Tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc bằng hàm mũ ma trận và phương pháp bắn

Nội dung text: Tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc bằng hàm mũ ma trận và phương pháp bắn

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 344-350, DOI 10.15625/vap.2019000300 Tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc bằng hàm mũ ma trận và phương pháp bắn Nguyễn Thái Minh Tuấn, Nguyễn Văn Khang Bộ môn Cơ học Ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: nguyenthaiminhtuan@yahoo.com Tóm tắt cũng cần sử dụng một thuật toán tích phân số, nhưng thay Hệ tuyến tính từng khúc là một lớp các hệ dao động phi tuyến vì kéo dài thời gian tích phân để đợi dao động của hệ tự tiềm ẩn nhiều hiện tượng dao động phong phú. Việc tìm ra lời hội tụ về một nghiệm tuần hoàn ổn định thì phương pháp giải đầy đủ cho bài toán dao động của các hệ này, cũng giống này tập trung vào việc tìm điều kiện đầu ứng với nghiệm như nhiều bài toán dao động phi tuyến khác, cần đến nhiều tuần hoàn, tức là tìm trạng thái ban đầu của hệ tại thời phương pháp và thuật toán khác nhau. Tiếp nối những nghiên điểm bắt đầu một chu kỳ sao cho tại thời điểm kết thúc cứu trước của các tác giả về việc sử dụng hàm mũ ma trận, bài một hoặc một vài chu kỳ sau thì hệ lại trở lại đúng trạng báo này giới thiệu thêm về việc áp dụng phương pháp bắn tìm thái đó. Chính vì vậy, trong nhiều trường hợp, phương nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc. Công thức được pháp bắn cho kết quả chính xác và nhanh hơn việc tích đề xuất được áp dụng vào tìm các nghiệm tuần hoàn của một hệ phân số thông thường. Ngoài ra, phương pháp bắn có khả tuyến tính từng khúc bất đối xứng. Ngoài ra, bài báo cũng đưa năng tìm ra nghiệm tuần hoàn không ổn định – việc mà ra hình ảnh lưu vực hút của các nghiệm này bằng cách kết hợp phương pháp tích phân số thông thường không làm được phương pháp bắn với một số thuật toán khác có sử dụng đến lập – điều này giúp ích cho việc vẽ các sơ đồ rẽ nhánh và dự trình song song. đoán tập nghiệm của hệ ở vùng tham số chưa được khảo sát. Từ khóa: phương pháp bắn, hệ tuyến tính từng khúc, hàm mũ Bài báo này giới thiệu ngắn gọn phương pháp tích ma trận, dao động phi tuyến, lưu vực hút. phân hệ tuyến tính từng khúc bằng hàm mũ ma trận và sau đó tập trung vào việc xây dựng các công thức ứng dụng phương pháp bắn để tìm nghiệm tuần hoàn của các 1. Mở đầu hệ tuyến tính từng khúc. Một ví dụ cụ thể được trình bày Các mô hình tuyến tính từng khúc được dùng để mô để minh chứng cho phương pháp được đề xuất. tả một số các hệ kỹ thuật, nhất là các hệ có khe hở hoặc 2. Giải phương trình vi phân tuyến tính từng va đập, chẳng hạn như động cơ jeffcott với ổ đỡ có khe khúc chịu kích động tuần hoàn bằng hàm mũ hở [1], vết nứt do mỏi [2] hay quá trình cắt gọt kim loại ma trận [3]. Tính chất “từng khúc” khiến cho việc giải hệ phương trình vi phân của các mô hình này có điểm khác biệt so Xét một hệ tuyến tính từng khúc chịu kích động tuần với các hệ thông thường, nói chung, việc xác định thời hoàn có