Giáo trình Sức bền vật liệu (Phần 1) - Lê Đức Thanh

147 trang cucquyet12 3290

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu (Phần 1) - Lê Đức Thanh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_phan_1_le_duc_thanh.pdf

Nội dung text: Giáo trình Sức bền vật liệu (Phần 1) - Lê Đức Thanh

GV: Leâ Ñöùc Thanh Chöông 1 CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN 1.1 KHAÙI NIEÄM VEÀ MOÂN HOÏC SÖÙC BEÀN VAÄT LIEÄU ( SBVL )- ÑOÁI TÖÔÏNG, NHIEÄM VUÏï, ÑAËC ÑIEÅM CUÛA MOÂN SBVL 1.1.1 ÑOÁI TÖÔÏNG NGHIEÂN CÖÙU CUÛA SBVL- HÌNH DAÏNG VAÄT THEÅ SBVL nghieân cöùu vaät theå thöïc ( coâng trình, chi tieát maùy ) Vaät theå thöïc coù bieán daïng döôùi taùc duïng cuûa nguyeân nhaân ngoaøi ( taûi troïng, nhieät ñoä, laép raùp caùc chi tieát cheá taïo khoâng chính xaùc ) Vaät theå thöïc söû duïng trong kyõ thuaät ñöôïc chia ra ba loaïi cô baûn: Khoái: coù kích thöôùc theo ba phöông töông ñöông: Ñeâ ñaäp, moùng maùy H. 1.1 Vaät theå daïïng khoái H. 1.2 Vaät theå daïng taám voû Taám vaø voû: vaät theå moûng coù kích thöôùc theo moät phöông raát nhoû so vôùi hai phöông coøn laïi; taám coù daïng phaúng, voû coù daïng cong: saøn nhaø, maùi voû Thanh: vaät theå daøi coù kích thöôùc theo moät phöông raát lôùn so vôùi hai phöông coøn laïi: thanh daøn caàu, coät ñieän, truïc maùy SBVL nghieân cöùu thanh, heä thanh. Thanh ñöôïc bieåu dieån baèng truïc thanh vaø maët caét ngang F vuoâng goùc vôùi truïc thanh H. 1.3 Truïc thanh vaø maët (H.1.3). caét ngang Truïc thanh laø quyõ tích cuûa troïng taâm maët caét ngang. Caùc loaïi thanh (H.1.4): +Thanh thaúng, cong: truïc thanh thaúng, a) cong, +Heä thanh : thanh gaõy khuùc b) c) d) (phaúng hay khoâng gian) H. 1.4 Caùc daïng truïc thanh Chöông 1: Khaùi nieäm cô baûn 1
GV: Leâ Ñöùc Thanh 1.1.2 Nhieäm vuï: SBVL laø moân hoïc kyõ thuaät cô sôû, nghieân cöùu tính chaát chòu löïc cuûa vaät lieäu ñeå ñeà ra caùc phöông phaùp tính caùc vaät theå chòu caùc taùc duïng cuûa caùc nguyeân nhaân ngoaøi, nhaèm thoaû maõn yeâu caàu an toaøn vaø tieát kieäm vaät lieäu. ♦ Vaät theå laøm vieäc ñöôïc an toaøn khi: - Thoûa ñieàu kieän beàn : khoâng bò phaù hoaïi (nöùt gaõy, suïp ñoå ). - Thoûa ñieàu kieän cöùng: bieán daïng vaø chuyeån vò naèm trong moät giôùi haïn cho pheùp. - Thoûa ñieàu kieän oån ñònh : baûo toaøn hình thöùc bieán daïng ban ñaàu. ♦ Thöôøng, kích thöôùc cuûa vaät theå lôùn thì khaû naêng chòu löïc cuõng taêng vaø do ñoù ñoä an toaøn cuõng ñöôïc naâng cao; tuy nhieân, vaät lieäu phaûi duøng nhieàu hôn neân naëng neà vaø toán keùm hôn. Kieán thöùc cuûa SBVL giuùp giaûi quyeát hôïp lyù maâu thuaãn giöõa yeâu caàu an toaøn vaø tieát kieäm vaät lieäu. ♦ Ba baøi toaùn cô baûûn cuûa SBVL: + Kieåm tra caùc ñieàu kieän beàn, cöùng, oån ñònh.(Thaåm keá) + Ñònh kích thöôùc, hình daùng hôïp lyù cuûa coâng trình hay chi tieát maùy. + Ñònh giaù trò cuûa caùc nguyeân nhaân ngoaøi ( taûi troïng, nhieät ñoä ) cho pheùp taùc duïng ( Söûa chöõa) 1.1.3 Ñaëc ñieåm: ♦ SBVL laø moân khoa hoïc thöïc nghieäm: Ñeå ñaûm baûo söï tin caäy cuûa caùc phöông phaùp tính, moân hoïc keát hôïp chaët cheõ giöõa nghieân cöùu thöïc nghieäm vaø suy luaän lyù thuyeát. Nghieân cöùu thöïc nghieäm nhaèm phaùt hieän ra tính chaát öùng xöû cuûa caùc vaät lieäu vôùi caùc daïng chòu löïc khaùc nhau, laøm cô sôû ñeà xuaát caùc giaû thieát ñôn giaûn hôn ñeå xaây döïng lyù thuyeát. Vì vaäy, lyù thuyeát SBVL mang tính gaàn ñuùng. Thí nghieäm kieåm tra caùc lyù thuyeát tính toaùn ñaõ xaây döïng Trong nhieàu tröôøng hôïp, phaûi laøm thí nghieäm treân moâ hình coâng trình thu nhoû tröôùc khi xaây döïng hoaëc thöû taûi coâng trình tröôùc khi söû duïng. ♦ SBVL khaûo saùt noäi löïc ( löïc beân trong vaät theå ) vaø bieán daïng cuûa vaät theå ( Cô Lyù Thuyeát khaûo saùt caân baèng vaø chuyeån ñoäng cuûa vaät theå). ♦ SBVL cuõng söõ duïng caùc keát quaû cuûa Cô Lyù Thuyeát Chöông 1: Khaùi nieäm cô baûn 2
GV: Leâ Ñöùc Thanh 1.2 NGOAÏI LÖÏC- CAÙC LOAÏI LIEÂN KEÁT- PHAÛN LÖÏC LIEÂN KEÁT 1.2.1 Ngoaïi löïc Taûi troïng a) Ñònh nghóa: Ngoaïi löïc laø löïc taùc ñoäng töø moâi tröôøng hoaëc vaät theå beân ngoaøi leân vaät theå ñang xeùt. Phaûn löïc b) Phaân loaïi : ♦ Taûi troïng : Ñaõ bieát tröôùc (vò trí, H. 1.5 Taûi troïng vaø phaûn löïc phöông vaø ñoä lôùn), thöôøng ñöôïc quy ñònh bôûi caùc quy phaïm thieát keá hoaëc tính toaùn theo traïng thaùi chòu löïc cuûa vaät theå. Taûi troïng goàm: +Löïc phaân boá: taùc duïng treân moät theå q tích, moät dieän tích cuûa vaät theå ( troïng löôïng baûn thaân, aùp löïc nöôùc leân thaønh beå ) Löïc phaân boá theå tích coù thöù nguyeân laø löïc/theå tích,hay [F/L3]. Löïc phaân boá dieän tích coù thöù nguyeân laø löïc/dieän tích, hay [F/L2]. h Neáu löïc phaân boá treân moät daûi heïp thì thay löïc phaân boá dieän tích baèng löïc phaân boá ñöôøng G vôùi cöôøng ñoä löïc coù thöù nguyeân laø löïc/chieàu daøi, hay [F/L] (H.1.6). Löïc phaân boá H. 1.6 Caùc loaïi löïc phaân ñöôøng laø loaïi löïc thöôøng gaëp trong SBVL. boá +Löïc taäp trung: taùc duïng taïi moät ñieåm cuûa vaät theå, thöù nguyeân [F]. Thöïc teá, khi dieän tích truyeàn löïc beù coù theå coi nhö löïc truyeàn qua moät ñieåm + Moâmen (ngaåu löïc) coù thöù nguyeân laø löïc x chieàu daøi hay [FxL] ♦ Phaûn löïc : laø nhöõng löïc thuï ñoäng (phuï thuoäc vaøo taûi troïng), phaùt sinh taïi vò trí lieân keát vaät theå ñang xeùt vôùi caùc vaät theå khaùc. c) Tính chaát taûi troïng ♦ Taûi troïng tónh: bieán ñoåi chaäm hay khoâng ñoåi theo thôøi gian, boû qua gia toác chuyeån ñoäng (boû qua löïc quaùn tính khi xeùt caân baèng). AÙp löïc ñaát leân töôøng chaén, troïng löôïng cuûa coâng trình laø caùc löïc tónh ♦Taûi troïng ñoäng: löïc thay ñoåi nhanh theo thôøi gian, gaây ra chuyeån ñoäng coù gia toác lôùn ( rung ñoäng do moät ñoäng cô gaây ra, va chaïm cuûa buùa xuoáng ñaàu coïc ). Vôùi löïc ñoäng thì caàn xeùt ñeán söï tham gia cuûa löïc quaùn tính . Chöông 1: Khaùi nieäm cô baûn 3
GV: Leâ Ñöùc Thanh 1.2.2 Lieân keát phaúng, phaûn löïc lieân keát, caùch xaùc ñònh 1.2.2.1 Caùc loaïi lieân keát phaúng vaø phaûn löïc lieân keát: Moät thanh muoán duy trì hình daïng, vò trí ban ñaàu khi chòu taùc ñoäng cuûa ngoaïi löïc thì noù phaûi ñöôïc lieân keát vôùi vaät theå khaùc hoaëc vôùi ñaát. ♦ Goái di ñoäng (lieân keát thanh): ngaên caûn moät chuyeån vò thaúng vaø phaùt sinh moät phaûn löïc M R theo phöông cuûa lieân keát H H (H.1.7a) V ♦ Goái coá ñònh ( Lieân keát R V a) b) c) khôùp, khôùp, baûn leà) : ngaên caûn H. 1.7 Lieân keát vaø phaûn löïc lieân keát chuyeån vò thaúng theo phöông baát kyø vaø phaùt sinh phaûn löïc R cuõng theo phöông ñoù. Phaûn löïc R thöôøng ñöôïc phaân tích ra hai thaønh phaàn V vaø H (H.1.7b) ♦ Ngaøm: ngaên caûn taát caû chuyeån vò thaúng vaø chuyeån vò xoay. Phaûn löïc phaùt sinh trong ngaøm goàm ba thaønh phaàn V, H vaø M (H.1.7c) 1.2.2.2 Caùch xaùc ñònh phaûn löïc: Giaûi phoùng caùc lieân keát, thay baèng caùc phaûn löïc töông öùng, caùc phaûn löïc ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän caân baèng tónh hoïc giöõa taûi trong vaø phaûn löïc. Baøi toaùn phaúng coù ba phöông trình caân baèng ñoäc laäp, ñöôïc thieát laäp ôû caùc daïng khaùc nhau nhö sau: 1. ∑ X = 0; ∑Y = 0; ∑ M O = 0 (2 phöông X, Y khoâng song song) 2. ∑ M A = 0; ∑ MB = 0; ∑ MC = 0 ( 3 ñieåmA, B, C khoâng thaúng haøng) 3. ∑ X = 0; ∑ M A = 0; ∑ MB = 0 (phöông AB khoâng vuoâng goùc vôùi X) Baøi toaùn khoâng gian coù saùu phöông trình caân baèng ñoäc laäp, thöôøng coù daïng: ∑ X = 0; ∑Y = 0; ∑ Z = 0; ∑ M /Ox = 0; ∑ M /Oy = 0; ∑ M /Oz = 0 Chuù yù:Ñeå coá ñònh moät thanh trong mp caàn toái thieåu 3 lieân keát ñôn ñeå choáng laïi 3 chuyeån ñoäng töï do. Neáu ñuû lieân keát vaø boá trí hôïp lyù 3 phaûn löïc seõ tìm ñöôïc töø 3 ptcb tænh hoïc.Thanh ñöôïc goïi laø tænh ñònh. Neáu soá lieân keát töông ñöông lôùn hôn 3 goïi laø baøi toaùn sieâu tænh. Chöông 1: Khaùi nieäm cô baûn 4
GV: Leâ Ñöùc Thanh 1.3 CAÙC DAÏNG CHÒU LÖÏC VAØ BIEÁN DAÏNG CÔ BAÛN – CHUYEÅN VÒ 1.3.1Bieán daïng cuûa vaät theå: Trong thöïc teá, söï chòu löïc cuûa moät thanh coù theå phaân tích ra caùc daïng chòu löïc cô baûn: Truïc thanh khi chòu keùo (neùn) seõ daõn daøi (co ngaén) (H.1.8a,b) Truïc thanh chòu uoán seõ bò cong (H.1.8e) Thanh chòu xoaén thì truïc thanh vaãn thaúng nhöng ñöôøng sinh treân beà maët trôû thaønh ñöôøng xoaén truï (H1.8.d). Khi chòu caét, hai phaàn cuûa thanh coù xu höôùng tröôït ñoái vôùi nhau (H1.8.c). P P P 2P a) P P dx Δdx c) a) γ T1 T2 T1 T2 P b) d) b) H. 1.9 Caùc bieán daïng cô baûn e) Hình 1.8 Caùc daïng chòu löïc cô baûn 1.3.2 Bieán daïng cuûa phaân toá: Neáu töôûng töôïng taùch moät phaân toá hình hoäp töø moät thanh chòu löïc thì söï bieán daïng cuûa noù trong tröôøng hôïp toång quaùt coù theå phaân tích ra hai thaønh phaàn cô baûn: ♦ Phaân toá treân H.1.9a daøi dx chæ thay ñoåi chieàu daøi, khoâng thay ñoåi goùc. Bieán daïng daøi tuyeät ñoái theo phöông x : Δdx. Δdx Bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông x : ε = x dx ♦ Phaân toá treân H.1.9b chæ coù thay ñoåi goùc, khoâng thay ñoåi chieàu daøi Bieán daïng goùc hay goùc tröôït, kyù hieäu laø γ : Ñoä thay ñoåi cuûa goùc vuoâng ban ñaàu Chöông 1: Khaùi nieäm cô baûn 5
GV: Leâ Ñöùc Thanh 1.3.3 Chuyeån vò: Khi vaät theå bò bieán daïng, caùc ñieåm P1 P3 trong vaät theå noùi chung bò thay ñoåi vò trí. Ñoä chuyeån dôøi töø vò trí cuõ cuûa ñieåm A A + + C sang vò trí môùi A’ ñöôïc goïi laø chuyeån vò + A’ + C’ daøi. Goùc hôïp bôûi vò trí cuûa moät ñoaïn P4 thaúng AC tröôùc vaø trong khi bieán daïng P2 A’C’ cuûa vaät theå ñöôïc goïi laø chuyeån vò H. 1.10 goùc ( H.1.10). 1.4 Caùc giaû thieát Khi giaûi baøi toaùn SBVL, ngöôøi ta chaáp nhaän moät soá giaû thieát nhaèm ñôn giaûn hoaù baøi toaùn nhöng coá gaéng ñaûm baûo söï chính xaùc caàn thieát phuø hôïp vôùi yeâu caàu thöïc teá. 1.4.1 Giaû thieát veà vaät lieäu Vaät lieäu ñöôïc coi laø lieân tuïc, ñoàng nhaát, ñaúng höôùng vaø ñaøn hoài tuyeán tính. ♦ Ta töôûng töôïng laáy moät phaân toá bao quanh moät ñieåm trong vaät theå. Neáu cho phaân toá beù tuøy yù maø vaãn chöùa vaät lieäu thì ta noùi vaät lieäu lieân tuïc taïi ñieåm ñoù. Giaû thieát veà söï lieân tuïc cuûa vaät lieäu cho pheùp söû duïng caùc pheùp tính cuûa toaùn giaûi tích nhö giôùi haïn, vi phaân, tích phaân Trong thöïc teá, ngay caû vôùi vaät lieäu ñöôïc coi laø hoaøn haûo nhaát nhö kim loaïi thì cuõng coù caáu truùc khoâng lieân tuïc. ♦ Vaät lieäu ñoàng nhaát : Tính chaát cô hoïc Löïc taïi moïi ñieåm trong vaät theå laø nhö nhau. ♦ Vaät lieäu ñaúng höôùng : Tính chaát cô hoïc taïi moät ñieåm theo caùc phöông ñeàu nhö nhau. Bieán daïng H. 1.11 Ñaøn hoài tuyeán ♦ Tính chaát ñaøn hoài cuûa vaät theå laø khaû tính naêng khoâi phuïc laïi hình daïng ban ñaàu cuûa noù khi ngoaïi löïc thoâi taùc duïng. Neáu quan heä giöõa ngoaïi löïc vaø bieán daïng laø baäc nhaát, thì vaät lieäu ñöôïc goïi laø ñaøn hoài tuyeán tính (H.1.11). Giaû thieát vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính laøm giaûm bôùt söï phöùc taïp cuûa baøi toaùn SBVL. Chöông 1: Khaùi nieäm cô baûn 6
GV: Leâ Ñöùc Thanh 1.4.2 Giaû thieát veà sô ñoà tính Khi tính toaùn, ngöôøi ta thay vaät theå thöïc baèng sô ñoà tính (H1.12). q a) b) H. 1.12 Sô ñoà tính 1.4.3 Giaû thieát veà bieán daïng vaø chuyeån vò Vaät theå coù bieán daïng vaø chuyeån vò beù so vôùi kích thöôùc ban ñaàu cuûa vaät ⇒ Coù theå khaûo saùt vaät theå hoaëc caùc boä phaän cuûa noù treân hình daïng ban ñaàu ( tính treân sô ñoà khoâng bieán daïng cuûa vaät theå). Giaû thieát naøy xuaát phaùt ñieàu kieän bieán daïng vaø chuyeån vò lôùn nhaát trong vaät theå phaûi naèm trong moät giôùi haïn töông ñoái nhoû. Heä quaû: Khi vaät theå coù chuyeån vò beù vaø vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính thì coù theå aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng nhö sau: Moät ñaïi löôïng do nhieàu nguyeân nhaân ñoàng thôøi gaây ra seõ baèng toång ñaïi löôïng ñoù do töøng nguyeân nhaân gaây ra rieâng leû. (H.1.13) P 2 P2 P1 P 1 2 1 H.1.13 Nguyeân lyù coäng taùc duïng Chuyeån vò Δ taïi ñaàu thanh do löïc P1 vaø P2 gaây ra coù theå phaân tích nhö sau: Δ()P1 ,P2 = Δ1(P1 ) + Δ2(P2 ) Nguyeân lyù coäng taùc duïng bieán baøi toaùn phöùc taïp thaønh caùc baøi toaùn ñôn giaûn deã giaûi quyeát hôn. Vì vaäy, thöôøng ñöôïc söõ duïng trong SBVL. Chöông 1: Khaùi nieäm cô baûn 7
