Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb

Nội dung text: Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 332-337, DOI 10.15625/vap.2019000298 Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb Đỗ Đăng Khoa1),Ngô Hồng Đăng2),Phan Đăng Phong2) ,Đỗ Sanh1) 1)Trường Đại Học Bách khoa Hà nội,2) Viện Nghiên cứu Cơ Khí Email: dangnh@narime.gov.vn Tóm tắt các thông số vật lý của môi trường đo được qua thực Trong bài báo khảo sát động lực học của máy bào khi có nghiệm đưa ra mô phỏng lực ma sát và đưa chúng vào ma sát Coulomb tại các khớp trượt. Đây thuộc trường hợp cơ hệ “Sổ tay kỹ sư”. Trong bài báo này sử dụng Nguyên lý chịu liên kết không lý tưởng cho đến nay chưa có phương pháp Phù hợp đưa lực ma sát vào biểu thức các lực suy rộng và tổng quát để xử lý vì rằng phản lực tiêu hao năng lượng [5]. Do tìm cách (bằng cách tách vật và sử dụng phương pháp phản lực liên kết tiêu hao công nên việc xác định lực suy rộng để thành lập phương trình chuyển động gặp khó khăn. Điều này Tĩnh hình học với sự trợ giúp của phương pháp ma trận gây khó khăn trong việc tính lực suy rộng của phản lực liên kết. truyền) tính lực ma sát và đưa chúng vào hệ phương trình Phản lực liên kết tiêu hao công phụ thuộc vào các thông số vật mô tả chuyển động. Trong cách như vậy có thể nhận lý môi trường tiếp xúc nên rất khó xác định. Một trong hướng được phương trình đầy đủ để mô tả chuyển động cơ hệ. này là mô phỏng lực ma sát theo định luật ma sát Coulomb Phương pháp được chứng minh qua việc thiết lập phương [15]. Việc khảo sát bài toán khó khăn vì đây là vấn đề không trình chuyển động với các khớp trượt có ma sát Coulomb thể tránh khỏi đặc biệt trong động lực các máy vì độ chính xác của máy bào. [2,9,11,12]. gia công dù hoàn hảo đến đâu cũng không thể loại trừ hoàn toàn sự xuất hiên ma sát. Bài toán này càng gặp khó khăn trong trường hợp không chỉ đối với trường hợp ma sát ngoài mà cả 2. Cơ sở lý thuyết ma sát trong. Trường hợp sau gặp phổ biến đối với động lực các máy. Khảo sát cơ hệ vị trí của nó được xác định bởi các Trong báo cáo khảo sát bài toán khi có xuất hiện cả ma sát tọa độ x ,y ,z (𝑘1,𝑁) chịu liên kết ma sát [8,9,10,15]: ngoài và trong. Dựa vào Nguyên lý Phù hợp để đưa các lực ma k k k sát Coulomb vào các lực hoạt động trong việc thiết lập các phương trình chuyển động của cơ hệ và tách vật sử dụng fftxyz  (,kkk , , ) 0 (1) phương pháp Tĩnh hình học - động lực và phương pháp ma trận truyền để xác định các định các lực ma sát nhờ đó tính được lực Phương trình chuyển động cơ hệ được viết trong suy rộng của các lực ma sát và nhờ đó nhận được hệ đầy đủ mô dạng tả chuyển động cơ hệ có xuất hiện ma sát [2,9,11,12]. Từ khóa: Định luật ma sát Coulomb, Nguyên lý Phù hợp, Liên mkNrNF ms ;1, kk k k (2) kết không lý tưởng, Phương pháp ma trận truyền, Phương trình chuyển động dạng ma trận Trong đó: N k - phản lực pháp tuyến tác dụng lên chất điểm Mk, còn Fk lực ma sát Coulomb, nó được xác định 1. Mở đầu từ biểu thức: ms Khảo sát các cơ hệ có tương tác các lực ma sát theo Fkk fN (3) Định luật Coulomb. Khó khăn trong trường hợp này là hệ Ở đây và tiếp sau ma trận được viết đậm nét và véctơ được khảo sát chịu liên