Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: Chuyển động lặp của biến khớp

Nội dung text: Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: Chuyển động lặp của biến khớp

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 183-189, DOI 10.15625/vap.2019000276 Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp của biến khớp Nguyễn Quang Hoàng Bộ môn Cơ ứng dụng – Viện Cơ khí, Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn Tóm tắt đại số tuyến tính có số ẩn nhiều hơn số phương trình. Các Với các tay máy đủ dẫn động, khi khâu cuối thực hiện các tọa độ khớp sau đó nhận được bằng cách tích phân các chuyển động lặp các tọa độ khớp cũng sẽ thực hiện các chuyển vận tốc biến khớp theo thời gian, với điều kiện đầu tương động lặp. Tuy nhiên, đối với các tay máy dư dẫn động để các thích. Để hạn chế sai số tích lũy trong quá trình tính tích tọa độ khớp thực hiện chuyển động lặp đòi hỏi phải có phương phân các phương pháp như phản hồi động học [10], hiệu pháp xử lý bài toán động học ngược. Bài báo trình bày một chỉnh gia lượng sai số véctơ tọa độ suy rộng [5,6,7] phương pháp giải bài toán động học ngược tay máy chuỗi dư thường được sử dụng. dẫn động. Trên cơ sở phương trình động học ở mức vận tốc, véctơ vận tốc suy rộng được giải dựa trên tiêu chuẩn tối ưu. Trong bài báo này, vấn đề chuyển động lặp của các Không gian bù của ma trận Jacobi được khai thác để đảm bảo biến khớp được quan tâm giải quyết bằng việc sử dụng chuyển động lặp của các tọa độ khớp. Giá trị biến khớp tìm không gian bù của ma trận Jacobi với véctơ tự do được được nhờ các phép tính tích phân véctơ vận tốc suy rộng. Ngoài chọn một cách thích hợp. ra, để giảm các sai số tích lũy phương pháp phản hồi sai số động Phần còn lại của bài báo được trình bày như sau: việc học được đưa vào. Các mô phỏng số được thực hiện với tay thiết lập và phương pháp giải bài toán được trình bày máy phẳng 5 bậc tự do. Các kết quả cho thấy các tọa độ khớp trong mục 2 và 3. Mục 4 trình bày các mô phỏng số đối thực hiện các chuyển động lặp khi khâu cuối thực hiện các với một tay máy phẳng 5 bậc tự do. Cuối cùng là một số chuyển động lặp. kết luận được đưa ra. Từ khóa: Tay máy dư dẫn động, Động học ngược, Chuyển động 2. Đặt bài toán và phương pháp giải lặp, Phản hồi sai số động học. Nêu bài toán Xét tay máy n bậc tự do, gọi q n là véctơ 1. Mở đầu chứa các tọa độ khớp. Bàn kẹp của robot vận hành trong So với robot đủ dẫn động, robot dư dẫn động có không gian thao tác, gọi x m là véctơ chứa vị trí và nhiều ưu điểm vì chúng cho phép tối ưu quỹ đạo chuyển hướng của bàn kẹp m (m 6 ). Bài toán động học động, tránh được vật cản, tránh được các điểm kỳ dị, thuận robot được giải quyết bằng các phương pháp hình tránh các giới hạn khớp [1, 9, 10, 11]. Robot dư dẫn động học, quy tắc Denavit-Hartenberg hoặc Craig [2, 3, 4, 9, có số tọa độ khớp lớn hơn số bậc tự do của bàn kẹp, điều 10]. Kết quả của bài toán động học thuận cho ta liên hệ này cho phép có nhiều phương án giải quyết bài toán sau: động học ngược. Đối với tay máy đủ dẫn động, khi khâu fxq(,)0 , x,, fm q n . (1) cuối thực hiện chuyển động lặp theo chu trình, các biến Tay máy là đủ dẫn động nếu số chiều của không gian khớp cũng sẽ thực hiện chuyển động lặp tương ứng. Tuy thao tác bằng số chiều của không gian khớp, tức mn. nhiên, điều này có thể không đúng với tay máy dư dẫn Bài toán ngược động học của loại tay máy này yêu cầu ta động nếu không có sự can thiệp thích hợp trong