n biến trạng thái và w pha tuyến tính khác nhau điểm phương trình của hệ thay đổi từ pha này sang pha khác là vấn đề quan trọng. Có một số nhóm nghiên cứu xAxxfx ttt , (1) trên thế giới quan tâm đến việc giải các hệ này một cách chính xác và nhanh chóng: Xu và cộng sự [4, 5] sử dụng trong đó phương pháp cân bằng điều hòa gia lượng, Pavlovskaia và Wiercigroch [6, 7] phát triển phương pháp nửa giải x Rn (2) tích nửa số, bản thân các tác giả đã đề ra phương pháp Ax Ai dùng hàm mũ ma trận kết hợp với biến giả trong các  x Dii 1, w (3) nghiên cứu trước đây [8, 9], He và cộng sự [10] cũng sử fx(,tt ) fi () dụng hàm mũ ma trận, kết hợp với hoạch định Lemke (Lemke’s scheme), để giải bài toán hệ tuyến tính từng Các vùng Di tạo thành một phân hoạch (partition) khúc có cấu trúc tuần hoàn. của Rn Khi đã có một công cụ tích phân số hiệu quả thì nghiệm tuần hoàn ổn định của hệ dao động có thể được w tìm ra bằng cách tích phân phương trình vi phân chuyển n DDij  1; ijw D i . (4) động của hệ với các điều kiện đầu thích hợp và thời gian i 1 tích phân đủ dài. Tuy nhiên, quá trình này có thể tiêu tốn rất nhiều công sức, nhất là khi tốc độ hội tụ về nghiệm Trong mỗi vùng, Ai là một ma trận vuông cấp n chậm. Một trong những phương pháp có thể khắc phục chứa các hằng số và fi ()t là tổng của các hàm điều hòa vấn đề này là phương pháp bắn [11]. Phương pháp bắn
2. Nguyễn Thái Minh Tuấn, Nguyễn Văn Khang m hệ tại một thời điểm bất kỳ nếu biết điều kiện đầu, tức fbfiicijj()tt  cos(  ) trạng thái của hệ tại thời điểm ban đầu. Để tìm nghiệm j 1 (5) tuần hoàn của hệ, ta có thể chọn một điều kiện đầu bất kỳ m nào đó và tích phân số theo công thức (14) cho đến khi  f sin(ti ) 1, w  sij j thấy hệ tiến tới một nghiệm tuần hoàn. Để nhận ra một j 1 nghiệm là tuần hoàn, ta có thể sử dụng bản đồ Poincaré. Tuy nhiên, không phải khi nào ta cũng có thể thu được với các vector hằng số b , f , f . Các tần số  i cij sij j một nghiệm tuần hoàn theo cách này: trạng thái của hệ thỏa mãn rằng tồn tại một chu kỳ chung nhỏ nhất T cho cũng có thể tiến tới vô cùng, tiến tới nghiệm hầu tuần tất cả các thành phần điều hòa. hoàn hoặc nghiệm hỗn độn. Ngoài ra, với cùng một hệ, Bằng cách đưa vào các biến giả p [8, 9], (1) được cùng một bộ tham số, các điều kiện đầu khác nhau có thể viết lại như sau dẫn đến các nghiệm tuần hoàn khác nhau. Do đó ta có khái niệm sau: lưu vực hút của một nghiệm nào đó là tập yBxy()tt ( ) () (6) hợp các điều kiện đầu dẫn đến nghiệm đó. Khái niệm này xuất phát từ khái niệm lưu vực hút (basin of attraction) với của một tập hút, trong đó tập hợp các trạng thái của hệ ứng với một nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn hoặc hỗn x độn cụ thể được coi là một tập hút. y (7) Thuật toán cho phương pháp tích phân số đơn thuần p khá đơn giản nhưng để nghiệm thu được đạt độ chính xác 1m 1 cao thì khối lượng tính toán sẽ rất lớn nếu có khó khăn p0(0) (8) trong quá trình tích phân và/hoặc nếu tốc độ hội tụ về m 1 nghiệm chậm. Ngoài ra, phương pháp này không thể tìm 1 ra các nghiệm tuần hoàn không ổn