Phân tích động bài toán nứt phẳng của vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4)

Nội dung text: Phân tích động bài toán nứt phẳng của vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4)

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 275-282, DOI 10.15625/vap.2019000290 Phân tích động bài toán nứt phẳng của vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Nguyễn Đình Dư1, Nguyễn Đình Đức2, và Bùi Quốc Tính3 1 Khoa Kỹ thuật Công trình, Đại học Lạc Hồng 2 Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội 3 Department of Civil and Environmental Engineering, Tokyo Institute of Technology, Tokyo, Japan E-mail: dinhdu85@gmail.com Tóm tắt nhất, là giống nhau cho bất kỳ sự thay đổi nào của mô đun Trong bài báo này, hệ số cường độ ứng suất động (DSIFs) của đàn hồi [3]. Năng lượng biến dạng được tích tụ mạnh mẽ vật liệu FGM trong bài toán nứt phẳng hai chiều được tính toán trong vùng lân cận đỉnh vết nứt do trường ứng suất cục bộ và phân tích bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4). này, và đó là nguyên nhân cho sự phát triển vết nứt bắt Phần tử XCQ4 là sự kết hợp giữa phần tử hữu hạn mở rộng đầu. Trường ứng suất này không thể tính là một điểm mà (XQ4) với thủ tục nội suy kép (CIP) được phát triển gần đây là cả một miền lân cận đỉnh vết nứt được đại diện bởi hệ nhằm làm trơn trường đạo hàm thay vị bất liên tục tại nút. Tại số cường độ ứng suất (SIFs). Hiện nay, rất nhiều phương đỉnh vết nứt được làm giàu bởi các hàm chức năng cơ bản và hàm Heaviside thì hỗ trợ làm giàu dọc theo đường nứt. Hệ số pháp giải tích đều tính được SIFs, trong phân tích động DSIFs được tính toán từ dạng động của tích phân tương tác thì được gọi là DSIFs, của vật liệu FGM được công bố không đồng nhất kết hợp với trường tiệm cận gần vết nứt. Kết rộng rãi [4], [5]. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ giải quả thu được từ phương pháp nghiên cứu được so sánh với các quyết những bài toán đơn giản trong khi phương pháp số kết quả tham khảo như phương pháp không lưới, phương pháp thì linh hoạt hơn và phù hợp với nhiều bài toán phức tạp. XFEM, phương pháp phần tử biên (BEM). Phương pháp BEM được tác giả Gao và cộng sự tính SIFs theo mode I cho tấm FGM bị nứt [6], còn DIFs thì được Từ khóa: Thủ tục nội suy kép CIP, Vật liệu FGM, Cơ học phá công bố bởi hai nhóm tác giả Zhang [7] và Sladek [8]. hủy. Nhóm tác giả Bùi Quốc Tính thì áp dụng thành công phương pháp không lưới với hàm dạng được cải tiến 1. Mở đầu trong việc tính toán SIFs và cả DSIFs cho vật liệu FGM Vật liệu chức năng hay vật liệu có tính chất cơ lý biến [9]. Phổ biến hơn hết là phương pháp Phần tử hữu hạn mở đổi, tên quốc tế thường được nhắc đến là Functionally rộng (XFEM), đã được công bố bởi nhiều tác giả. Có thể Graded Material (FGM), đã thu hút đáng kể sự quan tâm nhắc đến ở đây là nhóm tác giả Kim và Paulino, họ đã sử của cộng đồng khoa học trong và ngoài nước bởi các tính dụng các dạng tích phân tương tác khác nhau để tính SIFs năng ưu việt mà nó mang lại [1]. Sự ra đời ban đầu của nó và DSIFs cho nhiều dạng bài toán khác nhau, có thể tìm là một sự đòi hỏi thực tế về một dạng vật liệu có khả năng thấy chi tiết trong [10], [11]. Kết quả thu được là đáng tin khắc phục được nhược điểm của