Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng

Nội dung text: Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 30-36, DOI 10.15625/vap.2019000252 Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng Nguyễn Xuân Toản 1) , Nguyễn Thị Kim Loan 2) , Nguyễn Duy Thảo 3) 1,2,3) Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Đà Nẵng Email: 1) toan_nguyenxuan@dut.udn.vn , 2) ntkloan@dut.udn.vn, 3) ndthao@dut.udn.vn Tóm tắt và tải trọng xe di động được mô tả như hình 1: Hệ số động lực do hoạt tải gây ra trong cầu giàn thép rất quan trọng và luôn được các kỹ sư xem xét khi tính toán thiết kế. Tuy nhiên trong các qui trình thiết kế vẫn dùng chung một hệ số động lực cho nhiều loại kết cấu cầu khác nhau trong đó có cầu giàn thép. Trong bài báo này các tác giả giới thiệu một số kết quả phân tích hệ số động lực của cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng bằng phương pháp số. Kết quả nghiên cứu cho thấy hệ số động lực của các Hình 1. Mô hình tương tác giữa cầu giàn thép chuyển vị, lực cắt, lực dọc và mômen có sự khác biệt đáng kể và tải trọng xe di động và thay đổi rất lớn khi tốc độ xe chạy khác nhau. Kết quả này Các thanh đứng, thanh xiên và thanh biên của giàn góp phần làm rõ và cung cấp thêm một số thông tin cho các kỹ được xem xét như là các phần tử thanh cơ bản chịu kéo sư khi phân tích thiết kế cầu giàn thép. nén và uốn đồng thời. Các phần tử dầm thuộc mặt đường Từ khóa: Hệ số động lực, chuyển vị, lực cắt, lực dọc, mômen, xe chạy được xem xét như là các phần tử tương tác trực cầu giàn thép, tải trọng di động, phương pháp số. tiếp với tải trọng xe di động. Mô hình tương tác động lực 1. Giới thiệu chung giữa xe 3 trục và phần tử dầm như hình 2 [4]: Hiện nay, hầu hết các quy trình thiết kế cầu đều có quy định mức độ ảnh hưởng của tải trọng xe di dộng đến kết cấu cầu thông qua hệ số động lực. Tuy nhiên trong các qui trình thiết kế vẫn dùng chung một hệ số động lực cho nhiều loại kết cấu cầu khác nhau trong đó có cầu giàn thép [1], [2]. Nhiều nghiên cứu về dao động và xác định hệ số động lực của các công trình cầu nói chung đã được công bố trong thời gian qua. Tuy nhiên các nghiên cứu về Hình 2. Mô hình tương tác động lực giữa xe 3 trục cầu giàn thép vẫn còn rất hạn chế. Các kết quả đã công bố và phần tử dầm [4] cho thấy hệ số động lực có sự thay đổi đáng kể đối với Trong đó: mỗi loại kết cấu khác nhau, tải trọng và tốc độ xe chạy PGii .sin i- lực kích thích điều hoà đối với trục khác nhau [3] ÷ [11]. xe thứ i. Trong bài báo này các tác giả áp dụng các phương m1i - khối lượng của thân xe, kể cả hàng hoá truyền pháp số vào phân tích hệ số động lực của cầu giàn thép xuống trục xe thứ i. dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối m2i - khối lượng của trục xe thứ i. lượng. Để giảm bớt tính phức tạp, trong bài toán này các k1i, d1i - độ cứng và độ giảm chấn của nhíp xe thứ i. tác giả tiến hành nghiên cứu dao động của cầu giàn thép k2i, d2i - độ cứng và độ giảm chấn của lốp xe thứ i. trên mô hình kết cấu phẳng. Sự phân bố tải trọng theo L- chiều dài của phần tử dầm. phương ngang cầu được