Giáo trình Sức bền vật liệu (Phần 2) - Lê Đức Thanh

112 trang cucquyet12 6670

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu (Phần 2) - Lê Đức Thanh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_phan_2_le_duc_thanh.pdf

Nội dung text: Giáo trình Sức bền vật liệu (Phần 2) - Lê Đức Thanh

GV: Leâ ñöùc Thanh Chöông 9 XOAÉN THUAÀN TUÙY y Ι. KHAÙI NIEÄM M z 1- Ñònh nghóa: Thanh chòu xoaén thuaàn tuùy z khi treân caùc maët caét ngang chæ coù moät thaønh O phaàn noäi löïc laø moâmen xoaén Mz (H.9.1). x Daáu cuûa Mz : Mz > 0 khi töø ngoaøi maët caét H. 9.1 nhìn vaøo thaáy Mz quay thuaän kim ñoàng hoà Ngoaïi löïc: Goàm caùc ngaãu löïc, moâmen xoaén Mz, naèm trong maët phaúng vuoâng goùc truïc thanh. Thöïc teá: truïc truyeàn ñoäng, thanh chòu löïc khoâng gian, daàm ñôõ oâvaêng 2- Bieåu ñoà noäi löïc moâmen xoaén Mz Bieåu ñoà moâmen xoaén ñöôïc veõ baèng caùch xaùc ñònh noäi löïc theo phöông phaùp maët caét vaø ñieàu kieän caân baèng tónh hoïc: ∑M/OZ = 0. Thí duï 1: Veõ bieåu ñoà Mz cho truïc truyeàn ñoäng chòu taùc duïng cuûa ba ngaãu löïc xoaén ( moâmen xoaén) (H.9.2.a). M1=10kNm M2=7kNm M1=10kNm M3=3kNm M z A B C A a) b) 10 kNm + 3 kNm M =10kNm M =7kNm - 1 2 Mz Mz d) H.9.2 A B c) Giaûi: Thöïc hieän moät maët caét ngang trong ñoaïn AB, xeùt caân baèng phaàn traùi (H.9.2.b), deã thaáy raèng ñeå caân baèng ngoaïi löïc laø ngaãu löïc xoaén M1 , treân tieát dieän ñang xeùt phaûi coù noäi löïc laø moâmen xoaén Mz : ΣM /z = 0 ⇒ Mz – 10 = 0 ⇒ Mz = 10kNm Töông töï, caét qua ñoaïn BC, xeùt phaàn traùi (H.9.2.c): ΣM /z = 0 ⇒ Mz + 7 – 10 = 0 ⇒ Mz = 3 Moâmen taïi caùc tieát dieän cuûa hai ñoaïn ñaàu thanh baèng khoâng, bieåu ñoà noäi löïc veõ ôû H.9.2.d. Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 1
GV: Leâ ñöùc Thanh Thí duï 2: Veõ bieåu ñoà moâmen xoaén Mz (H.9.3.a) M1 = 8 kNm Giaûi: Phaân tích thaønh toång M1 = 5 kNm cuûa hai tröôøng hôïp taùc duïng a) rieâng leû ( H.9.3b vaø H.9.3c ). Mz = 5 Trong moãi tröôøng hôïp, b) + ngoaïi löïc laø moät ngaãu löïc gaây xoaén, do ñoù noäi löïc trong c) Mz = 8 thanh cuõng laø moâmen xoaén. – Bieåu ñoà noäi löïc cuûa töøng Mz = 5 + thanh veõ ngay treân H.9.3.b,c. d) – M z (kNm) Mz = 3 Bieåu ñoà Mz cuûa thanh laø toång ñaïi soá hai bieåu ñoà treân H.9.3 (H.9.3.d). Nhaän xeùt: Daáu cuûa noäi löïc laø döông khi töø ngoaøi nhìn vaøo ñaàu thanh thaáy ngoaïi löïc quay thuaän chieàu kim ñoàng hoà vaø ngöôïc laïi. 3- Coâng thöùc chuyeån ñoåi coâng suaát ñoäng cô ra ngaãu löïc xoaén (moâmen xoaén ngoaïi löïc) treân truïc Khi tính toaùn caùc truïc truyeàn ñoäng, thöôøng ta chæ bieát coâng suaát truyeàn cuûa moâtô tính baèng maõ löïc hay kiloâoùat vaø toác ñoä truïc quay baèng voøng/phuùt, do ñoù caàn chuyeån ñoåi coâng suaát truyeàn ra ngaãu löïc xoaén taùc duïng leân truïc. Giaû söû coù moät ngaãu löïc xoaén Mo (ñôn vò laø N.m) taùc duïng laøm truïc quay moät goùc α (radian) trong thôøi gian t, coâng sinh ra laø: A = Mo.α (i) A M α α coâng suaát laø: W = = o = M = M ω (ii) t t o t o trong ñoù: ω - laø vaän toác goùc (rad/s), ñôn vò cuûa coâng suaát laø N.m/s. Goïi n laø soá voøng quay cuûa truïc trong moät phuùt (voøng/phuùt), ta coù: 2πn πn ω = = (iii) 60 30 töø (ii) vaø (iii) ⇒ a) Neáu W tính baèng maõ löïc (CV, HP) ;1maõ löïc = 750N.m/s = 0,736 kW: 30W 30.750.W W M = = = 7162 (Nm) (9.1) o πn πn n b) Neáu W tính baèng kiloâwat (KW), 1 KW ≈ 1020 N.m/s: 30W 30.1020.W W M = = = 9740 (Nm) (9.2) o π.n πn n Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 2
GV: Leâ ñöùc Thanh ΙΙ. XOAÉN THUAÀN TUYÙ THANH THAÚNG TIEÁT DIEÄN TROØN Mz Mz a) b) dz H. 9.4 1- Thí nghieäm - Nhaän xeùt Laáy moät thanh thaúng tieát dieän troøn, treân maët ngoaøi coù vaïch nhöõng ñöôøng song song vaø nhöõng ñöôøng troøn thaúng goùc vôùi truïc, taïo thaønh löôùi oâ vuoâng (H.9.4.a). Taùc duïng leân hai ñaàu thanh hai ngaãu löïc xoaén Mz ngöôïc chieàu, ta thaáy truïc thanh vaãn thaúng, chieàu daøi thanh khoâng ñoåi, nhöõng ñöôøng troøn thaúng goùc vôùi truïc vaãn troøn vaø thaúng goùc vôùi truïc, nhöõng ñöôøng song song vôùi truïc thaønh nhöõng ñöôøng xoaén oác, löôùi oâ vuoâng thaønh löôùi bình haønh (H.9.4.b). 2- Caùc giaû thieát a) Maët caét ngang vaãn phaúng, thaúng goùc vôùi truïc thanh vaø khoaûng caùch khoâng ñoåi trong quaù trình bieán daïng, b) Caùc baùn kính vaãn thaúng vaø khoâng ñoåi trong quaù trình bieán daïng,. c) caùc thôù doïc khoâng eùp vaø ñaåy laån nhau trong quaù trình bieán daïng. 3- Coâng thöùc öùng suaát tieáp Mz Ta tính öùng suaát taïi moät ñieåm baát kyø treân maët ρz z caét ngang coù baùn kính ρ (H.9.1). O Coù theå nhaän thaáy, theo thí nghieäm treân, bieán H. 9.1 daïng cuûa thanh chòu xoaén thuaàn tuùy chæ laø söï xoay töông ñoái giöõa caùc maët caét ngang quanh truïc. Ñeå xeùt bieán daïng xoaén cuûa moät phaân toá taïi moät ñieåm baát kyø baùn kính trong thanh, ta taùch phaân toá baèng ba caëp maët caét nhö sau: Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 3
GV: Leâ ñöùc Thanh 1 2 z O dα τρ M z Mz B’ dϕ ρ A’ τρ z F ’’ ρ B A γ dα E D C’ G C dρ ’’’ D dρ H. 9.6 H Phaân toá tröôït thuaàn tuùy dz 1 dz 2 a) b) H. 9.5 Bieán daïng cuûa phaân toá chòu xoaén - Hai maët caét (1-1) vaø (2-2) thaúng goùc vôùi truïc caùch nhau ñoaïn dz (H.9.5.a). - Hai maët caét chöùa truïc hôïp vôùi nhau moät goùc dα beù(H.9.5.b). - Hai maët caét hình truï ñoàng truïc z (truïc thanh) baùn kính ρ vaø ρ + dρ (H.9.5.a). Theo caùc giaû thieát, trong quaù trình bieán daïng, so vôùi caùc ñieåm E, F, G, H thuoäc maët caét (1-1), caùc ñieåm A, B, C, D cuûa phaân toá treân maët caét (2-2) di chuyeån ñeán A’, B’, C’, D’ phaûi naèm treân cung troøn baùn kính ρ vaø ρ + dρ, ñoàng thôøi OA’B’ vaø OC’D’ phaûi thaúng haøng. Goïi dϕ laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng OAB vaø OA’B’, ñoù laø goùc xoay cuûa maët caét (2-2) so vôùi maët caét (1-1) quanh truïc z, dϕ cuõng chính laø goùc xoaén töông ñoái giöõa hai tieát dieän laân caän caùch nhau dz. Ñoái vôùi phaân toá ñang xeùt, goùc A’EA bieåu dieãn söï thay ñoåi goùc vuoâng cuûa maët beân phaân toá goïi laø bieán daïng tröôït (goùc tröôït) γ cuûa phaân toá. Töø (H.9.5.b), ta coù: AA′ dϕ tanγ ≈ γ = = ρ (a) EA dz Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 4
GV: Leâ ñöùc Thanh Theo giaû thieát a) khoâng coù bieán daïng daøi theo phöông doïc truïc, theo giaû thieát c) caùc thôù doïc khoâng taùc duïng vôùi nhau neân khoâng coù öùng suaát phaùp taùc duïng leân caùc maët cuûa phaân toá. Theo giaû thieát a) caùc goùc vuoâng cuûa maët CDHG vaø maët BAEF khoâng thay ñoåi neân khoâng coù öùng suaát tieáp höôùng taâm treân maët A, B, C, D. Do giaû thieát b), moïi baùn kính vaãn thaúng neân khoâng coù öùng suaát tieáp höôùng taâm treân maët A, B, E, F. Nhö vaäy, treân maët caét ngang cuûa thanh chòu xoaén thuaàn tuùy chæ toàn taïi öùng suaát tieáp theo phöông vuoâng goùc baùn kính, goïi laø τρ vaø phaân toá ñang xeùt ôû traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy (H.9.6). AÙp duïng ñònh luaät Hooke veà tröôït cho phaân toá naøy, ta coù: τρ = G γ b) (a) vaøo (b) ⇒ dϕ τ = Gρ (c) p dz Goïi dF laø moät dieän tích voâ cuøng beù bao quanh ñieåm ñang xeùt, thì τρ.dF laø löïc tieáp tuyeán taùc duïng treân dieän tích ñoù vaø τρ.dF.ρ laø moâmen cuûa löïc τρ dF ñoái vôùi taâm O. Toång caùc moâmen naøy phaûi baèng Mz, neân ta coù theå vieát: M = τ dFρ z ∫ p (d) F dϕ M = Gρ dFρ (c) vaøo (d) ⇒ z ∫ (e) F dz Vì G.dϕ/dz laø haèng soá ñoái vôùi moïi ñieåm thuoäc maët caét F, neân ta coù theå ñöa ra ngoaøi daáu tích phaân, khi ñoù tích phaân ∫ ρ 2 dF chính laø moâmen quaùn F tính cöïc Jp cuûa maët caét ngang ñoái vôùi taâm O, ta ñöôïc: dϕ dϕ M = G ρ 2dF = G J z ∫ p (f) dz F dz dϕ M töø (f) ta coù: = z (g) dz GJ ρ Coù theå thaáy raèng, dϕ/dz chính laø goùc xoaén treân moät ñôn vò chieàu daøi dϕ ( coøn goïi laø goùc xoaén tæ ñoái ) (rad/m). Ñaët θ = , ta coù: dz M θ = z (9-3) GJ ρ thay (g) vaøo (c) ta ñöôïc coâng thöùc tính öùng suaát tieáp: Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 5
GV: Leâ ñöùc Thanh M z τ ρ = ρ (9.4) J ρ ÖÙng suaát tieáp thay ñoåi theo quy luaät baäc nhaát, baèng khoâng taïi taâm O vaø cöïc ñaïi taïi nhöõng ñieåm treân chu vi. Bieåu ñoà phaân boá öùng suaát tieáp taïi moïi ñieåm treân maët caét ngang theå hieän treân H.9.7.a. Treân H.9.7.b, theå hieän öùng suaát tieáp ñoái öùng treân caùc maët caét chöùa truïc. Mz Mz ρ τ ρ O O τmax τ a) b) max H.9.7. Phaân boá öùng suaát tieáp treân maët caét Vaø öùng suaát tieáp ñoái öùng ÖÙùng suaát tieáp cöïc ñaïi ôû caùc ñieåm treân chu vi (ρ = baùn kính R) M z τ max = R J ρ J ρ ñaët: W = ; Wp goïi laø moâmen choáng xoaén cuûa maët caét ngang ρ R M z ⇒ τ max = (9.5) Wρ * Vôùi tieát dieän troøn ñaëc vaø D laø ñöôøng kính tieát dieän: J πR3 πD3 W = ρ = = ≈ 0,2D3 (9.6) ρ R 2 16 * Vôùi tieát dieän troøn roãng: J πD4 (1−η 4 ) 1 πD3 W = ρ = = (1−η 4 ) ≈ 0,2D3 (1−η 4 ) (9.7) ρ R 32 R 16 trong ñoù: η laø tyû soá giöõa ñöôøng kính trong vaø ñöôøng kính ngoaøi (η = d/D). Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 6
GV: Leâ ñöùc Thanh 4- Coâng thöùc tính bieán daïng khi xoaén M Goùc xoaén töông ñoái giöõa hai maët caét caùch nhau dz laø dϕ = z dz (g) GJ ρ ⇒ Goùc xoaén töông ñoái giöõa hai maët caét caùch nhau moät ñoaïn daøi L laø: L L M ϕ = ∫∫dϕ = z dz (9.8) o o GJ ρ M z L * Khi ñoaïn thanh coù Mz/GJp laø haèng soá ⇒ ϕ = (9.9) GJ p * Khi thanh goàm nhieàu ñoaïn, moãi ñoaïn coù Mz/GJp laø haèng soá: M z L ϕ = ∑( )i (9.10) i GJ ρ Goùc xoaén ϕ ñöôïc quy öôùc döông theo chieàu döông cuûa Mz . 5- Tính toaùn thanh troøn chòu xoaén thuaån tuyù: Ñieàu kieän beàn: τ + τ ≤ []τ = o (9.11) max n vôùi: τo - laø öùng suaát tieáp nguy hieåm cuûa vaät lieäu, xaùc ñònh töø thí nghieäm n - laø heä soá an toaøn. + Theo thuyeát beàn öùng suaát tieáp ( chöông 5 ): [σ ] τ ≤ (9.12) max 2 + Theo thuyeát beàn theá naêng bieán ñoåi hình daïng ( chöông 5 ): [σ ] τ max ≤ (9.13) 3 Ñieàu kieän cöùng: θ max ≤ [θ ] (9.14) [θ ] : Goùc xoaén tyû ñoái cho pheùp, ñöôïc cho töø caùc soå tay kyõ thuaät, ñôn vò cuûa [θ ] laø (radian/ ñôn vò chieàu daøi ) Ba baøi toaùn cô baûn: - Kieåm tra beàn, cöùng (baøi toaùn kieåm tra) - Xaùc ñònh taûi troïng cho pheùp - Xaùc ñònh ñöôøng kính (baøi toaùn thieát keá). Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 7
GV: Leâ ñöùc Thanh 6- Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài Theá naêng rieâng tích luõy trong moät ñôn vò theå tích laø: 1 u = [σ 2 +σ 2 +σ 2 − 2μ(σ σ +σ σ +σ σ )] 2E 1 2 3 1 2 2 3 3 1 Thanh chòu xoaén thuaàn tuyù, TTÖS tröôït thuaàn tuyù vôùi öùng suaát tieáp τ , neân σ1 = ⎢τ ⎢; σ2 = 0 vaø σ3 = – ⎢τ ⎢, ta ñöôïc: 1+ μ u = τ 2 (a) E ρ vôùi: E = 2 G/(1 + μ), thay vaøo (a), ta ñöôïc: 1 τ 2 u = ρ (b) 2 G Theá naêng tích luõy trong moät ñoaïn dz laø: dU = ∫udV = ∫udFdz (c) V F thay (b) vaøo (c), ta ñöôïc: 1 τ 2 1 M 2 dF.dz 1 M 2 dU = p = z ρ 2 = z dz ρ 2dF ∫ ∫ 2 2 ∫ F 2 G F 2 J p G 2G J p F 1 M 2 hay: dU = z dz (d) 2 GJ p Vaäy theá naêng treân ñoaïn thanh coù chieàu daøi L laø: 1 L M 2 U = ∫ z dz (9.15) 2 o GJ p 2 1 M z L + Khi ñoaïn thanh coù Mz/GJp laø haèng soá ⇒ U = (9.16) 2 GJ p + Khi thanh goàm nhieàu ñoaïn, moãi ñoaïn coù Mz/GJp laø haèng soá 2 1 M z L U = ∑( )i (9.17) 2 i GJ p Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 8
GV: Leâ ñöùc Thanh 7- Daïng phaù hoûng cuûa caùc vaät lieäu σ τ σ3 τ 1 σ σ3 1 τ τ max σ σ 3 σ1 σ3 σ1 τ P a) b) H. 9.8 Traïng thaùi öùng suaát taïi moät ñieåm treân maët ngoaøi cuûa thanh chòu xoaén Nghieân cöùu traïng thaùi öùng suaát cuûa truïc troøn chòu xoaén, ta thaáy taïi moät ñieåm treân maët ngoaøi, phaân toá ôû traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy chòu öùng suaát tieáp o cöïc ñaïi τmax (H.9.a), ôû traïng thaùi naøy, theo hai phöông nghieâng 45 so vôùi truïc coù öùng suaát keùo chính vaø öùng suaát neùn chính σ1 = –σ3 =⎪τ⎪ (H.9.8.b). Maët khaùc, qua thí nghieäm, ta cuõng bieát raèng vaät lieäu deûo (nhö H. 9.9 Daïng nöùt gaõy cuûa vaät lieäu deûo theùp) chòu keùo, chòu neùn toát nhö nhau, coøn chòu caét thì keùm hôn, do ñoù, khi moät truïc theùp bò xoaén seõ bò gaõy theo maët caét ngang, do öùng suaát tieáp τmax treân maët caét ngang (H.9.9). Vôùi vaät lieäu doøn nhö gang, chòu neùn vaø chòu H. 9.10 Daïng nöùt gaõy cuûa vaät lieäu doøn caét raát toát, coøn chòu keùo raát keùm neân khi xoaén seõ bò gaõy theo maët nghieâng 45o so vôùi truïc do öùng suaát keùo chính σ1 (H.9.10). Vôùi vaät lieäu coù caáu taïo thôù nhö goã, chòu caét doïc thôù raát keùm neân khi xoaén seõ bò nöùt doïc theo ñöôøng sinh do öùng suaát öùng suaát tieáp ñoái öùng vôùi öùng suaát tieáp treân maët caét ngang (H.9.11). Mz M z H. 9.11 Daïng nöùt gaõy cuûa goã chòu xoaén Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 9