định vì các nghiệm Bx()  Bii x Di 1, w (9) này ứng với các tập đẩy (repeller). AUii Bi iw1, (10) 3.2. Phương pháp bắn 0L Để tìm điều kiện đầu ứng với nghiệm tuần hoàn của Ufi  ci11 f cim f si f sim b (11) hệ n phương trình vi phân cấp 1 0Ω0mm m1 xfx()tt ( ,) (19) LΩ00 (12) mm m1 00 0 11 mm với fx(,)t là hàm tuần hoàn theo t với chu kỳ Tmin Ω diag 12,,, m (13) fx(,tT ) fx (,) t, (20) min Trạng thái của nghiệm của (6) tại một thời điểm t* nào đó có dạng có thể giả thiết rằng ta đã biết chu kỳ T của nghiệm tuần hoàn và đi tìm η sao cho nếu giải (19) với điều kiện đầu 1 BBB()tt* ( t t ) t y()t* eeeissk ikki 110 y (14)  0 xη(0) (21) ks 1 với t là các thời điểm chuyển pha và i là chỉ số của thì sau thời gian T, trạng thái của hệ lại quay trở về đúng k k điều kiện đầu η vùng ứng với pha từ thời điểm t trở đi k xxη()T (0) . (22) ttt*  tt0 (15) ss 110 x()tD  ttttk : 0, s (16) ikk 1 k Nói cách khác, để tìm nghiệm tuần hoàn của hệ (19), ta x()tD  tttt : * (17) cần giải một bài toán điều kiện biên (22), và với việc sử iss dụng phương pháp bắn, bài toán tương đương với việc yy00 ()t y (0) (18) giải một phương trình đại số phi tuyến 3. Tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính rη() 0 (23) từng khúc chịu kích động tuần hoàn trong đó hàm rη() được xác định bằng cách giải (19) 3.1. Phương pháp tích phân số đơn thuần và bản đồ với điều kiện đầu η và tính hiệu hai trạng thái của hệ ở Poincaré hai thời điểm T và 0. Do trạng thái của hệ ở mọi thời Công thức (14) cho phép ta tìm được trạng thái của điểm phụ thuộc vào trạng thái của hệ ở thời điểm đầu nên
3. Tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc bằng hàm mũ ma trận và phương pháp bắn ta có thể viết như sau ddtdtyyy BBtt 1111 eBeyii0011 1 i0 0 dtddyy0010 y y 0 rη() x (,)T η x (0,) η. (24) B t dt i0 1 1 eByi 1 , (37) 0 dy Nghiệm của (23) có thể được xác định bằng phương pháp 0 (0) dyyyy d dt  y dt lặp, với nghiệm dự đoán là η như sau [11] kkkkkkk 11 111 ddtdtdyyy00100kk y  k y (1)iii () () ηηη  (25) BB()tt ddtdty () tt ikkk 11 kkkk ik k 1 eBeyik dddyyyk dx ()iiii () () () 000 (,TTηEηηxη ) n  (, ). (26) dη B ()tt ddtdty eByikk 1 k kkk 1 ks1, 1 (38) ikk 1 dddyyy000 Chú ý rằng, khác với tài liệu [11], ở đây ta viết dTyy() () Tddty y () T ddxη/ thay vì xη/ . Về giá trị thì hai công thức là s s ddtdyyy y như nhau do T trong trường hợp này là hằng số. Sở dĩ có 000ss BB()Tt ddty () Tt sự thay đổi về cách viết ở đây là để tránh nhầm lẫn trong eBeyissss is s , (39) iss các công thức được thiết lập ở những mục sau. ddyy00 a) Công thức đạo hàm đầy đủ Ta sẽ xây dựng công thức (25) và (26) cho hệ tuyến Đạo hàm hai vế của (35) theo y0 , chú ý đến các tính từng khúc chỉ có hai pha tuyến tính khác nhau công thức (37) và (38), ta được xAxxfx ttt , (27) dj j dy B t dt 111 geTTi0 1 gBy 1 0 , (40) i0 1 ddyyy010 d y 0 trong đó djB ()tt dy kk 1 geT ikk 1 k n ddyy x R (28) 00 T dt dt Ax A1 T kk 1 gByik 1 01,1ks.