Mô hình chính xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ trụ mỏng có gân gia cường

Nội dung text: Mô hình chính xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ trụ mỏng có gân gia cường

1. Nghiên cứu khoa học công nghệ MÔ HÌNH CHÍNH XÁC HÓA TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG CỦA VỎ TRỤ MỎNG CÓ GÂN GIA CƯỜNG * Võ Anh Hiếu , Tăng Xuân Long, Trần Xuân Diệu Tóm tắt: Bài báo trình bày một phương án để nâng cao độ chính xác khi xác định trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ mỏng có gân gia cường. Chuyển vị của vỏ được khai triển thành đa thức có bậc cao hơn so với lý thuyết cổ điển Kirchhoff-Love. Trên cơ sở các phương trình của lý thuyết đàn hồi và nguyên lý biến phân Lagrange đã xây dựng được mô hình toán học chính xác hơn cho vỏ có gân gia cường. Mô hình toán bao gồm các phương trình cân bằng theo trường chuyển vị và các điều kiện biên tương ứng. Từ đó khảo sát ảnh hưởng của các loại tải trọng, các tham số của gân lên trạng thái ứng suất của vỏ. Tiến hành so sánh trạng thái ứng suất của vỏ khi tính toán theo lý thuyết chính xác hóa và lý thuyết cổ điển. Kết quả tính toán cho thấy tại vùng liên kết, ứng suất pháp cắt có cùng bậc với các ứng suất chính. Từ khóa: Lý thuyết đàn hồi; Nguyên lý biến phân Lagrange; Vỏ có gân; Ứng suất pháp cắt. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Kết cấu vỏ trụ mỏng được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực tên lửa, máy bay. Trong các lĩnh vực này, do chiều dài của vỏ trụ thường lớn hơn nhiều so với đường kính nên người ta thường sử dụng kết cấu có gân gia cường để giảm ứng suất trong vỏ nhằm tăng độ cứng vững, độ ổn định cho thân vỏ tên lửa (ví dụ như trên hình 1). Hình 1. Kết cấu vỏ trụ mỏng có gân gia cường trong tên lửa đạn đạo P-12 (Liên Xô). Hiện nay, vỏ có gân được tính toán theo lý thuyết tấm vỏ cổ điển của Kirchhoff – Love [1] hoặc Reissner [2]. Các giả thuyết trong lý thuyết tấm vỏ cổ điển đã không tính toán hết tất cả các biến dạng cắt, do đó sẽ dẫn đến sai số khi xác định trạng thái ứng suất biến dạng tại các vùng liên kết, vùng nối hoặc nơi chịu tải trọng tập trung. Một trong số các hướng nghiên cứu nhằm chính xác hóa lý thuyết tấm vỏ là việc khai triển các chuyển vị của vỏ thành đa thức bậc cao theo tọa độ cắt [3]. Dựa trên hướng tiếp cận này, trong các công trình [4] đã tiến hành tính toán trạng thái ứng suất của vỏ trụ trơn khi khai triển các chuyển vị của vỏ thành các đa thức theo tọa độ cắt cao hơn một bậc so với lý thuyết cổ điển của Kirchhoff – Love. Kết quả tính toán theo phương pháp này cho thấy tại các vùng trạng thái ứng suất thay đổi đột ngột có xuất hiện các ứng suất bổ sung tương đối lớn. Trong bài báo này, dựa trên cách tiếp cận [3, 4] đã tiến hành xây dựng mô hình chính xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ trụ có gân ngang gia cường. Việc giải mô hình toán được thực hiện bằng phương pháp toán tử dựa trên phép biển đổi Laplace. 2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN 2.1. Xây dựng mô hình toán 2.1.1. Mối quan hệ trường chuyển vị - biến dạng - ứng suất Khi vỏ làm việc trong giới hạn đàn hồi thì mối liên hệ giữa biến dạng và ứng suất tuân theo định luật Hooke: Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san HNKH dành cho NCS và CBNC trẻ, 11 - 2021 117