GV: Leâ Ñöùc Thanh Chöông 2 LYÙ THUYEÁT NOÄI LÖÏC 2.1 KHAÙI NIEÄM VEÀ NOÄI LÖÏC - PHÖÔNG PHAÙP KHAÛO SAÙT - ÖÙNG SUAÁT 1- Khaùi nieäm veà noäi löïc: Xeùt moät vaät theå chòu taùc duïng cuûa ngoaïi löïc vaø ôû traïng thaùi caân baèng (H.2.1). Tröôùc khi taùc duïng löïc, giöõa caùc phaân töû cuûa vaät theå luoân coù caùc löïc töông taùc giöõ cho vaät theå coù hình daùng nhaát ñònh. Döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc, caùc phaân töû cuûa vaät theå coù theå dòch laïi gaàn nhau hoaëc taùch xa nhau. Khi ñoù, löïc töông taùc giöõa caùc phaân töû cuûa vaät theå phaûi thay ñoåi ñeå choáng laïi caùc dòch chuyeån naøy. Söï thay ñoåi cuûa löïc töông taùc giöõa caùc phaân töû trong vaät theå ñöôïc goïi laø noäi löïc. Moät vaät theå khoâng chòu taùc ñoäng naøo töø beân ngoaøi thì ñöôïc goïi laø vaät theå ôû traïng thaùi töï nhieân vaø noäi löïc cuûa noù ñöôïc coi laø baèng khoâng. 2-Phöông phaùp khaûo saùt noäi löïc: Phöông phaùp maët caét Xeùt laïi vaät theå caân baèng vaø 1 ñieåm C trong vaät theå (H.2.1),. Töôûng töôïng moät maët phaúng Π caét qua C vaø chia vaät theå thaønh hai phaàn A vaø B; hai phaàn naøy seõ taùc ñoäng laãn nhau baèng heä löïc phaân boá treân dieän tích maët tieáp xuùc theo ñònh luaät löïc vaø phaûn löïc. Neáu taùch rieâng phaàn A thì heä löïc taùc ñoäng töø phaàn B vaøo noù phaûi caân baèng vôùi ngoaïi löïc ban ñaàu (H.2.2). P P 1 P 1 6 P 2 P 5 P 2 A B A Δ P p 3 P 4 P 3 ΔF H.2.1 Vaät theå chòu löïc caân baèng H.2.2 Noäi löïc treân maët caét Xeùt moät phaân toá dieän tích ΔF bao quanh ñieåm khaûo saùt C treân maët caét Π coù phöông phaùp tuyeán v. Goïi Δ p laø vector noäi löïc taùc duïng treân ΔF . Ta ñònh nghóa öùng suaát toaøn phaàn taïi ñieåm khaûo saùt laø: Δ p d p p = lim = ΔF →0 ΔF dF Thöù nguyeân cuûa öùng suaát laø [löïc]/[chieàu daøi]2 (N/m2, N/cm2 ). Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 1
GV: Leâ Ñöùc Thanh τ ÖÙng suaát toaøn phaàn p coù theå phaân ra hai thaønh ν p phaàn: σν + Thaønh phaàn öùng suaát phaùp σv coù phöông phaùp tuyeán cuûa maët phaúng Π Hình 2.3 Caùc thaønh phaàn + Thaønh phaàn öùng suaát tieáp τv naèm trong maët öùng suaát phaúng Π ( H.2.3 ). Caùc ñaïi löôïng naøy lieân heä vôùi nhau theo bieåu thöùc: 2 2 2 pv = σ v + τ v (2.1) ÖÙng suaát laø moät ñaïi löôïng cô hoïc ñaëc tröng cho möùc ñoä chòu ñöïng cuûa vaät lieäu taïi moät ñieåm; öùng suaát vöôït quaù moät giôùi haïn naøo ñoù thì vaät lieäu bò phaù hoaïi. Do ñoù, vieäc xaùc ñònh öùng suaát laø cô sôû ñeå ñaùnh giaù ñoä beàn cuûa vaät lieäu, vaø chính laø moät noäi dung quan troïng cuûa moân SBVL. Thöøa nhaän: ÖÙng suaát phaùp σv chæ gaây ra bieán daïng daøi. Öùng suaát tieáp τv chæ gaây bieán daïng goùc. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 2
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2.2 CAÙC THAØNH PHAÀN NOÄI LÖÏC - CAÙCH XAÙC ÑÒNH 1- Caùc thaønh phaàn noäi löïc: Nhö ñaõ bieát, ñoái töôïng khaûo saùt cuûa SBVL laø nhöõng chi tieát daïng thanh, ñaëc tröng bôûi maët caét ngang (hay coøn goïi laø tieát dieän) vaø truïc thanh. P P 1 P 1 Mx P 1 6 x Mz x Qx P P 2 P 5 P 2 2 A z A B A z Nz P 3 P My 4 P P 3 3 Qy y y H.2.4 Caùc thaønh phaàn noäi löïc Goïi hôïp löïc cuûa caùc noäi löïc phaân boá treân maët caét ngang cuûa thanh laø R. R coù ñieåm ñaët vaø phöông chieàu chöa bieát . ⎧Löïc R Dôøi R veà troïng taâm O cuûa maët caét ngang ⇒ ⎨ coù phöông baát kyø ⎩Moâmen M Ñaët moät heä truïc toïa ñoä Descartes vuoâng goùc ngay taïi troïng taâm maët caét ngang, Oxyz, vôùi truïc z truøng phaùp tuyeán cuûa maët caét, coøn hai truïc x, y naèm trong maët caét ngang. Khi ñoù, coù theå phaân tích R ra ba thaønh phaàn theo ba truïc: + Nz, theo phöông truïc z ( ⊥ maët caét ngang) goïi laø löïc doïc + Qx theo phöông truïc x (naèm trong maët caét ngang) goïi laø löïc caét. + Qy theo phöông truïc y (naèm trong maët caét ngang) goïi laø löïc caét. Moâmen M cuõng ñöôïc phaân ra ba thaønh phaàn : + Moâmen Mx quay quanh truïc x goïi laø moâmen uoán . + Moâmen My quay quanh truïc y goïi laø moâmen uoán . + Moâmen Mz quay quanh truïc z goïi laø moâmen xoaén. Saùu thaønh phaàn naøy ñöôïc goïi laø caùc thaønh phaàn noäi löïc treân maët caét ngang (H.2.4) . Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 3
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2 Caùch xaùc ñònh: Saùu thaønh phaàn noäi löïc treân moät maët caét ngang ñöôïc xaùc ñònh töø saùu phöông trình caân baèng ñoäc laäp cuûa phaàn vaät theå ñöôïc taùch ra, treân ñoù coù taùc duïng cuûa ngoaïi löïc ban ñaàu PI vaø caùc noäi löïc. Caùc phöông trình caân baèng hình chieáu caùc löïc treân caùc truïc toïa ñoä: n ∑ Z = 0 ⇔ N z +∑ Piz = 0 ⇒ N z i=1 n ∑Y = 0 ⇔ Qy + ∑ Piy = 0 ⇒ Qy (2.2) i=1 n ∑ Z = 0 ⇔ Qx + ∑ Pix = 0 ⇒ Qx i=1 trong ñoù: Pix, Piy, Piz - laø hình chieáu cuûa löïc Pi xuoáng caùc truïc x, y, z. Caùc phöông trình caân baèng moâmen ñoái vôùi caùc truïc toïa ñoä ta coù: n ∑ M /Ox ⇔ M x + ∑ mx (Pi ) = 0 ⇒ M x i=1 n ∑ M /Oy ⇔ M y + ∑my (Pi ) = 0 ⇒ M y (2.3) i=1 n ∑ M /Oz ⇔ M z + ∑mz (Pi ) = 0 ⇒ M z i=1 vôùiù:mx(Pi), my(Pi), mz(Pi) - caùc moâmen cuûa caùc löïc Pi ñoái vôùi caùc truïc x,y, z. 3-Lieân heä giöõa noäi löïc vaø öùng suaát: Caùc thaønh phaàn noäi löïc lieân heä vôùi caùc thaønh phaàn öùng suaát nhö sau: - Löïc doïc laø toång caùc öùng suaát phaùp - Löïc caét laø toång caùc öùng suaát tieáp cuøng phöông vôùi noù - Moâmen uoán laø toång caùc moâmen gaây ra bôûi caùc öùng suaát ñoái vôùi truïc x hoaëc y - Moâmen xoaén laø toång caùc moâmen cuûa caùc öùng suaát tieáp ñoái vôùi truïc z Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 4
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2-3 BAØI TOÙAN PHAÚNG: Tröôøng hôïp baøi toaùn phaúng ( ngoaïi löïc naèm trong moät maët phaúng ( thí duï maët phaúng yz)), chæ coù ba thaønh phaàn noäi löïc naèm trong maët phaúng yz : Nz, Qy, Mx. ♦ Qui öôùc daáu (H.2.5) P1 P4 Qy > 0 M > 0 - Löïc doïc Nz > 0 khi gaây keùo X MX > 0 P2 O O P5 N > 0 ñoaïn thanh ñang xeùt (coù chieàu A z Nz > 0 B P3 höôùng ra ngoaøi maët caét) Qy > 0 P6 y y - Löïc caét Qy > 0 khi laøm quay ñoaïn thanh ñang xeùt theo chieàu kim Hình 2.5: Chieàu döông ñoàng hoà. caùc thaønh phaàn noäi - Moâmen uoán Mx > 0 khi caêng thôù döôùi ( thôù y döông ). Mx > 0 Mx > 0 Mx 0 , Moâmen M x < 0 ♦ Caùch xaùc ñònh: Duøng 3 phöông trình caân baèng tænh hoïc khi xeùt caân baèng phaàn A) hay phaàn B) Töø phöông trình Σ Z = 0 ⇒ N z Töø phöông trình Σ Y = 0 ⇒ Qy (2.4) Töø phöông trình Σ M/O = 0 ⇒ Mx Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 5
GV: Leâ Ñöùc Thanh Thí duï 2.1 Xaùc ñònh caùc trò soá noäi löïc taïi maët caét 1-1 cuûa thanh AB, vôùi : 2 q = 10 kN/m; a = 1m; Mo = 2qa . ( H.2.6) q P = M = 1 2 A 2qa B k 2qa H A 1 1,5a a a V A V B P = q M A 2qa N Q V A 1,5a H. 2.6 Giaûi. Tính phaûn löïc: Giaûi phoùng caùc lieân keát vaø thay vaøo ñoù baèng caùc phaûn löïc lieân keát VA, HA, VB. Vieát caùc phöông trình caân baèng tænh hoïc khi xeùt caân baèng thanh AB Σ Z = 0 ⇒ HA = 0 Σ Y = 0 ⇒ VA +VB - qa – P = 0 a M = 0 ⇒ qa × + P x a - M −V x2a = 0 ∑ A 2 0 B 11 1 ⇒ HA = 0; V = qa = 27,5 kN ; V = qa = 2,5 kN A 4 B 4 Tính noäi löïc: Maët caét 1-1 chia thanh laøm hai phaàn. Xeùt söï caân baèng cuûa phaàn beân traùi (H.2.6) : ∑Z = 0 ⇒ N = 0 1 Y = 0 ⇒ V − qa − P − Q = 0 ⇒ Q = − qa = − 2,5 kN ∑ A 4 M a 17 2 ∑ = 0 ⇒ M = VA ×1,5a − qa × a − 2qa × = qa = 21,25 kNm O1 2 8 Neáu xeùt caân baèng cuûa phaàn phaûi ta cuõng tìm ñöôïc caùc keát quaû nhö treân. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 6
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2.4 BIEÅU ÑOÀ NOÄI LÖÏC ( BAØI TOAÙN PHAÚNG ) 1. Ñònh nghóa: Thöôøng caùc noäi löïc treân caùc maët caét ngang cuûa moät thanh khoâng gioáng nhau. Bieåu ñoà noäi löïc (BÑNL) laø ñoà thò bieåu dieãn söï bieán thieân cuûa caùc noäi löïc theo vò trí cuûa caùc maët caét ngang. Hay goïi laø maêït caét bieán thieân. Nhôø vaøo BÑNL coù theå xaùc ñònh vò trí maët caét coù noäi löïc lôùn nhaát vaø trò soá noäi löïc aáy. 2. Caùch veõ BÑNL- Phöông phaùp giaûi tích: Ñeå veõ bieåu ñoà noäi löïc ta tính noäi löïc treân maët caét caét ngang ôû moät vò trí baát kyø coù hoaønh ñoä z so vôùi moät goác hoaønh ñoä naøo ñoù maø ta choïn tröôùc. Maët caét ngang chia thanh ra thaønh 2 phaàn. Xeùt söï caân baèng cuûa moät phaàn (traùi, hay phaûi) , vieát bieåu thöùc giaûi tích cuûa noäi löïc theo z Veõ ñöôøng bieåu dieãn treân heä truïc toaï ñoä coù truïc hoaønh song song vôùi truïc thanh (coøn goïi laø ñöôøng chuaån), tung ñoä cuûa bieåu ñoà noäi löïc seõ ñöôïc dieãn taû bôûi caùc ñoaïn thaúng vuoâng goùc caùc ñöôøng chuaån. Thí duï 2.2- Veõ BÑNL cuûa daàm muùt thöøa (H.2.7) Giaûi z 1 P Xeùt maët caét ngang 1-1 coù hoaønh ñoä K A B z so vôùi goác A, ta coù ( 0 ≤ z ≤ l ) Bieåu thöùc giaûi tích cuûa löïc caét Q 1 P l K vaø moâmen uoán taïi maët caét 1-1 N B M ñöôïc xaùc ñònh töø vieäc xeùt caân baèng 1 p phaàn phaûi cuûa thanh: Q z ∑Z = 0 ⇒ N = 0 Y = 0 ⇒ Q − P = 0 ⇒ Q = P ∑ y y M Pl z M ∑ = 0 ⇒M x + P(l − z) = 0 ⇒ M x = −P(l − z) O1 M Hình 2.7 Cho z bieán thieân töø 0 ñeán l, ta seõ ñöôïc bieåu ñoà noäi löïc nhö treân H.2.7. Qui öôùc:+Bieåu ñoà löïc caét Qy tung ñoä döông veõ phía treân truïc hoaønh. +Bieåu ñoà moâmen uoán Mx tung ñoä döông veõ phía döôùi truïc hoaønh. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 7
GV: Leâ Ñöùc Thanh (Tung ñoä cuûa bieåu ñoà moâmen luoân ôû veà phía thôù caêng cuûa thanh). Thí duï 2.3 – Veõ BÑNL cuûa daàm ñôn giaûn chòu taûi phaân boá ñeàu q (H.2.8a). Giaûi 1 q Phaûn löïc: Boû caùc lieân keát taïi A vaø B, A H = A B thay baèng caùc phaûn löïc ( H.2.8a). a z K 0A V ql 1 l VB ql ) 2 x ∑Z = 0 ⇒ HA =0. 1 M 2 A = ql b A z Do ñoái xöùng ⇒ VA = VB = V z 1 y N z 2 Q ) y y Noäi löïc: Choïn truïc hoaønh nhö treân Q ql + H.2.8b. Xeùt maët caét ngang 1-1 taïi K coù c 2 2 ql ql 2 hoaønh ñoä laø z, ( 0 ≤ z ≤ l ). Maët caét chia ) 8 d Mx thanh laøm hai phaàn. ) H.2.8 Xeùt caân baèng cuûa phaàn beân traùi AK (H.2.8b) Töø caùc phöông trình caân baèng ta suy ra: ⎧ ⎪∑ Z = 0 ⇒ N = 0 ⎪ z ⎪ ql l ⎨∑Y = 0 ⇒ Qy = − qz = q( − z) ⎪ 2 2 ⎪ ql qz 2 qz ⎪∑ M /O1 = 0 ⇒ M x = z − = (l − z) ⎩ 2 2 2 Qy laø haøm baäc nhaát theo z, Mx laø haøm baäc 2 theo z. Cho z bieán thieân töø 0 ñeán l ta veõ ñöôïc caùc bieåu ñoà noäi löïc (H2.8). Cuï theå: +Khi z=0 ⇒ Qy = ql/2 , Mx = 0 +Khi z=l ⇒ Qy = -ql/2 , Mx = 0 +Tìm Mx, cöïc trò baèng caùch cho ñaïo haøm dMx / dz =0, ⎧ ql l − qz =0 ⇒ z = ⎪ 2 2 dMx / dz =0 ⇔ ⎨ ql 2 ⎪⇒ M = ⎩⎪ x,maxõ 8 Qua caùc BÑNL, ta nhaän thaáy: Löïc caét Qy coù giaù trò lôùn nhaát ôû maët caét saùt goái töïa, Moâmen uoán Mx coù giaù trò cöïc ñaïi ôû giöõa daàm. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 8
GV: Leâ Ñöùc Thanh Thí duï 2.4 Veõ BÑNL cuûa daàm ñôn giaûn chòu löïc taäp trung P ( H.2.9a) . Giaûi Phaûn löïc: Caùc thaønh phaàn phaûn löïc taïi caùc goái töïa laø: Pb Pa H = 0 ; V = ; V = A A l B l Noäi löïc : Vì taûi troïng coù phöông vuoâng goùc vôùi truïc thanh neân löïc doïc Nz treân moïi maët caét ngang coù trò soá baèng khoâng. Phaân ñoaïn thanh: Vì tính lieân tuïc cuûa caùc haøm soá giaûi tích bieåu dieån caùc noäi löïc neân phaûi tính noäi löïc trong töøng ñoaïn cuûa thanh; trong moãi ñoaïn phaûi khoâng coù söï thay ñoåi ñoät ngoät cuûa ngoaïi löïc . ♦ Ñoaïn AC- Xeùt maët caét 1-1 taïi ñieåm K1 trong ñoaïn AC vaø caùch goác A moät ñoaïn z, ( 0 ≤ z ≤ a ). Khaûo saùt caân baèng cuûa phaàn beân traùi ta ñöôïc caùc bieåu thöùc giaûi tích cuûa noäi löïc: ⎧ Pb P(l − a) Q = V = = ⎪ y A l l ⎨ (a) Pb P(l − a) ⎪M = V .z = z = z ⎩⎪ x A l l P a b 1 K1 2 K2 ♦ Ñoaïn CB- Xeùt maët caét 2-2 taïi ñieåm K2 A B a) z 2 Trong ñoaïn CB caùch goác A moät ñoaïn z , ( a 1 z l VA VB 1 M x ≤ z ≤ l ). Tính noäi löïc treân maët caét 2-2 baèng M x b 1 l -z c z Q y VB ) caùch xeùt phaàn beân phaûi (ñoaïn K2B). Ta ) VA Q y P ñöôïc: Q y d + bl Pa ) Pa Q = −V = − Pa - y B l l (b) b (b)l Pa e) Mx = VB (l − z) = (l − z) l M x Töø (a) vaø (b) deã daøng veõ ñöôïc caùc bieåu H. 2.9 ñoà noäi löïc nhö H.2.9d,e. Tröôøng hôïp ñaëc bieät : Neáu a=b= L/2, khi ñoù moâmen cöïc ñaïi xaûy ra taïi giöõa daàm vaø coù giaù trò: Mmax = PL/4 Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 9
GV: Leâ Ñöùc Thanh Thí duï 2.5 Veõ BÑNL cuûa daàm ñôn giaûn chòu taùc duïng cuûa moâmen taäp trung Mo (H.2.10a.) Giaûi Phaûn löïc: Xeùt caân baèng cuûa toaøn daàm ABC ⇒ caùc phaûn löïc lieân keát taïi M A vaø B laø: H = 0 ; V = V = o , chieàu phaûn löïc nhö H.2.10a. A A B l Noäi löïc: a Ñoaïn AC: Duøng maët caét 1-1 caùch goác A Mo 1 K1 2 K2 A B moät ñoaïn z1 ;(0 ≤ z1 ≤ a ).Xeùt caân baèng cuûa z1 C a) 2 1 z2 l –z2 ñoaïn AK1 beân traùi maët caét K1 ⇒ caùc noäi löïc V A M VB ⎧ M M x1 x2 Q = −V = − o 1 2 ⎪ y1 A K1 ⎪ l A c nhö sau ⎨ (c) b) 1 2 M z1 ) o VB ⎪M = −V z = − z Q y l – z2 x1 A 1 1 VA 1 Q y ⎩⎪ l 2 z Ñoaïn CB: Duøng maët caét 2-2 trong ñoaïn d) Qy - Mo / l M CB caùch goác A moät ñoaïn z2 vôùi (a ≤ z2 ≤ l ) . o a l e) Xeùt caân baèng cuûa phaàn beân phaûi K2B ⇒ caùc Mx M bieåu thöùc noäi löïc treân maët caét 2-2 laø: o (l - a) l ⎧ M Q = −V = − o H. 2.10 ⎪ y2 B l ⎨ (d) M ⎪M = V (l − z ) = o (l − z ) Mo ⎪ x2 B 2 2 B ⎩ l a) l BÑNL ñöôïc veõ töø caùc bieåu thöùc (c), (d) cuûa noäi M M V = o V = o A l B l löïc trong hai ñoaïn (H.2.10d-e). b Q - ) y Mo / l Tröôøng hôïp ñaëc bieät: Moâmen taäp trung Mo ñaët taïi maët caét saùt goái töïa A (H.2.11). c M ) x Mo Qy vaø Mx seõ ñöôïc xaùc ñònh bôûi (d) öùng vôùi H. 2.11 a = 0. BÑNL veõ nhö H.2.11 Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 10
