A, B sao cho tâm đối xứng I của C cách đều hai tiếp tuyến với C tại các điểm A, B. 2. Cho hàm số y x32 3x 1 có đồ thị là C . Tìm tr n đồ thị hai điểm A, B sao cho tiếp tuyến tại A và 10 B song song với nhau và khoảng cách từ O đến đƣờng thẳng đi qua hai điểm A, B bằng . 5 Lời giải. 1. D \ 2  . Hoành độ giao điểm của đƣờng thẳng dm và C là nghiệm của phƣơng trình x3 2xm 2x2 m5x2m30  x 2 x 2 Để dm cắt C tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phƣơng trình tr n có hai nghiệm phân biệt khác 2 nên phải có: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11
68. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 2 0 m 5 4.2. 2m 3 0 m 3 40 0  m g 2 0 2 2.2 2 m 5 2m 3 0 15 0 Các tiếp tuyến: 5 5 5 5 : y x x 1 , : y x x 1 1 2 1 x 2 1 2 2 x 2 x1 2 12 x2 2 22 x 2 x 2 25 d I; d I; 12 m 3. 1 2 22 x1 2 x2 2 Vậy, m3 là giá trị cần tìm. 32 32 2. Gọi A x1 ; y 1 x 1 3x 1 1 , B x2 ; y 2 x 2 3x 2 1 là 2 điểm cần tìm với xx12 Ta có y' 3x2 6x Hệ số góc của các tiếp tuyến của C tại A và B lần lƣợt là 22 k1 3x 1 6x 1 ,k 2 3x 2 6x 2 Tiếp tuyến của tại và song song với nhau nên 22 k1 k 2 3x 1 6x 1 3x 2 6x 2 3(x1 x)x 2 1 x 2 6(x 1 x) 2 0 x12 x 2 0 x21 2 x y y x3 x 3 3(x 2 x 2 ) Hệ số góc của đƣờng thẳng AB là k 2 1 1 2 1 2 x2 x 1 x2 x 1 2 k x1 x 2 xx 1 2 3x 1 x 2 4x(2x)6 1 1 2x1 2 32 Phƣơng trình đƣờng thẳng là y ( 2x1 2)(x x1 ) x 1 3x 1 1 ( 2x11 2)x y 2x 1 0 22 x1 2x 1 1 x1 2x 1 1 10 2 d O,AB 225 5 22 x2x21 1 1 x2x111 1 1 2 22 5x1 2x1 1 2 x1 2x11 1 1 .Bình phƣơng 2 vế và rút gọn đƣợc: 2 22 3x 1 2x 1 1 4x 1 2x 1 1 4 0 2 x2 2x 1 2 1 hoặc x2 2x 1 2 11 11 3 Giải 1 ta đƣợc x12 1 x 1 3 2 6 3 2 6 Giải 2 ta đƣợc x hoặc x 1 3 1 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12
69. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 326 926 326926 Vậy, các điểm cần tìm là A;,B; hoặc ngƣợc lại. 3 9 3 9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số y x32 3x 6x 1 (C) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết Câu 1. Hoành độ tiếp điểm bằng 1 A. y 3x 6 B. y 3x 7 C. y 3x 4 D. y 3x 5 Bài làm 1. Gọi M x00 ; y là tiếp điểm Ta có: y' 3x2 6x 6 . Ta có: x00 1 y 1,y'(1) 3 Phƣơng trình tiếp tuyến là: y y'(x)(x0 x) 0 y 0 3(x 1) 1 3x 4 Câu 2. Tung độ tiếp điểm bằng 9 yx 18 81 yx 81 yx 18 1 yx 81 A. yx 9 B. yx 9 C. yx 9 D. yx 9 yx 9 27 yx 92 yx 97 yx 92 Bài làm 2. Gọi là tiếp điểm Ta có: . 32 Ta có: y0 9 x 0 3x 0 6x 0 8 0 x0 1,x 0 2,x 0 4 . x00 4 y'(x ) 18 . Phƣơng trình tiếp tuyến là: y 18(x 4) 9 18x 81 x00 1 y'(x ) 9 . Phƣơng trình tiếp tuyến là: y 9(x 1) 9 9x x00 2 y'(x ) 18 . Phƣơng trình tiếp tuyến là: y 18(x 2) 9 18x 27 . 1 Câu 3. Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng y x 1 18 A. : y 18x 8 và y 18x 27 . B. : y 18x 8 và y 18x 2 . C. : y 18x 81 và y 18x 2 . D. : và . Bài làm 3. Gọi là tiếp điểm Ta có: . 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng y x 1 nên 18 2 Ta có: y'(x)150 x0 2x 0 80 x0 4,x 0 2 Từ đó ta tìm đƣợc hai tiếp tuyến: và . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13
70. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 4. Tiếp tuyến đi qua điểm N(0;1) . 33 33 33 33 A. y x 11 B. y x 12 C. y x 1 D. y x 2 4 4 4 4 Bài làm 4. Gọi M x00 ; y là tiếp điểm Ta có: y' 3x2 6x 6 . 2 3 2 Phƣơng trình tiếp tuyến có dạng: y (3x0 6x 0 6)(x x)0 x 0 3x 0 6x 0 1 Vì tiếp tuyến đi qua N(0;1) nên ta có: 2 3 2 1 (3x0 6x 0 6)(x) 0 x 0 3x 0 6x 0 1 3 2x32 3x 0 x 0,x 0 0 0 0 2 x00 0 y'(x ) 6 . Phƣơng trình tiếp tuyến: y 6x 1 . 3 107 33 x y ,y'(x ) . Phƣơng trình tiếp tuyến 0 20 8 0 4 33 3 107 33 y' x x 1. 4 2 8 4 Bài 2. Cho hàm số y x3 3x 1 (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết: Câu 1. Hoành độ tiếp điểm bằng 0 A. y 3x 12 B. y 3x 11 C. y 3x 1 D. y 3x 2 2 Bài làm 1. Ta có: y' 3x 3 . Gọi M x00 ; y là tiếp điểm Ta có: x0 0 y 0 1,y'(x) 0 3 Phƣơng trình tiếp tuyến: . Câu 2. Tung độ tiếp điểm bằng 3 A. y 9x 1 hay y3 B. y 9x 4 hay C. y 9x 3 hay D. y 9x 13 hay y2 Bài làm 2. Ta có: . Gọi là tiếp điểm 3 Ta có: y0 3 x 0 3x 0 20 x0 2,x 0 1 x00 1 y'(x ) 0 . Phƣơng trình tiếp tuyến: x00 2 y'(x ) 9 . Phƣơng trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 3 9x 13. Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14
71. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A. y 9x 1 hay y 9x 17 B. y 9x 1 hay y 9x 1 C. y 9x 13 hay y 9x 1 D. hay 2 Bài làm 3. Ta có: y' 3x 3 . Gọi M x00 ; y là tiếp điểm 2 Ta có: y'(x)90 3x0 39 x0 2 x00 2 y 3 . Phƣơng trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 3 9x 13. x00 2 y 1. Phƣơng trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 1 9x 17 . Câu 4. Tiếp tuyến vuông góc với trục Oy. A. y 2,y 1 B. y 3,y 1 C. y 3,y 2 D. x 3,x 1 Bài làm 4. Ta có: . Gọi là tiếp điểm Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y'(x0 ) 0 Hay x10 . Từ đó ta tìm đƣợc hai tiếp tuyến: . Bài 3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 2x42 4x 1 biết: Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng 1 y 1 y 1 y 1 y 1 A. yx 8 2 5 B. yx 8 2 15 C. yx 8 2 1 D. yx 8 2 10 yx 8 2 5 yx 8 2 15 yx 8 2 1 yx 8 2 10 Bài làm 1. . Ta có: y' 8x3 8x Gọi M x00 ; y là tiếp điểm. 42 Ta có: y0 1 2x0 4x 0 0 x 0 0,x 0 2 x00 0 y'(x ) 0 . Phƣơng trình tiếp tuyến là: y1 x00 2 y'(x ) 8 2 . Phƣơng trình tiếp tuyến y82x 2 182x15 x00 2 y'(x ) 8 2 . Phƣơng trình tiếp tuyến y 82x 2 1 82x15 . Câu 2. Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y 48x 1. A. y 48x 9 B. y 48x 7 C. y 48x 10 D. y 48x 79 Bài làm 2. . Ta có: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15
72. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Gọi M x00 ; y là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y 48x 1 3 Nên ta có: y'(x)480 x0 x 0 60 x0 2 Suy ra y0 17 . Phƣơng trình tiếp tuyến là: y 48(x 2) 17 48x 79 . Bài 4. Cho hàm số y x42 x 1 (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết: Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng 1 A. y2 B. y1 C. y3 D. y4 3 Bài làm 1. Ta có: y' 4x 2x . Gọi M x00 ; y là tiếp điểm 42 Ta có y0 1 x 0 x 0 0 x 0 0 , y'(x0 ) 0 Phƣơng trình tiếp tuyến: Câu 2. Tiếp tuyến song song với đƣờng thng y 6x 1 A. y 6x 2 B. y 6x 7 C. y 6x 8 D. y 6x 3 Bài làm 2. Ta có: . Gọi là tiếp điểm Vì tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y 6x 1 nên ta có: 3 y'(x)60 4x0 2x 0 6 x 0 1 y 0 3 Phƣơng trình tiếp tuyến: . Câu 3. Tiếp tuyến đi qua điểm M 1;3 . A. y 6x 2 B. y 6x 9 C. y 6x 3 D. y 6x 8 Bài làm 3. Ta có: . Gọi là tiếp điểm Phƣơng trình tiếp tuyến có dạng: 3 4 2 y 4x0 2x 0 x x 0 x 0 x 0 1 Vì tiếp tuyến đi qua M 1;3 nên ta có: 3 4 2 4 3 2 3 4x0 2x 0 1 x 0 x 0 x 0 1 3x0 4x 0 x 0 2x 0 2 0 22 (x0 1)(3x 0 2x 0 2) 0 x0 1 y0 3,y'(x) 0 6 Phƣơng trình tiếp tuyến: . 2x 2 Bài 5. Cho hàm số y (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết: x1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16
73. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng 2 . yx 7 yx 7 yx 27 yx 27 A. B. C. D. yx 1 yx 21 yx 21 yx 1 4 2x 2 : y (x x ) 0 . 2 0 x1 (x0 1) 0 4 Bài làm 1. Hàm số xác định với mọi x1 . Ta có: y' (x 1)2 Gọi M(x00 ; y ) là tiếp điểm, suy ra phƣơng trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên ta có 4 1 x 3,x 1 2 00 (x0 1) x00 2 y 4 : y x 7 x00 1 y 0 : y x 1 Câu 2. Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng d : y 4x 1. yx 42 yx 4 21 yx 42 yx 4 12 A. B. C. D. yx 4 14 yx 4 14 yx 41 yx 4 14 Bài làm 2. Hàm số xác định với mọi . Ta có: Gọi là tiếp điểm, suy ra phƣơng trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến song với đƣờng thẳng d : y 4x 1 nên ta có: 4 y'(x ) 4 4 x 0,x 2 . 0 2 0 0 (x0 1) x00 0 y 2 : y 4x 2 x00 2 y 6 : y 4x 14 . Câu 3. Tiếp tuyến đi qua điểm A(4;3) 11 1 31 11 1 31 yx yx yx yx A. 99 B. 99 C. 99 D. 99 11 1 31 1 31 11 yx yx yx yx 44 44 44 44 Bài làm 3. Hàm số xác định với mọi . Ta có: Gọi là tiếp điểm, suy ra phƣơng trình tiếp tuyến của (C): 4 2x 2 Vì tiếp tuyến đi qua A(4;3) nên ta có: 3 4 x 0 2 0 x1 (x0 1) 0 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17
74. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 222 3(x0 1) 4(x0 4) 2(x0 1) x0 10x 0 210 x0 3,x 0 7 81 x 7 y ,y'(x ) . Phƣơng trình tiếp tuyến 0 0 390 1 8 1 31 y x 7 x . 9 3 9 9 1 x 3 y 1,y'(x ) . Phƣơng trình tiếp tuyến 0 0 0 4 1 1 1 y x 3 1 x . 4 4 4 Câu 4. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. yx 11 yx 11 yx 1 yx 1 A. B. C. D. yx 7 yx 17 yx 17 yx 7 4 Bài làm 4. Hàm số xác định với mọi x1 . Ta có: y' (x 1)2 Gọi M(x00 ; y ) là tiếp điểm, suy ra phƣơng trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đƣờng phân giác yx , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y'(x0 ) 1. Mà y' 0,  x 1 nên ta có 4 y'(x ) 1 1 x 1,x 3 0 2 00 (x0 1) x00 1 y 0 : y x 1 x00 3 y 4 : y x 7 . 