Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật

Nội dung text: Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 230-237, DOI 10.15625/vap.2019000283 Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền Bộ môn Cơ ứng dụng – Viện Cơ khí, Đại học Bách Khoa Hà Nội E-mail: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn Tóm tắt lượng, véctơ chứa các thành phần Coriolis và ly tâm, lực Phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm – ma trận do trọng trường và lực suy rộng của các lực còn lại như C( q ,q ) – trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều lực dẫn động, lực cản tại khớp, lực do môi trường. Dạng vật được một số tác giả nghiên cứu và đưa ra các dạng khác (1) thường được gọi là dạng chính tắc của phương trình vi nhau. Bài báo này tổng hợp các phương pháp tính toán ma trận phân chuyển động cho hệ nhiều vật [13]. Thông thường C( q ,q ) và lý giải sự khác nhau giữa các phương pháp xác véctơ c( q , q ) được viết dưới dạng tích của ma trận – định trận này. Đồng thời bài báo cũng nêu ra biểu thức xác định được gọi là ma trận coriois và ly tâm C( q ,q ) với véctơ bằng tích Kronecker tương ứng với dạng Christoffel vận tốc suy rộng: cqqCqqq(,)(,) = . và đưa ra việc thiết lập ma trận này dựa trên nguyên lý d’Alembert-Lagrange. Dựa theo nguyên lý này, bài báo cũng Trong thời gian gần đây, việc xác định ma trận C( q ,q ) chỉ ra có thể nhận được rất nhiều ma trận C( q ,q ) khác nhau cũng đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. cho cùng một hệ nhiều vật. Ngoài ra, bài báo cũng đưa ra dạng Đã có nhiều công thức tính được đưa ra. Trước hết ma hiệu chỉnh của một số công thức xác định ma trận C. Các dạng trận C được đưa ra từ việc áp dụng trực tiếp phương trình ma trận C( q ,q ) khác nhau của một tay máy không gian được Lagrange loại 2, sau đó sử dụng biến đổi dựa trên tính đối đưa ra để minh họa cho các phương pháp tính toán. xứng của ma trận khối lượng để đưa ra dạng Christoffel. Từ khóa: phương trình chuyển động, ma trận Coriolis và ly lâm, Một số tác giả đưa vào định nghĩa ma trận theo vô hướng hệ nhiều vật. và tích Kronecker để tính ma trận C từ ma trận khối lượng [15-23]. Tùy theo cách thức định nghĩa ma trận 1. Mở đầu theo véctơ, mà kết quả cho ra công thức tính ma trận C khác nhau. Một cách khác, áp dụng nguyên lý Hệ nhiều vật là cấu trúc cơ học của hầu hết các thiết bị d’Alembert-Lagrange, trong đó lực suy rộng của lực quán máy móc, robot và xe cộ. Việc xây dựng mô hình động tính được tính trực tiếp từ lực quán tính và ngẫu lực quán lực học cho hệ nhiều vật có vai trò quan trọng trong tính tính của vật rắn. Theo cách này, ta nhận được nhiều ma toán và mô phỏng động lực học, cũng như thí nghiệm số trận C khác nhau. với các tín hiệu kích thích khác nhau và các luật điều khiển. Các lý thuyết về hệ nhiều vật