GV: Leâ Ñöùc Thanh Caùc nhaän xeùt : - Nôi naøo coù löïc taäp trung, bieåu ñoà löïc caét nôi ñoù coù böôùc nhaûy. Trò soá cuûa böôùc nhaûy baèng trò soá löïc taäp trung. Chieàu böôùc nhaûy theo chieàu löïc taäp trung neáu ta veõ töø traùi sang phaûi - Nôi naøo coù moâmen taäp trung, bieåu ñoà moâmen uoán nôi ñoù coù böôùc nhaûy. Trò soá cuûa böôùc nhaûy baèng trò soá moâmen taäp trung. Chieàu böôùc nhaûy theo chieàu moâmen taäp trung neáu ta veõ töø traùi sang phaûi Kieåm chöùng caùc nhaän xeùt : P0 1 2 M0 P0 Q1 M K 2 M0 M 1 Q z Δz 2 Δz 1 2 a) H. 2.12 b) Khaûo saùt ñoaïn Δz bao quanh moät ñieåm K coù taùc duïng löïc taäp trung P0 , moâmen taäp trung M0 ( H.2.12b). Vieát caùc phöông trình caân baèng ⇒ ∑Y = 0 ⇒ Q1 + P0 – Q2 = 0 ⇒ Q2 – Q1 = P0 (i) Δz Δz ∑M/K = 0 ⇒ M1 +M0 - M2 + Q1 - Q2 =0 2 2 Δz Δz Boû qua voâ cuøng beù baäc moät Q1 , Q2 , ⇒ M2 - M1 = M0 (ii) 2 2 Bieåu thöùc (i) ñaõ kieåm chöùng nhaän xeùt veà böôùc nhaûy cuûa bieåu ñoà löïc caét. Bieåu thöùc (ii) ñaõ kieåm chöùng nhaän xeùt veà böôùc nhaûy cuûa bieåu ñoà moâmen. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 11
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2.4. LIEÂN HEÄ VI PHAÂN GIÖÕA NOÄI LÖÏC VAØ TAÛI TROÏNG PHAÂN BOÁ TRONG THANH THAÚNG Xeùt moät thanh chòu taûi troïng baát kyø (H.2.13a). Taûi troïng taùc duïng treân thanh naøy laø löïc phaân boá theo chieàu daøi coù cöôøng ñoä q(z) coù chieàu döông höôùng leân (H.2.13b). 1 2 q(z) M q(z) Q o y M+x xd M M x Q + dQ z dz yy dz 1 2 a) H. 2.13 b) Khaûo saùt ñoaïn thanh vi phaân dz, giôùi haïn bôûi hai maët caét 1-1 vaø 2-2 (H.2.13b). Noäi löïc treân maët caét 1-1 laø Qy vaø Mx. Noäi löïc treân maët caét 2-2 so vôùi 1-1 ñaõ thay ñoåi moät löôïng vi phaân vaø trôû thaønh Qy + dQy; Mx + dMx . Vì dz laø raát beù neân coù theå xem taûi troïng laø phaân boá ñeàu treân ñoaïn dz. Vieát caùc phöông trình caân baèng: 1-Toång hình chieáu caùc löïc theo phöông ñöùng ∑Y = 0 ⇒ Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = 0 dQ ⇒ q(z) = y (2.4) dz Ñaïo haøm cuûa löïc caét baèng cöôøng ñoä cuûa löïc phaân boá vuoâng goùc vôùi truïc thanh. 2- Toång moâmen cuûa caùc löïc ñoái vôùi troïng taâm maët caét 2-2 ta ñöôïc: dz ∑M/o2 = 0 ⇒ Q dz + q(z) ⋅ dz ⋅ + M − (M + dM ) = 0 y 2 x x x dz2 Boû qua löôïng voâ cuøng beù baäc hai q(z) ⋅ ⇒ 2 dM x = Q (2.5) dz y Ñaïo haøm cuûa moâmen uoán taïi moät maët caét baèng löïc caét taïi maët caét ñoù d2M Töø (2.4) vaø (2.5) ⇒ x = q(z) (2.6) dz2 nghóa laø: Ñaïo haøm baäc hai cuûa moâmen uoán taïi moät ñieåm chính laø baèng cöôøng ñoä cuûa taûi troïng phaân boá taïi ñieåm ñoù. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 12
GV: Leâ Ñöùc Thanh Thí duï 2.6 Veõ BÑNL cho daàm 1 q ñôn giaûn AB chòu taùc duïng cuûa taûi q(z) o A B phaân boá baäc nhaát nhö H.2.14. a) 1 z 1 l VB VB = qo l Giaûi VA 3 M • Phaûn löïc: Giaûi phoùng lieân z x keát, ñaët caùc phaûn löïc töông öùng ôû b) 1 VA =o q 0 l Qy 6 qo l caùc goái töïa, xeùt caân baèng cuûa toaøn 3 thanh, + qol l 3 ∑X =0 ⇒ HA = 0, 6 1 l 1 Mmaz ∑ M B = 0⇒ VAl = × qol × ⇒ VA = qol 2 3 6 1 Y = 0 ⇒ V = q l ∑ B 3 o H.2.14 • Noäi löïc: Cöôøng ñoä cuûa löïc z phaân boá ôû maët caét 1-1 caùch goác A moät ñoaïn z cho bôûi: q(z)= q0 l Duøng maët caét 1-1 vaø xeùt söï caân baèng cuûa phaàn beân traùi (H.2.14b). z q l q z2 ∑Y = 0 ⇒ Q = V − q(z) = o − o (e) y A 2 6 2l 3 qol z z qol qoz ∑M/o1 = 0 ⇒ M = z − q(z) × × = z − (g) x 6 2 3 6 6l Töø (e) vaø (g) ta veõ ñöôïc bieåu ñoà löïc caét vaø moâmen cho daàm ñaõ cho. Caùc bieåu ñoà naøy coù tính chaát nhö sau: Bieåu ñoà löïc caét Qy coù daïng baäc 2. Taïi vò trí z = 0, q(z) = 0 neân ôû ñaây bieåu ñoà Qy ñaït cöïc trò: (Qy)z = 0 = Qmax = qol 6 Bieåu ñoà moâmen uoán Mx coù daïng baäc 3. Taïi vò trí z = l 3 ; Qy = 0. Vaäy taïi ñaây Mx ñaït cöïc trò: 2 qol (Mx ) l = Mmax = z= 9 3 3 Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 13
GV: Leâ Ñöùc Thanh Thí duï 2.7 Veõ BÑNL cho daàm chòu löïc toång quaùt (H.2.15) Giaûi Phaûn löïc: Giaûi phoùng lieân keát, xeùt caân baèng P = 2qa q q toaøn thanh, suy ra phaûn löïc lieân keát taïi A vaø 1 2 3 M o= qa C laø: A 2 1 B 2 C D V = 2qa VA = 2qa C HA = 0 , VA = 2qa; VC = 2qa a a a Noäi löïc: q q + a + Q a * Ñoaïn AB: Maët caét 1-1, goác A (0 ≤ z ≤ a), y - 2 xeùt caân baèng phaàn traùi q q a a2 • Mx M 2 ⎧Q1 = 2qa − qz z 1 q ⎪ 2 Q 2 ⎨ V = 1 2 a qz A 3 q ⎪M1 = 2qaz − 2qa 2 ⎩ 2 a H. 2.15 * Ñoaïn BC: Maët caét 2-2, goác A (a ≤ z ≤ 2a) vaø xeùt caân baèng phaàn traùi: M ⎧Q2 = − qa o ⎪ M2 ⎨ 3 M = − qaz + qa2 a ⎪ 2 VA Q ⎩ 2 z 2 * Ñoaïn CD: Maët caét 3-3, goác A, (2a ≤ z ≤ 3a)ø xeùt caân baèng phaàn phaûi: Q3 q ⎧Q3 = q(3a − z) ⎪ 2 (2a ≤ z ≤ 3a) ⎨ (3a − z) M3 ⎪M = − q 3a – z ⎩ 3 2 Bieåu ñoà moâmen vaø löïc caét veõ nhö H.2.15. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 14
GV: Leâ Ñöùc Thanh Thí duï 2.8 Veõ bieåu ñoà noäi löïc trong khung chòu taûi troïng nhö treân H.2.16. q – 5 a qa qa + 2 2 qa 2 P = qa K2 B z2 C N q 2 5 + + Q q – 2 a K 3 3 3 a 2qa 1 K1 1 5 q z z 3 a) 2 b 1 a A D 5 ) 2 q 3 2 q 2 HA q a 2 a q a a B a V V 5 2 A D q qa 2 5 2 3 2 Hình 2.15 q a q 2 2 a 5 a M q 2 qa q a C parabol a e 5 q 2 5 a q 2 c d a H 16 ) ) Giaûi Tính phaûn löïc lieân keát Xeùt söï caân baèng cuûa toaøn khung döôùi taùc duïng cuûa taûi troïng ngoaøi vaø caùc phaûn löïc lieân keát ta suy ra: ∑Ngang = 0 ⇒ HA = 0 a 5 M = 0 ⇒ V × a + qa × + qa2 + qa × a = 0 → V = − qa ∑ D a 2 A 2 5 ∑Ñöùng = 0 ⇒ V + V = 0 ⇒ V = + qa ( Ñuùng chieàu ñaõ choïn ) A D D 2 Vaäy chieàu thaät cuûa VA ngöôïc vôùi chieàu ñaõ choïn Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 15
GV: Leâ Ñöùc Thanh Veõ bieåu ñoà noäi löïc Ñoaïn AB: duøng maët caét 1-1 vaø xeùt caân baèng ñoaïn AK1 ta ñöôïc: N 1 ⎧ 5 M1 N = qa ⎪ 1 Q 2 K 1 ⎪ 1 Q = 2qa − qz ⎨ 1 1 (0 ≤ z1 ≤ a) z 1 ⎪ 2 qz1 A ⎪M = 2qaz − 2q 5 ⎩⎪ 1 1 2 a 2 q a Ñoaïn BC: duøng maët caét 2-2 vaø xeùt caân baèng ñoaïn ABK2 ta ñöôïc: 2 M q 2 K 2 N 2 a B z 2 Q 2 ⎧ ⎪N2 = qa ⎪ a ⎪ 5 ⎨Q2 = − qa (0 ≤ z2 ≤ a) ⎪ 2 ⎪ 5 5 M = qa2 − qaz ⎩⎪ 2 2 2 2 A 2q 5 q 2 a a Ñoaïn CD: duøng maët caét 3-3 vaø xeùt caân baèng DK3 N3 M 3 Q3 ⎧ 5 K3 N = − qa ⎪ 3 2 ⎪ Z3 ⎨Q3 = 0 (0 ≤ z3 ≤ a) ⎪M = 0 ⎪ 3 D ⎩ V = 5 q D 2 Kieåm tra söï caân baèng nuùt a Ñoái vôùi khung, coù theå kieåm tra keát quaû baèng vieäc xeùt caân baèng caùc nuùt. Neáu taùch nuùt ra khoûi heä thì ta phaûi ñaët vaøo nuùt caùc ngoaïi löïc taäp trung (neáu coù) vaø caùc noäi löïc taïi caùc maët caét, giaù trò cuûa chuùng ñöôïc laáy töø bieåu ñoà vöøa veõ. Sau khi ñaët caùc löïc treân, neáu tính ñuùng caùc noäi löïc ôû caùc nuùt thì nuùt seõ caân baèng, nghóa laø caùc phöông trình caân baèng ñöôïc thoûa maõn. Ngöôïc laïi, neáu caùc phöông trình khoâng thoûa maõn thì caùc noäi löïc tính sai. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 16
GV: Leâ Ñöùc Thanh Cuï theå ñoái vôùi khung ñang xeùt, ta taùch nuùt B vaø ñaët vaøo ñoù moâmen taäp trung qa2 vaø caùc thaønh phaàn noäi löïc treân caùc ñoaïn thanh ngang vaø ñöùng nhö H.2.16d: - Taïi maët caét treân thanh ngang coù löïc doïc +qa höôùng ra ngoaøi maët caét, löïc caét 5 qa2 2 coù chieàu höôùng leân vaø moâmen 5 qa2 2 gaây caêng thôù döôùi. - Taïi maët caét treân thanh ñöùng coù löïc doïc + 5qa 2 höôùng ra ngoaøi maët caét (höôùng xuoáng) löïc caét +qa höôùng töø phaûi sang traùi vaø moâmen 3qa2 2 gaây ra caêng thôù trong khung neân chieàu quay coù muõi teân höôùng ra ngoaøi. Ta deã daøng thaáy caùc phöông trình caân baèng thoûa maõn: ∑ X = 0 ; ∑ Y = 0 ; ∑ M/B = 0 Töông töï, taùch nuùt C vaø ñaët vaøo ñoù löïc taäp trung qa höôùng töø traùi sang phaûi vaø caùc thaønh phaàn noäi löïc treân caùc ñoaïn thanh ngang vaø ñöùng nhö H.2.16d. - Taïi maët caét treân thanh ngang coù löïc doïc +qa höôùng ra ngoaøi maët caét, löïc caét − 5qa 2 coù khuynh höôùng laøm quay phaàn ñoaïn thanh ñang xeùt ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà neân coù chieàu höôùng xuoáng, coøn moâmen thì baèng khoâng. - Taïi maët caét treân thanh thaúng ñöùng toàn taïi löïc doïc − 5qa 2 coù chieàu huôùng vaøo maët caét (höôùng leân) vaø khoâng coù löïc caét cuõng nhö moâmen. Ta deã daøng thaáy raèng caùc phöông trình caân baèng ñöôïc thoûa maõn: 5 5 X = − qa + qa = 0 ; Y = − qa + qa = 0 ; M B = 0 ∑ ∑ 2 2 ∑ Vaäy caùc nuùt B vaø C ñeàu caân baèng nghóa laø caùc heä noäi löïc taïi caùc nuùt ñuùng. Thí duï 2.9 Veõ BÑNL trong thanh cong (H.2.17) Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 17
GV: Leâ Ñöùc Thanh Giaûi Caét thanh taïi tieát dieän P A P A 1 Q 1 2P 2P R M 1-1, xaùc ñònh bôûi goùc ϕ (0 1 ϕ ϕ o R ≤ ϕ ≤ 90 ), xeùt caân baèng B N cuûa phaàn treân döôùi taùc a) b Q max =2,236P duïng cuûa caùc ngoaïi löïc ) 2P 2.12P 0,7P PR vaø caùc thaønh phaàn noäi löïc P - 1,7PR ϕo ñaët theo chieàu döông quy ϕo ϕo + o 45 öôùc nhö H.2.17b. P 2P N Q M 3PR c d e) Phöông trình caân ) ) H. 2.17 baèng hình chieáu caùc löïc theo phöông phaùp tuyeán vôùi maët caét cho: N = 2Psinϕ – Pcosϕ = P(2sinϕ – cosϕ) (a) Phöông trình caân baèng hình chieáu caùc löïc theo phöông ñöôøng kính cho: Q = 2Pcosϕ + Psinϕ = P(2cosϕ + sinϕ) (b) Phöông trình caân baèng cuûa caùc moâmen caùc löïc ñoái vôùi troïng taâm maët caét daãn ñeán: M = – 2PRsinϕ – PR(1 – cosϕ) = – PR(2sinϕ + 1 – cosϕ) (c) Cho ϕ moät vaøi trò soá ñaëc bieät vaø tính caùc trò soá noäi löïc töông öùng, ta veõ ñöôïc bieåu ñoà. dQ Löïc caét ñaït cöïc trò khi y = 0, nghóa laø khi: dϕ o -2sinϕ + cosϕ = 0 ⇒ tgϕ = 0,5 ⇒ ϕ = ϕo = 26 56’ sinϕo = 0,4472 ; cosϕo = 0,8944 Ta coù baûng noäi löïc sau: o 0 ϕ 0 ϕo 45 90 N – P 0 0,7 P 2 P Q 2 P 2,236 P 2,12 P +P M 0 - PR -1,7 PR -3PR Khi veõ caàn chuù yù ñaët caùc tung ñoä theo phöông vuoâng goùc vôùi truïc thanh, töùc laø theo phöông baùn kính nhö treân H.2.17c,d,e. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 18
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2.5 CAÙCH VEÕ BIEÅU ÑOÀ NHANH 2.5.1 Phöông phaùp veõ töøng ñieåm Döïa treân caùc lieân heä vi phaân, ta ñònh daïng caùc BÑNL tuøy theo daïng taûi troïng ñaõ cho vaø töø ñoù ta xaùc ñònh soá ñieåm caàn thieát ñeå veõ bieåu ñoà. Treân 1 ñoaïn thanh + q =0 ⇒ Q = haèng soá, M = baäc nhaát. + q = haèng ⇒ Q = baäc nhaát, M = baäc hai. . + Neáu bieåu ñoà coù daïng haèng soá , chæ caàn xaùc ñònh moät ñieåm baát kyø. + Neáu bieåu ñoà coù daïng baäc nhaát , caàn tính noäi löïc taïi hai ñieåm ñaàu vaø cuoái ñoaïn thanh. + Neáu bieåu ñoà coù daïng baäc hai trôû leân thì caàn ba giaù trò taïi ñieåm ñaàu, ñieåm cuoái vaø taïi nôi coù cöïc trò, neáu khoâng coù cöïc trò thì caàn bieát chieàu loài loõm cuûa bieåu ñoà theo daáu cuûa ñaïo haøm baäc hai. Ñoaïn thanh coù löïc phaân boá q höôùng xuoáng seõ aâm, neân beà loõm cuûa bieåu ñoà moâmen höôùng leân. Ngöôïc laïi, neáu q höôùng leân seõ döông neân beà loõm cuûa bieåu ñoà moâmen höôùng xuoáng. Toùm laïi, ñöôøng cong moâmen höùng laáy löïc phaân boá q. Thí duï 2.10: Veõ BÑNL trong daàm cho treân H.2.18 (phöông phaùp veõ ñieåm) Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 19
GV: Leâ Ñöùc Thanh Giaûi. Phaûn löïc lieân keát 3 M B = 0 ⇒ − qa2 + 2qa2 + 2qa2 − V × 2a = 0 ⇒ V = qa ∑ C C 2 5 Y = 0 ⇒ V = qa ∑ B 2 Noäi löïc M = qa2 o P = Ñoaïn AB: q=0⇒ Qy = haèng soá, q 2qa M = baäc nhaát. x a) C A B D Trong tröôøng hôïp naøy Qy laø haèng a a a (AB) 5 3 soá baèng khoâng vì QA = 0. VB = q VC = q 2 2 a a ⇒ Mx trong ñoaïn naøy seõ laø haèng soá 5 q 3 q (AB) (BA) 2 2 + 2 a MA = MB = – Mo = -qa b Q a 3 q y – 2 ) 1 a Ñoaïn BD: q= haèng ⇒ Qy = baäc 1, 2 q q 2 a Mx = baäc 2. a c Mx ⎧ 5 Q(BD) = + qa ) ⎪ B 2 Taïi B: ⎨ 2 q ⎪ (BD) 2 a ⎩M B = − M o = − qa H. 2.18 ⎧ 5 3 Q(BD) = qa − qa = qa ⎪ D 2 2 Taïi D: ⎨ 3 qa2 ⎪M (BD) = qa2 − = qa2 ⎩⎪ D 2 2 Bieåu ñoà Qy trong ñoaïn naøy khoâng coù vò trí naøo =0 ⇒ bieåu ñoà Mx khoâng coù cöïc trò. Chæ caàn noái hai giaù trò moâmen taïi B vaø D baèng ñöôøng cong baäc hai coù beà loõm sao cho höùng laáy löïc q. Ñoaïn DC: q= haèng ⇒ Qy = baäc 1, Mx = baäc 2. 1 3 qa2 Taïi D: Q(DC) = − qa ; M (DC) = qa2 − = qa2 D 2 D 2 2 3 Taïi C: Q = − V = − qa ; M = 0 C C 2 C Bieåu ñoà Qy trong ñoaïn naøy khoâng coù vò trí naøo =0 ⇒ bieåu ñoà Mx khoâng coù cöïc trò. Chæ caàn noái hai giaù trò moâmen taïi D vaø C baèng ñöôøng cong baäc hai coù beà loõm sao cho höùng laáy löïc q. Caùc bieåu ñoà löïc caét Qy vaø moâmen Mx laàn löôït ñöôïc veõ treân H.2.18b,c. Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 20