kim loại khi chịu nhiệt cậy. độ cao, sau đó thì được áp dụng một cách rộng rãi và Gần đây, một phương pháp số mới được phát triển dựa nhanh chóng vào nhiều lĩnh vực như hàng không vũ trụ, trên nền tảng là FEM truyền thống nhưng được cải tiến năng lượng hạt nhân, sinh học, điện tử, quang học, chuyển với thủ tục nội suy kép (consecutive-interpolation đổi năng lượng. Cấu tạo chính của vật liệu FGM bao gồm procedure – CIP) nhằm khắc phục những hạn chế của hai thành phần là gốm và kim loại, đẳng hướng và không FEM về sự bất liên tục của trường đạo hàm. Bắt đầu từ đồng nhất. Với thuộc tính biến đổi đều, vật liệu FGM giúp cuối năm 2014, nhóm tác giả Bùi Quốc Tính công bố cải thiện khả năng chống lại sự phân tách lớp và hình thành công khi phân tích các vấn đề cơ vật rắn chịu tải thành vết nứt do mỏi. Đặc biệt là làm giảm hoặc loại bỏ tỉnh với phần tử CQ4 (Phần tử hữu hạn tứ giác nội suy đáng kể sự tập trung ứng suất giữa các lớp vật liệu trong kép) [12], tiếp theo đó là công bố về bài toán động [13] vật liệu composite. Nhìn chung, khi thiết kế kết cấu vật của cùng nhóm tác giả. Nối tiếp thành công đó, tác giả liệu FGM, vấn đề về cơ học phá hủy cần được quan tâm, Zuoyi Kang cùng các cộng sự áp dụng phần tử CQ4 với quan trọng hơn là khi chịu tải trọng động, đều đó sẽ giúp kỹ thuật làm giàu, được gọi là XCQ4, để phân tích và tính kéo dài tuổi thọ kết cấu [2]. toán hệ số SIFs cho vật liệu đồng nhất đẳng hướng [14] Mặc dầu vật liệu FGM khác với liệu đồng nhất là tận và DSIFs cho vật liệu composite dị hướng [15]. Trong bài dụng tối đa sự phân hóa để khai thác được ưu điểm của báo này, phần tử XCQ4 được áp dụng vào tính toán và vật liệu cấu thành. Tuy nhiên, trường ứng suất gần đỉnh phân tích hệ số DSIFs của vật liệu FGM. Hai ví dụ số sẽ vết nứt thì mang tính đơn lẻ, cũng giống như vật liệu đồng
2. Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đ ình Đức và Bùi Quốc Tính được thực hiện và so sánh với các công bố trước đó nhằm KI  3  xx cos 1 sin sin đánh giá hiệu quả của phương pháp. 2 r 222 K  3 2. Cơ học phá hủy trong vật liệu FGM  I cos 1 sin sin yy 2 r 222 Xét một vật thể 2-D bị nứt, được cấu thành từ vật liệu (5) KrI  2  FGM chịu điều kiện như Hình 1. Phương trình tổng thể ở uxTIP cos  1 2sin 22 TIP 2 2 dạng thu gọn sau khi áp dụng các điều kiện biên tương ứng có thể được viết như [9]: KrI  2  uyTIP sin  1 2cos 22 2 2 TIP  uuTTT dddd   u   ub   ut  S   Tương tự cho mode phá hoại thứ 2, (1) Trong đó, là khối lượng riêng, b là lực bản thân, t KII  3 là ngoại lực, u là biến phân của trường chuyển vị u,   xx sin 2 cos cos 2 r 222 là trường ứng suất. Mỗi quan hệ giữa ứng suất và biến K  3   II sin cos cos dạng vẫn tuân thủ theo Định luật Hooke’s và được viết yy 2 r 22 2 như sau: (6) KrII  2 uxTIP sin  1 2cos 22 TIP 2 2  C(x) (2) KrII  2  uyTIP cos  1 2sin 22 2 2 Trong đó, C(x) là ma trận tính chất vật liệu không TIP đồng nhất và phụ thuộc môđun đàn hồi E(x) và hệ số nở hông (x). Đối với bài toán phẳng, C(x) được viết như Trong đó, KI và KII là hệ số SIFs cho mode I và mode II, bên dưới: µTIP là môđun đàn hồi chống cắt tại đỉnh nứt với TIP 0.5E TIP / 1 TIP ; TIP 3/1 TIP TIP cho bài 1()()xx 0 Ex() toán ứng suất phẳng và TIP 34 TIP cho bài toán biến Cx()  () x 1 () x 0 1()12() xx dạng phẳng. 