rắn cũng như hệ Báo cáo này tổng hợp một số phương pháp tính toán nhiều vật đàn hồi đã phát triển mạnh mẽ trong bốn thập đưa ra ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi niên vừa qua do có sự hỗ trợ đắc lực của máy tính. phân chuyển động cho hệ nhiều vật. Các ma trận này được đưa ra dựa trên phương trình Lagrange loại 2 và từ Mô hình hóa và mô phỏng hệ nhiều vật đã thu hút nguyên lý d’Alembert-Lagrange. Các kết quả cho thấy nhiều nhà nghiên cứu. Nhiều công trình liên quan đến mô ma trận C không phải là duy nhất, mà nó phụ thuộc vào hình hóa hệ nhiều vật. Có một số cách tiếp cận để xây cách đưa ra ma trận này. Điều này là dễ hiểu, vì từ đại số dựng các phương trình động của hệ nhiều vật bao gồm tuyến tính ta đã biết rằng với A bA= b thì ta không phương trình Newton-Euler, phương trình và dạng thức 12 thể dẫn tới AA= . Lagrange, nguyên lý d’Alembert-Lagrange, nguyên lý 12 Jourdain và phương trình Kane, Nguyên lý Gauss, Phần còn lại của bài báo được trình bày như sau: Phần [1-16]. Dạng chung của phương trình chuyển động cho hệ 2 nhắc lại một số công thức trong động học và động lực nhiều vật cấu trúc hở với tọa độ suy rộng đủ có dạng: học vật rắn. Phần 3 trình bày việc xây dựng ma trận C dựa trên phương trình Lagrange loại 2 và tích Kronecker. M()(,)() q q+ c q q + g q = Q hay Phần 4 trình bày việc xây dựng ma trận C dựa trên nguyên lý d’Alembert-Lagrange. Phần 5 nêu ví dụ tính M()(,)() q q+ C q q q + g q = Q , (1) các dạng ma trận C cho tay máy không gian. Cuối cùng là trong đó M( q ), c ( q , q ), g ( q ), Q lần lượt là ma trận khối phần kết luận.
2. Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền 2. Một số công thức cơ bản của động học và quán tính và lực suy rộng của các lực hoạt động bằng động lực học hệ vật rắn [16] không: 2.1. Động học n ()()0,QQqqtaTqta+=+=qQQ  kkk (9) Không mất tính tổng quát ta xét hệ nhiều vật cấu trúc k =1  +=q QQ0qta cây chịu liên kết hôlônôm, dừng và lý tưởng. Đối với hệ k cấu trúc vòng, ta sử dụng phương pháp cắt khớp sẽ nhận Động năng và thế năng của hệ vật rắn: được hệ cấu trúc cây. Xét hệ nhiều vật n bậc tự do, vị 1 n trí của hệ được xác định bởi véctơ tọa độ suy rộng đủ: T= v  m v +  I  ( Ck k Ck k Ck k ) 2 k =1 q = [,, ,]qqq T . 1 n 12 n =+qT J Tm J J T A I() k A T J q (10)  ( Tk k Tk Rk k Ck k Rk ) 2 k =1 11ff ==qT M()() q qm q q q  ij i j 22ij==11 nn =−=− mgrm ()()qgrq T . (11) kCkkCk kk==11 Phương trình Lagrange loại 2 cho từng tọa độ suy rộng: dTT −+== Qini ,1,2, , (12) dtqqqiii Hình 1. Hệ nhiều vật cấu trúc cây Thực hiện các đạo hàm ta nhận được: Khi đó vị trí khối tâm và ma trận côsin chỉ hướng của nnn mm khâu thứ k thuộc hệ đối với hệ cố định như sau: mqq(q q )0.5+− ijjk ikkk j qq (13) kjk===111 ki rrqAAqCkCkkk==(),() . (2) +==gQii(q ),1, , in Vận tốc khối tâm và vận tốc góc của các khâu chiếu trong Phương