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2.5.2 Caùch aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng Khi thanh chòu taùc duïng nhieàu loaïi taûi troïng, ta coù theå veõ bieåu ñoà noäi löïc trong thanh do töøng taûi troïng rieâng leû gaây ra roài coäng ñaïi soá laïi ñeå ñöôïc keát quaû cuoái cuøng. Thí duï 10. Veõ bieåu ñoà moâ men trong daàm nhö H.2.18a baèng caùch coäng bieåu ñoà. P = 2qa q a) a b) Pa c qa2/ ) 2 d ) Pa + qa2/ 2 H.2.18 Giaûi. Taûi troïng treân thanh ñöôïc chia thaønh hai tröôøng hôïp cô baûn: + Hình 2.18b bieåu dieãn moâ men do löïc taäp trung P gaây ra + Hình 2.18c bieåu dieãn moâ men do löïc phaân boá ñeàu q gaây ra Hình 2.18dbieåu dieãn moâ men toång hôïp caàn tìm, caùc tung ñoä baèng toång ñaïi soá caùc tung ñoä taïi caùc tieát dieän töông öùng treân H.2.18b,c Baûng toùm taét daàm console , daàm ñôn giaûn, daàm ñaàu thöøa P Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 21 A B L C
GV: Leâ Ñöùc Thanh . BAØI TAÄP CHÖÔNG 2 2.1. Veõ bieåu ñoà noäi löïc cuûa caùc daàm cho treân H.2.1. P = 5 kN q = 5 kN/m q P = 2qa M = 10 kNm Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 22
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2 M = qa 1 1 1 a a m m m a) 2 b q = 2 kN/m ) P = 6qa P = 4 kN M = 16 kNm q P a 2a 1 2 1 m m m c d ) ) P = qa 2 M = 15 kNm q = 10 kN/m q M = qa P = qa P = 20 kN P 2a 3a a 1 2 2 1m m m m m e) f H.2.1 ) 2.2. Khoâng caàn tính ra phaûn löïc, veõ BÑNL cuûa caùc daàm cho treân H.2.2. 1 2 P = 2qa P = qa M = qa q q 2 2a 3a a a 4a a) b H.2.2 ) 2.3. Veõ bieåu ñoà noäi löïc nhö treân H.2.3. P = 8 kN qo = 2 kN/m q A D B C 1 1 3 a a m m m a) b H.2.3 ) 2.4. Veõ bieåu ñoà noäi löïc cuûa daàm tónh ñònh nhö treân H.2.4. 2 2 M = qa M = qa 3a a a 3a H. 2.4 Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 23
GV: Leâ Ñöùc Thanh 2.5. Veõ bieåu ñoà noäi löïc cho heä khung sau (H.2.5). q q q a P = ql 2q a , 0,75a q l a 0,75a , l l a) b H.2.5 ) 2.6. Veõ bieåu ñoà löïc doïc, moâmen uoán, moâmen xoaén cho thanh khoâng gian (H.2.6). P = qa P = qa a P = qa q a 2P a q a) H. 2.6 b ) Chöông 2: Lyù Thuyeát Noäi Löïc 24
Chöông 3. KEÙO - NEÙN ÑUÙNG TAÂM 3.1 KHAÙI NIEÄM ♦ Ñònh nghóa: Thanh ñöôïc goïi laø chòu keùo hay neùn ñuùng taâm khi treân moïi maët caét ngang cuûa Nz thanh chæ coù moät thaønh phaàn noäi löïc laø löïc doïc Nz. Y Nz > 0 khi höôùng ra ngoaøi maët caét- Keùo y H. 3.1 Nz < 0 khi höôùng vaøo trong maët caét- Neùn Ñaây laø tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn nhaát. Ta gaëp tröôøng hôïp naøy khi thanh chòu 2 löïc ôû baèng nhau vaø traùi chieàu ôû hai ñaàu doïc truïc thanh . Thanh chòu keùo ñuùng taâm (H.3.2a) hay chòu neùn ñuùng taâm (H.3.2b). P P P P a) b) H. 3.2 Ñònh nghóa thanh chòu keùo neùn ñuùng tâ ♦Thöïc teá : coù theå gaëp caùc caáu kieän chòu keùo hay neùn ñuùng taâm nhö: daây caùp trong caàn caåu (H.3.3a), oáng khoùi (H.3.3b), caùc thanh trong daøn (H.3.3c). b P Q a) b) c) H. 3.3 Moät soá caáu kieän chòu keùo neùn ñuùng taâm 1
3.2. ÖÙNG SUAÁT TREÂN MAËT CAÉT NGANG Xeùt thanh thaúng chòu keùo (neùn) ñuùng taâm (H.3.3a) caùc maët caét ngang CC vaø DD tröôùc khi thanh chòu löïc caùch nhau ñoaïn dz vaø vuoâng goùc truïc thanh. Caùc thôù doïc trong ñoaïn CD (nhö laø GH) baèng nhau (H.3.3b). Khi thanh chòu keùo (neùn), noäi löïc treân maët caét ngang DD hay baát kyø maët b caét ngang khaùc laø Nz = P (H.3.3c) thanh seõ daõn ra, maët caét DD di chuyeån doïc truïc thanh z so vôùi maët caét CC moät ñoaïn beù δdz (H.3.3b). C D P Nz P Nz C D c) a) C D D’ H G H’ x D’ dF Nz C D σz z dz δdz b) d) y Ta thaáy bieán daïng caùc thôù doïc nhö GH ñeàu baèng HH’ vaø khoâng ñoåi, maët caét ngang trong suoát quaù trình bieán daïng vaãn phaúng vaø vuoâng goùc vôùi truïc thanh, ñieàu naøy cho thaáy caùc ñieåm treân maët caét ngang chæ coù öùng suaát phaùp σz khoâng ñoåi (H.3.3d). σ σ dF = N δdz z Ta coù: ∫ z z vì ( ε z = ε z = ) F dz E Neân σz = const ta ñöôïc: σ z F = N z N hay: σ = z (3.1) z F vôùi: F- dieän tích maët caét ngang cuûa thanh. 3.3. BIEÁN DAÏNG CUÛA THANH CHÒU KEÙO (NEÙN) ÑUÙNG TAÂM 1- Bieán daïng doïc 2
Bieán daïng doïc truïc z cuûa ñoaïn daøi dz chính laø δdz (H.3.3b). δdz Nhö vaäy bieán daïng daøi töông ñoái cuûa ñoaïn dz laø: ε = (a) z dz σ Theo ñònh luaät Hooke ta coù: ε = z (b) z E trong ñoù: E - laø haèng soá tyû leä, ñöôïc goïi laø moâ ñun ñaøn hoài khi keùo (neùn), noù ⎡ löïc ⎤ 2 phuï thuoäc vaøo vaät lieäu vaø coù thöù nguyeân ⎢ 2 ⎥ , ñôn vò N/m , xaùc ⎣()chieàu daøi ⎦ ñònh töø thí nghieäm . Baûng 3.1 cho trò soá E cuûa moät soá vaät lieäu. Vaät lieäu E (kN/cm2) μ Theùp (0,15 ÷ 0,20)%C 2 x 104 0,25 ÷ 0,33 Theùp loø xo 2,2 x 104 0,25 ÷ 0,33 Theùp niken 1,9 x 104 0,25 ÷ 0,33 Gang xaùm 1,15 x 104 0,23 ÷ 0,27 Ñoàng 1,2 x 104 0,31 ÷ 0,34 Ñoàng thau (1,0 ÷1,2)104 0,31 ÷ 0,34 Nhoâm (0,7 ÷ 0,8)104 0,32 ÷ 0,36 Goã doïc thôù (0,08 ÷ 0,12)104 Cao su 0,8 0,47 T Töø (a) tính δdz, theá (b) vaøo, ta ñöôïc bieán daïng daøi doïc truïc cuûa ñoaïn dz laø: σ z N z δdz = ε z dz = dz = dz (c) E EF Suy ra bieán daïng daøi (daõn khi thanh keùo, co khi thanh neùn) cuûa ñoaïn thanh daøi L: N ΔL = ∫δdz = ∫ z dz (3.2) L L EF Neáu E, Flaø haèng soá vaø Nz cuõng khoâng ñoåi treân chieàu daøi L cuûa thanh, ta seõ ñöôïc: N N L ΔL = z ∫ dz = z (3.3) EF L EF 3
Neáu thanh goàm nhieàu ñoaïn chieàu daøi Li vaø treân moãi ñoaïn Nz, E, A khoâng ñoåi thì: N zi Li ΔL = ∑∑ΔLi = (3.3’) Ei Fi Tích soá EF goïi laø ñoä cöùng khi chòu keùo hay neùn ñuùng taâm cuûa thanh. 2- Bieán daïng ngang Theo phöông ngang thanh cuõng coù bieán daïng, ta ñaõ choïn z laø truïc thanh, x, y laø caùc phöông vuoâng goùc vôùi z (H.3.3d). Neáu ta goïi εx vaø εy laø bieán daïng daøi töông ñoái theo hai phöông x vaø y, thì ta coù quan heä sau: ε x = ε y = −νε z (3.4) trong ñoù: ν - heä soá Poisson, laø haèng soá vaät lieäu Daáu (–) trong bieåu thöùc chæ raèng bieán daïng theo phöông doïc vaø ngang ngöôïc nhau. Thí duï 3.1. Veõ bieåu ñoà doïc Nz tính öùng suaát vaø bieán daïng daøi toaøn phaàn cuûa 4 2 2 2 thanh treân H.3.4a cho bieát E = 2.10 kN/cm ; F1 = 10 cm ; F2 = 20 cm . 10 kN F2 30 cm IV 10 kN 30 cm III 20 kN 50 cm II P2=40k N F1 50 cm I 30 kN P1=30kN Nz a) b) H.3.4 Giaûi. Duøng phöông phaùp maët caét ta deã daøng veõ ñöôïc bieåu ñoà Nz (H.3.4b) Töø ñoù ta tìm ñöôïc öùng suaát treân maët caét ngang moãi ñoaïn laø: 4
I II N z 30 2 N z −10 2 σ I = = = 3 kN/cm , σ II = = = −1 kN/cm F1 10 F1 10 III IV N z −10 2 N z 10 2 σ III = = = −0,5 kN/cm , σ IV = = = 0,5 kN/cm F2 20 F2 20 Ñeå xaùc ñònh bieán daïng doïc toaøn phaàn chính laø bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa thanh ta söû duïng coâng thöùc (3.3’) aùp duïng cho boán ñoaïn cuûa thanh. 30×50 −10×50 −10×30 10×30 ΔL = + + + = 0,005 cm 2×10 4 ×10 2×10 4 ×10 2×10 4 × 20 2×10 4 × 20 Bieán daïng doïc mang daáu + nghóa laø thanh bò daøi ra. Ta coù theå tính bieán daïng baèng phöông phaùp coâïng taùc duïng. 30 × 100 + 30x60 − 40x50 - 40x60 20x30 ΔL= + + + + = 0,005cm 2 × 10 4 × 10 2 × 10 4 × 20 2 × 10 4 × 10 2 × 10 4 × 20 2x10 4 x20 3.4. ÑAËC TRÖNG CÔ HOÏC CUÛA VAÄT LIEÄU 1. Khaùi nieäm Vaán ñeà cuûa chuùng ta laø caàn phaûi so saùnh ñoä beàn, ñoä cöùng cuûa vaät lieäu khi chòu löïc vôùi öùng suaát bieán daïng cuûa vaät lieäu cuøng loaïi ñaõ bieát. Ta caàn thí nghieäm keùo, neùn ñeà tìm hieåu tính chaát chòu löïc vaø quaù trình bieán daïng töø luùc baét ñaàu chòu löïc ñeán luùc phaù hoûng cuûa caùc loaïi vaät lieäu khaùc nhau. Ngöôøi ta phaân vaät lieäu thaønh hai loaïi cô baûn: Vaät lieäu deûo, vaät lieäu doøn. Nhö vaäy coù boán thí nghieäm cô baûn sau: d0 2. Thí nghieäm keùo vaät lieäu deûo (theùp) 1- Maãu thí nghieäm Theo tieâu chuaån TCVN 197 - 85 (H.3.5) L0 Chieàu daøi Lo thí nghieäm laø ñoaïn thanh H.3.5 ñöôøng kính do, dieän tích Fo 2- Thí nghieäm Taêng löïc keùo töø 0 ñeán khi maãu ñöùt, vôùi boä phaän veõ bieåu ñoà cuûa maùy keùo, ta nhaän ñöôïc ñoà thò quan heä giöõa löïc keùo P vaø bieán daïng daøi ΔL cuûa maãu nhö H.3.6. Ngoaøi ra sau khi maãu bò ñöùt ta chaép maãu laïi, maãu seõ coù hình daùng nhö H.3.7. 3- Phaân tích keát quaû Quaù trình chòu löïc cuûa vaät lieäu coù theå chia laøm ba giai ñoaïn. Ptl OA: ñaøn hoài, P vaø ΔL baäc nhaát, Löïc lôùn nhaát laø löïc tæ leä Ptl. σ tl = (3.5) Fo 5
AD: giai ñoaïn chaûy, löïc keùo khoâng taêng nhöng bieán daïng taêng lieân tuïc. Löïc Pch keùo töông öùng laø löïc chaûy Pch vaø ta coù giôùi haïn chaûy. σ ch = (3.6) Fo DBC: giai ñoaïn cuûng coá (taùi beàn), töông quan giöõa löïc P vaø bieán daïng ΔL Pb laø ñöôøng cong. Löïc lôùn nhaát laø löïc beàn PB vaø ta coù giôùi haïn beàn. σ b = Fo (3.7) P B PB C d1, A1 D Pch Ptl A L1 H.3.7 O ΔL H.3.6 Neáu chieàu daøi maãu sau khi ñöùt (H.3.7) laø L1 vaø dieän tích maët caét ngang nôi ñöùt laø A1 thì ta coù caùc ñònh nghóa ñaëc tröng cho tính deûo cuûa vaät lieäu nhö sau: L − L Bieán daïng daøi töông ñoái (tính baèng phaàn traêm):δ = 0 1 100% (3.8) Lo F − F Ñoä thaét tyû ñoái (tính baèng phaàn traêm): ψ = o 1 100 % (3.9) Fo 4- Bieåu ñoà σ -ε (bieåu ñoà qui öôùc) Töø bieåu ñoà P-ΔL ta deã daøng suy ra bieåu ñoà töông σ quan giöõa öùng suaát σ z = P Fo vaø bieán daïng daøi töông ñoái ε = ΔL L . B z o σ b C Bieåu ñoà naøy coù hình daïng gioáng nhö bieåu ñoà P - ΔL D σch (H.3.8). Treân bieåu ñoà chæ roõ σ tl ,σ ch ,σ b vaø caû moâ ñun σtl A ñaøn hoài: σ α E = = tanα ε ε O Neáu keå ñeán söï bieán ñoåi dieän tích maët caét ngang ta H.3.8 seõ coù bieåu ñoà töông quan giöõa ε z vaø öùng suaát thöïc (ñöôøng neùt ñöùt). P 3. Thí nghieäm keùo vaät lieäu doøn Pb Ñöôøng cong thöïc Bieåu ñoà keùo vaät lieäu doøn coù daïng ñöôøng Ptl cong (H.3.9). Vaät lieäu khoâng coù giôùi haïn tyû leä Ñöôøng qui öôùc vaø giôùi haïn chaûy maø chæ coù giôùi haïn beàn. 6 O ΔL
P b (3-10) σ b = Fo Tuy vaäy ngöôøi ta cuõng qui öôùc moät giôùi haïn ñaøn hoài naøo ñoù vaø xem ñoà thò quan heä löïc keùo vaø bieán daïng laø ñöôøng thaúng (ñöôøng qui öôùc). P 4. Neùn vaät lieäu deûo d Bieåu ñoà neùn vaät lieäu h deûo nhö H.3.10a. Ta chæ xaùc ñònh ñöôïc giôùi haïn tyû b) Pch leä vaø giôùi haïn chaûy, maø Ptl khoâng xaùc ñònh ñöôïc giôùi haïn beàn do söï phình ngang cuûa maãu laøm cho dieän tích O ΔL maët caét ngang maãu lieân a) c) d) H.3.10 tuïc taêng leân. Sau thí nghieäm maãu coù daïng hình troáng (H.3.10c). 5. Neùn vaät lieäu doøn. Ñöôøng cong töông töï bieåu ñoà keùo vaät lieäu doøn. Pb. Nghieân cöùu caùc thí nghieäm keùo vaø neùn caùc vaät lieäu deûo vaø doøn, ngöôøi ta thaáy raèng: giôùi haïn chaûy cuûa vaät lieäu deûo khi keùo vaø neùn nhö nhau, coøn ñoái vôùi vaät lieäu doøn giôùi haïn beàn khi keùo beù hôn nhieàu so vôùi giôùi haïn beàn khi neùn. 3.6. THEÁ NAÊNG BIEÁN DAÏNG ÑAØN HOÀI (TNBDÑH) 1- Khaùi nieäm Xeùt thanh chòu keùo laøm vieäc trong giai ñoaïn ñaøn hoài (H.3.13a). Löïc taêng daàn töø 0 ñeán giaù trò P, thanh daõn ra töø töø ñeán giaù trò ΔL. Boû löïc, thanh veà vò trí ban ñaàu. Ngöôøi ta noùi coâng cuûa W cuûa ngoaïi löïc phaùt sinh trong quaù trình di chuyeån ñaõ chuyeån hoùa thaønh theå naêng bieán daïng ñaøn hoài U tích luõy trong thanh vaø chính theá naêng naøy laøm cho thanh ñaøn hoài sau khi khoâng taùc duïng löïc. 2- Tính theá naêng bieán P daïng ñaøn hoài P vaø ΔL bieåu dieãn P + dP A P nhö H.3.13b. Coâng cuûa L löïc P treân chuyeån dôøi ΔL. ΔL C ΔL O P ΔL dΔL 7 a) b) H.3.13
dW = (P + dP)dΔL = PdΔL + dPdΔL= PdΔL Suy ra coâng cuûa löïc keùo P taêng töø 0 ñeán P ñöôïc bieåu thò baèng dieän tích tam giaùc OAC. PΔL W = 2 PΔL 2 Coâng naøy bieán thaønh TNBD ÑH U: U = W = = P L (3.11) 2 2EF Goïi u laø TNBDÑH rieâng (theá naêng tích luõy trong moät ñôn vò theå tích), ta coù: U σ 2 σ ε u = = z = z z (3.12) V 2E 2 2 N z dz Xeùt ñoaïn thanh coù chieàu daøi dz coù noäi löïc Nz (H.3.14): dU = 2EF Suy ra theá naêng bieán daïng ñaøn hoài cuûa ñoaïn thanh daøi L, coù noäi löïc Nz laø: 2 N z dz Nz U = dU = ∫∫LL2EF N N 2 L Khi trong ñoaïn thanh z khoâng ñoåi ta coù: U = z (3.13) EF 2EF 2 N zi Li dz Vôùi nhieàu ñoaïn daøi Li ta seõ coù: U = ∑Ui = ∑ (3.13’) 2Ei Fi Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài thöôøng duøng ñeå tính chuyeån vò cuûa heä thanh. Nz H.3.14 Ví duï 3.2. Xaùc ñònh chuyeån vò ñöùng cuûa ñieåm ñaët löïc. Cho E = 20000 kN/cm2; (H.3.15a). Cho L = 200 cm; P = 300 (KN); α = 30o ; F= 10 2 cm L L Giaûi B C - Xaùc ñònh noäi löïc NAB NAC Taùch maét A (H.3.15b). Duøng hai phöông trình hình chieáu: F F ∑X = 0: NAB = NAC = N α α ∑Y = 0: 2Ncosα = P P suy ra: N = 2cosα ΔAC ΔAB A A K I a) b) P P H. 3.15 8
