Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi

Nội dung text: Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 167-176, DOI 10.15625/vap.2019000274 Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi Nguyễn Văn Khang1), Đinh Công Đạt 1,2), Nguyễn Sỹ Nam3) 1) Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2) Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Mỏ - Địa Chất 3) Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Xây dựng E-mail: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn Tóm tắt quy chiếu đồng hành để thiết lập phương trình vi phân Động lực học ngược robot có khâu đàn hồi là bài toán đang chuyển động của tay máy robot đàn hồi một khâu. được quan tâm nghiên cứu hiện nay. Trong bài báo này, lý Xét mô hình tay máy như hình 1. Tay máy OE được thuyết điều khiển ổn định phương trình vi phân tuyến tính hệ số xem là thanh đàn hồi, chiều dài khi chưa biến dạng là l. tuần hoàn được sử dụng để đảm bảo chuyển động thực của Đầu O của thanh gắn cứng vào khâu O (bao gồm cả động robot có khâu đàn hồi sai khác chuyển động mong muốn của cơ) quay quanh trục O, đầu E mang khối lượng mE . khâu thao tác nhỏ như có thể. Thí dụ mô phỏng số được thực Thanh được xem là đồng chất, thiết diện A, mật độ khối hiện cho thấy hiệu quả của phương pháp đề xuất. là ρ. Mômen phát động của động cơ là τ. Hệ tọa độ Ox y là hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ đồng hành Oxy là Từ khóa: Robot đàn hồi, động lực học ngược, phân tích dao 00 động, tuyến tính hóa, hệ quy chiếu đồng hành. hệ tọa độ động, chuyển động quay đồng thời cùng với robot rắn. 1. Mở đầu Mô hình hóa và điều khiển robot đàn hồi là bài toán có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, và đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay [1-4]. Trong đó bài toán động lực học ngược robot đàn hồi là bài toán có ý nghĩa kỹ thuật nhưng không đơn giản [5-11]. Trong bài báo này trình bày việc áp dụng phương pháp hệ quy chiếu đồng hành (Floating frame of reference approach) [12-13] thiết lập phương trình chuyển động của robot có khâu đàn hồi. Tương tự như ý tưởng của H. Asada [5] bài toán động lực học ngược của tay máy robot đàn hồi được tính theo ba Xét trường hợp thanh OE đàn hồi chỉ thực hiện biến bước: Bước 1, xác định chuyển động của các khâu rắn dạng uốn ngang (bỏ qua biến dạng dọc thanh). Xét điểm khả dĩ và mômen khả dĩ các khâu dẫn. Bước hai thiết lập P tại vị trí x trên thanh, gọi wxt(), là chuyển vị ngang phương trình dao động của các khâu đàn hồi dựa theo của điểm P. chuyển động của các khâu rắn khả dĩ, rồi phân tích biến dạng động của các khâu đàn hồi sao cho chuyển động của 2.1. Động năng của robot các khâu không đi xa khỏi chuyển động của các khâu Động năng của hệ gồm động năng của khâu đàn hồi cứng ảo. Bước ba từ chuyển động của các khâu cứng ảo OE, động năng của khâu quay 