trình Lagrange ở dạng ma trận: hệ cố định như sau: TT dTT  vrqJq== q ()(), (3) −=Q CkCkTk dt qq T T (14) kkkkRk= =Aq()() AJq q (4)  =−−+BuDqJq F T ()(0) Gia tốc khối tâm và gia tốc góc của các khâu chiếu trong E q hệ cố định như sau Thực hiện các đạo hàm và ta nhận được phương trình vi aJqCkTkTk=+ qJq()(), q (5) phân chuyển động dạng ma trận như sau: kRkRk=+Jq()() qJq q . (6) M()( q qC ,)()++= q q qg qQ T (0) (15) 2.2. Động lực học =−+BuDqJq F E () Lực quán tính và ngẫu lực quán tính của vật rắn khi thu T  n g()()() q qm JT q g(0) gọn về khối tâm của vật với =  = − i Ti (16) q i =1 Fqt =− m a , k k Ck (7) qt T MIIIIk= − Ckk −  k Ckk  = − Ckk  +() Ckk   k T C(,)() q q q=− M q q Nguyên lý d’Alembert-Lagrange q T (17) Đối với hệ nhiều vật chịu liên kết hôlônôm và lý tưởng 1 (())qT M q q =−M() q q ở dạng tọa độ suy rộng đủ, tổng công ảo của các lực hoạt 2 q động và các lực quán tính triệt tiêu trong mọi di chuyển ảo 3. Ma trận C từ phương trình Lagrange 2 A=() Faa   r + M   k k k k k 3.1. Các phương pháp xác định ma trận C kk (8) +(Fqt  r + M qt   ) = 0  k k k k 3.1.1. Tính trực tiếp từ phương trình Lagrange 2 k Triển khai phương trình Lagrange 2 ở dạng các phương Từ hệ thức trên ta suy ra, tổng lực suy rộng của các lực
3. Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật trình riêng lẻ (13), các phương trình vi phân chuyển động T MM1 nhận được ở dạng sau: C(,)()() qqIqqI=− nn (23) qq2 n n n m()()(),q q+ c q q q + g q = Q ik k  ijk k j i i Hay k=1 j = 1 k = 1 T MM1 T Theo cách triển khai này, ta có được ma trận Coriolis và C(,)()() qqIqqI=− qqnn2 ly tâm như sau T n MM1 C:== C ( q , q ) {C ( q , q )}, C(,)()q q= c q q T 0 ij ij ijk k C3 :(,)()()= C q q = Inn  q − q  I (24) k =1 qq2 TTT mmijjk 1 trong đó đã sử dụng tính chất ()ABAB =  . với c ()q =− . (18) ijk qq2 ki Lưu ý rằng, trong công thức trên đạo hàm ma trận theo 3.1.2. Tính theo Christoffel biến véctơ được định nghĩa như sau Trong nhiều tài liệu, đặc biệt là các sách về mô hình M mmm12 n hóa tay máy robot [6,8,11,12,13,16], tính chất đối xứng = , qqqq của ma trận khối lượng được khai thác và thực hiện một nn 2 số biến đổi tổng sigma kép, ma trận C được đưa ra như với m là cột thứ k của ma trận M . sau k b) Tính ma trận C theo Lewis & Dawson et al. [15] CCqqqq:(,){(,)},==C 1 ij Theo tài liệu này, đạo hàm ma trận M theo biến véctơ q f (19) Ccq(,)(),qqq ijijkk =  được định nghĩa như sau k =1 M / q 1 trong đó các đại lượngc ()q được thay thế bởi M M / q ijk = 2 . (25) q nn2 mm 1 ijjk m M / q c ()q =+− ik (20) n ijk 2 qqq kji Với (25), đạo hàm ma trận theo thời gian được tính như Theo cách này tính chất phản đối xứng của ma trận sau sau đây đã được chứng minh M M()() q= qT I (26) N( q ,)( qM=−= )2 qC ( − q ,)( qNq ,) q T (21) n q T Từ tính chất này ta suy ra được T T T 11 ((q ) M )( q )qM q T T và == ()Iqq