kết không lý tưởng nên phản lực được đồng nhất với ma trân cỡ (3x1) cả nội và ngoại liên kết đều tiêu hao năng lượng và do đó Trong tọa độ suy rộng dư ( qq, , , q ) , các phương không thể tính được lực suy rộng. Tuy lực ma sát được 12 m mô phỏng theo Định luật Coulomb nhưng công thức này trình có thể viết trong hệ tọa độ suy rộng: mô phỏng lực ma sát qua lực chưa xác định khác là phản lực pháp tuyến. Hơn nữa công thức mô phỏng chỉ cho f (,tq12 , q , , qm ) 0; 1, r m k (4) biết quan hệ về giá trị tuyệt đối. Đối với ma sát trong thì trong đó k là số tọa độ suy rộng độc lập. lực ma sát xuất hiện từng đôi một trực đối nhưng tổng Phương trình chuyển động của cơ hệ trong trường hợp công của chúng khác không. Để giải quyết bài toán này lý tưởng có dạng [8,9,10] theo có thể thực hiện theo hai hướng. Hướng thứ nhất theo phương pháp tính gần đúng liên tiếp; bước đầu xem 0 qt chỗ tiếp xúc không có ma sát, chỉ có phản lực pháp, và DAq = D(Q + Q ) (5) tính được phản lực pháp, dùng kết quả này dựa vào Định 0 qt Trong đó, Q - lực suy rộng của lực hoạt động ; Q - lực luật Coulomb để tính lực ma sát và trong bước tiếp dùng suy rộng của các lực quán tính, chúng được xác định từ lực ma sát tính được cho các bước tiếp theo trong đó lực ma trận quán tính A. ma sát đã biết. Hướng thứ hai là khảo sát môi trường từ
2. Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh Ma trận D cỡ (km ) được xác định từ các hệ số nhận được khi viết các phương trình liên kết trong dạng đạo hàm bậc hai theo thời gian và tính các gia tốc suy rộng qua các gia tốc suy rộng độc lập từ việc giải hệ phương trình này. Nói cách khác ma trận D sẽ gồm các hệ số d  j k qdq  ; ( 1, kjmkmr ; 1, , ) (6) jj   1 Trong trường hợp liên kết không lý tưởng, phương trình chuyển động của cơ hệ có thể được viết trong dạng: DAq = D(Q0 + Qqt + Q lk ) (7) Trong đó Qlk là lực suy rộng của các phản pháp tuyến và lực ma sát. Do các phản lực pháp tuyến không tiêu hao công, nên lực Hình 1. Mô hình máy bào khảo sát suy rộng Qlk của các lực liên kết, là ma trận cỡ (mx1), các thành phần của chúng có biểu thức: O1B tương ứng b1,b2. Ma sát trượt giữa các khâu có hệ số ma sát fms. Xác định chuyển động máy bào khi có tải F. m r Để xác định vị trí của máy bào ta chọn các tọa độ suy lk ms k (8) Qjmj Fk ;1,  rộng 123,, y ,trong đó 12, là các góc định vị của j 1 q j Trong trường hợp liên kết (1) có ma sát, nên liên kết là các khâu 0A và 01B đối với phương ngang, 3 -góc giữa không lý tưởng, hệ phương trình (9), (10) là hệ phương khâu 0B và 0A ,còn y là tọa độ của đầu bào như trên trình chưa đầy đủ do xuất hiện các lực ma sát trong biểu hình 1. Hệ có một bậc tự do nên có 3 phương trình liên thức (8). Để mô tả chuyển động cơ hệ trong trường hợp kết: này (trường hợp liên kết không lý tưởng) cần thiết lập fh11 cos 21 l sin( 2 1); các điều kiện bổ sung từ giả thiết ma sát thỏa mãn Định fl sin yhh 0; (9) luật ma sát Coulomb để tính các lực ma sát. Cho mục 22 2 12 đích này có thể thực hiện theo hai bước sau: f323 0.5 0 - Bước đầu tiên: viết phương trình (7) cho cơ hệ với liên Chọn tọa độ suy rộng độc lập, từ đó ta dễ dàng xác định kết không lý tưởng. biểu thức các gia tốc qua gia