2x 1 Bài 6. Cho hàm số y (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) biết: x1 1 Câu 1. Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng y x 2 3 A. y 3x 11 hay y 3x 11 B. y 3x 11 hay y 3x 1 C. y 3x 1 hay y 3x 1 D. hay 3 Bài làm 1. Ta có y' . Gọi M x00 ; y là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng (x 1)2 1 y x 2 nên ta có 3 3 y'(x ) 3 3 x 0,x 2 0 2 0 0 (x0 1) x00 0 y 1, phƣơng trình tiếp tuyến là: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18
75. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x00 2 y 5 , phƣơng trình tiếp tuyến là: y 3(x 2) 5 3x 11. 1 Câu 2. Tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lƣợt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 6 41 A. y 3x 1,y 3x 1,y 12x 2,y x 33 42 B. y 3x 1,y 3x 11,y 12x 2,y x 33 43 C. y 3x 11,y 3x 11,y 12x,y x 34 42 D. y 3x 1,y 3x 11,y 12x 2,y x 33 3 Bài làm 2. Ta có y' . Gọi M x00 ; y là tiếp điểm. Phƣơng trình tiếp tuyến có dạng: (x 1)2 3 2x 1 y x x 0 . 2 0 x1 (x0 1) 0 y0 Ox A : 3 2x 1 (x x ) 0 0 2 0 x1 (x0 1) 0 2x2 2x 1 Suy ra A 00;0 . 3 x0 Oy B : 3x 2x 1 y 00 2 x1 (x0 1) 0 2x2 2x 1 Suy ra: B 0; 00 2 (x0 1) 2 11 2x2 2x 1 Diện tích tam giác OAB: S OA.OB 00 2 6 x0 1 2 1 2x2 2x 1 Suy ra S1 00 OAB 6 x0 1 1 2x22 2x 1x 1 2x x 0 x00 0,x 0 0 0 0 0 2 22 1 2x0 2x 0 1 x 0 1 2x0 3x 0 20 x ,x 2 002 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19
76. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Từ đó ta tìm đƣợc các tiếp tuyến là: 42 y 3x 1,y 3x 11,y 12x 2,y x . 33 Câu 3. Tiếp tuyến đi qua A 7;5 . 3 1 3 29 3 1 3 2 A. y x , y x B. y x , y x 4 4 16 16 4 2 16 16 3 1 3 9 3 1 3 29 C. y x , y x D. y x , y x 4 4 16 16 4 4 16 16 3 Bài làm 3. Ta có y' . Gọi M x00 ; y là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A 7;5 nên ta có: (x 1)2 3 2x 1 2 x10 5 7 x 0 x 4x 5 0 2 0 x1 0 0 x5 (x0 1) 0 0 Từ đó ta tìm đƣợc các tiếp tuyến là: . 42 Bài 7. Cho hàm số y x 8x m 1 (Cm ) . Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x10 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm. A. A(1;m 6), B 1 3;m 18 3 B. A(1;m 6), B 1 7;m 18 7 C. A(1;m 6), B 1 2;m 18 2 D. A(1;m 6), B 1 6;m 18 6 Ta có: y' 4x3 16x Vì x0 1 y 0 m 6, y'(x)0 12 . Phƣơng trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x10 là: y 12(x 1) m 6 12x m 6 . Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d x4 8x 2 m 1 12x m 6 x4 8x 2 12x 5 0 (x 1)(x22 2x 5) 0 x 1,x 1 6 Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt 2x m 1 Bài 8. Cho hàm số y (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) x1 Câu 1. Tại điểm có hoành độ x00 đi qua A(4;3) 16 6 1 16 A. m B. m C. m D. m 5 5 5 15 m3 Bài làm 1. Ta có: y' (x 1)2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20
77. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vì x0 0 y 0 m1,y'(x) 0 m3 . Phƣơng trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x00 là: y ( m 3)x m 1 16 Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 ( m 3)4 m 1 m . 5 25 Câu 2. Tại điểm có hoành độ x2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 0 2 23 23 23 23 m 2;m m 2;m m 2;m m 2;m A. 9 B. 9 C. 9 D. 9 28 28 28 28 m 7;m m 7;m m 7;m m 7;m 9 9 9 9 m3 Bài làm 2. Ta có: y' (x 1)2 Ta có x0 2 y 0 m 5, y'(x0 ) m 3 . Phƣơng trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x20 là: y ( m 3)(x 2) m 5 ( m 3)x 3m 11. 3m 11 Ox A A ;0 , với m 3 0 m3 Oy B B 0;3m 11 1 1 (3m 11)2 Suy ra diện tích tam giác OAB là: S OA.OB 22m3 1 (3m 11)2 25 Theo giả thiết bài toán ta suy ra: 22m3 9m2 66m 121 25m 75 (3m 11)2 25 m 3 2 9m 66m 121 25m 75 23 2 m 2;m 9m 41m 46 0 9 . 2 28 9m 91m 196 0 m 7;m 9 f(x) Bài 9. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị y f(x),y g(x),y tại điểm của hoành độ x0 bằng nhau. g(x) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. 1 1 1 1 A. f(0) B. f(0) C. f(0) D. f(0) 4 4 4 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21
78. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN f'(0).g(0) g'(0)f(0) Theo giả thiết ta có: f'(0) g'(0) g2 (0) f'(0) g'(0) 2 1 1 1 g(0) f(0) f(0) g(0) g(0)2 g(0) 1 2 4 2 4 g (0) Bài 10: Câu 1. Tìm trên (C) : y 2x32 3x 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. A. M( 1; 4) B. M( 2; 27) C. M(1;0) D. M(2;5) 32 2 Bài làm 1. Giả sử M(x00 ;y ) (C) y0 2x 0 3x 0 1. Ta có: y 3x 6x . 2 3 2 Phƣơng trình tiếp tuyến tại M: y (6x0 6x)(x 0 x) 0 2x 0 3x 0 1. 32 đi qua P(0;8) 8 4x00 3x 1 x10 . Vậy M( 1; 4) . Câu 2. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x32 6x 11x 1 tại điểm có tung độ bằng 5. A. y 2x 1 ; y x 2 ; y 2x 1 B. y 2x 3 ; y x 7 ; y 2x 2 C. y 2x 1 ; y x 2 ; y 2x 2 D. ; ; Bài làm 2. Ta có: y 5 x32 6x 11x6 0 x 1;x 2;x 3 Phƣơng trình các tiếp tuyến: ; ; 1 1 4 Câu 3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x32 x 2x , biết tiếp tuyến vuông góc 3 2 3 với đƣờng thẳng x 4y 1 0 . 7 2 73 26 A. y 4x ; y 4x B. y 4x ; y 4x 6 3 6 3 2 7 C. ; y 4x D. y 4x ; 3 6 Bài làm 3. Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng x 4y 1 0 11 yx Tiếp tuyến có hệ số góc k4 44 y'4 x2 x60 x 3;x2 1 73 * x3 Phƣơng trình tiếp tuyến y 4(x 3) 4x 66 2 26 * x2 Phƣơng trình tiếp tuyến y 4(x 2) 4x 33 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22
79. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2x 1 Câu 4. Viết phƣơng trình tiếp tuyến d của đồ thị C : y biết d cách đều 2 điểm A 2;4 và x1 B 4; 2 . 11 15 A. yx , y x 3, y x 1 B. yx , y x 5, y x 4 44 42 15 C. yx , y x 4 , D. , , 44 Bài làm 4. Gọi M x00 ; y x , x10 là tọa độ tiếp điểm của d và C 1 Khi đó d có hệ số góc y' x và có phƣơng trình là : 0 2 x10 11 y x x 2 2 0 x1 x10 0 Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I 1;1 của AB hoặc cùng phƣơng với AB . TH1: d đi qua trung điểm I 1;1 , thì ta luôn có: 11 1 1 x 2 , phƣơng trình này có nghiệm x1 2 0 x1 0 x10 0 15 Với x1 ta có phƣơng trình tiếp tuyến d : yx . 