Bài giảng Bài toán liệt kê - Lê Minh Hoàng

Nội dung text: Bài giảng Bài toán liệt kê - Lê Minh Hoàng

1. Bài toán liệt kê \ 1 [ MỤC LỤC §0. GIỚI THIỆU 2 §1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TỔ HỢP 3 I. CHỈNH HỢP LẶP 3 II. CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP 3 III. HOÁN VỊ 3 IV. TỔ HỢP 3 §2. PHƯƠNG PHÁP SINH (GENERATE) 5 I. SINH CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N 6 II. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ 7 III. LIỆT KÊ CÁC HOÁN VỊ 9 §3. THUẬT TOÁN QUAY LUI 12 I. LIỆT KÊ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N 13 II. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ 14 III. LIỆT KÊ CÁC CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP CHẬP K 15 IV. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ 16 V. BÀI TOÁN XẾP HẬU 18 §4. KỸ THUẬT NHÁNH CẬN 22 I. BÀI TOÁN TỐI ƯU 22 II. SỰ BÙNG NỔ TỔ HỢP 22 III. MÔ HÌNH KỸ THUẬT NHÁNH CẬN 22 IV. BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH 23 V. DÃY ABC 25 Lê Minh Hoàng
2. Bài toán liệt kê \ 2 [ §0. GIỚI THIỆU Trong thực tế, có một số bài toán yêu cầu chỉ rõ: trong một tập các đối tượng cho trước có bao nhiêu đối tượng thoả mãn những điều kiện nhất định. Bài toán đó gọi là bài toán đếm cấu hình tổ hợp. Trong lớp các bài toán đếm, có những bài toán còn yêu cầu chỉ rõ những cấu hình tìm được thoả mãn điều kiện đã cho là những cấu hình nào. Bài toán yêu cầu đưa ra danh sách các cấu hình có thể có gọi là bài toán liệt kê tổ hợp. Để giải bài toán liệt kê, cần phải xác định được một thuật toán để có thể theo đó lần lượt xây dựng được tất cả các cấu hình đang quan tâm. Có nhiều phương pháp liệt kê, nhưng chúng cần phải đáp ứng được hai yêu cầu dưới đây: • Không được lặp lại một cấu hình • Không được bỏ sót một cấu hình Có thể nói rằng, phương pháp liệt kê là phương kế cuối cùng để giải được một số bài toán tổ hợp hiện nay. Khó khăn chính của phương pháp này chính là sự bùng nổ tổ hợp. Để xây dựng 1 tỷ cấu hình (con số này không phải là lớn đối với các bài toán tổ hợp - Ví dụ liệt kê các cách xếp n≥13 người quanh một bàn tròn) và giả thiết rằng mỗi thao tác xây dựng mất khoảng 1 giây, ta phải mất quãng 31 năm mới giải xong. Tuy nhiên cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, bằng phương pháp liệt kê, nhiều bài toán tổ hợp đã tìm thấy lời giải. Qua đó, ta cũng nên biết rằng chỉ nên dùng phương pháp liệt kê khi không còn một phương pháp nào khác tìm ra lời giải. Chính những nỗ lực giải quyết các bài toán thực tế không dùng phương pháp liệt kê đã thúc đẩy sự phát triển của nhiều ngành toán học. Cuối cùng, những tên gọi sau đây, tuy về nghĩa không phải đồng nhất, nhưng trong một số trường hợp người ta có thể dùng lẫn nghĩa của nhau được. Đó là: • Phương pháp liệt kê • Phương pháp vét cạn trên tập phương án • Phương pháp duyệt toàn bộ Lê Minh Hoàng