GV: Leâ ñöùc Thanh Thí duï 9.3 Moät ñoäng cô coâng suaát 10kW, truyeàn moät moâmen xoaén leân moät truïc troøn ñöôøng kính D taïi tieát dieän A, vaän toác truïc n = 1400 vg/phuùt. Giaû söû hieäu suaát truyeàn laø 100%. Khi ñoù taïi tieát dieän B, C nhaän ñöôïc coâng suaát truyeàn 3kW vaø 7kW (H.9.12.a). Ñònh ñöôøng kính D, sau ñoù tính goùc xoaén 2 0 3 2 ϕAC . Bieát: [σ] = 16 kN/cm ; [θ ] = 0,25 /m; a = 50cm; G = 8.10 kN/cm . Giaûi. ♦ Goïi ngaãu löïc xoaén taùc duïng taïi A, B, C laàn löôït laø M1, M2, M3. AÙp duïng coâng thöùc chuyeån ñoåi, ta ñöôïc: M1 = 9740 x 10 / 1400 = 69,57 N.m = 6957 Ncm M2 = 9740 x 3 / 1400 = 20,87 N.m = 2087 Ncm M3 = 9740 x 7/ 1400 = 48,70 N.m = 4870 Ncm Sô ñoà tính cuûa truïc ôû (H.9.12.b), bieåu ñoà moâmen veõ ôû (H.9.12.c). ♦ Ñònh ñöôøng kính D: [σ ] M z M z M z 3 + Theo ñieàu kieän beànτ max ≤ [τ ] = ⇒ = 3 ≤ [τ ] ⇒ D ≥ 2 Wp 0,2D 0,2.[τ ] [σ] 2 vôùi: [τ] = = 8 kN/cm ; 10 KW 2 3 KW 7 KW B A C D Mz = 4870 Ncm a) ⇒ D ≥ 14,49 cm (a) + Theo ñieàu kieän cöùng: a a 20,87 Nm 69,57 Nm 48,70 Nm M z M z M z 4 θmax ≤ [θ ] ⇒ = 4 ≤ [θ ] ⇒ D ≥ GJ p G.0,1D B A C G.0,1.[θ ] b) M z ⇒ D ≥ 4 G.0,1.[]θ 48,70 vôùi: [θ ] = 0,250/m + c) 0,25×π 20,87 = rad / cm ; Mz (N.m) 180×10−2 H. 9.12 Mz = 4870 Ncm; G = 8.103 kN/cm2 ⇒ D ≥ 11,17cm (b) Ñeå thoûa caû hai yeâu caàu (a), (b), ta choïn D = 15 cm. ♦ Tính goùc xoaén ϕ AC: AÙp duïng coâng thöùc (9.6), ta ñöôïc: ⎛ M L ⎞ 4870×50 ϕ = ⎜ z ⎟ = = 0,006 rad AC ∑⎜ ⎟ 3 4 i GJ 8×10 ×0,1×15 ⎝ p ⎠i Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 10
GV: Leâ ñöùc Thanh Thí duï 9.4 Moät thanh tieát dieän troøn M E MA Mo 2Mo Mo ñöôøng kính D hai ñaàu ngaøm chòu A B C D E D löïc nhö (H.9.13). Veõ bieåu ñoà Mz vaø a/2 a a a/ 2 ñònh giaù trò Mo theo ñieàu kieän beàn. Giaûi: Ngoaïi löïc laø moâmen H. 9.13 xoaén trong maët phaúng thaúng goùc vôùi truïc thanh thì phaûn löïc phaùt sinh taïi caùc lieân keát ngaøm A vaø E phaûi laø caùc moâmen xoaén MA, ME trong caùc maët phaúng thaúng goùc vôùi truïc thanh. Giaû söû MA, ME coù chieàu nhö treân H.9.13. M Ñeå xaùc ñònh moâmen phaûn löïc, vieát phöông 2Mo ME Mo Mo B C D E trình caân baèng ΣM/z = 0, ta coù: a) a//2 2 a a a/2/ 2 ME MA - Mo +2Mo + Mo - ME =0 (a) A Phöông trình (a) khoâng ñuû ñeå ñònh ñöôïc phaûn löïc MA, ME : Baøøi toaùn sieâu tónh. Mo A b) Caàn boå sung moät (hay nhieàu) phöông trình 2M o thieát laäp töø ñieàu kieän bieán daïng cuûa baøi toaùn A (phöông trình ñieàu kieän bieán daïng). Mo A Thöôøng caùch giaûi nhö sau: (4/3)M 0 +Töôûng töôïng boû ngaøm E, thay baèng phaûn löïc c) Mz (5/3)M 0 töông öùng ME (H.9.15.a). (2/3)M 0 H.Hình 9.15 9.15 +Vieát phöông trình ñieàu kieän bieán daïng: ϕE = 0 (Taïi E lieân keát ngaøm ⇒ do ñoù goùc xoay ϕE = 0 ) +Tính ϕE : AÙp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng, bieåu ñoà moâmen xoaén do töøng tröôøng hôïp taûi gaây ra ñöôïc veõ ôû H.9.15.b. Tính ϕE theo (9.10) nhö sau: M z L M E .3a M o 5a 2M o 3a M o a ϕ E = ϕ EA = ∑( ) = − + + − i GJ p G.J p GJ p 2 GJ p 2 GJ p 2 5 + Cho ϕE = 0, ta ñöôïc : M = M E 3 o Keát quaû döông, ME ñuùng chieàu choïn. + Xaùc ñònh ñöôïc ME , ta veõ ñöôïc bieåu ñoà moâmen xoaén Mz nhö H.9.15.c. Töø bieåu ñoà noäi löïc Mz, ta thaáy: Mz,max= (5/3)Mo. Mz max Töø ñieàu kieän beàn, ta coù: τmax ≤ [τ] ⇒ ≤ [τ] 0,2.D3 3 5Mo 3.0,2.D ⇒ ≤ [τ] ⇒ Mo ≤ [τ] 3.0,2.D3 5 Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 11
GV: Leâ ñöùc Thanh ΙΙΙ. XOAÉN THANH THAÚNG TIEÁT DIEÄN CHÖÕ NHAÄT Thí nghieäm xoaén thanh tieát dieän chöõ nhaät, bieán daïng cuûa thanh nhö (H.9.16). Lyù thuyeát ñaøn hoài cho caùc keát quaû nhö sau: ♦ÖÙng suaát: Treân maët caét ngang chæ coù öùng suaát tieáp. a b) ) + Taïi taâm vaø caùc goùc, öùng suaát tieáp baèng khoâng. H. 9.16 Söï veânh cuûa tieát + Taïi ñieåm giöõa caïnh daøi, öùng suaát tieáp ñaït giaù trò lôùn dieän chöõ nhaät khi xoaén M z τ nhaát : τ = (9.18) 1 max αhb2 τ1 + Taïi ñieåm giöõa caïnh ngaén, öùng suaát τ1 M z τ beù hôn: τ1 = γτ max (9.19) max +Phaân boá öùng suaát tieáp taïi caùc ñieåm treân z τ caùc truïc ñoái xöùng, caùc caïnh tieát dieän vaø max h τ1 caùc ñöôøng cheùo ñöôïc bieåu dieãn ôû H.9.17. b ♦ Goùc xoaén töông ñoái: M H. 9.17 Phaân boá öùng suaát tieáp θ = z (9.20) βhb3 treân tieát dieän chöõ nhaät trong ñoù: α, γ, β laø caùc heä soá phuï thuoäc tyû soá (caïnh daøi h /caïnh ngaén b) ñöôïc cho trong baûng 1. Baûng 9.1 Giaù trò α, γ, β h b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ α 0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 γ 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 12
GV: Leâ ñöùc Thanh ΙV. TÍNH LOØ XO HÌNH TRUÏ BÖÔÙC NGAÉN CHÒU LÖÏC DOÏC TRUÏC Loø xo laø moät boä phaän ñöôïc duøng roäng raõi trong kyõ thuaät, ñöôïc laép ñaët taïi nhöõng choã caàn giaûm chaán do taûi troïng ñoäng nhö ñeá moùng thang maùy, heä thoáng nhuùn trong oâtoâ, ñeá moâ tô coâng suaát lôùn Loø xo hình truï ñöôïc caáu taïo baèng caùch quaán moät sôïi daây theùp tieát dieän vuoâng, chöõ nhaät hoaëc troøn quanh moät loõi hình truï, ta chæ tính loø xo chòu löïc theo phöông truïc cuûa hình truï naøy; truïc cuûa hình truï cuõng laø truïc cuûa loø xo, ngoaøi ra chæ xeùt loø xo coù caùc voøng gaàn nhau goïi laø loø xo hình truï böôùc ngaén (H.9.18.a). P 1- Caùc ñaëc tröng cuûa loø xo: D + d: Ñöôøng kính daây loø xo. P = Qy h + D: Ñöôøng kính trung bình loø xo. Mz + n: Soá voøng laøm vieäc cuûa loø xo. d + G: Moâ ñun ñaøn hoài tröôït cuûa vaät lieäu laøm loø xo. P 2- ÖÙng suaát trong daây loø xo: Duøng moät maët caét chöùa truïc cuûa P a) b) loõi hình truï caét qua moät sôïi daây loø D xo, taùch loø xo laøm hai phaàn, xeùt H. 9.18. a) Caùc ñaëc tröng cuûa loø xo ñieàu kieän caân baèng cuûa moät phaàn b) Noäi löïc treân tieát dieän daây loø xo loø xo nhö treân H.9.18.b, ta ñöôïc: Qy = P ΣY = 0 ⇒ Qy = P τΘ D τ dF ΣM / o = 0 ⇒ M = P. Θ1 z 2 A o Treân maët caét ñang xeùt ( xem nhö maët caét ngang cuûa daây loø xo) coù a) D/2 P löïc caét Qy vaø moâmen xoaén Mz, chuùng ñeàu gaây öùng suaát tieáp: τμαξ τM o τ = τM + τQ A M τM Taïi moät ñieåm baát kyø treân maët b) z d/2 caét ngang, caùc thaønh phaàn öùng suaát ñöôïc bieåu dieãn nhö (H.9.19). Boû qua H. 9.19 Noäi löïc vaø öùng suaát treân ñoä nghieâng cuûa daây loø xo, coi tieát maët caét daây loø xo dieän ñang xeùt laø troøn, coù theå thaáy Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 13
GV: Leâ ñöùc Thanh raèng, taïi meùp trong cuûa maët caét daây loø xo, ñieåm A treân H.9.19, öùng suaát tieáp ñaït giaù trò cöïc ñaïi, duø löïc P laø taùc duïng keùo hay neùn loø xo. Moät caùch gaàn ñuùng, öùng suaát tieáp taïi ñieåm nguy hieåm coù theå tính nhö sau: D Q P y M z P 2 τ max = τ Q +τ M = + = 2 + 3 F Wp πd πd 4 16 8PD ⎛ d ⎞ 8PD τ max = ⎜ +1⎟ ≈ (9.21) πd 3 ⎝ 2D ⎠ πd 3 Thöïc chaát τQ khoâng phaân boá ñeàu, coøn coâng thöùc tính τM nhö treân khoâng chính xaùc vì tieát dieän khoâng troøn do ñoä nghieâng cuûa daây loø xo cuõng nhö sôïi daây loø xo khoâng laø thanh thaúng, cho neân trong tính toaùn thöïc haønh, keå ñeán keát quaû do thöïc nghieäm, ta coù theå laáy: D D P 8PD + 0,25 τ = k 2 = k vôùi k = d (9.22) max 3 3 D π.d π.d − 1 16 d 2- Bieán daïng cuûa loø xo: Tính ñoä co, daõn λ cuûa loø xo khi chòu löïc doïc truïc. Duøng nguyeân lyù baûo toaøn naêng löôïng, boû qua caùc maát maùt naêng löôïng, coâng ngoaïi löïc T hoaøn toaøn bieán thaønh theá naêng bieán daïng ñaøn hoài U. Ta coù: 1 + Coâng cuûa ngoaïi löïc P treân ñoä co, daõn λ cuûa loø xo laø: T = Pλ (a) 2 + Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài tích luõy trong loø xo (boû qua theá naêng do Qy): 1 M 2 L U = ∑ z 2 GJ p 1 P2 D2 πDn 1 8P2 D3n U = = (b) 2 4 Gπd 4 / 32 2 Gd 4 8PD3n P veà giaù trò, T = U, ⇒ λ = = (9.24) Gd 4 C Gd4 vôùi: C = (9.25) 8D3n trong ñoù: C - laø ñoä cöùng cuûa loø xo Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 14
GV: Leâ ñöùc Thanh Thí duï 9.5 Hai loø xo coù ñoä cöùng C1 = 8 kN/cm vaø C2 = 5 kN/cm cuøng chieàu cao H, ñöôïc gheùp ñoàng truïc , cuøng chòu löïc P = 50 kN (H.9.20.a). Tính löïc taùc duïng treân töøng loø xo, tính chuyeån vò cuûa ñieåm ñaët löïc. P P C1 C2 1 1 1 1 R1 R2 a) b) H. 9.20 a) Hai loø xo gheùp ñoàng truïc b) Noäi löïc trong loø xo Giaûi. Caét 2 loø xo baèng maët caét (1-1), xeùt caân baèng phaàn treân, goïi noäi löïc cuûa loø xo laø R1 , R2, (H.9.20.b), ∑Y = 0 ⇒ R1 + R2 = P (a) Moät phöông trình chöùa hai aån soá, ta gaëp baøi toaùn sieâu tónh. Ñieàu kieän bieán daïng: ñoä co ngaén cuûa loø xo 1 phaûi baèng loø xo 2: λ1 = λ2 (b) R1 R1 C1 = ⇒ R1 = R2 (c) C1 C2 C2 (c) vaø (a) ⇒ P C R = = 2 P 2 C C + C 1+ 1 1 2 C2 (d) C1 R1 = P C1 + C2 thay giaù trò P, C1, C2 vaøo (d): R1 = 30,77 kN; R2 = 19,23 kN Chuyeån vò cuûa ñieåm ñaët löïc chính laø ñoä co cuûa loø xo 1 hoaëc loø xo 2 λ1 = λ2 = λ = R1 / C1 =30,77/8 = 3,85cm. Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 15
GV: Leâ ñöùc Thanh Thí duï 9.6 Moät thanh coù EJ raát lôùn ñöôïc xem laø baèng ∞, ñöôïc ñaët treân ba loø xo coù ñoä cöùng laàn löôït laø C1 = 5 kN/cm, C3 = C2 = 10 kN/cm chòu taùc duïng cuûa löïc P = 50 kN nhö treân H.9.21.a. Tìm löïc taùc duïng treân caùc loø xo, tính goùc nghieâng cuûa thanh ABC. Cho a = 50cm. P P A B C C R3 1 C 2 C2 R1 R2 a a a a a a a) b) H. 9.21 a) Thanh ABC tuyeät ñoái cöùng ñaët treân ba loø xo b) Ngoaïi löïc vaø caùc phaûn löïc cuûa caùc loø xo Giaûi. Goïi phaûn löïc cuûa caùc loø xo laàn löôït laø R1, R2, R3 (H.9.21.b). Ñieàu kieän caân baèng: ∑ Y = 0 ⇒ R1 + R2 + R3 = P (a) ∑ M/A = 0 ⇒ -R2.a- R3.3a + P.2a = 0 hay: R2 + 3R3 = 2P (b) Ñieàu kieän bieán daïng: giaû söû, döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc, thanh ABC coù vò trí môùi nhö ôû (H.9.22): λ2 λ1 λ α 3 H. 9.22 Sô ñoà chuyeån vò cuûa thanh ABC vaø bieán daïng cuûa caùc loø xo 2 1 R2 2 R1 1 R3 Ta coù: λ2 = λ1 + λ3 ⇒ = + (c) 3 3 C2 3 C1 3 C3 Giaûi heä (a), (b), (c), ta ñöôïc phaûn löïc cuûa caùc loø xo, cuõng chính laø löïc P 1 5 taùc duïng leân caùc loø xo: R1 = ; R2 = P ; R3 = P 9 3 9 Töø ñoù, ta tính ñöôïc bieán daïng cuûa caùc loø xo: λ1 = 1,11cm; λ2 = 1,67cm; λ3 = 2,78cm Goùc nghieâng cuûa thanh ABC laø: tanα ≈ α = (λ3 – λ1)/3a = 0,0111 rad Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 16
GV: Leâ ñöùc Thanh BAØI TAÄP CHÖÔNG 9 4M0 M 0 2M0 d 9.1 Veõ bieåu ñoà moâmen xoaén, tính öùng 2 d suaát tieáp lôùn nhaát vaø goùc xoaén taïi ñaàu töï do cuûa thanh tieát dieän troøn coù khoan loã a a/2 a doïc truïc nhö H.9.1. Cho: H. 9.1 Mo = 360 Nm; a=50 cm; G = 8.106 N/cm2, d = 3 cm. 9.2 Veõ bieåu ñoà noäi löïc, kieåm 4M0 2M 0 M0 tra ñoä beàn vaø ñoä cöùng cuûa truïc m m c c troøn(H.9.2).Bieát: a =40 cm A 10 8 C 2 o B [τ]=3000N/cm ; [θ] = 0,5 /m; a a aa 6 2 G=8.10 N/cm ; Mo = 1 kNm; H. 9.2 Tính goùc xoaén taïi B vaø C. 9.3Veõ bieåu ñoà moâmen xoaén vaø 3M M 2d d tính öùng suaát tieáp lôùn nhaát treân caùc A maët caét ngang nguy hieåm cuûa truïc B a a a a troøn nhö treân H.9.3. H. 9.3 Cho: G = haèng soá. 9.3 Moät truïc chòu xoaén nhö H.9.4. Xaùc ñònh öùng suaát tieáp τmax cuûa truïc AB, D a goùc xoaén ϕAB , noäi löïc trong hai thanh CD F 4a a 7 2 6 vaø CE.Cho: E=2.10 N/cm , G = 8.10 C 2 d N/cm ; A B 2 0 8 M = 2kNm; a =2cm; F=4 m ; d=6 cm. F C = a Xem puli taïi C laø tuyeät ñoái cöùng. D E 9.5 Moät truïc truyeàn ñoäng tieát dieän troøn, H. 9.4 ñöôøng kính d. Taïi puli A, truïc nhaän ñöôïc coâng suaát truyeàn 15 kW. Giaû söû hieäu suaát truyeàn laø 1, khi ñoù taïi caùc puli B, Cø, H truïc truyeàn ñi caùc coâng suaát laàn löôït laø B C H 4kW, 8kW vaø 3kW (H.9.5). Tính d theo A ñieàu kieän beàn vaø ñieàu kieän cöùng. H. 9.5 Cho:[τ]=2kN/cm2;[θ]=0,40/m; G=8.103kN/cm2; toác ñoä moâtô n = 150 vg/ph. Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 17
GV: Leâ ñöùc Thanh 9.6 Treân maët ngoaøi cuûa moät truïc troøn chòu xoaén 45o thuaàn tuùy, ngöôøi ta duøng taám ñieän trôû vaø ño ñöôïc bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông 45o so vôùi H. 9.6 truïc laø ε = 30.10-5 (H. 9.6) Tính moâmen xoaén taùc duïng leân truïc. Cho: E = 2.104 kN/cm2; μ = 0,3. Vò trí bu loâng 9.7 Ngöôøi ta noái hai truïc cuøng ñöôøng kính D = 8 cm baèng maët bích vaø boán bu loâng φ 20 boá trí ñoái xöùng treân ñöôøng troøn ñöôøng kính 20cm H. 9.7 (H.9.7). Tính moâmen xoaén lôùn nhaát coù theå taùc duïng leân truïc theo ñieàu kieän beàn cuûa truïc vaø 2 2 bu loâng. Cho: [τ]tr = 4 kN/cm ; [τ]bl = 2 kN/cm . 9.8 Hai truïc troøn baèng theùp vaø ñura ñöôïc theùp ñura M noái vôùi nhau baèng maët bích vaø bu loâng chòu Ddu Dth moät moâmen xoaén M nhö (H.9.8). Tính moâmen xoaén noäi löïc taùc duïng leân hai truïc. 2a a H. 9.8 Cho: Gth = 2Gñura; Dñura = 1,5Dth . 9.9 Heä chòu löïc nhö ôû H.9.9.a,b Tính öùng suaát trong loø xo 1 vaø 2.Tính chuyeån vò ñöùng taïi C, xem thanh ABC laø tuyeät ñoái cöùng. Bieát : D1 =6cm; d1=1cm;n1=10; D2=5cm; d2=0,8cm; n2= 8 3 2 P=1kN ; G1=G2 =8.10 kN/cm P P B B A C A C 2 1 2a a 1 2a a a) b) H. 9.9 P 9.10 Moät thanh tuyeät ñoái cöùng AB ñöôïc ñaët A B C1 C2 C3 treân ba loø xo coù cuøng soá voøng vaø chòu moät löïc P ñaët ôû ñaàu B nhö treân H.9.10. Tính löïc taùc duïng leân caùc loø xo. Tính chuyeån vò ñöùng taïi B. a a a Cho: H. 9.10 C3 = 2C2 = 2C1 = 2kN/cm; P = kN; a = 1m. Chöông 9: XOAÉN THUAÀN TUÙY 18