V()s=1 s [()2(,)] M q − C q q s = 0,  s (22) n 2 qqq 22 Lưu ý rằng tính chất này là rất quan trọng trong việc thiết Thay vào (17) ta rút ra được ma trận C như sau kế bộ điều khiển dựa trên hàm Lyapunov cho hệ. M 3.1.3. Tính theo tích Kronecker CC:(==− q , qqIIq )()() TT1 . (27) 2 nn2 q Dựa trên khái niệm tích Kronecker [17,20,21], nhiều tác giả đưa đưa ra công thức tính ma trận C như trình bày Nếu sử dụng công thức tính đạo hàm theo thời gian ma trong một số tài liệu như [15,16,22,23]. trận khối lượng dạng a) Tính ma trận C theo Khang [22] T T M Theo đó với khái niệm đạo hàm ma trận theo biến véctơ M= M =() q  I (28) n q và tích Kronecker, có được hai đạo hàm sau [22] ta sẽ có M M()() q= I q T n MM1 q T C(,)()() q q= q  Inn − I  q . (29) qq2 T T (())qT M q q M = ()q I q c) Tính ma trận C theo Sanh [18,19] qqn Theo đó, PTVP CĐ được viết dạng Khi đó ma trận C được tính như sau qt qt M() q q= Q + Q12 − Q
4. Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền Như thế, ta có sự tương đương sau đây M CC:(,)()()==− qqqIIq TT1 (30) qtqt 2 nn2 CqqqQQ(,)() =−− 12 và q Nhận xét: Ba cách tính tính theo [Khang, Lewis-Dawson QBuJqFDqgq=+−− T ()() (0) . E và Sanh] sẽ cho cùng ma trận C. Ở đây có sự khác nhau của các biểu thức (23), (27), (29) và (30) là do định nghĩa Theo đó tác giả tính các thành phần QQq t q, t như sau 12 khác nhau trong việc đạo hàm ma trận khối lượng theo biến véctơ tọa độ suy rộng. T M q q 1 M d) Tính ma trận C theo Tuan et al. [23] qT qt 1 Theo đó biểu thức động năng được viết lại dạng Qq= q , 1 2 2 11ff Tmq== q qMqqqT ()() M  ijij qT 22ij==11 q 1 n =()vec[()qqMq T 2 qq1 i Trong biểu thức trên đã sử dụng hàm vec để véctơ hóa ma nnqq qt 2 i M QMq==Dq , trận khối lượng M bằng cách đặt các cột chồng lên nhau 2 ii q ii==11 i theo thứ tự, theo đó qq ni Mqmmm()[,, ,]= 12 n M với ký hiệu D M = . i TTTT qi và vec[()][,, ,]Mqmmm= 12 n Ở dạng tích Kronecker các biểu thức trên được viết thành Bằng cách này, các tác giả đã xác định được M C(,)()() qq qCqqq=* , q 1 M T * M 1  vec[]M qtTT 11 M QIqqIqq==()() q với Cq()=− 1 22nn 2 q qq2 M Lưu ý rằng ()()()qqIq== qqIq nn. Như q n thế, theo cách này ma trận Coriolis và ly tâm sẽ có dạng M như sau: q T 1 M 1  vec[M ] M C4 := C () = − ( In  q ) (31) qt T T M qq2 Q=()() q  Iq q = q  I q 2 nn 2 q Hoặc ta sử dụng công thức dạng M q T n M 1  vec[M ] C 4 := C () = − ( q  In ) (32) Theo đó đạo hàm ma trận theo biến véctơ được tính qq2 tương tự như Lewis, Dawson, et al. [15]. e) Cải tiến các công thức tính (29) và (30) Tổng hợp hai đại lượng QQqtqt, ta nhận được 12 Do ma trận khối lượng đối xứng nên ta có được C(,)() q q q= − Qqt − Q qt MMMM=TT =11 + 12 22 (33) 1 MM = −()()I  qTT q + q  I q Với công thức (33), nhân hai vế công thức (29) với q 2 nnqq và viết lại thành TT1 M = ()()q  Inn − I  q q 2 q Theo cách tính này, ma trận Coriolis và ly tâm sẽ là
5. Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật 3.2. Xác định C từ nguyên lý d’Alembert-Lagrange 1 M C(,)() qqqMqIqq=− T n Theo nguyên lý d’Alembert-Lagrange, tổng lực suy 2 q (34) 111 M rộng của các lực quán tính và lực suy rộng của các lực =+−MqMqIqqTT() 222 n q hoạt động bằng không: qt a qt a Với (26) ta có được Qkk+ Q =0, k = 1, , f Q + Q = 0 T T M Như ta biết lực suy rộng của các lực hoạt động (bao gồm MqI= ()n (35) q lực điều khiển, lực ma sát nhớt tại khớp, trọng lực, lực tác dụng tại điểm cuối E) được viết lại dạng và sử dụng đẳng thức ()()qIqIqq=nn ta suy ra aT(0) QBuJqFDqgq=+−− E ()() được Bây giờ ta tính lực suy rộng của các lực quán tính và TT T MM ngẫu lực quán tính. Tổng công ảo của các lực quán tính MqqIqIqq== ()() nn (36) qq Tqtqtqt  qQ =+()FrMkCkkk (41) Thay (36) vào (34) ta nhận được ma trận C như sau: Tính toán trong hệ quy chiếu cố định ta được T 1 MM T T qt qtT qtT CMIqIq=+− ()() (37) q Q= () Fk  r Ck + M k  k 8 2 qqnn Với ma trận C tính theo (37) tính chất đối xứng của Thay rCkTk J q= ,  kRk= Jq vào biểu thức trên ta MC− 2 theo (21) sẽ được thỏa mãn. nhận được TqtTTqtTqt q QqJFJM=+ ()TkkRkk f) Chuyển đổi dạng Christoffel về dạng tích Kronecker Như thế biểu thức lực suy rộng của các lực quán tính như hay dạng tính theo tích Kronecker cải tiến sau Ở đây ta sẽ biến đổi biểu thức (24) về dạng tương ứng QJFJMqtTqtTqt= +() với dạng Christoffel (19) và (20). Từ (24) ta có được Tk kRkk TT T = −++[()]JaJIITkkm CkRkCkkk Ckk  MM1 T C( q , q )()() qIq=− qqIq nn (38) qq2 Chú ý đến các biểu thức động học (5) và (6) ta có QJaJIIqtTT= −++[()] m  Ta thực hiện thay thế sau Tkk CkRkCkkk Ckk T = −+JJqTkkTkTkm qJq[( )( q ) ] MMM 11 ()()()Iq=+ qIq qIq q IJq[( qJq )( ) q ]+ qqq nnn 22 −JT CkRkRk (39) Rk + IJq q () 11MM k Ck Rk =+ ()()Iq qqIq 22qqnnSắp xếp lại các số hạng ta nhận được Qqt= − J Tmm J q −  J T J q trong đó hệ thức ()()I q q = q  I q đã được sử Tk k Tk Tk k Tk nn −JIJqTTT −  JIJq] −  J IJq dụng. Thay biểu thức (39) vào (38) ta rút ra được biểu Rk Ck Rk Rk Ck Rk Rk k Ck Rk = −JTTm J + J I J q thức xác định ma trận C như sau: ( Tk k Tk Rk Ck Rk ) −JTTTm J + J I J + J I J q ( Tk k Tk Rk Ck Rk Rk k Ck Rk ) 11MM C C(,)()() q q= I  q + q  I = −M()(,) q q − C q q q 5 22qqnn T (40) Theo cách trình bày trên, ta có được ma trận khối lượng 1 T M −()qIn M và ma trận C như sau: 2 q M() qJJJ= + ITT Jm ( Tk k TkRk Ck Rk ) So sánh biểu thức (40) và các biểu thức (19), (20) có thể = +JJJTTkm A T I A J () thấy rằng hai cách xác định ma trận C này là tương ( Tk k TkRk k Ck k Rk ) đương. Như thế, có thể nói rằng dạng (40) chính là sự TTT Cqq(,)()=  Jm J + JIJ +  J IJ chuyển đổi từ dạng Christoffel sang dạng tích Kronecker. Tk k Tk Rk Ck Rk Rk k Ck Rk Hay Với ma trận C tính theo (40) tính chất đối xứng của theo (21) sẽ được thỏa mãn.
6. Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền CJJJAIAJ:(=+ TTkTm () avvvv=+ =  , b d 6 TkkTkRkkCkkRk (42) CkCkCkCkCk dt TkT () +JAIAJRkkkCkkRk ) và aJqJqJq()()()()()kkkkk=++  . Ma trận C tính theo (42) thỏa mãn tính tính chất phản đối CkTkTkkTk xứng của MC− 2 . Nếu tính công của lực quán tính trong hệ cố định và công của ngẫu lực quán tính trong hệ khâu ta nhận được Các dạng cải biến của (42) MJJJIJ=+ Tkm Tkk ()()() ( TkkTkRkCkRk ) Lưu ý rằng, nếu sử dụng biểu thức T (45) JJTkkTkm + C = ()()()()()()()k Tkkk Tkkk  =− II() II=−S() 9 JIJJIJ +  kCkkCkkk kCkkCkkk RkCkRkRkkCkRk khi đó ta sẽ nhận được một ma trận C như sau: Tương tự như công thức (42) và (43), ta có thể biến hóa các công thức (44) và (45) để nhận được rất nhiều ma C(,)() q qJJJIJJIJ= +TTT +mS   TkkTkRkCkRkRkCkkRk trận C khác nhau. Tuy nhiên, các ma trận này không đáp Hay ứng được tính chất phản đối xứng của . CJJ:= +T m Trong các biểu thức trên, nếu sử dụng khái niệm tích 7 TkkTk (43) −()JATkTTkT  IAJJA( )( ) IAJ S  Kronecker và định nghĩa đạo hàm ma trận theo véctơ là RkkCkkRkRkkCkkkRk đạo hàm từng cột ma trận theo véctơ đó, ta có thể thay thế trong đó hàm S()uu . các đạo hàm theo thời gian của các ma trận như sau: J J Lưu ý rằng −=IIS() nhưng JIq =Tk (), JIq =Rk (), kCkkCkkk Tkn q Rkn q − kCkCkkIIS(). Do đó hai ma trận C( q ,q ) tính theo hai biểu thức (42) và (43) ở trên là khác nhau. Như Aqk () AqIqkn()()=. vậy, khi sử dụng nguyên lý d’Alembert-Lagrange để thiết q lập phương trình vi phân chuyển động cho hệ nhiều vật, 4. Ví dụ minh họa ta nhận được các ma trận C khác nhau. Lưu ý rằng, với Để minh họa cho các công thức tính trên, ở đây xét tay hệ cấu trúc cây n vật (n bậc tự do), khi ta áp dụng hai máy không gian 2 bậc tự do. Các tọa độ suy rộng được cách tính số hạng − kCkk I theo −kI Ck k hoặc TT chọn là q ==[,][,]qq12  . n S()ICkkk sẽ cho ta 2 ma trận C(,) q q nói chung C x2 là khác nhau. y2 z1 l Trong các biểu thức trên z0 b ()kT IAIACk= k Ck k , A B z2 ()k h với ICk = const, là ma trận quán tính của vật k đối với hệ gắn liền vật có gốc tại khối tâm. x1 O  Các dạng cải biến khác suy ra từ (41) x0 Ngoài các công thức nêu trên, dưới đây là hai công Hình 2. Tay máy hai khâu không gian thức khác nữa để tính ma trận C. Nếu thực hiện triển khai công thức (41) trong các hệ trục tọa độ gắn liền khâu ta Các thông số của tay máy bao gồm: nhận được Khâu 1: ()()()()()k T k k T k k m, u(1)== [ x ,0, z ]T ,I (1) diag([ I , I , I ]) MJJJIJ= ( Tkm k Tk + Rk Ck Rk ) 1C C 1 C 1 C 1 x 1 y 1 z ()()()()()k T k k T k k CJJJJ8 = ( Tkmm k Tk + Tk k k Tk ) + (44) Khâu 2: ()()()()()()()k T k k k T k k k +(JIJJIJRk Ck Rk Rk k Ck Rk ) (2)T (2) m2, uC== [ x C 2 ,0,0] ,I C diag([ I 2 x , I 2 y , I 2 z ]) Trong đó gia tốc khối tâm tính trong hệ tọa độ khâu được Các ma trận quay: thực hiện theo công thức
7. Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật AA01==rotqrotrotq(),(/ 2)() 0sin q 1122 zxz 1 001 J =−0cos q . AAA212= R21 10 Các ma trận Jacobi tịnh tiến và quay: Áp dụng công thức ta xác định được ma trận khối −xqsin0 C 11 lượng J = xqcos0, TC111 m11 0 00 M = 0 Imx+ 2 00 222zC với JR1 = 00 10 m= I + m x22 + m b + 2 m bx cos q 11 1z 1 C 1 2 2 C 2 2 +m x2cos 2 q + I sin 2 q + I cos 2 q 2C 2 2 2 x 2 2 y 2 −sq1() b + xCC 2 cq 2 − x 2 cq 1 sq 2 Áp dụng các công thức ở phần trên, nhờ công cụ JTCC2= cq 1(), b + x 2 cq 2 − x 2 sq 1 sq 2 0 x cq Maple ta nhận được các ma trận C như sau: C 22 2sincoscoscos0qqm bxm xqIqq I 2 C 2222222222 2 CCxy 0 2 qqm1222222222sincoscoscos0 bxm 2 xqIqqCCxy I m bxm xqm bxm22coscos xq qqqqsinsin 222CCCC 22222 22 2212 Iqqcoscoscoscos IIqq I C 222xyxy 2222 2 1 2 m222 bxmCC 22 xq cos qq12sin0 Iqq222xycoscos I 2 2qqm sincoscoscos0 bxm xqIqq I 2 CCCC 22222 22222 2 CCxy 432 0 2 qqm12222sincoscoscos0 bxm 2222 xqIqqCCxy I 2 2 m bxm xq 2 cos 02 sin qq 222CC 22 12IqIqcoscos C 2222xy 4 2 m222 bxmCC 22 xq cos qq12sin0 IqIq222xycoscos 2 mbx mx22cos q mbx mx cos q qsin q2CCCC 2 2 2 2 q sin q 2 2 2 2 2 2 2Icos q cos q I 1 2 I cos q cos q I C 2x 2 2 2 y 2 x 2 2 2 y 5 2 m2 bxCC 2 m 2 x 2cos q 2 qq12sin 0 I2xycos q 2 cos q 2 I2 mbx mx22cos q mbx mx cos q qsin q2CCCC 2 2 2 2 q sin q 2 2 2 2 2 2 2Icos q cos q I 1 2 I cos q cos q I C 2x 2 2 2 y 2 x 2 2 2 y 6 2 m2 bxCC 2 m 2 x 2cos q 2 qq12sin 0 I2xycos q 2 cos q 2 I2
8. Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền m bxm xq 2 cos m xqqbxqqqsincossin 22222CC 22CC 222212 2cos2cosIqIq C 2222xy 7 2 m22222 bxmCC xq cos qq12sin0 IqIq2222xycoscos Nhận xét: 8. Reza N. Jazar: Advanced Dynamics: Rigid Body, Multibody, and Aerospace Applications, John Wiley & - Các ma trận CCCC0,,, 2 3 4 giống nhau, không thỏa mãn tính chất phản đối xứng của (MC 2 ) − . Sons, 2011. 9. L.-W. Tsai, Robot analysis: the mechanics of serial and - Các ma trận CCC,, và C giống nhau và đảm 1 5 6 8 parallel manipulators. John Wiley & Sons, 1999. bảo tính chất phản đối xứng của . 10. M. Ceccarelli, Fundamentals of mechanics of robotic - Các ma trận CC47, không giống các ma trận khác manipulation, vol. 27. Springer Science & Business Media, và cũng không đảm bảo tính chất phản đối xứng của 2013. . 11. L. Sciavicco and B. Siciliano, Modelling and control of robot manipulators. Springer Science & Business Media, 5. Kết luận 2012. Bài báo này đã tổng hợp nhiều dạng công thức để xác 12. M. W. Spong, S. Hutchinson, and M. Vidyasagar, Robot định ma trận Coriolis và Ly tâm trong PTVP CĐ của hệ modeling and control, vol. 3. Wiley New York, 2006. nhiều vật. Các công thức tính trực tiếp từ biểu thức động 13. Bruno Siciliano, Oussama Khatib (2017): Springer Handbook Robotics, Springer; 2nd Ed. năng – ma trận khối lượng – cho ra cùng một kết quả mặc 