1 và động năng của khối và biến dạng đần hồi ta tính các mô men các khâu dẫn lượng mE sao cho thực hiện được chuyển động của khâu thao tác. T = TOE + T1 + TE (1) Trong đó việc tính toán hai bước một và ba về nguyên tắc Trong đó động năng của khâu quay 1 là không có gì khó khăn. Việc tính toán bước hai là bài toán 1 2 khó còn cần nghiên cứu tiếp. Trong bài báo này trình bày TJq11= a (2) một ý tưởng mới giải quyết khâu hai của bài toán động 2 lực học ngược robot có khâu đàn hồi. J1 là mô men quán tính của khâu 1 (bao gồm cả động 2. Thiết lập phương trình chuyển động của cơ) đối với điểm O. Động năng thanh đàn hồi OE khi thanh bị uốn là robot đàn hồi 1 khâu bằng phương pháp hệ 1 l quy chiếu đồng hành TAvdx= r 2 (3) OEò P 2 0 Trong [12, 13] Shabana đã trình bày một số phương Xét điểm P* cách đầu O một đoạn x, sau khi biến pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ dạng đến vị trí P ta có nhiều vật đàn hồi. Trong đó có phương pháp hệ quy chiếu xxqqwqwqq=-sin - sin -  cos đồng hành. Trong bài báo này áp dụng phương pháp hệ Paaaaa
2. Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam yxqqwqwqq=+-cos cos  sin l Paa aaa P=mgy + ym gdx Vận tốc điểm P là 2 EEò P 0 222 2222   vxyPPP=+=() wxqwxwq + a ++2 a (4) =+mglEaEa()sin q w cos q Thay (4) vào (3) ta được l l ++xqwqgdxsin cos m ò ()aa 1 2222 TAwxqwxwqdx=+++r 2 0 OEò ()() a a 2 0 mglqOEsin a ll =++mglEaEa()sin q w cos q 1122 2 2 =+rrAq x dx A w dx l (13) 22a òò 00 +mgqwdxcos a ò l 1 0 22 ++rAwqxwqdx()aa2 (5) mr= A 2 ò Trong đó là phân bố khối lượng trên đơn vị 0 dài (kg/m). Vậy thế năng của hệ là l 3 2 l mglqsin Do ò xdx= , nên từ (5) ta suy ra biểu thức OE a 3 P=mglEaEa()sin q + w cos q + 0 2 động năng OE l 2 1 l æö¶2w ÷ l ++mgqwdxEIcos ç ÷ dx (14) 1132 2 a òòç 2 ÷ TAlqAwdx=+rr  2 0 èøç¶x ÷ OE62 a ò 0 0 (6) 1 l 2.3. Phương trình vi phân chuyển động của robot ++rAwqxwqdx222  ò ()aa 2 0 Theo phương pháp Ritz-Galerkin, chuyển vị uốn ngang tương đối wxt(), trong hệ toạ độ đồng hành Trong đówE là độ võng tại E, wwltE = (), . Động năng của tải trọng E Oxy , có trục Ox quay quanh O cùng khâu rắn có thể khai triển bởi biểu thức sau 1 2 N TmvEEE= (7) 2 wxt(,)= X () xq () t å ie (15) i Từ (4) ta suy ra i=1 22222 Trong đó: w(x, t) là chuyển vị uốn ngang của thanh vwlqwlwqEE=+() aE ++2 Ea (8) tại vị trí x, ở thời điểm t, Xx() là các hàm thỏa mãn điều Thay (8) vào (7) ta được i qt() 1 kiện biên của thanh đàn hồi, e là các tọa độ dạng phụ Tmlqwqwlwq=+++éù22 2 2 2 2  (9) i EEaEaEEa2 ëûêúthuộc vào thời gian và là đại lượng chưa xác định. Thay (2), (6) và (9) vào (1) ta có biểu thức động Trong trường hợp thanh OE một đầu ngàm một đầu năng của robot tự do thì phương trình đặc trưng của dầm có dạng [14] æö11 1 1coscosh0+=ll (16) ç 232÷  TJmlAlq=+ç 1 Ea +r ÷ Giải hệ phương trình (16) ta nhận được các trị riêng èøç22 6÷ li (i=1, 2, ). Từ đó các hàm