0 44 yyBA TH2: d cùng phƣơng với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó y' x0 k AB 1 hay xxBA 1 1 x2 hoặc x0 2 0 0 x10 Với x20 ta có phƣơng trình tiếp tuyến d : y x 5. Với x00 ta có phƣơng trình tiếp tuyến d : y x 1. Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: , , Câu 5. Tìm m để từ điểm M 1;2 kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị 32 Cm :yx 2x m1x2m . 10 100 10 100 A. m ,m 3 B. m ,m 3 C. m ,m 3 D. m ,m 3 81 81 81 81 Bài làm 5. Gọi N x00 ; y C . Phƣơng trình tiếp tuyến d của A tại N là: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23
80. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 3 2 y 3x0 4x 0 m 1 x x0 x 0 2x 0 m 1 x0 2m 32 M d 2x0 5x 0 4x 0 33m Dễ thấy là phƣơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị y 3 3m và 32 f x0 2x 0 5x 0 4x 0 . 32 2 Xét hàm số f x0 2x 0 5x 0 4x 0 có f' x0 6x 0 10x 0 4 1 f' x 0 x 2 hoặc x . 00 0 3 100 Lập bảng biến thiên, suy ra m ,m 3 81 3m 1 x m2 m Câu 6. Cho hàm số y có đồ thị là C , m và m0 .Với giá trị nào của m thì xm m tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đƣờng thẳng x y 10 0 . 1 1 1 A. m1 ; m B. m1 ; C. ; m D. m1 ; m 5 5 5 Bài làm 6. Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phƣơng trình: 2 3m 1 x m m x m,m 0 0,m 0 2 xm 3m 1 x m m 0 11 x m,m0,m m0,m 2 22 334m m m 4m . Mà y' y' . 22 2 2 m m m m 3m 1 2 xm mm x x m m 3m 1 3m 1 3m 1 mm2 1 Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng x y 10 0 nên y' 1 m1 hoặc m 3m 1 5 m1 giao điểm là A 1;0 , tiếp tuyến là y x 1. 1 3 3 m giao điểm là B ;0 , tiếp tuyến là yx . 5 5 5 32 Câu 7. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của Cm : y x 2x m 1 x 2m vuông góc với đƣờng thẳng yx 10 1 10 A. m B. m C. m D. m1 3 3 13 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24
81. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 2 2 7 7 7 7 2 Bài làm 7. y'3x 4xm13x m m y' m y' m khi x .Theo 3 3 3 3 3 3 7 10 bài toán ta có: y' 1 1 m 1 1 m . 33 1 Câu 8. Tìm m để đồ thị : y mx32 m 1 x 3m 4 x 1 có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc 3 với đƣờng thẳng x y 2013 0 . 1 1 1 A. m1 B. m C. m1 D. m1 2 2 2 Bài làm 8. Để tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đthẳng x y 2012 0 khi và chỉ khi y'.1 1 hay mx2 m 1 x 3m 3 0 có nghiệm  . Đáp số: . Câu 9. Cho hàm số y x3 3x 1 có đồ thị là C. Giả sử d là tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x2 , đồng thời cắt đồ thị tại N, tìm tọa độ N . A. N 1; 1 B. N 2;3 C. N 4; 51 D. N 3;19 Bài làm 9. Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị có hoành độ x00 2 y 3 2 Ta có y'(x) 3x 3 y'(x0 ) y'(2) 9 Phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm của đồ thị là y y'(x)(x0 x) 0 y 0 y 9(x 2) 3 y 9x 15 Xét phƣơng trình x3 3x19x15 x3 12x160 x2x 2 2x8 0 x4 hoặc x2 ( không thỏa ) Vậy là điểm cần tìm Bài 11: Câu 1. Cho hàm số y x32 2x 8x 5 có đồ thị là Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau C. Hàm số đi qua điểm M 1;17 D. Cả A, B, C đều sai Bài làm 1. Ta có y'(x) 3x2 4x 8 Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị vuông góc với nhau. Gọi x12 ,x tƣơng ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25
82. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Gọi k12 ,k lần lƣợt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên C có hoành độ x12 ,x . '' 2 2 Khi đó k,k1 2 1 yx.yx 1 2 1 3x1 4x 1 83x 2 4x 2 8 1 1 Tam thức f t 3t2 4t 8 có '0nên f t 0  t từ đó và từ 1 suy ra mâu thuẫn. Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm) Câu 2. Cho hàm số y x42 2x 3 . Tìm phƣơng trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến điểm 5 M 0; 3 bằng . 65 A. yx 21 B. yx 32 C. yx 76 D.Đáp án khác Bài làm 2. Gọi AC A a;a42 2a 3 Ta có: y' 4x33 4x y'a 4a 4a Phƣơng trình tiếp tuyến t : 4a3 4a x y 3a4 2a 2 3 0 5 3a42 2a 5 d M; t hay hay 65 2 65 4a3 4a 1 5 a 1 a 1 117a6 193a 4 85a 2 5 0 Giải tìm a, sau đó thế vào phƣơng trình (t) suy ra các phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm. Câu 3. Tìm m để đồ thị y x3 3mx 2 có tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng d: x y 7 0 góc sao 1 cho cos . 26 A. m 2 B. m 3 C. mm 1, 4 D. Đáp án khác Bài làm 3. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến n1 k; 1 , d có vec tơ pháp tuyến n2 1;1 nn12 13k1 2 Ta có cos k hoặc k 26 2 2 3 nn12 2 k 1 Yêu cầu bài toán ít nhất một trong hai phƣơng trình y' k1 hoặc y' k2 có nghiệm x tức 2 3 3x 2 1 2m x 2 m có nghiêm 2 . Tìm điều kiện có nghiệm suy ra m. Bạn tự giải tiếp, hí hí. 2 3x2 2 1 2m x 2 m có nghiêm 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26
83. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 4. Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y x42 2mx 2m 1 tại A 1;0 và B 1;0 hợp với 15 nhau một góc  sao cho cos . 17 5 7 15 17 A. m 0, m 2, m, m . B. m, m . 16 6 16 16 7 5 7 C. m . D. m, m . 16 6 6 Bài làm 4. Dễ thấy, A, B là 2 điểm thuộc đồ thị với  m . Tiếp tuyến d1 tại A : 4m 4 x y 4m 4 0 Tiếp tuyến d2 tại B : 4m 4 x y 4m 4 0 Đáp số: . 2x 2 Bài 12. Cho hàm số: y có đồ thị C . x1 Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) . Câu a. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1. A. y x 2, y x 7 . B. y x 5, y x 6 . C. y x 1, y x 4 . D. . 4 Bài làm a. Hàm số đã cho xác định với  x1. Ta có: y' 2 x1 Gọi M x00 ; y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phƣơng trình tiếp tuyến của C: 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y' x và y 0 2 0 x1 0 2 0 x1 x10 0 x10 0 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 4 Nên có: 1 x 3, x1 2 0 0 x1 Với x00 1 y 0 : y x 1 Với x00 2 y 4 : y x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: . Câu b. Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng d : y 4x 1. A. y 4x 3, y 4x 4 . B. y 4x 2, y 4x 44 . C. y 4x 1 . D. y 4x 14 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27
84. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 4 Bài làm b. Hàm số đã cho xác định với  x1. Ta có: y' 2 x1 Gọi M x00 ; y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phƣơng trình tiếp tuyến của C: 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y' x và y 0 2 0 x1 0 2 0 x1 x10 0 x10 0 Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng d : y 4x 1. 4 Nên có: y' x 4 4 x 0 hoặc x2 00 2 0 x10 Với x00 0 y 2 : y 4x 2 Với x00 2 y 6 : y 4x 14 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y 4x 2, y 4x 14 . Câu c. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. A. y x 1, y x 6 . B. y x 2 y x 7 . C. y x 5 . D. . Bài làm c. Hàm số đã cho xác định với . Ta có: Gọi là tọa độ tiếp điểm, suy ra phƣơng trình tiếp tuyến của với và Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. Mặt khác: y' x0 0 , nên có: y' x0 1 4 Tức 1 x 1 hoặc x3 . 2 0 0 x10 Với x00 1 y 0 : y x 1 Với x00 3 y 4 : y x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: . Câu d. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 41 42 A. y x , y 4x 14 . B. y x , y 4x 1 . 99 99 41 C. y x , y 4x 1. D. . 99 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28
85. NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 4 Bài làm d. Hàm số đã cho xác định với  x1. Ta có: y' 2 x1 Gọi M x00 ; y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phƣơng trình tiếp tuyến của C: 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y' x và y 0 2 0 x1 0 2 0 x1 x10 0 x10 0 2 Khoảng cách từ M x00 ; y đến trục Oy bằng 2 suy ra x20 , hay M 2; , M 2;6 . 3 2 42 Phƣơng trình tiếp tuyến tại M 2; là: yx 3 99 Phƣơng trình tiếp tuyến tại M 2;6 là: y 4x 14 42 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y x , y 4x 14 . 99 2x Bài 13. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y, biết: x1 Câu a. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 A. y 2x 1,y 2x B. y 2x 2,y 2x 4 C. y 2x 9,y 2x D. y 2x 8,y 2x 2 x 1 2x 2 Bài làm a. Ta có: y' . Gọi x ; y là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc 22 00 x 1 x 1 2 tiếp tuyến tại x ; y bằng y' x 00 0 2 x10 2 Theo giải thiết, ta có: y' x 2 2 0 2 x10 2 x0 1 1 x0 2 y 0 4 x0 1 1 x0 1 1 x0 0 y 0 0 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: Câu b. Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng d : x 2y 0 1 7 1 7 1 27 1 7 A. y x ,y x B. y x ,y x 2 4 2 4 2 4 2 4 1 2 1 7 1 27 1 7 C. y x ,y x D. y x ,y x 2 4 2 4 2 4 2 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29