Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng

Nội dung text: Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 49-56, DOI 10.15625/vap.2019000255 Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng Nguyễn Xuân Toản 1) , Nguyễn Thị Kim Loan 2) , Nguyễn Duy Thảo 3) 1,2,3) Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng Email: 1) toan_nguyenxuan@dut.udn.vn, 2) ntkloan@dut.udn.vn, 3) ndthao@dut.udn.vn Tóm tắt đương. Các phân đoạn này có sự liên kết và truyền tải Ngày nay việc ứng dụng thép cường độ cao giúp giảm khối trọng về các nút thuộc biên có đường xe chạy. lượng và chi phí xây dựng cầu giàn thép. Kết cấu cầu giàn thép Trong nghiên cứu bước đầu, các tác giả xây dựng mô rất thanh mảnh, gọn nhẹ và có khả năng vượt nhịp lớn, nhưng hình tương tác giữa kết cấu cầu giàn thép với tải trọng xe nó rất nhạy cảm với các tác động của tải trọng động, tải trọng có ASIA ba trục. Kết cấu cầu giàn thép có 10 khoang, mỗi chu kỳ. Dưới tác dụng của tải trọng xe di động nó bị rung động khoang 7m, tổng chiều dài nhịp 70m. Mô hình tải trọng rất mạnh và cần được xem xét. Trong bài báo này, các tác giả có cấu trúc cho mỗi trục xe là 2 khối lượng. giới thiệu một số kết quả phân tích dao động của kết cấu cầu 2. Mô hình tính toán giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe di động bằng phương pháp số. Kết quả nghiên cứu bước đầu cho trường hợp có xét và Xét mô hình tương tác động lực giữa cầu giàn thép không xét đến hệ số ma sát trong, ma sát ngoài khá phù hợp với và tải trọng xe di động được mô tả như hình 01: các dạng dao động của các bài toán cơ bản và bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di động. Biên độ dao động của chuyển vị và nội lực trong trường hợp có xét đến hệ số ma sát giảm đáng kể so với trường hợp không xét. Từ khóa: Dao động, cầu giàn thép, tải trọng di động, mô hình tương tác xe-cầu, phương pháp số. 1. Giới thiệu chung Hình 1. Mô hình tương tác giữa cầu giàn thép và tải trọng xe di động Sau sự cố sập cầu đường sắt ở Chester nước Anh vào Các thanh đứng, thanh xiên và thanh biên của giàn năm 1847 đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học được xem xét như là các phần tử thanh cơ bản chịu kéo trên thế giới tham gia nghiên cứu về lĩnh vực dao động nén và uốn đồng thời. Các phần tử dầm thuộc mặt đường công trình cầu dưới tác dụng của tải trọng di động. Công xe chạy được xem xét như là các phần tử tương tác trực trình nghiên cứu sớm nhất đã được công bố bởi R. Willis tiếp với tải trọng xe di động. Mô hình tương tác động lực (1849) [1]. Cho tới nay có rất nhiều công trình nghiên giữa xe 3 trục và phần tử dầm như hình 02: cứu của các tác giả trên thế giới đã được công bố với mô hình tương tác động lực giữa công trình cầu và tải trọng xe di động ngày càng gần với thực tế hơn [2], [3], [4]. Các nghiên cứu về kết cấu cầu dầm, cầu giàn và cầu dây văng đã được nhiều tác giả trong nước công bố trong thời gian gần đây [5] ÷ [13]. Tuy nhiên các nghiên cứu về cầu giàn thép vẫn còn hạn chế. Cầu giàn thép có nhiều ưu điểm song nó cũng tồn tại nhiều vấn đề cần được tiếp tục Hình 2. Mô hình tương tác động lực giữa xe 3 trục nghiên cứu và làm rõ. Cấu tạo cầu giàn thép rất phức tạp, và phần tử dầm. đặc biệt khi xem xét theo mô hình không gian. Hệ thống trong đó: giàn chủ, hệ thống liên kết, hệ thống dầm mặt cầu, bản PG .sin - lực kích thích điều hoà đối với trục mặt cầu, được liên kết tạo thành kết cấu cầu giàn thép ii i hoàn chỉnh là rất