phân tích theo qui luật đòn bẩy ai- toạ độ của trục xe thứ i tại thời điểm đang xét với đối với kết cấu cầu có hai giàn chủ. Sự tương tác của tải tốc độ di chuyển đều: trọng lên mặt cầu và hệ dầm mặt cầu trong từng phân av.ttii i với tt (1) đoạn được đưa về mô hình dầm tương đương. Các phân i đoạn này có sự liên kết và truyền tải trọng về các nút vi - vận tốc của tải trọng thứ i. thuộc biên có đường xe chạy. ti -thời điểm tải trọng thứ i bắt đầu vào phần tử dầm. Kết quả nghiên cứu được thực hiện trên mô hình số t - thời điểm đang xét. của cầu giàn thép gồm 1 nhịp 70m dưới tác dụng của tải 3. Phương trình vi phân dao động trọng xe 03 trục mô hình hai khối lượng. 3.1. Phương trình của tải trọng di động 2. Mô hình tính toán Cấu trúc của tải trọng di động thứ i được tách ra như Xét mô hình tương tác động lực giữa cầu giàn thép hình 3:
2. Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan và Nguyễn Duy Thảo w 22 Gi.sin i uuu (z) EFdd . F .  . q( x ) (8) (y) xtt22 m1i m1i.g Trong đó: k1i d 1i EJd - độ cứng chống uốn của phần tử dầm. EFd - độ cứng dọc trục của phần tử dầm. k .y + d .y 1i 1i 1i 1i Fd – khối lượng phân bố của phần tử dầm trên 1 đơn vị chiều dài. m m .g 2i 2i  và  - hệ số ma sát trong và hệ số ma sát ngoài của k2i d 2i phần tử dầm. u, w - chuyển vị của phần tử dầm tại tiết diện đang k2i.y2i + d2i.y2i xét theo phương ox và oy; w x O i q(x) -Lực phân bố trên phần tử dầm theo phương Ox. Hình 3. Cấu trúc của tải trọng di động thứ i Kết hợp (3), (5), (6), (7) và (8) ta có hệ phương trình Quy ước chiều dương của tải trọng và w, y, z hướng vi phân dao động uốn và dao động dọc của phần tử dầm lên trên. chịu tải trọng di động như sau: y1i và y2i: Chuyển vị tương đối giữa khối lượng m1i æö¶¶45ww ¶¶ 2 ww ïü ç ÷ ï so với m2i và khối lượng m2i so với phần tử dầm tại thời EJdd ç +++=qrb÷ F (,,) p x z t ï èø綶¶¶xxtt44. ÷ 2 ¶ t ï điểm đang xét theo phương thẳng đứng. ï 22 ï ¶¶¶uuu ï wwx,tixa là độ võng của phần tử dầm tại vị trí EFdd ()++=rb F q x ï i ¶¶¶xtt22 ï ï của tải trọng thứ i ở thời điểm đang xét. N ýï pxzt( , , )=Y-+ xd ( t ).[ G sin ( m m ). g m . z m . z ]. ( x a ) ï å iiiii12 1122 iiiii ï Gọi z1i và z2i là toạ độ tuyệt đối của khối lượng m1i i=1 ï ï và m2i theo phương thẳng đứng: mz11ii ++ dz 11 ii  kz 11 ii dz 12 i  i k12ii sin.zG=Y- i i mg 1 i ï ï zyyw mz.(++ d d ).(z  ++ k k ) z - dz  - kz . =-+ mg . dw + kwï 1i 1i 2i (2) 2i 2 i 1 i 2 i 2 i 1 i 2 i 2 i 11 ii 11 ii 2 i 2 ii 2 iiï =¸ ï zyw2i 2i (1iN ) þï Áp dụng nguyên lý Đalambe viết phương trình cân (9) bằng cho khối lượng m1i và m2i: Áp dụng phương pháp Garlerkin kết hợp với lý .  thuyết Green, biến đổi hệ phương trình (9) về dạng ma m.z k .y  d.y m.gG.sin 0 1i 1i 1i. 1i 1i 1i 1i i i (3) trận như sau: . .  m.z k .y d.y k.y d.y m.g0   2i 2i 2i. 2i 2i 2i 1i 1y 1i 1i 2i  [M eeee ].{qCqKqf }++= [ ].{ } [ ].{ } { } (10) Kết hợp (2) với (3) và biến đổi ta được phương trình [Me], [Ce], [Ke]- lần lượt là ma trận khối lượng, ma của tải trọng di động thứ i: trận cản, ma trận độ cứng hỗn hợp: . .  