001()/2  x Cho trường hợp biến dạng phẳng (3) 3. Phần tử hữu hạn tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) 1()0 x Ex() 3.1. Phần tử CQ4 Cx()  () x 1 0 cho trường 1()  x 2 Phần tử CQ4 là sự cải tiến từ phần tử Q4 với thủ tục 001()/2  x CIP được phát triển duy nhất bởi nhóm nghiên cứu mà hợp ứng suất phẳng (4) đứng đầu là tác giả Bùi Quốc Tính. Những thuộc tính ưu việt cũng như chi tiết về phần tử CQ4 dễ dàng tìm thấy Trường ứng suất và chuyển vị vùng lân cận đỉnh vết trong [12], [13], [14], [15]. Để tiện theo dõi, trong bài viết nứt của vật liệu FGM cũng giống như vật liệu đồng nhất. này, phần tử CQ4 sẽ được trình bày một cách ngắn gọn Tuy nhiên có sự điều chỉnh ở môđun đàn hồi chống cắt như sau. trong trường chuyển vị cho phù hợp. Đối với mode phá Giá trị tại một điểm cần nội suy x(x, y) trong phần tử hoại thứ nhất, trường ứng suất và chuyển vị được viết như hữu hạn tứ giác được thể hiện trong Hình 2. Hàm dạng sau: CQ4 với thủ tục CIP có thể được viết như sau: n 4 [I] [I] [I] R NNN,x  ,y (7)  IIxIy I 1 trong đó N[]I là hàm dạng cơ bản Lagrange, các đạo hàm [I] [I] trung bình N ,x , N ,y được viết như sau: Hình 1. Mô hình nứt 2-D của vật liệu FGM [I] [I][e] [I] [I][e] NwN,NwN,x  e ,x ,y e ,y (8) eÎSII eÎS
3. Phân tích động bài toán nứt phẳng của vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Hình 2. Minh họa miền nội suy trong phần tử CQ4 Hình 3. Mô phỏng hàm dạng Q4 thông thường (a) và hàm dạng CQ4 (b) trong 2D Trong phương trình (8), SI là số phần tử có chung nút I, thực hiện tương tự cho pần tử XCQ4 [14]. Bằng cách [I][e] [I] thêm các hàm chức năng để làm giàu hàm nội suy nhằm N,x là đạo hàm của N được tính theo phần tử thứ tăng sự chính xác khi mô phỏng trường chuyển vị. Hai e và w là hàm trọng số của phần tử thứ e được định nghĩa e vùng chức năng được chọn để làm giàu. Đầu tiên là vùng bởi [12]. dọc theo vết nứt, các nghiên cứu từ trước đến nay đều e we với e là diện tích phần tử thứ e (9) chọn hàm Heaviside có giá trị Hfx () 1 nếu  e eS I fx() 0 và Hfx () 1 nếu fx ( ) 0với fx ( ) là Các hàm IIxIy,,  trong phương trình (7) là chìa hàm khoảng cách từ điểm nội suy đến đường nứt. Tiếp khóa của phương pháp CFEM, chi tiết có thể tìm thấy theo là vùng kỳ dị xung quanh đỉnh nứt. Bốn hàm chức trong [12], [13], [14]. năng làm giàu được trích xuất từ lời giải giải tích có công Bằng kỹ thuật nội suy kép, đạo hàm trung bình được thức như phương trình (10) sẽ được cộng dồn vào hàm cộng vào công thức nội suy truyền thống của phần tử Q4, nội suy. Cũng trong phương trình (10), r là khoảng cách hàm dạng CQ4 có sự trơn và liên tục tại nút cũng như trên từ điểm cần nội suy đển đỉnh vết nứt,  là góc tạo bởi cạnh biên. Hình 3 minh họa hàm dạng cho cả CQ4 và Q4. giữa tiếp tuyến với đường nứt tại đỉnh vết nứt và đường nối từ điểm x đến đỉnh vết nứt, tất cả được minh họa trong 3.2. Kỹ thuật nội suy tại vùng nứt bởi phần tử XCQ4 Hình 4. Cũng giống như phần tử XQ4, việc xấp xỉ trường chuyển vị tại đỉnh vết nứt và dọc theo vết nứt cũng được
4. Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đ ình Đức và Bùi Quốc Tính trong đó * cho trường hợp ứng suất phẳng và  EETIP TIP r sin 2 *2 EETIP TIP/1  TIP cho trường hợp biến dạng phẳng.  r cos Sau một vài phép biến đổi toán học nhất định, tích phân J 2 Fx ( ), 1, ,4 (10) được viết lại như sau:  r sin sin( ) 2 JJd (1) J (2) I (1,2) (14)  r cos sin( ) 2 trong đó J(1) và J(2) là tích phân J ở trạng thái (1) và trạng thái (2), I(1,2) là tích phân tương tác và trong mô hình vật liệu FGM [10] có thể được tính như sau: IuuqdA(1,2)  (1) (2) (2) (1) (2) (1) A ij i,1 ij i ,1 ij ij 1 j , j (15) u(1) u (2) (2) u (1) C  (1) (2) qdA A i i,1 ij , j i ,1 ijkl ,1 kl ij Hình 4. Hình ảnh minh họa các thông số trong phương trình (10) Sau cùng, giá trị DISFs được trích xuất từ tích phân Cuối cùng, chuyển vị tại một điểm bất kỳ được xấp xỉ tương tác như sau: theo phần tử XCQ4 có công thức tổng quát như sau: (1,2) * (1,2) * h KII ModeI E TIP/2, K II I ModeII E TIP /2 (16) ux()  RxuII () RxaHfx J () J () IW sc JW 4 (11) RxKK() Fxb () 5. Kết quả số KW t 1 Trong phần này, một vài ví dụ số được phân tích Trong đó RI là hàm dạng CQ4 như phương trình (7). Ws, nhằm đánh giá hiệu suất của phần tử XCQ4 khi áp dụng Wc, Wt lần lượt là tập hợp các nút thông thường, nút thuộc vào vật liệu FGM. Các mẫu thử có hình dáng đơn giản và đường nứt và nút thuộc đỉnh nứt. uI là chuyển vị tại nút phức tạp. Kết quả thu được trong tất cả các trường hợp sẽ phần tử, aI và bK lần lượt là chuyển vị tại các nút bổ sung được so sánh với những kết quả công bố trước đó để đánh liên quan đến hàm dật cấp Heaviside và hàm làm giàu giá sự chính xác của phương pháp đề xuất. tiệm cận. 4. Tính toán DSIFs cho vật liệu FGM 5.1. Tấm chữ nhật nứt trung tâm (CCT) Mẫu thử đầu tiên là tấm hữu hạn hình chữ nhật có Hệ số cường độ ứng suất (DSIFs) là tham số chính để kích thước hình học 2H = 40mm, 2W = 20mm, vết nứt có đánh giá hành vi tại đỉnh nứt và vùng lân cận khi phân chiều dài 2a = 4.8mm và phương là nằm ngang, chi tiết tích động. Tích phân tương tác thường được dùng và được như Hình 5. Lực tác động có dạng hàm Heaviside được áp hình thành bằng cách kết hợp giữa trường thực và trường đặt vào biên trên và biên dưới của tấm FGM. Hệ số nở ảo trong tích phân độc lập (tích phân J) khi tính toán hông  = 0.3 là hằng số trong suốt tấm. Trong khi môđun DSIFs. Công thức tích phân J trong phân tích động [16] đàn hồi Young và khối lượng riêng thì biến đổi theo cùng được định nghĩa như sau: một hàm số mũ, cần lưu ý rằng tỷ số E/ là hằng số, được d 1 J iju i,1 W 1 j q . j dA u i u i ,1 C ijkl ,1  ij kl qdA cho như sau: AA 2 EE 012exp (x y) (12) (17) 012exp(x   y) trong đó W 1/2  là mật độ năng lượng biến dạng; ij ij 3 trong đó E0 = 199.992 GPa and 0 = 5000 kg/m là môđun C ijkl là tensor đàn hồi; q là hàm trọng số có giá trị bằng 1 đàn hồi và khối lượng riêng khi vật liệu là đồng nhất. 1 trong vùng lân cận đỉnh nứt và bằng 0 trên biên tích phân và 2 là hai hệ số mô tả sự biến đổi của vật liệu theo hai J, chi tiết hàm q có thể tìm thấy trong [14]. Trong cơ học phương x và y. Khi vật liệu là đồng nhất (1=2=0), bằng rạng nứt đàn hồi tuyến tính, mối quan hệ giữa DSIFs (KI, phần tử XCQ4, Z. Kang cùng các cộng sự đã phân tích và KII) và tích phân J được diễn giải như bên dưới: thu được kết quả DSIFs rất tốt với các phương pháp hiện hành khi so sánh [15]. Trong ví dụ này, hệ số  được chọn d 1 22 -1 có giá trị cao, 1=2=0.1 mm , để thấy được sự phân hóa J * KKI II (13) E TIP vật liệu mạnh mẽ.
