Nghiên cứu một đồ án dạy học các hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động (phần 2)

Nội dung text: Nghiên cứu một đồ án dạy học các hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động (phần 2)

1. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 ___ NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC CÁC HÀM SỐ TUẦN HỒN BẰNG MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG (PHẦN 2) NGUYỄN THỊ NGA* TĨM TẮT Bài báo này là sự tiếp nối của bài báo “Nghiên cứu một đồ án dạy học các hàm số tuần hồn bằng mơ hình hĩa trong mơi trường hình học động (phần 1)”[2]. Trong [2], chúng tơi đã trình bày những lựa chọn sư phạm của đồ án dạy học và kết quả của buổi thực nghiệm thứ nhất gồm các tình huống 1 và 2. Trong bài báo này, chúng tơi sẽ trình bày chi tiết nội dung và kết quả của buổi thực nghiệm thứ hai (tình huống 3). Từ khĩa: hiện tượng tuần hồn, hàm số tuần hồn, mơ hình hĩa, hình học động. ABSTRACT Studying a project for teaching periodic functions by modeling in dynamic geometry environment (Part 2) This paper is a continuation of the article "Studying a project for teaching periodic functions by modeling in dynamic geometry environment (Part 1)" [2]. In the first part, we present the pedagogical options of the teaching project and the results of the first experimental session consists of situations 1 and 2. In this paper we will present in great details the content and results of the second experiment (situation 3). Keywords: periodic phenomena, periodic functions, modeling, dynamic geometry. 1. Nhắc lại kết quả buổi thực nghiệm thứ nhất Ở buổi thực nghiệm thứ nhất, học sinh đã làm việc với hai tình huống 1 và 2 để xây dựng mơ hình hình học trong Cabri biểu diễn đu quay, cabin của M và trục thời gian. [2] Hình 1. Mơ hình trung gian C và trục thời gian ở cuối buổi 1 * TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 14
2. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga ___ Ở đây, đường trịn biểu diễn cho đu quay và điểm M biểu diễn cabin của M trên đu quay. Tia Ax biểu diễn trục thời gian, điểm P di động trên tia Ax điểu khiển chuyển động của điểm M trên đường trịn. Độ dài AP1 tương ứng với một vịng của cabin M; độ dài AU tương ứng với sự chuyển động của M trên đường trịn trong 1 phút tính từ điểm I, nghĩa là khi P di chuyển từ A đến U thì nĩ điều khiển chuyển động của điểm M trong 1 phút tính từ I. 2. Phân tích chi tiết buổi thực nghiệm thứ hai Buổi thực nghiệm thứ hai được tổ chức xoay quanh tình huống 3. Tình huống này đưa vào câu hỏi về những thời điểm mà cabin được chiếu sáng bởi một tia sáng chiếu sáng từng đợt. Bài tốn trong tình huống này được phát biểu tổng quát như sau: Một vịng đu quay kéo dài T phút. Cứ m phút tia sáng chiếu sáng trong n phút để chiếu sáng một vị trí L - nơi các cabin đi qua (ở độ cao h). Nếu một cabin được chiếu sáng khi nĩ đi qua vị trí L thì người ngồi trên cabin sẽ thắng một vịng miễn phí. Câu hỏi: + M cĩ thắng 1 vịng miễn phí khơng ? Nếu cĩ, sau bao nhiêu vịng chơi? + M cĩ thể thắng thêm những lần khác khơng ? Trên màn hình Cabri xuất hiện mơ hình trung gian C đã được xây dựng trong tình huống 1 và 2. Ngồi ra, cĩ một đoạn thẳng biểu diễn mặt đất (xem hình 2). Hình 2. Màn hình Cabri khi bắt đầu tình huống 3 Tình huống này đưa vào câu hỏi về sự trùng khớp của hai hiện tượng tuần hồn là cabin M ở vị trí L (chu kì T phút) và đèn được chiếu sáng (cứ m phút chiếu sáng trong n phút). Để giải quyết bài tốn này địi hỏi phải thao tác trên hai chu kì của hai hiện tượng và làm tiến triển mơ hình trung gian của các tình huống 1 và 2 về một mơ hình hàm số tính tốn được. Câu trả lời của tình huống phụ thuộc vào bộ 4 giá trị (T, n, m, h). Trong bộ bốn này, thời gian của một vịng được chúng tơi cố định là 5 phút và thời gian chiếu sáng của tia sáng là 1 phút. Đồ án quan tâm đến sự thay đổi của cặp giá trị (m, h). Cặp (m, h) nhận lần lượt các giá trị (3 phút, 35 m) ở pha 1 và (4 phút, 20 m) ở pha 4. Chúng tơi tĩm tắt sự lựa chọn giá trị của các biến trong pha 1 và pha 4 trong bảng sau: 15
3. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 ___ Bảng 1. Các lựa chọn khác nhau trong pha 1 và pha 4 Thời điểm Thời điểm T n m h trùng khớp đầu trùng khớp tiếp Đường hình sin tiên theo Pha 1 3 35 gần (vịng thứ 2) sau 3 vịng khơng cho trước 5 1 Pha 4 4 20 xa (vịng thứ 4) sau 4 vịng cho trước Thực nghiệm được tiến hành thành 5 pha trong thời gian 2,5h. Trong phạm vi cho phép của bài báo, chúng tơi chỉ tập trung vào phân tích các pha 1 và 4 nhằm làm rõ việc sử dụng tính tuần hồn của các hiện tượng và sự nối khớp giữa hai mơ hình C và O. Sau đây là các chiến lược cĩ thể để giải quyết bài tốn về sự trùng khớp. - Chiến lược đồ thị một chiều Tia đường trịn : thời gian tuyến tính được chuyển thành thời gian quay vịng trên đường trịn + Đánh dấu trên đường trịn một điểm L ở vị trí mà tia sáng chiếu sáng ; + Tìm trên đường trịn những cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng; + Tìm thời điểm trùng khớp đầu tiên: điểm L thuộc vào một trong những cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng. Trong Cabri, chiến lược này địi hỏi phải phân biệt các cung được (và khơng được) chiếu sáng, đồng thời cần tính đến các vịng khác nhau của đu quay. Vì vậy, chiến lược này địi hỏi khá nhiều thao tác và thời gian. Trong mơi trường giấy bút, chiến lược này ít khĩ khăn hơn với điểm L được đặt tương đối trên đường trịn và các cung được đánh dấu bởi việc đồ nhiều nét bút lên cung. Chúng ta sẽ thấy điều này trong các sản phẩm của học sinh. Đường trịn Tia: thời gian quay vịng được chuyển thành thời gian tuyến tính trên một tia + Đặt điểm L trên đường trịn; + Tìm trên trục thời gian các đoạn thẳng biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng; + Di chuyển điểm P trên trục thời gian, tìm thời điểm trùng khớp: điểm M trùng với điểm L và điểm P thuộc vào một trong các đoạn thẳng biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng. 16
4. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga ___ Hình 3. Đánh dấu thời gian chiếu sáng của tia sáng trên trục thời gian - Chiến lược đồ thị hai chiều: thời gian tuyến tính và độ cao độ cao thời gian + Tìm trên trục thời gian các đoạn thẳng biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng; + Dựng ảnh của các đoạn thẳng này ở độ cao h; + Dựng những đoạn thẳng vuơng gĩc với trục thời gian với gốc là P, đi qua điểm M’ sao cho PM’ = HM (với H là hình chiếu của M lên đoạn thẳng biểu diễn mặt đất). Vết của các đầu mút M’ (nhận được trong Cabri) là một đường hình sin; + Hồnh độ giao điểm của các đoạn thẳng biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng và đường hình sin là các thời điểm trùng khớp. Hình 4. Chiến lược đồ thị hai chiều trên màn hình Cabri 17
5. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 ___ Chiến lược “đồ thị hai chiều” khĩ xuất hiện vì nĩ tham chiếu vào mơ hình O trong khi quá trình mơ hình hĩa ở buổi 1 đã xây dựng mơ hình C. Tuy trục thời gian tạo thuận lợi cho bước chuyển qua mơ hình O nhưng những phân tích sách giáo khoa của chúng tơi đã chỉ ra rằng kĩ thuật thực hiện bước chuyển này hồn tồn vắng bĩng kể cả ở lớp 12 khi các dao động điều hịa được đưa vào. Đối với chiến lược “đồ thị một chiều”, hai lời giải trong Cabri (đường trịn tia trong Cabri và tia đường trịn trong Cabri) khĩ thực hiện vì phải thực hiện chuyển số đo. Chiến lược tia đường trịn trên giấy ít khĩ khăn hơn vì nĩ sử dụng tri giác để đặt điểm L trên đường trịn và đánh dấu những cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng. Tuy vậy, nĩ đặt ra câu hỏi về sự chính xác của vị trí L và các cung. Chiến lược này dựa trên mơ hình C đã xây dựng trong buổi 1 và chúng ta cĩ thể dự đốn rằng nĩ sẽ chiếm ưu thế. Việc trả lời câu hỏi “M cĩ thể thắng thêm những lần khác khơng ?” địi hỏi phải sử dụng tính tuần hồn của các hiện tượng. 