GV: Leâ ñöùc Thanh Chöông 10 THANH CHÒU LÖÏC PHÖÙC TAÏP 10.1 KHAÙI NIEÄM ♦ Ñònh nghóa Mz Thanh chòu löïc phöùc taïp khi treân caùc maët Mx caét ngang coù taùc duïng ñoàng thôøi cuûa nhieàu O thaønh phaàn noäi löïc nhö löïc doïc Nz, moâmen uoán z Nz Mx, My, moâmen xoaén Mz (H.10.1). x My Khi moät thanh chòu löïc phöùc taïp, aûnh y höôûng cuûa löïc caét ñeán söï chòu löïc cuûa thanh raát nhoû so vôùi caùc thaønh phaàn noäi löïc khaùc neân H.10.1 trong tính toaùn khoâng xeùt ñeán löïc caét. 2- Caùch tính toaùn thanh chòu löïc phöùc taïp Aùp duïng Nguyeân lyù coäng taùc duïng Nguyeân lyù coäng taùc duïng: Moät ñaïi löôïng do nhieàu nguyeân nhaân ñoàng thôøi gaây ra seõ baèng toång ñaïi löôïng ñoù do taùc ñoäng cuûa caùc nguyeân nhaân rieâng leõ ( Chöông 1) 10.2 THANH CHÒU UOÁN XIEÂN 1- Ñònh nghóa – Noäi löïc Mx Thanh chòu uoán xieân khi treân moïi maët caét O ngang chæ coù hai thaønh phaàn noäi löïc laø moâmen z uoán Mx vaø moâmen uoán My taùc duïng trong caùc x My maët phaúng yoz vaø xoz (H.10.2). y Daáu cuûa Mx , My : H.10.2 Mx > 0 khi caêng thôù y > 0 My > 0 khi caêng thôù x > 0 u v Theo Cô hoïc lyù thuyeát, ta coù theå bieåu My dieãn moâmen Mx vaø My baèng caùc veùc tô Mu O z moâmen Mx vaø My (H.10.3); Hôïp hai moâmen Mx Mu naøy laø moâmen toång M . M naèm trong maët u u x phaúng voz, maët phaúng naøy thaúng goùc vôùi y maët phaúng taûi troïng H.10.3 Moâmen toång truïc u (chöùa veùc tô moâmen Mu) vaø chöùa vaø maët phaúng taûi troïng truïc thanh (H.10.3). Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 1
GV: Leâ ñöùc Thanh Maët phaúng taûi troïng laø maët phaúng chöùa Mu. Giao tuyeán cuûa maët phaúng taûi troïng vôùi maët caét ngang laø Ñöôøng taûi troïng (truïc v ) Kyù hieäu α : Goùc hôïp bôûi truïc x vaø ñöôøng taûi troïng; Ta coù 2 2 Mu = Mx + M y (10.1) M tanα = x (10.2) M y Ñònh nghóa khaùc cuûa uoán xieân: Thanh chòu uoán xieân khi treân caùc maët caét ngang chæ coù moät moâmen uoán Mu taùc duïng trong maët phaúng chöùa truïc maø khoâng truøng vôùi maët phaúng quaùn tính chính trung taâm yOz hay xOz. Ñaëc bieät, ñoái vôùi thanh tieát dieän troøn, moïi ñöôøng kính ñeàu laø truïc chính trung taâm ( truïc ñoái xöùng ), neân baát kyø maët phaúng chöùa truïc thanh naøo cuõng laø maët phaúng quaùn tính chính trung taâm. Do ñoù, maët caét ngang thanh troøn luoân luoân chæ chòu uoán phaúng. 2- ÖÙng suaát phaùp treân maët caét ngang Theo nguyeân lyù coäng taùc duïng, taïi moät ñieåm A (x,y) baát kyø treân tieát dieän, öùng suaát do hai moâmen Mx , My gaây ra tính theo coâng thöùc sau : M x M y σ z = y + x (10.3) J x J y Trong (10.3), soá haïng thöù nhaát chính laø öùng suaát phaùp do Mx gaây ra, soá haïng thöù hai laø öùng suaát phaùp do My gaây ra Coâng thöùc (10.3) laø coâng thöùc ñaïi soá, vì caùc moâmen uoán Mx, My vaø toïa ñoä ñieåm A(x,y) coù daáu cuûa chuùng Trong tính toaùn thöïc haønh, thöôøng duøng coâng Mx thöùc kyõ thuaät nhö sau: B + o z + + x M x M y + σ z = ± y ± x (10.4) My J x J y y Trong (10.4), laáy daáu coäng (+) hay (–) tuyø theo H.10.4 Bieåu dieån caùc mieàn keùo, neùn treân maët ñieåm tính öùng suaát naèm ôû mieàn chòu keùo hay neùn caét do Mx , My gaây ra do töøng noäi löïc gaây ra H.10.4 bieåu dieån caùc mieàn keùo, neùn treân maët caét do caùc moâmen uoán Mx , My gaây ra : + , - do Mx _ + , do My Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 2
GV: Leâ ñöùc Thanh Thí duï 1. Tieát dieän chöõ nhaät bxh= 20×40 cm2 chòu b uoán xieân (H.10.5), cho Mx = 8 kNm vaø My = 5 kNm. M Chieàu heä truïc choïn nhö h.10.5a B x o z ÖÙng suaát phaùp taïi B (xB =+10 cm; yB =- 20 cm) h M + Tính theo (10.3) nhö sau: x y 800 500 2 σB = (−20) + (10) kN/cm 20(40)3 40(20)3 y 12 12 H.10.5a) + Tính theo (10.4) nhö sau: Mx gaây keùo nhöõng ñieåm naèm döôùi Ox vaø gaây neùn nhöõng ñieåm treân Ox; My gaây keùo phía traùi Oy vaø gaây neùn phía phaûi Oy. Bieåu dieãn vuøng keùo baèng daáu (+) vaø vuøng neùn baèng daáu (–) treân tieát dieän (H.10.4a) ta coù theå thaáy, taïi ñieåm B; Mx gaây neùn; My gaây keùo. 800 500 2 ⇒ σ B = − (20 ) + (10 ) kN/cm 20 (40 )3 40 (20 ) 3 12 12 3- Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát Coâng thöùc (10.3) laø moät haøm hai bieán, noù coù ñoà thò laø moät maët phaúng trong heä truïc Oxyz. Neáu bieåu dieãn giaù trò öùng suaát phaùp σz cho ôû (10.3) baèng caùc ñoaïn thaúng ñaïi soá theo truïc z ñònh höôùng döông ra ngoaøi maët caét (H.10.6a), ta ñöôïc moät maët phaúng chöùa ñaàu muùt caùc veùctô öùng suaát phaùp taïi moïi ñieåm treân tieát dieän, goïi laø maët öùng suaát (H.10.6.a). σmin y _ _ σmin x O x O _ + + K z + z y σmax σmax y a) b) Hình 10.6 a) Maët öùng suaát; b) Bieåu ñoà öùng suaát phaúng Goïi giao tuyeán cuûa maët öùng suaát vaø maët caét ngang laø ñöôøng trung hoøa, ta thaáy, ñöôøng trung hoøa laø moät ñöôøng thaúng vaø laø quyõ tích cuûa nhöõng ñieåm treân maët caét ngang coù trò soá öùng suaát phaùp baèng khoâng. Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 3
GV: Leâ ñöùc Thanh Cho bieåu thöùc σz = 0, ta ñöôïc phöông trình ñöôøng trung hoøa: M MMJ xxyxy+=⇒=−yy0 x (10.5) JJxy MJ xy Phöông trình (10.5) coù daïng y = ax, ñöôøng trung hoøa laø moät ñöôøng thaúng qua goác toïa ñoä, vaø coù heä soá goùc tính theo coâng thöùc: M J tgβ =− y . x (10.5) M x J y Ta thaáy: - Ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän laøm hai mieàn: mieàn chòu keùo vaø mieàn chòu neùn. - Nhöõng ñieåm naèm treân nhöõng ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng trung hoøa coù cuøng giaù trò öùng suaát. - Caøng xa ñöôøng trung hoøa, trò soá öùng suaát cuûa caùc ñieåm treân moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc ñöôøng trung hoøa taêng theo luaät baäc nhaát. Döïa treân caùc tính chaát naøy, coù theå bieåu dieãn söï phaân boá baèng bieåu ñoà öùng suaát phaúng nhö sau. Keùo daøi ñöôøng trung hoøa, veõ ñöôøng chuaån vuoâng goùc vôùi ñöôøng trung hoaø taïi K, öùng suaát taïi moïi ñieåm treân ñöôøng trung hoøa (σz = 0) bieåu dieãn baèng ñieåm K treân ñöôøng chuaån. Söû duïng pheùp chieáu thaúng goùc, ñieåm naøo coù chaân hình chieáu xa K nhaát laø nhöõng ñieåm chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát. - Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn keùo chòu öùng suaát keùo lôùn nhaát, goïi laø σmax. - Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn neùn chòu öùng suaát neùn lôùn nhaát, goïi laø σmin. Tính σmax, σmin roài bieåu dieãn baèng hai ñoaïn thaúng veà hai phía cuûa ñöôøng chuaån roài noái laïi baèng ñöôøng thaúng, ñoù laø bieåu ñoà öùng suaát phaúng, trò soá öùng suaát taïi moïi ñieåm cuûa tieát dieän treân ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng trung hoaø chính laø moät tung ñoä treân bieåu ñoà öùng suaát xaùc ñònh nhö ôû (H.10.6.b). 4- ÖÙng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieän beàn ° ÖÙng suaát phaùp cöïc trò: Goïi A(xA, yA) vaø B(xB, yB) laø hai ñieåm xa ñöôøng trung hoaø nhaát veà phía chòu keùo vaø chòu neùn, coâng thöùc (10.4) cho: M M σσ==x yx +y AAAmax JJ xy (10.6) M x M y σσB ==−−min yxBB JJxy Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 4
GV: Leâ ñöùc Thanh Ñoái vôùi thanh coù tieát dieän chöõ nhaät (b x h), ñieåm xa ñöôøng trung hoaø nhaát luoân luoân laø caùc ñieåm goùc cuûa tieát dieän, khi ñoù: h h ⎮xA ⎮=⎪ xB⎮ = ; ⎪ yA⎮ =⎮ yB⎮ = 2 2 Mx M y Mx M y σmax = + ; σmin = − − (10.7) Wx Wy Wx Wy J bh2 J hb2 vôùi: W = x = ; W = y = x h / 2 6 y b / 2 6 ° Ñoái vôùi thanh coù tieát dieän troøn, khi tieát dieän chòu taùc duïng cuûa hai moâmen uoán Mx, My trong hai maët phaúng vuoâng goùc yOz, xOz, moâmen toång laø Mu taùc duïng trong maët phaúng vOz cuõng laø maët phaúng quaùn tính chính trung taâm , nghóa laø chæ chòu uoán phaúng, do ñoù: 3 Mu 2 2 π.D 3 σmax,min = ± ; Mu = Mx + M y ; Wu = ≈ 0,1D (10.8) Wu 32 ° Ñieàu kieän beàn: treân maët caét ngang cuûa thanh chòu uoán xieân chæ coù öùng suaát phaùp, khoâng coù öùng suaát tieáp, ñoù laø traïng thaùi öùng suaát ñôn, hai ñieåm nguy hieåm laø hai ñieåm chòu σmax, σmin, tieát dieän beàn khi hai ñieåm nguy hieåm thoûa ñieàu kieän beàn: σmax ≤ [σ]k ; σmin ≤ [σ]n (10.9) Ñoái vôùi vaät lieäu deûo: [σ ]k = [σ ]n = [σ ], ñieàu kieän beàn ñöôïc thoûa khi: max σmax, σmin ≤ [σ] (10.8) Thí duïï 2. Moät daàm tieát dieän chöõ T chòu löïc nhö treân H.10.7.a. Veõ bieåu ñoà noäi löïc, xaùc ñònh ñöôøng trung hoaø taïi tieát dieän ngaøm, tính öùng suaát σmax, σmin. Cho: q = 4 kN/m; P = qL; L = 2 m; a = 5 cm. Caùc ñaëc tröng cuûa tieát dieän chöõ 4 4 T ñöôïc cho nhö sau: yo = 7a/4, Jx = 109a /6 ; Jy = 34a /6. Giaûi. Phaân tích löïc P thaønh 2 thaønh phaàn treân hai truïc x vaø y, ta ñöôïc: 0 0 Px = P.cos30 = P 3 /2 = qL 3 /2; Py = P.sin30 = P/2 Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 5
GV: Leâ ñöùc Thanh P y q o 30 2a 2a z y a L x o x y O 4a a q Py = P/2 z a y 2 qL Mx 2 qL 2 3 M z b) x My x y d) Px = P 3/ 2 Hình 10.7 a) Sô ñoà taûi troïng duïng leân thanh x b) Xeùt thanh trong maët phaúng veõ bieåu ñoà Mx 3 c) Xeùt thanh trong maët phaúng veõ bieåu ñoà My M y = c) d) Bieåu ñoà noäi löïc khoâng Xeùt thanh chòu löïc trong töøng maët phaúng rieâng leû. Trong maët phaúng (yOz), heä chòu löïc phaân boá vaø löïc taäp trung Py, bieåu ñoà moâmen veõ treân H.10.7.b, theo quy öôùc, bieåu ñoà naøy laø Mx. Töông töï, trong maët phaúng (xOz), heä chòu löïc phaân boá vaø löïc taäp trung Py, bieåu ñoà moâmen veõ treân H.10.7.c, ñoù laø My. M J Phöông trình ñöôøng trung hoøa: yx=− y x (a) M xyJ 2 2 Taïi tieát dieän ngaøm: Mx = qL ; My = 3 qL /2 Chieàu Mx vaø My bieåu dieãn ôû H.10.5.d, neáu choïn chieàu döông cuûa truïc x vaø y nhö treân H.10.8.a thì trong (a), caùc moâmen uoán deàu coù daáu +. 3qL2 / 2 109a4 / 6 Ta coù: y = − . x = − 2,77.x (b) qL2 34a4 / 6 Bieåu dieãn tieát dieän baèng hình phaúng theo tyû leä, töø (b) coù theå veõ chính xaùc ñöôøng trung hoøa, aùp duïng caùch veõ bieåu ñoà öùng suaát, ta cuõng veõ ñöôïc bieåu ñoà öùng suaát phaúng (H.10.8.b). Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 6
GV: Leâ ñöùc Thanh y A x C Mx My z o B σmax σmin a) b) Hình 10.8 a) Choïn chieàu döông cuûa truïc x, y . b) Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát phaúng Döïa treân bieåu ñoà öùng suaát ta coù theå tìm thaáy ñieåm chòu keùo nhieàu nhaát laø ñieåm A(⎮xA⎮ = 2a,⎪yA⎮ = 7a/4), ñieåm chòu neùn nhieàu nhaát laø ñieåm C(⎮xB⎮ = 2a,⎮yB⎮ = 3a/4); ñieåm B(⎪xB⎮ = a/2,⎮yB⎮ = 13a/4) coù chaân hình chieáu khaù gaàn C, caàn tính öùng suaát taïi ñaây. AÙp duïng coâng thöùc (10.4), ta coù: qL2 7a 3qL2 / 2 kN σ = σ = + + = A max (. ) (2a) 5,145 2 Ix 4 Iy cm qL2 3a 3qL2 / 2 kN σ = σ = + − = − C min (. ) (2a) 3,384 2 Ix 4 Iy cm Thí duïï 3. Moät thanh tieát dieän troøn roãng chòu taùc duïng cuûa ngoaïi löïc (H.10.9). Tính öùng suaát phaùp σmax, σmin, xaùc ñònh ñöôøng trung hoaø taïi tieát dieän ngaøm. 0o 6 30o 2P 30o 2 P P 60o z x x y 2 a a y Hình 10.9 Thanh tieát dieän troøn roãng chòu taûi trong hai maët phaúng khaùc Giaûi. Phaân tích löïc 2P vaø löïc P leân hai truïc vuoâng goùc x, y. Laàn löôït xeùt söï laøm vieäc cuûa thanh trong töøng maët phaúng yOz, xOz, ta veõ ñöôïc bieåu ñoà moâmen Mx, My töông öùng (H.10.10b). Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 7
GV: Leâ ñöùc Thanh P/2 3 P P 3 z z a) 2a a 2a a y x Mx (3 3 My Pa 3 (3 – 3 b) Hình 10.10 Bieåu ñoà moâmen bieåu dieãn trong hai maët phaúng vuoâng goùc Vôùi thanh tieát dieän troøn, khi coù hai moâmen uoán Mx, My taùc duïng trong hai maët phaúng vuoâng goùc yOz, xOz, ta coù theå ñöa veà moät moâmen uoán phaúng Mu trong taùc duïng maët phaúng quaùn tính chính trung taâm vOz, vôùi: Mu laø moâmen toång cuûa Mx vaø My. Taïi tieát dieän ngaøm, Mx, My coù giaù trò lôùn nhaát, ta coù: 2 2 ⎮Mu ⎪ = Mx + M y = 9,475 Pa Theo coâng thöùc cuûa uoán phaúng, ta ñöôïc: Mu 9,745Pa 9,745Pa kN σmax,min = ± = ± = ± = ± 8,41 W πD3 d4 π.103 84 cm2 u (1 − ) (1 − ) 32 D4 32 104 Phöông trình ñöôøng trung hoøa: M J yx=−y ⋅x ⋅ (a) MJxy Taïi tieát dieän ngaøm: Mx = (3 3 + 1)Pa = 6,196Pa chieàu Mx vaø My bieåu dieãn ôû H.10.11.a, neáu choïn chieàu döông cuûa truïc x vaø y veà phía gaây keùo cuûa My vaø Mx (H.10.11.a) thì trong (a), giaù trò cuûa caùc moâmen uoán laáy trò tuyeät ñoái. 1.268Pa Ta coù: y = .(1).x = − 0,204x (b) 6,196Pa A Mx x My x z Ñöôøng trung hoøa B y y a) b) Hình 10.11 a) Ñònh höôùng heä truïc x,y; b) Veõ ñöôøng trung hoaø treân hình phaúng Ñöôøng trung hoøa ñöôïc veõ treân hình phaúng (H.10.11b), neáu veõ moät ñöôøng thaúng qua taâm O, thaúng goùc vôùi ñöôøng trung hoøa, giao ñieåm cuûa ñöôøng naøy vôùi chu vi laø hai ñieåm chòu öùng suaát keùo vaø neùn lôùn nhaát. Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 8