2. Cơ học - Kỹ thuật Cơ khí động lực 1 AAAAAA 111  122  133 ,,  2 211  222  233  (1) 12 AAAAAA 44  12,,,.  3 31  1 32  2 33  3  13 55  13  23 66  23 trong đó các hệ số Aij là các hằng số đàn hồi phụ thuộc vào tính chất vật liệu của vỏ. Để tiện tính toán, chúng ta xét vỏ trụ trong hệ tọa độ trụ Oz như trên hình 2, trong đó ξ và θ là các tọa độ không đơn vị. Hình 2. Vỏ trụ có gân tròn gia cường. Để chính xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng, chuyển vị của vỏ được khai triển thành đa thức bậc cao và có dạng [3]: KKK zzzkkk 1 u ,,,,,,,,,,,. z  ukkk  v  z v  w  z w  (2) kkk 000 kkk!!! Trong khuôn khổ bài báo này chúng ta sẽ xét tới trường hợp đa thức khai triển của chuyển vị cao hơn một bậc so với lý thuyết cổ điển Kirchhoff – Love. Khi đó chuyển vị của vỏ được viết dưới dạng sau: u(,,)  z u (,)   u (,)   z u (,)   z2 2, 0 1 2 2 (3) vzv(,,) 0 (,)  vzvz 1 (,)  2 (,)  2, wzw (,,)  0 (,)  wz 1 (,).  Theo phương trình biến dạng – chuyển vị của lý thuyết đàn hồi, biến dạng của vỏ có dạng u uuzw2   r0 r12 z rw ,,       2 z z 1 2 v0  v 0v1 22  v 0  v 1  v 2 z  r wrr0 rwwzrr 0 10 12 2 r 2 rwrw 2 ,            2 2 u0  v 0  u 0u1  v 1 2  u 0  u 1  u 2  v 2 z  r r r z r 22 r r (4)                  2 w0 w1  z u12 r u r z,  ww00 22w1  z rvvr0 1 rvrvvr 0 1 2 r z      2 22w0 w1 z r 2 r v0 2 rv 1 v 2 2 r 2 r 2 Trong đó: rR 1 ; R – Bán kính mặt trung bình của vỏ. Vỏ trụ có gân được xét như một cơ hệ bao gồm vỏ trụ trơn và các gân gia cường. Giả thiết rằng chiều dày gân gia cường rất bé so với chiều dài của vỏ, tác dụng giữa vỏ trụ và gân gia cường là theo đường, khi đó ảnh hưởng của gân lên vỏ sẽ bao gồm hai thành phần chính theo 118 V. A. Hiếu, T. X. Long, T. X. Diệu, “Mô hình chính xác hóa vỏ trụ mỏng có gân gia cường.”
3. Nghiên cứu khoa học công nghệ hướng ngang và hướng pháp tuyến. Gân gia cường khi đó được mô hình hóa theo dạng thanh. Với dạng kết cấu này lý thuyết cổ điển đáp ứng đủ yêu cầu về độ chính xác, vì vậy, để đơn giản cho việc tính toán, chuyển vị các gân được khai triển theo đa thức bậc nhất: j j jj j v(,) z v0 ()  v 10 (),   z w  () w (), j 1 , N (5) Trong đó, N là số lượng gân ngang. Tại đường tiếp xúc của vỏ và gân, chuyển vị của chúng là như nhau, do vậy điều kiến tiếp xúc được viết dưới dạng: j j v(,) h v (,,), jj  h w (,)  h w (,,),   h j 1 , N (6) Trong đó:  j – Tọa độ các đường tiếp xúc giữa gân và vỏ; h – Nửa chiều dày của vỏ. Từ các biểu thức (3), (5), (6) ta thu được biểu thức biến dạng đối với gân j i i j  0, zz 0,   0,   0, 2 j j  h  dv1  rj v0(,)(,)(,)(,)(,)  j h v 121  jjj 0 j v  h hw  w   2  d  (7) dvdvjj  h2  rrv11 (,)(,)(,)(,)(,),  hv   v   hhww     z j j 0 j 1 j 21 jj 0 j dd    2      h2  jjj r h w(,)  w (,)v  r v (,)  h v (,)  v (,)v  h  z j 1 j 0 j 11 j 0 j 1 j 2 j     2     h2  rhw22(,)  w (,)v   rrvjj (,)   hv (,)   v (,)v,   hz j 1 j 0 j j11 j 0 j 1 j 2 j     2   Trong đó: rj 1 R j ;; R jj R h h hj – Nửa chiều cao của gân thứ j. 2.1.2. Các phương trình cân bằng và điều kiện biên Các phương trình cân bằng và điều kiện biên đối với vỏ trụ có gân gia cường được xác định dựa trên nguyên lý biến phân Lagrange. N j EUUA    0 (8) j 1 Trong đó: UUA,,j tương ứng là thế năng biến dạng của vỏ, của gân và công của ngoại lực. Xét vỏ trụ chịu tác dụng của tải trọng phân bố hướng tâm trên bề mặt bên trong qz , . Biến phân thế năng biến dạng của vỏ, gân và biến phân của công ngoại lực được xác định theo công thức: Urz R d  d dz    (1 )2  , z z  z z  z z  Uj σ jjjjjjjjjjjj   σ   +σ   +       +    (1 r z ) R Rd  d  dz , z z  z z z z j j (9) A q(  w h  w )  (1 rh ) R2 d  d  . z 01 Thay các biểu thức (4), (7), (9) vào (8) và tích phân từng phần phương trình thu được, sau đó áp dụng tính chất ngẫu nhiên độc lập của các chuyển vị, ta xác lập được hệ phương trình cân bằng và điều kiện biên của vỏ trụ có gân. Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san HNKH dành cho NCS và CBNC trẻ, 11 - 2021 119
4. Cơ học - Kỹ thuật Cơ khí động lực Hệ phương trình cân bằng có dạng sau: NNMMMM        0,r 1 r  1 Q 0,0, r  2 r  2 M       zz     N j NNN  r r rQ  k r Q j    0, z j j z j   j 1   N j MNM 1 r1 r rM Q  h k r Q j    0, z1  z  j j z j    j 1 2 N j M 2 M  2 h N j (10) rr rM M z1 k r Q    0, z2  j j z j  2 j 1  Q QQN j r z rzz rN p  k r N j    0, z0  j j j   j 1   M MQN j r z rzz1 rM Q p  h k r N j    0, 11z z j j j    j 1 jj NM j hrjj r 1 rjz h Q 0, j 1 N ,  Trong đó:  b R, b – Chiều dày của gân; kjj R R ;    j – Hàm Delta Dirac, N, M, Q, p với các chỉ số là ký hiệu của các nội lực suy rộng. Trong trường hợp tổng quát, điều kiện biên được viết dưới dạng sau: Tại các biên cong theo tọa độ dài dọc trục  0 и  0 : u0 u 0hoÆc N 0; u 1 u 1 hoÆc M  1 0; u 2 u 2 hoÆc M  2 0, v vhoÆc N 0; v v hoÆc M12 0; v v hoÆc M  0; 0 0 1 1 2 2 (11) w0 w 0hoÆc Qzz 0; w 1 w 1 hoÆc M 0, Tại các biên thẳng theo tọa độ góc  0 и  0 : u0 u 0hoÆc N 0; u 1 u 1 hoÆc M  1 0; u 2 u 2 hoÆc M  2 0, NN jj vv0 0hoÆc rN  krNj j     j 0; vv 1 1 hoÆc rM  1  krhN j j     j 0, jj 11 NN2 kjj r h jj vvrM2 2hoÆc 2  N  j 0; wwrQ 0 0 hoÆc z  krQ j jz    j 0, (12) jj 112 N j j j j j ww1 1hoÆc rMz 1  krhQ j j  z    j 0; vv 1 1 hoÆc hNM   0, j 1 Trong đó: ui, v i , w k , i 0 2, k 0 1 là các chuyển vị cho trước tại các biên. Thay các biểu thức lực suy rộng vào hệ phương trình (10) ta thu được các phương trình cân bằng theo chuyển vị: 2 2  2 2  2 1  Kk1 n K k 1 n K k 1 n u K k 2 n v K k 3 m w 0, k 1, 2, 3,  1122 22n  12 n  1 m n 0  n 0   m 0   120 V. A. Hiếu, T. X. Long, T. X. Diệu, “Mô hình chính xác hóa vỏ trụ mỏng có gân gia cường.”