2.1. Phân tích kết quả pha 1 Chúng tơi trình bày trong bảng sau những chiến lược được sử dụng bởi học sinh để tìm các thời điểm trùng khớp Bảng 2. Các chiến lược xuất hiện trong pha 1 Chiến lược Nhĩm Tia → đường trịn trong 1 Cabri Đồ thị Tia → đường trịn trên một 2, 3, 5, 6 giấy chiều Đường trịn → tia trong 4 Cabri Đồ thị hai chiều - Các nhĩm 1, 2, 3 và 6 sử dụng đường trịn như là đường đi của cabin M để tính quãng đường đi được theo thời gian. Đường trịn được chia (một cách tương đối) thành 5 phần, HS dùng bút để đánh dấu và đếm các vịng khác nhau. Đây là bằng chứng của việc sử dụng tính tuần hồn. Hình 5. Giấy nháp của nhĩm 6 18
6. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga ___ Chẳng hạn, sau đây là câu trả lời của nhĩm 1 : Hình 6. Câu trả lời của nhĩm 1 Ngược lại, nhĩm 4 lập luận trên quãng đường cabin M đi được dọc theo trục thời gian trong Cabri: Hình 7. Màn hình Cabri của nhĩm 4 Câu trả lời của nhĩm 4: Hình 8. Câu trả lời của nhĩm 4 Như vậy trong pha này, chỉ cĩ chiến lược đồ thị một chiều xuất hiện. Mơ hình C (mơ hình đã được xây dựng trong Cabri) được ưu tiên sử dụng bởi học sinh. Tuy nhiên, khĩ khăn trong việc đánh dấu các cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của đu quay dẫn đến 4/6 nhĩm từ bỏ mơi trường Cabri và chuyển hình vẽ sang giấy. Sự tuần hồn được khai thác bằng cách thu hẹp thời gian vào một khơng gian xác định là đường trịn chứ khơng khai triển hồn tồn theo trục thời gian (trừ nhĩm 4). 19
7. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 ___ Tĩm lại, ở thời điểm này, chỉ cĩ hai nhĩm 1 và 4 sử dụng đồng thời trục thời gian và mơ hình C. Chiến lược đồ thị hai chiều hồn tồn khơng xuất hiện. Thế nhưng, sự nối khớp giữa C và O lại địi hỏi sự xuất hiện của đồ thị hai chiều. Vì vậy, chúng tơi xây dựng các pha trung gian (pha 2 và pha 3) để đưa vào đồ thị đĩ trong Cabri trước khi tạo ra sự cạnh tranh giữa hai mơ hình C và O trong pha 4. Do khuơn khổ cĩ hạn của bài báo, chúng tơi bỏ qua việc phân tích chi tiết hai pha này. 2.2. Phân tích kết quả pha 4 Câu hỏi đặt ra trong pha này tương tự như pha 1 nhưng giá trị của cặp (m, h) là (4, 20) làm cho thời điểm trùng khớp đầu tiên xa gốc thời gian (ở vịng thứ 4). Điều này tạo thuận lợi cho việc sử dụng tính tuần hồn của các hiện tượng. Sau đây là yêu cầu đặt ra cho HS : Người quản lí đu quay quyết định thay đổi chiều cao của tia sáng là 20 m ở phía bên phải đu quay. Cứ 4 phút tia sáng chiếu sáng trong 1 phút. Câu hỏi: M cĩ thắng một vịng miễn phí khơng? Nếu cĩ, sau bao nhiêu vịng chơi? M cĩ thể thắng thêm những lần khác khơng? Ở đây, chiến lược đồ thị một chiều sẽ khĩ thực hiện hơn trong pha 1 vì sự kết hợp của việc đếm đồng thời số vịng và các cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng. Ngồi màn hình Cabri, học sinh được phát một tờ giấy biểu diễn đường đi của điểm M’1 trong hệ trục tọa độ Đề-các với 3 cung được vẽ và chỗ trống cho 2 cung khác. Các trục thời gian và độ cao của cabin đến mặt đất được đặt tên. độ cao tính bằng 2 1 O thời gian tính bằng phút Hình 9. Đồ thị biểu diễn đường đi của điểm M’ Việc phát đồ thị hình sin trong pha này cĩ thể khuyến khích học sinh sử dụng đồ thị gắn với mơ hình O hơn là sử dụng mơ hình C. Như vậy, pha này tạo ra một sự ngắt quãng với các pha trước vì các pha trước đã cho sẵn mơ hình C. Trong mơi trường giấy bút, chiến lược này cần phải quay trở lại cung đầu tiên sau 3 cung (15 phút) hoặc là kéo dài đồ thị với ít nhất một cung như trong hình sau đây: 20
8. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga ___ Hình 10. Chiến lược đồ thị hai chiều trong pha 4 Tương tự như trong pha 1, chiến lược đồ thị hai chiều là chiến lược tối ưu vì nĩ cho phép tổng quát hĩa bài tốn mà khơng cần lặp lại tất cả quá trình. Chúng tơi tĩm tắt các chiến lược được HS sử dụng trong bảng sau : Bảng 3. Các chiến lược xuất hiện trong pha 4 Chiến lược Nhĩm Tia → đường trịn trong Đồ thị - Cabri một Tia → đường trịn trên 2, 3, 4, 5, chiều giấy 6 Đồ thị hai chiều 1 Trong pha này, mặc dù đồ thị biểu diễn độ cao của cabin M theo thời gian đã được cho sẵn, chúng ta vẫn thấy sự thống trị của chiến lược đồ thị một chiều. Khơng cĩ bất cứ dấu vết nào để lại trên đồ thị của các nhĩm 2, 3, 4 và 6. Với các nhĩm này, đồ thị được cho chỉ là một phương tiện minh họa chứ khơng được khai thác để giải quyết bài tốn. Nhĩm 5 đã sử dụng đồ thị để trả lời câu hỏi về độ cao và thời gian (phần đầu của pha 4). Tuy nhiên, với bài tốn về sự trùng khớp, nhĩm này quay trở lại chiến lược đồ thị một chiều (vẽ đường trịn trên giấy). Chỉ cĩ nhĩm 1 sử dụng đồ thị hai chiều trong pha này. Học sinh mở rộng đồ thị thêm một cung và chia mỗi cung thành 5 phần (dựa theo các ơ vuơng chia độ trên tờ giấy) tương ứng với 5 phút. 21
9. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 ___ Hình 11. Dấu vết trên đồ thị của nhĩm 1 Các khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng được đánh dấu trên đồ thị (kí hiệu L). Chúng ta thấy ở đây học sinh mắc sai lầm về mối liên hệ giữa các đại lượng biến được thể hiện trên đồ thị và về cách đọc các giá trị của các đại lượng trên đồ thị. Các sai lầm này chứng tỏ sự nối khớp khơng đầy đủ giữa các mơ hình C và O ở học sinh. Tuy nhiên sau đĩ, nhĩm này từ bỏ việc sử dụng đường hình sin để thực hiện việc dàn trải thời gian trên những đoạn thẳng song song. Hình 12. Giấy nháp của nhĩm 1 Như vậy, chiến lược mà nhĩm này sử dụng là chiến lược đồ thị hai chiều (thời gian theo các đoạn thẳng và số vịng). Chúng tơi muốn minh họa sản phẩm của nhĩm 2, một trong bốn nhĩm vẽ trên giấy nháp đường trịn để thực hiện chiến lược đồ thị một chiều. 22
10. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga ___ Hình 13. Giấy nháp của nhĩm 2 Đường trịn thứ nhất được sử dụng để biểu diễn đường đi của cabin M với vị trí của điểm D (L) ở độ cao 20 m. Các đường trịn khác được sử dụng để đánh dấu và đếm các khoảng chiếu sáng của tia sáng (T: tắt, S: sáng). Chiến lược này cho phép nhĩm 2 đưa ra câu trả lời đúng (M thắng sau 4 vịng chơi). Nhĩm 3 cũng cĩ chiến lược tương tự và cho câu trả lời đúng. Cịn lại nhĩm 4, 5 và 6 chỉ sử dụng 1 đường trịn duy nhất và họ cho kết quả nhầm lẫn vì các khĩ khăn của việc đếm đồng thời số vịng và các cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng của tia sáng trên cùng 1 đường trịn. 2.3. Kết luận của buổi thứ hai Việc thực nghiệm đồ án đã chỉ ra rằng bài tốn về sự trùng khớp giữa hai hiện tượng tuần hồn được chọn là hợp thức để xem xét tính tuần hồn của mỗi hiện tượng được nghiên cứu và thao tác với chúng. Hơn nữa, thực nghiệm này cũng cho thấy rằng học sinh nhận biết và sử dụng được sự tuần hồn dưới nhiều hình thức khác nhau. + Tuần hồn theo các vịng trên đường trịn, thời gian rời rạc, mơ hình C; + Tuần hồn theo các đoạn thẳng trên một tia được chia độ, thời gian tuyến tính liên tục; + Tuần hồn theo các cung của đường hình sin, thời