GV: Leâ ñöùc Thanh 10.3 THANH CHÒU UOÁN COÄNG KEÙO ( HAY NEÙN ) 1- Ñònh nghóa y Thanh chòu uoán coäng keùo x (hay neùn) ñoàng thôøi khi treân caùc maët caét ngang coù caùc thaønh phaàn N O z z noäi löïc laø moâmen uoán Mu vaø löïc doïc Nz. M Mu laø moâmen uoán taùc duïng My x trong maët phaúng chöùa truïc z, luoân luoân coù theå phaân thaønh hai Hình 10.11 Caùc thaønh phaàn noäi moâmen uoán Mx vaø My trong maët phaúng ñoái xöùng löïc treân maët caét ngang yOz vaø xOz (H.10.11). 2- Coâng thöùc öùùng suaát phaùp AÙp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng, ta thaáy baøi toaùn ñang xeùt laø toå hôïp cuûa thanh chòu uoán xieân vaø keùo (hay neùn) ñuùng taâm. Do ñoù, taïi moät ñieåm baát kyø treân maët caét ngang coù toïa ñoä (x,y) chòu taùc duïng cuûa öùng suaát phaùp tính Nz Mx M y theo coâng thöùc sau: σz = + y + x (10.9) A Ix Iy ÖÙng suaát phaùp gaây keùo ñöôïc quy öôùc döông. Caùc soá haïng trong coâng thöùc (10.9) laø soá ñaïi soá, öùng suaát do Nz laáy (+) khi löïc doïc laø keùo vaø ngöôïc laïi löïc neùn laáy daáu tröø; öùng suaát do Mx, My laáy daáu nhö trong coâng thöùc (10.1) cuûa uoán xieân, neáu ñònh höôùng truïc y,x döông veà phía gaây keùo cuûa Mx, My thì laáy theo daáu cuûa y vaø x. y x y A + x + A O + N N + z O z z + M + x My My M x h h b b a) b) Hình 10.12 a) Ñònh höôùng heä truïc x,y khi duøng coâng thöùc (9.9) b) Ñònh daáu coäng tröø khi duøng coâng thöùc (9.10) Khi tính toaùn thöïc haønh, ta cuõng coù coâng thöùc kyõ thuaät: N z M x M y σ Z = ± ± y ± x (10.10) A I x I y Trong coâng thöùc (10.10), öùng vôùi moãi soá haïng, ta laáy daáu (+) neáu ñaïi Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 9
GV: Leâ ñöùc Thanh löôïng ñoù gaây keùo vaø ngöôïc laïi. Ví duïï, ñoái vôùi tieát dieän treân H.10.12.a, cho Mx = 10 kNm; My = 5 kNm; Nz = 10 kN; h = 2b = 40 cm, tính öùng suaát taïi A. Söû duïng coâng thöùc (10.9), choïn chieàu döông truïc x,y nhö H.10.12.a, xA = 10, yA = –20, ta ñöôïc: 10 1000 500 σ A = + (−20) + (10) 20.40 20.403 : 12 40.203 : 12 2 σ A = 0,0125 − 0,1875 + 0,1875 = 0,0125 kN/cm Ñeå aùp duïng coâng thöùc (10.10), coù theå bieåu dieãn taùc duïng gaây keùo, neùn cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc nhö ôû (H.10.12.b), vôùi ⎪ xA ⎪ =10, ⎪ yA ⎪ = 20, ta ñöôïc: 10 1000 500 σA = − (20) + (10) 20.40 20.403 : 12 40.203 : 12 2 σA = 0,0125 − 0,1875 + 0,1875 = 0,0125 kN/cm 3- Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát phaùp Töông töï nhö trong uoán xieân, coù theå thaáy raèng phöông trình (10.9) laø moät haøm hai bieán σz = f(x,y), neáu bieåu dieãn trong heä truïc Oxyz, vôùi O laø taâm maët caét ngang vaø σz ñònh höôùng döông ra ngoaøi maët caét, thì haøm (10.9) bieåu dieãn moät maët phaúng, goïi laø maët öùng suaát, giao tuyeán cuûa noù vôùi maët caét ngang laø ñöôøng trung hoøa. Deã thaáy raèng, ñöôøng trung hoaø laø moät ñöôøng thaúng chöùa taát caû nhöõng ñieåm treân maët caét ngang coù öùng suaát phaùp baèng khoâng. Töø ñoù, cho σz = 0, ta coù phöông trình ñöôøng trung hoøa: M I N I y = − y x x − z x (10.11) Mx I y A Mx Phöông trình (10.11) coù daïng y = ax + b, ñoù laø moät ñöôøng thaúng khoâng N .I qua goác toïa ñoä, caét truïc y taïi tung ñoä b = − z x . A.M x Ñeå söû duïng (10.11) thuaän lôïi, ta neân ñònh höôùng truïc x,y nhö khi söû duïng coâng thöùc (10.9), coøn Nz vaãn laáy daáu theo quy öôùc löïc doïc. Maët khaùc, do tính chaát maët phaúng öùng suaát, nhöõng ñieåm naèm treân nhöõng ñöôøng song song ñöôøng trung hoøa coù cuøng giaù trò öùng suaát, nhöõng ñieåm xa ñöôøng trung hoøa nhaát coù giaù trò öùng suaát lôùn nhaát, öùng suaát treân moät ñöôøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng trung hoøa thay ñoåi theo quy luaät baäc nhaát. Roõ raøng ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän thaønh hai mieàn, mieàn chòu öùng suaát keùo vaø mieàn chòu öùng suaát neùn. Nhôø caùc tính chaát naøy, coù theå bieåu dieãn Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 10
GV: Leâ ñöùc Thanh söï phaân boá cuûa öùng suaát phaùp treân maët caét ngang baèng bieåu ñoà öùng suaát phaúng nhö sau. Keùo daøi ñöôøng trung hoøa ra ngoaøi tieát dieän, veõ ñöôøng chuaån vuoâng goùc vôùi ñöôøng keùo daøi taïi ñieåm O, ñoù cuõng laø ñieåm bieåu dieãn giaù trò öùng suaát phaùp taïi moïi ñieåm treân ñöôøng trung hoøa. Söû duïng pheùp chieáu thaúng goùc, chieáu moïi ñieåm treân nhöõng ñöôøng song song ñöôøng trung hoøa leân ñöôøng σmin chuaån, ñieåm coù chaân hình chieáu xa O nhaát chòu öùng suaát phaùp + lôùn nhaát. σmax Nz z Ñieåm xa nhaát veà mieàn O keùo chòu öùng suaát Mx keùo lôùn nhaát, goïi laø σmax, x My ñieåm xa nhaát veà mieàn neùn chòu öùng suaát neùn y lôùn nhaát, goïi laø σmin. Hình 10.13 Ñònh höôùng heä truïc x,y Bieåu dieãn giaù trò σmax, σmin baèng caùc tung ñoä khi duøng coâng thöùc 9.11 veà hai phía ñöôøng chuaån roài noái chuùng laïi baèng ñöôøng thaúng, ta ñöôïc bieåu ñoà öùng suaát phaúng (H.10.13). 4. ÖÙng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieän beàn Goïi A(xA,yA) vaø B(xB,yB) laø hai ñieåm xa ñöôøng trung hoaø nhaát veà mieàn keùo vaø veà mieàn neùn, aùp duïng (10.10), ta coù coâng thöùc tính öùng suaát phaùp cöïc trò. N M M y σ = σ = ± z + x y + x A max A I A I A x y (10.12) Nz Mx M y σB = σmin = ± − yB − xB A Ix I y Theo (10.12), ta thaáy, khi öùng suaát do löïc doïc traùi daáu vôùi öùng suaát do Mx, My vaø coù trò soá lôùn hôn toång trò soá tuyeät ñoái caùc öùng suaát do Mx, My, ñöôøng trung hoaø naèm ngoaøi maët caét, treân maët caét ngang chæ coù öùng suaát moät daáu (chæ chòu keùo hoaëc chæ chòu neùn). - Vôùi thanh coù tieát dieän chöõ nhaät, caùc ñieåm nguy hieåm A, B luoân luoân laø caùc ñieåm goùc cuûa tieát dieän: ⎪xA⎪=⎪xB⎪= b/2; ⎪yA⎪=⎪yB⎪= h/2 N M M σ = σ = ± z + x + y A max A W W x y (10.13) N z M x M y σ B = σ min = ± − − A Wx Wy Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 11
GV: Leâ ñöùc Thanh - Thanh coù tieát dieän troøn, moâmen toång cuûa Mx, My laø Mu gaây uoán thuaàn tuùy phaúng, khi ñoù ta coù coâng thöùc tính öùng suaát phaùp cöïc trò: N M σ = σ = ± z + u A max A W u (10.13) N z M u σ B = σ min = ± − A W u 2 2 Mu = Mx + M y Thanh chòu uoán coäng keùo hay neùn ñoàng thôøi chæ gaây ra öùng suaát phaùp treân maët caét ngang, taïi ñieåm nguy hieåm, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát ñôn, do ñoù ñieàu kieän beàn cuûa thanh laø: σmax ≤ [σ]k; σmin ≤ [σ]n (10.14) 5- Thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm Thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm khi ngoaïi löïc hay noäi löïc taùc duïng treân maët caét ngang töông ñöông moät löïc P song song truïc thanh maø khoâng truøng vôùi truïc thanh. Neáu löïc P naøy höôùng vaøo maët caét, thanh chòu neùn leäch taâm, ngöôïc laïi, neáu löïc P höôùng ra, thanh chòu keùo leäch taâm (H.10.14.a). z z z Mx My P P My P K P K x xK K K xK P Mx O yK y O y yK O yK y x x x a) b) c) Hình 10.14 a) Tieát dieän bò keùo leäch taâm; b) Dôøi löïc veà taâm tieát dieän Trong thöïc teá, baøi toaùn neùn leäch taâm raát thöôøng gaëp trong tính toaùn coät, moùng nhaø coâng nghieäp hay daân duïng, trong tính toaùn truï, moùng caåu thaùp AÙp duïng nguyeân lyù dôøi löïc, ñöa löïc keùo hay neùn leäch taâm veà taâm tieát dieän, ta coù theå chöùng minh hai tröôøng hôïp naøy thöïc chaát laø baøi toaùn uoán coäng keùo hay neùn ñoàng thôøi. Treân H.10.14.a, goïi K(xK, yK) laø ñieåm ñaët löïc leäch taâm P, dôøi veà taâm O, ta coù: N z = ± P , laáy (+) khi P laø löïc keùo, ngöôïc laïi, laáy (–). Mx = P.yK (10.15) My = P.xK Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 12
GV: Leâ ñöùc Thanh Chieàu cuûa moâmen laáy theo nguyeân lyù dôøi löïc. Do ñoù, taát caû coâng thöùc ñaõ ñöôïc thieát laäp cho baøi toaùn uoán coäng keùo hay neùn ñoàng thôøi ñeàu aùp duïng ñöôïc cho baøi toaùn keùo hay neùn leäch taâm. 6- Loõi tieát dieän Ñoái vôùi thanh chòu keùo hay neùn leâïch taâm, phöông trình ñöôøng trung hoaø coù theå vieát ôû daïng khaùc. Cho bieåu thöùc σz trong (10.9) baèng khoâng, ta ñöôïc phöông trình ñöôøng trung hoøa: Nz Mx M y σz = + y + x = 0 A Ix I y Thay : Mx = Nz.yK ; M y = Nz.xK N N .y N x z + z K y + z K x = 0 A Ix Iy N y .F x .F z [1 + K y + K x] = 0 A Ix I y I I Ñaët : i = x ; i = y x A y A y .y x .x + K + K = 1 2 2 0 ix iy 2 i i2 Ñaët: a = − y ; b = − x (10.16) xK yK Ta thu ñöôïc daïng khaùc cuûa phöông trình ñöôøng trung hoøa : x y + = 1 (10.17) a b Töø (10.16), (10.17), ta thaáy ñöôøng trung hoaø coù caùc tính chaát sau: - Ñöôøng trung hoaø caét truïc x taïi a vaø truïc tung taïi b. - Ñöôøng trung hoaø khoâng bao giôø qua phaàn tö chöùa ñieåm ñaët löïc K vì a vaø b luoân traùi daáu vôùi xK, yK. - Ñieåm ñaët löïc tieán gaàn taâm O cuûa tieát dieän thì ñöôøng trung hoøa rôøi xa taâm vì xK, yK giaûm thì a, b taêng. - Khi ñöôøng trung hoøa naèm ngoaøi tieát dieän, treân tieát dieän chæ chòu öùng suaát moät daáu: keùo hoaëc neùn. Goïi loõi tieát dieän laø khu vöïc bao quanh taâm sao cho khi löïc leäch taâm ñaët trong phaïm vi ñoù thì ñöôøng trung hoaø hoaøn toaøn naèm ngoaøi tieát dieän. Vôùi moät thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm, vieäc xaùc ñònh loõi tieát dieän coù yù nghóa thöïc tieãn. Trong thöïc teá coù nhieàu loaïi vaät lieäu chæ chòu neùn toát nhö gaïch, ñaù, gang, beâtoâng khoâng theùp , neáu chuùng chòu neùn leäch taâm maø löïc neùn ñaët ngoaøi loõi tieát dieän, öùng suaát keùo phaùt sinh coù theå lôùn hôn khaû naêng Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 13
GV: Leâ ñöùc Thanh chòu keùo cuûa chuùng, khi ñoù vaät lieäu seõ bò phaù hoaïi, ñeå taän duïng toát khaû naêng chòu löïc cuûa vaät lieäu caàn thieát keá ñaët löïc neùn trong loõi tieát dieän. Coù theå xaùc ñònh loõi tieát dieän theo caùch sau: Giaû söû ñöôøng trung hoøa tieáp xuùc moät caïnh tieát dieän, töø (10.17) ta vieát ñöôïc phöông trình ñöôøng trung hoøa, roài töø (10.16) ta suy ra toïa ñoä ñieåm ñaët löïc K töông öùng vôùi vò trí ñöôøng trung hoøa. AÙp duïng caùch töông töï ñoái vôùi taát caû caùc caïnh coøn laïi, noái vò trí caùc ñieåm ñaët löïc, ta ñöôïc loõi tieát dieän. Ñeå yù raèng, duø tieát dieän laø ña giaùc loõm thì loõi tieát dieän luoân laø moät ña giaùc loài. Ví duïï: tieát dieän chöõ nhaät (H.10.15). Khi ñöôøng trung hoøa truøng caïnh AB: Ñöôøng trung x y + = 1 A B ∞ h / 2 O x 2 h iy − = ∞ ⇒ xK = 0 xK C D i2 h h2 h Ñöôøng trung hoøa − x = ⇒ y = − = − b K h yK 2 12. 6 2 Hình Loõi tieát dieän chöõ nhaät Khi ñöôøng trung hoøa truøng caïnh BC: x y + = 1 b / 2 ∞ 2 2 iy b b b − = ⇒ xK = − = − xK 2 12.b / 2 6 2 ix − = ∞ ⇒ yK = 0 yK Do tính ñoái xöùng cuûa tieát dieän, khi ñöôøng trung hoaø truøng caïnh CD, AD, ta xaùc ñònh hai ñieåm K töông öùng coù toïa ñoä laàn löôït laø: h b xK = 0; yK = vaø xK = ; yK = 0 6 6 Noái caùc ñieåm K, ta ñöôïc loõi tieát dieän cuûa tieát dieän chöõ nhaät laøø moät hình thoi coù ñænh treân truïc x,y (H.10.15). - Tieát dieän troøn (H.10.16) Khi ñöôøng trung hoøa laø moät tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi A: x y + = 1 ∞ D / 2 2 2 iy ix − = ∞ ⇒ xK = 0; − = D / 2 xK yK 4 y π.D D Ñöôøng trung hoøa ⇒ yK = − = − π.D2 D 8 64. 4 2 O x Do tính ñoái xöùng cuûa tieát dieän, ta thaáy loõi D/8 Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp D 14 Hình Loõi tieát dieän
GV: Leâ ñöùc Thanh tieát dieän laø moät ñöôøng troøn ñoàng taâm ñöôøng kính D/8. Ví duïï 10.3 Moät thanh tieát dieän chöõ nhaät (b.h), chòu taùc duïng cuûa ngoaïi löïc nhö H.10.17.a. Veõ bieåu ñoà noâïi löïc, tính σmax, σmin. xaùc ñònh ñöôøng trung hoøa taïi ngaøm. Cho: q = 5 kN/m, P1 = 100 kN, P2 = 6 kN, H = 6 m, h = 2b = 40 cm. z z z z x P1 x P1 y y y P2 P1 q P2 b H h 2 qH /2 P2H Nz Mx My a) b) Hình 10.17 a) Thanh chòu neùn coäng uoán; b) Bieåu ñoà noäi löïc Giaûi: Bieåu ñoà noäi löïc do töøng nguyeân nhaân gaây ra ñöôïc veõ treân H.10.17.b. Taïi ngaøm, noäi löïc coù giaù trò lôùn nhaát: 2 Nz = –P1 (neùn); Mx = qH /2; My = P2.H AÙp duïng coâng thöùc (10.12): 2 P1 q.H / 2 P2.H σmax,min = − ± ± A Wx Wy Thay soá, ta ñöôïc: 100 5.62.100 6.6 .100 σmax,min = − ± ± 20.40 20.402 40.202 2. 6 6 2,912kN/cm2 = − 0.125 ± 1,687 ± 1,350 = ± 3,162 kN/cm2 Phöông trình ñöôøng trung hoøa: M I N I y = − y x .x − z . x (a) Mx I y A Mx Choïn heä truïc y,x döông veà phía gaây keùo cuûa Mx vaø My, thay soá vaøo (a) ta ñöôïc: Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 15