MMww wz12 M wz C ww00 K ww 00 m1i .z 1i d 1i. .z 1i k 1i .z 1i d 1i .z 2i k 1i .z 2i G.sin i  i m 1i .g (4) []MM 0 0;[] CCCKKK 0 ;[] 0 (11) . . .  e zz11 e zz 11 zz 12 e zz 11 zz 12 m.z(dd).z(kk).zd.zk.zm.gd.wk.w 2i 2i 1i. 2i 2i 1i 2i 2i 1i 1i 1i 1i 2i 2i i 2i i  00Mzz22 CCC zw 2 zz 21 zz 22 KKK zw 2 zz 21 zz 22 . qqq,,,  fe lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị, lực Trên hình 3: Fkydyiiii 22 2 2i kết hợp với (3) ta được: tổng quát: FGii  .sin i m12 i m i . gmzmz 1 i .12ii 2 i . (5) ïïìüWW ïïìü  ìü ì ü ïï ïï ïïWF ïw ï ïï ïï ïï ï ï (12) Viết lại dưới dạng phân bố và thêm hàm tín hiệu điều {}qZ===íýïï;;; {} qZ  íýïï  {} qZ íýïï { f } = íï F ýï ïï111 ïï ïïez ï 1 ï ïï ïï  ïï ï ï khiển lôgic: ïïZZ ïï ïïZ 22 ïFz ï îþïï22 îþïï îþïï îï þï 1 khi t t t T L iii Mww, Cww, Kww - lần lượt là ma trận khối lượng, ma i ()t ; Ti 0 khi t tiii va t t T vi trận cản, ma trận độ cứng của phần tử dầm cơ bản vừa Ta được: chịu lực dọc trục vừa chịu uốn, có thể tìm thấy trong tài pxzt(,,)   (). t G .sin m m . g mz .12ii m . z .( x a ) liệu [12] ÷ [15]. Các ma trận và các véctơ còn lại có thể i iiiii 12 1 i 2 i i tìm thấy trong tài liệu [4]. (6) 3.3. Phương trình vi phân dao động của toàn hệ thống Trong đó d()x-ai là hàm Delta – Dirac. Để ứng dụng vào phân tích dao động theo mô hình 3.2. Phương trình dao động của phần tử dầm tương tác giữa cầu giàn thép với tải trọng di động như Theo [12] phương trình dao động uốn của phần tử hình 1, sau khi rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử dầm với tiết diện không đổi chịu tải trọng phân bố p(x,z,t) thanh cơ bản và phần tử dầm tương tác với tải trọng xe di có xét đến ảnh hưởng của ma sát trong và ma sát ngoài động, ta sử dụng thuật toán của phương pháp phần tử hữu như sau: hạn và xây dựng hệ phương trình vi phân dao động cho 45ww  2 ww toàn hệ, phương trình tổng quát viết dưới dạng ma trận EJ .  . F .  . p( x,z,t ) (7) dd 44 2 như sau (13): xx.ttt   .  Phương trình vi phân dao động dọc của phần tử có M .U  C.U  K.U   F (13) xét đến hệ số ma sát:   
3. Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng Trong đó: [M], [C], [K] lần lượt là ma trận khối k21=160T/m, k22=k23=320T/m, d11=0.7344Ts/m, lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng của toàn hệ thống d12=d13=0.3672Ts/m, d21=0.4Ts/m, d22=d23= 0.8Ts/m. theo mô hình tương tác động lực học giữa cầu giàn thép và tải trọng di động. 4.2. Phân tích hệ số động lực của cầu giàn thép     .    U,U,U,F: lần lượt là véctơ gia tốc, vận Hệ số động lực (1+IM) được xác định theo công     tốc, chuyển vị, lực tương đương mở rộng cho toàn hệ thức: thống theo mô hình tương tác động lực học giữa cầu giàn S (1 IM ) dmax (14) thép và tải trọng di động. Stmax 4. Ứng dụng phân tích hệ số động lực của Trong đó: cầu giàn thép Stmax nội lực tĩnh hoặc chuyển vị tĩnh lớn nhất. 4.1. Các số liệu cơ bản của cầu giàn thép và tải trọng Sdmax nội lực động hoặc chuyển vị động lớn nhất. (xét tại cùng một vị trí trên kết cấu). Kết cấu cầu giàn thép được mô hình hóa như hình 3, Hệ số động lực của chuyển vị tại mỗi nút gồm 3 gồm 10 khoang, mỗi khoang 7m, cao 9.5m, chiều dài kết nhịp 70m, vật liệu thép có E=2*107 