phức tạp. Bài toán không gian quá phức xe thứ i. tạp, nên các nghiên cứu về dao động của cầu giàn thép m1i - khối lượng của thân xe, kể cả hàng hoá truyền còn nhiều hạn chế. Để giảm bớt tính phức tạp, trong bài xuống trục xe thứ i. toán này các tác giả tiến hành nghiên cứu dao động của m2i - khối lượng của trục xe thứ i. cầu giàn thép trên mô hình kết cấu phẳng. Sự phân bố tải k1i, d1i - độ cứng và độ giảm chấn của nhíp xe thứ i. trọng theo phương ngang cầu được phân tích theo quy k2i, d2i - độ cứng và độ giảm chấn của lốp xe thứ i. luật đòn bẩy đối với kết cấu cầu có hai giàn chủ. Sự L- chiều dài của phần tử dầm. tương tác của tải trọng lên mặt cầu và hệ dầm mặt cầu ai- toạ độ của trục xe thứ i tại thời điểm đang xét với trong từng phân đoạn được đưa về mô hình dầm tương tốc độ di chuyển đều:
2. Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan, Nguyễn Duy Thảo av.ttii ivới tt i (1) pxzt(,,)   (). t G .sin m m . g mz .12ii m . z .( x a ) i iiiii 12 1 i 2 i i vi - vận tốc của tải trọng thứ i. (6) ti -thời điểm tải trọng thứ i bắt đầu vào phần tử dầm. Trong đó d()x-a là hàm Delta-Dirac. t - thời điểm đang xét. i 3. Phương trình vi phân dao động 3.2. Phương trình dao động của phần tử dầm Theo [14] phương trình dao động uốn của phần tử 3.1. Phương trình dao động của tải trọng di động dầm với tiết diện không đổi chịu tải trọng phân bố p(x,z,t) Cấu trúc của tải trọng di động thứ i được tách ra như có xét đến ảnh hưởng của ma sát trong và ma sát ngoài hình 3: như sau: 45 2 w G .sin ww  ww (z) i i (7) EJdd . 44  . F . 2  . p( x,z,t ) (y) xx.ttt m1i m1i.g Phương trình vi phân dao động dọc của phần tử có k 1i d1i xét đến hệ số ma sát: 22uuu k .y + d .y EF . F .  . q( x ) (8) 1i 1i 1i 1i ddxtt22 m2i m2i.g Trong đó: k 2i d2i EJd - độ cứng chống uốn của phần tử dầm. EFd - độ cứng dọc trục của phần tử dầm. k2i.y2i + d2i.y2i Fd – khối lượng phân bố của phần tử dầm trên 1 đơn vị chiều dài. wi x O  và  - hệ số ma sát trong và hệ số ma sát ngoài của Hình 3. Cấu trúc của tải trọng di động thứ i phần tử dầm. Quy ước chiều dương của tải trọng và w, y, z hướng u, w - chuyển vị của phần tử dầm tại tiết diện đang lên trên. xét theo phương Ox và Oy; y1i và y2i: Chuyển vị tương đối giữa khối lượng m1i q(x) - lực phân bố trên phần tử dầm theo phương Ox. so với m2i và khối lượng m2i so với phần tử dầm tại thời điểm đang xét theo phương thẳng đứng. Kết hợp (3), (5), (6), (7) và (8) ta có hệ phương trình vi phân dao động uốn và dao động dọc của phần tử dầm wwx,t là độ võng của phần tử dầm tại vị trí ixa i chịu tải trọng di động như sau: æö¶¶45ww ¶¶ 2 ww ïü ç +++=qrb÷ ï của tải trọng thứ i ở thời điểm đang xét. EJdd ç 44÷ F (,,) 2 p x z t èø綶¶¶xxtt. ÷ ¶ t ï ï Gọi z và z là toạ độ tuyệt đối của khối lượng m 22 1i 2i 1i ¶¶¶uuu ï EF ()++=rb F q x ï và m2i theo phương thẳng đứng: dd¶¶¶xtt22 ï ï N ýï   ï zyyw1i 1i 2i pxzt( , , )=Y-+ åxdiiiii ( t ).[ G sin ( m12 m ). g m 1122 iiiii . z m . z ]. ( x a ) ï (2) i=1 ï ï zyw2i 2i ï mz11ii ++ dz 11 ii  kz 11 ii dz 12 i  i k12ii sin.zG=Y- i i mg 1 i ï ï mz.(++ d d ).(z  ++ k k ) z - dz  - kz . =-+ mg . dw + kwï Áp dụng nguyên lý d’Alembert viết phương trình cân 2i 2 i 1 i 2 i 2 i 1 i 2 i 2 i 11 ii 11 ii 2 i 2 ii 2 iiï (1iN=¸ ) ï bằng cho khối lượng m1i và m2i: þï .  (9) m.z k .y  d.y m.gG.sin 0 1i 1i 1i. 1i 1i 1i 1i i i (3) Áp dụng phương pháp Garlerkin kết hợp với lý . .  