5. Phân tích động bài toán nứt phẳng của vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Hình 5. Dạng hình học CCT và cách chia lưới Hình 6. Đồ thị biểu diễn giá trị DSIFs theo thời gian của phương Mẫu thử CCT tương tự cũng được xem xét bởi Song pháp được nghiên cứu XCQ4, XPRIM [9] và của XFEM với kỹ cùng các cộng sự với kỹ thuật DTC [10] và Bùi Quốc thuật DTC [10] Tính cùng các công sự với phương pháp không lưới mở rộng (X-PRIM) [9]. Phương pháp tích phân miền thời gian Newmark được chọn với bước thời gian t = 0.1 µs. Lưới được chia với 2109 (37 57) phần tử có quy tắc, xem Hình 5. Kết quả DSIFs tại đỉnh nứt bên phải thu được khi phân tích thể hiện trong Hình 6. Trục hoành thể hiện thời gian được chuẩn hóa tCd/H, Cd là vận tốc sóng dọc, trong khi giá trị DSIFs được chuẩn hoá với KIII,K /  0 a được thể hiện trên trục tung. Dữ liệu hình ảnh cho thấy các giá trị chuẩn hóa KI và KII đều bằng không trong thời điểm chưa đến t* = 0.9 và sau đó giá trị bắt đầu tăng dần dưới tác dụng của tải trọng động, dễ dàng nhận thấy giá trị KII tăng chậm hơn giá trị KI. Độ lớn của cả hai DSIFs đều biến đổi nhưng DSIF của mode-I có giá trị cực đại là lớn hơn mode-II vì rõ ràng mẫu thử bị phá hoại theo mode-I. Kết quả thu được cũng cho thấy rằng phần tử XCQ4 là đáng tin cậy vì đường DSIFs-Thời gian là khớp Hình 7. Giá trị DSIFs được chuẩn hóa với ba mật độ lưới và lời với hai phương pháp tham khảo. giải tham khảo Hành vi DSIFs trong Hình 6 có thể dễ dàng giải thích Mật độ chia lưới luôn có sự ảnh hưởng nhất định đến được bằng ý nghĩa vật lý. Tại thời điểm bắt đầu lực tác kết quả thu được khi thực hiện với phương pháp Phần tử dụng, sóng dọc được tạo ra tại biên lực và sau đó lan hữu hạn thông thường trong mô phỏng số. Phương pháp truyền đến đỉnh nứt. Trong khoảng thời gian này, tức là từ nghiên cứu cũng không phải là một ngoại lệ, một khảo sát lúc t = 0 đến tCd/H = 1, giá trị DSIFs luôn bằng không. sự ảnh hưởng của mật độ chia lưới đến giá trị DSIFs được Độ lớn của DSIFs bắt đầu tăng khi sóng đàn hồi tiếp cận thực hiện trong ví dụ này với ba cách chia lưới có mật độ đỉnh nứt. Đỉnh đầu tiên của DSIFs tương ứng với sóng tăng dần từ 21×33, 29×45 và 37×57. Kết quả so sánh giá đàn hồi được truyền tới đỉnh nứt, sau đó độ lớn giảm chút trị chuẩn hóa DSIFs cho ba giải pháp chia lưới là tốt gần ít khi sóng tiếp tục đi xa đỉnh nứt. Sóng đàn hồi sẽ bị phản như nhau so với kết quả tham khảo và được thể hiện trong xạ khi chúng gặp phải các cạnh biên của mẫu thử. Sự Hình 7. Tuy nhiên, quan sát kỹ hơn, kết quả hiện tại chỉ ra tương tác giữa sóng đến và sóng phản xạ tại vùng lân cận rằng lưới thô gây ra độ lệch so với kết quả tham chiếu tại đỉnh nứt gây ra một sự nhiễu động của DSIFs được mô ta những vùng nhiễu động và tại các vị trí đỉnh cực trị. trong Hình 6 ngay kề đỉnh đầu tiên. Các diễn biến tiếp Trong khi kết quả thu được từ lưới mịn thì có sự trùng theo trong Hình 6 được giải thích tương tự. khớp tốt hơn. Như vậy, mật độ lưới có ảnh hưởng đến độ
6. Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đ ình Đức và Bùi Quốc Tính chính xác của DSIFs nên việc chọn lưới thích hợp là cần thiết khi phân tích. 5.2. Tấm FGM có lỗ tròn và hai vết nứt Một đích của ví dụ này là để chứng minh sự đa dạng của phần tử XCQ4 khi phân tích một mẫu thử có hình dạng phức tạp với lỗ tròn ở giữa và hai vết nứt xuất phát từ lỗ tròn. Mẫu thử có dạng hình chữ nhật có chiều cao 2H=60mm và chiều rộng 2W=30mm. Một lỗ tròn nằm ở tâm hình chữ nhật có bán kính r = 3.75mm. Vết nứt nằm trên đường thẳng đi qua tâm hình tròn và có góc nghiên θ=30° so với phương ngang, xem Hình 8. Khoảng cách giữa hai đỉnh nứt là 2a=15mm. Ngoại lực tác dụng là lực dựt cấp và được áp đặt vào biên trên và biên dưới. Mô Hình 9. Kết quả so sánh giữa phương pháp nghiên cứu và lời giải tham khảo (Fedelinski et al, 1994. và Song et al, 2006) hình được chia lưới với 1441 phần tử CQ4 biến dạng phẳng như thể hiện trong Hình 8. Bước thời gian Bảng 1. Tính chất vật liệu và vận tốc sóng dọc tại biên trái và t=0.2µs được chọn trong mô hình số này. biên phải Vấn đề đầu tiên được xem xét với tấm là vật liệu ở Vận tốc E sóng dọc dạng đồng nhất. Các thông số tính chất vật liệu được lấy (Mpa) (kg/m3) như sau: Môđun đàn hồi Young’s E=199.992Gpa, khối (mm/s) lượng riêng =5000kg/m3 và hệ số Poisson’s =0.3. Hình Biên trái 3811 948 2.33 9 thể hiện giá trị DSIFs thu được từ phần tử XCQ4 khi so Biên phải 11130 1812 2.88 sánh với hai lời giả tham khảo của Song [10] và Tiếp theo, ứng xử động của tấm FGM bị nứt được Fedelinski [17]. Kết quả cho thấy DSIFs thu được từ khảo sát với tính chất vật liệu biến đổi tuyến tính theo phương pháp nghiên cứu là phù hợp với lời giải tham phương ngang và được đề xuất bởi Rousseau và các cộng chiếu. Mặc khác, đường cong thu được bởi tác giả sự [18]. Môđun đàn hồi và khối lượng riêng được mô tả Fedelinski có độ lệch tương đối so với đường cong của như sau: Song và đường cong thu được từ XCQ4. Một điểm cần lưu ý là tổng số phần tử CQ4 là 1441 bao gồm phần tử có Ex( ) 244 x 7471 (MPa), quy tắc và bất quy tắc trong khi Song dùng 1350 phần tử (18) 3 Q8 cùng 204 phần tử T6 khi phân tích. Nhưng kết quả là (xx ) 28.8 1380 (kg / m ). tương đồng giữa hai phương pháp. Như vậy, với số bậc tự do ít hơn nhưng kết qua thu được từ XCQ4 là rất tốt so Hệ số nở hông  = 0.3 là hằng số trong toàn miền của với Song phân tích bởi FEM [10]. tấm. Tính chất vật liệu và vận tốc sóng đàn hồi (sóng dọc) tại biên trái và biên phải được thể hiện trong Bảng 1. Cần lưu ý rằng vận tốc sóng dọc là khác nhau tại hai biên vì tỷ số giữa môđun đàn hồi và khối lượng không còn là hằng số. Mode-I Đỉnh phải Đỉnh trái Mode-II Hình 8. Hình dạng tấm FGM với lỗ tròn trung tâm có vết nứt và cách chia lưới Hình 10. Kết quả so sánh giữa XCQ4 với lời giải tham khảo của tấm FGM biến đổi tuyến tính theo phương x