tốc độc lập này. Đó là: - Bước tiếp theo: tách vật và sử dụng Định luật ma sát l cos( )  112 ; Coulomb để tính lực ma sát chỉ liên quan đến các yếu tố 21 hl11112sin cos( ) động lực tác dụng lên cơ hệ cùng trạng thái chuyển động l112cos( ) cơ hệ (gia tốc,vận tốc, tọa độ) trong đó đã loại trừ các 31 ; (10) phản lực pháp tuyến nhờ Định luật Coulomb và từ đó hl11112sin cos( ) tính được các lực suy rộng của các lực ma sát qua biểu ll12cos 2cos( ) y 12 thức (8), thay chúng vào (7), từ đó nhận được một hệ hlsin cos( ) phương trình đầy đủ cùng với điều kiện đầu. Tích phân 11112 chúng xác định được chuyển động của cơ hệ được khảo sát. Xét trường hợp tại các khớp trượt A, B và C đề có các lực ma sát trượt, được ký hiệu qua FFF,,. 3. Khảo sát động lực học của máy bào chịu 234 tương tác ma sát Coulomb Để tính các thông số động học sử dụng các ma trận sau: cos 11 sin 0 cos 2 sin 2 0 Khảo sát động lực học máy bào được cho trên Hình 1. tth1112 sin cos 0 ; sin 221 cos ; Tay quay OA có độ dài l1, được cân bằng và có mô men quán tính đối với trục quay 0 bằng J1. Cần lắc 01B là 001 001 thanh đồng chất, có khối lượng m2, có mômen quán tính (khối) đối với khối tâm C2 bằng J2. Thân máy bào trượt cos 332 sinly 1 0 theo phương ngang có khối lượng m. Con trượt A và B tt sin cos 0 : 0 1 0 ; được xem là các vật có khối lượng tương ứng 11 là m3 và 3334 m4. Thanh 0A chịu tác dụng ngẫu lực M và đầu bào C 001001 chịu tác dụng lực tải F. Hệ số cản nhớt các khâu OA,
3. Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb TTT TT T 2 10y cos 11 sin 0 a33 mrttttr 33 3`2 2313 mrtttttr 44 31223144 my 4 ; TT4111 010; sin cos 0; TTT TT a34 mrtttttttr 444413223414 0; 001 0 0 1 a mrttttttrTT TT m cos sin 0 sin cos 0 44 4 4 41 3 2 2 3 41 4 4 22 1 1 (16) Tt sin cos 0 ; cos sin 0 ; 222111 Ở đây và tiếp sau, ký hiệu T ở góc phải cao của ký tự ký 001 0 00 hiệu phép tính chuyển vị của ma trận sin 11 cos 0 sin 1 cos 1 0 Thế năng cơ hệ có dạng: tt21 cos sin 1 0 31 cos sin1 0 ; mglsin m gc sin m gl sin (17) 000 000 1222322 001lcc123 0 Các lực suy rộng của các lực không thế được tính qua trrrr41 000; 0; 2 0; 3 0; 0; công suất W1 của chúng [12-14]: 000 1 1 1 1 (11) W114 M  Fv (18) Để viết phương trình chuyển động của máy bào phương trinh chuyển động cơ hệ dạng ma trận được sử dụng. Đó Trong đó: là [9,10,12-14]: vl42 sin 22  (19) DAq = D(Q + Qqt Qms ) (12) Đầu tiên tính ma trận D. Từ các hệ thức (10) có các biểu Do đó: thức sau:  ;;; ddyd     (13) 112211331411 WM11222  Flsin (20) Trong đó: l112cos( ) Do đó: d21= ; hl11112sin cos( ) WWWW1111 l112cos( ) QQQQ01 ;; 02 03 ; 04 (21) d31= ; (14)  123y hl11112sin cos( ) ll1 2cos 2cos( 12 ) Lực suy rộng Q0 là ma trân (4x1) gồm các phần tử: d41= hl11112sin cos( ) qt qt qt QQQ 12 (22) Từ đây tính được ma trận D: qt qt 10d Các lực QQ12, được tính dựa vào ma trận quán tính A. D 31 (15) 01d Cho mục đích này ta tính các đại lượng sau: 32 Ma trận quán tính A cỡ (4x4) đối xứng, không suy biến, aaaa11 12 13 14 có các hệ số quán tính aij (,ij 1,3):  iiii TT 2 amrttrJmlJ11 11 11 1 1 1 : aaaa12 22 23 24 aaa12 0; 13 0; 14 0;  iiii TT TTT TTT  i A ;(i 1,3); (23) a22 mrttr 2 2 21 21 2 mrttttr 3 3 3 21 21 3 3 mrttttr 4 4 3 21 21 3 4 aaaa12 23 33 34 JJ 12  iiii 222 mc22 ml 32 ml 42 J 1 J 2 aaaa14 24 34 44 a mrttttrTT T mrttttttr TTT T 23 3 3 31 2 21 3 3 4 4 4 31 2 21 3 4 4  iiii 2 my4423 mlcos y TT TT a24 mrttttttr 4 4 41 3 2 21 3 4 4 ml 4 2sin 3 ;
4. Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh aaaa11 12 13 14 WW ms QQF43 0; 44 3 ; y yyy   y 3 aaaa12 22 23 24 Khi thay các đại lượng tính được vào phương trình (12) y yyy để mô tả chuyển động của máy bào khảo sát. Tuy nhiên  4 A aaaa12 23 33 34 trong những phương trình này còn chứa các đại lượng y yyy chưa được xác định là những lực ma sát. Nói cách khác, chuyển động của đối tượng khảo sát phụ thuộc vào các aaaa14 24 34 44 lực ma sát, chúng phụ thuộc vào các thông số vật lý của y yyy môi trường trường tương tác. Các thông số này chỉ được xác định nhờ các thực nghiệm, hoặc nhờ qua kinh X  123y ; nghiệm và dựa vào đó để mô phỏng. Một trong các  T hướng này là lực ma sát được mô phỏng nhờ Định luật Y  123y ; Coulomb. 2 Trong bài báo này dựa vào mô phỏng lực ma sát theo Y1112131 y ; (24) Định luật Coulomb để xác định các lực ma sát và thay Y  2 y  ; chúng vào các lực suy rộng. 212 2 232 qt 2 Để tính ma trận quán tính A và đại lượng Q sử Y31323   y  3 ; 3 dụng phương pháp ma trận truyền để xác định các gia tốc  2 khối tâm của các khâu, 0A, 0 B, và CD, ký hiệu chúng Y4123 yyy 1 tương ứng qua a (a ,a ), a (a ,a ), a (a ,a ): 2 2x 2y 3 3x 3y 3 3x 3y Từ đây ta tính được: 2 ac2222222x sin  c cos ; qt qt 2 QQ11 0.5XAY12 ; 12  0.5 XAY : ac22y cos 22222 c sin ; qt qt 2 QQ13 0.5XAY34 ; 14  0.5 XAY; (25) al3222222x sin  l cos ; (29) qt 2 Q2 11 AY +  2 AY2 + 3 AY3 +  4 AY4 al32y cos 222 l sin 2 ; 2 al4222222x sin  l cos ; Lực ma sát xuất hiện tại các khớp trượt tại A,B và C, ms ms ms chúng được ký hiệu tương ứng F234,F ,F . Lực suy Dựa vào đây tính lực quán tính của các khâu và viết các rộng của các lực ma sát được tính dựa vào biểu thức công phương trình theo phương pháp Tĩnh hình học –động lực: suất của chúng. Công suất của các lực ma sát có biểu thức: JJMbFl11   1 11  2ms 1sin( 2 1 ) 2 ms ms ms mgl1111cos ml  0; W2223344 Fvrrr Fv Fv (26) FF213mscos ms Jll22  1 2sin 2 Trong đó v2r, v3r, v4r là vận tốc tương đối tại các khớp ffmscos 2 ms trượt A, B, C. Nhờ phương pháp ma trận truyền tính Flcos mac sin (30) được: 32ms 22 22 x 2 mca222yxcos 2 ma 33 l 2 sin 2 vl21rr sin( 21)13  ; vy  ; ma33y l 2cos 2 mgl 3 2 cos 2 0; vl41r 2sin( 213 ) : F4ms Fmg34ms 0 W221211412123 Fl sin( ) 2 Fl sin( ) Fy : fms (27) Lực suy rộng của các lực ma sát của các lực ma sát có Từ hệ 3 phương trình (30) tính được các lực ma sát và biểu thức: thay chúng vào biểu thức (27) và tiếp thay vào phương W QFl ms sin( ); trình (12) nhận được hệ phương trình đầy đủ với điều 412 1 1 2 kiện đầu xác định chuyển động của máy bào khảo sát, tức  1 tìm được: W ms QlF42 2sin 1 2 4 ; (28) (),ttt (), (),()y t 132  2 Kết quả xử lý bài toán bằng phương pháp số:
5. Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb Số liệu: lmllmhlmhlm1211121 0.2( ); 3 ( ); 3( ); (3 3)( ); 22 m2341 m m 1; m 5( kg ); J 10( kgm ; J 2( kgm ); b123 b b0.1( Nms / rad ); b 4 0.1( Ns / rad ); MNmgmsFN 2.5( ); 10( /2 ); 25( ); fclmms 0.1;22 0.5 ( ); Điều kiện đầu: 12(0) 0; (0) / 3; 3 (0) / 6; 1 (0) 0; 23(0) 0; (0) 0;yyl (0) 0 (0) 1 (3 1.5 3); Kết quả cho bài toán vị trí các khâu được thể hiện trên Hình 2, trong đó: q1= 1(t), q2= 2(t); q3= 3(t); q4=y(t), vận tốc các khâu tương ứng được thể hiện trên Hình 3. Các lực ma sát trượt tại các khớp A, B, và C cũng được Hình 4. Lực ma sát trượt tại các khớp A, B, và C tính toán với kết quả được thể hiện như trên Hình 4. Sai lệch quỹ đạo được thể hiện trên Hình 5 cho thấy sai số quỹ đạo đặt được chỉ khoảng 10-8. Hình 5. Sai lệch quỹ đạo Hình 2. Đồ thị xác định vị trí chuyển động của máy bào 4. Kết luận Trong bài báo đã xây dựng một lộ trình khảo sát động lực học của cơ cấu máy với ma sát Coulomb. Khảo sát trường hợp lực ma sát xuất hiện tại cả liên kết ngoài và liên kết trong. Để giải quyết bài toán phải tính lực suy rộng của các lực ma sát. Điều này gặp khó khăn đối với các lực ma sát trong vì chúng xuất hiện từng đôi một trực đối. Bài toán được giải quyết nhờ sử dụng dạng phương trình chuyển động được viết trong dạng ma trận kết hợp với phương pháp Tĩnh hình học-Động lực. Phương pháp được áp dụng vào việc khảo sát máy bào và các kết quả được minh họa nhờ sử dụng phần mềm Maple. Tài liệu tham khảo Hình 3. Đồ thị vận tốc chuyển động các khâu của máy [1] Galiulin F.R., Constructing Systems of Controlled Motion Controlled motion, Publish, “Nauka” (in Rusian), 1971. bào
6. Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh [2] Do Sanh, On the principle of Compatibility and the Equations of Motion of a Constrained Mechanical System, ZAMM, pp. 210-212, 1980. [3] DoSanh, On the Problem of First Integrals of Mechanical Systems, Problems of Nonlinear Vibration, Vol. 20, pp. 55-70, Varsaw. [4] Erughin N.P., Construting a Set of Differential Equations Having Given Trajectory, Applied Matematics and Mechanics (PMM), No 6, Russia, 1952. [5] Rumantsep V.V., Về chuyển động các hệ với liên kết không lý tưởng, Vestnist MGU N04 (tiếng Nga)., 1961. [6] Rumantsep V.V., Cơ hệ với ma sát, PMM, N06, 1961. [7] Đỗ Sanh, Luận án Tiến sỹ khoa học, Đại học Bách khoa Hà Nội, 1984. [8] Gutowski R., Analytical Mechanics, PWN, 1995. [9] Do Sanh, Dinh Van Phong, Do Dang Khoa, Tran Duc, A Method for Solving the Motion of Constrained Systems, Proceedings of the 16th Asian Pacific Vibration Conference APVC 2015, Hanoi, Vietnam. [10] Đỗ Sanh, Cơ học kỹ thuật, NXB Giáo dục, 2008. [11] Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Quy luật nhân quả - cơ sở của Cơ học Newton và Nguyên lý Phù hợp, Kỷ yếu Hội nghị Toàn quốc về Cơ kỹ thuật, Đà Nẵng, 2015. [12] Do Sanh, Analytical Mechanics, Publs. Bach khoa, Hanoi 2008 (in Vietnamese). [13] Do Sanh, Do Dang Khoa, Điều khiển tối ưu các hệ động lực - Điều khiển chương trình và Điều khiển tối ưu. [14] DoSanh, Do Dang Khoa, Analytical Dynamics, Publ. Bachkhoa, pp. 52-61, 2017. [15] Le Xuan Anh, Dynamics of Mechanical Systems with Coulomb Friction, Springer-Verlag Berlin Heidelberrg, 2003. [16] Vu Duc Binh, Do Dang Khoa, Phan Dang Phong, Do Sanh, Analysics of Manipulator Dynamics in Interaction with Environment, Vietnam Journal of Science and Technology, Vol l, N0, June, 2019.