GV: Leâ ñöùc Thanh 6.6 20.403 / 12 − 100 20.403 / 12 y = − .x − . = − 1,6x + 1,48 62 40.203 / 12 20.40 62 5. 5. .100 2 2 Ñöôøng trung hoaø vaø bieåu ñoà öùng suaát ñöôïc veõ treân H.10.18. σ max z x M x P1 y O My Ñöôøng trung hoøa σmin Hình 10.18 Ñöôøng trung hoa cuûa thanh chòu neùn uoán Ví duïï 10.4 Moät coät chòu neùn leäch taâm vaø löïc ñaåy cuûa gioù nhö H.10.19.a. xem chaân coät bò ngaøm. Tính σmax, σmin. Neáu khoái moùng coù kích thöôùc 1m×3m×0,5m ñöôïc ñaët nhö H.10.19.a, haõy tính aùp löïc lôùn nhaát treân neàn ñaát. Cho: P1 = 50 kN; q = 4 kN/m; H = 6 m; h = 2b = 40 cm; γ = 25 kN/m3. e = 20 cm P1 Mx Nz 0,5 m 1 m q b) 3 m b H h 141,3 cm 8,7 cm 0,5 m σmin 1 m 3 m 26 cm a) c) Hình 10.19 a) Coät chòu neùn leäch taâm b) Noäi löïc taïi tieát dieän chaân coät; c) Bieåu ñoà aùp löïc leân neàn ñaát Noäi löïc lôùn nhaát taïi tieát dieän ngaøm: Nz = – P1 = – 50 kN (neùn) 2 2 Mx = P1.e + qH /2 = 50.20 + 4.6 .100/2 = 8200 kN.cm AÙp duïng coâng thöùc (10.12), öùng suaát phaùp lôùn nhaát: 2 P1 q.H / 2 + P1.e σmax,min = − ± = A Wx 50 8200 1,47 kN σmax,min = − ± = − 0,0625 ± 1,537 = ± 20.40 20.402 / 6 1,60 cm2 Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 16
GV: Leâ ñöùc Thanh Dôøi löïc veà ñaùy moùng, keå theâm troïng löôïng baûn thaân moùng vaø moâmen do löïc caét qH, ta ñöôïc: Nz = – 50 – 25.0,5.2.1 = – 75 kN (neùn) Mx = 10600 kNcm. Taïi ñaùy moùng, neáu vaät lieäu vaãn lieân tuïc, ta coù phöông trình ñöôøng trung hoøa: N I − 75 100.3003 y = − z x = − . = 53,07 cm A Mx 100.300 12.10600 Theo (10.12), ta coù öùng suaát phaùp lôùn nhaát: 75 10600 0,0045 kN σmax,min = − ± = ± 100.300 100.3002 / 6 0,0095 cm2 Thöïc teá, taïi ñaùy moùng, vaät lieäu laø ñaát chæ chòu neùn, khoâng theå chòu öùng suaát keùo, do ñoù, ñeå ñaûm baûo ñieàu kieän caân baèng, hôïp löïc cuûa phaûn löïc neàn phaûi caân baèng vôùi ngoaïi löïc taùc duïng. Ngoaïi löïc taïi maët ñaùy moùng goàm moät löïc neùn 75 kN vaø moät moâmen Mx = 10600 kNcm töông ñöông moät löïc neùn 75 kN leäch taâm ñaët treân truïc y vôùi ñoä leäch taâm laø e = 10600/75 =141,3 cm, ñaët caùch meùp chòu neùn lôùn nhaát laø 150 –141,3 = 8,7 cm. Ñeå caân baèng vôùi löïc naøy, hôïp löïc cuûa phaûn löïc neàn phaûi ñoái ñaúng vôùi löïc neùn 75 kN, giaû söû phaûn löïc neàn phaân boá theo quy luaät baäc nhaát, phaûn löïc neàn phaûi phaân boá treân moät dieän tích maët moùng 100 × (3 × 8,7) = 100 × 26 cm2 tính töø meùp chòu neùn lôùn nhaát (H10.19.c). Ñieàu kieän caân baèng cho: 2 2 σmin.100.26/2 = 75 => σmin = 0,0577 kN/cm = 5,77 kG/cm Keát quaû naøy cho thaáy, do maët ñeá moùng khoâng ñöôïc thieát keá söû duïng toaøn boä dieän tích maët moùng neân öùng suaát neùn truyeàn leân neàn taêng leân, moùng thieát keá khoâng hôïp lyù. 10.4 UOÁN COÄNG XOAÉN 1- Ñònh nghóa Thanh chòu uoán coäng xoaén khi treân caùc maët caét ngang coù taùc duïng ñoàng thôøi cuûa moâmen uoán Mu trong maët phaúng chöùa truïc thanh vaø moâmen xoaén Mz. Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 17
GV: Leâ ñöùc Thanh 2- Thanh tieát dieän chöõ nhaät Uoán xoaén thanh tieát dieän chöõ nhaät thöôøng gaëp trong coâng trình daân duïng nhö lanh toâ ñôõ oâ vaêng, daàm chòu löïc ngoaøi maët phaúng ñoái xöùng, thanh chòu uoán trong heä khoâng gian Xeùt moät tieát dieän chöõ nhaät chòu uoán xoaén (H.10.20) trong ñoù moâmen uoán Mu ñaõ ñöôïc phaân tích thaønh hai moâmen uoán Mx, My trong caùc maët phaúng quaùn tính chính trung taâm yOz, xOz. B σmin(Mx,My) σmin(Mx,My) y B D D σmin(Mx) σmin(Mx) x M z F τmax τ1 τmax σ ( ) z σmax(My) max My σmin(My) σmin(My) E E τ1 F Mx σmax(Mx) My σmax(Mx) C σmax(Mx,My) σmax(Mx,My) A C b) A a) Hình 10.20 a) Caùc thaønh phaàn noäi löïc cuûa thanh chòu uoán coäng xoaén b) Traïng thaùi öùng suaát cuûa caùc phaân toá AÙp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng vaø lyù thuyeát veà uoán, veà xoaén, ta ñöôïc caùc keát quaû nhö sau (H.10.20.b): Taïi caùc goùc tieát dieän (A,B), chæ coù öùng suaát phaùp lôùn nhaát do Mx,My, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát ñôn: Mx M y σmax,min = ± ± (10.19) Wx Wy Ñieàu kieän beàn: σmax ≤ [σ]k; σmin ≤ [σ]n Taïi ñieåm giöõa caïnh ngaén (C,D), chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do Mx vaø öùng suaát tieáp τ1 do Mz, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng: Mx σmax,min = ± ; τ1 = γτmax (10.20) Wx Ñieàu kieän beàn: Theo thuyeát beàn thöù 3: σ2 + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyeát beàn thöù 4: σ2 + 3τ2 ≤ [σ] Taïi ñieåm giöõa caïnh daøi (E,F), chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do My vaø öùng suaát tieáp τ1max do Mz, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng: Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 18
GV: Leâ ñöùc Thanh M y M σ = τ = z max,min ; max 2 (10.21) Wy α.h.b Ñieàu kieän beàn: Theo thuyeát beàn thöù 3: σ2 + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyeát beàn thöù 4: σ2 + 3τ2 ≤ [σ] 3- Tieát dieän troøn Thanh tieát dieän troøn chòu uoán xoaén ñoàng thôøi raát thöôøng gaëp khi tính truïc truyeàn ñoäng vì quaù trình truyeàn taùc duïng xoaén qua caùc puli luoân keøm theo taùc duïng uoán do löïc caêng daây ñai, do troïng löôïng baûn thaân truïc, puli Xeùt moät thanh tieát dieän troøn chòu taùc duïng cuûa moâmen uoán Mu vaø moâmen xoaén Mz (H.10.21.a). Neáu coù nhieàu ngoaïi löïc gaây uoán taùc duïng trong nhöõng maët phaúng khaùc nhau, ta luoân luoân coù theå phaân tích chuùng thaønh caùc thaønh phaàn taùc duïng trong hai maët phaúng vuoâng goùc yOz, xOz, töø 2 2 ñoù xaùc ñònh Mx, My, sau ñoù xaùc ñònh moâmen toång Mu = Mx + M y . v τmax(Mz) B σmin(Mu) σmin(Mu) u Mz B O z τmax(Mz) Mu σmax(Mu) σmax(Mu) A A a) b) Hình 10.21 a) Thanh tieát dieän troøn chòu uoán xoaén b) Traïng thaùi öùng suaát phaân toá AÙp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng vaø lyù thuyeát veà uoán, veà xoaén, ta ñöôïc caùc keát quaû nhö sau (H.10.21.b): Döôùi taùc duïng cuûa moâmen uoán Mu, hai ñieåm A,B chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát σmax, σmin, ngoaøi ra, do taùc duïng cuûa moâmen xoaén Mz, taïi hai ñieåm A, B coøn chòu öùng suaát tieáp τmax, ñoù laø hai ñieåm nguy hieåm nhaát treân tieát dieän. Mu 2 2 Ta coù: σmax,min = ± ; Mu = Mx + M y (10.22) Wu Mz τmax = Wp Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 19
GV: Leâ ñöùc Thanh Phaân toá ñang xeùt vöøa chòu öùng suaát phaùp vöøa chòu öùng suaát tieáp, ñoù laø phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng. Ñieàu kieän beàn: Theo thuyeát beàn thöù 3: σ2 + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyeát beàn thöù 4: σ2 + 3τ2 ≤ [σ] P q P a/2 q C a) a/2 a A a B 648 kN.cm 1728 kN.cm 3qa2 9qa2/8 Muoán 30cm 9qa2/8 20cm + Mxoaén c) b) Hình 10.22 a) Khung chòu uoán vôùi taûi troïng thaúng goùc maët phaúng khung b) Sô ñoà tính khung vaø bieåu ñoà noäi löïc khoâng gian veõ theo nguyeân lyù coäng taùc duïng c) Caùc ñieåm nguy hieåm treân tieát dieän Ví duïï 10.5 Moät thanh gaãy khuùc ABC tieát dieän chöõ nhaät (20cm × 30cm) chòu taùc duïng cuûa taûi troïng nhö H.10.22.a. Veõ bieåu ñoà noäi löïc, kieåm tra ñieàu kieän beàn taïi tieát dieän ngaøm. Cho: q = 4 kN/m; P = 2qa; a = 1,2 m; [σ] = 1 kN/cm2. Giaûi. Bieåu ñoà noäi löïc ñöôïc veõ treân H.10.22.b, taïi tieát dieän ngaøm chòu noäi löïc lôùn nhaát (H.10.22.c): 2 2 Mx = 3qa = 3.4.(1,2) .100 = 1728 kN.cm 2 2 Mz = 9qa /8 = 9.4.(1,2) .100/8 = 648 kN.cm Taïi trung ñieåm caïnh ngaén, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng: M 1728 σ = x = = 2 max 2 0,576 kN/cm Wx 20.30 / 6 Mz 648 2 τ1 = γ.τmax = γ. = 0,859. = 0,2 kN/cm α.h.b2 0,231.30.202 Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 20
GV: Leâ ñöùc Thanh Ñieàu kieän beàn: σ2 + 4τ2 = 0,5762 + 4.0,22 = 0,7 kN/cm2 < []σ = 1 kN/cm2 Taïi trung ñieåm caïnh daøi, phaân toá ôû traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy: Mz 648 2 τmax = = = 0,233 kN/cm α.hb2 0,231.30.202 2 2 Ñieàu kieän beàn: τmax = 0,233 kN / cm < [σ]/ 2 = 0,5 kN / cm Ví duïï 10.6 Moät truïc troøn ñöôøng kính d, mang pu li chuû ñoäng ñöôøng kính D1 vaø pu li bò ñoäng ñöôøng kính D2. Moâ tô truyeàn löïc keùo T1 leân moät nhaùnh daây ñai cuûa pu li D1 laøm quay truïc, keùo theo pu li D2. Coi hieäu suaát truyeàn laø 1, löïc keùo treân moät nhaùnh daây ñai D2 laø T2 = T1.D1/D2. Ngoaøi ra, giaû söû löïc caêng ban ñaàu treân daây ñai baèng nöûa löïc keùo taùc duïng leân daây ñai. Tính ñöôøng kính truïc d (H.10.23.a). Cho: troïng löôïng pu li G1 = G2 = 1 kN; D1 = 50 cm; D2 = 30 cm; 2 T1 = 5 kN; [σ] = 12 kN/cm . Boû qua troïng löôïng baûn thaân cuûa truïc. Giaûi. Löïc caêng ban ñaàu treân daây ñai cuûa pu li D1 laø: T1/2 = 5/2 = 2,5 kN Löïc keùo truyeàn leân daây ñai D2 laø: T2 = T1.D1/D2 = 5.50/30 = 8,33 kN Löïc caêng ban ñaàu treân daây ñai D2 laø: T2/2 = 8,33/2 = 4,17 kN Dôøi löïc treân daây ñai veà taâm cuûa truïc, ta coù theå ñöa ra sô ñoà tính cuûa truïc nhö treân H.10.23.b. Bieåu ñoà moâmen uoán Mx, My vaø moâmen xoaén Mz veõ ôû H.10.23.c. Taïi tieát dieän ñaët pu li D2 chòu noäi löïc lôùn nhaát: Mx = 20 kN.cm, My = 150 kN.cm; Mz = 125 kN.cm. 2 2 Moâmen uoán toång Mu = Mx + M y = 151,32 kN.cm gaây ra öùng suaát phaùp lôùn nhaát laø: M 151,32 1542,1 σ = u = = z 3 3 Wu π.D / 32 D Moâmen xoaén Mz = 125 kNcm gaây ra öùng suaát tieáp lôùn nhaát laø: M 125 636,9 τ = z = = max 3 3 Wp π.D / 16 D Ñieàu kieän beàn theo thuyeát beàn thöù ba: σ2 + 4.τ2 ≤ []σ 1542,12 636,9 2 2000 Ta coù: + 4. ≤ []σ ⇒ ≤ []σ ⇒ D ≥ 5,5 cm (D3)2 (D3)2 D3 Coù theå choïn ñöôøng kính truïc laø 55 mm. Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 21
GV: Leâ ñöùc Thanh 20cm T2.D2/2 40cm G2 20cm 20cm T2/2 2T2 T2 40cm G1 T1.D1/2 T1/2 D2 20cm T2/2 MZ b) 2T1 d D1 T /2 1 T1 M 125kN.cm x a) .cm kN 20 c) My Hình 10.23 a) Truïc tieát dieän troøn chòu uoán coäng xoaén 150 kN.cm b) Sô ñoà tính truïc c) Bieåu ñoà noäi löïc 116,6 kN.cm 10.5 THANH CHÒU LÖÏC TOÅNG QUAÙT 1. Ñònh nghóa Thanh chòu löïc toång quaùt khi treân caùc maët caét ngang coù taùc duïng cuûa löïc doïc Nz, moâmen uoán Mu vaø moâmen xoaén Mz. Thanh chòu löïc toång quaùt thöôøng gaëp khi tính caùc thanh chòu löïc theo sô ñoà khoâng gian. 1- Thanh coù tieát dieän chöõ nhaät AÙp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng vaø lyù thuyeát veà keùo (neùn), veà uoán, vaø veà xoaén, ta ñöôïc caùc keát quaû nhö sau (H.10.24.a,b): B y D B σmin (Mx,M y,Nz) σmin (Mx,My,N z) x M z F D σmin (Mx,N z) σmin (Mx,N z) Nz z τ1 E τmax τmax M M x y σmax (My,N z) σmax (My,N z) σmin (My,N z) σmin (My,Nz) E τ1 F σmax (Mx,N z) σmax (Mx,N z) C C σmax (Mx,My,N z) A σmax (Mx,My,N z) a) A b) Hình 10.24 a) Caùc thaønh phaàn noäi löïc treân maët caét ngang b) Traïng thaùi öùng suaát cuûa caùc phaân toá Taïi caùc goùc tieát dieän, chæ coù öùng suaát phaùp do Nz, Mx, My, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát ñôn: Nz Mx M y σmax,min = ± ± ± (10.23) A Wx Wy Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 22
GV: Leâ ñöùc Thanh Ñieàu kieän beàn: σmax ≤ [σ]k ; σmin ≤ [σ]n Taïi ñieåm giöõa caïnh daøi, phaân toá vöøaø chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do My vaø löïc doïc Nz, vöøa chòu öùng suaát tieáp lôùn nhaát do Mz, ñoù laø phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng: N M y M z τ = z σmax,min = ± ± ; max 2 (10.24) A Wy αhb Ñieàu kieän beàn: Theo thuyeát beàn thöù 3: σ2 + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyeát beàn thöù 4: σ2 + 3τ2 ≤ [σ] (10.25) Taïi ñieåm giöõa caïnh ngaén, phaân toá vöøa chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do Mx vaø löïc doïc Nz, vöøa chòu öùng suaát tieáp do Mz, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng: Nz Mx σmax,min = ± ± ; τ1 = γτmax (10.26) A Wx Ñieàu kieän beàn: Theo thuyeát beàn thöù 3: σ2 + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyeát beàn thöù 4: σ2 + 3τ2 ≤ [σ] 2- Thanh coù tieát dieän troøn (H.10.25.a,b) Ñieåm nguy hieåm naèm treân chu vi, ñoù laø hai ñieåm A,B. hai ñieåm naøy vöøa chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do moâmen Mu vaø löïc doïc Nz, vöøa chòu öùng suaát tieáp lôùn nhaát do Mz, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng. Nz Mu 2 2 σmax,min = ± ± ; Mu = Mx + M y (10.27) A Wu Mz τmax = (10.28) Wp Ñieàu kieän beàn: Theo thuyeát beàn thöù 3: σ2 + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyeát beàn thöù 4: σ2 + 3τ2 ≤ [σ] Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 23