Xxi () có dạng [14] 11l éù22 2  2 ++++mwqEEa w E2 lwq Ea r A wdx æö æö ëûêúò0 ççlliixx÷÷ 22Xx()=-cosçç÷÷ cosh i çç÷÷ 1 ll èøll èø ++rrAq22 w dx Aq xwdx (10) 2 aaòò00 æöæö æö cosllliii+ cosh ç÷ççxx l i ÷÷ +-+ç sinçç÷÷ sinh ÷ (17) ç çç÷÷÷ 2.2. Thế năng của robot sinllii+ sinh èøç èøll èø÷ Thế năng biến dạng đàn hồi của thành OE được tính Xliii()=-cos ()ll cosh () theo công thức [13, 14] (18) cosllii+ cosh l 2 æö2 +-+()sin()llii sinh () 1 ç¶ w ÷ sinll+ sinh P= EIç ÷ dx (11) ii dh 2 ò ç 2 ÷ 0 èø¶x Từ (15) ta suy ra Trong đó E là mô đun đàn hồi của vật liệu, I là mô N wt()= Xlqt () () Eieå (19) men quán tính mặt cắt ngang, Giả thiết thanh đồng chất i i=1 thiết diện không đổi, ta có biểu thức thế năng đàn hồi: Từ (15) thực hiện các phép đạo hàm, bình phương, tích 2 1 l æö¶2w ÷ phân rồi thay vào các công thức (10) và (14) ta được các P=EIç ÷ dx (12) dh ò ç 2 ÷ 2 0 èøç¶x ÷ biểu thức động năng và thế năng cho tay máy æö11 1 Để tính thế năng của trọng lực, ta chọn gốc thế năng TJmlAlq=+ç 232 +r ÷  ç 1 Ea÷ là đường ngang qua trục Ox0. Do đó ta có èøç22 6
3. Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi éùNN N NN NN êú2 mq22 X lX lqr Aq mq qXlXlqqlqXlq() () + 2() Eaåå i() j () e a åå ije aijeeaieåå å jj 1 êúij i êúij==11 i = 1 ij==11 ij == 11 + mE NN êúNN 2 êú + XlXlqqijee() () êúåå ij =-mgEi Xl()cos q a -m g cos q ai C (24) ij==11 åå ëûii==11 1 NN N Trường hợp sử dụng 1 khai triển đầu cho biến dạng ++rrAq2 m q q Aq D q aijeeaieåå å 2 ij i đàn hồi (tức N = 1), ta thu được hệ 2 phương trình vi ij==11 i = 1 (20) 1 NN phân chuyển động của robot đàn hồi như sau  + rAmqqij e e é ù åå ij 232221 2 ij==11 êJml++rr AlmXlqAmqq + + ú  11111EEeea()() ê 3 1 ú æöN mglqsin ë û ç ÷ OE a P=mglsin q + Xlq ( ) ( t )cos q÷ + 2 Eaç å iea÷ é ù ç i   ç ÷ ++22mXEaeee111111() lrr Amqqq + ADq èøi=1 2 ëê ûú 1 NNN1 mglcqos ++mgqcos CqEIkqq ++-mlXlq OE a m gsin qCq aieååå ijee (21) Ee111() ae iij 1 iij===1112 2 Trong đó ta sử dụng các ký hiệu sau =-mglEa()cos q - X11() lq ea sin q +τ (25) l2 l2 mX2 lq+++ mlXq rr ADq  Amq  CXdx= ; D= xXdx; EeEaa11() 1 1 11 e iiò iiò 1 0 0 22 2 +mqXEa11111() lq er Aqmq a e EIkq e l2 l2 111 mXXdx= ; kXXdx= ¢¢ ¢¢ (22) ijò i j ijò i j =-mgXlEaa11()cos q -m g cos qC (26) 0 0 Để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động 3. Tuyến tính hóa phương trình chuyển động của tay máy, ta sử dụng các phương trình Lagrange loại 2 của robot đàn hồi quanh chuyển động cơ bản viết cho hệ hôlônôm æö dT綶÷ T ¶P Để tuyến tính hóa phương trình chuyển động của ç ÷-=-+Q * , j=1,2, ,n ç ÷ j robot đàn hồi, ta cần xác định chuyển động cơ bản của dt綶 q ÷ q ¶ q èøjj j nó. Trong công trình này chuyển động của robot khi xem * các khâu là rắn được xem là chuyển động cơ bản của Trong đó Qj là lực suy rộng không có thế ứng với robot đàn hồi. tọa độ suy rộng qj. Lực hoạt động tác dụng vào hệ chỉ có * 3.1. Động