7. Phân tích động bài toán nứt phẳng của vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Trong sự nghiên cứu về độ chính xác, hành vi phản t=9µs, sóng đàn hồi bắt đầu đến đỉnh nứt phải nhưng ứng động được tính toán bởi phần tử XCQ4 so sánh cùng chưa đến đỉnh nứt trái, xem Hình 11b. Do đó, độ lớn với kết quả từ Song [10] cho cả đỉnh phải và trái thể hiện DSIFs tại đỉnh nứt phải bắt đầu thay đổi trong khi giá trị trong Hình 10. Cũng tương tự như vật liệu đồng nhất, kết tại đỉnh nứt trái vẫn giữ nguyên giá trị không, xem Hình quả phân tích với vật liệu FGM biến đổi tuyến tính theo 10. Trong khoảng thời gian xung quanh t=11µs, xem phương ngang thì phương pháp nghiên cứu cũng cho kết Hình 11c, sóng đàn hồi lan truyền đến đỉnh nứt phải, giá quả tốt với lời giải tham chiếu mặc dầu số phần tử là ít trị DSIF đạt đỉnh đầu tiên. Sóng đàn hồi sau đó tiếp tục hơn. Điều đó cho thấy hiệu suất của phần tử XCQ4 mang lan truyền và lấp đầy trên toàn miền tấm FGM như Hình lại là rất tốt. Dễ dàng nhận thấy DSIFs tại đỉnh phải có độ 11d. lớn bắt đầu khác không là sớm hơn đỉnh trái, điều này là 6. Kết luận do vận tốc sóng dọc ở bên phải là lớn hơn bên trái, có thể tham khảo trong Bảng 1. Tương tư, độ lớn DSIF của Trong nghiên cứu này, một hướng tiếp cận hiệu quả mode-I tại đỉnh phải luôn cao hơn đỉnh trái ở cùng thời khi xử dụng phần tử XCQ4 vào phân tích động vật liệu điểm là do các thuộc tính vật liệu lớn hơn. FGM bị nứt. Phần tử CQ4 là một sự cải tiến từ Q4 mang sự liên tục cho trường ứng suất và biến dạng, điều này rất phù hợp cho mô hình bài toán nứt. Đặc biệt là vật liệu FGM với tính chất vật liệu biến đổi liên tục trong toàn tấm. Các kết quả thu được cho thấy hiệu suất của phương pháp nghiên cứu là rất tốt. Do đó, những nghiên cứu thêm về phân tích động với nhiều dạng tải khác nhau cho các loại vật liệu phức tạp khác như đa pha, vật liệu tổng hợp. Những nghiên cứu tiếp cho bài toán động phát triển vết nứt dưới tải trọng tuần hoàn sẽ là một hướng thú vị. Lời cảm ơn Nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Kỹ thuật Công trình, trường Đại học Lạc Hồng cũng như trường Đại học Công nghệ - ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện hoàn thành nghiên cứu này. Tài liệu tham khảo [1] K. Shirvanimoghaddam, M. Naebe, "Functionally graded materials: a review of fabrication and properties," Appl. Mater, vol. Today 5, pp. 223-245, 2016. [2] Nguyễn Đình Đức Nguyễn Hoa Thịnh, Vật liệu composite – Cơ học và Công nghệ. Hà Nội: Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2002. [3] F. Erdogan F. Delale, "The crack problem for a nonhomogeneous plane," J. Appl. Mech, vol. 50, pp. 609- 614, 1983. [4] G.J. Weng, N. Brunswick, Z. Duan C. Li, "Dynamic stress intensity factor of a functionally graded material under antiplane shear loading," Acta Mech, vol. 149, no. 1-4, pp. 1-10, 2001. [5] M. Ayatollahi M. Monfared, "Dynamic stress intensity factors of multiple cracks in an orthotropic strip with FGM coating," Engng. Fract. Mech., vol. 109, pp. 45-57, 2013. Hình 11. Trường ứng suất yy tại nhiều thời điểm khác nhau của tấm FGM có lỗ tròn bị nứt [6] C. Zhang, J. Sladek, V. Sladek X.W. Gao, "Fracture analysis of functionally graded materials by a BEM," Một điểm thú vị trong phân tích này là tính chất vật lý Compos. Sci. Technol, vol. 68 , pp. 1209–1215, 