5. Nghiên cứu khoa học công nghệ 22 2  2  2 1  2 Kln1 u K lnln 2 K 2 K ln 2 v K lm 3 w K lшj 2 n 12n  1122 22 n  2 m  n 0   n 0  m 0   n 0 22 1 d N Klшj2 n v K lшj 3 m w K lшj 1 K lшj 1 v j (   ) 0, l 4, 5, 6, 2222 n 2 m 22 1 j  mj 01 d  i 2 2  12  22 Ksn1 u K sn 2 v K smsm 3 K 3 K sms 32 w Kшj n v 1n  211 nmn  222 22 n 0 n 0   mn 00  (13) 1 2 dv j N Ksшj3 m K sшj 314 m w KK sшjs q1 s (   ) , 7, 8,  222 2 mj z mj 01 d  j 21 22d K9шj 2 n K 9 шj 2 n v K 9 шj 39 mшj 1 w 9 шj 1 K j K v0, j 1, N .  2222222nm 1 nm 00  d  j Trong hệ phương trình (13) các hệ số K là các đại lượng không đổi, chúng phụ thuộc vào các tham số hình học và tính chất đàn hồi của vật liệu. Do các biểu thức của chúng phức tạp nên không trình bày trong khuôn khổ bài báo này. 2.2. Phương pháp giải Để giải hệ phương trình (13) chúng ta biến đổi nó về hệ phương trình vi phân thường bằng cách khai triển các chuyển vị và tải trọng thành chuỗi lượng giác theo tọa độ θ. Sau đó thay các khai triển này vào (13) ta thu được các hệ phương trình vi phân thường đối với mỗi thành phần của chuỗi lượng giác. Trong khuôn khổ bài báo này ta chỉ xét một trường hợp riêng khi vỏ trụ chịu tác dụng của tải trọng cục bộ qqzz , theo quy luật sau: 00 ; khi 01 qz q  cos; m  khi 01   02 (14) 0,khi02   0 L R Với tải trọng dạng (14), chuyển vị của vỏ và gân có dạng: uk ,  u km  cos m  , v k v km  sin m  , w l  ,  w lm  cos m  , (15) j v1  Bj sin m , k 0 2, l 0 1, Trong đó, B j là hằng số chưa biết. Xét vỏ trụ kín theo tọa độ góc. Khi đó, điều kiện biên (12) được thay thế bằng điều kiện tuần hoàn theo tọa độ góc θ. Với khai triển (14) và (15) điều kiện này được tự động thỏa mãn. Thay (14) và (15) vào (13), chúng ta thu được hệ phương trình vi phân thường. 2 d2 2 d 1 d KKk1 n k 1 n mKu 2 k 1 n mKv k 2 n Kw k 3 n 0, k 1, 2, 3,  112 22nm  12 nm  1 nm n 0 d n 0dd n 0 2dd 2 2 1 2 mKln1 u KK lnln 2 2 mKv 2 ln 2 mKw ln 3 K lшj 2 n 12nm  112 22 nm  2 nm  n 0d n 0 d n 0 n 0 1 N m22 Klшj n v mK lшj3nlw Kшj 1 m 2 K lшj 1 B (   ) 0, l 4, 5, 6, 22 nmj  2 nmj 22 j j nj 01 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san HNKH dành cho NCS và CBNC trẻ, 11 - 2021 121