lực học ngược robot rắn mômen phát động τ do đó chỉ có lực suy rộng Qa = τ Khi cơ hệ là rắn, vị trí khâu thao tác E được xác định ứng với tọa độ suy rộng qa . Phương trình vi phân cho bởi công thức sau tọa độ khâu dẫn qa có dạng xlqylqEaEa==cos , sin (27) éù1 NN êúJml++23rr AlA + mqq 1 Eijeeåå Ký hiệuJ là mômen quán tính của thanh OE đối êú3 ij OE êúij==11 q êúNN a với điểm O. Khi thanh OE là thanh đồng chất, thiết diện êú +mXlXlqqEijee() () không đổi ta có êúåå ij ëûij==11 1123 éùNN NN JmlAlOE== OE r (28) ++êú22mXlXlAmqqqr  33 Eijåå() () åå ijaee êúij ëûêúij==11 ij == 11 Ký hiệuJ là mômen quán tính của khối lượng mE NN E ++rADqmlXlq()  đối với điểm O. Xemvật nặng là một chất điểm ta có ååie E i e ii ii==11 2 JmlEE= (29) æöN =-mglç cos q - Xlq ( ) sin q÷ Từ (28) và (29) ta suy ra Eaieaç å ÷ ç i èøç i=1 ÷ (23) 1 32 N mglcqos JAlmlJOE=++r 1 (30) -+OE a mgqsin Cq + 3 aieå τ i 2 i=1 Tay máy robot là vật rắn quay quanh trục cố định, áp Nếu ta chọn N các tọa độ đàn hồi qei, các phương dụng định lý biến thiên mômen động lượng ta có trình vi phân đối với các tọa độ đàn hồi qei có dạng mglcos q  OE a NN N JqOa=-τ() t - mgl E cosq a mXlXlqmlXlq+ ()  2 EijejEiaåå() () å ij==11 i = 1 æö1 ç rAl32++ m l J÷ q = NNNNN ç Ea1 ÷ ++rrADqA mqEI  + kq èø3 åååååia ije ije jj iijij===11111 l =-mgcosq - mgl cosq +τ ( t ) (31) OE2 a E a
4. Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam Giả sử quy luật chuyển động của khâu dẫn có dạng pp qt()=+ sin2()p t (32) a 22 Đạo hàm biểu thức (32) rồi thay vào (31) ta được æö1 332ç ÷ τ()tAlmlJt=- 2prç +E + 1 ÷ sin2() p èøç3 ÷ l æöpp ç ÷ ++mgOE cosç sin() 2p t÷ (33) 222èøç ÷ æöpp ç ÷ ++mglE cosç sin() 2p t÷ èøç22 ÷ Tọa độ điểm thao tác E có dạng Hình 3a. Tọa độ x æöpp E ç ÷ xlqEa==+cos() l cosç sin() 2p t÷ èøç22 ÷ æöpp ç ÷ ylqEa==+sin() l sinç sin() 2p t÷ (34) èøç22 ÷ Để tính toán mô phỏng số, ta cho biết các tham số động học và động lực học của robot dưới dạng bảng 1 như sau. Bảng 1. Các tham số của cơ rắn Thông Giá trị Đơn vị số l 0.9 m -4 2 A 1x10 m Hình 3b. Tọa độ yE r 2700 kg/m2 I 2.0834x10-10 m4 m 0.972 kg -5 J1 5.86x10 kg.m2 mE 0.1 kg Với bảng thông số tính toán ở trên, sử dụng chương trình Matlab cho ta kết quả của tọa độ khâu thao tác và mômen khâu dẫn trên các hình vẽ 2, 3a, 3b, 3c. Hình 3c. Quỹ đạo của điểm E 3.2. Tuyến tính hóa phương trình chuyển động của robot đàn hồi quanh chuyển động cơ bản Hệ phương chuyển động (25), (26) là trường hợp riêng của hệ phương trình [15]   Mss()= p1 (,, sst ,)t (35) Ta khai triển phương trình (35) quanh chuyển động sR (),t R t sR t cơ bản và τ (). Trong đó () là chuyển động của robot khi các khâu là rắn é R ù é R ù Hình 2. Mô men phát động khi cơ cấu rắn R q ()t q ()t s ()t ==êúa ê a ú , êúqR t ê 0 ú ëêúe ()û ëê ûú é RRùéù RRqq()tt() ss()tt==ê aaúêú, () (36) ê 00úêú ëê ûëûúêú còn τR ()t là mô men khi các khâu là rắn.
5. Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi éùτR éùτR 4. Điều khiển ổn định và phân tích dao động τR ()t ==êúa êúa (37) êúτR êú0 đàn hồi tuyến tính ëûêúe ëûêú Ta đưa vào các ký hiệu sau 4.1. Điều khiển ổn định RR ss()ttttt=+D=+ () ss () () y () (38) Như trên, phương trình chuyển động tuyến tính của ss()ttttt=+D=+RR ()ss  () () y  () (39) của robot đàn hồi (47) là hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Nghiệm của (47) có dạng ss()ttttt=+D=+ RR () ss ()  () y () (40) * yy()ttt=+h () y () (53) τττ()2 t=R +Δ (41) () Trong đó yh ()t là nghiệm của phương trình thuần Để đơn giản trong biến đổi ta viết lại phương trình nhất (35) dưới dạng My+Cy+Ky=0()22()ttt()()  () 2() (54) fss(, )= Mss ()  (42) LL L 1 Để biến đổi phương trình vi phân (54) về hệ phương ff Trong đó: fp11ÎÂ, ÎÂ . Khai triển Taylor các trình bậc nhất, ta đặt y=yy=y;   21 hàm fss1(, ) và pss1(, ,τ ,t )quanh chuyển động cơ bản Khi đó hệ phương trình (54) có dạng sssRRR,,,τ R[15, 16], bỏ qua các số hạng phi tuyến,  yy12= phương trình vi phân (35) trở thành (55) yM =-()22 11tt CyMKy() - () 2 tt() 2   221LL() () L() L() MyCyKyhLL()tttt++ () LL () = () (43) Đặt Chú ý rằng biểu thức gia lượng Dτ trong (41) là éy ù thành phần mômen bổ xung của mômen phát động của z=ê 1 ú (56) êy ú động cơ. Người ta thường chọn mômen bổ xung thêm ëê 2 ûú dưới dạng é 0Eù éùRR A t = ê ú (57) D=-τaDêúKq-q+Kq-q()()aa P aa (44) () ê ()22 11() () 22() ú ëûê MKtt MCy ttú ë LL() () LL() () 2 û éùDτ éù K q -qRR K q -q êúa êúDP()()aa aa Hệ (55) trở thành D=τ =êú (45) êú0 0 ëûêúëûêúz=A ()t z (58) Bài toán ổn định yêu cầu ta phải chọn K và K sao Trong đó KD và KP là các ma trận đường chéo với P D các phần tử trên đường chéo chính là các số dương. cho nghiệm thuần nhất yh (t) tiến tới 0 nhanh, khi đó Phương trình tuyến tính hóa lúc này trở thành nghiệm yy()tt * () nhanh [18]. My+Cy+Ky()ttt ()  () LL L (46) Để tính toán mô phỏng số ta đưa các thông số tính ()2 ()22 () =hLDP()t Ky Ky toán như bảng 2. Trong đó éù éù Bảng 2. Các tham số của cơ cấu đàn hồi ()22kk00 () KK==êúDP; êú (47) Thông Giá trị Đơn vị DPêú00 êú 00 ëûêú ëûêú số Chuyển về và biến đổi ta được l 0.9 m éù()2  A 1x10-4 m2 My+CKyLLD()ttêú ()+ ëû r 2700 kg/m2 éù()2 ()2 +Kêú()tt+ K y=h () I 2.0834x10-10 m4 ëûLPL m 0.972 kg ()2 (2) (2)  (2) 10 My+Cy+Ky=hLL()tttt () LL () () (48) E 7.11x10 N/m -5 Với J1 5.86x10 kg.m2 mE 0.1 kg MM()2 tt= (49) LL() () pp + sin 2pt ()22() qa ( rad KKKLLP()tt=+ () (50) 22 ()22() CCKLLD()tt=+ () (51) éù0 Chọn các ma trận KP , KD và khảo sát ổn định của êúhệ thông qua các số mũ Floquet [17,18]. ()2 êúRR h t = éù mgXlcos qm g cos qC L () êúêúEaa11() (52) êúêúRR êú mlXqr ADq  ëûêúEa11 a ëû
6. Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam Trường hợp 1 Mq()tttt++ Cq ()  Kq () = f (), (68) éù0.5 0 éù 0.6 0 Trong đó M(t), C(t), K(t) là các ma trận cấp nn´ , KK==êú; êú (59) PDêú êú f(t) là véctơ lực mở rộng. Các ma trận đó đều là hàm tuần êú00 êú 00 ëû ëû hoàn với chu kỳ T Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được M(t+T) = M(t), C(t+T) = C(t), (69) l1 = 0.6059 + 0.0000i K(t+T) = K(t), f(t+T) = f(t). l =-4.8623 + 0.0000i Nghiện tuần hoàn của phương trình (68) có chu kỳ T 2 (60) l =-9.5721 + 0.0000i thỏa mãn điều kiện đầu sau đây 3 qqqqqq(0)=== (TT ), (0)  (T ),  (0)  ( ) (70) l4 =+-17.7524 3.1416i Có một phần thực dương nên hệ không ổn định Sử dụng thuật toán trình bày trong [17, 18] ta tìm Trường hợp 2 được nghiệm của phương trình (67), ta có éùéù yyy = é ù (71) 0.95 0 0.1 0 ëê 12ûú KK==êúêú; (61) PDêúêú00 00 Khi chọn được K và K sao cho hệ ổn định nhanh ëûëûêúêú P D thì nghiệm Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được yy* » (72) l = -+0.3292 0.3345i 1 Khi đó ta có tọa độ khớp quay trở thành l =-0.3292 - 0.3345i 2 (62) qt()=+ qR () t yt () (73) l =-8.9079 + 3.1416i aa 1 3 Chuyển vị đàn hồi tại điểm cuối thanh l =+-14.0069 0.0000i 4 wlt(), = X ()() ly t (74) Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định 12 Trường hợp 3 Tọa độ điểm thao tác E éù éù 10 20 xlqtwltqtEa=-cos()() () , sin() a () (75) KK==êú; êú (63) PDêú êú êú00 êú 00 ëû ëû ylqtwltqtEa=+sin()() () , cos() a () (76) Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được Tính toán số cho các trường hợp 2, 3,4 ở trên ta được l1 = -+0.0369 0.0000i Trường hợp 2 l =-10.6635 + 0.0000i é0.95 0ùéù0.1 0 2 (64) KK==ê úêú; (77) l =-10.8238 + 