2007. của hành vi cơ rạng nứt trong Hình 10 được giải thích [7] A. Savaidis, G. Savaidis, H. Zhu C. Zhang, "Transient thông qua trường ứng suất  tại nhiều thời điểm khác dynamic analysis of a cracked functionally graded material yy by a BIEM," Comput. Mater. Sci, vol. 26, pp. 167–174, nhau, được thể hiện trong Hình 11. Có thể xem sự lan 2003. truyền trường ứng suất yy chính là vận tốc sóng dọc. Tại [8] V. Sladek, C. Zhang J. Sladek, "An advanced numerical thời điểm t = 8µs, xem Hình 11a, rõ ràng là sóng dọc method for computing elastodynamic fracture parameters chưa lan truyền đến đỉnh nứt nên DSIFs tại đỉnh phải và in functionally graded materials," Comput. Mater. Sci., vol. 32 , pp. 532–543, 2005. trái đều bằng không, xem Hình 10. Tiếp đến, thời điểm
8. Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đ ình Đức và Bùi Quốc Tính [9] Nha Thanh Nguyen, Le Van Lich, Minh Ngoc Nguyen, Thien Tich Truong Tinh Quoc Bui, "Analysis of transient dynamic fracture parameters of cracked functionally graded composites by improved meshfree methods," Theoretical and Applied Fracture Mechanics, vol. 96, pp. 642-657, 2018. [10] G.H. Paulino S.H. Song, "Dynamic stress intensity factors for homogeneous and smoothly heterogeneous materials using the interaction integral method," Int. J. Solids Struct, vol. 43, pp. 4830–4866, 2006. [11] G.H. Paulino J.-H. Kim, "Finite element evaluation of mixed mode stress intensity factors in functionally graded materials," Int. J. Numer. Meth. Eng, vol. 53, pp. 1903– 1935, 2002. [12] Vo DQ, Zhang Ch, Nguyen DD Bui QT, "A consecutive- interpolation quadrilateral element (CQ4): formulation and applications ," Finite Elem Anal, vol. 84, pp. 14–31, Des 2014. [13] Nguyen DD, Zhang XD, Hirose S, Batra RC Bui QT, "Analysis of 2-dimensional transient problems for linear elastic and piezoelectric structures using the consecutive- interpolation quadrilateral element (CQ4)," Eur J Mech A/Solids, vol. 58, pp. 112-130, 2016. [14] Bui QT, Nguyen DD, Saitoh T, Hirose S Kang ZY, "An extended consecutiveinterpolation quadrilateral element (XCQ4) applied to linear elastic fracture mechanics," Acta Mech, vol. 226, pp. 3991–4015, 2015. [15] Tinh Quoc Bui, Du Dinh Nguyen, Sohichi Hirose Zuoyi Kang, "Dynamic stationary crack analysis of isotropic solids and anisotropic composites by enhanced local enriched consecutive-interpolation elements," Composite Structures, vol. 180, pp. 221–233, 2017. [16] G.H. Paulino J.H. Kim, "Consistent formulations of the interaction integral method for fracture of functionally graded materials," J. Appl. Mech, vol. 72, pp. 351-364, 2005. [17] P., Aliabadi, M.H., Rooke, D.P Fedelinski, "The dual boundary element method: bJ-integral for dynamic stress intensity factors," International Journal of Fracture, vol. 65, no. 4, pp. 369-381, 1994. [18] C.-E., Tippur, H.V. Rousseau, "Dynamic fracture of compositionally graded materials with cracks along the elastic gradient: experiment and analysis," Mechanics of Materials 33, vol. 33, no. 7, pp. 403–421, 2001.