T/m2, hệ dầm mặt cầu thành phần được tính theo chuyển vị ngang (Ux), chuyển 4 có Jdmc=0.000542 m , khối lượng của hệ dầm, bản, lớp phủ vị thẳng đứng (Uy) và chuyển vị xoay (Uz) tương ứng và bộ hành là 6.31 T/m2 , hệ số ma sát =0.01, =0.01. Kết với các nút ở biên dưới và biên trên của giàn được tính cấu giàn đối xứng, các thanh giàn tiết diện chữ H có các theo công thức (14). Hệ số động lực của lực cắt, lực dọc tham số cơ bản như bảng 1. Ký hiệu thanh được đánh theo và mômen của các phần tử thanh biên dưới, biên trên, số hiệu nút ở hai đầu thanh. Ví dụ thanh 1-2 là thanh biên thanh đứng và thanh xiên cũng được tính theo công thức dưới đầu giàn liên kết nút 1 với nút 2. (14). Bảng 1 : Các tham số cơ bản của các thanh giàn Kết quả khảo sát hệ số động lực (1+IM) của chuyển vị ngang, chuyển vị dọc và chuyển vị xoay tại các nút giàn biên dưới khi xe ASIA chạy với vận tốc từ 1m/s đến 50m/s được thể hiện trên hình 4÷6: Hình 4. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị ngang Ux Xe di động loại ASIA ba trục [11], có các tham số cơ bản như sau: m=15T, m11=2.94T, m12=m13=5.89T, m21=0.06T, m22=m23=0.11T, Pi=0, x1=5.65m, Hình 5. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị đứng Uy x2=4.35m, x3=0m, k11=120T/m, k12=k13=260T/m,
4. Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan và Nguyễn Duy Thảo tới giá trị lớn nhất (1+IM) max sau đó lại giảm dần. Hệ số động lực của chuyển vị xoay có sự thay đổi và độ phân tán lớn khi xe chạy ở tốc độ cao. Trong phạm vi khảo sát, phần lớn hệ số động lực của chuyển vị đứng và ngang đạt cực trị khi xe chạy với vận tốc từ 25m/s đến 35m/s, nhưng đến vận tốc cao hơn thì hệ số động lực lại có xu hướng giảm dần. Tại mỗi điểm khảo sát khác nhau, kết quả hệ số động lực (1+IM)max khác nhau. Hình 6. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị xoay Uz Thực hiện phân tích tương tự với các nút giàn biên Kết quả khảo sát hệ số động lực của lực cắt, lực dọc trên, kết quả thu được thể hiện trên hình 7÷9: và mômen ở các thanh giàn biên dưới, biên trên, thanh đứng và thanh xiên do tác dụng của tải trọng xe ứng với các vận tốc khác nhau được thể hiện trên hình 10÷21: Hình 7. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị ngang Ux Hình 10. Biểu đồ hệ số động lực của lực cắt Hình 8. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị thẳng đứng Uy Hình 11. Biểu đồ hệ số động lực của lực dọc Hình 9. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị xoay Uz Qua kết quả phân tích cho thấy khi tốc độ của tải Hình 12. Biểu đồ hệ số động lực của mômen trọng di động tăng, hệ số động lực của chuyển vị đứng và ngang tại các điểm khảo sát có xu hướng tăng và đạt
5. Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng Hình 13. Biểu đồ hệ số động lực của lực cắt Hình 17. Biểu đồ hệ số động lực của lực dọc Hình 14. Biểu đồ hệ số động lực của lực dọc Hình 18. Biểu đồ hệ số động lực của mômen Hình 19. Biểu đồ hệ số động lực của lực cắt Hình 15. Biểu đồ hệ số động lực của mômen Hình 16. Biểu đồ hệ số động lực của lực cắt Hình 20. Biểu đồ hệ số động lực của lực dọc
6. Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan và Nguyễn Duy Thảo Hình 21. Biểu đồ hệ số động lực của mômen Hình 24. Hệ số động lực của chuyển vị xoay và mômen Qua kết quả phân tích cho thấy khi tốc độ của tải Tương tự hệ số động lực trung bình của chuyển vị trọng di động tăng, hệ số động lực của lực dọc trong các thẳng đứng và lực cắt, chuyển vị ngang và lực dọc, thanh biên trên, biên dưới và thanh treo đứng có xu chuyển vị xoay và mômen tại các nút giàn biên trên như hướng tăng theo và đạt tới giá trị lớn nhất (1+IM) max hình 25÷27. sau đó lại giảm dần. Trong khi đó hệ số động lực của lực dọc trong các thanh xiên và hệ số động lực của lực cắt trong các thanh giàn dao động quanh giá trị 1. Hệ số động lực của mômen thay đổi và phân tán khá lớn khi tốc độ xe chạy cao. Tại mỗi điểm khảo sát khác nhau, có hệ số động lực của nội lực (1+IM) max khác nhau. Thực hiện tính toán hệ số động lực trung bình của chuyển vị thẳng đứng và lực cắt, chuyển vị ngang và lực dọc, chuyển vị xoay và mômen. Kết quả tại các nút Hình 25. Hệ số động lực của chuyển vị ngang và lực dọc thuộc biên dưới của giàn như hình 22÷24. Hình 22. Hệ số động lực của chuyển vị ngang và lực dọc Hình 26. Hệ số động lực của chuyển vị đứng và lực cắt Hình 23. Hệ số động lực của chuyển vị đứng và lực cắt Hình 27. Hệ số động lực của chuyển vị xoay và mômen
7. Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng Qua kết quả phân tích hệ số động lực trên cầu giàn [4] Nguyễn Xuân Toản, Phân tích dao động của cầu dây văng thép do tải trọng xe ba trục chạy với tốc độ v=1-50 m/s, dưới tác dụng của tải trọng di động. Luận án TS. Kỹ thuật, Hà Nội, 2007. hệ số động lực của các chuyển vị và các thành phần nội [5] Nguyễn Xuân Toản, Trần Đức Long, Trần Văn Đức (2011). lực trong dầm có sự khác biệt đáng kể. Nếu xét trong Ảnh hưởng của tốc độ và khối lượng xe di động đến dao phạm vi kết cấu cầu chịu tác dụng trực tiếp của làn xe động của cầu dầm liên tục nhiều nhịp. Tạp chí Giao thông chạy, thì chênh lệch giữa hệ số động lực (1+IM) trung Vận tải, Số 8/2011. bình của chuyển vị ngang và lực dọc là 12.9%, giữa [6] Nguyễn Xuân Toản, “Phân tích hệ số động lực của chuyển vị và lực cắt trong cầu dầm liên tục do tải trọng di động gây chuyển vị thẳng đứng và lực cắt là 60.5%, giữa chuyển ra bằng phương pháp số”, TTCT Hội nghị Khoa học toàn vị xoay và mômen là 2.9%. Với các nút giàn biên trên quốc lần thứ 2 về Cơ kỹ thuật và Tự động hóa, NXB. Bách thì chênh lệch giữa hệ số động lực (1+IM) trung bình khoa Hà Nội, 10/2016, trang 196-202. của chuyển vị ngang và lực dọc là 31.7%, giữa chuyển [7] Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo, Kuriyama vị thẳng đứng và lực cắt là 63.1%, giữa chuyển vị xoay Yukihisa, “Phân tích hệ số động lực của chuyển vị, mô men uốn và lực cắt trong cầu dầm SuperT có bản mặt cầu liên và mômen là 11.6%. tục nhiệt do tải trọng di động gây ra bằng phương pháp số”, Kết quả phân tích hệ số động lực trong phạm vi Tạp chí Giao thông Vận tải, số 03/2017, trang 42-45, nghiên cứu cho thấy với tốc độ xe chạy qua cầu tăng đến ISSN: 2354-0818. phạm vi khai thác 20m/s đa số