6. Cơ học - Kỹ thuật Cơ khí động lực 2dd 2 12 2 Ksnsn12 u mKv 3 snsn 3 KK 2 32 sn mKw s mKvшj n 1211nm  222 nmnm  nmj 2 n 0d n 0 nn 00 d 1 N Ksшj3 ns m 24 Ksшj31 n w mK sшj B(   ), K 7,qs 8,      (16)  22 nmj 2 j j 01 02 nj 01 21 K9шj 2 n mK29 9 1 шj 2 n 2 v mKw 9 шj 39 nшj 1 Kшj mKB 0, jN 1 ,  22222 nmj nmjj nn 00 Trong đó: vnmj v nm  j ;; w tmj 0 2; w tm 0 1; j n t  là hàm Heaviside. Thay biểu thức lực suy rộng và chuyển vị (15) vào các phương trình (11) ta thu được các điều kiện biên tương ứng với hệ phương trình (16) tại  0 и  0 . Để giải hệ phương trình vi phân thường (16) chúng ta sử dụng phương pháp toán tử dựa trên phép biển đối Laplace. Nhờ phép biến đổi Laplace, hệ phương trình (16) được biến đổi thành hệ phương trình đại số tuyến tính. Giải hệ phương trình này ta thu được các hàm ảnh của các chuyển vị. Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta tìm được các chuyển vị uvwnmnmtm, , , chúng còn chứa 86 N hằng số chưa biết. Tám hằng số Cijk được xác định từ điều kiện biên tại ξ =ξ0, các hằng số vnmj, wtmj, Bj được xác định khi giải hệ phương trình vnmj = vnm(ξj), wtmj = wtm(ξj), n = 0 2, t = 0 1 và N phương trình cuối cùng trong hệ (16). 3. KHẢO SÁT PHÂN TÍCH KẾT QUẢ Để làm ví dụ, ta xét vỏ trụ tròn có gân ngang gia cường được ngàm chặt hai đầu với các thông số: bán kính vỏ Rm 0,5 ( ) ; chiều dài vỏ L 6 R 3( m ) ; chiều dày vỏ 2h = R/40 = 0,0125 (m); hệ số Poisson  0,3 ; nửa chiều cao gân hhj 2, chiều rộng gân bh . Hình 3 trình bày kết quả tính toán dưới dạng đồ thị của các ứng suất pháp tuyến cực đại của vỏ chịu tác dụng của tải trọng (14) với mq 5,01 Q 0,  02  0 ,  0  ; số lượng gân N 3 (tọa độ các gân 1 1,5; 2 3; 3 4,5), nửa chiều cao gân hhj 2. Hình 3. Các ứng suất pháp tuyến cực đại theo chiều dài của vỏ. Đồ thị trên hình 3 chỉ ra rằng tại các vùng ngàm và gia cứng bởi gân, ứng suất pháp cắt  z có cùng bậc so với các ứng suất pháp tuyến theo phương dọc trục  và phương ngang  . Để so sánh kết quả thu được trong công trình này với lý thuyết cổ điển, trên hình 4 và bảng 1 trình bày độ sai lệch của ứng suất , theo hai lý thuyết khác nhau, trong đó “Cl” là ký hiệu 122 V. A. Hiếu, T. X. Long, T. X. Diệu, “Mô hình chính xác hóa vỏ trụ mỏng có gân gia cường.”