(41)  xgx:0 b (29) k ddyy00 fx(,tt ) f1 () Ax A2 T  xgx:0 b (30) Từ hai công thức trên suy ra fx(,tt ) f2 () dt TT 1 Bi t1 ffff1122()();()()tT t tT t (31) 1 ()gBy ge0 , (42) i0 1 dy0 n với g R là một vector hằng số và b là một hằng số. dt dtB ()tt dy kk 1 ()gByTT 1 geikk 1 k k ikk 1 Giả sử rằng hệ trên biến đổi được về dạng (6), ta cần ddyy00 d y 0 (43) tìm nghiệm tuần hoàn y chu kỳ T. Từ (14) ta có ks 1, 1. B t i0 1 yy11 ()t ey 0 (32) Các công thức (37), (38), (39), (42) và (43) cho ta B ()tt ikk 1 k công thức truy hồi để tính dTyy()/ d một cách đầy đủ. yykk 11 ()tks e y k 1,1 (33) 0 B ()Tt Để ý rằng 21m phần tử cuối của y là các biến giả, do ye()T iss y. (34) s đó ta không cần thay đổi chúng khi đi tìm điều kiện đầu ứng với nghiệm tuần hoàn. Như vậy, dTxηη(,)/ d Cũng cần chú ý rằng các thời điểm chuyển pha t k chính là ma trận con cỡ n nằm trong n hàng và n cột đầu phụ thuộc vào trạng thái của hệ, nghĩa là phụ thuộc vào tiên của dTyy()/ d . Cuối cùng, ta đã có đủ công thức y do chúng phải thỏa mãn điều kiện (29) và (30) 0 0 để xây dựng biểu thức lặp (25) và (26). b) Công thức đạo hàm rút gọn T jjkk 11 ()ygy k 1 b 0 ks 0,1 (35) Nếu ở lân cận nghiệm tuần hoàn cần tìm, ảnh hưởng của điều kiện đầu đến các thời điểm chuyển pha là nhỏ thì với các công thức (37), (38) và (39) có thể được viết lại như sau gg0TTT . (36) (2m 1) 1 dy B t 1 e i0 1 , (44) dy0 Đạo hàm hai vế của (32), (33) và (34) theo y0 , ta có
4. Nguyễn Thái Minh Tuấn, Nguyễn Văn Khang ddyyB ()tt bắn với tích phân số thông thường [11]. Tuy nhiên, các kk 1 ikk 1 k e ks1, 1 , (45) nghiên cứu sau đó chỉ ra rằng sử dụng hàm mũ ma trận ddyy00 1 với các biến giả làm tăng độ chính xác của quá trình tích dTy() BBB()Tt dy () Tt ( t t ) eeeisssks is ikk 1 1 . (46) phân cũng như làm tăng tốc độ tính toán, nhờ thế mà số ddyy00ks lượng nghiệm được tìm ra tăng lên rất nhiều [8, 9]. Trước hết, phương pháp ánh xạ ô đơn giản được sử Loại bỏ các biến giả, ta có dụng để xác định những trạng thái của hệ có thể gần với điều kiện đầu của nghiệm tuần hoàn. Sau đó, phương 1 AA()Tt ( t t ) pháp bắn được sử dụng để tìm các nghiệm tuần hoàn từ dTxη(,) issk ikk 1 1 ee . (47) những trạng thái này một cách đầy đủ nhất có thể. Cuối dη ks cùng, bản đồ Poincaré được dùng, kết hợp với kết quả của phương pháp ánh xạ ô để vẽ ra lưu vực hút của các Thực tế tính toán cho thấy, nếu ban đầu ta đã đoán nghiệm tuần hoàn đã tìm được. nghiệm tương đối chính xác, việc sử dụng công thức đạo Trong quá trình trên, rất nhiều bước tính toán được hàm rút gọn (47) cho phép lặp (25) và (26) vẫn cho độ lặp đi lặp lại mà không ảnh hưởng đến nhau, như khi sử hội tụ nhanh và kết quả có độ chính xác rất cao mà việc dụng phương pháp ánh xạ ô, khi sử dụng phương pháp lập trình lại đơn giản hơn công thức đạo hàm đầy đủ. Các bắn với các điều kiện đầu dự đoán khác nhau và khi tích kết quả được trình bày ở bài báo này đều sử dụng công phân số với các điều kiện đầu khác nhau. Tận dụng thức đạo hàm rút gọn. những công nghệ mới trong cấu trúc máy tính, lập trình 4. Nghiệm tuần hoàn và lưu vực hút của một song song được sử dụng tại các bước đó để tăng tốc độ hệ tuyến tính từng khúc bất đối xứng một tính toán. Do giới