- Chuyeån vò ñöùng cuûa ñieåm A a) Phöông phaùp duøng caùch tính theo bieán daïng hình hoïc. Goïi ΔAB, ΔAC caùc bieán daïng cuûa ñoaïn AB, AC (H.3.15a). Töø I, K keû hai ñöôøng vuoâng goùc vôùi AB vaø AC, chuùng caét nhau ôû A’, AA’ chính laø ñoä di chuyeån cuûa ñieåm A. Tröôøng hôïp heä thanh treân vì NAB = NAC neân ΔAB = ΔAC vaø A’ naèm treân ñöôøng thaúng ñöùng keû töø A, hay AA’ chính laø chuyeån vò caàn tìm. Xeùt tam giaùc AIA’ ta coù: AI Δ AA’cosα = AI hay: AA’ = = AB cosα cosα N AB L AB PL AA’ = = 2 ()EF AB cosα 2EF cos α Vôùi P = 300 kN, E = 20000 kN/cm2, A = 10 cm2, α = 300 ta ñöôïc: AA’ = 0,4 cm b) Phöông phaùp duøng theá naêng bieán daïng ñaøn hoài Ta coù: W = U (*) Coâng ngoaïi löïc: W = 1 P.AA’ 2 N 2 L N 2 L N 2 L Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài cuûa heä:U = AB AB + AC AC = 2 2(EF) AB 2(EF) AC 2EF 2 Theá vaøo (*) ta ñöôïc: 1 P.AA’ = 2 N L 2 2EF 2 PL suy ra: AA’ = 2 N L = = 0,4 cm P EF 2EF cos2 α 3.7. ÖÙNG SUAÁT CHO PHEÙP - HEÄ SOÁ AN TOAØN - BA BAØI TOAÙN CÔ BAÛN Ta goïi öùng suaát nguy hieåm, kyù hieäu σ o , laø trò soá öùng suaát maø öùng vôùi noù vaät lieäu ñöôïc xem laø bò phaù hoaïi. Ñoái vôùi vaät lieäu deûo σ o = σ ch , ñoái vôùi vaät lieäu doøn σ o = σ b . Nhöng khi cheá taïo, vaät lieäu thöôøng khoâng ñoàng chaát hoaøn toaøn, vaø trong quaù trình söû duïng taûi troïng taùc duïng coù theå vöôït quaù taûi troïng thieát keá, ñieàu kieän laøm vieäc cuûa keát caáu hay chi tieát chöa ñöôïc xem xeùt ñaày ñuû, caùc giaû thieát khi tính toaùn chöa ñuùng vôùi söï laøm vieäc cuûa keát caáu. Vì theá ta khoâng tính toaùn theo σ o . Chuùng ta phaûi choïn moät heä soá an toaøn n lôùn hôn 1 ñeå xaùc ñònh öùng suaát cho pheùp. σ []σ = o (3.15) n Vaø duøng trò soá []σ ñeå tính toaùn. Heä soá an toaøn do nhaø nöôùc hay hoäi ñoàng kyõ thuaät cuûa nhaø maùy qui ñònh. 9
Ñeå choïn heä soá an toaøn ñöôïc chính xaùc, nhieàu khi ngöôøi ta phaûi choïn nhieàu heä soá theo rieâng töøng nguyeân nhaân daãn ñeán söï khoâng an toaøn cuûa coâng trình hay chi tieát maùy, coù theå keå ñeán: - Heä soá keå ñeán ñoä ñoàng chaát cuûa vaät lieäu - Heä soá keå ñeán söï vöôït quaù taûi troïng thieát keá - Heä soá keå ñeán söï laøm vieäc taïm thôøi hay laâu daøi Nhö vaäy muoán ñaûm baûo söï laøm vieäc an toaøn veà ñoä beàn khi thanh chòu keùo (neùn) ñuùng taâm, öùng suaát trong thanh phaûi thoûa maõn ñieàu kieän beàn laø: N σ = z ≤ []σ (3.16) z F Töø ñieàu kieän beàn, ta coù ba baøi toaùn cô baûn: N Kieåm tra beàn: σ = z ≤ []σ ± 5% z F N Choïn kích thöôùc maët caét ngang: F ≥ z ± 5% []σ Ñònh taûi troïng cho pheùp: N z ≤ [σ ]F ± 5% hay: [N z ] = []σ F Thí duï 3.4. Cho heä nhö H.3.17a. Ñònh taûi troïng cho pheùp [P] theo ñieàu kieän 2 2 2 beàn cuûa caùc thanh 1, 2, 3. Cho bieát [σ ] = 16 kN/cm , F1= 2 cm , F2= 1 cm , F3= 2 cm2. Giaûi. Tröôùc tieân ta caàn tính noäi löïc trong caùc thanh. Coâ laäp heä nhö H.3.17b. Xeùt caân baèng vôùi caùc phöông trình: o ∑X = 0 => N2 cos45 + N3 = 0 o ∑Y = 0 => –P + N1 + N2 sin45 = 0 ∑M/A = 0 => –P2a + N1a = 0 Ta ñöôïc N1 = 2P, N2 = –P 2 (neùn), N3 = P Vieát ñieàu kieän beàn cuûa caùc thanh 1, 2, 3: N 2P [σ ]F σ = 1 = ≤ []σ => P ≤ 1 = 16.2 = 16 kN 1 2 F1 F1 2 | N 2 | P 2 [σ ]F2 16.1 σ 2 = = ≤[]σ => P ≤ = = 11,3 kN F2 F2 2 2 N 3 P σ 3 = = ≤ []σ => P ≤[σ ] F3 = 16.2 = 32 Kn F3 F3 So saùnh ta ñöôïc [P] = 11,3 KN. 10
1 2 P o a) B 45 3 a a a a N P 1 N2 b) N3 H. 3.17 3.8. BAØI TOAÙN SIEÂU TÓNH Ñònh nghóa: Baøi toaùn sieâu tónh laø baøi toaùn maø chæ vôùi caùc phöông trình caân baèng tónh hoïc seõ khoâng ñuû ñeå giaûi ñöôïc taát caû caùc phaûn löïc hay noäi löïc trong heä. Caùch giaûi. Caàn tìm theâm caùc phöông trình dieãn taû ñieàu kieän bieán daïng cuûa heä sao cho coäng soá phöông trình naøy vôùi caùc phöông trình caân baèng tónh hoïc vöøa ñuû baèng soá aån soá phaûn löïc, noäi löïc caàn tìm. Thí duï 3.5. Xeùt thanh chòu löïc nhö H.3.18a. ÔÛ hai ngaøm coù hai phaûn löïc VA vaø VB. Ta coù phöông trình caân baèng: VA + VB – P = 0 (a) Phöông trình naøy coù hai aån, muoán giaûi ñöôïc ta phaûi tìm theâm phöông trình ñieàu kieän bieán daïng cuûa thanh. Töôûng töôïng boû ngaøm B vaø thay baèng phaûn löïc VB (H.3.18b). Ñieàu kieän bieán daïng cuûa heä laø: ΔL = ΔBA = ΔBC + ΔCA = 0 (b) Goïi NBC vaø NCA laø noäi löïc treân caùc maët caét cuûa caùc ñoaïn BC vaø CA ta seõ ñöôïc: N L N L ΔL = BC BC + CA CA = 0 (c) EF EF − VB b (−VB + P)a vôùi NBC = −VB ; NCA = −VB + P, (c) trôû thaønh: + = 0 EF EF Pa suy ra: VB = a + b Ta ñaõ tính ñöôïc phaûn löïc VB, baøi toaùn trôû thaønh baøi toaùn tónh ñònh bình thöôøng 11
VA A A a a C C P P b b B B VB VB a) b) H.3.18 Thí duï 3.6. Xeùt heä goàm ba thanh treo löïc P (H.3.19a) haõy tính noäi löïc trong caùc thanh treo. Giaûi. Ta coù hai phöông trình caân baèng ( taùch nuùt A): ∑X = NAB sin α + NAD sin α = 0 (a) ∑Y = –P + NAB cosα + NAC + NAD cosα = 0 (b) Ñeå giaûi ba aån soá noäi löïc ta caàn theâm moät phöông trình ñieàu kieän bieán daïng. Xeùt heä thanh sau khi chòu löïc. Vì ñoái xöùng neân ñieåm A di chuyeån theo phöông AC ñeán A’. Töø A keû ñöôøng AI vaø AK laàn löôït vuoâng goùc vôùi A’B vaø A’D. Bieán daïng nhoû neân goùc A’BA vaø A’DA voâ cuøng beù vaø goùc BA’C vaø DA’C vaãn α. Suy ra IA’ laø ñoä daõn daøi cuûa AB vaø töông töï KA’ laø ñoä daõn daøi cuûa AD. Ngoaøi ra AA’ cuõng chính laø ñoä daõn daøi cuûa AC Xeùt tam giaùc A’IA vaø A’KA ta coù lieân heä: IA‘ = KA’ = AA’cosα ( c ) N L N L N L Thay IA’ = AB ; KA’ = AD ; AA’ = AC vaøo (c) roài vaøo (a) vaø (b) ta EF cosα EF cosα EF P cos 2 α P seõ ñöôïcNAB = NAD = ; NAC = 1 + 2 cos 3 α 1 + 2 cos 3 α NAC N NAB AD B C D EA EA L EA α α A x A I K P A’ a) P b) y 12 H.3.19
Thí du ï3.7. Cho thanh ABC tuyeät ñoái cöùng lieân keát khôùp taïi A ñöôïc treo bôûi daây CD coù tieát dieän F vaø coù chieàu daøi L nhö hình veõ. 1/ Tính noäi löïc cuûa CD. 2/ Tính [q] theo ñieàu kieän beàn cuûa thanh CD . 2 2 Cho bieát [σ ] = 16 kN/cm , L=2m F1= 2 cm . 3/ Tính chuyeån vò ñöùng cuûa ñieåm C . Cho E = 20000 kN/cm2 4/ Baây giôø theâm thanh choáng BH hay thanh treo CH (neùt chaám) . Tính laïi noäi löïc cuûa caùc thanh choáng CD vaøBH . H D D F A EF 2 2L 2 30 L M = 2qL 2qL qL q P=2ql C B B C A A L L 1.5EF L A L H L L/2 L/2 Cho q =10kN/m, L = 1m , F = 1.5cm 2 , E=20000kN/cm 2 , [σ ] = 16 kN/cm2 -Kieåm tra beàn thanh CD. -Tính chuyeån vò ñöùng cuûa ñieåm C 13
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ Chöông 4 TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT 4.1 NHÖÕNG KHAÙI NIEÄM VEÀ TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT. 4.1.1 TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT (TTÖS)TAÏI MOÄT ÑIEÅM. Xeùt moät ñieåm K trong moät vaät theå caân y baèng vaø caùc maët caét qua K, treân caùc maët P1 P2 caét aáy coù caùc öùng suaát phaùp σ vaø öùng suaát τ σ tieáp τ. Caùc öùng suaát naøy thay ñoåi tuøy vò trí K • P3 maët caét (H.4.1). P4 Ñònh nghóa TTÖÙS: TTÖS taïi moät ñieåm x laø taäp hôïp taát caûû nhöõng öùng suaát treân caùc z H.4.1. ÖÙng suaát taïi moät ñieåm maët ñi qua ñieåm aáyù. TTÖS taïi moät ñieåm ñaëc tröng cho möùc ñoä chòu löïc cuûa vaät theå taïi ñieåm ñoù. Nghieân cöùu TTÖS laø tìm ñaëc ñieåm vaø lieân heä giöõa caùc öùng suaát σ , τ, xaùc ñònh öùng suaát lôùn nhaát, nhoû nhaát ñeå tính toaùn ñoä beàn hay giaûi thích, ñoaùn bieát daïng phaù hoûng cuûa vaät theå chòu löïc. 4.1.2 Bieåu dieãn TTÖS taïi moät ñieåm y Töôûng töôïng taùch moät phaân toá hình σ y τ yx hoäp voâ cuøng beù bao quanh ñieåm K. Caùc τ yz τ xy maët phaân toá song song vôùi caùc truïc toaï τ zy σ x ñoä (H 4.2). τ σ z τ zx xz Treân caùc maët cuûa phaân toá seõ coù chín x thaønh phaàn öùng suaát: z H.4.2 +Ba öùng suaát phaùp: σ , σ , σ x y z Caùc thaønh phaàn öùng suaát +Saùu öùng suaát tieáp. τxy , τyx , τxz , τzx , τyz , τzy , ÖÙng suaát phaùp σ coù 1 chæ soá chæ phöông phaùp tuyeán maët coù σ . ÖÙng suaát tieáp τ coù hai chæ soá: Chæ soá thöù nhaát chæ phöông phaùp tuyeán cuûa maët caét coù τ, chæ soá thöù hai chæ phöông cuûa τ. ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 1
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ 4.1.3 Ñònh luaät ñoái öùng cuûa öùng suaát tieáp Treân hai maët vuoâng goùc, neáu maët naày coù öùng suaát tieáp höôùng vaøo caïnh ( höôùng ra khoûi caïnh ) thì maët kia cuõng coù öùng suaát tieáp höôùng vaøo caïnh ( höôùng ra khoûi caïnh ), trò soá hai öùng suaát baèng nhau ( H.4.3) ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; ⎮τxz⎮=⎮τzx⎮ ; ⎮τyz ⎮ =⎮τzy ⎮ (4.1) TTÖÙS taïi moät ñieåm coøn 6 thaønh phaàn öùng suaát τ τ 4.1.4 Maët chính, phöông chính vaø öùng suaát chính. Phaân loaïi TTÖS Lyù thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh raèng taïi moät ñieåm baát kyø cuûa vaät theå chòu löïc luoân tìm ñöôïc moät phaân toá hình hoäp vuoâng goùc maø treân caùc maët cuûa phaân toá ñoù chæ coù öùng suaát phaùp, maø khoâng coù öùng suaát tieáp (H4.4a). Nhöõng maët ñoù goïi laø maët chính. Phaùp tuyeán cuûa maët chính goïi laø phöông chính. ÖÙng suaát phaùp treân maët chính goïi laø öùng suaát chính vaø kyù hieäu laø: σ1 , σ2 vaø σ3. Quy öôùc: σ1 > σ2 > σ3. Thí duï : 2 σ1 = 200 N/cm ; 2 σ2 = −400 N/cm ; 2 σ3 = −500 N/cm a) Phaân loaïi TTÖS : b) c) H. 4.4 Caùc loaïi traïng thaùi öùng suaát - TTÖS khoái : Ba öùng suaát chính khaùc khoâng (H.4.4a). - TTÖS phaúng: Hai öùng suaát chính khaùc khoâng (H.4.4b). - TTÖS ñôn: Moät öùng suaát chính khaùc khoâng (H.4.4c). ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 2
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ TTÖS khoái vaø TTÖS phaúng goïi laø TTÖS phöùc taïp. 4.2 TTÖÙS TRONG BAØI TOAÙN PHAÚNG- PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TÍCH. 4.2.1 Caùch bieåu dieãn – Quy öoùc daáu Caùch bieåu dieån: y y σy σy σy σy u τyx τyx τyx τy x τxy σx σx σx σu α τxy σx σ σx x K σ x x τ τuv τxy xy z z σa)y b) v a) b) H. 4.5 TTÖÙS trong baøi toaùn phaúng Xeùt moät phaân toá (H.4.5a). ÖÙng suaát treân maët vuoâng goùc vôùi truïc z baèng khoâng vaø maët naøy laø moät maët chính vì coù öùng suaát tieáp baèng khoâng. Ñeå deã hình dung, ta bieåu dieãn phaân toá ñang xeùt baèng hình chieáu cuûa toaøn phaân toá leân maët phaúng Kxy (H.4.5b). Quy öôùc daáu: + σ > 0 khi gaây keùo ( höôùng ra ngoaøi maët caét) + τ > 0 khi laøm cho phaân toá quay thuaän kim ñoàng hoà Hình 4.5b bieåu dieån caùc öùng suaát > 0 (qui öôùc naày phuø hôïp vôùi baøi toaùn thanh) 4.2.2 ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng baát kyø Vaán ñeà: Xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng song song vôùi truïc z vaø coù phaùp tuyeán u taïo vôùi truïc x moät goùc α (α > 0 khi quay ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà keå töø truïc x ) (H.4.6a). Giaû thieát ñaõ bieát öùng suaát σx, σy vaø τxy. ♦ Tính σu vaø τuv : Töôûng töôïng caét phaân toá baèng maët caét nghieâng ñaõ neâu, maët caét chia phaân toá ra laøm hai phaàn, xeùt caân baèng cuûa moät phaàn phaân toá (H.4.6b) ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 3
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ y u y u σu ds σ u σx α α σx α x x τ τ xy uv τu v dy τxy τ yx v v dz τyx dx σy z σ y a) b) H.4.6 ÖÙng suaát treân maët nghieâng Treân maët nghieâng coù öùng suaát σu vaø τuv , chuùng ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình caân baèng tónh hoïc. * ∑U=0 ⇒ σ udsdz −σ xdzdycosα +τ xydzdysinα −σ ydzdxsinα +τ xydzdxcosα = 0 * ∑V=0 ⇒ τ uvdsdz −σ xdzdysinα −τ xydzdycosα + σ ydzdxcosα +τ xydzdxsinα = 0 Keå ñeán: ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; dx = ds sinα ; dy = ds cosα, 1 1 cos2 α = (1+ cos2α); sin2α = (1− cos2α) 2 2 1 sinα cosα = sin 2α 2 σ x + σ y σ x −σ y ⇒ σ u = + cos2α −τ xy sin 2α (4.2a) 2 2 σ x −σ y τ uv = + sin 2α +τ xy cos2α (4.2b) 2 ♦ Tính σ : Xeùt maët nghieâng coù phaùp v tuyeán v, vuoâng goùc maët coù phaùp tuyeán u v α + 90o u (H.4.7). Thay theá α baèng (α + 90°) vaøo (4.2a) σv τv u τu v σu , α x ⇒ öùng suaát phaùp taùc duïng treân maët coù phaùp tuyeán v: σ + σ σ − σ H. 4.7ÖÙng suaát treân x y x y σ v = − cos2α + τ xy sin 2α (4.3) 2 2 2 maët vuoâng goùc nhau Toång (4.2a) vaø (4.3), ⇒ ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 4