3. Bài toán liệt kê \ 3 [ §1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TỔ HỢP Cho S là một tập hữu hạn gồm n phần tử và k là một số tự nhiên. Gọi X là tập các số nguyên dương từ 1 đến k: X = {1, 2, , k} I. CHỈNH HỢP LẶP Mỗi ánh xạ f: X → S. Cho tương ứng với mỗi i ∈ X, một và chỉ một phần tử f(i) ∈ S. Được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của S. Nhưng do X là tập hữu hạn (k phần tử) nên ánh xạ f có thể xác định qua bảng các giá trị f(1), f(2), , f(k). Ví dụ: S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. Một ánh xạ f có thể cho như sau: i 123 f(i) E C E Nên người ta đồng nhất f với dãy giá trị (f(1), f(2), , f(k)) và coi dãy giá trị này cũng là một chỉnh hợp lặp chập k của S. Như ví dụ trên (E, C, E) là một chỉnh hợp lặp chập 3 của S. Dễ dàng chứng minh được kết quả sau bằng quy nạp hoặc bằng phương pháp đánh giá khả năng lựa chọn: Số chỉnh hợp lặp chập k của tập gồm n phần tử: k k An = n II. CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP Khi f là đơn ánh có nghĩa là với ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói một cách dễ hiểu, khi dãy giá trị f(1), f(2), , f(k) gồm các phần tử thuộc S khác nhau đôi một thì f được gọi là một chỉnh hợp không lặp chập k của S. Ví dụ một chỉnh hợp không lặp (C, A, E): i 123 f(i) C A E Số chỉnh hợp không lặp chập k của tập gồm n phần tử: n! A k = n(n −1)(n − 2) (n − k +1) = n (n − k)! III. HOÁN VỊ Khi k = n. Một chỉnh hợp không lặp chập n của S được gọi là một hoán vị các phần tử của S. Ví dụ: một hoán vị: (A, D, C, E, B, F) của S = {A, B, C, D, E, F} i123456 f(i) A D C E B F Để ý rằng khi k = n thì số phần tử của tập X = {1, 2, , n} đúng bằng số phần tử của S. Do tính chất đôi một khác nhau nên dãy f(1), f(2), , f(n) sẽ liệt kê được hết các phần tử trong S. Như vậy f là toàn ánh. Mặt khác do giả thiết f là chỉnh hợp không lặp nên f là đơn ánh. Ta có tương ứng 1-1 giữa các phần tử của X và S, do đó f là song ánh. Vậy nên ta có thể định nghĩa một hoán vị của S là một song ánh giữa {1, 2, , n} và S. Số hoán vị của tập gồm n phần tử = số chỉnh hợp không lặp chập n: = Pn n! IV. TỔ HỢP Một tập con gồm k phần tử của S được gọi là một tổ hợp chập k của S. Lê Minh Hoàng
4. Bài toán liệt kê \ 4 [ Lấy một tập con k phần tử của S, xét tất cả k! hoán vị của tập con này. Dễ thấy rằng các hoán vị đó là các chỉnh hợp không lặp chập k của S. Ví dụ lấy tập {A, B, C} là tập con của tập S trong ví dụ trên thì: (A, B, C), (C, A, B), (B, C, A), là các chỉnh hợp không lặp chập 3 của S. Điều đó tức là khi liệt kê tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k thì mỗi tổ hợp chập k sẽ được tính k! lần. Vậy: Số tổ hợp chập k của tập gồm n phần tử: A k n! C k = n = n k! k!(n − k)! Số tập con của tập n phần tử: 0 + 1 + + n = + n = n Cn Cn Cn (1 1) 2 Lê Minh Hoàng
5. Bài toán liệt kê \ 5 [ §2. PHƯƠNG PHÁP SINH (GENERATE) Phương pháp sinh có thể áp dụng để giải bài toán liệt kê tổ hợp đặt ra nếu như hai điều kiện sau thoả mãn: 1. Có thể xác định được một thứ tự trên tập các cấu hình tổ hợp cần liệt kê. Từ đó có thể xác định được cấu hình đầu tiên và cấu hình cuối cùng trong thứ tự đã xác định 2. Xây dựng được thuật toán từ cấu hình chưa phải cấu hình cuối, sinh ra được cấu hình kế tiếp nó. Phương pháp sinh có thể mô tả như sau: ; repeat ; ; until ; Thứ tự từ điển Trên các kiểu dữ liệu đơn giản chuẩn, người ta thường nói tới khái niệm thứ tự. Ví dụ trên kiểu số thì có quan hệ: 1 , khỏi phải định nghĩa) Ví dụ như quan hệ "≤" trên các số nguyên cũng như trên các kiểu vô hướng, liệt kê là