gian tuyến tính liên tục, mơ hình O; + Tuần hồn theo các đoạn thẳng song song, thời gian tuyến tính rời rạc. Bước chuyển từ một trong hai mơ hình C và O sang mơ hình cịn lại được diễn tả đối với biến thời gian bằng một sự dàn ra hay gập lại. Trong thể chế dạy học phổ thơng ở Việt Nam, sự dàn ra được thể chế hĩa với đường thẳng thời gian (đồ thị của các hiện tượng biến thiên theo thời gian). Ngược lại, sự gập lại chỉ tồn tại ngầm ẩn qua việc quấn đường thẳng thực quanh đường trịn lượng giác (chương trình tốn lớp 10). Đồ án dạy học này cho thấy rõ sự gập lại thời gian trên đường trịn bởi vì trong mơi trường hình học động Cabri, sự điều khiển điểm M (di chuyển) bởi điểm P (thời gian) tạo ra khả năng đọc thời gian trên đường trịn. Việc gập lại thời gian trên đường trịn này được thực hiện bằng sự phân tích thành số vịng. Điều này gây ra sự rời rạc của thời gian mà sự hình thức hĩa nĩ gắn liền với mođun số học về mặt ngữ nghĩa. 23
11. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 ___ 3. Kết luận chung Thực nghiệm đồ án sư phạm cho thấy tiềm năng của các phần mềm hình học động trong việc dạy học mơ hình hĩa ở trường phổ thơng. Mơi trường hình học động Cabri sử dụng trong đồ án cho phép thiết lập mơ hình trung gian C, khai thác nĩ và làm tiến triển nĩ dần dần theo quá trình mơ hình hĩa. Thực nghiệm cho thấy sự khĩ khăn của học sinh trong bước chuyển từ mơ hình C sang mơ hình O vì nĩ địi hỏi phải tách đại lượng được chọn ở mơ hình C để đặt trên trục thứ hai của một hệ trục tọa độ Đề-các cĩ một trục xác định là trục thời gian. Đồ án tạo ra một cách tiếp cận mới về các hàm số lượng giác, tạo ra sự ngắt quãng với các thực hành của thể chế, vì hàm số lượng giác nảy sinh từ một quá trình mơ hình hĩa tình huống ngồi tốn học. Ở đây, các kiến thức về sự tuần hồn được xây dựng như là sản phẩm của một quá trình tốn học hĩa một hiện tượng thực tế, đĩ là các hiện tượng tuần hồn theo thời gian. Đồ án đã tạo ra hai sự ngắt quãng đối với hợp đồng của thể chế trên các hàm số : - Biểu diễn động của hàm số trong một mơi trường tin học (buổi thứ 1); - Hàm số là kết quả của quá trình mơ hình hĩa (buổi thứ 2). Việc thực nghiệm đồ án đã chứng tỏ hiệu lực của các ràng buộc thể chế trên hoạt động của mỗi sự phá vỡ này. Nghiên cứu đồ án dẫn chúng tơi đến việc đặt ra câu hỏi về khả năng dạy học liên mơn Vật lí – Tốn được xây dựng quanh những tình huống chứa đựng một quá trình mơ hình hĩa tốn học các hiện tượng được nghiên cứu trong vật lí. Những tri thức tốn học và vật lí nào cĩ thể được tạo nên từ một quá trình mơ hình hĩa ngồi tốn học trong các điều kiện thể chế hiện tại? Những tổ chức praxéologie (hỗn hợp tốn-vật lí) nào mà thể chế ở trung học cần xây dựng để dạy học mơ hình hĩa tốn học ? 1 M’ nằm trên đường thẳng đi qua P*và vuơng gĩc với trục thời gian sao cho PM’ = MH với H là hình chiếu của M lên đường thẳng biểu thị mặt đất. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Thị Nga (2012), La périodicité dans les enseignements scientifiques : une ingénierie didactique d’introduction aux fonctions périodiques par la modélisation, ISBN: 978-3-8383-8192-9, Éditions Universitaires Européennes. 2. Nguyễn Thị Nga (2013), “Nghiên cứu một đồ án dạy học các hàm số tuần hồn bằng mơ hình hĩa trong mơi trường hình học động (Phần 1)”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TPHCM, 45(79), tr. 5 - 13. 3. Soury-Lavergne, S. & Bessot, A. (2012), Modélisation des phénomènes variables à l’aide de la géométrie dynamique, Actes du colloque Espace Mathématique Francophone, 3-7 février 2012, Genève. (Ngày Tịa soạn nhận được bài: 18-10-2012; ngày phản biện đánh giá: 13-5-2013; ngày chấp nhận đăng: 24-7-2013) 24