GV: Leâ ñöùc Thanh v τmax(Mz ) B σmin(Muz , N ) σ (M , N ) u min uz B Mz z O τmax(Mz ) σ (M , N ) σ (M , N ) Mu max uz max uz A b) A a) Hình 10.25 a) Caùc thaønh phaàn noäi löïc b) Traïng thaùi öùng suaát cuûa caùc phaân toá Ví duïï 10.7 Coù moät thanh tieát dieän troøn ñöôøng kính D chòu moät heä löïc khoâng gian nhö treân H.10.26.a. Veõ bieåu ñoà noäi löïc. xaùc ñònh ñöôøng kính D. Cho: q = 4 kN/m; P = qa; a = 4 m; [σ] = 16 kN/cm2. Giaûi. Bieåu ñoà noäi löïc ñöôïc veõ ôû H.10.26.b. Taïi ngaøm tieát dieän chòu noäi löïc lôùn nhaát: 2 2 Nz = qa = 4.4= 16 kN (neùn); Mx = qa = 4.4 .100 = 6400 kN.cm 2 2 2 2 My = qa /2 = 4.4 .100/2 = 3200 kN.cm; Mz = qa /8 = 4.4 .100/8 = 800 kN.cm P = qa q = 4 kN/m qa2/8 2 a/2 qa /2 2 a qa qa /8 qa2/2 qa2 Nz Mz a) Muoán do q Muoán do P b) Hình 10.26 a) Sô ñoà tính thanh chòu löïc phöùc taïp b) Bieåu ñoà noäi löïc veõ theo nguyeân lyù coäng taùc duïng ÖÙng suaát phaùp lôùn nhaát: N M σ = z + u max A Wu 2 2 2 2 Mu = Mx + M y = 6400 + 3200 = 7155,41 kN.cm 16 7155,4 σ = + max π.D2 / 4 π.D3 / 32 ÖÙng suaát tieáp lôùn nhaát: M 800 τ = z = max 3 Wp π.D / 16 Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 24
GV: Leâ ñöùc Thanh Ñieàu kieän beàn: Theo thuyeát beàn thöù 3: σ2 + 4τ2 ≤ [σ] 16 7155,4 800 ⇒ ( + )2 + 4.( )2 ≤ []σ π.D2 / 4 π.D3 / 32 π.D3 / 16 Trong tính toaùn thöïc haønh, ñeå thuaän lôïi cho vieäc giaûi baát phöông trình treân, ban ñaàu choïn D theo uoán xoaén, boû qua öùng suaát do löïc doïc, sau ñoù kieåm tra laïi, ta coù: 7155,4 800 ⇒ ( )2 + 4.( )2 ≤ []σ ⇒ D ≥ 16,6 cm π.D3 / 32 π.D3 / 16 Ban ñaàu, choïn: D = 168 mm. Kieåm tra ñieàu kieän beàn: Theo thuyeát beàn thöù 3: σ2 + 4τ2 ≤ [σ] 16 7155,4 800 ⇒ ( + ) 2 + 4.( )2 π.16,82 / 4 π.16,83 / 32 π.16,83 /16 (0,072 +15,38)2 + 4.(0,86)2 = 15,54 kN/cm2 < []σ = 16 kN/cm2 Vaäy choïn: D = 168 mm. BAØI TAÄP CHÖÔNG 10 10.1 Moät thanh cong xon tieát dieän chöõ nhaät chòu taùc duïng cuûa taûi troïng nhö H.10.27. Veõ bieåu ñoà noäi löïc, tính öùng suaát phaùp lôùn nhaát, xaùc ñònh vò trí ñöôøng trung hoaø taïi maët caét ngaøm. 12 cm P = qL q 30o q = 4 kN/m m c 0 P = qL 2 E = 103 kN/cm2 L = 2 m Hình 10.27 10.2 Xaùc ñònh giaù trò tuyeät ñoái lôùn nhaát cuûa öùng suaát phaùp, vò trí ñöôøng trung hoaø taïi maët caét nguy hieåm cuûa daàm (H.10.28), a = 1 m. P = 4 kN m c 12 x m c z 0 2 2a P a y Hình 10.28 Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 25
GV: Leâ ñöùc Thanh 10.3 Xaùc ñònh σmax , σmin vaø vò trí ñöôøng trung hoaø taïi maët caét nguy hieåm cuûa coät H.10.29. P = 80 kN z y 40cm x q = 2 kN/m m 4 20 cm Hình 10.29 10.4 Moät coät chòu taûi troïng nhö H.10.30. Xaùc ñònh öùng suaát neùn lôùn nhaát vaø nhoû nhaát taïi maët caét chaân coät. Cho troïng löôïng rieâng cuûa vaät lieäu coät laø: γ = 20 kN/m3. 1 m P = 1000 kN k 0,8 m m 2 m 3m 6 A C B Hình 10.30 10.5 a. Moät truï ñôõ coù tieát dieän goàm hai theùp hình soá hieäu [ 24 chòu taûi troïng nhö H.10.31. Xaùc ñònh öùng suaát keùo vaø neùn lôùn nhaát taïi maët caét chaân coät coù xeùt caû troïng löôïng cuûa coät. b. Moät coät chòu taûi troïng nhö H.10.32. Tính öùng suaát öùng suaát keùo vaø neùn lôùn nhaát. Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 26
GV: Leâ ñöùc Thanh 4 m P1 = 20 kN 2 m q = 3 kN/m P2 = 5 kN P1 = 2 kN e = 60 cm P2 = 0,5 kN m m 6 6 G m 40 cm 4 m c 0 2 Hình 10.31 Hình 10.32 10.6 Moät coät troøn roãng chòu taùc duïng cuûa taûi troïng nhö H.10.33.a. Tính öùng suaát phaùp σmax, σmin taïi tieát dieän chaân coät, xaùc ñònh vò trí vaø bieåu dieãn ñöôøng trung hoaø taïi tieát dieän naøy. Giaû söû moùng coät coù kích thöôùc 2 m × 1,2 m × h, troïng löôïng rieâng γ = 25 kN/m3 (H.10.33.b) vaø truïc coät ñöôïc boá trí ñi qua taâm moùng. Haõy chæ caùch boá trí maët baèng moùng vaø tính kích thöôùc h sao cho ôû ñaùy moùng khoâng phaùt sinh öùng suaát keùo. z P1 = 100 kN x P2 =10 kN y P2 = 5 kN m 4 = H 1,2 m 2d = 40 cm d 2 m h a) b) Hình 10.33 10.7 Moät khung tieát dieän chöõ nhaät ñeàu, coù thanh caêng AB, chòu taùc duïng cuûa taûi troïng nhö H.10.34. Veõ bieåu ñoà noäi löïc cuûa khung vaø noäi löïc keùo trong thanh AB. xaùc ñònh öùng suaát σmax, σmin vaø vò trí ñöôøng trung hoaø taïi maët caét ngang K. Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 27
GV: Leâ ñöùc Thanh q = 6 kN/m q = 4kN/m 2 m K P = 4 kN h = 2b m b = 4 m 3 20 cm = H I24 A B L = 2 m L/2 = 4 m L/2 = 4 m Hình 10.34 Hình 10.35 10.8 Moät khung tieát dieän chöõ I24, chòu taùc duïng cuûa taûi troïng nhö H.10.35. xaùc ñònh noäi löïc taïi tieát dieän chaân coät. Kieåm tra beàn. Cho [σ]=16 kN/cm2. 10.9 Moät thanh gaãy khuùc tieát dieän troøn ñöôøng kính d chòu löïc nhö H.10.36. Veõ bieåu ñoà noäi löïc, xaùc ñònh ñöôøng kính d theo thuyeát beàn öùng suaát tieáp lôùn nhaát. Cho [σ] = 2,8 kN/cm2. 30 cm P1 = 0,8 kN d d m c 0 4 d P2=0,5 kN 10 cm Hình 10.36 10.10 Moät truïc truyeàn ñoäng tieát dieän troøn ñöôøng kính d coù sô ñoà tính nhö H.10.37. Veõ bieåu ñoà noäi löïc, xaùc ñònh ñöôøng kính d theo thuyeát beàn öùng suaát tieáp lôùn nhaát. Cho [σ] = 10 kN/cm2. Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 28
GV: Leâ ñöùc Thanh M4 = 4 kNm M2 = 2 kNm M3 = 4 kNm M1 =10 kNm P PPP=1 kN a a a a a a Hình 10.37 Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 29
GV: Leâ ñöùc Thanh Chöông 11 OÅN ÑÒNH CUÛA THANH THAÚNG CHÒU NEÙN ÑUÙNG TAÂM 11.1 KHAÙI NIEÄM VEÀ SÖÏ OÅN ÑÒNH CUÛA TRAÏNG THAÙI CAÂN BAÈNG Ñeå ñaùp öùng yeâu caàu chòu löïc bình thöôøng, moät thanh phaûi thoûa maõn ñieàu kieän beàn vaø cöùng, nhö ñaõ ñöôïc trình baøy trong caùc chöông tröôùc ñaây. Tuy nhieân, trong nhieàu tröôøng hôïp, thanh coøn phaûi thoûa maõn theâm ñieàu kieän oån ñònh. Ñoù laø khaû naêng duy trì hình thöùc bieán daïng ban ñaàu neáu bò nhieãu. Trong thöïc teá, nhieãu coù theå laø caùc yeáu toá sai leäch so vôùi sô ñoà tính nhö ñoä cong ban ñaàu, söï nghieâng hoaëc leäch taâm cuûa löïc taùc duïng Khaùi nieäm oån ñònh coù theå minh hoïa baèng caùch xeùt söï caân baèng cuûa quaû caàu treân caùc maët loõm, loài vaø phaúng treân H.11.1. H.11.1 Söï caân baèng veà vò trí cuûa quaû caàu Neáu cho quaû caàu moät chuyeån dòch nhoû (goïi laø nhieãu) töø vò trí ban ñaàu sang vò trí laân caän roài boû nhieãu ñi thì: - Treân maët loõm, quaû caàu quay veà vò trí ban ñaàu: söï caân baèng ôû vò trí ban ñaàu laø oån ñònh. - Treân maët loài, quaû caàu chuyeån ñoäng ra xa hôn vò trí ban ñaàu: söï caân baèng ôû vò trí ban ñaàu laø khoâng oån ñònh. - Treân maët phaúng, quaû caàu giöõ nguyeân vò trí môùi: söï caân baèng ôû vò trí ban ñaàu laø phieám ñònh. Hieän töôïng töông töï cuõng coù theå xaûy ra ñoái vôùi söï caân baèng veà traïng thaùi bieán daïng cuûa heä ñaøn hoài. Chaúng haïn vôùi thanh chòu neùn treân H.11.2. Trong ñieàu kieän lyù töôûng (thanh thaúng tuyeät ñoái, löïc P hoaøn toaøn ñuùng taâm ) thì thanh seõ giöõ hình daïng thaúng, chæ co ngaén do chòu neùn ñuùng taâm. Neáu cho ñieåm ñaët cuûa löïc P moät chuyeån vò beù δ do moät löïc ngang naøo ñoù gaây ra, sau ñoù boû löïc naøy ñi thì seõ xaûy ra caùc tröôøng hôïp bieán daïng nhö sau: Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 1
GV: Leâ ñöùc Thanh + Neáu löïc P nhoû hôn moät giaù trò Pth naøo ñoù, goïi laø löïc tôùi haïn, töùc laø P Pth thì chuyeån P Pth vò δ seõ taêng vaø thanh bò cong δ theâm. Söï caân baèng cuûa traïng thaùi thaúng (δ = 0) laø khoâng oån ñònh. Ta noùi thanh ôû traïng thaùi maát oån ñònh .Trong thöïc a) b) c) teá thanh seõ coù chuyeån vò δ vaø TT Oån ñònh TT tôùi haïn TT maát Oån ñònh chuyeån sang hình thöùc bieán H. 11.2 Söï caân baèng cuûa TT bieán daïng daïng môùi bò uoán cong, khaùc tröôùc veà tính chaát, baát lôïi veà ñieàu kieän chòu löïc. + ÖÙng vôùi P = Pth thì thanh vaãn giöõ nguyeân chuyeån vò δ vaø traïng thaùi bieán daïng cong. Söï caân baèng cuûa traïng thaùi thaúng laø phieám ñònh. Ta noùi thanh ôû traïng thaùi tôùi haïn H.11.3 giôùi thieäu theâm vaøi keát caáu coù theå bò maát oån ñònh nhö daàm chòu uoán, vaønh troøn chòu neùn ñeàu Khi xaûy ra maát oån ñònh duø chæ cuûa moät thanh cuõng daãn tôùi söï suïp ñoå cuûa toaøn boä keát caáu. Tính chaát phaù hoaïi do maát oån ñònh laø ñoät ngoät vaø nguy hieåm. Trong lòch söû ngaønh xaây P > Pth q > qth döïng ñaõ töøng xaûy ra nhöõng thaûm hoïa H. 11.3 Caùc daïng maát oån ñònh saäp caàu chæ vì söï maát oån ñònh cuûa moät thanh daøn chòu neùn nhö caàu Mekhelstein ôû Thuïy Só (1891), caàu Lavrentia ôû Myõ (1907) Vì vaäy khi thieát keá caàn phaûi ñaûm baûo caû ñieàu kieän oån ñònh, ngoaøi ñieàu kieän beàn vaø ñieàu kieän cöùng ñaõ neâu tröôùc ñaây. Pth Ñieàu kieän oån ñònh: P ≤ []P oâñ = (11.1) koâñ Pth Hay : N z ≤ []P oâñ = (11.2) koâñ koâñ : Heä soá an toaøn veà maët oån ñònh, do quy ñònh, vaø thöôøng lôùn hôn heä soá an toaøn veà ñoä beàn n. P ( hay Nz ) : Löïc neùn ( noäi löïc neùn ) thanh. Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 2
GV: Leâ ñöùc Thanh 11.2 KHAÛO SAÙT OÅN ÑÒNH TRONG MIEÀN ÑAØN HOÀI 1- Tính löïc tôùi haïn Pth thanh coù keát khôùp hai ñaàu ( Baøi toaùn Euler) Xeùt thanh thaúng lieân keát khôùp hai ñaàu, Pth P chòu neùn bôûi löïc tôùi haïn Pth. Khi bò nhieãu, y th thanh seõ bò uoán cong vaø caân baèng ôû hình daïng môùi nhö treân H.11.4a. y(z) l y Ñaët heä truïc toaï ñoä (x,y,z) nhö H.11.4a M Xeùt maët caét coù hoaønh ñoä z ; Pth Ñoä voõng ôû maët caét naày laø y. b) Ta coù phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài: z M H. 11.4 y'' = − (a) EJ Vôùi: moâmen uoán M = Pth y (b) (töø ñieàu kieän caân baèng treân H.11.4b) P y P (b) vaøo (a) ⇒ y'' = − th hay y'' + th y = 0 EJ EJ P Ñaët: α 2 = th ⇒ y'' + α2 y = 0 (c) EJ Nghieäm toång quaùt cuûa (c) laø: yA=+sin(α zBz ) cos(α ) (d) Caùc haèng soá ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân y(0) = 0 vaø y(L) = 0. Vôùi: y(0) = 0 ⇒ B = 0 y(L) = 0 ⇒ ALsin(α )= 0 ñeå baøi toaùn coù nghóa y(z) ≠ 0 ⇒ A ≠ 0 , ⇒ sin(α L )= 0 phöông trình naøy coù nghieäm α L = nπ , vôùi n = 1, 2, 3, nEJ22π ⇒ P = (e) th L2 Thöïc teá, khi löïc neùn ñaït ñeán giaù trò tôùi haïn nhoû nhaát theo (e) öùng vôùi n = 1 thì thanh ñaõ bò cong. Vì vaäy, caùc giaù trò öùng vôùi n > 1 khoâng coù yù nghóa. Ngoaøi ra, thanh seõ cong trong maët phaúng coù ñoä cöùng uoán nhoû nhaát. Do ñoù, coâng thöùc tính löïc tôùi haïn cuûa thanh thaúng hai ñaàu lieân keát khôùp laø: π 2 EJ P = min (11.3) th L2 Ñöôøng ñaøn hoài töông öùng coù daïng moät nöûa soùng hình sine: π z yA= sin( ) (11.4) L vôùi: A laø moät haèng soá beù, theå hieän ñoä voõng giöõa nhòp. Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 3
GV: Leâ ñöùc Thanh 2- Tính Pth thanh coù caùc lieân keát khaùc ôû ñaøu thanh AÙp duïng phöông phaùp treân cho thanh coù caùc lieân keát khaùc nhau ôû hai ñaàu, ta ñöôïc coâng thöùc tính löïc tôùi haïn coù daïng chung: mEJ22π P = min (11.5) th L2 vôùi: m - laø soá nöûa soùng hình sine cuûa ñöôøng ñaøn hoài khi maát oån ñònh. 1 Ñaët μ = , goïi laø heä soá quy ñoåi, (11.5) thaønh m 2 π EJmin Pth = (11.6) ()μL 2 (11.6) ñöôïc goïi chung laø coâng thöùc Euler Daïng maát oån ñònh vaø heä soá μ cuûa thanh coù lieân keát hai ñaàu khaùc nhau theå hieän treân H.11.5. m=1/2 m= 1 m= 1,43 m= 2 m= 1 m=1/2 μ= 1/2 μ= 1 μ= 2 μ= 1 μ= 0,7 μ= 2 H. 11.5 Daïng maát oån ñònh vaø heä soá μ 3- ÖÙng suaát tôùi haïn ÖÙng suaát trong thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm bôûi löïc Pth goïi laø öùng suaát tôùi haïn vaø ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc: 2222 Pth πππEJmin Ei min E σ th ==222 = = (11.7) F ()μμLF() L ⎛⎞μL ⎜⎟ ⎝⎠imin J vôùiù: i = min laø baùn kính quaùn tính nhoû nhaát cuûa tieát dieän . min F μL Ñaët λ = : ñoä maûnh cuûa thanh (11.8) imin π2E (11.7) thaønh: σth = (11.9) λ2 Ñoä maûnh λ khoâng coù thöù nguyeân, phuï thuoäc vaøo chieàu daøi thanh, ñieàu kieän lieân keát vaø ñaêïc tröng hình hoïc cuûa tieát dieän; thanh coù ñoä maûnh caøng lôùn thì caøng deã maát oån ñònh. Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 4
GV: Leâ ñöùc Thanh 4- Giôùi haïn aùp duïng coâng thöùc Euler Coâng thöùc Euler ñöôïc xaây döïng treân cô sôû phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài, vì vaäy chæ aùp duïng ñöôïc khi vaät lieäu coøn laøm vieäc trong giai ñoaïn ñaøn hoài, töùc laø öùng suaát trong thanh nhoû hôn giôùi haïn tyû leä: π2E σth = ≤ σtl λ2 π2E hay: λ ≥ (f) σtl π2E Neáu ñaët: λo = (11.10) σtl thì ñieàu kieän aùp duïng cuûa coâng thöùc Euler laø: λ ≥ λo (11.11) trong ñoù: λo - ñöôïc goïi laø ñoä maûnh giôùi haïn vaø laø moät haèng soá ñoái vôùi moãi loaïi vaät lieäu. Thí duï: Theùp xaây döïng thoâng thöôøng λo = 100, goã λo = 75; gang λo = 80. Neáu λ ≥ λo thì goïi laø ñoä maûnh lôùn. Nhö vaäy, coâng thöùc Euler chæ aùp duïng ñöôïc cho thanh coù ñoä maûnh lôùn. Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 5