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ σ u + σ v = σ x + σ y (4.4) Bieåu thöùc treân cho thaáy, toång öùng suaát phaùp taùc duïng treân hai maët vuoâng goùc cuûa phaân toá öùng suaát phaúng taïi moät ñieåm laø haèng soá vaø khoâng phuï thuoäc vaøo goùc α. Ñoù laø Baát Bieán Thöù Nhaát cuûa öùng suaát phaùp Thí duï 4.1 Thanh coù dieän tích 5 cm2, chòu keùo vôùi löïc P = 40 kN. Xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng moät goùc 30o vôùi maët caét ngang (H.4.8). Giaûi ÖÙng suaát phaùp treân maët caét ngang (Chöông 3) P 40 σ = = = 8 kN/cm2 x o F 5 30 u Taùch phaân toá hình hoäp bao ñieåm K σu naèm treân maët caét ngang. K τuv P P = 40 kN 2 v Ta coùù: σ x = + 8 kN/cm ,σ y = 0 u σu Maët caét nghieâng coù phaùp tuyeán 30 σx hôïp vôùi truïc vôùi truïc x (truïc thanh) moät τuv goùc( +30o ). v H.4.8 Töø (4.2) ⇒ σ x σ x 8 o 2 σ n = + cos2α = ()1+ cos2.30 = 6 kN/cm 2 2 2 σ 8 τ = + x sin 2α = + sin 2.30o =+ 3,46 kN/cm2 uv 2 2 4.2.3 ÖÙng suaát chính - Phöông chính - ÖÙng suaát phaùp cöïc trò 1- ÖÙng suaát chính - phöông chính ( 2 ) (1 ) o α o = α o + 90 σ 2 Ngoaøi maët chính laø maët ñaõ bieát vuoâng goùc σ 1 (1) α o vôùi truïc z, hai maët chính coøn laïi laø nhöõng maët x song song vôùi truïc z (vì phaûi vuoâng goùc vôùi σ 1 maët chính ñaõ coù). σ 2 H. 4.9 ÖÙng suaát chính Maët chính laø maët coù öùng suaát tieáp = 0 ⇒ Tìm hai maët chính coøn laïi baèng caùch cho τ uv =0 ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 5
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ Neáu goïi α o laø goùc cuûa truïc x hôïp vôùi phöông chính thì ñieàu kieän ñeå tìm σ x −σ y phöông chính laø: τ =0 ⇔ + sin 2α +τ cos2α = 0 uv 2 xy 2τ xy ⇒ Phöông trình xaùc ñònh α0 : tan 2αo = − = tan β (4.5) σ x −σ y β π β β π α = ± k ⇒ α = vaø α = ± o 2 2 01 2 02 2 2 (4.5) cho thaáy coù hai giaù trò α0 sai bieät nhau 90°. Vì vaäy, coù hai maët chính vuoâng goùc vôùi nhau vaø song song vôùi truïc z. Treân moãi maët chính coù moät öùng suaát chính taùc duïng. Hai öùng suaát chính naøy cuõng laø öùng suaát phaùp cöïc trò (kyù hieäu laø σmax hay σmin ) bôûi vì dσ 2τ u = 0 ⇔ tan 2α = − xy gioáng vôùi (4.5) dz σ x −σ y Giaùù trò öùng suaát chính hay öùng suaát phaùp cöïc trò coù theå tính ñöôïc baèng caùch theá ngöôïc trò soá cuûa α trong (4.5) vaøo (4.2a). tan 2αo 1 Ñeå yù raèng: sin 2α o = ± ; cos2α o = ± 2 2 1+ tan 2αo 1+ tan 2α o 2 σ + σ ⎛σ −σ ⎞ x y ⎜ x y ⎟ 2 ⇒ σ max = σ1,3 = ± ⎜ ⎟ + τ xy (4.6) min 2 ⎝ 2 ⎠ Ta laïi thaáy σ max + σ min = σ 1 + σ 3 = σ x + σ y Thí duï 4.2 Tìm öùng suaát 2 y σ2 chính vaø phöông chính cuûa o 1 67 30’ TTÖS (H.4.10a). Ñôn vò cuûa 4 2 y 22o30’ öùng suaát laø kN/cm . σ1 x Giaûi x a) H. 4.10 b) Theo quy öôùc daáu, ta coù: 2 2 2 σ x = 4 kN/cm ; σ y = 2 kN/cm τ xy = +1 kN/cm Phöông chính xaùc ñònh töø (4.5): 2τ xy − 2 o o tan 2αo = − = = −1 ⇒ 2α o = − 45 + k180 σ x −σ y 4 − 2 (1) o (2) o ⇒ αo = − 22 30'; αo = 67 30' (i) ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 6
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ Coù 2 phöông chính ( 2 maët chính) vuoâng goùc nhau Caùc öùng suaát chính ñöôïc xaùc ñònh töø (4.6): 2 4 + 2 ⎛ 4 − 2 ⎞ ⎪⎧4,41 kN/cm2 σ = ± +1 = 3 ± 2 = max ⎜ ⎟ ⎨ 2 (ii) min 2 ⎝ 2 ⎠ ⎩⎪1,58 kN/cm Ñeå xaùc ñònh maët chính naøo töø (i) coù öùng suaát chính (ii) taùc duïng, ta (1) o duøng (4.2b), chaúng haïn vôùi α o = − 22 30' , ta coù: 4 + 2 4 − 2 σ = + cos2 (− 22o30')−1sin 2 (− 22o30') = 4,41 kN/cm2 u 2 2 2 (1) o Vaäy : σ1 = 4,41 kN/cm öùng vôùi goùc nghieâng α o = − 22 30' , 2 (2) o σ2 = 1,58 kN/cm taùc duïng treân maët coù α o = − 67 30' . Caùc maët vaø öùng suaát chính bieåu dieãn treân phaân toá ôû H.4.10b. 2- ÖÙng suaát tieáp cöïc trò Tìm öùng suaát tieáp cöïc trò vaø maët nghieâng treân ñoù coù öùng suaát tieáp cöïc dτ uv trò baèng caùch cho = 0 ( 2 ) ( 2 ) o dα α 1 = α o + 45 dτ uv = (σ −σ )cos2α − 2τ sin 2α = 0 (4.7) dα x y xy τ max σ −σ ⇔ tan2α = x y = (4.7) 2τ xy σ 1 So saùnh (4.7) vôùi (4.5) ⇒ tan 2α = − H. ÖÙng4.11 suaát tieáp cöïc trò tan 2αo (4.8) o o ⇒ 2α = 2αo ± k90 hay α = αo ± k45 ⇒ Maët coù öùng suaát tieáp cöïc trò hôïp vôùi nhöõng maët chính moät goùc 45°. Theá (4.8) vaøo (4.2b), ta ñöôïc : 2 ⎛σ −σ ⎞ σ ⎜ x y ⎟ 2 τ max =± ⎜ ⎟ +τ xy (4.9) min ⎝ 2 ⎠ τ 4.2.4 Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät TTUSphaúng ñaëc bieät 1- TTÖS phaúng ñaëc bieät H.4.12 Phaân toá treân H.4.12 coù: σ x =σ ; σ y =0; τ xy =τ Töø (4.6) ⇒ τ ___ H. 4.13 TTUS Tröôït thuaàn tuyù Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 7
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ σ 1 2 2 σ max = σ 1, 3 = ± σ + 4τ (4.10) min 2 2 Phaân toá coù 2 öùng suaát chính ( seõ gaëp ôû tröôøng hôïp thanh chòu uoán ). 2- TTÖS tröôït thuaàn tuùy (H.4.13) ÔÛ ñaây, σ x = σ y = 0; τ xy =τ ;Thay vaøo (4.6) σ3 ⇒ σ max =σ1, 3 = ±τ hay σ 1 =−σ 3 =τ (4.11) min Hai phöông chính ñöôïc xaùc ñònh theo (4.5): π π σ1 tan 2α = ∞ ⇔ α o = + k (4.12) o 4 2 Nhöõng phöông chính xieân goùc 45o vôùi truïc x vaø y. 3- Tröôøng hôïp phaân toá chính (H.4.14) H. 4.14 Phaân toá chính chæ coù σ 1 , σ 3 ,τ = 0; σ −σ Thay vaøo (4.9), ta ñöôïc: τ = ± 1 3 (4.13) max,min 2 4.3 TTÖÙS TRONG BAØI TOAÙN PHAÚNG- PHÖÔNG PHAÙP ÑOÀ THÒ. 1- Voøng troøn Mohr öùng suaát. Coâng thöùc xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng (4.2) coù theå bieåu dieãn döôùi daïng hình hoïc baèng voøng troøn Mohr. Ñeå veõ voøng troøn Mohr, ta saép xeáp laïi (4.2) nhö sau: σ + σ σ −σ σ − x y = x y cos2α −τ sin 2α (4.14) u 2 2 xy σ −σ τ = x y sin 2α +τ cos2α (4.14)’ uv 2 xy Bình phöông caû hai veá cuûa hai ñaúng thöùc treân roài coäng laïi, ta ñöôïc: 2 2 ⎛ σ + σ ⎞ ⎛ σ − σ ⎞ ⎜σ − x y ⎟ + τ 2 = ⎜ x y ⎟ + τ 2 ⎜ u ⎟ uv ⎜ ⎟ xy (4.15) τ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 σ + σ ⎛ σ − σ ⎞ R c = x y ; R2 = ⎜ x y ⎟ + τ 2 C σ Ñaët: ⎜ ⎟ xy (4.16) 2 ⎝ 2 ⎠ O 2 2 2 (4.15) thaønh: ()σ u − c + τ uv = R (4.17) Trong heä truïc toïa ñoä, vôùi truïc hoaønh σ vaø C truïc tung τ, (4.17) laø phöông trình cuûa moät H. 4.15 Voøng ñöôøng troøn coù taâm naèm treân truïc hoaønh vôùi troøn öùng suaát hoaønh ñoä laø c vaø coù baùn kính R . Nhö vaäy, caùc giaù trò öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp treân taát caû caùc maët song song vôùi ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 8
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ truïc z cuûa phaân toá ñeàu bieåu thò baèng toïa ñoä nhöõng ñieåm treân voøng troøn. Ta goïi voøng troøn bieåu thò TTÖS cuûa phaân toá laø voøng troøn öùng suaát hay voøng troøn Mohr öùng suaát cuûa phaân toá. Caùch veõ voøng troøn: (H.4.16) - Ñònh heä truïc toïa ñoä σOτ : truïc hoaønh σ // truïc x, truïc tung τ // truïc y cuûa phaân toá vaø höôùng leân treân. P τ xy -Treân truïc σ ñònh ñieåm τ σ O F C E E(σx, 0) vaø ñieåm F(σy, 0) σ Taâm C laø trung ñieåm y σ x cuûa EF Caùch veõ voøng troøn öùng suaát - Ñònh ñieåm cöïc P (σy, H.4.16 x τxy ) . - Voøng troøn taâm C, qua P laø voøng troøn Mohr caàn veõ OE + OF σ x + σ y Chöùng minh: + C laø trung ñieåm cuûa EF ⇒ OC = = = c 2 2 OE − OF σ x − σ y Trong tam giaùc vuoâng CPF: FC = = ; FP = τ 2 2 xy 2 2 2 ⎛σ −σ ⎞ ⎜ x y ⎟ 2 2 Do ñoù ⇒ CP = FC + FP = ⎜ ⎟ +τ xy = R ⎝ 2 ⎠ 2- ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 9
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ max u max M u uv P D α xy uv 2α y yx u A u B F E C G x xy uv max min y minx x u max H. 4.17 Ñònh öùng suaát treân maët nghieâng Duøng voøng troøn Mohr ñeå tìm öùng suaát treân maët caét nghieâng cuûa phaân toá coù phaùp tuyeán u hôïp vôùi truïc x moät goùc α. Caùch tìm σu ; τuv Veõ voøng troøn Mohr nhö H.4.17. Töø cöïc P veõ tia Pu // vôùi phöông u caét voøng troøn taïi ñieåm M. Hoaønh ñoä cuûa M = σu ; Tung ñoä cuûa M = τuv Chöùng minh: Kyù hieäu 2α1 laø goùc (CA,CD), 2α laø goùc (CD,CM). Hình 4.17 cho: σ x + σ y OG = OC + CG = + Rcos()2α1 + 2α 2 σ + σ = x y + Rcos2α cos2α − Rsin 2α sin 2α 2 1 1 σ − σ nhöng: Rcos2α = CE = x y ; Rsin 2α = ED = τ 1 2 1 xy σ + σ σ −σ neân: OG = x y + x y cos2α −τ sin 2α = σ 2 2 xy u Töông töï, ta coù: GM = Rsin()2α1 + 2α = Rcos2α1 sin 2α + Rsin 2α1 cos2α ⎛σ −σ ⎞ ⎜ x y ⎟ = ⎜ ⎟sin 2α + τ xy cos2α = τ uv ⎝ 2 ⎠ Ta nhaän laïi ñöôïc phöông trình (4.2) 3- Ñònh öùng suaát chính- phöông chính- ÖÙng suaát phaùp cöïc trò ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 10
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ Treân voøng troøn öùng suaát ( H.4.17) Ñieåm A coù hoaønh ñoä lôùn nhaát, tung ñoä = 0⇒ σmax = OA ; τ =0 Tia PA bieåu dieãn moät phöông chính. Ñieåm B coù hoaønh ñoä nhoû nhaát, tung ñoä = 0⇒ σmin = OB ; τ =0 Tia PB bieåu dieãn phöông chính thöù hai. 4- Ñònh öùng suaát tieáp cöïc trò Treân voøng troøn (H.4.17): hai ñieåm I vaø J laø nhöõng ñieåm coù tung ñoä τ lôùn vaø nhoû nhaát. Do ñoù, tia PI vaø PJ xaùc ñònh phaùp tuyeán cuûa nhöõng maët treân ñoù coù öùng suaát tieáp cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu. Nhöõng maët naøy taïo vôùi nhöõng maët chính moät goùc 45o. ÖÙng suaát tieáp cöïc trò coù trò soá baèng baùn kính ñöôøng troøn. ÖÙùng suaát phaùp treân maët coù öùng suaát tieáp cöïc trò coù giaù trò baèng hoaønh ñoä ñieåm C, töùc laø giaù trò trung bình cuûa öùng suaát phaùp: σ + σ x y τ σ tb = 2 P B A σ 5- Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät σ σ O C E τ - TTÖS phaúng ñaëc bieät max τ σ a) σ b) Phaân toá coù hai öùng suaát min H. 4.18 TTÖÙS phaúng ñaëc bieät vaø voøng Morh chính σ 1 vaø σ 3 (H.4.18). τ - TTÖS tröôït thuaàn tuùy τ P Phaân toá coù 2 öùng suaát chính: τ A σ B C σ 1 = −σ 3 = |τ | τ Caùc phöông chính xieân goùc σmax = σ = - τ min τ 45o vôùi truïc x vaø y (H.4.19) H. 4.19TTÖÙS tröôït thuaàn tuùy vaø voøng Morh σ 2 τ max τ - TTÖS chính ( H.4.20) max τ B A σ P C σ1 σ1 −σ 2 τ max,min = ± σ 2 2 min σ τ 1 H. 4.20 TTÖÙS CHÍNH- Voøng Morh Thí duï 4.3 Phaân toá ôû TTÖS phaúng (H.4.21),caùc öùng suaát tính theo ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 11
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ kN/cm2. Duøng voøng troøn Mohr, xaùc ñònh: a) ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng α = 45o b) ÖÙng suaát chính vaø phöông chính c) ÖÙng suaát tieáp cöïc trò. τ o ' τmax 161 36 o I 71 36 o u D 45 σ u (3) o P α = 26 36’ o o 5 45 τ uv B C A σ y F -5 -2 O 1 3 (1) o 4 σ3 -7 αo = - 67 24’ 1 3 x M 4 σ1 D’ σu 5 τu v J H. 4.21 τmin Giaûi. Theo quy öôùc ta coù: 2 2 2 σ x = − 5 kN/cm ; σ y = 1 kN/cm ; τ xy = + 4 kN/cm ⎛ − 5 +1 ⎞ ♦Taâm voøng troøn ôû C ⎜ ,0⎟ . ⎝ 2 ⎠ ♦ Cöïc P(1, + 4). Töø P veõ tia song song vôùi truïc u caét voøng troøn Mohr taïi M. Toïa ñoä ñieåm M bieåu thò öùng suaát treân maët caét nghieâng vôùi α = 45o : 2 2 σ u = −6 kN/cm ; τ uv =−3 kN/cm ♦Hoaønh ñoä A vaø B bieåu thò öùng suaát chính coù giaù trò baèng: 2 2 σ1 = σ A = 3 kN/cm ; σ 3 = σ B = −7 kN/cm Hai phöông chính xaùc ñònh bôûi goùc αo: (1) o (3) o αo = − 67 42'; αo = 26 36' ♦Tung ñoä I vaø J coù giaù trò baèng öùng suaát tieáp cöïc trò: 2 2 τ max = 5 kN/cm ; τ min = −5 kN/cm Caùc öùng suaát naøy taùc duïng leân caùc maët, töông öùng vôùi caùc goùc (1) o (2) o nghieâng: α1 = 71 36'; α1 = 161 36' ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 12
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ 4.3 BIEÅU DIEÃN HÌNH HOÏC TTÖS KHOÁI II σ σ2 2 2 y σ2 σ σ σ σ τ σ1 1 1 x 1 σ τ σ τ I σ1 σ3 z 3 σ σ3 σ 2 σ2 σ III H. 4.23TTÖÙS khoái vaø caùc maët // truïc chính H.4.22. TTÖS khoái vôùi maët caét nghieâng baát kyø ♦ Toång quaùt, TTÖS taïi moät ñieåm laø TTÖS khoái (H.4.22). ♦ Xeùt nhöõng maët // moät phöông chính ( thí duï phöông III) , öùng suaát chính σ3 khoâng aûnh höôûng ñeán σ, τ treân caùc maët naøy (H.4.23). ⇒ coù theå nghieân cöùu öùng suaát treân nhöõng maët naøy töông töï TTÖS phaúng. Veõ voøng troøn öùng suaát bieåu τ dieån caùc öùng suaát treân maët nghieâng τmax, τmax, naøy (voøng troøn soá 3 treân H.4.24) . τmax,3 Töø voøng troøn naøy, ta thaáy treân 3 σ nhöõng maët song song vôùi phöông Ο σ σ2 σ 3O 1 2 σ1 1 chính III coù maët coù öùng suaát tieáp cöïc 2 σ 1 −σ 2 ñaïi (kyù hieäu τmax,3) , τ max,3 = 2 τ H.4.24 ♦ Töông töï, ñoái vôùi nhöõng maët Ba voøng troøn Mohr öùng suaát song song vôùi phöông chính thöù I vaø thöù II, ta cuõng veõ ñöôïc caùc voøng troøn öùng suaát (Voøng troøn soá 1 vaø voøng troøn soá 2) (H.4.24). ♦ Lyù thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh raèng giaù trò cuûa σ vaø τ treân moät maët baát kyø cuûa moät phaân toá trong TTÖS khoái coù theå bieåu thò baèng toïa ñoä cuûa moät ñieåm naèm trong mieàn gaïch cheùo ( H.4.24 ). ♦ Qua hình veõ, öùng suaát tieáp lôùn nhaát cuûa phaân toá bieåu thò baèng baùn kính cuûa voøng troøn lôùn nhaát, (H.4.24). σ 1 −σ 3 τ max,2 = (18) 2 ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 13