3.1416i PDê 00úêú00 3 ëê ûëûúêú l4 =+-15.0181 0.0000i Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định Trường hợp 4 éù50 é 100 ù KK==êú; ê ú (65) PDêú00 ê 0 0 ú ëûêú ëê ûú Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được l1 = -+0.4071 0.0000i l =-12.2119 + 3.1416i 2 (66) l3 =-2.5532 + 0.6076i l4 = 2.5532 0.6076i Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định Hình 4a. Sai lệch tọa độ rắn 4.2. Chuyển động đàn hồi ổn định Trong các trường hợp hệ ổn định theo tiêu chuẩn số mũ Floquet, ta tiến hành tìm nghiệm riêng của phương trình (2) (2)  (2) ()2 My+Cy+Ky=hLL()tttt () LL () () (67) Sử dụng các công thức tích phân Newmark, GS. Nguyễn Văn Khang và cộng sự đã đưa ra thuật toán tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn [17, 18]. Dưới đây ta nhặc lại một số kết quả chính. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn có dạng Hình 4b. Chuyển vị đàn hồi
7. Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi Hình 5a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi đàn hồi Hình 7a. Sai lệch tọa độ rắn Hình 5b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính đàn hồi Hình 7b. Chuyển vị đàn hồi Hình 5c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến Hình 8a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi tính đến tính đàn hồi đàn hồi Hình 6. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính đàn hồi Trường hợp 3 Hình 8b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính éù10 éù 20 KK==êú; êú (78) đàn hồi PDêú00 êú 00 ëûêú ëûêú
8. Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam Hình 8c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến Hình 7b. Chuyển vị đàn hồi tính đàn hồi Hình 11a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi tính đến đàn hồi Hình 8c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính đàn hồi Hình 11b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính Hình 9. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính đàn hồi đàn hồi Trường hợp 4 éù50 é 100 ù KK==êú; ê ú (79) PDêú00 ê 0 0 ú ëûêú ëê ûú Hình 11c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét Hình 10a. Sai lệch tọa độ rắn đến tính đàn hồi
9. Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi Hình 9. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính đàn hồi Hình 12b. Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính đàn hồi trong trường hợp 3. Từ những két quả mô phỏng trên, ta thấy vị trí điểm thao tác khi khâu dẫn là khâu đàn hồi khá gần vị trí điểm thao tác khi khâu rắn xem là khâu rắn. 5. Động lực học ngược robot đàn hồi Sử dụng kết quả của bài toán điều khiển ổn định, ta tính toán mômen phát động khi cho biết chuyển động của khâu đàn hồi nhờ vào phương trình (25). Ta lần lượt tính toán với các trường hợp 2,3 và 4 Trường hợp 2 Chọn éùéù0.95 0 0.1 0 KK==êúêú; (80) PDêúêú00 00 ëûëûêúêú Trường hợp 3 Chọn Hình 12c. Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính éù10 éù 20 KK==êú; êú (81) đàn hồi trong trường hợp 4. PDêú00 êú 00 ëûêú ëûêú Trường hợp 4 Từ các hình vẽ trên ta thấy khi phương trình vi phân Chọn tuyến tính thuần nhất (54) ổn định động lực tốt thì éù50 é 100 ù mômen khâu dẫn đàn hồi và mômen khâu dẫn xem là rắn KK==êú; ê ú (82) PDêú00 ê 0 0 ú sai khác nhau ít. Mômen bổ sung nhỏ. ëûêú ëê ûú Kết quả mô phỏng số được trình bày trên các hình 12a, 6. Kết luận 12b, 12c. Bài toán động lực học ngược của tay máy đàn hồi là bài toán đang được quan tâm nghiên cứu. Trong bài báo trình bày một thuật toán mới tìm nghiệm gần đúng chuyển động của các khâu của robot. Sau đó dựa vào phương trình vi phân của robot có khâu đàn hồi ta dễ dàng tìm được biểu thức gần đúng tính mômen của các khâu dẫn. Phương pháp trình bày trong bài báo này là phương pháp tổng quát khi khâu dẫn quay đều khi robot là rắn và dao động phụ của các khâu đàn hồi là nhỏ. Khi tính toán, ta xem chuyển động cơ bản của robot là chuyển động của robot khi các khâu là khâu rắn tuyệt đối. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa thiết lập phương trình vi phân dao động quanh chuyển động cơ bản. Khi khâu dẫn quay đều ta nhận được hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Sử dụng lý thuyết Floquet ta tìm điều kiện ổn định của robot đàn hồi. Hình 12a. Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính Với giả thiết gần đúng, xem chuyển động đàn hồi là nhỏ, đàn hồi trong trường hợp 2.
10. Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam chuyển động thực gần đúng của các khâu của robot là [13] A. A. Shabana, Computational Continuum Mechanics, tổng chuyển đông khi các khâu là rắn tuyệt đối và chuyển Cambridge University Press, 2008. động đàn hồi. Từ đó đề xuất phương án mới tính toán [14] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4), động lực học ngược robot có khâu đàn hồi. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2005. [15] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ Lời cảm ơn 2), NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2017. Bài báo này được hoàn thành với sự tài trợ bởi Quỹ Phát [16] Nguyễn Doãn Phước, Phân tích và điều khiển hệ phi triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED). tuyến, NXB Bách khoa Hà Nội, 2015. [17] Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2012): Tài liệu thamkhảo Parametric vibration analysis of transmission mechanisms using numerical methods. In: Advances in [1] M. Benosman, G.L. Vey, Control of flexible Vibration Engineering and Structural Dynamics, Edited manipulators: A survey, Robotica .22 (2004), pp. by F.B. Carbajal, Intech, Croatia, pp.301-331. 533-545. [18] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB [2] S.K. Dwivedy, P. Eberhard, Dynamic analysis of flexible Bách khoa Hà Nội, 2016. manipulators, a literature review, Mechanism and Machine Theory 41 (2006), pp. 740-777. [3] H, N. Rahimi, M. Nazemizadeh, Dynamic analysis and intelligent control techniques for flexible manipulators: a review, Advanced Robotics, Vol.28 (2), pp.63-76, 2014. [4] K. Lochan, B.K. Roy, B. Subudhi, A review on two-link flexible manipulators, Annual Reviews in Control, Vol. 42, pp 346-367, 2016. [5] H. Asada, Z.-D. Ma, H. Tokumaru, Inverse dynamics of flexible robot arms: Modeling and computation for trajectory control, ASME-Journal of Dynamic Systems, Meassurement, and Control, Vol. 112(1990), pp. 177-185. [6] E. Bayo, H. Moulin, An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domain, Proc. IEEE Conference on Robotics and Automation, Scottsdale, Arizona, 1989, pp. 710-715. [7] E. Bayo, Ph. Papadopoulos, J. Stubbe, M.A. Serna, Inverse dynamics and kinematics of multi-link elastic robots: An iterative frequency domain approach, The International Journal of Robotics Research, Vol. 8, No.6, pp. 49-62, 1989. [8] W. Khalil, F. Boyer, An efficient calculation of computed torque control of flexible manipulators, Proc. of the IEEE International Conference on Robotics and Automation 1, 1995, pp. 609-614. [9] E. Carrera, M.A. Serna, Inverse dynamics of flexible robots, Mathematics and Computers in Simulation, Vol.41 (1996), pp. 485-508. [10] F. Boyer, W. Khalil, An efficient calculation of flexible manipulator inverse dynamics, The International Journal of Robotics Research, Vol. 17, No.3, pp. 282-293, 1998. [11] R. Seilfred, Dynamics of Underactuated Multibody Systems, Springer, Switzerland 2014. [12] A. A. Shabana, Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Developments, Multibody System Dynamics, Vol.1 (1997), pp.189–222.