thuyết Green, biến đổi hệ phương trình (9) về dạng ma m.z2i 2i k 2i. .y 2i d.y 2i 2i k.y 1i 1y d.y 1i 1i m.g0 2i  trận như sau: Kết hợp (2) và (3) và biến đổi ta được phương trình M qCqKqf++  = dao động của tải trọng thứ i: ee ee (10) . .  Me, Ce, Ke - lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận m .z d .z k .z d .z k .z G.sin  m .g 1i 1i 1i. 1i 1i 1i 1i 2i 1i 2i i i 1i (4) . . .  cản, ma trận độ cứng hỗn hợp: m.z(dd).z(kk).zd.zk.zm.gd.wk.w 2i 2i 1i. 2i 2i 1i 2i 2i 1i 1i 1i 1i 2i 2i i 2i i  MMww wz12 M wz C ww00 K ww 00 MM 00;0;0 CCCKKK ;(11) . ezzezzzzezzzz 11 11 12 11 12 00MCCCKKK Trên hình 3: Fkydyiiii 22 2 2i kết hợp với (3) ta được: zz22 zw 2 zz 21 zz 22 zw 2 zz 21 zz 22 qqq,,,  fe lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị, lực FG  .sin m m . gmzmz .12ii . (5) ii i 12 i i 1 i 2 i hỗn hợp: ïïìüWW ïïìü  ìü ì ü Viết lại dưới dạng phân bố và thêm hàm tín hiệu điều ïï ïï ïïWF ïw ï ïï ïï ïï ï ï (12) {}qZ===íýïï;;; {} qZ  íýïï  {} qZ íýïï { f } = íï F ýï khiển lôgic: ïï111 ïï ïïez ï 1 ï ïï ïï  ïïZ ïF ï ïïZZ22 ïï îþïï22 îïz þï 1 khi tiii t t T L îþïï îþïï i ()t ; Ti Mww, Cww, Kww - lần lượt là ma trận khối lượng, ma 0 khi t tiii va t t T vi trận cản, ma trận độ cứng của phần tử dầm cơ bản vừa Ta được: chịu lực dọc trục vừa chịu uốn, có thể tìm thấy trong tài
3. Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng liệu [14] ÷ [17]. Các ma trận và các véctơ còn lại có thể Xe di động loại ASIA ba trục, có các tham số cơ bản tìm thấy trong tài liệu [6]. như sau: m=15T, m11=2.94T, m12=m13=5.89T, 3.3. Phương trình vi phân dao động của toàn hệ thống m21=0.06T, m22=m23=0.11T, Pi=0, x1=5.65m, Để ứng dụng vào phân tích dao động theo mô hình x2=4.35m, x3=0m, k11=120T/m, k12=k13=260T/m, tương tác giữa cầu giàn thép với tải trọng di động như k21=160T/m, k22=k23=320T/m, d11=0.7344Ts/m, hình 1, sau khi rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử d12=d13=0.3672Ts/m, d21=0.4Ts/m, d22=d23= 0.8Ts/m. thanh cơ bản và phần tử dầm tương tác với tải trọng xe di 4.2. Kết quả phân tích dao động của cầu giàn thép động, ta sử dụng thuật toán của phương pháp phần tử hữu hạn và xây dựng hệ phương trình vi phân dao động cho Các kết quả phân tích dao động của cầu giàn thép toàn hệ, phương trình tổng quát viết dưới dạng ma trận dưới tác dụng của tải trọng xe ASIA theo mô hình tương như sau (13): MU CU  KU F (13) tác động lực giữa cầu giàn thép và các tải trọng trục xe Trong đó: M, C, K lần lượt là ma trận khối lượng, di động, mô hình 2 khối lượng có xét và không xét đến ma trận cản, ma trận độ cứng của toàn hệ thống theo mô ảnh hưởng của hệ số ma sát trong và ma sát ngoài khi xe hình tương tác động lực học giữa cầu giàn thép và tải trọng di động. chạy với vận tốc 5÷10m/s được thể hiện trên các hình UUUF,,,  : lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển 4÷39. vị, lực tương đương mở rộng cho toàn hệ thống theo mô Về chuyển vị được khảo sát tại mỗi nút gồm 3 hình tương tác động lực học giữa cầu giàn thép và tải trọng di động. thành phần là chuyển vị ngang (Ux), chuyển vị thẳng 4. Ứng dụng phân tích dao động của cầu giàn đứng (Uy) và chuyển vị xoay (Uz). Dưới đây là kết quả thép khảo sát về dao động của chuyển vị tại một số nút thuộc 4.1. Các số liệu cơ bản của cầu giàn thép và tải trọng biên trên và biên dưới của giàn. Kết quả khảo sát về dao động của chuyển vị tại nút Kết cấu cầu giàn thép được mô hình hóa như hình 3, số 5 thuộc biên dưới của giàn khi xét và không xét đến gồm 10 khoang, mỗi khoang 7m, cao 9.5m, chiều dài kết nhịp 70m, vật liệu thép có E=2*107 T/m2, hệ dầm mặt cầu hệ số ma sát trong và ma sát ngoài như hình 4÷9: 4 có Jdmc=0.000542 m , khối lượng của hệ dầm, bản, lớp phủ và bộ hành là 6.31 T/m2 , hệ số ma sát =0.01, =0.01. Kết cấu giàn đối xứng, các thanh giàn tiết diện chữ H có các tham số cơ bản như bảng 1. Bảng 1 : Các tham số cơ bản của các thanh giàn Hình 4. Biểu đồ dao động của chuyển vị Ux tại nút 5 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 5. Biểu đồ dao động của chuyển vị Ux tại nút 5 khi không kể đến ma sát
4. Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan, Nguyễn Duy Thảo Hình 6. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uy tại nút 5 khi xét đến Hình 10. Biểu đồ dao động của chuyển vị Ux tại nút 17 khi xét ma sát trong và ma sát ngoài đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 11. Biểu đồ dao động của chuyển vị Ux tại nút 17 khi Hình 7. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uy tại nút 5 khi không không kể đến ma sát kể đến ma sát Hình 12. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uy tại nút 17 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 8. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uz tại nút 5 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 13. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uy tại nút 17 khi không kể đến ma sát Hình 9. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uz tại nút 5 khi không kể đến ma sát Kết quả khảo sát về dao động của chuyển vị tại nút số 17 thuộc biên trên của giàn khi xét và không xét đến hệ số ma sát trong và ma sát ngoài như hình 10÷15: Hình 14. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uz tại nút 17 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài
5. Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng Hình 18. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 4-5 khi xét đến ma Hình 15. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uz tại nút 17 khi sát trong và ma sát ngoài không kể đến ma sát. Tương tự, về nội lực trong các phần tử được khảo sát tại đầu và cuối của mỗi thanh, gồm 3 thành phần là lực cắt, lực dọc và mômen. Các kết quả phân tích tĩnh và dao động của lực cắt, lực dọc và mômen của các phần tử thanh giàn biên dưới, thanh giàn biên trên, thanh đứng và thanh xiên được thể hiện như các hình dưới đây. Hình 19. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 4-5 khi không kể đến ma sát Kết quả khảo sát về dao động của lực cắt, lực dọc và mômen trong phần tử thanh 4-5 thuộc biên dưới của giàn khi xét và không xét đến hệ số ma sát trong và ma sát ngoài như hình 16÷21: Hình 20. Biểu đồ dao động của mômen thanh 4-5 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 16. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 4-5 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 21. Biểu đồ dao động của mômen thanh 4-5 khi không kể đến ma sát Kết quả khảo sát về dao động của lực cắt, lực dọc và mômen trong phần tử thanh 19-20 thuộc biên trên của giàn khi xét và không xét đến hệ số ma sát trong và ma sát ngoài như hình 22÷27: Hình 17. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 4-5 khi không kể đến ma sát
6. Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan, Nguyễn Duy Thảo Hình 22. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 19-20 khi xét đến Hình 27. Biểu đồ dao động của mômen thanh 19-20 khi không ma sát trong và ma sát ngoài kể đến ma sát Kết quả khảo sát về dao động của lực cắt, lực dọc và mômen trong phần tử thanh treo đứng của giàn 4-14 khi xét và không xét đến hệ số ma sát trong và ma sát ngoài như hình 28÷33: Hình 23. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 19-20 khi không kể đến ma sát Hình 28. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 4-14 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 24. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 19-20 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 29. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 4-14 khi không kể đến ma sát Hình 25. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 19-20 khi không kể đến ma sát Hình 30. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 4-14 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 26. Biểu đồ dao động của mômen thanh 19-20 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài
7. Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng Hình 35. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 7-18 khi không kể Hình 31. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 4-14 khi không kể đến ma sát đến ma sát Hình 36. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 7-18 khi xét đến Hình 32. Biểu đồ dao động của mômen thanh 4-14 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài ma sát trong và ma sát ngoài Hình 37. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 7-18 khi không kể Hình 33. Biểu đồ dao động của mômen thanh 4-14 khi không kể đến ma sát đến ma sát Kết quả khảo sát về dao động của lực cắt, lực dọc và mômen trong phần tử thanh xiên của giàn 7-18 khi xét và không xét đến hệ số ma sát trong và ma sát ngoài như hình 34÷39: Hình 38. Biểu đồ dao động của mômen thanh 7-18 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 34. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 7-18 khi xét đến ma sát trong và ma sát ngoài Hình 39. Biểu đồ dao động của mômen thanh 7-18 không kể đến ma sát.
8. Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan, Nguyễn Duy Thảo Kết quả phân tích dao động cho thấy chuyển vị và [7] Nguyễn Xuân Toản, Trần Đức Long, Trần Văn Đức (2011). nội lực động phân bố điều hòa xung quanh kết quả phân Ảnh hưởng của tốc độ và khối lượng xe di động đến dao tích tĩnh. Khi xét đến lực cản, sau một khoảng thời gian, động của cầu dầm liên tục nhiều nhịp. Tạp chí Giao thông dao động của hệ tắt dần, kết quả phân tích chuyển vị và Vận tải, Số 8/2011. nội lực động hội tụ về kết quả phân tích tĩnh, điều này phù hợp với lý thuyết tính toán dao động của kết cấu có [8] Nguyễn Xuân Toản, “Phân tích hệ số động lực của chuyển xét đến lực cản. vị và lực cắt trong cầu dầm liên tục do tải trọng di động gây Trường hợp có xét và không xét đến hệ số ma sát ra bằng phương pháp số”, TTCT Hội nghị Khoa học toàn trong, ma sát ngoài, kết quả khá phù hợp với các dạng quốc lần thứ 2 về Cơ kỹ thuật và Tự động hóa, NXB BKHN, dao động của các bài toán cơ bản và bài toán dao động 10/2016, trang 196-202. của dầm chịu tải trọng di động. [9] Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo, Kuriyama Biên độ dao động của chuyển vị và nội lực trong Yukihisa, “Phân tích hệ số động lực của chuyển vị, mô men trường hợp có xét đến hệ số ma sát giảm đáng kể so với trường hợp không xét đến hệ số ma sát. uốn và lực cắt trong cầu dầm SuperT có bản mặt cầu liên tục nhiệt do tải trọng di động gây ra bằng phương pháp số”, 5. Kết luận Tạp chí Giao thông Vận tải, số 03/2017, trang 42-45, Bài báo giới thiệu một số kết