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ 4.4 LIEÂN HEÄ ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG y II 4.4.1 Ñònh luaät Hooke toång quaùt x σ2 1- Lieân heä öùng suaát phaùp vaø bieán daïng z σ1 daøi I ♦TTÖS ñôn: trong chöông 3, ñaõ coù: σ3 Ñònh luaät Hooke lieân heä giöõa öùng suaát phaùp III σ H.4.25. TTÖS khoái vaø bieán daïng daøi : ε = (4.19) E ε - bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông σ. Theo phöông vuoâng goùc vôùi σ cuõng coù bieán daïng daøi töông ñoái ε’ σ ngöôïc daáu vôùi ε: ε' = − με = − μ (4.20) E ♦ TTÖS khoái: vôùi caùc öùng suaát chính σ 1, σ2 , σ3 theo ba phöông chính I, II, III (H.4.25). Tìm bieán daïng daøi töông ñoái ε1 theo phöông I . σ1 Bieán daïng daøi theo phöông I do σ 1 gaây ra: ε (σ ) = 1 1 E σ 2 Bieán daïng daøi theo phöông I do σ 2 gaây ra: ε (σ ) = − μ 1 2 E σ 3 Bieán daïng daøi theo phöông I do σ 3 gaây ra: ε (σ ) = − μ 1 3 E Bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông I do caû ba öùng suaát σ 1, σ2 , σ3 sinh ra seõ laø toång cuûa ba bieán daïng treân: 1 ε = ε (σ ) + ε (σ ) + ε (σ ) = []σ − μ(σ + σ ) (4.21) 1 1 1 1 2 1 3 E 1 2 3 Töông töï, bieán daïng daøi töông ñoái theo hai phöông chính II , III coøn laïi: 1 ε = []σ − μ()σ −σ (4.22) 2 E 2 3 1 1 ε = []σ − μ()σ + σ (4.23) 3 E 3 1 2 ♦ TTÖS toång quaùt: Lyù thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài ñaúng höôùng, σ chæ sinh ra bieán daïng daøi maø khoâng sinh ra bieán daïng goùc , τ chæ sinh ra bieán daïng goùc maø khoâng sinh ra bieán daïng daøi. ⇒ Trong tröôøng hôïp phaân toá ôû TTÖS toång quaùt, vaãn coù ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 14
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ 1 ε = []σ − μ(σ +σ ) x E x y z (4.24) 1 ε = []σ − μ()σ +σ y E y z x 1 ε z = []σ z − μ()σ x +σ y E 2-Lieân heä giöõa öùng suaát tieáp vaø bieán daïng goùc γ ( Ñònh luaät Hooke veà tröôït) τ Phaân toá ôû TTÖS tröôït thuaàn tuyù (H.4.26). Bieán daïng goùc (goùc tröôït) γ bieåu thò ñoä thay ñoåi H. 4.26 TTÖÙS tröôït thuaàn tuyù- goùc vuoâng. Bieán daïng goùc Ñònh luaät Hooke veà tröôït: τ γ = (4.25) G trong ñoù: G - laø moâñun ñaøn hoài tröôït. Thöù nguyeân cuûa G laø [löïc/(chieàu daøi)2] vaø ñôn vò thöôøng duøng laø N/m2 hay MN/m2. E Lieân heä giöõa E, ν vaø G nhö sau: G = 2(1+ μ) (4.26) y 4.4.2 Ñònh luaät Hooke khoái II x Tính ñoä bieán ñoåi theå tích cuûa moät phaân toá hình σ2 z hoäp coù caùc caïnh baèng da1, da2 vaø da3 . σ1 Theå tích cuûa phaân toá tröôùc bieán daïng laø: I Vo = da1da2da3 σ3 Sau bieán daïng, phaân toá coù theå tích laø: III H.4.27. TTÖS khoái V1 = (da1 + Δda1)(da2 + Δda2)(da3 + Δda3) Goïi bieán daïng theå tích töông ñoái laø θ, ta coù: V1 −Vo θ = = ε1 + ε 2 + ε3 (4.27) Vo ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 15
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ Theá (4.21)(4.22),(4.23) vaøo (4.27) ⇒ 1− 2μ θ = ε1 + ε 2 + ε3 = ()σ1 + σ 2 + σ 3 (4.28) E ñaët toång öùng suaát phaùp laø: Σ = σ1 + σ2 + σ3 1− 2μ (4.28) thaønh: θ = ∑ (4.29) E coâng thöùc (4.29) ñöôïc goïi laø ñònh luaät Hooke khoái bieåu thò quan heä tuyeán tính giöõa bieán daïng theå tích töông ñoái vaø toång öùng suaát phaùp. Nhaän xeùt : ♦Töø (4.29), neáu vaät lieäu coù heä soá Poisson μ = 0,5 ( cao su), thì θ luoân luoân baèng khoâng töùc laø theå tích khoâng ñoåi döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc. ♦ Coâng thöùc treân cho thaáy θ phuï thuoäc vaøo toång öùng suaát phaùp chöù khoâng phuï thuoäc vaøo rieâng töøng öùng suaát phaùp. Nhö vaäy, neáu cuõng vôùi phaân toá aáy ta thay caùc öùng suaát chính baèng moät öùng suaát trung bình σtb coù giaù trò baèng trung bình coäng cuûa ba öùng suaát chính noùi treân: Σ σ + σ + σ σ = = 1 2 3 tb 3 3 thì bieán daïng theå tích töông ñoái cuûa phaân toá treân vaãn khoâng thay ñoåi. Thaät vaäy, vôùi nhöõng öùng suaát chính laø σtb , bieán daïng theå tích baèng: 1− 2μ 1− 2μ θ = ()σ +σ +σ = Σ 1 E tb tb tb E Keát quaû treân coù yù nghóa nhö sau: vôùi phaân toá ban ñaàu laø hình laäp phöông, trong hai tröôøng hôïp treân ta thaáy theå tích phaân toá ñeàu bieán ñoåi nhö nhau. - Tuy nhieân, trong tröôøng hôïp ñaàu khi caùc öùng suaát chính khaùc nhau, phaân toá vöøa bieán ñoåi theå tích vöøa bieán ñoåi hình daùng töùc laø trôû thaønh phaân toá hình hoäp chöõ nhaät sau khi bieán daïng. - Coøn trong tröôøng hôïp thöù hai, khi thay caùc öùng suaát chính baèng öùng suaát trung bình, phaân toá chæ bieán ñoåi veà theå tích maø khoâng bieán ñoåi hình daùng, nghóa laø sau khi bieán daïng phaân toá vaãn giöõ hình laäp phöông. - Veà maët lyù luaän, coù theå phaân phaân toá ôû TTUS khoái chòu caùc öùng suaát chính σ1 , σ2 , σ3 thaønh 2 phaân toá (H. 4.28). Phaân toá b) chæ bieán ñoåi theå tích, phaân toá c) chæ bieán ñoåi hình daùng. ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 16
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ σ 2 σtb σ2 - σtb σ 1 σtb σ1 - σtb = + σ 3 σ tb σ3 - σtb a) b) c) H.4.28 Phân tích TTUS khoái thaønh 2 TTUS 4.5 THEÁ NAÊNG BIEÁN DAÏNG ÑAØN HOÀI ♦ ÔÛ chöông 3, phaân toá ôû TTÖS ñôn (thanh bò keùo hoaëc neùn): Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài rieâng u = σε 2 (4.30) ♦ Trong TTÖS khoái, söû duïng nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng, ta coù theá naêng bieán daïng ñaøn hoài rieâng baèng: σ ε σ ε σ ε u = 1 1 + 2 2 + 3 3 (4.31) 2 2 2 thay ε1, ε2, ε3 theo ñònh luaät Hooke trong (4.21) - (4.23) vaøo , ⇒ 1 u = {}σ []σ − μ()σ + σ + σ []σ − μ()σ + σ + σ []σ − μ()σ + σ 2E 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 2 1 1 hay u = []σ 2 + σ 2 + σ 2 − 2μ()σ σ + σ σ + σ σ (4.32) 2E 1 2 3 1 2 2 3 3 1 Ta coù theå phaân tích theá naêng bieán daïng ñaøn hoài u thaønh hai thaønh phaàn: -Thaønh phaàn laøm ñoåi theå tích goïi laø theá naêng bieán ñoåi theå tích utt -Thaønh phaàn laøm ñoåi hình daùng goïi laø theá naêng bieán ñoåi hình daùng uhd Ta coù: u = utt + uhd Ñeå tính theá naêng bieán ñoåi hình daùng, ta thay caùc öùng suaát σ1, σ2 vaø σ3 baèng öùng suaát (σ1 -σtb ), (σ2 -σtb ), (σ3 -σtb ), taùc duïng leân caùc maët phaân toá. σ 2 σtb σ 2 - σ tb σ 1 σtb σ1 - σ tb = + σ 3 σtb σ3 - σtb H.4.29 Phaân tích TTÖÙS thaønh hai TTÖÙS Theá vaøo (4.32) ta coù theá naêng bieán ñoåi hình daùng baèng: 1 1− 2μ u = []σ 2 + σ 2 + σ 2 − 2ν ()σ σ + σ σ + σ σ − ()σ + σ + σ 2 hd 2E 1 2 3 1 2 2 3 3 1 6E 1 2 3 ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 17
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ 1+ μ hay : u = ()σ 2 + σ 2 + σ 2 −σ σ − σ σ −σ σ (4.33) hd 3E 1 2 3 1 2 2 3 1 3 ♦ TTÖS ñôn , thay σ1 = σ; σ2 = 0; σ3 = 0 vaøo (4.32) vaø (4.33), ta ñöôïc theá naêng rieâng vaø theá naêng bieán ñoåi hình daùng nhö sau: σ 2 1+ μ u = ; u = σ 2 (4.34 2E hd 3E Thí duï 4.4: Cho phaân toá nhö hình veõ: ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng. 0 Tính ε x ,ε y ,ε u (phöông utaïo vöùi truïc x moät goùc 30 . 4 2 0 Cho E=10 kN/cm , μ =0,34 ,α =30 αu y 2 Ta coù σ x = 6kN / cm 6kN/cm 2 2 σ y = 8kN / cm x τ = −2kN / cm 2 2kN/cm 2 α = 600 8kN/cm 2 1 1 ε = []σ − μσ = []6 − (0,34)8 = 3,28×10−4 x E x y 104 1 1 ε = []σ − μσ = []8 − (0,34)6 = 5,96×10−4 y E y yõy 104 σ xõ +σ y σ x −σ y σ = + cos2α −τ sin 2α = 9,232kN / cm 2 u 2 2 xy 1 1 2 ε u = []σ u − μσ v = [σ u − μ(σ x +σ y −σ u ]= 7,611kN / cm E E ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 18
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ Thí duï 4.5: Moät khoái laäp phöông baèng beâ toâng ñaët vöøa khít vaøo raõnh cuûa vaät theå A (tuyeät ñoái cöùng) chòu aùp suaát phaân boá ñeàu ôû maët treân P= 1kN/cm2 (H.4.11). Xaùc ñònh aùp löïc neùn vaøo vaùch raõnh, lieân heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng daøi töông ñoái theo caùc phöông. Ñoä bieán daïng theå tích tuyeät ñoái. Cho caïnh a = 5 cm; E = 8.102 kN/cm2; μ= 0,36. Choïn heä truïc nhö hình veõ.Ta coù: khoái beâ toâng ôû TTÖÙSphaúng . 2 σ x ≠ 0; σ y = −p kN/cm ; σ z = 0 y a ε z ≠0; ε y ≠ 0 ; ε x = 0 P x Ñònh luaät Hooke cho bieán daïng daøi: A z 1 ε x = [σ x − μ(σ y +σ z )]=0 H.4.11 E 2 ⇒ σ x = − μp = -(0,36×1) = −0,36 kN/cm 1 − p ε = []σ − μ(σ +σ ) = (1-η 2 ) y E y x z E 1 1 μp ε = []σ − μ(σ +σ ) = []0 - μ(-μp - p) = (1+ μ) z E z x y E E Bieán daïng theå tích tuyeät ñoái: 1− 2μ Δ =θV = []σ +σ +σ ) V v E x y z 1-(2× 0,36) = []− 0,36 −1 (5×5×5) = - 0,0559cm3 800 ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 19
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ Thíduï4.6 n Moät taám moûng coù kích thöôùc nhö treân H.4.5 τ chòu taùc duïng cuûa öùng suaát keùo σ = 30 kN/cm2 σ 15 mm theo phöông chieàu daøi cuûa taám 2 m vaø öùng suaát tieáp τ = 15 kN/cm . 25 mm a) Xaùc ñònh öùng suaát phaùp theo phöông H45 ñöôøng cheùo mn vaø phöông vuoâng goùc vôùi ñöôøng cheùo b) Tính bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa ñöôøng cheùo mn. Cho E = 2.104 kN/cm2, μ= 0,3 Δlmm .Goïi σ u = σ mm , ε u = ⇒ Δlmm = lmm ×ε u lmm 1 ε = []σ −ησ u E u v 30 + 0 30 − 0 σ = + cos600 − (−15)sin600 = 35,5kN / cm2 u 2 2 1 ε = ε = []σ − η (σ − σ ) = 1,8575 .10 −3 u mm E u u u −3 Δlu = Δlmm = 1,8575.10 × 50 = 0,093mm ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 20
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ BAØI TAÄP CHÖÔNG 4 4.1 Tìm giaù trò öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp treân maët caét AB cuûa phaân toá nhö treân H.4.1 baèng phöông phaùp giaûi tích vaø ñoà thò. Ñôn vò öùng suaát tính baèng kN/cm2. c) 2 b) A 6 B A 3 4 4 50 o 30o 60o A B B a) b) c) 4 B 6 B B 3 6 7 5 o 3 α 60 30 o A A A d) e) f) H. 4.1 σu 4.2 Treân hai maët taïo vôùi nhau moät goùc α = 60o vaø ñi 6 kN/cm2 qua moät ñieåm ôû TTÖS phaúng coù caùc öùng suaát nhö 60o treân H.4.2. Haõy tính caùc öùng suaát chính taïi ñieåm ñoù, 5 kN/cm2 öùng suaát phaùp σu vaø bieán daïng töông ñoái εu theo 3 kN/cm2 phöông u. Cho: E = 2.10 kN/cm2; μ= 0,3. H.4.2 4.3 Treân maët caét m - n ñi qua moät ñieåm trong vaät theå ôû τ TTÖS phaúng coù öùng suaát toaøn phaàn p = 3000 N/cm2, m o p öùng suaát naøy coù phöông taïo thaønh goùc 60o vôùi maët 60 caét. Treân maët vuoâng goùc vôùi maët caét ñoù chæ coù öùng 45o suaát tieáp (H.4.3). n Tính öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp treân maët caét hôïp H. 4.3 vôùi maët caét m - n moät goùc 45o. Tính öùng suaát phaùp lôùn nhaát taïi ñieåm ñoù. ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 21
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ 4.4 Taïi moät ñieåm treân beà maët cuûa vaät theå, öùng y o 3 kN/cm2 suaát taùc duïng leân phaân toá nghieâng moät goùc 30 5 kN/cm2 vôùi truïc x coù trò soá vaø höôùng nhö treân H.4.30. α = 30o a) Xaùc ñònh öùng suaát chính vaø phöông chính. x b) Xaùc ñònh öùng suaát tieáp cöïc trò vaø öùng suaát phaùp treân beà maët coù öùng suaát tieáp cöïc trò. Bieåu dieãn caùc öùng suaát ñoù treân H.4.4. H. 4.4 4.5 Moät taám moûng coù kích thöôùc nhö treân n H.4.5 chòu taùc duïng cuûa öùng suaát keùo σ τ = 30 kN/cm2 theo phöông chieàu daøi cuûa σ 15 mm taám vaø öùng suaát tieáp τ = 15 kN/cm2. m a) Xaùc ñònh öùng suaát phaùp theo phöông 25 mm ñöôøng cheùo mn vaø phöông vuoâng goùc H45 vôùi ñöôøng cheùo b) Tính bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa ñöôøng cheùo mn. Cho E = 2.104 kN/cm2, μ= 0,3. 4.6 Moät taám theùp moûng hình chöõ nhaät chòu öùng suaát phaùp phaân boá ñeàu σx vaø σy nhö treân H.4.6. Caùc taám ñieän trôû A vaø B ñöôïc gaén leân taám theo hai –4 –4 phöông x vaø y cho caùc soá ño nhö sau: εx = 4,8.10 vaø εy = 1,3.10 . 4 2 Tính σx vaø σy, bieát E = 2.10 kN/cm ; μ= 0,3. n o 45 u A B x C B 45o A O m H. 4.6 H. 4.7 4.7 Taïi moät ñieåm treân maët vaät theå chòu löïc, ngöôøi ta gaén caùc taám ñieän trôû A, B, C ñeå ño bieán daïng tyû ñoái theo caùc phöông Om, On vaø Ou (H.4.7). −4 −4 −4 Caùc soá ño thu ñöôïc: εm = −2,81.10 ; εn = −2,81.10 ; εu = 1,625.10 Xaùc ñònh öùng suaát chính, phöông chính taïi ñieåm ñoù. Cho : E = 2.104 kN/cm2 ; μ= 0,3. ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 22
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ 4.8 Taïi ñieåm A cuûa moät daàm caàu coù gaén hai tenxoâmeùt ñeå ño bieán daïng theo phöông y naèm ngang vaø phöông thaúng ñöùng (H.4.8). x A x Khi xe chaïy qua caàu, ngöôøi ta ño ñöôïc: εx y = 0,0004; εy = –0,00012.Tính öùng suaát H.4.8 phaùp theo phöông doïc vaø phöông thaúng ñöùng cuûa daàm. Cho bieát E = 2.104 kN/cm2; μ= 0,3. 4.9 Coù moät phaân toá hình hoäp coù caùc caïnh: a = 2cm; P1 b = 4 cm; c = 2 cm, chòu taùc duïng cuûa caùc löïc P1, P2 P2 treân boán maët cuûa phaân toá (xem H.4.9). Cho : P1 = 60 P2 4 2 b kN; P2 = 120 kN; E = 2.10 kN/cm ; μ= 0,3. a) Xaùc ñònh caùc bieán daïng daøi Δa, Δb, Δc cuûa caùc caïnh P1 c a, b, c vaø bieán ñoåi theå tích cuûa phaân toá hình hoäp. a b) Muoán bieán ñoåi theå tích ΔV = 0 thì phaûi ñaët theâm löïc H.4.9 phaùp tuyeán P3 baèng bao nhieâu vaøo hai maët coøn laïi? Tính τmax trong tröôøng hôïp naøy. 4.10 Moät khoái hình hoäp laøm baèng theùp coù kích thöôùc cho treân H.4.10, ñöôïc ñaët giöõa hai taám cöùng tuyeät ñoái, chòu löïc neùn P = 250 kN. Tính löïc taùc duïng töông hoã giöõa maët tieáp xuùc cuûa hình hoäp vôùi caùc taám cöùng. Cho μ= 0,3. . P y m m c c 5 0 x 1 b) 5 cm a) P H. 4.10 ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 23