đều lớn hơn hệ số động [8] Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo, Nguyễn Văn Hoan, lực đang được áp dụng tại nước ta là 1.25 theo tiêu chuẩn “Xác định hệ số động lực của cầu dầm Super T có bản liên 22TCN-272-05 [2]. tục nhiệt do tải trọng di động gây ra bằng phương pháp đo 5. Kết luận đạc thực nghiệm”, Tạp chí Giao thông Vận tải, số 08/2017, trang 71-74, ISSN: 2354-0818. Bài báo giới thiệu một số kết quả phân tích hệ số động [9] Toan X. N., Duc V. T., "A finite element model of vehicle - lực của kết cấu cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng di động. Kết quả nghiên cứu cho thấy hệ số động lực của cable stayed bridge interaction considering braking and các chuyển vị, lực cắt, lực dọc và mômen có sự khác biệt acceleration", The 2014 World Congress on Advances in đáng kể. Hệ số động lực tại các vị trí khác nhau, theo Civil, Environmental, and Materials Research. Busan, phương khác nhau có kết quả khác nhau, chênh lệch lớn Korea, p.109, (20p.) khi tốc độ chạy xe cao. Tại mỗi điểm khảo sát khác nhau [10] Xuan-Toan Nguyen, Van-Duc Tran, “Determination of có hệ số động lực khác nhau. Kết quả phân tích hệ số dynamic impact factor for continuous girder bridge due to động lực trong phạm vi nghiên cứu cho thấy với tốc độ xe vehicle braking force with finite element method analysis chạy qua cầu tăng đến phạm vi khai thác 20m/s đa số đều lớn hơn hệ số động lực đang được áp dụng theo tiêu and experimental investigation”, Vietnam Journal of chuẩn 22TCN-272-05 là 1.25. Mechanics, VAST, Vol. 39, No. 2 (2017), pp. 149 – 164. Do vậy việc sử dụng chung một hệ số động lực trong ISSN 0866-7136. các qui trình thiết kế cầu cũng cần lưu ý thêm. Kết quả [11] Xuan-Toan Nguyen, Van-Duc Tran, and Nhat-Duc Hoang, này góp phần làm rõ và cung cấp thêm thông tin cho các “A Study on the Dynamic Interaction between Three-Axle kỹ sư khi phân tích thiết kế cầu giàn thép. Vehicle and Continuous Girder Bridge with Consideration Tài liệu tham khảo of Braking Effects”. Journal of Construction Engineering, Volume 2017, Article ID 9293239, 12 pages. ISSN: [1] AASHTO, AASHTO LRFD Bridge Design Specifications, 2314-5986. 6th Edition, American Association of State Highway and [12] Ray W. Clough and Joseph Penzien, Dynamics of Transportation Officials, 4th Edition, Washington, D.C. structures. McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1993. (2012). [13] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method. [2] Bộ Giao thông Vận tải, Tiêu chuẩn thiết kế cầu McGraw-Hill, Inc, Vol 1&2, New York, 1989. 22TCN272-05, Nhà xuất bản Giao thông Vận tải, Hà Nội, [14] Reddy J.N., An Introduction to the Finite Element Method. (2005) McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1991. [3] Đỗ Anh Cường, Tạ Hữu Vinh, "Tương tác giữa kết cấu hệ [15] Smith I. M., Griffith D. V., Programming the finite element thanh và tải trọng xe di động". TTCT. Hội nghị Khoa học method. Jonh Wiley & Sons, Singapore, 1988. Toàn quốc về Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 7, NXB. Đại học Quốc gia Hà Nội, tr. 92-101, 2004.