quả phân tích dao động ISSN: 2354-0818. của kết cấu cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe [10] Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo, Nguyễn Văn Hoan, ASIA di động với mô hình tải trọng trục hai khối lượng. “Xác định hệ số động lực của cầu dầm Super T có bản liên Kết quả nghiên cứu cho thấy chuyển vị và nội lực động tục nhiệt do tải trọng di động gây ra bằng phương pháp đo phân bố điều hòa xung quanh kết quả phân tích tĩnh. Khi đạc thực nghiệm”, Tạp chí Giao thông Vận tải, số xét đến lực cản, dao động của hệ tắt dần và hội tụ về kết 08/2017, trang 71-74, ISSN: 2354-0818. quả phân tích tĩnh. Biên độ dao động của chuyển vị và nội lực trong trường hợp có xét đến hệ số ma sát giảm [11] Toan X. N., Duc V. T., "A finite element model of vehicle - đáng kể so với trường hợp không xét đến hệ số ma sát. cable stayed bridge interaction considering braking and Kết quả nghiên cứu bước đầu có thể tham khảo và định acceleration", The 2014 World Congress on Advances in hướng cho việc nghiên cứu và tính toán thiết kế cầu giàn Civil, Environmental, and Materials Research. Busan, thép theo mô hình tương tác. Korea, p.109, (20p.) [12] Xuan-Toan Nguyen, Van-Duc Tran, “Determination of Tài liệu tham khảo dynamic impact factor for continuous girder bridge due to vehicle braking force with finite element method analysis [1] Willis R., The effect produced by causing weights to travel and experimental investigation”, Vietnam Journal of over elastic bars. Report of the commissioners appointed to Mechanics, VAST, Vol. 39, No. 2 (2017), pp. 149 – 164. inquire into the application of iron to railway structures, ISSN 0866-7136. Appendix B, Stationery office, London, England 1849. [13] Xuan-Toan Nguyen, Van-Duc Tran, and Nhat-Duc Hoang, [2] Dietz Stefan, Hippmann Gerhard, Schupp Gunter, “A Study on the Dynamic Interaction between Three-Axle Interaction of Vehicles and Flexible Tracks by Vehicle and Continuous Girder Bridge with Consideration Co-Simulation of Multibody Vehicle Systems and Finite of Braking Effects”. Journal of Construction Engineering, Element Track Models. Vehicle System Dynamics, Volume 2017, Article ID 9293239, 12 pages. ISSN: Supplement, Vol. 37, p372, 13p, 2002. 2314-5986. [3] Yang Yeong-Bin, Yau Jong-Dar, Vehicle-bridge [14] Ray W. Clough and Joseph Penzien, Dynamics of interaction element for dynamic analysis. Journal of structures. McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1993. Structural Engineering, Vol. 123 Issue 11, p1512, 7p, 1997. [15] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method. [4] Zeng Huan, Bert Charles W., Dynamic Amplification of McGraw-Hill, Inc, Vol 1&2, New York, 1989. Bridge/ Vehicle Interaction: A Parametric Study for a [16] Reddy J.N., An Introduction to the Finite Element Method. Skewed Bridge. International Journal of Structural Stability McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1991. & Dynamics, Vol. 3 Issue 1, p71, 20p, 2003. [17] Smith I. M., Griffith D. V., Programming the finite element [5] Đỗ Anh Cường, Tạ Hữu Vinh, "Tương tác giữa kết cấu hệ method. Jonh Wiley & Sons, Singapore, 1988. thanh và tải trọng xe di động". TTCT. Hội nghị Khoa học Toàn quốc về Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 7, NXB. Đại học Quốc gia Hà Nội, tr. 92-101, 2004. [6] Nguyễn Xuân Toản, Phân tích dao động của cầu dây văng dưới tác dụng của tải trọng di động. Luận án TS. Kỹ thuật, Hà Nội, 2007.