GV: Leâ Ñöùc Thanh ___ 4.11 Moät khoái laäp phöông baèng beâ toâng ñaët vöøa khít raõnh cuûa vaät theå A chòu aùp suaát phaân boá ñeàu ôû maët treân P = 1 kN/cm2 (H.4.11). Xaùc ñònh aùp löïc neùn vaøo vaùch raõnh vaø ñoä bieán daïng theå tích tuyeät ñoái. Cho caïnh a = 5 cm; E = 8.102 kN/cm2; μ= 0,36. . Vaät theå A coi nhö cöùng tuyeät ñoái. 4.12 Moät taám theùp kích thöôùc a × b × c ñaët giöõa hai taám tuyeät ñoái cöùng, hai taám naøy ñöôïc lieân keát vôùi nhau baèng boán thanh nhö H.4.12. Khi taám theùp chòu aùp löïc p phaân boá treân hai maët beân thì öùng suaát keùo cuûa thanh laø bao nhieâu? Tính öùng suaát chính trong taám theùp. Cho Etaám = Ethanh vaø dieän tích F cuûa thanh. p x a x b p z y c H.4.12 ___ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 24
GV: Leâ ñöùc Thanh Thanhñg Tuaán Chöông 5 LYÙ THUYEÁT BEÀN 5.1 KHAÙI NIEÄM VEÀ LYÙTHUYEÁT BEÀN ♦ Ñieàu kieän beàn thanh chòu keùo hoaëc neùn ñuùng taâm ( chöông 3), ( TTÖÙS ñôn) : σmax = σ1 ≤ []σ k ; σmin = σ3 ≤ [σ]n ÖÙng suaát nguy hieåm cuûa vaät lieäu (σ ) σ trong ñoù, []ÖÙng suaát cho pheùp = o ; []σ = 0 Heä soá an toaøn n ÖÙng suaát nguy hieåm σ0 coù ñöôïc töø nhöõng thí nghieäm keùo (neùn) ñuùng taâm: - Ñoái vôùi vaät lieäu deûo laø giôùi haïn chaûy σch - Ñoái vôùi vaät lieäu doøn laø giôùi haïn beàn σb. ♦ Ñeå vieát ñieàu kieän beàn ôû moät ñieåm cuûa vaät theå ôû TTÖÙS phöùc taïp (phaúng hay khoái), caàn phaûi coù keát quaû thí nghieäm phaù hoûng nhöõng maãu thöû ôû TTÖÙS töông töï. Vieäc thöïc hieän nhöõng thí nghieäm nhö theá raát khoù khaên vì: - ÖÙng suaát nguy hieåm phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa caùc öùng suaát chính vaø phuï thuoäc vaøo tæ leä giöõa nhöõng öùng suaát naøy. Do ñoù phaûi thöïc hieän moät soá löôïng raát lôùn caùc thí nghieäm môùi ñaùp öùng ñöôïc tæ leä giöõa caùc öùng suaát chính coù theå gaëp trong thöïc teá - Thí nghieäm keùo, neùn theo ba chieàu caàn nhöõng thieát bò phöùc taïp, khoâng phoå bieán roäng raõi nhö thí nghieäm keùo neùn moät chieàu Vì vaäy, khoâng theå caên cöù vaøo thí nghieäm tröïc tieáp maø phaûi döïa treân caùc giaû thieát veà nguyeân nhaân gaây ra phaù hoûng cuûa vaät lieäu hay coøn goïi laø nhöõng thuyeát beàn ñeå ñaùnh giaù ñoä beàn cuûa vaät lieäu. Ñònh nghóa :Thuyeát beàn laø nhöõng giaû thuyeát veà nguyeân nhaân phaù hoaïi cuûa vaät lieäu, nhôø ñoù ñaùnh giaù ñöôïc ñoä beàn cuûa vaät lieäu ôû moïi TTÖÙS khi chæ bieát ñoä beàn cuûa vaät lieäu ôû TTÖÙS ñôn ( do thí nghieäm keùo, neùn ñuùng taâm). Nghóa laø, vôùi phaân toá ôû TTÖÙS baát kyø coù caùc öùng suaát chính σ1, σ2, σ3, ta phaûi tìm öùng suaát tính theo thuyeát beàn laø moät haøm cuûa σ1, σ2, σ3 roài so saùnh vôùi [σ]κ hay [σ]ν ôû TTÖÙS ñôn. ⇒ Ñieàu kieän beàn cuûa vaät lieäu coù theå bieåu dieãn döôùi daïng toång quaùt nhö sau: σ t =σ tñ = f ()σ1,σ 2 ,σ 3 ≤ [σ ]k ( hay σ t = f (σ1,σ 2 ,σ 3 ) ≤ [σ ]n ) σt , σtñ ñöôïc goïi laø öùng suaát tính hay öùng suaát töông ñöông. Vaán ñeà laø phaûi xaùc ñònh haøm f hay laø tìm ñöôïc thuyeát beàn töông öùng. Chöông 5: Lyù Thuyeát Beàn 1
GV: Leâ ñöùc Thanh Thanhñg Tuaán 5.2 CAÙC THUYEÁT BEÀN (TB) CÔ BAÛN 1- Thuyeát beàn öùng suaát phaùp lôùn nhaát (TB 1) ♦ Nguyeân nhaân vaät lieäu bò phaù hoûng laø do öùng suaát phaùp lôùn nhaát cuûa phaân toá ôû TTÖÙS phöùc taïp ñaït ñeán öùng suaát nguy hieåm ôû TTÖÙS ñôn. ♦ Neáu kyù hieäu: II II σ1 , σ2 , σ3 : öùng suaát chính σ2 cuûa TTÖÙS phöùc taïp σ0k σ0k hay σ0n - öùng suaát nguy σ1 σ0k hieåm veà keùo vaø neùn I I σ n - heä soá an toaøn 3 III III ⇒ Ñieàu kieän beàn theo TB 1: H.5.2. Traïng thaùi nguy σ H.5.1. TTÖÙS khoái σ = σ ≤ 0k = [σ] (5.1a) t1 1 n k hieåm cuûa TTÖÙS ñôn σ σ = σ ≤ 0n = [σ] (5.1b) t1 3 n n trong ñoù: σt1 - laø öùng suaát tính hay öùng suaát töông ñöông theo TB 1 ♦ Öu khuyeát ñieåm: TB 1, trong nhieàu tröôøng hôïp, khoâng phuø hôïp vôùi thöïc teá. Thí duï trong thí nghieäm maãu thöû chòu aùp löïc gioáng nhau theo ba phöông (aùp löïc thuûy tónh), duø aùp löïc lôùn, vaät lieäu haàu nhö khoâng bò phaù hoaïi. Nhöng theo TB 1 thì vaät lieäu seõ bò phaù hoûng khi aùp löïc ñaït tôùi giôùi haïn beàn cuûa tröôøng hôïp neùn theo moät phöông. TB 1 khoâng keå ñeán aûnh höôûng cuûa caùc öùng suaát khaùc cho neân TB naøy chæ ñuùng ñoái vôùi TTÖÙS ñôn. 2- Thuyeát beàn bieán daïng daøi töông ñoái lôùn nhaát (TB 2) ♦ Nguyeân nhaân vaät lieäu bò phaù hoûng laø do bieán daïng daøi töông ñoái lôùn nhaát cuûa phaân toá ôû TTÖÙS phöùc taïp ñaït ñeán bieán daïng daøi töông ñoái lôùn nhaát ôû traïng thaùi nguy hieåm cuûa phaân toá ôû TTÖÙS ñôn. ♦ Goïi ε1 : bieán daïng daøi töông ñoái lôùn nhaát cuûa phaân toá ôû TTÖÙS phöùc taïp ε0k : bieán daïng daøi töông ñoái ôû traïng thaùi nguy hieåm cuûa phaân toá bò keùo theo moät phöông ( TTÖÙS ñôn). Theo ñònh luaät Hooke, ta coù: 1 ε = []σ − μ()σ + σ (a) 1 E 1 2 3 σ ε = 0k (b) 0k E Chöông 5: Lyù Thuyeát Beàn 2
GV: Leâ ñöùc Thanh Thanhñg Tuaán Keát hôïp (a) vaø (b), keå ñeán heä soá an toaøn n ⇒ Ñieàu kieän beàn theo TB 2: II 1 1 σ II []σ − μ()σ + σ ≤ 0k (c) E 1 2 3 n E σ2 hay σ t 2 = σ1 − μ()σ 2 + σ 3 ≤ [σ ]k (5.2a) σ0k σ1 σ0k Ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán daïng I I co ngaén, ta coù σ3 III III σ t 2 = σ 3 − μ()σ 2 + σ 3 ≤ [σ ]k (5.2b) H.5.1. TTÖÙS khoái H.5.2. Traïng thaùi nguy ♦ Öu khuyeát ñieåm: TB bieán hieåm cuûa TTÖÙS ñôn daïng daøi töông ñoái tieán boä hôn so vôùi TB öùng suaát phaùp vì coù keå ñeán aûnh höôûng cuûa caû ba öùng suaát chính. Thöïc nghieäm cho thaáy TB naøy chæ phuø hôïp vôùi vaät lieäu doøn vaø ngaøy nay ít ñöôïc duøng trong thöïc teá. 3- Thuyeát beàn öùng suaát tieáp lôùn nhaát (TB 3) ♦ Nguyeân nhaân vaät lieäu bò phaù hoûng laø do öùng suaát tieáp lôùn nhaát cuûa phaân toá ôû TTÖÙS phöùc taïp ñaït ñeán öùng suaát tieáp lôùn nhaát ôû traïng thaùi nguy hieåm cuûa phaân toá ôû TTÖÙS ñôn. ♦ Goïi: τmax - öùng suaát tieáp lôùn nhaát cuûa phaân toá ôû TTÖÙS phöùc taïp ; τ0k - öùng suaát tieáp lôùn nhaát ôû traïng thaùi nguy hieåm cuûa phaân toá bò keùo theo moät phöông ( TTÖÙS ñôn). n – Heä soá an toaøn τ ⇒ Ñieàu kieän beàn theo TB 3: τ ≤ ok (d) max n trong ñoù, theo (4.18), chöông 4, ta coù: σ − σ σ τ = 1 3 ; τ = 0k (e) max 2 0k 2 σ − σ σ (e) vaøo (d), ⇒ 1 3 ≤ 0k 2 2n ⇒ Ñieàu kieän beàn theo TB 3: σt3 = σ1 − σ3 ≤ [σ]k (5.3) ♦ Öu khuyeát ñieåm: TB öùng suaát tieáp lôùn nhaát phuø hôïp vôùi thöïc nghieäm hôn nhieàu so vôùi hai TB 1 vaø TB 2 . Tuy khoâng keå tôùi aûnh höôûng cuûa öùng suaát chính σ2 song TB naøy toû ra khaù thích hôïp vôùi vaät lieäu deûo vaø ngaøy nay ñöôïc söû duïng nhieàu trong tính toaùn cô khí vaø xaây döïng. Noù cuõng phuø hôïp vôùi keát quaû maãu thöû chòu aùp löïc theo ba phöông. Chöông 5: Lyù Thuyeát Beàn 3
GV: Leâ ñöùc Thanh Thanhñg Tuaán 4- Thuyeát beàn theá naêng bieán ñoåi hình daùng (TB 4) ♦ Nguyeân nhaân vaät lieäu bò phaù hoûng laø do theá naêng bieán ñoåi hình daùng cuûa phaân toá ôû TTÖÙS phöùc taïp ñaït ñeán theá naêng bieán ñoåi hình daùng ôû traïng thaùi nguy hieåm cuûa phaân toá ôû TTÖÙS ñôn. ♦ Goïi: uhd - Theá naêng bieán ñoåi hình daùng cuûa phaân toá ôû TTÖÙS II II phöùc taïp σ2 (uhd)o - Theá naêng bieán σ0k σ1 σ0k ñoåi hình daùng ôû traïng thaùi nguy I I hieåm cuûa phaân toá bò keùo theo moät σ3 III phöông (ôû TTÖÙS ñôn). III H.5.1 H.5.2. Traïng thaùi nguy n – Heä soá an toaøn . TTÖÙS khoái hieåm cuûa TTÖÙS ñôn ⇒ Ñieàu kieän ñeå phaân toá ôû TTÖÙS phöùc taïp khoâng bò phaù hoûng laø beàn theo TB 4 laø: uhd < (uhd)o (g) Theo 4.5 ,chöông 4, ta ñaõ coù: 1+ν 2 2 2 uhd = ()σ1 +σ 2 +σ 3 −σ1σ 2 −σ 2σ 3 −σ 3σ1 3E (h) 1+ν ()u = σ 2 hd o 3E 0k Theá (h) vaøo (g) , laáy caên baäc hai cuûa hai veá , keå ñeùn heä soá an toaøn n ⇒ Ñieàu kieän beàn theo TB 4: 2 2 2 σ1 + σ2 + σ3 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ3σ1 ≤ [σ]k 2 2 2 hay laø: σt4 = σ1 + σ2 + σ3 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ3σ1 ≤ [σ]k (5.4) trong ñoù: σt4 - laø öùng suaát töông ñöông theo thuyeát beàn thöù tö. ♦ Öu khuyeát ñieåm: TB theá naêng bieán ñoåi hình daùng ñöôïc duøng phoå bieán trong kyõ thuaät vì khaù phuø hôïp vôùi vaät lieäu deûo. Ngaøy nay ñöôïc söû duïng nhieàu trong tính toaùn cô khí vaø xaây döïng . Chöông 5: Lyù Thuyeát Beàn 4
GV: Leâ ñöùc Thanh Thanhñg Tuaán CAÙC KEÁT QUAÛ ÑAËC BIEÄT: 1- TTÖÙS phaúng ñaëc bieät (H.5.3): σ 2 σ σ ⎛ σ ⎞ 2 τ Caùc öùng suaát chính : σ1,3 = ± ⎜ ⎟ + τ ; σ2 = 0 2 ⎝ 2 ⎠ τ a) Theo TB öùng suaát tieáp (5.3): H. 5.3 2 2 σt3 = σ1 − σ3 = σ + 4τ ≤ [σ] (5.5) Theo TB theá naêng bieán ñoåi hình daùng (5.4): 2 2 2 σt4 = σ1 + σ2 + σ3 − σ1σ3 − σ2σ1 − σ3σ2 ≤ [σ] hay: σ2 + 3τ2 ≤ [σ] (5.6) τ 2- TTÖÙS tröôït thuaàn tuùy (H.5.4): Caùc öùng suaát chính : σ1 = − σ3 = | τ|; σ2 = 0 τ Theo TB öùng suaát tieáp: σt3 = σ1 − σ3 = 2| τ| ≤ [σ] H.5.4 [σ] hay: |τ| ≤ (5.7) 2 Theo TB theá naêng bieán ñoåi hình daùng: 2 σt4 = 3τ ≤ [σ] [σ] hay: |τ| ≤ (5.8) 3 Chöông 5: Lyù Thuyeát Beàn 5
GV: Leâ ñöùc Thanh Thanhñg Tuaán 5- Thuyeát beàn veà caùc TTÖÙS giôùi haïn (TB 5 hay laø TB Mohr) TB Mohr ñöôïc xaây döïng treân cô sôû caùc keát quaû thöïc nghieäm, khaùc vôùi caùc TB tröôùc xaây döïng treân cô sôû caùc giaû thuyeát. ÔÛ chöông 4, ta ñaõ bieát moät TTÖÙS khoái vôùi ba öùng suaát chính σ1, σ2 vaø σ3 coù theå bieåu dieãn baèng ba voøng troøn Morh 1, 2 vaø 3 vôùi ñöôøng kính töông öùng laø σ2 − σ3 , σ1 − σ3 vaø σ1 − σ2 nhö Hình.4.22. Neáu vaät lieäu ôû traïng thaùi nguy hieåm thì nhöõng voøng troøn töông öùng vôùi TTÖÙS nguy hieåm ñöôïc goïi laø nhöõng voøng troøn Mohr giôùi haïn. Thöïc nghieäm cho thaáy, öùng suaát phaùp σ2 ít aûnh höôûng ñeán söï phaù hoaïi cuûa vaät lieäu neân ta chæ ñeå yù ñeán voøng troøn Mohr lôùn nhaát goïi laø voøng troøn chính xaùc ñònh bôûi ñöôøng kính σ1 − σ3. ñöôøng bao O σ C Cn k τ τ H. 5.5 Caùc voøng troøn Mohr giôùi H. 5.6 Ñöôøng bao giôùi haïn han vaø ñöôøng cong giôùihan ñôn giaûnhoùa Tieán haønh thí nghieäm cho caùc TTÖÙS khaùc nhau vaø tìm traïng thaùi giôùi haïn töông öùng cuûa chuùng, treân maët phaúng toïa ñoä σ, τ ta veõ ñöôïc moät hoï caùc ñöôøng troøn chính giôùi haïn nhö ôû H.5.5. Neáu veõ ñöôøng bao nhöõng voøng troøn ñoù ta seõ thu ñöôïc moät ñöôøng cong giôùi haïn, ñöôøng cong naøy caét truïc hoaønh ôû ñieåm töông öùng vôùi traïng thaùi coù ba öùng suaát chính laø öùng suaát keùo coù giaù trò baèng nhau. Giaû thieát raèng ñöôøng bao laø duy nhaát ñoái vôùi moãi loaïi vaät lieäu, ta nhaän thaáy neáu TTÖÙS naøo bieåu thò baèng moät voøng troøn chính naèm trong ñöôøng bao thì vaät lieäu ñaûm baûo beàn, voøng troøn chính tieáp xuùc vôùi ñöôøng bao thì TTÖÙS ñoù ôû giôùi haïn beàn coøn neáu voøng troøn chính caét qua ñöôøng bao thì vaät lieäu bò phaù hoûng. Vieäc phaûi thöïc hieän moät soá löôïng lôùn caùc thí nghieäm ñeå xaùc ñònh caùc voøng troøn giôùi haïn vaø veõ chính xaùc ñöôøng cong giôùi haïn laø khoâng ñôn giaûn.Vì vaäy, ngöôøi ta thöôøng veõ gaàn ñuùng ñöôøng bao baèng caùch döïa treân cô sôû hai voøng troøn giôùi haïn keùo vaø neùn theo moät phöông vôùi ñöôøng kính töông öùng laø [σ] k vaø [σ]n. ÔÛ ñaây, ñeå cho tieän ta thay theá caùc öùng suaát nguy hieåm σ0κ vaø σ0n baèng kyù hieäu öùng suaát cho pheùp [σ]k vaø [σ]n töùc laø ñaõ coù keå tôùi heä Chöông 5: Lyù Thuyeát Beàn 6
GV: Leâ ñöùc Thanh Thanhñg Tuaán soá an toaøn. Ñöôøng bao ñöôïc thay theá baèng ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi hai voøng troøn giôùi haïn nhö treân H.5.6. [σ]n [σ]k σ1 σ3 Cn C Ck σ M N1 1 K M N τ Traïng thaùi öùng suaát giôùi haïn vaø ñöôøng bao H. 5.7 Xeùt moät TTÖÙS khoái coù voøng troøn Mohr lôùn nhaát σ1 vaø σ3 tieáp xuùc vôùi ñöôøng bao, naèm ôû giôùi haïn veà ñoä beàn. Treân H.5.7, voøng troøn naøy ñöôïc veõ baèng ñöôøng neùt ñöùt. Sau ñaây, ta thieát laäp lieân heä giöõa nhöõng öùng suaát chính σ1 vaø σ3 vôùi caùc öùng suaát cho pheùp [σ]k vaø [σ]n. Töø hình veõ ta coù tyû leä thöùc: NN MM 1 = 1 KN1 KM1 Thay theá caùc trò soá: 1 1 NN1 = ()[[σ] n −[σ] k ; KN1 = ()[σ]n + [σ]k 2 2 1 1 MM = ()σ − σ − [σ] ; KM = ()[σ] − ()σ + σ 1 2 1 3 k 1 2 k 1 3 vaøo tyû leä thöùc treân, ta nhaän ñöôïc ñieàu kieän giôùi haïn: [σ] − [σ] σ − σ − [σ] n k = 1 3 k [σ]n + [σ]k [σ]k − ()σ1 + σ3 [σ]k hoaëc: σ1 − σ3 = [σ]k [σ]n Nhö vaäy, ñieàu kieän beàn theo TB Mohr (TB 5) ñöôïc vieát laø: σ1 − ασ3 ≤ [σ]k (5.9a) [σ] vôùi heä soá: α = k (5.9b) [σ]n Tuy boû qua aûnh höôûng cuûa öùng suaát chính σ2 vaø ñôn giaûn hoùa ñöôøng cong giôùi haïn thaønh ñöôøng thaúng, thuyeát beàn Mohr coù öu ñieåm hôn nhöõng thuyeát beàn treân vì noù khoâng döïa vaøo giaû thuyeát naøo maø caên cöù tröïc tieáp vaøo traïng thaùi giôùi haïn cuûa vaät lieäu. Thöïc teá cho thaáy TB naøy phuø hôïp vôùi vaät lieäu doøn, tuy nhieân noù cho keát quaû chính xaùc chæ khi voøng troøn giôùi haïn cuûa TTÖÙS ñang xeùt naèm trong khoaûng hai voøng troøn giôùi haïn keùo vaø neùn. Chöông 5: Lyù Thuyeát Beàn 7