14. Bruno Siciliano, Lorenzo Sciavicco, Luigi Villani, dù công thức có thể khác nhau. Đó là do cách định nghĩa Giuseppe Oriolo (2009) Robotics- Modelling, Planning đạo hàm ma trận theo véctơ tọa độ suy rộng theo các cách and Control. Springer-Verlag. khác nhau. Nếu chỉ lập PTVP CĐ để khảo sát động lực 15. Frank L. Lewis, Darren M. Dawson, Chaouki T. Abdallah - học thì ta có thể dùng tùy ý một trong các ma trận Robot Manipulator Control - Theory and Practice, CRC Coriolis và ly tâm nêu trên, vì chúng luôn đảm bảo tích Press (2003). Cqqq(,) như nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp cần 16. Nguyen Van Khang - Dynamics of Multibody Systems, (2. thiết kế bộ điều khiển dựa trên mô hình động lực cho hệ, Ed.) (in Vietnamese). Hanoi Science and Technics Publishing House, 2017. các ma trận dạng CC15, tính theo Christoffel và C6 17. Brewer J. - Kronecker products and matrix calculus in tính từ nguyên lý d’Alembert-Lagrange cũng như C8 tỏ ra có ưu điểm hơn các công thức còn lại do nó đảm bảo system theory, IEEE Transactions on Circuits and Systems, tính chất phản đối xứng của ma trận , một tính 25 (9) (1978) 772-781. chất rất hữu ích khi phân tích tính ổn định của bộ điều 18. Đỗ Sanh. Cơ học giải tích, NXB Bách khoa, Hà Nội, 2008. 19. Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa. Động lực học giải tích, NXB khiển bằng hàm Lyapunov. Bách khoa, Hà Nội, 2017. 20. Nguyen Van Khang: Partial derivative of matrix functions References with respect to a vector variable, VJMech - Vol 30, No 4 (2008). 1. Ahmed A. Shabana: Dynamics of multibody systems, 3ed., 21. Nguyen Van Khang - Consistent definition of partial Cambridge University Press, 2005. derivatives of matrix functions in dynamics of mechanical 2. Kane, T.R. and Levinson, D.A., Dynamics: theory and systems, Mechanism and Machine Theory, 45 (2010) applications, McGraw-Hill, New York 1985. 981-988. 3. Jens Wittenburg: Dynamics of multibody systems, 22. Nguyen Van Khang - Kronecker product and a new matrix Springer, 2007. form of Lagrangian equations with multipliers for 4. Schiehlen W. and Eberhard P. - Applied Dynamics (Vol. constrained multibody systems, Mechanics Research 57), Springer, 2014, pp. 215. Communications, 38 (2011) 294-299. 5. Farid Amirouche: Fundamentals of Multibody Dynamics - 23. Nguyen Thai Minh Tuan, Pham Thanh Chung, Do Dang Theory and Applications, Birkhaeuser Boston, 2006. Khoa, Phan Dang Phong. Kinematic and dynamic analysis 6. R. M. Murray, Zexiang Li, S. Shankar Sastry: A of multibody systems using the kronecker product. mathematical introduction to robotic manipulation. CRC Vietnam Journal of Science and Technology 57 (1) (2019) press, 2017. 112-127. 7. Francis C. Moon: Applied Dynamics with Applications to Multibody and Mechatronic Systems, John Wiley & Sons, Inc., 1998.