Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động - Đỗ Hữu Nhân

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động - Đỗ Hữu Nhân

1. ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  GIÁO TRÌNH MÔN HỌC: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG NGÀNH: CNKT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG THÔNG TIN CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI Họ tên: ĐỖ HỮU NHÂN Học vị: Thạc sĩ Đơn vị: Khoa Điện – Tự động hóa Email: dohuunhan@hotec.edu.vn TRƯỞNG KHOA TỔ TRƯỞNG CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐỀ TÀI Đỗ Hữu Nhân HIỆU TRƯỞNG DUYỆT Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2020
2. TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể được phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo. Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.
3. LỜI GIỚI THIỆU Giới thiệu xuất xứ của giáo trình, quá trình biên soạn, mối quan hệ của giáo trình với chương trình đào tạo và cấu trúc chung của giáo trình. Lời cảm ơn của các cơ quan liên quan, các đơn vị và cá nhân đã tham gia. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 05 năm 2020 Chủ biên Đỗ Hữu Nhân
4. DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT CHỮ CÁI VIẾT TẮT CỤM TỪ ĐẦY ĐỦ LT Lý thuyết HT Hệ thống ĐK Điều khiển ĐKTĐ Điều khiển tự động pt Phương trình vp Vi phân ĐL Định luật TT Trạng thái QĐNS Quỹ đạo nghiệm số
5. MỤC LỤC TRANG LỜI GIỚI THIỆU CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1 1.1. Giới thiệu chung về điều khiển 1 1.2. Nhiệm vụ cơ bản của lý thuyết điều khiển 2 1.3. Lịch sử phát triển của lý thuyết điền khiển tự động 2 1.4. Cơ sở hệ thống tự động 3 1.5. Ví dụ một số hệ thống điều khiển tự động trong thực tế 5 CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG LT ĐKTĐ 10 2.1. Khái niệm về tín hiệu 10 2.2. Phép biến đổi Laplace 11 2.3. Các phép toán ma trận 16 CHƯƠNG 3: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 18 3.1. Phương trình vi phân mô tả hệ thống 18 3.2. Mô tả hệ thống dưới dạng hàm truyền đạt 19 3.3. Đại số sơ đồ khối 21 3.4. Mô hình trạng thái 24 CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC HỆ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 35 4.1. Các đặc tính thời gian 35 4.2. Đặc tính tần số 36 4.3. Khảo sát động học của một số khâu động học cơ bản 37 4.4. Khảo sát động học của hệ thống điều khiển tự động 41 CHƯƠNG 5: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐKTĐ 45 5.1. Khái niệm về ổn định hệ thống 45 5.2. Các tiêu chuẩn ổn định đại số 47 5.3. Các tiêu chuẩn ổn định tần số 51 5.4. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 53 CHƯƠNG 6: KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ THỐNG ĐKTĐ 59 6.1. Khái niệm về chất lượng của hệ thống 59 6.2. Các chỉ tiêu về chất lượng động 59 6.3. Các chỉ tiêu chất lượng tĩnh 61 CHƯƠNG 7: TỔNG HỢP HỆ THỐNG 66 7.1. Bài toán tổng hợp hệ thống 66 7.2. Bộ điều khiển PID 67 7.3. Các phương pháp tổng hợp bộ điều khiển PID 69 7.4. Tổng hợp hệ thống trong không gian trạng thái 71
6. GIÁO TRÌNH MÔN HỌC Tên môn học: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Mã môn học: MH3103308 Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trò của môn học: - Vị trí: là môn học chuyên ngành, bố trí học ở học kì 2. - Tính chất: Là môn học bắt buộc chuyên ngành công nghệ kỹ thuật điều khiển và tự động hóa. - Ý nghĩa và vai trò của môn học: Môn học này trang bị cho người học các nội dung về các thành phần của một hệ thống điều khiển tự động tuyến tính liên tục, các phương pháp xây dựng mô hình toán học của hệ thống điều khiển tự động bao gồm: hàm truyền đạt, grapth tín hiệu và phương trình trạng thái, vấn đề điều khiển được và quan sát được, các phương pháp khảo sát ổn định của hệ thống điều khiển tự động, các phương pháp khảo sát chất lượng của hệ thống điều khiển: độ chính xác, miền thời gian, miền tần số và các phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển tự động sao cho hệ ổn định và đạt được các chỉ tiêu chất lượng đề ra. Mục tiêu của môn học/mô đun: - Về kiến thức: + Có kiến thức về các phương pháp điều khiển. + Có kỹ năng phân tích, thiết kế và kiểm chứ ng các giải thuâṭ điều khiển. - Về kỹ năng: + Thiết kế và kiểm chứ ng các hệ thống điều khiển cơ bản. + Sử dụng phần mềm Matlab dùng để mô phỏng và tổng hợp hệ thống điều khiển. - Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: + Có phương pháp làm việc khoa học, biết phân tích và giải quyết các vấn đề mới về lĩnh vực điều khiển, có năng lực thực hiện công việc được giao. + Có ý thức kỷ luật trong quá trình học lý thuyết cũng như thực hành. + Năng động, tự tin, cầu tiến trong công việc. + Hợp tác, thân thiện, khiêm tốn trong các quan hệ + Tự chịu trách nhiệm về chất lượng đối với kết quả công việc do mình đảm nhiệm.
7. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Giới thiệu: Chương 1 của giáo trình tập trung giới thiệu về lịch sử và các khái niệm cơ bản về lý thuyết điều khiển tự động. Trình bày các thành phần trong hệ thống điều khiển tự động và nguyên lý hooạt động trong thực tế thông qua các ví dụ minh họa. Mục tiêu: - Mô tả được khái niệm cơ bản về lý thuyết điều khiển. - Trình bày được nguyên lý cơ bản trong điền khiển tự động. - Giải thích được nguyên lý hoạt động của các thành phần trong hệ thống điều khiển tự động trong thực tế. - Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau. Nội dung chính: 1.1. Giới thiệu chung về điều khiển 1.1.1. Khái niệm về điều khiển Trước tiên để hiểu điều khiển là gì chúng ta đi xét ví dụ: Lái xe, mục tiêu giữ tốc độ xe ổn định với vận tốc là v = 40km/h. + Mắt quan sát đồng hồ đo tốc độ ⇒ Thu thập thông tin. + Não bộ điều khiển tăng tốc độ nếu v 40km/h ⇒ xử lý thông tin. + Tay giảm ga hoặc tăng ga ⇒ Tác động lên hệ thống. Kết quả là quá trình điều khiển trên: xe chạy với tốc độ “gần” bằng 40km/h. Khái niệm về điều khiển: Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống để đáp ứng của hệ thống “gần” với mục đích định trước. đều khiển tự động là quá trình điều khiển không có sự tác động của con người. 1.1.2. Tại sao cần phải điều khiển tự động? Chúng ta cần phải điều khiển tự động cho hệ thống khi: + Đáp ứng của hệ thống không thõa mãn yêu cầu. + Cần tăng độ chính xác, tăng năng suất, tăng hiệu quả kinh tế cho hệ thống. 1.1.3. Phân loại hệ thống điều khiển Phân loại dựa trên mô tả toán học của hệ thống: + Hệ thống liên tục: Hệ thống liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 1
8. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Hệ thống rời rạc: Hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân. + Hệ thống tuyến tính: hệ thống được mô tả bằng hệ pt vi phân/sai phân tuyến tính. + Hệ thống phi tuyến: hệ thống được mô tả bằng hệ pt vi phân/sai phân phi tuyến. + Hệ thống bất biến theo thời gian: hệ số của pt vi phân/sai phân mô tả HT không đổi. + Hệ thống biến đổi theo thời gian: hệ số của pt vi phân/ sai phân mô tả hệ thống thay đổi theo thời gian. Phân loại dựa vào số ngõ vào – ra của hệ thống: + Hệ thống một ngõ vào – một ngõ ra (hệ SISO): (Single Input – Single Output) + Hệ thống nhiều ngõ vào – nhiều ngõ ra (hệ MIMO): (Multi Input – Multi Output) + Đa số các hệ thống trong thực tế đề là hệ phi tuyến biến đổi theo thới gian, nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra. 1.2. Nhiệm vụ cơ bản của lý thuyết điều khiển LT ĐKTĐ cung cấp những cơ sở lý thuyết điều khiển cơ bản vào việc điều khiển các quá trình khác nhau của hệ thống mà không cần tới sự can thiệp của con người. LT ĐKTĐ là một nhánh liên ngành của kỹ thuật và toán học, liên quan đến hành vi của các hệ thống động lực. Đầu ra mong muốn của một hệ thống được gọi là giá trị đặt trước. Khi một hoặc nhiều biến đầu ra của hệ thống cần tuân theo một giá trị đặt trước theo thời gian, một bộ điều khiển các đầu vào cho hệ thống để đạt được hiệu quả đầu ra mong muốn. Môn học LT ĐKTĐ chủ yếu đề cập đến lý thuyết điều khiển kinh điển là phân tích và thiết kế hệ thống tuyến tính bất biến, một ngõ vào ‒ một ngõ ra. 1.3. Lịch sử phát triển của lý thuyết điền khiển tự động Mặc dù nhiều dạng của hệ thống điều khiển có từ thời cổ đại, nghiên cứu chính thức của lĩnh vực này bắt đầu với một phân tích động học của hệ điều tốc li tâm, được thực hiển bởi nhà vật lý James Clerk Maxwell vào năm 1868 với tựa đề On Governors(hệ điều tốc). Tài liệu này miêu tả và phân tích hiện tượng "dao động", trong đó sự trễ pha trong hệ thống có thể dẫn đến trạng thái bù quá mức và không ổn định. Điều này tạo ra sự hấp dẫn trong đề tài này, trong những bạn học với Maxwell, Edward John Routh tổng quát hóa các kết quả của Maxwell cho lớp tổng quát trong các hệ tuyến tính. Sau đó vào năm 1877, Adolf Hurwitz đã phân tích sự ổn định của hệ thống sử dụng phương trình vi phân, kết quả là ta có được định lý Routh-Hurwitz. Vào Chiến tranh thế giới thứ II, lý thuyết điều khiển đã là một phần quan trọng của hệ thống kiểm soát hỏa lực, hệ thống dẫn đường và điện tử học. Cuộc chạy đua không gian cũng phụ thuộc vào sự chính xác của việc điều khiển tàu không gian. Tuy nhiên, lý thuyết điều khiển cũng được sử dụng trong các lĩnh vực khác càng ngày càng nhiều như trong kinh tế học. Ngoài ra, còn có những nhà khoa học sau đây đã đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết điều khiển tự động, bao gồm: KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 2
9. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Pierre-Simon Laplace (1749-1827) phát minh ra phép biến đổi Z trong công trình về lý thuyết xác suất của ông, bây giờ được sử dụng để giải quyết các bài toán rời rạc trong miền thời gian của lý thuyết điều khiển. Phép biến đổi Z là phép biến đổi tương đương trong miền giời gian rời rạc của phép biến đổi Laplace được đặt tên theo chính tên ông. + Alexander Lyapunov (1857–1918), đánh dấu sự khởi đầu của lý thuyết bền vững. + Harold S. Black (1898–1983), phát minh ra khái niệm bộ khuếch đại phản hồi âm vào năm 1927. Ông đã thành công trong việc phát triển các bộ khuếch đại phản hồi âm bền vững vào những năm 1930. + Harry Nyquist (1889–1976), phát triển tiêu chuẩn ổn định Nyquist cho hệ thống phản hồi vào những năm 1930. + John R. Ragazzini (1912–1988) giới thiệu điều khiển kỹ thuật số và biến đổi z vào những năm 1950. + Lev Pontryagin (1908–1988) giới thiệu nguyên lý cực đại. 1.4. Cơ sở hệ thống tự động 1.4.1. Cơ sở điều khiển hệ thống tự động theo phương pháp cổ điển Cơ sở toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống: + Hàm truyền. Đặc điểm: + Đơn giản + Kỹ thuật thiết kế trong miền tần số. + Áp dụng cho hệ tuyến tính, bất biến, 1 ngõ vào ‒ 1 ngõ ra (SISO). Các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống: + Đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha): phương pháp Nyquist, Bode. + Phương pháp quỹ đạo nghiệm số. Bộ điều khiển: Các khâu hiệu chỉnh đơn giản. + Hiệu chỉnh sớm trễ pha. + Hiệu chỉnh vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative). 1.4.2. Cơ sở điều khiển hệ thống tự động theo phương pháp hiện đại Cơ sở toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống: + Phương trình trạng thái. Đặc điểm: + Phức tạp. + Kỹ thuật thiết kế dựa trên miền thời gian. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 3
10. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Có thể áp dụng cho hệ thống phi tuyến, biến đổi theo thời gian, hệ (MIMO). + Ban đầu được phát triển chủ yếu cho hệ tuyến tính, sau đó được mở rộng cho hệ phi tuyến bằng cách sử dụng lý thuyết của Lyapunov. Các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống: + Phân bố cực. + Điều khiển tối ưu. + Điều khiển thích nghi. + Điều khiển bền vững. Bộ điều khiển: + Hồi tiếp trạng thái 1.4.3. Các phần tử cơ bản của hệ thống điều khiển tự động Mọi hệ thống điều khiển tự động đều bao gồm 3 bộ phận cơ bản: + Bộ điều khiển (Controller device). + Đối tượng điều khiển (Object device). + Thiết bị đo lường (Measuring device) – Cảm biến (Sensor) Hình 1.1. Sơ đồ tổng quát hệ thống điều khiển tự động + u(t) Tín hiệu vào + e(t) Sai lệch điều khiển + x(t) Tín hiệu điều khiển + y(t) Tín hiệu ra + z(t) Tín hiệu phản hồi 1.4.3.1. Đối tượng điều khiển Đối tượng điều khiển chính là mục tiêu thực ta cần tác động để đạt được các yêu cầu mong muốn. Trên đây từ “đối tượng” mang tính khái quát chung, cần phân biệt rõ “đối tượng” và “hệ thống”. Thông thường “hệ thống” mang tính bao hàm, có nghĩa có thể bao gồm nhiều đối tượng. Đối tượng điều khiển thường là các động cơ: + Động cơ DC: với loại động cơ này có đặc tính ngẫu lực lớn, dễ điều khiển KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 4
11. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Động cơ AC: loại này hiện rất thông dụng và thường được điều khiển dùng biến tần. + Động cơ bước: là loại động cơ sử dụng nguồn DC với dạng xung điều khiển cho từng cực, loại động cơ này làm việc có độ chính xác cao được ứng dụng rất nhiều trong ĐK. + Động cơ servo: là loại động cơ AC hay DC có mạch điều khiển hồi tiếp về khi làm việc (ĐK vòng kín) loại động cơ này có công suất tương đối lớn và độ chính xác khá cao. 1.4.3.2. Bộ điều khiển Bộ điều khiển là thành phần quan trọng quyết định khả năng hoạt động và độ chính xác của hệ thống. Thường được tích hợp dưới dạng các board mạch điều khiển, có thể có các loại: + IC diều khiển trung tâm (CPU) kết hợp với các card điều khiển. + Các thiết bị điều khiển khả trình PLC + Vi xử lý (hệ thống nhúng) + Máy tính thông qua các card giao tiếp điều khiển (DSP, PCI ) + Sử dụng các bộ điều khiển thông qua biến tần. 1.4.3.3. Thiết bị đo lường Cảm biến (Sensor) là thiết bị chuyển các đại lượng vật lý thành các tín hiệu điện cung cấp cho hệ thống nhằm nâng cao khả năng linh hoạt và độ chính xác trong điều khiển. Như vậy hệ thống điều khiển tự động chính là một hệ thống điều khiển kín với vòng hồi tiếp (Feedback) được thực hiện từ tín hiêu thu về từ cảm biến. Các loại cảm biến thường gặp như: + Cảm biến quang. + Cảm biến vị trí và dịch chuyển. + Cảm biến vận tốc. Các cảm biến trên có thể cho tín hiệu tương tự (Analoge) hoặc tín hiệu số (Digital), ngoài ra còn sử dụng các bộ mã hoá vị trí, mã hoá góc dịch chuyển Encoder 1.5. Ví dụ một số hệ thống điều khiển tự động trong thực tế Ví dụ 1.1 Hệ thống điều khiển động cơ AC ba pha. Bộ điều khiển: là card điều khiển trung tâm điều khiển giao tiếp máy tính, điều khiển biến tần, và giao tiếp vào ra trên bộ hiển thị số. Đối tượng điều khiển: là động cơ AC ba pha. Thiết bị đo lường: là thành phần hồi tiếp là cảm biến từ hall. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 5
12. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động Ví dụ 1.2 Mô hình điều khiển động cơ. Đối tượng điều khiển là động cơ DC. Bộ điều khiển: là mạch điều khiển được tích hợp từ nhiều mạch điều khiển tốc độ, điều khiển giao tiếp hiển thị trên PC và giao tiếp thành phần hồi tiếp để hiệu chỉnh sữa sai. Thiết bị đo lường: là encoder lấy tín hiệu tốc độ từ trục động cơ quay về bộ điều khiển. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 6
13. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động Ví dụ 1.3 Mô hình điều khiển bồn nước. Đối tượng điều khiển: là mực nước trong bồn. Thiết bị đo lường: là cảm biến điện dung kiểm tra mực nước trong bồn Bộ ĐK: là mạch dùng chip vi ĐK lập trình ĐK cho mực nước trong bồn theo yêu cầu. Ví dụ 1.4 Hệ thống điều khiển động cơ dùng biến tần Đối tượng điều khiển: động cơ AC hoặc DC. Bộ điều khiển: DC Driver hay AC Driver, còn gọi là biến tần (Inverter) + Ðiều khiển thay đổi tốc độ động cơ. + Ổn định tốc độ động cơ. + Khởi động mềm và dừng mềm động cơ. + Hạn dòng khởi động. + Bảo vệ quá tải, kẹt tải. + Tiết kiệm năng lượng. Thiết bị đo lường: là encoder lấy tín hiệu tốc độ từ trục động cơ quay về bộ điều khiển. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 7
14. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động Ví dụ 1.5 Hệ thống điều khiển lò nhiệt Ðối tượng điều khiển: nhiệt độ trong lò nhiệt với yêu cầu phải được giữ ổn định. Bộ điều khiển là một thiết bị tự động được chế tạo làm việc theo chức năng và yêu cầu thực tế như chuyển nhiệt độ từ lò nhiệt và hiển thị lên màn hình hiển thị và gởi tín hiệu điều khiển để điều khiển lò nhiệt ổn định nhiệt độ. Thiết bị đo lường: được dùng là loại cảm biến nhiệt. Ví dụ 1.6 Hệ thống điều khiển mực chất lỏng Ðối tượng điều khiển: Hệ thống điều khiển mực chất lỏng thường gặp trong các quá trình công nghiệp như chế biến thực phẩm, nước giải khác, các hệ thống xử lý nước thải Bộ điều khiển: điều khiển mực chất lỏng, điều khiển lưu lượng chất lỏng. Thiết bị đo lường: + Cảm biến đo dịch chuyển: biến trở, Encoder. + Cảm biến áp suất. + Cảm biến điện dung. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 8
15. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài tập 1.1 Hệ thống điều khiển tự động có thể phân loại như thế nào? Bài tập 1.2 Hệ thống điều khiển có mấy phần tử cơ bản? Bài tập 1.3 Hãy nêu các quy tắc điều khiển cở bản để điều khiển một hệ thống điều khiển? Bài tập 1.4 Nêu các bước thiết lập một hệ thống điều khiển? KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 9
16. Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Giới thiệu: Chương 2 của giáo trình tập trung giới thiệu về các cơ sở toán học để giải bài toán điều khiển tự động. Trình bày các nguyên tắc biến đổi Laplace các phép tính ma trận để giải quyết bài toán điều khiển tự động. Mục tiêu: - Mô tả được khái niệm cơ bản về tín hiệu điều khiển. - Trình bày được phép biến đổi Laplace trong điều khiển tự động. - Giải được các bài toán ma trận trong hệ thống điều khiển tự động. - Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau. Nội dung chính: 2.1. Khái niệm về tín hiệu 2.1.1. Định nghĩa tín hiệu Tín hiệu là diễn biến của một đại lượng vật lý chứa đựng tham số thông tin hay dữ liệu và có thể truyền dẫn được. Theo quan điểm toán học thì tín hiệu được coi là một hàm của thời gian. Trong các lĩnh vực kỹ thuật, các loại tín hiệu thường dùng là điện, quang, khí nén, thủy lực và âm thanh. Các tham số sau đây thường được dùng trực tiếp, gián tiếp hay kết hợp để biểu thị nội dung thông tin hay dữ liệu: Biên độ (điện áp, dòng ); Tần số, nhịp xung, độ rộng của xung, sườn xung; Pha, vị trí xung. 2.121. Phân loại tín hiệu Không phân biệt tính chất vật lý của tín hiệu (điện, quang, khí nén ) thì ta có thể phân loại tín hiệu dựa theo tập hợp giá trị của tham số thông tin hoặc dựa theo diễn biến thời gian thành những dạng sau: Tín hiệu rời rạc (về mặt thời gian) là tín hiệu chỉ xác định trên 1 tập rời rạc của thời gian (tập những thời điểm rời rạc). Dưới dạng toán học, tín hiệu rời rạc mang giá trị thực (hoặc phức) có thể được xem là 1 hàm liên kết từ tập số tự nhiên đến tập số thực (hoặc phức). Tín hiệu liên tục (về mặt thời gian) là tín hiệu mang giá trị thực (hoặc phức) xác định với mọi thời điểm trong một khoảng thời gian, trường hợp phổ biến nhất là một khoảng thời gian vô hạn. Chú ý: Một hàm không liên tục về mặt toán học, ví dụ như hàm sóng vuông (square- wave) hay sóng răng cưa (sawtooth-wave), vẫn có thể là hàm liên tục về mặt thời gian. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 10
17. Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động Tín hiệu tương tự là tín hiệu có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian. Tín hiệu số là tín hiệu mà các giá trị tham số thông tin của một tín hiệu được biểu diễn bằng mã nhị phân. Hệ thống điều khiển thực tế rất đa dạng và có bản chất vật lý khác nhau. Trong giáo trình này chỉ giới hạn nội dung nghiên cứu là hệ thống tuyến tính bất biến liên tục. Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục rất phức tạp, cần có cơ sở chung để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác nhau. Cơ sở đó chính là toán học. 2.2. Phép biến đổi Laplace Trong hệ thống liên tục người ta hay sử dụng phép biến đổi Laplace để biến đổi từ miền thời gian sang miền tần số phức. Các phương trình vi tích phân sẽ chuyển đổi thành các phương trình đại số thông thường. 2.2.1. Biến đổi Laplace ‒ tìm hàm ảnh khi biết hàm gốc Định nghĩa: Gọi F(s) là biến đổi Laplace của hàm f(t), khi đó ta có: st F(s) L[ f (t)] f (t)e dt 0 Trong đó: s − là biến phức (biến Laplace). L − là toán tử Laplace. F(s) − là biến đổi Laplace của hàm f(t). 2.2.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace Tính tuyến tính: L[a.f(t)]= a.L[f(t)] = a.F(s) Tính chất xếp chồng: L[f1(t) f2(t)] = L[f1(t)] L[f2(t)] = F1(s) F2(s) Định lý chậm trễ: L[ f(t ‒ a) ] = e‒as F(s) a là số thực và f(t ‒ a) = 0 khi 0 < t < a Ảnh của đạo hàm: L[f'(t) ] = sF(s) ‒ f(0+) F(s) f (0) Ảnh của tích phân: L[ f (t)dt] s s Tính chất giálim trịsF cuối:(s) lim f (t) limf ( sF) (s) lim f (t) f ( ) s 0 t s 0 t Ví dụ 2.1 Tìm ảnh của hàm hàm f(t) = cosat trong đó a là hằng số. Theo công thức Ơle ta có: e jat e jat 1 1 cosat e jat e jat 2 2 2 Thực hiện phép biến đổi Laplace: 1 jat 1 jat  1 1 1 1 1 s ja s ja s L cosat L e e  2 2  2 s ja 2 s ja 2 s 2 a2 s 2 a2 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 11
18. Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động 2.2.3. Biến đổi Laplace ngược ‒ tìm hàm gốc khi biết hàm ảnh Biến đổi Laplace ngược là xác định tín hiệu f(t) từ ảnh Laplace F(s) của nó. 1 c j L 1[F(s)] f (t) F(s)e st ds 2 j c j - Tín hiệu nấc đơn vị − step tín hiệu vào HT điều khiển ổn định hóa 0 víi t<0 1(t) 1 víi t 0 và biến đổi Laplace ngược là: 11 1(t)  L[1(t)] sp - Tín hiệu xung đơn vị − dirac thường dùng để mô tả nhiễu d1(t) víi t 0 (t) dt 0 víi t 0 và biến đổi Laplace ngược là: (t)  L[(t)] = 1 - Tín hiệu điều hoà x(t) = XmSin (t + ) = A.Sin (t + ) và biến đổi Laplace ngược là:  A.Sin(t + )  L[A.Sin(t + )] = A s 2  2 s A.Cos(t + )  L[A.Cos(t + )] = A s2  2 Bảng 2.1. Bảng biến đổi Laplace ngược các hàm cơ bản Hàm Hàm gốc f(t) − (miền t) Hàm ảnh F(s) − (miền s) Hàm xung (t) 1 1 Hàm bước đơn vị 1(t) s 1 Hàm dốc t.1(t) s 2 n! Hàm bậc n tn s n 1 1 Hàm mũ e e− t s KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 12
19. Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động t n 1e t 1 Hàm mũ bội e n (n 1)! (s )  Hàm sin sint s 2  2 s Hàm cosin cost s2  2  − t Hàm sin theo hàm mũ sin(t)e 2 2 (s )  s − t Hàm cosin theo hàm mũ cos(t)e 2 2 (s )  2.2.4. Các bước thực hiện biến đổi Laplace ngược Bước 1: Phân tích F(s) thành tổng các hàm cơ bản. l rk Aki Bk (s  k ) Ckk F(s) A  i  2 2 k 1 i 1 (s a k ) (s  k ) k Trong đó: A, Aki, Bk, Ck − là các hằng số. ak − là điểm cực thực bội rk  j − là điểm cực phức của F(s) mà tại đó F(s) = ± ∞. k k Bước 2: Xác định hàm gốc cho từng phần tử dựa vào bảng biến đổi Laplace. 1 Ví dụ 2.2 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: F(s) s2 (s 1) Giải Bước 1 ‒ Phân tích thành tổng các phân thức tối giản: 1 1 1 F(s) s 1 s s 2 Bước 2 ‒ Xác định hàm gốc cho từng thành phần: f(t) = e–t – 1(t) + t.1(t) 2.2.5. Biến đổi Laplace ngược hàm hữu tỷ Hàm hữu tỷ là dạng thường gặp trong điều khiển, chủ yếu ta xét biến đổi Laplace ngược của hàm hữu tỷ: B(s) b b s  b s m 0 1 m F(s) n A(s) a0 a1s  an s Trường hợp 1: Nghiệm của mẫu thức A(s) là thực phân biệt. 2 Ví dụ 2.3 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: X (s) (s 1)(s 2) KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 13
20. Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động Giải Mẫu thức A(s) có 2 nghiệm s1 = ‒1 và s2 = ‒2. Ta phân tích X(s) như sau: 2 X (s) (s 1)(s 2) Nghiệm của mẫu thức là riêng biệt nên từng phân thức sẽ có bậc là 1: 2 K K X (s) 1 2 (s 1)(s 2) s 1 s 2 Để tìm K1 ta nhân với (s+1) để tách K1 riêng ra: 2 (s 1)K K 2 (s 2) 1 (s 2) Sau đó cho s → ‒1, rút ra được K1 = 2. Làm tương tự và sau đó cho s → ‒2 ta được K2 = ‒2. 2 2 2 Lúc đó: X (s) (s 1)(s 2) s 1 s 2 Thực hiện biến đổi Laplace ngược của X(s) ta được: x(t) 2e t 2e 2t TỔNG QUÁT Khi mẫu số của F(s) có nghiệm thực và riêng biệt, ta thực hiện như sau: B(s) B(s) F(s) A(s) (s p )(s p )(s p )(s p ) 1 2 m n K K K K 1 2  m  n (s p1 ) (s p2 ) (s pm ) (s pn ) Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu ta thực hiện tìm các hệ số Ki như sau: + Nhân hai vế với (s + pi) để tìm hệ số Ki. + Cho s → ‒pi ta rút ra được Ki. Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm bội. 2 K1 K 2 K3 Ví dụ 2.4 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: X (s) 2 2 (s 1)(s 2) s 1 (s 2) (s 2) Giải Mẫu thức A(s) có 3 nghiệm s1 = ‒1 và s2,3 = ‒2. Ta phân tích X(s) như sau: 2 K K K X (s) 1 2 3 (s 1)(s 2)2 s 1 (s 2) 2 (s 2) 2 Để tìm hệ số K1, ta tính như sau : K1 2 2 (s 2) s 1 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 14
21. Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động 2 2 2 (s 2) K1 Tìm K2 ta nhân 2 vế với (s + 2) : K (s 2)K (s 1) s 1 2 3 Khi cho s → ‒2 ta tìm được K2 = ‒2 2 (s 2)s Tìm K3 ta lấy đạo hàm theo biến s : K K (s 1)2 (s 1)2 1 3 Cho s → ‒2 ta rút ra được K3 = ‒2 2 2 2 2 Thay K1, K2 và K3 ta có: X (s) (s 1)(s 2)2 s 1 (s 2)2 (s 2) Thực hiện biến đổi Laplace ngược ta được: x(t) 2e t 2te 2t 2e 2t TỔNG QUÁT Khi mẫu số của F(s) có nghiệm thực và lặp lại, ta thực hiện như sau: B(s) B(s) F(s) A(s) (s p ) r (s p )(s p ) 1 2 n K1 K 2 K r K r K n r r 1   (s p1 ) (s p1 ) (s p1 ) (s p2 ) (s pn ) Trường hợp 3: Mẫu thức có 2 nghiệm phức liên hợp. 3 Ví dụ 2.5 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace: F(s) s(s 2 2s 5) Giải 3 K K s K F(s) 1 2 3 s(s 2 2s 5) s s 2 2s 5 Dễ dàng tìm được K1 = 3/5 khi cho s → 0. Để tìm K2 và K3 ta quy đồng phân thức với 2 mẫu số chung nhỏ nhất là s(s 2s 5) bỏ được các phân thức: 3 2 6 3 K 2 s K3 s 3 5 5 Thực hiện đồng nhất thức hai vế ta có: 3 3 K 2 0 K 2 5 5 6 6 K 3 0 K 3 5 5 3 3 3 s 2 Thay các hệ số ta được: F(s) 5 s(s 2 2s 5) s 5 s 2 2s 5 3 1 3 3 s 1 2 Ta đưa công thức về dạng: F(s) 5 2 s(s 2 2s 5) s 5 s 1 2 22 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 15
22. Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động Tra bảng ta tìm được hàm gốc như sau: 3 3 1 f (t) e t cos2t sin 2t 5 5 2 2.3. Các phép toán ma trận 2.3.1. Phép cộng ma trận Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước m x n. Cho các ma trận cấp m x n A và B, tổng A + B là ma trận cùng cấp m x n nhận được do cộng các phần tử tương ứng. Ví dụ minh họa: 132 005 103025 137 100 750 170500 850 122 211 122121 333 2.3.2. Phép nhân ma trận với một số Cho ma trận A và số c, tích cA được tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của A với c. Ví dụ minh họa: 1 8 3 2.1 2.8 2. 3 2 16 6 2. 4 2 5 2.4 2. 2 2.5 8 4 10 2.3.3. Phép nhân ma trận Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải. Nếu ma trận A có kích thước m x n và ma trận B có kích thước n x p, thì ma trận tích AB có kích thước m x p. Ví dụ minh họa: 31 102 (130221) (110120) 51 21 131 (133211)(113110) 42 10 2.3.4. Định thức của ma trận Cho ma trận vuông cấp n: a11 a 12 a 13 a 1n a a a a 21 22 23 2n A a31 a 32 a 33 a 3n . . . . an1 a n 2 a n 3 a nn Định nghĩa định thức: Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 16
23. Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Công thức Leibniz: Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2, n ta có: n det(Aa )  sgn( ) ii,()  Sn i 1 Ví dụ minh họa: Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 detaa aa11 12 det a11 a 22 a 12 a 21 aa21 22 a11 a 12 a 13 det a a a aaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a31 a 32 a 33 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 s 3 Bài tập 2.1 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: F(s) (s 1)(s 2) s 2 2s 3 Bài tập 2.2 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: F(s) (s 1)3 2s 12 Bài tập 2.3 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: F(s) s 2 2s 5 1 1 1 1 Bài tập 2.4 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: Xs() 22 s(1 s ) 1 s s s 2 Bài tập 2.5 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: Xs() 2 (ss 1)( 2) 2 Bài tập 2.6 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: Xs() 2 s(ss 3)( 1) 51s Bài tập 2.7 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: Xs() 2 (ss 1)( 1) 5 Bài tập 2.8 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: Xs() s2 (s 1) 5 Bài tập 2.9 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: Xs() (s 1)(s 1) KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 17
24. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động CHƯƠNG 3: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Giới thiệu: Trong điều khiển thường dùng các mô hình toán sau đây để mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống điều khiển tự động. + Phương trình vi phân: không gian hàm gốc. + Hàm truyền đạt: không gian toán tử Laplace. + Hệ phương trình trạng thái: không gian trạng thái. Chương 3 của giáo trình tập trung giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân, hàm truyền đạt và hệ phương trình không gian trạng thái trong mô tả hệ thống ĐKTĐ. Mục tiêu: - Mô tả được khái niệm cơ bản về phương trình vi phân mô tả hệ thống. - Trình bày được nguyên lý mô tả hệ thống dạng hàm truyền đạt trong ĐKTĐ. - Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau. Nội dung chính: 3.1. Phương trình vi phân mô tả hệ thống Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục có thể mô tả bằng phương trình vi phân. dn y dn 1y dy dmu dm 1u du a . a . a . a y(t) b . b . b . b u(t) o dtn 1 dtn 1 n 1 dt n 0 dtm 1 dtm 1 m 1 dt m Trong đó: n là bậc của hệ thống, hệ thống hợp thức nếu n ≥ m ai, bj là các thông số hệ thống Ví dụ 3.1 Cho mạch như hình. Hãy mô tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào bằng pt vp. i R u(t) = u1 C y(t) = u2 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 18
25. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Giải Từ sơ đồ nguyên lý ta viết phương trình vi phân mô tả phần tử: u(t) u R.i y(t) 1 1 y(t) = u i.dt 2 C dy(t) hay: i(t) C dt dy(t) Thay vào phương trình đầu ta được: RC y(t) u(t) dt Hạn chế của mô hình toán học dưới dạng phương trình vi phân: + Với trường hợp phương trình vi phân bậc thấp ta có thể giải nó nhanh chóng. Với trường hợp bậc cao (n ≥ 2) việc giải phương trình vi phân để tìm nghiệm y(t) bằng cách thông thường gặp nhiều khó khăn, nhiều khi không giải được. + Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân hầu như không thể thực hiện được. + Để khắc phục các nhược điểm này người ta cần các dạng mô tả toán học khác giúp phân tích và thiết kế HT tự động dể dàng hơn đó là: Hàm truyền và phương trình trạng thái. 3.2. Mô tả hệ thống dưới dạng hàm truyền đạt Hàm số truyền của HT (còn gọi là hàm truyền đạt) là tỷ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào biểu diễn dưới dạng toán tử Laplace với điều kiện đầu triệt tiêu (điều kiện đầu bằng 0). u(t) U(s) = L[u(t)] y(t) Y(s) = L[y(t)] Y(p)Ys W(p) Gs UsU(p) §iÒu kiÖn ®Çu triÖt tiªu Xuất phát từ PTVP dạng tổng quát mô tả quan hệ vào ra của hệ: dn y dn 1y dy dmu dm 1u du a . a . a . a y(t) b . b . b . b u(t) o dtn 1 dtn 1 n 1 dt n 0 dtm 1 dtm 1 m 1 dt m Qua phép biến đổi Laplace ta có: n n−1 m m−1 (ao s + a1 s + + + an−1 s + an).Y(s) =( bo s + b1 s + + bm−1 s + bm).U(s) Từ đó ta có hàm truyền là tỷ số của ảnh Laplace tín hiệu ra chia cho ảnh tín hiệu vào: KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 19
26. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động m m 1 Ys b0 s b1s  bm 1s bm Gs W (s) n n 1 Us a0 s a1s  an 1s an Phương pháp tìm hàm truyền đạt: Bước 1: Thành lập phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra của phần tử bằng cách: + Đối với các phần tử điện: Áp dụng các định luật Kirchoff, quan hệ dòng–áp trên điện trở, tụ điện, cuộn cảm + Đối với các phần tử cơ khí: Áp dụng các định luật Newton, quan hệ giữa lực ma sát và vận tốc, quan hệ giữa lực và biến dạng của lò xo + Đối với các phần tử nhiệt: Áp dụng ĐL truyền nhiệt, ĐL bảo toàn năng lượng Bước 2: Biến đổi Laplace 2 vế của phương trình vi phân vừa tìm được ở bước 1. Lấy tỉ Y (s) số giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra ta có hàm truyền: G(s) = U (s) Ví dụ 3.2 Tìm hàm truyền đạt của thiết bị đo lường sau: Giải u2 (t) R2 ↔ R2.u1(t) = R1.u2(t) u1(t) R1 R2.U1(s) = R1.U2(s) U (s) R W(s) = 2 2 K U1(s) R1 Ví dụ 3.3 Tìm hàm truyền đạt của máy phát điện một chiều, với điện áp kích từ ukt(t) là tín hiệu vào, điện áp đầu cực máy phát Ef(t) là tín hiệu ra. Giải di kt ukt(t) = rkt.ikt(t) + Lkt. (1) dt Giả sử máy phát làm việc trong vùng tuyến tính : Ef = kΦω = k.ki.iktω = ke.ikt (2) KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 20
27. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Chuyển (1) và (2) sang biến Laplace: Ukt(s) = (rkt + Lkt.p)Ikt(s) (3) Ef(s) = ke.Ikt(s) (4) 1 (4) → Ikt(s) = Ef(s) thay vào (3) ta có hàm truyền: k e E (s) k k K f e e MF WMF(s) = L U kt(s) rkt Lkts kt 1 Ts rkt(1 s) rkt 3.3. Đại số sơ đồ khối 3.3.1. Định nghĩa Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống. Sơ đồ khối có 3 thành phần chính là: + Khối chức năng: tín hiệu ra bằng hàm truyền nhân tín hiệu vào. + Bộ tổng: tín hiệu ra bằng tổng đại số các tín hiệu vào. + Điểm rẽ nhánh: tất cả tín hiệu tại điểm rẽ nhánh đều bằng nhau. 3.3.2. Sơ đồ khối của các hệ thống thường gặp a) Hệ thống nối tiếp: b) Hệ thống song song: KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 21
28. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động c) Hệ thống hồi tiếp âm: H(s) = 1 ta có HT hồi tiếp âm đơn vị. 3.3.3. Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp biến đổi tương đương dùng để biến đổi các hệ thống có sơ đồ khối đơn giản. a) Chuyển tín hiệu vào từ trước ra sau một khối: b) Chuyển tín hiệu vào từ sau trước ra trước một khối: c) Chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau một khối: KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 22
29. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động d) Chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối: e) Hoán vị 2 tín hiệu vào: Ví dụ 3.4 Biến đổi tương đương và tìm hảm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình. 3.3.4. Phương pháp biến đổi sơ đồ dòng tín hiệu a. Định nghĩa Dùng phương pháp biến đổi tương đương chỉ thích hợp với sơ đồ khối của 1 hệ thống đơn giản. Đối với hệ thống phức tạp người ta dùng phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu. Ví dụ 3.5 Chuyển từ sơ đồ khối của hệ thống sang sơ đồ dòng tín hiệu. b) Các định nghĩa Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 23
30. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động + Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống. + Nhánh: là đường nối trực tiếp 2 nút, trên mỗi nhánh có ghi mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở 2 nút. + Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng ra. + Nút đích: là nút chỉ có các nhánh hướng vào. + Nút hỗn hợp: là nút có cả các nhánh ra và các nhánh vào. Đường tiến: là đường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu đi từ nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần. Độ lợi của một đường tiến: là tích của các hàm truyền của các nhánh trên đường tiến đó. Vòng kín: là đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần. Độ lợi của một vòng kín: là tích của các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín đó. 3.4. Mô hình trạng thái 3.4.1. Các khái niệm Khái niệm về trạng thái: Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào thời điểm t > tO ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của HT tại mọi thời điểm t > tO. Hệ thống bậc n có n biến trạng thái. Các biến TT có thể là biến vật lý hoặc không vật lý. Khái niệm véc tơ trạng thái: Ta có n biến trạng thái hợp thành vector cột gọi là vector trạng thái. T x x x x  1 2 n  Khái niệm hệ phương trình trạng thái: Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n pt vi phân bậc 1. x t A(t).x(t) B(t).u(t) y(t) C(t).x(t) D(t)u(t) KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 24
31. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Trong đó: x(t) – là véctơ các biến trạng thái, có kích thước là (n x 1) u (t) – là véc tơ các biến đầu vào, có kích thước là (m x 1) y (t) - là véc tơ các biến đầu ra, có kích thước là (r x 1) A(t) - Ma trận hệ thống, có kích thước là (n x n) B(t) - Ma trận điều khiển (hay ma trận đầu vào), kích thước là (n x m) C(t) - Ma trận ra, có kích thước là (r x n) D(t) - Thực tế các HT thực đều có tính quán tính, do đó D là ma trận 0 Hình 3.1. Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái 3.4.2. Biểu diễn mô hình toán học trên không gian trạng thái Ứng dụng hệ phương trình trạng thái để biểu diễn các hệ vật lý phức tạp. Bước đầu tiên là chọn véctơ trạng thái, việc lựa chọn này phải tuân theo các yêu cầu sau: + Các biến trạng thái phải là tối thiểu nhưng vẫn phải đảm bảo biểu diễn đầy đủ trạng thái của hệ thống. + Các biến trạng thái phải độc lập tuyến tính. Ví dụ 3.6 Cho hệ thống vật lý có sơ đồ như hình. Xây dựng mô hình trạng thái cho đối tượng. Giải Bước 1: Đặt tên các dòng điện nhánh bao gồm iR, iL và iC. Bước 2: Chọn các biến trạng thái bằng các viết phương trình vi phân cho các phần tử chứa năng lượng bao gồm tụ điện C và điện cảm L: dv di C C i L v dt C dt L KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 25
32. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Ta chọn iL và vC là các biến trạng thái, nhưng do iC và vL không phải là các biến TT nên ta phải viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các biến trạng thái iL và vC, biến đầu vào là v(t). Bước 3: Sử dụng lý thuyết về mạchiC điện iR cụiL thể là viết ĐL Kirchhoff tại nút 1 ta có: 1 iC iR iL vC iL R 1 Mặt khác: v L = ‒vvC + v(t)i R C L Bước 4: Thay công thức trên với nhau ta được công thức như sau: dv 1 C C v i dt R C L di L vC v(t) dt dv 1 1 C v i dt RC C C L hoặc ta có: di 1 1 v v(t) dt L C L 1 Bước 5: Rút ra công thức của tín hiệu đầu ra iR(t) : i v R R C kết quả cuối cùng là: 1 1 . 0 vC vC RC C 1 v(t) . 1 iL iL 0 L L tín hiệu đầu ra: 1 vc i 0 R R iL 3.4.3. Cách thành lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân Ta xét phương trình vi phân sau: d n y d n 1 y dy a0 n a1 ni1 an 1 an y b0u dt dt dt Chọn các biến trạng thái, mỗi biến trạng thái được xác định bởi đạo hàm của biến trạng thái trước đó. Cách thuận tiện chọn biến trạng thái là chọn biến đầu ra: x1 y dy x 2 dt d 2 y x 3 dt 2 d n 1 y xn 1 n 1 dt KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 26
33. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Lấy đạo hàm hai vế: dy x 1 dt d 2 y x 2 dt 2 d n y x n 1 dt n Biểu diễn trên không gian trạng thái: x1 x2 x2 x3 x3 x4 xn 1 xn Biểu diễn dưới dạng véctơ ma trận: x1 0 1 0 0 0 0  0 x1 0 x 0 0 1 0 0 0  0 x 0 2 2 x3 0 0 0 1 0 0  0 x3 0 u            x 0 0 0 0 0 0  1 x 0 n 1 n 1 xn a0 a1 a2 a3 a4 a5  an 1 xn b0 Viết phương trình trạng thái đầu ra: x1 x 2 x3 y 1 0 0 0  0  x n 1 x n Ví dụ 3.7 Xây dựng mô hình trạng thái cho đối tượng có phương trình vi phân: d 2 y dy 5 4y 25u dt2 dt Giải Lựa chọn các biến trạng thái: x1 y x1 x2 dy x2 x1 x2 25u 4x1 5x2 dt KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 27
34. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Viết đưới dạng véctơ ma trận: 0 1 0 x .x u 4 5 25 y 1 0.x 3.4.4. Cách thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền Để có thể mô phỏng được một hệ thống trên máy tính thì mô hình toán học của đối tượng phải được biểu diến trên không gian trạng thái. Vì vậy khi ta đa mô hình của đối tượng biểu diễn bằng hàm truyền đạt ta phải chuyển sang phương trình trạng thái. Phương pháp đại số Các bước thực hiện biến đổi từ hàm truyền sang hệ phương trình trạng thái: + Bước 1: chuyển từ hàm truyền về phương trình vi phân và thực hiện phép biến đổi Laplace ngược với các điều kiện đầu bằng không. + Bước 2: Thực hiện chọn các biến trạng thái và biểu diễn trong không gian trạng thái. Ví dụ 3.8 Một đối tượng có hàm truyền đạt là: C(s) 25 W (s) R(s) s 2 5s 4 Xây dựng mô hình trạng thái cho đối tượng. Xác định các giá trị riêng. Giải Bước 1: Tìm phương trình vi phân: d 2c dc C(s).(s2 5s 4) 5.R(s) 5 4c 25r dt2 dt Bước 2: Lựa chọn các biến trạng thái: x1 c x1 x2 dc x2 x1 x2 25r 4x1 5x2 dt Viết đưới dạng véctơ ma trận: 0 1 0 x .x u 4 5 25 y 1 0.x Tìm giá trị riêng: S 0 0 1 s 1 sI ‒ A = 0 S 4 5 4 s 5 det(sI ‒ A) = s(s + 5) + 4 = s2 + 5s + 4 = 0 25 16 9 → Các giá trị riêng là s1 = ‒ 1, s2 = ‒ 4 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 28
35. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Phương pháp đặt biến trực tiếp từ sơ đồ khối Ví dụ 3.9 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau: Giải Đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối: Theo sơ đồ khối ta có: 10 X (s) X (s) → sX (s) 3X (s) 10X (s) 1 s 3 2 1 1 2 → x1 (t) 3x1 (t) 10x2 (t) (1) 1 X (s) X (s) → sX (s) X (s) X (s) 2 s 1 3 2 2 3 → x2 (t) x2 (t) x3 (t) (2) 1 X (s) [R(s) Y(s)] → sX (s) R(s) X (s) 3 s 3 1 → x3 (t) x1(t) r(t) (3) Kết hợp (1), (2), và (3) ta được phương trình trạng thái: x1 (t) 3 10 0 x1 (t) 0 x (t) 0 1 1 . x (t) 0 .r(t) 2 2 x (t) 1 0 0 x (t) 1 3 3 Trong đó:  x1 (t) 3 10 0 x1 (t) 0 x(t) x (t) A 0 1 1 x(t) x (t) B 0 2 2 x (t) 1 0 0 x (t) 1 3 3 Đáp ứng của hệ thống: x1 (t) y(t) x (t) 1 0 0 . x (t) 1   2 x3 (t) Trong đó: C 1 0 0 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 29
36. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động 3.4.5. Chuyển từ không gian trạng thái sang hàm truyền đạt Mô hình toán học trong gian trạng thái được biểu diễn như sau: x Ax Bu y Cx Du Thực hiện chuyển đổi Laplace: sX(s) = AX(s) + BU(s) Y(s) = CX(s) + DU(s) Rút X(s) ra: (sI – A)X(s) = BU(s) X(s) = (sI – A)‒1BU(s) Trong đó: I là ma trận đơn vị. Thay X(s) vào ta rút ra được: Y(s) = C(sI – A)‒1BU(s) + DU(s) Y(s) Ta có hàm truyền như sau: G(s) = = C(sI – A)‒1 B + D U (s) Ví dụ 3.10 Cho phương trình trạng thái biết đầu ra là Y(s) và đầu vào là U(s). 0 1 0 10 x 0 0 1 x 0 u 1 2 3 0 y 1 0 0x Giải Từ đầu bài ta xác định các ma trận A, B, C và D: 0 1 0 10 A 0 0 1 B 0 1 2 3 0 C 1 0 0 D 0 Ta tìm (sI ‒ A)‒1 : s 0 0 0 1 0 s 1 0 (sI A) 0 s 0 0 0 1 0 s 1 0 0 s 1 2 3 1 2 s 3 2 s 3s 2 s 3 1 1 s(s 3) s s (2s 1) s 2 1 adj(sI A) (sI A) 3 2 det(sI A) s 3s 2s 1 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 30
37. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Thay (sI ‒ A)‒1, B, C, D vào ta được hàm truyền: 10(s2 3s 2) G(s) s3 3s2 2s 1 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài tập 3.1 Tìm hàm truyền đạt của động cơ điện một chiều, giả thiết kích từ không đổi, Uư(t) là tín hiệu vào, ω(t) là tín hiệu ra. Bài tập 3.2 Giải phương trình vi phân sau với các sơ kiện đều bằng không: d2 y dy 2 5y 3 dt dt Bài tập 3.3 Giải phương trình vi phân sau với các sơ kiện đều bằng không: d 2 y dy 12 32y 32u dt 2 dt d 2 y dy Bài tập 3.4 Giải phương trình vi phân: 3 2y 0 dt 2 dt dy( 0) với sơ kiện: y(+0) = a và b dt Bài tập 3.5 Giải phương trình vi phân sau: d 2 y dy 2 5y 3 dt 2 dt dy( 0) với sơ kiện: y( 0) 0 dt Bài tập 3.6 Biến đổi tương đương và tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 31
38. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Bài tập 3.7 Biến đổi tương đương và tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình. R(s) C(s) G1 G2 Bài tập 3.8 Biến đổi tương đương và tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình. H1 R(s) C(s) G H2 Bài tập 3.9 Biến đổi tương đương và tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình. R(s) C(s) G1 G2 H1 H2 Bài tập 3.10 Biến đổi tương đương và tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình. Bài tập 3.11 Chuyển từ sơ đồ khối của hệ thống sang sơ đồ dòng tín hiệu. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 32
39. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Bài tập 3.12 Cho sơ đồ dòng tính hiệu. Hãy ghi giá trị của đường tiến và vòng kín của sơ đồ. Bài tập 3.13 Cho sơ đồ dòng tính hiệu. Hãy ghi giá trị của đường tiến và vòng kín của sơ đồ. Bài tập 3.14 Cho sơ đồ dòng tính hiệu. Hãy ghi giá trị của đường tiến và vòng kín của sơ đồ. Bài tập 3.15 Cho mạch R, L, C mắc nối tiếp. U1 là áp đặt vào mạch. Tìm mô hình trạng thái. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 33
40. Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Bài tập 3.16 Xây dựng mô hình trạng thái cho đối tượng như hình sau. Bài tập 3.17 Cho hàm truyền sau: C(s) 24 G(s) R(s) s3 9s 2 26s 24 Chuyển đổi sang hệ phương trình trạng thái. Biểu diễn bằng sơ đồ khối hệ thống. Bài tập 3.18 Tìm hàm truyền G(s) của hệ thống với phương trình không gian trạng thái. 0 1 0 0  x 0 0 1 x 0 r 3 2 5 10 y 1 0 0x Bài tập 3.19 Tìm hàm truyền G(s) của hệ thống với phương trình không gian trạng thái. 2 3 8 1 x 0 5 3 x 4 r 3 2 4 6 y 1 3 6x KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 34
41. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC HỆ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC Giới thiệu: Chương 4 của giáo trình tập trung giới thiệu về các khái niệm cơ bản về đặc tính thời gian và tần số trong lý thuyết điều khiển tự động. Đây là cơ sở phân tích và giải thích nguyên lý hoạt động của một số khâu động học cơ bản hệ thống điều khiển tự động trong thực tế. Mục tiêu: - Mô tả được khái niệm cơ bản về đặc tính thời gian trong lý thuyết điều khiển. - Trình bày được nguyên lý cơ bản của đặc tính tần số trong điền khiển tự động. - Giải thích được nguyên lý hoạt động của một số khâu động học cơ bản hệ thống điều khiển tự động trong thực tế. - Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc. Nội dung chính: 4.1. Các đặc tính thời gian 4.1.1. Đáp ứng xung Đáp ứng xung: là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm dirac: Y (s) U (s).G(s) G(s) (do U(s) = 1) → y(t) L 1 Y (s) L 1 G(s) g(t) Đáp ứng xung chính là biến đổi Laplace ngược của hàm truyền. Đáp ứng xung còn được gọi là hàm trọng lượng của hệ thống. 4.1.2. Đáp ứng nấc Đáp ứng nấc: là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc: t G(s) 1 1 1 G(s) Y (s) U (s).G(s) (do U(s) = ) → y(t) L Y(s) L  g(t)dt s s s  0 Đáp ứng nấc chính là tích phân của đáp ứng xung. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 35
42. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục Ví dụ 4.1 Tính đáp ứng xung và đáp ứng nấc của hệ thống có hàm truyền là: s 1 G(s) s(s 5) Giải Đáp ứng xung: 1 s 1  1 1 4  g(t) L 1 G(s) L  L  s(s 5) 5s 5(s 5) 1 4 5t g(t) e 5 5 Đáp ứng nấc: 1 G(s) 1 s 1  1 4 1 4  h(t) L  L 2  L 2  s  s (s 5) 25s 5s 25(s 5) 4 1 4 5t h(t) t e 25 5 25 4.2. Đặc tính tần số Hệ thống tuyến tính: khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ở trạng thái xác lập tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần số với tín hiệu vào, khác biên độ và pha. Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trang thái xác lập và tín hiệu vào hình sin. Y( j) Đặc tính tần số U( j) 4.2.1. Đặc tính tần số biên pha j () G(j) = P(ω) + j.Q(ω) = M ().e Trong đó: M() = P2 () Q2 () − là đáp ứng biên độ Q() () = arctg − là đáp ứng pha P() Ý nghĩa vật lý: + Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. + Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. 4.2.2. Đặc tính tần số logarit Lấy logarit 2 vế hàm truyền tần số G(j) = M().ej () ta được: lnG(j) = lnM() + j () KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 36
43. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục Trong đó: lnM() ‒ đặc tính biên độ tần số logarit. () ‒ đặc tính pha logarit Đặc tính biên độ tần số logarit L(): được vẽ trên hệ trục toạ độ vuông góc, với: 1 + Trục tung biểu diễn biên độ đơn vị tính là đêcibel (dB = bel). 10 L() = 20 lg M() (dB) + Trục hoành biểu diễn tần số  có thể dùng các đơn vị: Radiăng (rad) hay Đecac (dec) Đặc tính pha tần số logarit (): được vẽ trên hệ trục toạ độ vuông góc, với trục tung biểu diễn góc pha với đơn vị đo bằng độ hoặc radiăng trục hoành đo theo đơn vị đecac (dec). Để tiện sử dụng thường vẽ L(), () cùng chung trục hoành hay trục hoành là tịnh tiến của nhau. 4.3. Khảo sát động học của một số khâu động học cơ bản 4.3.1. Khâu tỉ lệ Hàm truyền: G(s) K Đặc tính thời gian: + Đáp ứng xung (hàm trọng lượng): g(t) K(t) + Đáp ứng nấc (hàm quá độ): h(t) K 1(t) Đặc tính tần số: G( j) K + Biên độ: M () K L() 20lg K + Pha: () 0 4.3.2. Khâu tích phân lý tưởng 1 Hàm truyền: G(s) s Đặc tính thời gian: KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 37
44. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục + Đáp ứng xung (hàm trọng lượng): g(t) K 1(t) + Đáp ứng nấc (hàm quá độ): h(t) Kt 1(t) 1 1 Đặc tính tần số: G( j) j K j  1 + Biên độ: M () L() 20lg ω  + Pha: () −90O 4.3.3. Khâu vi phân lý tưởng Hàm truyền: G(s) = s Đặc tính thời gian: + Đáp ứng xung (hàm trọng lượng): g(t) K(t) + Đáp ứng nấc (hàm quá độ): h(t) K (t) Đặc tính tần số: G( j) jω + Biên độ: M () ω L() 20lg ω + Pha: () 90O 4.3.4. Khâu quán tính bậc nhất 1 Hàm truyền: G(s) = Ts 1 Đặc tính thời gian: t 1 1  1 + Đáp ứng xung (hàm trọng lượng): g(t) L  e T .1(t) Ts 1 T KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 38
45. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục t 1 1  + Đáp ứng nấc (hàm quá độ): h(t) L  (1 e T ).1(t) s(Ts 1) 1 Đặc tính tần số: G( j) Tj 1 1 + Biên độ: M () L() −20lg 1 T 2 2 1 T 2 2 + Pha: () −arctg (Tω) Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: 1 +  : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành T 1 +  : đường thẳng có độ dốc −20dB/dec T 4.3.5. Khâu sớm pha bậc nhất Hàm truyền: G(s) = Ts 1 Đặc tính thời gian: 1 Ts 1 + Đáp ứng nấc (hàm quá độ): h(t) L  T (t) 1(t) s  + Đáp ứng xung (hàm trọng lượng): g(t) h(t) T(t)  (t) Đặc tính tần số: G( j) Tj 1 + Biên độ: M () L() 20lg KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 39
46. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục + Pha: () arctg (Tω) Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: 1 +  : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành T 1 +  : đường thẳng có độ dốc +20dB/dec T 4.3.6. Khâu dao động bậc hai 1 Hàm truyền: G(s) = 2 2 (0  1) T s 2Ts 1 Đặc tính thời gian: nt ne 2 + Đáp ứng xung (hàm trọng lượng): g(t) sin(n 1  )t  1  2 nt e 2 + Đáp ứng nấc (hàm quá độ): h(t) 1 sin(n 1  )t   1  2 1 Đặc tính tần số: G( j) T 2 2 2Tj 1 1 + Biên độ: M () (1 T 2 2 )2 4 2T 2 2 L() −20lg (1 T 2 2 )2 4 2T 2 2 2T + Pha: () −arctg 1 T 2 2 Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: + : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành + : đường thẳng có độ dốc −40dB/dec KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 40
47. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục 4.3.7. Khâu trì hoãn Hàm truyền: G(s) = e Ts Đặc tính thời gian: + Đáp ứng xung (hàm trọng lượng): g(t) L 1 e Ts   (t T) Ts 1 e  + Đáp ứng nấc (hàm quá độ): h(t) L  1(t T) s  Đặc tính tần số: G( j) e Tj + Biên độ: M () 1 L() 0 + Pha: () −Tω 4.4. Khảo sát động học của hệ thống điều khiển tự động 4.4.1. Khái niệm đặc tính động học của hệ thống điều khiển tự động Đặc tính động học của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống theo thời gian khi có tác động ở đầu vào. Để khảo sát đặc tính động của hệ thống, tín hiệu vào thường được chọn l tín hiệu cơ bản như hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hòa. Đặc tính thời gian: + Đáp ứng xung: tín hiệu vào là hàm dirac. + Đáp ứng nấc: tín hiệu vào là hàm nấc. Đặc tính tần số: tín hiệu vào là hàm sin. 4.4.2. Biểu đồ Bode a) Khái niệm Biểu đồ Bode là hình vẽ gồm 2 phần là Bode về biên độ và pha. Cả 2 đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuông góc với trục hoành  được chia theo thang logarith cơ số 10. + Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp ứng biên độ L() theo tần số : L() 20lgM() [dB] KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 41
48. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục + Biểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha () theo . b) Phương pháp vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng: G() s K . s G1 () s G 2 () s G 3 () s α > 0: hệ thống có khâu vi phân lý tưởng α 1 thì có thể chọn ω0 =1) Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc: (− 20 dB/dec × α) nếu G(s) có α khâu tích phân lý tưởng (+ 20 dB/dec × α) nếu G(s) có α khâu vi phân lý tưởng Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. Bước 4: Tại tần số gãy ωi = 1/Ti, độ dốc của đường tiệm cận được cộng thêm 1 lượng: (−20dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu quán tính bậc 1 (+20dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 1 (−40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu dao động bậc 2 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 42
49. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục (+40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 2 Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận tại tần số gãy cuối. Ví dụ 4.2 Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 100(0,1s 1) Gs() ss(0,01 1) Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của hệ thống. Giải Các tần số gãy: 11 1 10(rad / s ) T1 0,1 11 2 100(rad / s ) T2 0,01 Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ:  0 LK( ) 20.lg .20lg  0 1 với: K 100  1 L( ) 20.lg100 0 40 Ta vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng như sau: Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 103 (rad/sec). KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 43
50. Chương 4: Khảo sát động học hệ tuyến tính liên tục CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài tập 4.1 Vẽ biểu đồ Bode gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 100(s 100)2 Gs() ss( 1000)2 Bài tập 4.2 Vẽ biểu đồ Bode gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 10ss ( 100) Gs() (ss 10)( 1000) Bài tập 4.3 Vẽ biểu đồ Bode gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 10ss ( 10) Gs() (s 100)2 Bài tập 4.4 Vẽ biểu đồ Bode gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 100ss ( 1) Gs() ss s( 1)2 ( 1) 10 100 Bài tập 4.5 Vẽ biểu đồ Bode gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 100(s 1) Gs() ss s( 1)( 1) 10 100 Bài tập 4.6 Vẽ biểu đồ Bode gần đúng của hệ thống có hàm truyền: (s 1) Gs() ss ( 1)2 ( 1) 10 100 Bài tập 4.7 Vẽ biểu đồ Bode gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 100(s 1) Gs() ss ( 1)2 ( 1) 10 100 Bài tập 4.8 Vẽ biểu đồ Bode gần đúng của hệ thống có hàm truyền: s 1 Gs() ss s( 1)2 ( 1) 10 100 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 44
51. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động CHƯƠNG 5: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Giới thiệu: Chương 5 của giáo trình tập trung giới thiệu về các khái niệm cơ bản về tính ổn định hệ thống. Giới thiệu các tiêu chuẩn ổn định đại số và tần số trong điều khiển tự động. Trình bày phương pháp quỹ đạo nghiệm số trong khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động. Mục tiêu: - Mô tả được khái niệm cơ bản về tính ổn định hệ thống. - Trình bày được các tiêu chuẩn ổn định trong điều khiển tự động. - Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau. Nội dung chính: 5.1. Khái niệm về ổn định hệ thống 5.1.1. Định nghĩa ổn định BIBO Hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn. 5.1.2. Cực và zero Cho hệ thống tự động có hàm truyền là: m m 1 Ys b0 s b1s  bm 1s bm Gs W (s) n n 1 Us a0 s a1s  an 1s an n n 1 Đặt: A(s) a0s a1s  an 1s an − là mẫu số hàm truyền m m 1 B(s) b0s b1s  bm 1s bm − là tử số hàm truyền Zero là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình B(s) = 0. Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là zi (i = 1, 2 m) KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 45
52. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Pole là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình A(s) = 0. Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký hiệu là pi (i = 1, 2 n) 5.1.3. Giản đồ cực zero Giản đồ cực–zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực, zero của HT trong mặt phẳng phức. Điều kiện ổn định Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực. + Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định. + Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn định. + Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống không ổn định. 5.1.4. Phương trình đặc trưng Đa thức đặc trưng: đa thức A(s) Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0 Hệ thống hồi tiếp Phương trình đặc trưng: 1 + G(s).H(s) = 0 Hệ thống mô tả bằng phương trình trạng thái x t A(t).x(t) B(t).u(t) y(t) C(t).x(t) D(t)u(t) Phương trình đặc trưng: det (sI – A) = 0 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 46
53. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động 5.2. Các tiêu chuẩn ổn định đại số 5.2.1. Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần để HT ổn định là tất cả các hệ số của pt đặc trưng khác 0 và cùng dấu. Ví dụ 5.1 Hệ thống có phương trình đặc trưng: 3 2 s 3s 2s 1 0 hệ thống không ổn định 4 2 s 2s 5s 3 0 hệ thống không ổn định 4 3 2 s 4s 5s 2s 1 0 hệ thống chưa kết luận được 5.2.2. Tiêu chuẩn Routh Phát biểu tiêu chuẩn " Điều kiện cần và đủ để cho hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hạng trong cột thứ nhất của bảng Routh dương ". Cách thành lập bảng Routh Giả sử cho phương trình đặc tính sau: n n−1 n−2 n−3 a0 s + a1 s + a2 s + a3 s + + an−1 s + an = 0 Hai hàng đầu bảng Routh được sắp xếp như sau: a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 b0 b2 b4 b6 b1 b3 b5 b7 c0 c2 c4 c6 Các số hạng trong các hàng được tính theo biểu thức sau: a0 a2 a0 a4 a1 a3 a1a2 a0a3 a1 a5 a1a4 a0a5 b0 ;b2 a1 a1 a1 a1 a1 a3 a1 a5 b0 b2 b0a3 a1b2 b0 b4 b0a5 a1b4 b1 ;b3 b0 b0 b0 b0 b0 b2 b0 b4 b1 b3 b1b2 b0b3 b1 b5 b1b4 b0b5 c0 ;c2 b1 b1 b1 b1 Nhận xét Mỗi một số hạng trong một hàng của bảng Routh là một thương số có: KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 47
54. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động + Tử số: là 1 định thức hạng hai mang dấu âm với cột thứ nhất của nó cũng là cột thứ nhất của 2 hàng đứng sát trên hàng có số hàng đang tính, còn cột thứ hai của định thức chính là cột đứng sát bên phải số hạng đang tính cũng của hai hàng trên. + Mẫu số: trong tất cả các số hạng của một hàng có chung mẫu số chính là số hạng đứng ở cột thứ nhất và ở hàng sát ngay trên số hạng đang tính. Ví dụ 5.2 Cho phương trình đặc tính của hệ thống: s4 + 2s3 + 8s2 + 4s + 3 = 0 Giải Lập bảng Routh: 1 8 3 2 4 0 6 3 3 0 3 Kết luận: Hệ thống ổn định vì tất cả các số hạng trong cột thứ nhất dương. Chú ý Khi lập bảng Routh, ta có thể nhân hay chia các hệ số trong cột với cùng 1 đại lượng. 5.2.3. Tiêu chuẩn Hurwitz Phát biểu tiêu chuẩn " Điều kiện cần và đủ để HT ổn định là hệ số a0>0 và các định thức Hurwitz dương". Thành lập định thức Hurwtiz Lập từ ma trận hệ số theo quy tắc sau: + Theo đường chéo của ma trận, viết các hệ số từ a1 đến an. + Phía trên đường chéo, các hệ số tăng dần, phía dưới giảm dần. + Các hệ số nhỏ hơn a0 và lớn hơn an đều bằng 0. Ma trận có dạng như sau: 1 2 3  n a1 a3 a5  0 a a a  0 0 2 4 0 a1 a3  0      0 0 0  an Các định thức Hurwitz dương tương ứng với: 1 a1 0 a1 a3 2 a1a2 a0a3 0 a0 a2 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 48
55. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động a1 a3 a5 2 3 a0 a2 a4 a1(a2a3 a1a4 ) a3 a0 a5a1a0 0 0 a1 a3 n = an. n‒1 > 0 Ví dụ 5.3 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: 3 2 s 4s 3s 2 0 Giải Ma trận Hurwitz: a1 a3 0 4 2 0 a0 a2 0 1 3 0 0 a a 0 4 2 1 3 Các định thức: 1 a1 4 a1 a3 4 2 2 10 a0 a2 1 3 a1 a3 0 4 2 0 3 a0 a2 0 1 3 0 20 0 a1 a3 0 4 2 Kết luận: Hệ thống ổn định do các định thức đều dương. Lưu ý + Khi khảo sát tính ổn định với a0 > 0, nếu có hệ số bất kỳ nào âm (ai < 0 ) thì đủ để kết luận là hệ không ổn định. + Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz chỉ là một dạng biểu diễn khác của tiêu chuẩn Routh. Nó chỉ dùng với hệ thống có phương trình đặc tính bậc thấp (dưới bậc 4). Ví dụ 5.4 Cho hệ thống sau: R(s) E(s) C(s) + - Tìm phạm vi hệ số khuếch đại K để HT ổn định, không ổn định hay ở biên giới ổn định. Giải K Hàm truyền của hệ kín là: T(s) 3 2 s 18s 77s K KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 49
56. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Thành lập bảng Routh: s 3 1 77 s 2 18 K 1 s 1386 K 18 s 0 K Giả thiết K > 0 nên các phần tử trong cột đầu tiên đều dương ngoại trừ ở hàng s1. + Nếu K 1386 thì phần tử ở hàng s1 âm và trong cột đầu tiên có sự đổi dấu hai lần do vậy có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo và một nghiệm nằm bên trái trục ảo. Điều này có nghĩa là hệ thống không ổn định khi K > 1386. + Nếu K = 1386 thì sẽ xuất hiện số ở hàng s1 quay lại hàng s2 và thay K = 1386. Sau đó lập đa thức phụ: P(s) = 18s2 + 1386 dP(s) Lấy vi phân: 36s 0 ds Thay các hệ số trong đa thức vào bảng Routh: 1 77 18 1386 0 36 1386 Nhận xét: + Các phần tử trong cột thứ nhất đều dương và không có sự đổi dấu. + Đa thức có bậc chẵn (s2) có 2 nghiệm nằm trên trục ảo, nghiệm còn lại bên trái trục ảo. + Do vậy hệ thống ở biên giới ổn định khi K = 1386. 5.2.4. Xét ổn định cho hệ có mô tả toán học dưới dạng mô hình trạng thái Cho hệ thống có mô hình trạng thái là như sau: x Ax Bu y Cx Du Điều kiện cần và đủ để cho hệ thống ổn định là các giá trị riêng của ma trận A phải nằm bên trái trục ảo của mặt phẳng phức. Trong đó trị riêng của ma trận A được tìm bằng cách giải phương trình: det(sI‒ A) = 0 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 50
57. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Ví dụ 5.5 Cho hệ thống có mô hình trạng thái: 0 1 0 x x u 2 3 5 y 1 0x Giải Ta có: 1 0 0 1 s 1 2 det(sI A) s s(s 3) 2 s 3s 2 0 0 1 2 3 2 s 3 Có hai nghiệm là: s1 = ‒1 và s2 = ‒2, đây là các giá trị riêng của ma trận A. Vì các giá trị riêng này đều nằm bên trái trục ảo cho nên hệ thống ổn định. 5.3. Các tiêu chuẩn ổn định tần số 5.3.1. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối: Cho biết đặc tính của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của HT kín Gk(s). Phát biểu tiêu chuẩn Nyquist Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (–1, j0) 1/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức. Ví dụ 5.6 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống kín. Giải KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 51
58. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức. Theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (–1, j0). Vì vậy: + Trường hợp 1: G(jω) không bao điểm (-1, j0) thì hệ kín ổn định. + Trường hợp 2: G(jω) qua điểm (-1, j0) hệ kín ở biên giới ổn định; + Trường hợp 3: G(jω) bao điểm (-1, j0) thì hệ kín không ổn định. Chú ý Đối với các hệ thống có khâu tích phân lý tưởng, để xác định đường cong Nyquist có bao điểm (–1, j0) hay không, ta vẽ thêm cung -γ/2 bán kính vô cùng lớn (γ là số khâu tích phân lý tưởng trong hàm truyền hệ hở). 5.3.2. Tiêu chuẩn ổn định Bode Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như hình Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). Phát biểu tiêu chuẩn Bode Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương: GM > 0 và ΦM > 0. Ví dụ 5.7 Cho hệ thống hở có biểu đồ Bode như hình vẽ. Hỏi hệ kín có ổn định không? Giải KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 52
59. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Trên biểu đồ Bode ta xác định được: ωC = 5,1 (rad/s) ω−π = 2 (rad/s) L (ω−π )= 35dB => GM = −35dB O O O O φ(ωC)= −270 => ΦM = 180 + (−270 ) = −90 Do GM < 0 và ΦM < 0 nên hệ thống kín không ổn định. 5.4. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 5.4.1. Khái niệm Ví dụ 5.8 Xét hệ thống có phương trình đặc tính: 2 s 4s K 0 Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá trị khác nhau của K là: K = 0 : s1 = 0 , s2 = − 4 K = 1 : s1 = − 0,268 , s2 = − 3,732 K = 2 : s1 = − 0,586 , s2 = − 3,414 K = 3 : s1 = − 1 , s2 = − 3 K = 4 : s1 = − 2 , s2 = − 2 K = 5 : s1 = − 2 + j2 , s2 = − 2 − j2 . . . Vẽ các nghiệm của phương trình tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +8, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình tạo thành đường đậm nét như trên hình vẽ. Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là quỹ đạo nghiệm số. 5.4.2. Định nghĩa Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 53
60. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dạng: Ns() 10 K Ds() Đặt: Ns() G0 () s K Ds() Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của G0(s): 1 Gs ( ) 0 0 Ta có điều kiện về biên độ và điều kiện pha: Gs0 ( ) 1 G( s ) (2 l 1) 0 5.4.3. Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số bằng bậc của phương trình đặc tính bằng số cực của phương trình G0(s) = n. Qui tắc 2: + Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s). + Khi K → +∞: m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6. Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực. Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ. Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định: (2l 1) nm Trong đó: l 0, 1, 2 Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi: pole zero OA  nm Trong đó: pi và zi là các pole và các zero của G0(s) Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình: dK 0 ds KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 54
61. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay s = jω vào phương trình đặc trưng. Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi: θj = 180o + (Σ góc từ các zero đến cực pj) − (Σ góc từ các cực còn lại đến cực pj) Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 → ∞. Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số xác định từ điều kiện biên độ: N(s) K 1 D(s) Ví dụ 5.9 Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau: K Gs() s( s 2)( s 3) Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → +∞. Giải Phương trình đặc tính của hệ thống: 1 Gs ( ) 0 (1) K 10 (2) s( s 2)( s 3) Các cực: có 3 cực p1 = 0 , p2 = −2, p3 = −3 Các zero: không có Vậy: QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0. Khi K → ∞ thì ba nhánh của QĐNS sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi: Góc giữa các tiệm cận và trục thực: (l 0) 1 3 (2ll 1) (2 1) 2 (l 1) nm 3 0 3 3 (l 1) KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 55
62. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực: pole zero [0 (2) (3) 0] 5 OA  nm 3 0 3 Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình: dK 0 ds K s( s 2)( s 3) ( s32 5 s 6 s ) dK (3ss3 10 6) ds dK 3 s1 2,549 0 (3ss 10 6) 0 ds s2 0,785 Giao điểm của QĐNS với trục ảo: Thay s = jω vào (2) ta được: (j )32 5( j  ) 6( j  ) K 0 jj32 5  6  K 0 jj3 60 2 5 K 0  0 K 0  6 K 30 Ta vẽ được biểu đồ QĐNS như sau: KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 56
63. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài tập 5.1 Cho phương trình đặc tính của hệ thống: a) A(s) = s5 + 2s4 + 5s3 + 6s2 + 8s + 6 b) A(s) = s4 + 5s3 + 7s2 + 9s + 1 c) A(s) = s4 + 8s3 + 18s2 + 16s + 5 d) A(s) = s4 + 10s3 + 38s2 + 64s + 40 e) A(s) = s4 + 4s3 + 5s2 + 2s + 1 f) A(s) = s5 + 6s4 + 16s3 + 31s2 + 30s + 50 Sử dụng tiêu chuẩn Routh xét ổn định của hệ thống. Bài tập 5.2 Sử dụng tiêu chuẩn ROUTH hoặc HURWITZ xét tính ổn định các hệ thống có đa thức đặc tính sau: a) 1.1s6 7.25 s 5 18.6 s 4 24.84 s 3 18.2 s 2 6.69 s 1.08 b) 5s5 47 s 4 140.55 s 3 168.67 s 2 82.63 s 0.72 c) 25s5 87.5 s 4 80 s 3 5.5 s 2 8.64 s 0.72 d) s32 8 s 22 s 20 e) s4 10 s 3 38 s 2 64 s 40 Bài tập 5.3 Xét tính ổn định của hệ thống có: A( s ) 5 16 s 18 s2 8 s 3 s 4 Bài tập 5.4 Cho hệ có hàm truyền đạt: 2(s 4) Gs() 2s4 5 s 3 4 s 2 6 s 8 Xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh. Bài tập 5.5 Cho hệ có hàm truyền đạt: 24ks Gs 2s4 5 s 3 4 s 2 2 k 4 s 8 k Sử dụng tiêu chuẩn Routh xác định giới hạn của k để hệ ổn định. Bài tập 5.6 Hệ thống có hàm truyền sau: 1 T(s) s 4 8s 4 3s 4 11s 9 Sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz xét ổn định của hệ thống. Bài tập 5.7 Cho đa thức đặc tính: A s 0.5 s 2 s23 3 s Sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz xét hệ có ổn định hay không. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 57
64. Chương 5: Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động Bài tập 5.8 Cho hệ thống có hàm truyền sau: 1 Gs 3 2s k 2 s23 ks Sử dụng tiêu chuẩn Hurwith tìm k để hệ ổn định. Bài tập 5.9 Xét ổn định của hệ thống theo hệ số K: Bài tập 5.10 Hệ thống được mô tả toán học như sau: 0 3 1 10 x 2 8 1 x 0 u 10 5 2 0 y 1 0 0x Tìm xem có bao nhiêu điểm cực nằm trên, bên trái và bên phải trục ảo. Bài tập 5.11 Cho hệ thống sau mô tả bằng phương trình trạng thái như sau: 0 1 0 10  x 0 0 1 x 0 u 1 2 3 0 y 1 0 0x Tìm xem hệ thống có bao nhiêu điểm cực nằm trên, bên trái và bên phải trục ảo. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 58
65. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động CHƯƠNG 6: KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Giới thiệu: Chương 6 của giáo trình tập trung giới thiệu các khái niệm cơ bản về chất lượng của hệ thống điều khiển. Giới thiệu các chỉ tiêu về chất lượng trong điền khiển tự động để làm nền tảng cho chương tiếp theo là thiết kế hệ thống điều khiển tự động theo chỉ tiêu chất lượng cho trước. Mục tiêu: - Mô tả được khái niệm cơ bản về chất lượng của hệ thống điều khiển. - Trình bày được các chỉ tiêu về chất lượng trong điền khiển tự động. - Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau. Nội dung chính: 6.1. Khái niệm về chất lượng của hệ thống Chất lượng của hệ thống được đánh giá bằng các tiêu chuẩn chất lượng nhằm đảm bảo tính ổn định cho hệ thống. Ổn định là điều kiện cần đối với một HT ĐKTĐ, song chưa phải là đủ để hệ thống được sử dụng trong thực tế. Nhiều yêu cầu đòi hỏi hệ thống phải thỏa mãn được cùng một lúc các tiêu chuẩn chất lượng khác nhau như độ chính xác, độ ổn định, đáp ứng quá độ, độ nhạy, khả năng chống nhiễu Sau đây là một số tiêu chuẩn thường dùng để đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển. 6.2. Các chỉ tiêu về chất lượng động 6.2.1. Sai số xác lập a) Định nghĩa Sai số: là sai lệch giữa tín hiệu đặt và tín hiệu hồi tiếp. R(s) E(s) 1 G(s).H(s) Sai số xác lập: là sai số của hệ thống khi thời gian tiến đến vô cùng. s.R(s) exl limsE(s) lim s 0 s 0 1 G(s).H(s) Sai số xác lập không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 59
66. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động b) Sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị có dạng: 1 R(s) s Sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị: 1 exl 1 KP Trong đó: KP lim G(s).H (s) − là hệ số vị trí s 0 c) Sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm dốc Tín hiệu vào là dốc có dạng: 1 R(s) s 2 Sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm dốc: 1 exl KV Trong đó: KV lim s.G(s).H (s) − là hệ số vận tốc s 0 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 60
67. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động d) Mối liên hệ giữa số khâu tích phân trong G(s)H(s) và sai số xác lập Muốn exl của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc bằng 0 thì hàm truyền G(s)H(s) phải có ít nhất 1 khâu tích phân lý tưởng. Muốn exl của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm dốc bằng 0 thì hàm truyền G(s)H(s) phải có ít nhất 2 khâu tích phân lý tưởng. 6.6.2. Đáp ứng quá độ a) Độ vọt lố Hiện tượng vọt lố là hiện tượng đáp ứng của hệ thống vượt quá giá trị xác lập của nó. Độ vọt lố POT (Percent of Overshoot) là đại lượng đánh giá mức độ vọt lố của hệ thống, độ vọt lố được tính bằng công thức: y y POT max xl 100% Y xl b) Thời gian quá độ − thời gian lên Thời gian quá độ (tqđ) là thời gian cần thiết để sai lệch giữa đáp ứng của hệ thống và giá trị xác lập của nó không vượt quá %. Trong đó % thường chọn là 2% hoặc 5% Thời gian lên (tr) là thời gian cần thiết để đáp ứng của hệ thống tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập của nó. 6.3. Các chỉ tiêu chất lượng tĩnh Trong giáo trình này chỉ trình bày chỉ tiêu chất lượng tĩnh và đáp ứng quá độ của các hệ thống tự động thường gặp. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 61
68. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động 6.3.1. Chỉ tiêu chất lượng tĩnh hệ quán tính bậc 1 K Hàm truyền hệ quán tính bậc 1: G(s) Ts 1 1 Hệ quán tính bậc 1 có 1 cực thực: p 1 T 1 K Đáp ứng quá độ: Y(s) R(s).G(s) → s Ts 1 t y(t) K.(1 e T ) Thời gian quá độ của hệ quán tính bậc 1 là: + Tiêu chuẩn 2% (ε =0.02) + Tiêu chuẩn 5% (ε =0.05) 1 tqđ T.ln  Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ quán tính bậc 1: Cực nằm càng xa trục ảo đáp ứng của hệ quán tính bậc 1 càng nhanh, thời gian quá độ càng ngắn. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 62
69. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động 6.3.2. Chỉ tiêu chất lượng tĩnh hệ dao động bậc 2 Hàm truyền hệ dao động bậc 2: 2 K Kn 1 G(s) 2 2 2 2 (n ,0  1) T s 2Ts 1 s 2n s n T 2 Hệ quán tính bậc 1 có 2 cực phức: p1,2 n jn 1  Đáp ứng quá độ: 2 1 Kn Y(s) R(s).G(s) 2 2 s s 2n s n nt  e 2 y(t) K 1 sin n 1  .t   cos  2 1   Thời gian quá độ của hệ dao động bậc 2 là: 4 + Tiêu chuẩn 2% : tqđ n 3 + Tiêu chuẩn 5% : tqđ n Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ dao động bậc 2: + Các hệ dao động bậc 2 có các cực nằm trên cùng 1 tia xuất phát từ góc tọa độ thì có hệ số tắt bằng nhau, do đó có độ vọt lố bằng nhau. Hệ nào có cực nằm xa gốc tọa độ hơn thì có tan số dao động tự nhiên lớn hơn, do đó thời gian quá độ ngắn hơn. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 63
70. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Các hệ dao động bậc 2 có các cực nằm cách gốc tọa độ một khoảng bằng nhau thì có cùng tần số dao động tự nhiên, hệ nào có cực nằm gan trục ảo hơn thì có hệ số tắt nhỏ hơn, do đó độ vọt lố cao hơn, thời gian quá độ dài hơn. 6.3.3. Tiêu chuẩn ITAE cho các hệ bậc nhất, bậc hai, bậc ba và bậc bốn Tiêu chuẩn ITAE là tiêu chuẩn chất lượng tối ưu hóa đáp ứng quá độ, tiêu chuẩn này được sử dụng phổ biến nhất. Để đáp ứng quá độ của hệ thống bậc n là tối ưu theo chuẩn ITAE thì mẫu số hàm truyền kín hệ bậc n phải có dạng: Bậc Mẫu số hàm truyền 1 s + ωn 2 2 2 s + 1.414 ωn s + ωn 3 2 2 3 3 s + 1.75 ωn s + 2.15 ωn s + ωn 4 3 2 2 3 4 4 s + 2.1 ωn s + 3.4 ωn s + 2.7 ωn s + ωn Nếu mẫu số hàm truyền hệ kín có dạng như bảng trên và tử số hàm truyền hệ kín của hệ bậc n là thì đáp ứng quá độ của hệ thống là tối ưu và sai số xác lập bằng 0. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 64
71. Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 6 Bài tập 6.1 Cho hệ thống type 0 system có sơ đồ khối như sau: 1 G(s) (s 2)(s 3) Sử dụng Matlab tính sai số ở TT xác lập với tín hiệu vào hàm bước và hàm dốc. Bài tập 6.2 Cho hệ thống type 1 system có sơ đồ khối: và hàm truyền như sau: 1 G(s) s(s 2)(s 3) Sử dụng Matlab tính sai số ở TT xác lập với tín hiệu vào hàm bước và hàm dốc. Bài tập 6.3 Cho hệ thống type 2 system có sơ đồ khối như sau: và hàm truyền như sau: (s 1)(s 3) G(s) s 2 (s 2)(s 3) Sử dụng Matlab tính sai số ở TT xác lập với tín hiệu vào hàm bước và hàm dốc. Bài tập 6.4 Cho hệ kín có hàm hệ hở: 10 Gs h 0.2s 1 Sử dụng lệnh Matlab đánh giá chất lượng hệ ở quá trình quá độ. Bài tập 6.5 Cho hệ kín có hàm hệ hở: 10 G (s) h 0.25s 2 0.5s 1 Sử dụng lệnh Matlab đánh giá chất lượng hệ ở quá trình quá độ. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 65