bài toán giải phương trình (1) tìm q()t khi cho biết x()t . Bài động học ngược. Bài toán xác định chuyển động lặp của toán này có thể được giải bằng các phương pháp sau: 1. biến khớp được được nghiên cứu trong thời gian gần đây Giải hệ phương trình đại số phi tuyến bằng phương pháp [12]. Trong công trình này các tác giả đã thiết lập và đưa lặp Newton-Raphson, 2. Sử dụng phương pháp hình học bài toán về dạng quy hoạch dạng toàn phương với các để nhận được nghiệm giải tích, 3. Sử dụng phương pháp ràng buộc và sau đó giải bằng những thuật toán khá phức các nhóm 3. tạp. Các thuật toán này khó có khả năng triển khai theo Tay máy là dư dẫn động khi mn, số bậc tự do thời gian thực. của tay máy lớn hơn số bậc tự do của bàn kẹp. Các Phương án dựa trên ma trận Jacobi của phương trình phương pháp nêu trên đối với tay máy đủ dẫn động khó liên kết hay được sử dụng nhất, do tính chất đơn giản của áp dụng đối với loại tay máy này. Thông thường, bài toán nó. Với phương pháp này ta chỉ cần giải hệ phương trình
2. Nguyễn Quang Hoàng động học ngược được giải ở mức vận tốc. được gọi là ma trận tựa nghịch đảo có trọng số của ma Đạo hàm phương trình (1) theo thời gian ta nhận trận Jacobi Jq() [8]. được phương trình liên hệ ở mức vận tốc: Nếu chọn ma trận trong số là ma trận đơn vị, Jxq x J q 0 , (2) WI, nghiệm tính theo công thức (5) sẽ có chuẩn nhỏ với các ma trận Jacobi như sau nhất. Jxq(,)/,(,)/ x q f x J x q f q . Nếu chú ý đến không gian bù của ma trận Jacobi, Đối với trường hợp robot phẳng, m 3, nghiệm của (4) sẽ là T x [,,]xy , quan hệ (1,2) có thể được viết ở dạng q JWW()() q x I J J z0 , (8) n tường minh như sau: với z0 là véctơ tùy ý. Véctơ này sẽ tạo ra chuyển x f() q (3) động cho các khâu mà không ảnh hưởng đến chuyển x J q q () (4) động của bàn kẹp. Thông thường véctơ này sẽ được chọn để khai thác thêm các ưu điểm của tay máy dư dẫn động như tránh vật cản, tránh điểm kỳ dị, tránh va vào các giới End-Effector hạn khớp. Thông thường người ta hay tính z0 theo công thức T ()q z z (9) 0 q với ()q là các hàm mục tiêu phụ thuộc vào yêu cầu đặt O y ra. Chẳng hạn để tránh điểm kỳ dị, ta chọn hàm này là x hàm đo khả năng thao tác: T Hình 1. Sơ đồ tay máy chuỗi ()det[()()]qJqJq (10) Hàm này triệt tiêu tại các điểm kỳ dị. Do đó, việc cực Bài toán đặt ra ở đây là: Cho biết chuyển động lặp đại hàm này sẽ giúp robot tránh được các điểm kỳ dị của bàn kẹp với chu kỳ T, tức là biết các hàm xx(),()tt trong quá trình hoạt động. thảo mãn xx(T ) (0), và xx(T ) (0) 0 , ta cần tìm chuyển động của các tọa độ khớp q()t thỏa mãn Để tránh va vào các giới hạn khớp, người ta đưa vào qq()(0)T hoặc ít nhất là ||()(0)qqT || . hàm khoảng cách tới giới hạn khớp: 2 n 1 qqii− Phương án giải quyết ()q =− ci (11) 2 i =1 qqiM− im Giả sử rằng ma trận Jacobi Jq cỡ mn có hạng đầy đủ, rankm()J . Nếu biết x và q từ phương q với qiM (qim ) là ký hiệu của giới hạn lớn nhất (nhỏ trình (2) hoặc từ (4) ta sẽ giải được các vận tốc khớp q . nhất) và qi là giá trị giữa của khoảng làm việc của Sau đó, thực hiện tích phân và đạo hàm ta nhận được q khớp; ci là các trọng số. Do đó, cực đại hàm khoảng và q . cách này, tính dư dẫn động sẽ được khai thác để giữ cho các biến khớp gần giá trị giữa của giới hạn khớp, và tránh 3. Giải bài toán động học ngược tay máy dư được sự va vào các giới hạn khớp. dẫn động ở mức vận tốc Để tránh va vào vật cản, ta sử dụng hàm khoảng cách tới vật cản 3.1. Tối ưu chuẩn của véctơ vận tốc suy rộng (qp )min( qo ) (12) Phần này trình bày việc giải phương trình (4) kết hợp điều kiện chuẩn của véctơ vận tốc suy rộng nhỏ nhất. Ta với o là véctơ vị trí của một điểm thích hợp trên cần giải (4) tìm q phụ thuộc x , với điều kiện chướng ngại vật (ví dụ tâm trong trường hợp mô hình vật cản là hình cầu) và pq() là véctơ vị trí suy rộng cấu f 1 qT Wqmin, W 0 (5) 2 trúc của robot. Do đó, cực đại khoảng cách này sẽ giúp Kết quả là robot tránh được vật cản trong quá trình hoạt động. Trên thực tế robot không gian, việc mô hình các vật cản cũng q JW () q x (6) như xác định giá trị hàm này là khá phức tạp. Trong bài báo này, để các tọa độ khớp lặp lại sau mỗi với chu kỳ di chuyển của bàn kẹp, hàm mục tiêu tránh va vào † 1TT 1 1 giới hạn khớp (11) được chỉnh lại thành J( q )W W J ( q )[ J ( q ) W J ( q )] (7)
3. Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp của biến khớp 2 trình 1 n qq− (0) ()q =− c ii (13) 2  i qq− xJq qeJq()() qxe (16) i =1 iMim qq Khi đó Khi đó nghiệm (8) trở thành T ()q qJqxeIJJz()[]() , (17) zKqq ((0)) . (14) WW0 0 q Sơ đồ khối mô phỏng thuật toán giải bài toán động 2 với KcqqiiiiMim=−/() , in= 1,2 , , . học ngược được thể hiện như trên Hình 2. Sự lựa chọn theo (14) có thể đảm bảo rằng nghiệm 4. Mô phỏng số q()t sẽ tuần hoàn khi x()t tuần hoàn, và q()t sẽ luôn bị hút về lân cận q( 0 ) như vậy sẽ tránh được sự tăng Trong phần này, các kết quả mô phỏng số được đưa hoặc giảm liên tục của biến khớp và do đó có thể sẽ tránh ra. Đối tượng khảo sát là một tay máy phẳng 5 bậc tự do được va chạm vào giới hạn khớp. với các khớp quay chuyển động trong mặt phẳng đứng. Mô hình và các thông số của tay máy được đưa ra như 3.2. Xác ịđ nh giá trị xuất phátq( 0 ) trên Hình 3 và Bảng 1. Việc tích phân q từ (8) để nhận được q()t ta cần phải có giá trị xuất phát ứng với x(0 ) . Do số ẩn B y q3 C nhiều hơn số phương trình nên (3) sẽ có vô số nghiệm. Ở q2 q4 g đây ta sẽ tìm nghiệm sao cho các tọa độ khớp gần A  với giá trị trung bình của mỗi biến khớp. Như thế bài toán tìm giá trị ban đầu là trở thành việc tìm nghiệm của bài q1 E toán tối ưu có ràng buộc sau: cực tiểu hóa hàm ()q q5 tính theo (11) với ràng buộc (3). Bài toán này dễ dàng O giải được bằng các công cụ phần mềm. x Một phương án khác để xác định giá trị xuất phát đó Hình 3. Tay máy phẳng 5 bậc tự do là sử dụng phương pháp lặp Newton-Raphson. Theo đó ta chọn xấp xỉ thô ban đầu q( 0 ) sau đó lặp để hiệu chỉnh Bảng 1. Các thông số của tay máy dựa trên tựa nghịch đảo của ma trận Jacobi. khâu i 1 2 3 4 5 3.3. Ổn định hóa bằng phản hồi sai số động học l [m] 0.55 0.50 0.45 0.40 0.20 Do có sai số của phương pháp và sai số làm tròn trong quá trình tìm từ các phương trình (6) hoặc Kết quả của bài toán động học thuận cho ta phương (8) bằng các phương pháp số, nghiệm qq(tt ), ( ) tìm trình sau được có thể không còn thỏa mãn các phương trình liên x f() q , T kết (3). Trong phần này trình bày phương pháp phản hồi 555 kk với fq( )sin(),cos(),LqLqq sai số động học. kikii kikii11111 ở đây x [,,]xy T là véctơ chứa vị trí (xy , ) và T hướng của bàn kẹp ; q []q12345 q q q q là véctơ chứa các biến khớp. x()t 1 Tính q Các mô phỏng được thực hiện với các dạng quỹ đạo x()t s q của điểm cuối: chuyển động tiến lui trên quỹ đạo là một đoạn thẳng, một cung tròn, chuyển động lặp trên một đường tròn. x(0) Tìm q(0) Chuyển động tiến – lui trên một đoạn thẳng, một cung Hình 2. Sơ đồ khối của phương pháp tròn Giả sử điểm cuối cần di chuyển từ A đến B và quay lại A Xét phương trình động học sai số trên một đoạn thẳng hoặc một cung tròn, vận tốc tại A và B ee,0, (15) bằng 0. Thời gian cho một chu trình chuyển động là T. với e x f() q . Rõ ràng là nghiệm của (15) có dạng quãng đường dịch chuyển từ A đến B và quay lại A là 2L. ee(tt ) (0)exp( ) và như thế e(t ) 0 khi t Ở đây ta chọn luật vận tốc có dạng hình sin, từ đó suy ra tăng đủ lớn. Bằng cách này ta sẽ giải tìm q từ phương được luật chuyển động như sau:
4. Nguyễn Quang Hoàng 2 t vtvvLT()sin,/, 00T Tt2 stv()1cos. 0 2 T Hình 4. Dạng đồ thị vận tốc và dịch chuyển theo thời gian Hình 7. Các cấu hình tay máy khi di chuyển Trong trường hợp khảo sát ở đây ma trận trọng số là Điểm cuối chuyển động trên cung tròn ma trận đơn vị. Các ma trận K và trong biểu thức Xét trường hợp cung tròn có tâm C rC ( 0 .5 , 0 .5 ) , (14) và (17) được chọn là điểm xuất phát A rA( 1.2 , 0.5 ), góc quét 2 rad. Kết K diag(50, 50, 50, 50, 50) quả mô phỏng được đưa ra trên các Hình 8-14. diag(10,10,10,10,10) Điểm cuối chuyển động trên đoạn thẳng Xét trường hợp xuất phát từ A đến B và quay lại A, với rA(1.2, 0.5), rB (0.5,1.2), 0 . 2 rad. Kết quả mô phỏng được đưa ra trên các Hình 5, 6, 7. Hình 8. Đồ thị các biến khớp theo thời gian q(t) Hình 5. Đồ thị các biến khớp theo thời gian q(t) Hình 9. Quỹ đạo pha của các biến khớp Hình 6. Quỹ đạo pha của các biến khớp
5. Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp của biến khớp Hình 14. Quỹ đạo pha các biến khớp [K = 0,  = 10] Nhận xét: đồ thị quỹ đạo pha khép kín chứng tỏ chuyển động của các góc khớp được lặp lại, trừ trường Hình 10. Các cấu hình tay máy khi di chuyển hợp Hình 12, chuyển động được lặp lại sau một số chu trình. Hình 13 và Hình 14 cho thấy, trong trường hợp bàn kẹp chuyển động tiến lui ta không cần phải sử dụng đến không gian bù của ma trận Jacobi cũng như phản hồi sai số động học nếu số chu trình lặp lại không lớn. Do chuyển động lui ngược với chuyển động tiến và do quá trình đi và về giải theo chuẩn tối ưu vận tốc suy rộng cực tiểu, nên chuyển động sẽ lặp lại. Để thấy được ảnh hưởng của điều kiện đầu q(0), ta xét trường hợp điều kiện đầu q(0) được tìm bằng phương pháp lặp Newton-Raphson với một xấp xỉ thô ban đầu. Trong quá trình hiệu chỉnh ta sử dụng tựa nghịch đảo của ma trận Jacobi. Các mô phỏng được thực hiện cho hai trường hợp ứng với z K() q q và 0 zKqq ((0)) Hình 11. Quỹ đạo pha các biến khớp, K= 6, z0 = K(q - q0) 0 . Quỹ đạo pha được đưa ra trên các Hình 15 và Hình 16. Hình 12. Quỹ đạo pha các biến khớp, K = 6, z0= K(q - q_) Hình 15. Quỹ đạo pha các biến khớp z0 = K(q - q_), K = 10 Hình 13. Quỹ đạo pha các biến khớp, [K = 0,  = 0] Hình 16. Quỹ đạo pha các biến khớp, z0 = K(q-q(0)), K = 10
6. Nguyễn Quang Hoàng 0.2 m, điểm xuất phát A(1.2, 0.5), thời gian chuyển động Nhận xét: Hình 15 cho thấy chuyển động của các một vòng là T = 4 s. Trong mô phỏng thứ nhất, ta cho biến khớp được di chuyển về gần với giá trị trung gian véctơ z0 0 - tức là không gian bù của ma trận Jacobi của các biến khớp. Sau đó đường quỹ đạo pha mới đóng không được sử dụng, còn trong mô phỏng thứ 2 ta cho kín và thực hiện chuyển động lặp. Hình 16 cho thấy quỹ zKqq0 ((0)) . Kết quả của hai trường hợp này đạo pha của 5 biến khớp là những đường khép kín, điều được đưa ra trên các Hình 17-19. này cho thấy các biến khớp thực hiện chuyển động tuần hoàn. Chuyển động chu trình một chiều trên đường (tròn) khép kín Giả sử thời gian chuyển động một chu trình là T và chiều