hạn không gian của bài báo, phương bậc tự do pháp ánh xạ ô và kỹ thuật lập trình song song không được trình bày kỹ ở đây. Xét hệ sau Ta tìm được tổng cộng năm nghiệm tuần hoàn ổn định của hệ đã cho: trên hình 1 là quỹ đạo pha của xAxxf()tt  ( ) sin bx ( ) (48) s nghiệm 1 chu kỳ, hình 2 là nghiệm 3 chu kỳ thứ nhất, hình 3 là nghiệm 3 chu kỳ thứ hai, hình 4 là nghiệm 9 chu với kỳ có tính chất khá giống với nghiệm 3 chu kỳ thứ hai và hình 5 là nghiệm 2 chu kỳ. x R2 , (49) 0 1.5 fs , (50) f0 Ax()  A11 ; bx () b x :1 0 x d 0, (51) 1 Ax()  A22 ; bx () b x :1 0 x d 0, (52) 0.5 01 A1 kk cc, (53) 01 01 0 [m/s] mm 2 x 01 -0.5 A kc, (54) 2 00 mm -1 0 b , (55) 1 0 -1.5 0 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 b kd . (56) x [m] 2 1 1 m Hình 1. Quỹ đạo pha của nghiệm một chu kỳ Lưu vực hút của các nghiệm tuần hoàn thu được nhờ Các tham số được lấy như sau 33 phương pháp ánh xạ ô được cho trên hình 6. Tổng cộng fm0 7,8 10 N; 0,4 10 kg; có 15608901 ô trên hình ảnh lưu vực hút này 63 kk10 0,9 10 N/m; 32,5 10 N/m; (6501x2401). Hình 7 cho hình ảnh cận cảnh của vùng 33 trung tâm của hình 6. Có thể thấy rằng ở khu vực trung cc01 0,05 10 Ns/m; 0,5 10 Ns/m; 3 tâm thì lưu vực hút của nghiệm 2 chu kỳ rất nhỏ nhưng d 5 10 m;  34,56rad/s . khi ra xa khỏi trung tâm thì lưu vực hút của nghiệm này Hệ trên đã được khảo sát từ lâu bằng phương pháp lại có diện tích áp đảo. Lưu vực hút của nghiệm 3 chu kỳ cân bằng điều hòa gia lượng [5] và bằng phương pháp thứ nhất nằm “xung quanh” lưu vực hút của nghiệm của
5. Tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc bằng hàm mũ ma trận và phương pháp bắn nghiệm 1 chu kỳ còn lưu vực hút của nghiệm 9 chu kỳ ở “xung quanh” lưu vực hút của nghiệm 3 chu kỳ thứ hai và 3 chúng thể hiện tính chất “fractal” – các lưu vực xen lẫn nhau, rất khó để xác định được đường ranh giới. 2 3 1 2 0 [m/s] 2 x 1 -1 0 [m/s] -2 2 x -1 -3 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 -2 x [m] 1 Hình 4. Quỹ đạo pha của nghiệm 9 chu kỳ -3 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 8 x [m] 1 Hình 2. Quỹ đạo pha của nghiệm 3 chu kỳ thứ nhất 6 4 2 2 1.5 0 [m/s] 1 2 x -2 0.5 -4 0 [m/s] 2 -6 x -0.5 -8 -1 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 x [m] -1.5 1 Hình 5. Quỹ đạo pha của nghiệm 2 chu kỳ -2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Toàn bộ kết quả tính toán trên được thực hiện trên một máy tính cá nhân có cấu hình trung bình thấp ở thời x [m] 1 điểm viết bài với tổng thời gian chạy máy không quá một Hình 3. Quỹ đạo pha của nghiệm 3 chu kỳ thứ hai ngày.
6. Nguyễn Thái Minh Tuấn, Nguyễn Văn Khang nghiệm 1 chu kỳ nghiệm 3 chu kỳ thứ nhất nghiệm 3 chu kỳ thứ hai nghiệm 9 chu kỳ nghiệm 2 chu kỳ Hình 6. Lưu vực hút của các nghiệm tuần hoàn. Các dấu “x” ứng với bản đồ Poincaré của các nghiệm tuần hoàn. nghiệm 1 chu kỳ nghiệm 3 chu kỳ thứ nhất nghiệm 3 chu kỳ thứ hai nghiệm 9 chu kỳ nghiệm 2 chu kỳ [m/s] 2 x Hình 7. Lưu vực hút của các nghiệm tuần hoàn, phóng to vùng trung tâm. Các dấu “x” ứng với bản đồ Poincaré của các nghiệm tuần hoàn.