GV: Leâ ñöùc Thanh 11.3 OÅN ÑÒNH NGOAØI MIEÀN ÑAØN HOÀI στh 1- YÙ nghóa σ0 I asinski στl Coâng thöùc Euler chæ aùp duïng ñöôïc khi vaät Hyperbola Euler lieäu ñaøn hoài. Ñoà thò cuûa phöông trình (11.6) laø moät hyperbola nhö treân H.11.6, chæ ñuùng khi λ1 λ0 λ σ ≤ σ th tl . H. 11.6 ÖÙng suaát tôùi haïn Khi σ th f σ tl ⇔ vaät lieäu laøm vieäc ngoaøi mieàn ñaøn hoài, caàn thieát phaûi coù coâng thöùc khaùc ñeå tính Pth. 2- Coâng thöùc thöïc nghieäm Iasinski Coâng thöùc Iasinski ñöôïc ñeà xuaát döïa treân nhieàu soá lieäu thöïc nghieäm, phuï thuoäc vaøo ñoä maûnh cuûa thanh. - Thanh coù ñoä maûnh vöøa λ1 ≤ λ pλo : σth = a − λb (11.12) vôùi: a vaø b laø caùc haèng soá phuï thuoäc vaät lieäu, ñöôïc xaùc ñònh baèng thöïc nghieäm: • Theùp xaây döïng: a = 33,6 kN/cm2; b = 0,147 kN/cm2 • Goã: a = 2,93 kN/cm2; b = 0,0194 kN/cm2 ñoä maûnh λ1 ñöôïc xaùc ñònh töø coâng thöùc: a − σ λ = tl (11.13) 1 b thöïc nghieäm cho thaáy phaïm vi giaù trò λ1 = 30 ÷ 40 - Thanh coù ñoä maûnh beù λ p λ1 : Khi naøy thanh khoâng maát oån ñònh maø ñaït ñeán traïng thaùi phaù hoaïi cuûa vaät lieäu. Vì vaäy, ta coi: σ th = σ 0 = σ b ñoái vôùi vaät lieäu doøn σ th = σ 0 = σ ch ñoái vôùi vaät lieäu deûo (11.14) vaø Löïc tôùi haïn cuûa thanh : Pth = σ th . F (11.15) Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 6
GV: Leâ ñöùc Thanh Thí duï 11.1 Tính Pthï vaø σth cuûa moät coät laøm baèng theùp soá 3 coù maët caét ngang hình chöõ Ι soá 22. Coät coù lieân keát khôùp hai ñaàu. Xeùt hai tröôøng hôïp: a. Chieàu cao cuûa coät 3,0 m b. Chieàu cao cuûa coät 2,25 m 4 2 2 Bieát: E = 2,1.10 kN/cm ;σtl = 21 kN/cm ; λo = 100 Caùc haèng soá trong coâng thöùc Iasinski : a= 33,6 kN/cm2, b=0,147 kN/cm2 Giaûi. Tra baûng theùp ñònh hình (phuï luïc ) ta coù caùc soá lieäu cuûa theùp Ι No22: 2 imin = iy = 2,27 cm; F = 30,6cm ; theo lieân keát cuûa thanh thì ta coù μ = 1. + Tröôøng hôïp a) μ l 1.300 Ñoä maûnh : λ = = = 132 > λo = 100 imin 2,27 Thanh coù ñoä maûnh lôùn, aùp duïng coâng thöùc Euler π 2E π 2 2,1.104 σ = = = 11,88 kN / cm2 th λ2 1322 ⇒ Pth = σ th F = 11,88.30,6 = 363,62kN . + Tröôøng hôïp b) μl 1.225 Ñoä maûnh : λ = = = 99,11 < λ0 imin 2,27 a − σ 33,6 − 21 λ = tl = = 85,7 → λ < λ < λ 1 b 0,147 1 0 Thanh coù ñoä maûnh vöøa, duøng coâng thöùc Iasinski: 2 σth = a − bλ = 33,6 − 0,147.90 = 20,37 kN / cm Pth = σ th F = 20,37.30,6 = 623,32 kN . Chuù yù: - Neáu lieân keát cuûa thanh trong hai maët phaúng quaùn tính gioáng nhau trong caùc coâng thöùc ñaõ coù seõ duïng Jmin vaø imin. - Neáu lieân keát cuûa thanh trong hai maët phaúng quaùn tính khaùc nhau thì khi maát oån ñònh thanh seõ cong trong maët phaúng coù ñoä maûnh lôùn vaø caùc ñaïi löôïng J , i seõ laáy trong maët phaúng naøy. Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 7
GV: Leâ ñöùc Thanh 11.4 PHÖÔNG PHAÙP THÖÏC HAØNH TÍNH OÅN ÑÒNH THANH CHÒU NEÙN 1- Phöông phaùp tính: Thanh chòu neùn caàn phaûi thoûa : P σ ♦ Ñieàu kieän beàn: σ =≤[]σ ; vôùi: [σ] = o (11.16) n n n Fth trong ñoù: n - heä soá an toaøn veà ñoä beàn Fth - dieän tích tieát dieän giaûm yeáu (bò khoeùt loã); neáu khoâng khoeùt loã thì Fth = F laø tieát dieän nguyeân P σ th ♦ Ñieàu kieän oån ñònh: σ = ≤ [σ ]oâñ ; vôùi: [σ ]oâñ = (11.17) F koâñ trong ñoù: koâñ ( hay k)- heä soá an toaøn veà oån ñònh. Vì söï giaûm yeáu cuïc boä taïi moät soá tieát dieän coù aûnh höôûng khoâng ñaùng keå ñeán söï oån ñònh chung cuûa thanh. Do tính chaát nguy hieåm σ,kG/cm2 cuûa hieän töôïng maát oån ñònh vaø 2400 xeùt ñeán nhöõng yeáu toá khoâng traùnh ñöôïc nhö ñoä cong ban 2000 ñaàu, ñoä leäch taâm cuûa löïc neùn Euler Hyperbola 1400 2400 neân choïn koâñ > n, vaø k thay ñoåi 1000 k = 3,5 phuï thuoäc vaøo ñoä maûnh. Theùp k k xaây döïng coù koâñ = 1,8 ÷ 3,5 nhö k =1,7 minh hoïa treân H.11.7; gang Ñöôøng giôùi haïn öùng suaát λ 0 50 100 150 200 250 koâñ = 5 ÷ 5,5; goã koâñ = 2,8 ÷ 3,2. Hình.11.7 Heä soá an toaøn k cho theùp Ñeå thuaän tieän cho tính toaùn oâñ thöïc haønh, ngöôøi ta ñöa vaøo khaùi nieäm heä soá uoán doïc hoaëc heä soá giaûm öùng suaát cho pheùp ϕ ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: [σ] σ n ϕ = oâñ = th [σ]n σo k σ n ϕ < 1, vì caû hai tæ soá: th < 1 vaø < 1 σo k P töø ñoù: [σ ] = ϕ [σ ], vaø ñieàu kieän oån ñònh trôû thaønh: σ = ≤ ϕ[σ ] (11.18) oâñ F n P hay: ≤ [σ ] ; ϕF n hay: P ≤ []P oâñ = ϕ[σ ]n F (11.19) Ñieàu kieän oån ñònh (11.18) thoaû, ñieàu kieän beàn (11.16) khoâng caàn kieåm tra Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 8
GV: Leâ ñöùc Thanh Heä soá ϕ = ϕ [E, λ, k] ñöôïc cho ôû baûng 11.1 Baûng 11.1 Heä soá ϕ Trò soá ϕ ñoái vôùi Ñoä Theùp maûnh Theùp Theùp soá Gang Goã λ soá 5 CΠK 2,3,4 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 10 0,99 0,98 0,97 0,97 0,99 20 0,96 0,95 0,95 0,91 0,97 30 0,94 0,92 0,91 0,81 0,93 40 0,92 0,89 0,87 0,69 0,87 50 0,89 0,86 0,83 0,54 0,80 60 0,86 0,82 0,79 0,44 0,71 70 0,81 0,76 0,72 0,34 0,60 80 0,75 0,70 0,65 0,26 0,48 90 0,69 0,62 0,55 0,20 0,38 100 0,60 0,51 0,43 0,16 0,31 110 0,52 0,43 0,35 0,25 120 0,45 0,36 0,30 0,22 130 0,40 0,33 0,26 0,18 140 0,36 0,29 0,23 0,16 150 0,32 0,26 0,21 0,14 160 0,29 0,24 0,19 0,12 170 0,26 0,21 0,171 0,11 180 0,23 0,19 0,15 0,10 190 0,21 0,17 0,14 0,09 200 0,19 0,16 0,13 0,08 Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 9
GV: Leâ ñöùc Thanh Vì ϕ < 1 neân thöôøng chæ caàn kieåm tra ñieàu kieän oån ñònh laø ñuû. Tuy nhieân, neáu thanh coù giaûm yeáu cuïc boä do lieân keát bu loâng, ñinh taùn thì caàn kieåm tra caû hai ñieàu kieän beàn vaø oån ñònh. P - Ñieàu kieän beàn: σ =≤[]σ n (11.20) Fth P - Ñieàu kieän oån ñònh σ = ≤ ϕ[σ ] (11.21) F n trong thöïc teá, neáu thoûa (11.21) thì thöôøng cuõng thoûa (11.20). Ñoái vôùi baøi toaùn oån ñònh cuõng coù ba baøi toaùn: 1. Kieåm tra oån ñònh: P σ = ≤ ϕ [σ ] (11.22) F n 2. Xaùc ñònh taûi troïng cho pheùp: [P] ≤ ϕ F [σ ]n (11.23) Trong hai baøi toaùn treân, vì tieát dieän thanh ñaõ bieát neân coù theå suy ra heä μl soá ϕ theo trình töï: F, I → λ = → ϕ (tra baûng 11.1) J / F 3. Choïn tieát dieän: P F ≥ (11.24) ϕ[σ ]n vieäc tìm F phaûi laøm ñuùng daàn, vì trong (11.22) chöùa hai bieán: F vaø ϕ (F). Trình töï nhö sau: P - Giaû thieát: ϕo = 0,5; tính ñöôïc: Fo = ⇒ λo ϕo[σ ]n ϕ + ϕ' - Töø λ tra baûng ta ñöôïc ϕ ' . Neáu ϕ ' ≠ϕ thì laáy: ϕ = o o o o o o 1 2 P ' ⇒ F1 = ⇒ λ1 ⇒ ϕ1 ϕ1[σ ]n thöôøng laëp laïi quaù trình tính khoaûng 2 - 3 laàn thì sai soá töông ñoái giöõa hai laàn tính ñuû nhoû (≤ 5%). Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 10
GV: Leâ ñöùc Thanh Thí duï 11.3 Choïn soá lieäu theùp Ι cho thanh daøi 2,0m, lieân keát khôùp hai 2 ñaàu vaø chòu löïc neùn P = 230 kN. Bieát vaät lieäu laø theùp soá 2 coù [σ ]n = 14 kN / cm . Giaûi: a. Laàn choïn thöù nhaát P 230 Giaû thieát ϕ = 0,5 , ⇒ F ≥ = = 32,8cm2 [σ ]nϕ 14,0.0,5 Tra baûng theùp ñònh hình ta choïn theùp chöõ Ι soá 24 coù F = 34,8 cm2, iy = imin = 2,37 cm, ta coù ñoä maûnh: μ l 1.200 λ = = = 84,4 imin 2,37 Tra baûng quan heä giöõa λ vaø ϕ ta ñöôïc ϕ = 0,724 . Heä soá naøy khaùc vôùi giaû thieát ban ñaàu neân ta phaûi choïn laïi. b. Laàn choïn thöù hai 0,5 + 0,724 230 Giaû thieát: ϕ = = 0,612 ⇒ F ≥ = 26,84cm2 2 0,612.14 Tra baûng theùp ñònh hình ta tìm ñöôïc theùp chöõ Ι soá 20 vôùi F= 26,8 cm2, imin = 2,07 cm. Ñoä maûnh luùc ñoù baèng: 1.200 λ = = 96,6 2,07 tra baûng ta tìm ñöôïc ϕ = 0,631 gaàn ñuùng giaù trò 0,625 theo giaû thieát. Do ñoù, ta kieåm tra laïi ñieàu kieän oån ñònh: P 230 ≤ [σ ] ; = 13,6 kN / cm2 < [σ ] = 14 kN / cm2 ϕF n 0,631.26,8 Vaäy ta choïn theùp chöõ Ι soá 20. Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 11
GV: Leâ ñöùc Thanh 2- Choïn maët caét ngang vaø vaät lieäu hôïp lyù Khi thieát keá thanh chòu neùn, ngöôøi ta coá gaéng laøm cho khaû naêng chòu löïc cuûa thanh caøng lôùn caøng toát. Theo coâng thöùc (11.6) vaø (11.15) ta coù löïc tôùi haïn: π2 EI - Trong mieàn ñaøn hoài: Pth = (11.6) (μl)2 - Ngoaøi mieàn ñaøn hoài: Pth= σ th.F (11.15) 2 Thöôøng thì chieàu daøi vaø lieân keát σth, MN/m hai ñaàu thanh ñöôïc cho tröôùc. Vì vaäy, Theùp hôïp kim ñeå taêng Pth coù hai caùch: 300 Theùp ít cacbon 1) Choïn vaät lieäu coù moâñun ñaøn 240 hoài lôùn, Ví duï duøng theùp thay cho beâ 200 toâng. Tuy nhieân, chæ duøng theùp cöôøng ñoä cao thay cho theùp cöôøng ñoä thaáp 100 khi thanh laøm vieäc ngoaøi mieàn ñaøn hoài; coøn trong mieàn ñaøn hoài theùp coù moâñun ñaøn hoài gioáng nhau neân vieäc 0 40 80 100 120 160 λ thay theá khoâng coù lôïi veà maët chòu löïc nhö ñoà thò treân H.11.8 theå hieän. 2) Neáu heä soá lieân keát μ gioáng nhau theo hai phöông thì caáu taïo tieát dieän coù I x = I y , vaø thöôøng laøm tieát dieän roãng ñeå taêng moâmen quaùn tính cuûa maët caét nhöng phaûi coù caáu taïo ñeå khoâng maát oån ñònh cuïc boä. Tieát dieän hôïp lyù cuûa coät chòu neùn trong thöïc teá thöôøng coù daïng nhö treân H.11.9 Hình 11.9 Daïng tieát dieän hôïp lyù Neáu lieân keát hai phöông khaùc nhau thì neân caáu taïo tieát dieän sao cho coù λmax = λmin J x J y hay: 2 = 2 (11.25) μx μ y Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 12
GV: Leâ ñöùc Thanh 11.5 XAÙC ÑÒNH LÖÏC TÔÙI HAÏN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP NAÊNG LÖÔÏNG 1- Khaùi nieäm Vieäc tìm löïc tôùi haïn cuûa thanh coù ñoä maûnh lôùn theo phöông phaùp tónh do Euler thöïc hieän laø chính xaùc. Tuy nhieân, trong thöïc teá coù nhöõng baøi toaùn phöùc taïp hôn nhö thanh coù ñoä cöùng EJ thay ñoåi, löïc phaân boá doïc theo truïc thanh thì vieäc thieát laäp vaø giaûi phöông trình vi phaân ñeå tìm löïc tôùi haïn trôû neân phöùc taïp. Trong tröôøng hôïp ñoù, ngöôøi ta coù theå döïa treân nguyeân lyù baûo toaøn naêng löôïng ñeå tìm nghieäm gaàn ñuùng. 2- Phöông phaùp naêng löôïng xaùc ñònh löïc tôùi haïn Giaû söû thanh chòu neùn ñuùng taâm bôûi löïc Pth, nhö ñöôïc minh hoïa treân H.11.10. dz z dz e de Pth y l Hình 11.10 Xaùc ñònh löïc tôùi haïn Döôùi taùc ñoäng cuûa nhieãu, thanh bò uoán cong vôùi phöông trình y(z), ñieåm ñaët cuûa löïc Pth dòch chuyeån moät ñoaïn e. Theo nguyeân lyù baûo toaøn naêng löôïng, coâng A cuûa löïc Pth baèng theá naêng bieán daïng uoán U cuûa thanh: A = U (11.26) trong ñoù: A = Pthe (11.27) l 2 l M 1 2 U = ∫∫dz = EJy'' dz (11.28) o 2EJ 2 o Ñeå xaùc ñònh ñoä co ngaén e cuûa thanh do söï uoán cong gaây ra, ta xeùt phaân toá thanh dz treân H.11.11. Ta coù: 2 θ ⎛ θ ⎞ θ2 de = dz − dz cos θ = dz(1 − cos θ) = dz(2 sin2 ) = dz2⎜ ⎟ = dz 2 ⎝ 2 ⎠ 2 y'2 hay: de = dz (11.29) 2 Chuù yù raèng, vì goùc xoay θ laø beù neân ôû treân ta ñaõ coi: θ θ sin = ; θ = tgθ = y' 2 2 Tích phaân (11.30) ta ñöôïc: l l y'2 1 e = dz = y'2 dz (11.30) ∫ 2 2 ∫ o o Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 13
GV: Leâ ñöùc Thanh P l Do ñoù: A = th ∫ y'2 dz (11.31) 2 o Theá (11.31) vaø (11.28) vaøo (11.26) ta coù: l l P 1 2 th ∫ y'2 dz = ∫ EIy" dz 2 o 2 o l 2 ∫ EIy" dz o hay: Pth = l (11.32) ∫ y'2 dz o Khi tìm löïc Pth theo phöông phaùp naêng löôïng, ta choïn y(z) thoûa ñieàu kieän bieân vaø theá vaøo (11.33). Vì thöôøng y(z) laø gaàn ñuùng neân löïc Pth cuõng gaàn ñuùng. Söï sai leäch cuûa ñöôøng ñaøn hoài y(z) coù yù nghóa nhö laø thanh ñöôïc ñaët theâm moät heä lieân keát ñaøn hoài naøo ñoù phaân boá doïc theo truïc thanh vaø laøm cho thanh trôû neân cöùng hôn. Vì vaäy, löïc Pth tìm theo phöông phaùp naêng löôïng luoân lôùn hôn giaù trò thaät (chæ baèng giaù trò thaät khi ñöôøng ñaøn hoài ñöôïc choïn chính xaùc). Thí duï 11.4 Tìm löïc Pth cho thanh treân H.11.11 P th vôùi EJ = haèng soá Giaûi. Giaû söû ñöôøng ñaøn hoài ñöôïc choïn gaàn ñuùng theo l daïng do löïc phaân boá ñeàu gaây ra nhö sau: 3 2 3 y = αz(z − 2lz + l ) Hình 11.11 vôùi α - laø moät haèng soá beù. Tìm P th baèng ta coù: y' = α(4z3 − 6lz2 + l3) phaùp naêngphöông löôïn g y'' = 12α (z2 − lz) 9,882EI theá vaøo (11.33) ta tìm ñöôïc: Pth = l2 π2EI 9,8696EI So vôùi nghieäm chính xaùc Pth = = thì keát quaû tính lôùn hôn 0,25%. l2 l2 Neáu ñöôøng ñaøn hoài choïn laø moät nöûa soùng hình sine, töùc laø truøng vôùi ñöôøng ñaøn hoài chính xaùc cuûa baøi toaùn Euler, thì Pth tìm theo phöông phaùp naêng löôïng cuõng cho keát quaû chính xaùc. Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 14