dài quãng dịch chuyển là L. Đặc điểm của dạng chuyển động này trên quỹ đạo như sau: xxxx(0)(),(0)()0,TT ss(0)0,(),(0)()0 TLss T Luật di chuyển trên quỹ đạo có thể được chọn là các đa thức bậc 3, 5, 7, hoặc cũng có thể chọn với profile vận tốc dạng hình tam giác cân, hình thang, Ở đây ta chọn luật H. 1 Cấu hình tay máy chuyển động lặp, z0 =-K(q-q0) vận tốc có dạng hình sin, từ đó suy ra được luật chuyển động như sau: Nhận xét: Hình 18 cho thấy, khi không sử dụng đến z0 chuyển động của các biến khớp bị trôi sau mỗi chu vLT / 2 , 0 trình, các góc khớp không thực hiện các chuyển động lặp. tTt Trái lại, Hình 18 cho thấy quỹ đạo pha là các đường đóng v( tvs )sin,( tv 00 )1cos. TTkín – tức là các khớp chuyển động lặp. 5. Kết luận Bài báo tập trung giải quyết bài toán động học ngược robot dư dẫn động dựa trên các phương trình liên kết ở mức vận tốc. Trên cơ sở đó đã khảo sát sự lặp lại của các biến khớp khi khâu cuối thực hiện các chuyển động lặp theo chu trình. Phương pháp phản hồi sai số động học được đưa vào để giảm sai số tích lũy khi tích phân. Ngoài ra, không gian bù của ma trận Jacobi cũng được khai thác để đảm bảo cho các biến khớp không tăng khi khâu cuối thực hiện chuyển động lặp. Tính đúng đắn và tin cậy của phương pháp đã được khẳng định thông qua các mô Hình 17. Quỹ đạo pha các biến khớp, [K = 0,  = 0] phỏng số đối với tay máy phẳng 5 bậc tự do. Tài liệu tham khảo [1] Nakamura Y.: Advanced Robotics/Redundancy and Optimization. Addison-Wesley Publishing Company, Reading 1991. [2] Nguyễn Thiện Phúc: Robot công nghiệp. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2004. [3] Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2007. [4] Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ: Cơ sở robot công nghiệp. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2011. Hình 18. Quỹ đạo pha các biến khớp, z0 =-K(q-q0) [5] Nguyễn Văn Khang, Lê Đức Đạt, Trần Hoàng Nam. Về Hai mô phỏng được thực hiện khi cho điểm cuối di một thuật toán giải bài toán động học ngược robot dạng chuyển trên trường tròn tâm C(1.0, 0.5) m, bán kính r =
7. Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp của biến khớp chuỗi. Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VIII, Tập 1, Hà Nội 2008. [6] Nguyen Van Khang, Nguyen Quang Hoang, Tran Hoang Nam: On an efficient method for improving the accuracy of the inverse kinematics of robotic manipulators. Int. Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 2010), Hanoi, July 1-2, 2010, pp 186-194. [7] Nguyen Quang Hoang, Nguyen Van Khang: On kinematic inverse and control of redundant manipulators under consideration of jammed joint. Proceed. Iftomm 1. International Symposium on Robotics and Mechatronics, 2009, Hanoi, Vietnam, pp.201-207. [8] Rao, C.R.: Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York, Wiley, 1971. [9] Spong M. W.; Hutchinson S. and Vidyasagar M.: Robot Modeling and Control. John Wiley & Sons, New York, 2006. [10] Sciavicco L., Siciliano B.: Modelling and Control of Robot Manipulators, 2nd Edition, Springer-Verlag, London, UK, 2000. [11] Zhang Y. and Wang J.: Obstacle Avoidance for Kinematically Redundant Manipulators Using A Dual Neural Network. IEEE Transactions on systems, man, and cybernetics–part b: cybernetics, vol. 34, no. 1, february 2004. [12] Yunong Zhang & Zhijun Zhang: Repetitive Motion Planning and Control of Redundant Robot Manipulators. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013.