7. Nghiên cứu khoa học công nghệ của ứng suất theo lý thuyết cổ điển, “Noncl” – theo lý thuyết chính xác hóa. Việc tính toán được thực hiện với trường hợp số lượng gân N 2 , (tọa độ các gân 1 2; 2 4; ), nửa chiều cao gân hhj 6. Hình 4. So sánh kết quả theo lý thuyết cổ điển và chính xác hóa. Bảng 1. Độ lệch của ứng suất theo lý thuyết cổ điển và chính xác hóa.  1  2  LR Nonсl Cl Nonсl      11% 11% 6,5% Nonсl Cl Nonсl      58% 58% 34% Nonсl Nonсl z  28% 28% 16% Việc so sánh cho thấy tính toán theo lý thuyết vỏ bậc cao cho phép chính xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ tại những vùng lân cận biên và lân cận gân, so với tính toán theo lý thuyết cổ điển. Còn tại những vùng xa biên, tính toán theo lý thuyết cổ điển và các lý thuyết phi cổ điển không cho sai lệch nhiều. 4. KẾT LUẬN Trong bài báo này dựa trên các phương trình của lý thuyết đàn hồi ba chiều và khai triển chuyển vị của vỏ thành đa thức bậc cao đã thu được các kết quả sau: 1. Đã xây dựng được mô hình chính xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ trụ có gân ngang gia cường có tính tới ảnh hưởng của ứng suất, biến dạng pháp ngang (bị bỏ qua trong lý thuyết cổ điển). 2. Kết quả tính toán cho thấy ở những vùng lân cận gân gia cường và vùng vỏ bị ngàm chặt, ứng suất pháp cắt là đáng kể so với các ứng suất chính. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong đánh giá độ bền của vỏ có gân gia cường. Trên thực tế việc xuất hiện các vùng ứng suất tập trung của vỏ tại các vị trí có gân và vị trí vỏ bị ngàm chặt hoặc chịu tác dụng của tải trọng tập trung còn phụ thuộc vào độ dày hay mỏng của vỏ. Vì vậy, trong các công trình tiếp theo tác giả sẽ khảo sát sự ảnh hưởng độ dày vỏ đến sự sai khác về ứng suất giữa lý thuyết cổ tấm vỏ cổ điển và lý thuyết chính xác hóa để đưa ra các khuyến cáo về các trường hợp nên sử dụng mô hình chính xác hóa. Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san HNKH dành cho NCS và CBNC trẻ, 11 - 2021 123
8. Cơ học - Kỹ thuật Cơ khí động lực TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Dudchenko A.A., Sergeev V.N, “The nonlinear equations of equilibrium of the conical shell, supported by a discrete set of frames”, PNRPU Mechanics Bulletin (2017), no. 2, pp. 78-98. [2]. Karpov V.V., “Models of the shells having ribs, reinforcement plates and cutouts”, International Journal of Solids and Structures (2018), Vol. 146, pp. 117-135. [3]. Васильев В.В., Лурье С.А., “К проблеме уточнения теории пологих оболочек”, Изв. АН. МТТ (1990), № 6. С. 139-146. [4]. Firsanov V.V., Doan T.N., “Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory”, Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal (2015), Vol. 6. Issue 2. Pp. 135-166. ABSTRACT REFINED MODEL OF STRESS-STRAIN STATE OF THE REINFORCED SHELL The article presents an option to improve accuracy in determining the stress-strain state of ribbed thin shells. The displacements of the shell are decomposed into higher order polynomials than the classical Kirchhoff – Love theory. Based on the relations of the theory of elasticity and the Lagrange variational principle, a refined mathematical model of reinforced shells is constructed. The mathematical model includes the equations of equilibrium in displacements and the corresponding boundary conditions. The influence of the types of load, parameters of the ribs on the stress state of the shell have been investigated. A comparison between the results of the calculation of the stress state of the shell according to the classical and refined theories is given. The calculation results show that in the region of the joint, the transverse normal stresses are in the same order as the main stresses. Keywords: Theory of elasticity; Lagrange variational principle; Reinforced shell; Transverse normal stresses. Nhận bài ngày 14 tháng 9 năm 2021 Hoàn thiện ngày 20 tháng 10 năm 2021 Chấp nhận đăng ngày 28 tháng 10 năm 2021 Địa chỉ: Viện Tên lửa, Viện Khoa học và Công nghệ quân sự. *Email: anhhieu1512@gmail.com. 124 V. A. Hiếu, T. X. Long, T. X. Diệu, “Mô hình chính xác hóa vỏ trụ mỏng có gân gia cường.”