7. Tìm nghiệm tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc bằng hàm mũ ma trận và phương pháp bắn 5. Kết luận harmonic balance method. Journal of sound and vibration, Bài báo đã trình bày phương pháp bắn tìm nghiệm 264(4), 873-882, 2003. tuần hoàn của hệ tuyến tính từng khúc, trong đó có sử [6] Pavlovskaia, E., & Wiercigroch, M., Periodic solution dụng đến hàm mũ ma trận. Để có thể áp dụng hàm mũ ma finder for an impact oscillator with a drift. Journal of trận một cách có hiệu quả, phương pháp đưa vào biến giả Sound and Vibration, 267(4), 893-911, 2003. do các tác giả đề ra ở các nghiên cứu trước tiếp tục được [7] Pavlovskaia, E., & Wiercigroch, M., Analytical drift sử dụng. Hai công thức áp dụng phương pháp bắn đã reconstruction for visco-elastic impact oscillators được thiết lập: công thức đạo hàm đầy đủ, trong đó có kể operating in periodic and chaotic regimes. Chaos, Solitons đến ảnh hưởng của điều kiện đầu đến các thời điểm chuyển pha, và công thức đạo hàm rút gọn, trong đó & Fractals, 19(1), 151-161, 2004. không kể đến ảnh hưởng của điều kiện đầu đến các thời [8] Nguyễn Văn Khang, & Nguyễn Thái Minh Tuấn, Về một điểm chuyển pha. Thực tế cho thấy cả hai công thức này thuật toán mới phân tích dao động của hệ động lực tuyến đều có hiệu quả và công thức đạo hàm rút gọn được ưu tính từng khúc. Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn tiên sử dụng trong nghiên cứu này vì sự đơn giản của nó. quốc Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Tập 1, Một ví dụ tính toán cho một hệ tuyến tính từng khúc 527-532, Hà Nội, Việt Nam, 2014. bất đối xứng một hệ tự do đã được trình bày. Với cùng [9] Tuan, N. T. M., & Khang, N. V., Calculating periodic and một bộ tham số, năm nghiệm tuần hoàn ổn định khác nhau đã được tìm ra. Lưu vực hút của các nghiệm này chaotic vibrations of piecewise-linear systems using matrix được vẽ ra nhờ sự kết hợp của phương pháp ánh xạ ô, bản exponential approach. Proceeding of International đồ Poincaré và phương pháp bắn. Các kết quả thu được Conference on Engineering Mechanics and Automation vượt trội so với các nghiên cứu sử dụng các phương pháp (ICEMA 3), Hanoi, Vietnam, 2014. khác. [10] He, D., Gao, Q., & Zhong, W., An efficient method for Bản đồ lưu vực hút có hơn 15 triệu ô, đòi hỏi khối simulating the dynamic behavior of periodic structures lượng tính toán rất lớn. Việc toàn bộ tính toán này được with piecewise linearity. Nonlinear Dynamics, 94(3), thực hiện trên một hệ máy tính cá nhân giá rẻ với thời 2059-2075, 2018. gian chạy máy chấp nhận được đã chứng tỏ các thuật toán được sử dụng có tốc độ và hiệu quả cao. Kỹ thuật tính [11] Khang, N. V., Cuong, H. M., & Tuan, N. T. M., toán song song cũng góp phần tăng tốc quá trình tính Calculation of nonlinear vibrations of piecewise-linear toán. systems using the shooting method. Vietnam Journal of Phương pháp ánh xạ ô và kỹ thuật lập trình song song Mechanics, 34(3), 157-167, 2012. sẽ được trình bày trong các nghiên cứu sau này. Tài liệu tham khảo [1] Karpenko, E. V., Wiercigroch, M., Pavlovskaia, E. E., & Cartmell, M. P., Piecewise approximate analytical solutions for a Jeffcott rotor with a snubber ring. International Journal of Mechanical Sciences, 44(3), 475-488, 2002. [2] Foong, C. H., Pavlovskaia, E., Wiercigroch, M., & Deans, W. F., Chaos caused by fatigue crack growth. Chaos, Solitons & Fractals, 16(5), 651-659, 2003. [3] Wiercigroch, M., & Budak, E., Sources of nonlinearities, chatter generation and suppression in metal cutting. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 359(1781), 663-693, 2001. [4] Xu, L., Lu, M. W., & Cao, Q., Nonlinear vibrations of dynamical systems with a general form of piecewise-linear viscous damping by incremental harmonic balance method. Physics Letters A, 301(1-2), 65-73, 2002. [5] Xu, L., Lu, M. W., & Cao, Q., Bifurcation and chaos of a harmonically excited oscillator with both stiffness and viscous damping piecewise linearities by incremental