Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số

Nội dung text: Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 318-323, DOI 10.15625/vap.2019000296 Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn, chung.phamthanh@hust.edu.vn Tóm tắt phương trình dao động uốn của dầm chú ý đến tính phi Đạo hàm cấp phân số đang được sử dụng để mô tả quan hệ giữa tuyến hình học có dạng [8, 9] ứng suất và biến dạng, giữa lực và dịch chuyển, giữa lực và vận 42ww  2 ww EI N  A k w p(,) x t (1) tốc, trong các hệ cơ học và cơ điện tử. Bài báo này nghiên xx42  t 2t f cứu dao động của dầm tính đến yếu tố phi tuyến hình học và cản cấp phân số. Sử dụng phương pháp trung bình hóa tính toán dao p(,)xt động cộng hưởng của dầm và ảnh hưởng của số hạng cản cấp phân số đến đường cong biên độ - tần số. Pt() 0 Từ khóa: dầm phi tuyến hình học, đạo hàm cấp phân số, dao x động cộng hưởng, phương pháp trung bình hóa. z 1. Mở đầu Hình 1. Mô hình dầm Xét trường hợp trên dầm còn có thêm thành phần cản Đạo hàm và tích phân cấp phân số đã được đề cập đến từ cuối thế kỷ XVII. Tuy nhiên phải đến cuối thế kỷ  w cấp phân số  . Khi đó phương trình (1) trở thành XIX lý thuyết đạo hàm và tích phân cấp phân số mới t được nghiên cứu bởi các nhà toán học Liouville, 42ww 2 w EI N A Grünwald, Letnikov, Riemann, v.v Lúc đầu lý thuyết x42xt 2 đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ yếu như là một ww lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích  kwf pxt(,) (2) cho các nhà toán học. Tuy nhiên, một vài chục năm gần t t đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp Trong (2), thành phần lực dọc N có dạng 2 không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của EAL  w Ndx (3) nhiều loại vật liệu mới, chẳng hạn như vật liệu polymer. 2Lx 0  Họ cũng chỉ ra rằng những mô hình cấp phân số thích Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin ta tìm nghiệm của hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng phương trình vi - tích phân (2) dưới dạng trước đó. Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng các mô hình dựa trên đạo hàm cấp phân số là hợp lý wxt(,)  nn () xq () t (4) và phù hợp [1-7]. n 1 Trong bài báo này, áp dụng phương trình dao động Trong đó n ()x là hàm dạng của dầm. Theo [10] hàm phi tuyến của dầm của dầm [8] thiết lập phương trình vi dạng n ()x thỏa mãn phương trình sau tích phân phi tuyến mô tả dao động của dầm khi chú ý d 4 ()x A đến tính chất phi tuyến hình học và cản cấp phân số. Sử n  2 ()x (5) dx4 EI nn dụng phương pháp Ritz-Galerkin biến đổi phương trình vi tích phân mô tả dao động uốn của dầm về hệ phương Trong đó nEI44 trình vi phân thường. Sau đó áp dụng phương pháp trung  2 (6) bình hóa tính toán dao động cộng hưởng của dầm. n AL4 Từ (4) ta suy ra 2. Biến đổi phương trình dao động của dầm w dxi ( ) phi tuyến về hệ phương trình vi phân thường  qi (t) xdxi 1 Trong bài báo này xét dao động uốn của dầm khi tính Do đó 2 chất đàn hồi của vật liệu tuân theo quy luật đàn hồi tuyến www dx ()dx j () i ( 7 ) tính, xét ảnh hưởng của tính phi tuyến hình học và bỏ  qtqtij() () xxxdxdxi 11j qua tác dụng của lực ở đầu trục, Pt() 0. Khi đó 0 Thế (7) vào biểu thức (3) ta được
2. Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung 1 2 L EA dxi ()dx j () d n () N dx qtqt() () (8) Rmn m ()2 d (16)  0 ij 2Lxij 11 dx d 0 d x thì phương trình (14) có dạng Nếu ký hiệu  , ta có  k   qt() L   2 f m qtmmmmm() qt () qt () qt () LL AAAt dxii()dx jj()1 d () d () dx d 00 E dx dxL dd kqqqR() ttt () () 4  ij mn i j n Ta đưa vào ký hiệu 2L ni 11 j 1 1 L d () d j () 1 k i d (9) ()(,) ptd (17) ij 0 dd m AL 0 thì Chú ý rằng 112 L dxi dx j 1 dd() d dx k (10)  () nndd  0 dx dx L ij mm2 00d dd Thế (10) vào (8) ta được  1 ddd1 EA  nnmd k (18) Nq K q ()tt () (11) m nm 2  ij i j dd 0 0 d 2L i 11j  0 Thế (4), (5) và (11) vào phương trình (2) ta được Chú ý đến các điều kiện biên của dầm, ta có Aq() t q  () t k q () t  nnfn .  (0)  0, (1) 0 với dầm hai đầu bản lề hoặc n 1 mm 2  qtn () hai đầu ngàm, hoặc  Aqtnn()  n (x) t ddnn(0) (1) EA dx2 () . 0, 0 với dầm đầu tự do. Kttqq( )()(q t) n dd 2  ij i j n 2 2L ni 11 j 1 dx Từ đó suy ra pxt(,) (12)  k   qt() Chú ý rằng   2 f m qtmmmm() qt ()  qt () dx22()1 d () AAAt  nn 222 E dx L d KK qq q 4  ij mn i j n Do đó phương trình (12) có dạng 2 L ni 11 j 1 1 Aq() t q  () t k q () t 1  nnfn mm()(,)ptd  h (t) (19) n 1 AL 0 2  qtn () Trong đó  Aqtnn()  n ( ) 1 t 1 hmm()t  ()( ptd ,) (20) 2 EA d  () AL 0 Kttqtqq( )()() n 4  ij i j n 2 Phương trình (19) có thể viết ở dạng tổng hữu hạn 2L ni 11 j 1 d  k   qt() pt(,) (13)   2 f m qtmmmm() qt ()  qt () AAAt  Nhân phương trình (13) với hàm dạng m () và lấy E MMM tích phân trên toàn bộ chiều dài của dầm từ 0 đến L, sử kk qq q 4  ij mn i j n dụng tính chất trực giao của hàm dạng, ta được 2 L ni 11 j 1 Aq() t  q  () t k q ( t) mnfm htm ( ), ( m 1,2, , M ) (21)  qt() 1 Trong một vài tài liệu người ta thường chuẩn hóa các hàm Aqt2 ()  n 2 ()d mm m riêng bằng biểu thức t 0  m () 2sin(m  ), (22) EA 1 d 2 () k qd()ttqq () ()t  () n  và đưa vào ký hiệu 4  ij ijn m 2 2L ni 11 j 1 0 d 1 22 dn d m mmnkhi 1 knmmn kd (23) 1 dd  ()(,)ptd  (14) 0 0khi mn L m 0 Khi đó phương trình (21) có dạng Ta chọn hàm m () chuẩn hóa theo điều kiện    qt()   2 m 1 qtmmmm() qt () 14 qt () 2 AA mt  m ()d 1 (15)  2 M 0 m nq22qt h() (24) 22 nm m Nếu sử dụng ký hiệu 2R m n 1
3. Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số Trong đó phương trình (32) có dạng 4 EI qt() 2 qt () f qDqq ,p , (33) 2242 m ,,  m 00 AL4 Trong đó qt1 () được thay bằng q(t) và hàm vế phải có k f I dạng kR ,, (25) 2 p 23 A 0 A fkqt(,qDqq ,)()()   q t với  là tần số cơ bản. p 0  qt( ) qt() Etcos  , (34) Khi ta lấy M 1 , từ (24) ta có p t p 2   2 qt() qt  ()  23 1 kqt ()0 q () t   11011 2  ,, A 2R 2R2 A   p qt() p 1  2P 2 p ht1 () (26) p 0 A t  p , E A AL Phương trình vi phân (26) là phương trình Duffing có Biến đổi phương trình vi phân (33) về dạng chuẩn thêm số hạng cản dạng đạo hàm cấp phân số. Lagrange-Bogoliubov bằng phép biến đổi Để có thể áp dụng phương pháp trung bình hóa, giả qa cos (35) thiết rằng phương trình (26) có thể viết dưới dạng sau 2 qa sin (36)   2230  qt101()  qt ()  [ k 011 qt () 2 q () t qt 1 ()  t  (37) 2R A Trong đó a,  là các hàm biến đổi chậm theo thời gian.  p p  qt1 () ht1 ()] (27) Đạo hàm phương trình (35) theo thời gian và so sánh với A t p (36) ta có hệ thức Hàm ht()ở vế phải được tính từ biểu thức (19) và (21) 1 aa cos   sin 0 (38) 1 1 h (,t)()  () ptd Đạo hàm biểu thức (36) theo thời gian ta có q . Sau đó 1 1 AL 0 thay thế (35), (36) và q vào phương trình (33) ta được 1 1  p 2sin(  )ptd(,), (28) aa  sin   cos fqDqq ( , , ) (39) AL 0 Giải hệ hai phương trình đại số tuyến tính, các phương còn  là tham số bé. Xét trường hợp dầm chịu tác dụng trình (38) và (39), ta nhận được a và  của tải trọng ngoài phân bố đều với quy luật 3 pxtPt(,)cos   ptP (,)cos t (29) afa  (,, )sin 00  (40) Khi đó hàm ht1 ()có dạng 3  fa(, , )cos 1 1 h ()t 2sin(  )Ptdc o s  a  1 0 AL 0 Trong đó 2P 2 faa(,,ak )os  233 cos c 0 cost (30) AL  p q t  a snicos E  (41) p t p 3. Khảo sát dao động trong vùng cộng hưởng Thực hiện tính thành phần đạo hàm cấp phân số dựa trên chính công thức sau [3] pp p Dxcos cos  x , 2 3.1. Thiết lập phương trình đường cong biên độ tần số (42) Để nghiên cứu dao động cộng hưởng chính của hệ pp p Dxsin sin  x (26),  0 , ta đặt 2 22  0  (31) qa cos  a cos t Trong đó,  là tham số bé,  thể hiện sự sai lệch giữa atatcos cos  sin sin  (43)  với 0 .Từ đó, phương trình (27) có dạng p  qt p p 22 a cos (44) qt ()  qt ()  k  qt () p 11 1 t 2  2  Khi đó biểu thức (41) trở thành 3   qt() qt () 233 2R2 11 A fka(,aa , )   cos  cos  a sin  p p p p  qt1 () 2P0 2   aEcos cos  (45)  cos t (32) p (32) A t p AL 2 2 Phương trình trung bình hóa của hệ (40) có dạng Bỏ qua ảnh hưởng của các vô cùng bé bậc cao  ,
4. Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung    afa ,, sin   a ,  22 1   200 aa,   (50)  a (46) 00    fa ,, cos   a , a  2 Do da Chú ý đến biểu thức (45) ta được 0  a ,  p a dt 100 p pa  E sin (51) f a,, sin sin , d 2 222 0  200 a , p 23 dt  a p p  ak3 a fa ,, cos c os Nên ta có 222 8 da  11  Eacos   a  (47) dt  a  22 00 (52)  d  22  Từ điều kiện a00 0, 0 ta suy ra biểu thức xác định  a  dt  a  nghiệm dừng 00 p Ta biểu diễn nghiệm dưới dạng  a0 p p aE00sin sin 0, aMe tt, Me (53) 2 22 2 12 p 23 Với Mii 1, 2 là các hằng số. Thay thế các biểu thức  a0 p p  ak003 a cos (48) này vào (50) ta sẽ có các phương trình đại số đối với các 2228 hằng số Mii 1, 2 aE00cos 0 22 11   MM12 0 Bình phương hai vế hai biểu thức rồi cộng lại ta được a 00  phương trình đường cong biên độ tần số (54) 22  p 2 MM 0  a  12 0 p p a0 a  sin 00 2 22 Để cho các hằng số Mi 1, 2 không đồng thời triệt i 2 p 23 tiêu, định thức của các hệ số của chúng  phải bằng  a0 p p  ak0003 a  a cos 22282 0 2 11  E  0 (49) a  4 00 0 (55) 22   3.2. Khảo sát ổn định của nghiệm dừng a 00  Để nghiên cứu tính ổn định của các nghiệm dừng Hoặc a00, xác định bởi phương trình (46) của phương trình 2 12  vi phân (38) ta hãy xét nghiệm tùy ý a,  của nó với giá   a  0 trị đầu đủ gần a00, . Nghiệm a,  sẽ được biển diễn 2 1212    dưới dạng  0 (56) aa 0 aa 00 a,   Nếu 2 nghiệm  của phương trình (56) đều có phần thực Trong đó  a,  là 2 biến mới. Rõ ràng nếu  a,  âm thì nghiệm a , của hệ (40) sẽ ổn định tiệm cận, dần tiến tới 0 khi t tăng lên vô cùng thì nghiệm a,  của 00 nghĩa là hệ (40) sẽ dần đến nghiệm dừng a00, khi t tiến đến vô 12  cùng, khi đó nghiệm dừng a , của hệ (46) sẽ ổn định. Ha 00,0 00 a  0 Như vậy là sự ổn định của nghiệm dừng a00, sẽ được 1212    tính toán theo sự biến thiên của các hàm  a,  . Ka 00,0 aa Khai triển Taylor vế phải của 2 phương trình trên ta có: 0 Trong đó da da da  0 dt dt dt 11   100 aa,   , a 00  d d d  0 dt dt dt
5. Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số p 1 p H a00, p sin 2 2 3 p 2 2 22 kp Ka 00,   p a 0 cos 4 33 2 p pp 122  32sin pp 16  2 422 2 2 16kak 48 0  16 32 k   27a4 22 481a  6 2 0 3.3. Vẽ đồ thị đường cong biên độ tần số Xét phương trình (27) Hình 4. Đường cong biên độ - tần số (xét tới ảnh hưởng qt() 223 qt () k qt () q () t oo của tham số p )  p qt() qt(co)s Et p t p 4. Kết luận Để vẽ đường cong biên độ tần số theo phương trình (49) Trong bài báo này, việc tính toán dao động phi tuyến ta sử dụng bộ số liệu sau đây : hình học của dầm chịu tác dụng của lực cản cấp phân số  0.1,pE 0.5, 1, 1, p đã được khảo sát. Một vài kết quả chính của bài báo có thể tóm tắt như sau:  0.2,k 0.1,00  1, Một số kết quả tính được thể hiện trên các hình 2, 3 và 4. 1) Thiết lập phương trình dao động của dầm có tính Trong đó hình 2 là đồ thị đường cong biên độ - tần số. đến yếu tố phi tuyến hình học và lực cản cấp phân số. Sau Hình 3 là ảnh hưởng của tham số cản cấp phân số đó sử dụng phương pháp Ritz-Galerkin biến đổi phương  0.1;0.2;0.5 . Hình 4 là ảnh hưởng của bậc đạo hàm trình vi tích phân mô tả dao động uốn của dầm về hệ p phương trình vi phân thường. Trong trường hợp đơn giản cấp phân số p 0.25;0.5;0.75 . khi chỉ xét một số hạng đầu tiên trong khai triển Ritz-Galerkin ta nhận được phương trình Duffing có số hạng cản cấp phân số. 2) Áp dụng phương pháp trung bình hóa tính toán dao động cộng hưởng của dầm. Nghiên cứu một vài ảnh hưởng của số hạng cấp phân số đến đường cong biên độ - tần số. Lời cảm ơn Bài báo này được hoàn thành với sự tài trợ bởi Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED). Hình 2. Đường cong biên độ - tần số (đường nét đứt thể hiện điều kiện ổn định) Tài liệu tham khảo [1] K.B. Oldham, J. Spanier, The Fractional Calculus, Dover Publications, New York 1974. [2] Miller, K.S. and Ross, B., An introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons Inc., New York 1993. [3] Podlubny, I., Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego 1999. [4] Baleanu, D., et al.(eds), Fractional Dynamics and Control, Springer, New York 2012. [5] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có Hình 3. Đường cong biên độ - tần số (xét tới ảnh hưởng đạo hàm cấp phân số, Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học của tham số  p ) và Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 2017.
6. Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung [6] Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien, Subharmonic resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol. 11, pp. 051018, 2016. [7] Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien, Resonance oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order derivative, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4, pp. 0410301-0410305, 2016. [8] H. Kauderer, Nichtlineare Mechanik, Springer-Verlag, Berlin 1958. [9] Nguyễn Văn Quyền, Dao động hỗn độn của dầm phi tuyến, Luận văn Thạc sỹ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, 2011. [10] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4), NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2005.