72. Chương 7: Tổng hợp hệ thống CHƯƠNG 7: TỔNG HỢP HỆ THỐNG Giới thiệu: Chương 7 của giáo trình tập trung giới thiệu các khái niệm cơ bản về bộ điều khiển PID. Giới thiệu các nguyên lý cơ bản trong điều khiển PID và điều khiển trong không gian trạng thái. Mục tiêu: - Mô tả được khái niệm cơ bản về bộ điều khiển PID. - Trình bày được nguyên lý cơ bản trong điều khiển tự động PID. - Giải thích được nguyên lý hoạt động của các thành phần hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái. - Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau. Nội dung chính: 7.1. Bài toán tổng hợp hệ thống Trong môn học LT ĐKTĐ chủ yếu đề cập đến lý thuyết điều khiển kinh điển là phân tích và thiết kế hệ thống tuyến tính bất biến, một ngõ vào ‒ một ngõ ra. 7.1.1. Bài toán phân tích hệ thống Áp dụng cho các hệ điều khiển đã thiết kế xong, nhiệm vụ chúng ta là phải phân tích, xác định được các chỉ tiêu của hệ như: + Hệ có làm việc được hay không (có ổn định hay không). + Chất lượng của hệ ở chế độ quá độ và chế độ xác lập. + Thông số của các đại lượng điều khiển cho phép trong phạm vi nào. 7.1.2. Bài toán tổng hợp hệ thống (thiết kế hệ thống) Áp dụng cho hệ điều khiển chưa có ta cần phải thiết kế mới. Xuất phát từ yêu cầu công nghệ (đơn đặt hàng) ta thành lập hệ thống đáp ứng và được thực hiện qua các bước: + Khảo sát tìm hiểu yêu cầu công nghệ , từ đó có các chỉ tiêu điều khiển cần đạt. + Từ các chỉ tiêu điều khiển ta đi xây dựng nên bài toán điều khiển. + Từ bài toán điều khiển xây dựng sơ đồ khối cho hệ thống. + Thiết kế sơ đồ nguyên lý, tính chọn thông số cho các thiết bị trong hệ thống. + Quay về bài toán 1 để kiểm tra, nếu chưa đạt ta hiệu chỉnh hệ thống điều khiển. + Kiểm tra cho đến khi đạt. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 66
73. Chương 7: Tổng hợp hệ thống 7.2. Bộ điều khiển PID 7.2.1. Khái niệm bộ điều khiển PID Bộ điều khiển PID là bộ điều khiển nối tiếp với hàm truyền của hệ hở. Các bộ điều khiển: P, PD, PI, PID. Phương pháp thiết kế: QĐNS, biểu đồ Bode. 7.2.2. Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh đến chất lượng của hệ thống a) Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh tỉ lệ (P) Hàm truyền: Gc (s) KP Hệ số tỉ lệ càng lớn sai số xác lập càng nhỏ. Trong đa số các trường hợp hệ số tỉ lệ càng lớn độ vọt lố càng cao, hệ thống càng kém ổn định. Ví dụ 7.1 Đáp ứng của hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp dùng bộ điều khiển tỉ lệ với hàm truyền đối tượng là: 10 Gc (s) (s 2)(s 3) b) Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh tỉ lệ vi phân (PD) Hàm truyền: Gc (s) KP KDs KP (1 TDs) Khâu hiệu chỉnh PD làm nhanh đáp ứng của hệ thống, tuy nhiên cũng làm cho hệ thống rất nhạy với nhiễu tần số cao. Chú ý Thời hằng vi phân càng lớn đáp ứng càng nhanh. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 67
74. Chương 7: Tổng hợp hệ thống c) Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh tỉ lệ tích phân (PI) K I 1 Hàm truyền: Gc (s) K P K P (1 ) s TI s Khâu hiệu chỉnh PI làm tăng bậc vô sai của hệ thống, tuy nhiên cũng làm cho hệ thống có vọt lố, thời gian quá độ tăng lên. Chú ý Thời hằng tích phân càng nhỏ độ vọt lố càng cao. d) Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh tỉ lệ vi tích phân (PID) Hàm truyền: K I 1 Gc (s) K P K D s K P (1 TD s ) s TI s 1 GC (s) K P (1 )(1 TD2s) TI1s Khâu hiệu chỉnh PID làm nhanh đáp ứng quá độ và tăng bậc vô sai của hệ thống. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 68
75. Chương 7: Tổng hợp hệ thống 7.2.3. So sánh các khâu hiệu chỉnh 7.3. Các phương pháp tổng hợp (thiết kế) bộ điều khiển PID 7.3.1. Phương pháp thứ 1 của Ziegler‒Nichols Giả sử đối tượng có hàm quá độ như hình 6.1. Hình 7.1. Đặc tính quá độ đáp ứng nấc của hệ hở Xác định thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng nấc của hệ hở. 1 Bộ điều khiển PID: Gc (s) K P (1 TD s) TI s Bộ điều khiển KP TI TD P TTK21/ ∞ 0 PI 0,9TTK21 / T1 / 0,3 0 1,2T2 PID 2 2T1 0,5T2 TK1 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 69
76. Chương 7: Tổng hợp hệ thống Ví dụ 7.2 Hãy thiết kế bộ điều khiển PID điều khiển nhiệt độ của lò sấy, biết đặc tính quá độ của lò sấy thu được từ thực nghiệm có dạng như hình với: K 150, T1 8min, T2 24min Giải T2 1440 K P 1.2 1.2 0.024 T1K 480 150 TI 2T1 2 480 960 sec TD 0.5T1 0.5 480 240 sec 1 GPID (s) 0.024 1 240s 960s Phương pháp này được sử dụng hiệu quả khi thoả mãn điều kiện: 0,1 < T1/T2 < 0,6 7.3.2. Phương pháp thứ 2 của Ziegler‒Nichols Cho hệ thống điều khiển có cấu trúc như hình 6.2. Thay đổi K của bộ điều chỉnh P sao cho hệ thống làm việc ở biên giới ổn định, khi đó K = kgh. Tín hiệu ra y có dạng dao động với chu kỳ Tgh như hình 6.3. Hình 7.2. Sơ đồ cấu trúc có hệ số khuếch đại K Hình 7.3. Đáp ứng của hệ kín ở biên giới ổn định KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 70
77. Chương 7: Tổng hợp hệ thống Xác định thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng của hệ kín ở biên giới ổn định. 1 Bộ điều khiển PID: Gc (s) K P (1 TD s) TI s Các thông số của bộ điều chỉnh PID được xác định theo Kgh và Tgh như sau: Bộ điều khiển KP TI TD P 0,5Kgh PI 0,45Kgh 0,83Tgh PID 0,6Kgh 0,5Tgh 0,125Tgh Ví dụ 7.3 Hãy thiết kế bộ điều khiển PID điều khiển vị trí góc quay của động cơ DC, biết rằng nếu sử dụng bộ điều khiển tỉ lệ thì bằng thực nghiệm ta xác định được khi K=20 vị trí góc quay động cơ ở trạng thái xác lập là dao động với chu kỳ T= 1sec. Giải Theo dữ kiện đề bài: K gh 20 Tgh 1sec Theo pp Zeigler – Nichols: K 0.6K 0.6 20 12 P gh T 0.5T 0.5 1 0.5sec I gh T 0.125T 0.125 1 0.125sec D gh 1 GPID (s) 12 1 0.5s 0.125s 7.4. Tổng hợp (thiết kế) hệ thống trong không gian trạng thái 7.4.1. Khái niệm bộ điều khiển trong không gian trạng thái Bộ điều khiển trong không gian trạng thái là bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái, tróng đó tất cả các trạng thái của hệ thống được phản hồi trở về ngõ vào. Bộ điều khiển: u(t) r(t) Kx(t) K k k k  1 2 n  Phương pháp thiết kế: phân bố cực. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 71
78. Chương 7: Tổng hợp hệ thống 7.4.2. Thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái 7.4.2.1. Tính điều khiển được Cho hệ thống có mô hình trạng thái như sau: x(t) Ax(t) Bu(t) x Ax Bu hay y(t) Cx(t) y Cx Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển được Hệ thống được gọi là điều khiển được nếu và chỉ nếu tồn tại tín hiệu điều khiển u có thể đưa hệ từ trạng thái ban đầu x(0) tới trạng thái x(T) trong một khoảng thời gian hữu hạn T. Ma trận điều khiển được:    2  n 1 HT là ĐK được nếu và chỉ nếu ma trận P có hạng bằng n hay ma trận P không suy biến. Ví dụ 7.4 Cho hệ thống có mô hình trạng thái như sau: 0 1 5   C 1 3 2 3 2 Đánh giá tính điều khiển được của hệ thống. Giải Ma trận điều khiển được: 5 2     2 16 det() 84 rank() 2 Hệ thống điều khiển được 7.4.2.2. Điều khiển hồi tiếp trạng thái Đối tượng: Bộ điều khiển: u(t) = r(t) – Kx(t) Phương trình trạng thái mô tả hệ thống kín: x(t) A BKx(t) Br(t) y(t) Cx(t) Yêu cầu: Tính K để hệ kín thỏa mãn chất lượng mong muốn. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 72
79. Chương 7: Tổng hợp hệ thống Phương pháp phân bố cực Nếu hệ thống điều khiển được, có thể tính được K để hệ kín có cực tại vị trí bất kỳ. + Bước 1: Viết phương trình đặc trưng của hệ thống kín: det[sI − A BK] 0 (1) + Bước 2: Viết phương trình đặc trưng mong muốn. n  s pi 0 (2) i 1 Trong đó: pi − là các cực mong muốn. + Bước 3: Cân bằng các hệ số của hai phương trình đặc trưng (1) và (2) ta sẽ tìm được vector hồi tiếp trạng thái K. Ví dụ 7.5 Cho hệ thống có mô hình trạng thái như sau: x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) 0 1 0 0  0 0 1  3 C 0 0 1 4 7 3 1 Hãy xác định luật điều khiển sao cho hệ thống kín có cặp cực phức với  0 6;  10 và cực thứ ba là cực thực tại 20. Giải Phương trình đặc trưng của hệ thống kín: det[sI − A BK] 0 (1) 1 0 0 0 1 0 0 det s 0 1 0 0 0 1 3 k k k 0  1 2 3  0 0 1 4 7 3 1 3 2 s (3 3k2 k3 )s (7 3k1 10k2 21k3 )s (4 10k1 12k3 ) 0 (1) Phương trình đặc trưng mong muốn: 2 2 (s 20)(s 2n s n 0 s3 32s 2 340s 2000 0 (2) Cân bằng các hệ số của hai phương trình (1) và (2) ta suy ra: 3 3k2 k3 32 7 3k1 10k2 21k3 340 4 10k1 12k2 2000 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 73
80. Chương 7: Tổng hợp hệ thống Giải hệ phương trình trên, ta được: k1 220,578 k2 3,839 k3 17,482 Kết luận: K 220,578 3,839 17,482 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 7 Bài tập 7.1 Áp dụng phương pháp thứ 1 xác định tham số bộ PID cho đối tượng điều khiển là 10 khâu quán tính bậc nhất có trễ có hàm truyền đạt như sau: G s e 3s biết các thông 0.5s 1 số của đối tượng: hệ số KĐ k=10, hằng số thời gian trễ 3s và hằng số thời gian quán tính 0.5s. Bài tập 7.2 Áp dụng phương pháp thứ 1 xác định tham số bộ PID cho đối tượng điều khiển có hàm truyền là: 12 G(s) (0.2s 1)5 Bài tập 7.3 Cho hệ có đối tượng điều khiển là: 10 s 4 Ss s s2 6 s 10 0.15 s 1 Áp dụng phương pháp thứ 2 không sử dụng mô hình toán học của đối tượng, thay bộ PID bằng bộ khuyếch đại như sơ đồ: Tăng hệ số khuyếch đại tới giá trị tới hạn sao cho hệ đạt trạng thái ở biên giới ổn định. Xác định giá trị kth và Tth từ đó ta xác định tham số bộ PID. Bài tập 7.4 Cho đối tượng điều khiển có hàm truyền đạt dạng:  K V s[(Js b)(Ls R) K 2 ] Ta có sơ đồ cấu trúc hệ thống như sau: Tham số của đối tượng điều khiển: J=3.2284E-6; b=3.5077E-6; K=0.0274; R=4; L=2.75E-6 KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 74
81. Chương 7: Tổng hợp hệ thống Sử dụng Matlab xác định tham số bộ PID với yêu cầu chất lượng điều khiển như sau: + Thời gian đặt nhỏ hơn 0,04 giây + Độ vượt lố không quá 16% + Không có lỗi ở trạng thái ổn định + Ổn định với nhiễu Bài tập 7.5 Xác định tham số bộ điều khiển I, PI hoặc PID cho các đối tượng có hàm truyền: 1 a) 41s 2 b) 0.2 1 3s 1 2 c) 3s 1 2 s 1 s 1 2 d) 3s 1 5 s 1 0.3 s 1 5 Gợi ý: Sử dụng các công thức được học để tính. Sau đó khảo sát lại chất lượng. Bài tập 7.6 Cho hệ thống có hàm truyền đạt gồm khâu chậm trễ và khâu dao động như sau: 21.7s 200 W (s) e 106.5s2 2.09s 1 Người ta dùng tác động ở đầu vào là hàm 10.1(t) và đo tín hiệu đầu ra thu được đường đặc tính y(t) như sau: 1. Khảo sát tính ổn định của hệ thống. 2. Tổng hợp bộ điều khiển P, PI, PID để hệ có chất lượng điều khiển tốt nhất. Sử dụng Matlab để thiết kế bộ điều khiển PID. KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA 75
82. GIÁO TRÌNH TÊN HỌC PHẦN (LƯU HÀNH NỘI BỘ) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lý thuyết điều khiển tự động, Bộ môn Tự động hóa, Lưu hành nội bộ, 2015. [2] Richard C.Dorf, Robert H.Bishop, Modern Control System, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005. [3] Nguyễn Thị Phương Hà, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, Nhà xuất bản ĐHQG TPHCM, 2005. [4] Huỳnh Thái Hoàng, Cơ sở tự động, Nhà xuất bản ĐHBK TPHCM, Chương 1‒6, 2005.