GV: Leâ ñöùc Thanh BAØI TAÄP CHÖÔNG 11 11.1 Cho boán thanh coù maët caét ngang nhö nhau laøm baèng cuøng moät loaïi vaät lieäu vaø coù lieân keát nhö treân H.11.1. Neáu muoán chòu ñöôïc cuøng moät löïc neùn ñuùng taâm thì chieàu daøi cuûa moãi thanh phaûi baèng bao nhieâu La. Giaû thieát vaät lieäu maát oån ñònh trong mieàn ñaøn hoài vaø EJ = haèng soá. d c b l a l l l a) b) c) d) Hình 11.1 11.2 Thanh coù chieàu daøi L = 3 m, moät ñaàu ngaøm, moät ñaàu khôùp. Haõy xaùc ñònh löïc tôùi haïn cuûa thanh trong ba tröôøng hôïp sau ñaây: a. Maët caét hình troøn baùn kính R = 4 cm, vaät lieäu laø gang xaùm coù: 2 4 2 σtl = 17,8 kN/cm ; E = 1,15.10 kN/cm . b. Maët caét hình troøn roãng baùn kính ngoaøi R = 3 cm vaø baùn kính trong 2 4 2 r = 2 cm, vaät lieäu laø ñura coù σtl = 18 kN/cm ; E = 0,71.10 kN/cm . c. Maët caét hình vuoâng caïnh 15 cm × 15 cm, vaät lieäu baèng goã coù: 2 4 2 σtl = 1,7 kN/cm ; E = 0,1.10 kN/cm . Bieát hai heä soá trong coâng thöùc Iasinski laø a = 2,93 kN/cm2 vaø b = 0,0194 kN/cm2 11.3 Cho thanh baèng gang coù l = 1,6 m; P a = 6 cm; t = 1 cm nhö H.11.14. Xaùc ñònh löïc tôùi haïn vaø öùng suaát tôùi haïn. Cho λo = 80; t a a = 77,6 kN/cm2; b = 1,2 kN/cm2. Muoán l thanh maát oån ñònh khi vaät lieäu coøn laøm vieäc t trong giôùi haïn ñaøn hoài thì chieàu daøi cuûa a thanh phaûi bao nhieâu? Hình 11.3 Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 15
GV: Leâ ñöùc Thanh 11.4 Kieåm tra oån ñònh cuûa caùc P = 200kN thanh cho treân H.11.4, neáu [σ] = 14 kN/cm2. Löïc neùn cho pheùp P = 200kN lôùn nhaát laø bao nhieâu? Vaät lieäu m 5 2L 160 x100 x9 4L 80 x 6 cuûa thanh theùp laø theùp soá 3. m 20 3 a) b) Hình 11.4 11.5 Cho hai heä thanh chòu löïc nhö treân H.11.5. Xaùc ñònh soá hieäu maët caét chöõ I cuûa thanh choáng AB, bieát [σ ] = 16 kN/cm2. Vaät lieäu laø theùp soá 3. Xaùc ñònh heä soá an toaøn veà oån ñònh cuûa caùc thanh ñoù. q = 40 kN/m P = 200 kN P = 950 kN A A C 2 m 2 m 3 m 2 m B a) o 60 B 2 m 4 m b) Hình 11.5 11.6 Moät giaù ñôõ chòu taûi troïng phaân boá ñeàu nhö treân H.11.6. Xaùc ñònh trò soá cho pheùp cuûa cöôøng ñoä taûi troïng phaân boá taùc duïng leân giaù. Thanh AB coù maët caét hình vuoâng caïnh 5 cm x 5 cm laøm baèng goã coù [σ] = 1 kN/cm2. 10 m a D A q B y P = 100 kN 1 1 8 m x 5 cm C Hình 11.7 Hình 11.6 Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 16
GV: Leâ ñöùc Thanh 11.7 Moät daàm caàu truïc AD chòu löïc nhö H.11.7. Coät BC laøm baèng hai theùp chöõ I soá 14 gheùp laïi sao cho moâ men quaùn tính ñoái vôùi hai truïc baèng nhau. Xaùc ñònh chieàu daøi toái ña cuûa muùt thöøa a, bieát raèng coät laøm vieäc baát lôïi nhaát khi xe caàu truïc mang moät troïng löôïng 100 kN ñaët ôû ñaàu muùt thöøa. Taûi troïng phaân boá q = 4 kN/m. L 80 x 80 x 6 P m 2 A l L 100 x 100 x 10 a m c 1 B 1 cm a 6 m Hình 11.8 Hình 11.9 11.8 Heä thanh chòu löïc nhö H.11.8. Xaùc ñònh chieàu daøi l cuûa thanh choáng AB laøm baèng theùp coù [σ] = 14 kN/cm2. Cho bieát taûi troïng P = 300 kN. 11.9 Moät thanh chòu neùn ñuùng taâm ñöôïc laøm baèng boán theùp goùc ñeàu caïnh loaïi 80 × 80 × 6 (H.11.9). Xaùc ñònh kích thöôùc a cuûa maët caét. Bieát thanh daøi l = 6 m hai ñaàu lieân keát khôùp vaø chòu löïc neùn ôû ñaàu coät P =200 kN. Vaät lieäu coù [σ] = 20 kN/cm2. 11.10 Moät coät goã daøi L= 3 m, maët caét hình chöõ nhaät b × h. Ñaàu döôùi cuûa coät ñöôïc choân vaøo neàn beâ toâng, ñaàu treân coù theå tröôït theo moät khe nhoû song song vôùi phöông chieàu daøi h cuûa maët caét (H.11.10). Xaùc ñònh kích thöôùc cuûa maët caét b × h sao cho maët caét laø hôïp lyù nhaát. Cho bieát löïc neùn P = 100 N, [σ] = 1 kN/cm2. P P b 3 m h Chöông 11: Oån ñònh thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm 17
GV: Leâ ñöùc Thanh Chöông 12 UOÁN NGANG VAØ UOÁN DOÏC ÑOÀNG THÔØI 12.1 ÑAËC ÑIEÅM BAØI TOAÙN Xeùt moät thanh chòu uoán bôûi taùc ñoäng ñoàng thôøi cuûa löïc ngang R vaø löïc neùn doïc P nhö treân H.12.1. Neáu chuyeån vò laø ñaùng keå thì caàn phaûi xeùt caân baèng cuûa thanh treân sô ñoà bieán daïng vaø moâmen noäi löïc seõ bao goàm aûnh höôûng cuûa löïc R vaø P: M(z) = MR + MP = MR + Py(z) (12.1) trong ñoù: MR - moâmen uoán do rieâng taûi troïng ngang gaây ra Py(z) - moâmen uoán do löïc doïc gaây ra. R P z y(z) Hình 12.1 Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi Baøi toaùn nhö vaäy ñöôïc goïi laø uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi. Ñaëc ñieåm cuûa baøi toaùn: - Moâmen M(z) phuï thuoäc vaøo ñoä voõng y(z) - Moâmen M(z) phuï thuoäc phi tuyeán vaøo löïc P vì ñoä voõng y(z) cuõng phuï thuoäc vaøo P. Vì vaäy, nguyeân lyù coäng taùc duïng khoâng aùp duïng ñöôïc cho loaïi baøi toaùn naøy. 12.2 PHÖÔNG PHAÙP CHÍNH XAÙC Ñeå tìm ñöôïc moâmen uoán, tröôùc heát caàn thieát laäp phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm chòu löïc neùn P vaø taûi troïng ngang. q(z) Q q(z) M + dM P M α P P P y(z) O dz Q + dQ Hình 12.2 Thanh chòu uoán neùn Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi 1
GV: Leâ ñöùc Thanh Xeùt caân baèng treân sô ñoà bieán daïng cuûa phaân toá thanh dz nhö treân H.12.2 ∑ Mo = 0 : M + dM − M − Qdz − Pdz tgα = 0 dy chuù yù raèng : tgα = dz dM dy ta coù: − P = Q (12.2) dz dz dQ laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (12.2), chuù yù raèng = −q(z) , ta coù phöông trình: dz d2M d2 y − P = − q (z) (12.3) dz2 dz2 theá M = −EIy" (*) vaøo (12.3) ta thu ñöôïc: EIyIV + Py" = q (z) (12.4) Ñaây laø phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm chòu neùn uoán. Neáu bieát taûi troïng taùc duïng vaø caùc ñieàu kieän bieân thì coù theå giaûi (12.4) ñeå tìm ñöôøng ñaøn hoài, töø ñoù suy ra moâmen uoán theo phöông trình (*). Trong thöïc teá, thöôøng coù nhieàu quy luaät taûi troïng khaùc nhau treân chieàu daøi thanh neân vieäc giaûi phöông trình (12.4) raát phöùc taïp. Vì vaäy, ngöôøi ta thöôøng aùp duïng phöông phaùp gaàn ñuùng döôùi ñaây. 12.3 PHÖÔNG PHAÙP GAÀN ÑUÙNG Xeùt daàm ñôn giaûn chòu taûi troïng ñoái xöùng nhö H.12.3. q q P f0 f l l a) b) Hình 12.3 Ñöôøng ñaøn hoài ñoái xöùng Sô ñoà (a) chæ chòu taûi troïng ngang, vôùi ñoä voõng giöõa nhòp fo. Sô ñoà (b) chòu ñoàng thôøi taûi troïng ngang vaø taûi troïng doïc, coù ñoä voõng giöõa nhòp f. Giaû thieát ñöôøng ñaøn hoài coù daïng hình sine (gioáng daïng maát oån ñònh), ta coù phöông trình ñöôøng ñaøn hoài trong hai tröôøng hôïp nhö sau: π z πz y = f sin ; y = f sin o o l l Daïng phöông trình naøy thoûa ñieàu kieän bieân y = y" = 0 taïi hai khôùp. Moâmen uoán noäi löïc töông öùng nhö sau: 2 2 " π πz π Mo = − EIyo = EI fo sin = EI yo l2 l l2 Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi 2
GV: Leâ ñöùc Thanh π2 πz π2 M = − EIy" = EI f sin = EI y l2 l l2 Theá caùc keát quaû naøy vaøo phöông trình (12.1) ta coù: π2 π2 EI y = EI yo + Py (12.5) l2 l2 y (z) töø ñoù suy ra: y(z) = o π2 EI 1 − P / l2 y (z) hay: y(z) = o (12.6) P 1 − Pth π2 EI vôùi: Pth = laø löïc tôùi haïn cuûa thanh khi maát oån ñònh trong maët phaúng l2 uoán. ñaïo haøm hai veá cuûa (12.6) vaø nhaân vôùi –EI ta coù: − EIy" (z) − EIy" (z) = 0 P 1 − Pth M hay: M(z) = o (12.7) P 1 − Pth Chuù yù: - Neáu taûi khoâng ñoái xöùng nhöng cuøng höôùng veà moät phía thì caùc coâng thöùc treân keùm chính xaùc hôn nhöng vaãn duøng ñöôïc. - Neáu thanh coù lieân keát hai ñaàu khaùc thì vaãn duøng ñöôïc caùc coâng thöùc (12.6), (12.7) nhöng caàn xeùt tôùi heä soá lieân keát μ trong coâng thöùc Pth: π2EI Pth = (12.8) (μl)2 12.4 ÖÙNG SUAÁT VAØ KIEÅM TRA BEÀN ÖÙng suaát lôùn nhaát ñöôïc tính theo coâng thöùc: P M P M max σ = + = + o (12.9) P A W A W(1 − ) Pth Vì öùng suaát phuï thuoäc phi tuyeán vaøo taûi troïng neân kieåm tra beàn theo öùng suaát cho pheùp khoâng ñaûm baûo an toaøn theo heä soá n döï kieán. Trong tröôøng hôïp naøy, ngöôøi ta duøng ñieàu kieän an toaøn theo taûi troïng nhö sau: nP nM + o ≤ σ (12.10) nP o A W(1 − ) Pth Ví duï 12.1 Tìm moâmen uoán vaø ñoä voõng lôùn nhaát cuûa daàm theùp chöõ INo36 chòu löïc nhö treân H.12.4. Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi 3
GV: Leâ ñöùc Thanh q = 2 kN/m S = 120 kN x y 4m Hình 12.4 Giaûi. Söû duïng baûng tra theùp ñònh hình, töông öùng vôùi soá hieäu INo36 vaø caùc kyù hieäu treân hình treân, ta coù: 2 4 4 4 2 A = 61,9 cm ; Ix = 516 cm ; Iy = 13380 cm ; E = 2,1.10 kN/cm Trò soá lôùn nhaát cuûa moâmen uoán, ñoä voõng do taûi troïng ngang gaây ra taïi ql2 2.42 giöõa nhòp: M = = = 4 kNm o 8 8 5 ql4 5 2.10−2.4004 = = = yo . . 4 0,615 cm 384 EIx 384 2,1.10 .516 Trò soá löïc tôùi haïn: 2 2 4 π EIx π .2,1.10 .516 Pth = = = 668 kN ()μl 2 ()1.400 2 Ñoä voõng cuûa daàm, theo coâng thöùc gaàn ñuùng: y 0,615 y = o = = 0,75cm , taêng 22% so vôùi y S 120 o 1 − 1 − Pth 668 Moâmen uoán lôùn nhaát, theo coâng thöùc gaàn ñuùng thöù nhaát: M = Mo + Sy = 4 + 120.0,075 = 4,9 kNm Moâmen uoán lôùn nhaát, theo coâng thöùc gaàn ñuùng thöù hai: M 4 M = o = = 4,87 kNm sai soá 0,5% so vôùi coâng thöùc gaàn ñuùng thöù S 120 1 − 1 − Pth 668 nhaát. Giaù trò moâmen trong tröôøng hôïp uoán ngang vaø doïc taêng 22,5% so vôùi moâmen chæ do löïc ngang gaây ra, töùc laø thieân veà an toaøn hôn. 12.5 THANH COÙ ÑOÄ CONG BAN ÑAÀU 1- AÛnh höôûng cuûa ñoä cong ban ñaàu Xeùt thanh coù ñoä cong ban ñaàu, chòu löïc neùn P nhö treân H.12.5. Giaû söû ñöôøng cong ban ñaàu coù daïng: πz y = a sin (12.11) o l Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi 4
GV: Leâ ñöùc Thanh P z yo a y1 y l/2 l/2 Hình 12.5 Thanh coù ñoä cong ban ñaàu Do taùc duïng cuûa löïc P, thanh bò voõng theâm coù phöông trình y1(z). Ñoä voõng toaøn phaàn: y = yo + y1 (12.12) Moâmen uoán do löïc P gaây ra: M = Py = P(yo + y1) (12.13) Phöông trình vi phaân ñoä voõng theâm: '' EIy1 = − M = − P(yo + y1) (12.14) P theá (12.11) vaøo (12.14) vaø ñaët: α2 = ta coù: EI πz y'' + α2 y = − α2a sin (12.15) 1 1 l Nghieäm cuûa phöông trình naøy coù daïng: 1 πz y = A sin αz + B cos αz + a sin (12.16) 1 π2 l − 1 α2l2 Caùc ñieàu kieän bieân: y1(0) = 0 ⇒ B = 0 y1(l) = 0 ⇒ A = 0 1 πz 1 πz Do ñoù: y = a sin = a sin 1 π2 l π2 l − 1 − 1 2 2 P α l l2 EI k πz hay: y = a sin (12.17) 1 1 − k l P P = = vôùi: k 2 (12.18) Pth π EI l2 k πz a πz Ñoä voõng toaøn phaàn: y = y + y = (a + a) sin = sin o 1 1 − k l 1 − k l y hay: y = o (12.19) P 1 − Pth Moâmen lôùn nhaát giöõa nhòp: Pa M = Py = (12.20) max max P 1 − Pth Neáu ñöôøng cong ban ñaàu coù daïng baát kyø thì coù theå phaân tích thaønh πz 2πz chuoãi Fourier nhö sau: y = a sin + a sin + (12.21) o 1 l 2 l theá (12.13) vaøo (12.21) vaø giaûi ra y1 ta coù: Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi 5
GV: Leâ ñöùc Thanh ⎛ a1 πz a2 2πz ⎞ y1 = k⎜ sin + sin + ⎟ (12.22) ⎝ 1 − k l 22 − k l ⎠ P vì: k = < 1 neân khi P ñuû lôùn thì soá haïng ñaàu troäi haún vaø chæ caàn xeùt soá Pth haïng naøy. 2- Xaùc ñònh löïc tôùi haïn baèng thöïc nghieäm thanh lieân keát khôùp hai ñaàu Xeùt thanh chòu neùn nhö treân H.12.6, trong thöïc teá thanh luoân coù ñoä cong ban ñaàu. P δ a1 δ tanα = Pth δ α p a1 Hình 12.6 Hình 12.7 Thanh coù ñoä cong ban ñaàu chòu neùn Caùch xaùc ñònh löïc tôùi haïn Khi löïc P ñuû lôùn thì duø thanh bò cong ban ñaàu theá naøo, ta vaãn coù quan heä giöõa δ vaø a1 theo (12.17): k a δ = a = 1 − k 1 P 1 th − 1 P δ hay: δ = P ( ) − a th P 1 Ñaây laø phöông trình baäc nhaát cuûa hai bieán δ vaø δ / P neân coù ñoà thò laø moät ñöôøng thaúng nhö treân H.12.7. Khi thí nghieäm, öùng vôùi moãi giaù trò löïc neùn Pi , ta ño ñöôïc chuyeån vò δ i vaø tính ñöôïc δ i / Pi , töø ñoù laäp baûng keát quaû thí nghieäm coù daïng: P P1 P2 Pn δ δ1 δ2 δn δ /P δ1 /P1 δ2 /P2 δn /Pn Töø ñoù xaùc ñònh caùc ñieåm treân heä truïc δ P − δ vaø veõ ñöôïc ñoà thò nhö treân H.12.7. Ta thöôøng duøng phöông phaùp bình phöông cöïc tieåu ñeå xaùc ñònh Pth vaø ñoä voõng ban ñaàu lôùn nhaát a1 . Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi 6
GV: Leâ ñöùc Thanh 12.6 COÄT CHÒU NEÙN LEÄCH TAÂM Xeùt coät maûnh chòu neùn leäch taâm bôûi löïc P nhö treân H.12.8. πz y = a sin (12.11) o l Do taùc duïng cuûa löïc P, coät bò cong vaø coù phöông trình y(z). Moâmen uoán taïi moät tieát dieän do löïc P gaây ra: M = P{e + y(z)} = Pe + Py(z) (12.23) trong ñoù: e - laø ñoä leäch taâm ban ñaàu; y - laø ñoä voõng cuûa truïc coät. Phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài nhö sau: z M y''(z) = − (12.24) e EI P P Theá (12.23) vaøo (12.24) vaø ñaët α2 = ta EI ñöôïc: y" + α2 y = − α2e (12.25) δ l Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy laø y(z) toång cuûa nghieäm thuaàn nhaát vaø nghieäm rieâng: y = A sin αz + B cos αz − e (12.26) P y e trong ñoù: A vaø B - laø caùc haèng soá cuûa nghieäm Hình 12.8 Coät coù ñoä cong ban ñaàu thuaàn nhaát; e - laø nghieäm rieâng. Caùc ñieàu kieän bieân: y (0) = 0 ⇒ B = e e(1 − cos αl) αl y (l) = 0 ⇒ A = = e tan sin αl 2 Phöông trình ñöôøng ñaøn hoài trôû thaønh: αl y = e(tan sin αz + cos αz − 1) (12.27) 2 l Ñoä voõng lôùn nhaát taïi giöõa nhòp, töùc z = laø: 2 1 δ = y = e ( − 1) (12.29) max αl cos 2 (12.28) Neáu e = 0 hoaëc P = 0 thì δ = 0 . Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi 7