quan hệ thứ tự toàn phần. Trên các dãy hữu hạn, người ta cũng xác định một quan hệ thứ tự: Xét a = (a1, a2, , an) và b = (b1, b2, , bn); trên các phần tử của a1, , an, b1, , bn đã có quan hệ thứ tự "≤". Khi đó a ≤ b nếu như • Hoặc ai = bi với ∀i: 1 ≤ i ≤ n. • Hoặc tồn tại một số nguyên dương k: 1 ≤ k < n để: a1 = b1 a2 = b2 ak-1 = bk-1 ak = bk ak+1 < bk+1 Trong trường hợp này, ta có thể viết a < b. Thứ tự đó gọi là thứ tự từ điển trên các dãy độ dài n. Khi độ dài hai dãy a và b không bằng nhau, người ta cũng xác định được thứ tự từ điển. Bằng cách thêm vào cuối dãy a hoặc dãy b những phần tử đặc biệt gọi là phần tử ∅ để độ dài của a và b bằng Lê Minh Hoàng
6. Bài toán liệt kê \ 6 [ nhau, và coi những phần tử ∅ này nhỏ hơn tất cả các phần tử khác, ta lại đưa về xác định thứ tự từ điển của hai dãy cùng độ dài. Ví dụ: • (1, 2, 3, 4) 0) and (xi = 1) do i := i - 1; if i > 0 then begin xi := 1; for j := i + 1 to n do xj := 0; end; Dữ liệu vào (Input): nhập từ file văn bản BSTR.INP chứa số nguyên dương n ≤ 30 Kết quả ra(Output): ghi ra file văn bản BSTR.OUT các dãy nhị phân độ dài n. BSTR.INP BSTR.OUT 3 000 001 010 011 100 101 110 111 PROG02_1.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các dãy nhị phân độ dài n program Binary_Strings; const max = 30; Lê Minh Hoàng
7. Bài toán liệt kê \ 7 [ var x: array[1 max] of Integer; n, i: Integer; begin {Định nghĩa lại thiết bị nhập/xuất chuẩn} Assign(Input, 'BSTR.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'BSTR.OUT'); Rewrite(Output); ReadLn(n); FillChar(x, SizeOf(x), 0); {Cấu hình ban đầu x1 = x2 = = xn := 0} repeat {Thuật toán sinh} for i := 1 to n do Write(x[i]); {In ra cấu hình hiện tại} WriteLn; i := n; {xi là phần tử cuối dãy, lùi dần i cho tới khi gặp số 0 hoặc khi i = 0 thì dừng} while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i); if i > 0 then {Chưa gặp phải cấu hình 11 1} begin x[i] := 1; {Thay xi bằng số 1} FillChar(x[i + 1], (n - i) * SizeOf(x[1]), 0); {Đặt xi + 1 = xi + 2 = = xn := 0} end; until i = 0; {Đã hết cấu hình} {Đóng thiết bị nhập xuất chuẩn, thực ra không cần vì BP sẽ tự động đóng Input và Output trước khi thoát chương trình} Close(Input); Close(Output); end. II. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ Ta sẽ lập chương trình liệt kê các tập con k phần tử của tập {1, 2, , n} theo thứ tự từ điền Ví dụ: với n = 5, k = 3, ta phải liệt kê đủ 10 tập con: 1.{1, 2, 3} 2.{1, 2, 4} 3.{1, 2, 5} 4.{1, 3, 4} 5.{1, 3, 5} 6.{1, 4, 5} 7.{2, 3, 4} 8.{2, 3, 5} 9.{2, 4, 5} 10.{3, 4, 5} Như vậy tập con đầu tiên (cấu hình khởi tạo) là {1, 2, , k}. Cấu hình kết thúc là {n - k + 1, n - k + 2, , n}. Nhận xét: Ta sẽ in ra tập con bằng cách in ra lần lượt các phần tử của nó theo thứ tự tăng dần. Từ đó, ta có nhận xét nếu x = {x1, x2, , xk} và x1 < x2 < < xk thì giới hạn trên (giá trị lớn nhất có thể nhận) của xk là n, của xk-1 là n - 1, của xk-2 là n - 2 Cụ thể: giới hạn trên của xi = n - k + i; Còn tất nhiên, giới hạn dưới của xi (giá trị nhỏ nhất xi có thể nhận) là xi-1 + 1. Như vậy nếu ta đang có một dãy x đại diện cho một tập con, nếu x là cấu hình kết thúc có nghĩa là tất cả các phần tử trong x đều đã đạt tới giới hạn trên thì quá trình sinh kết thúc, nếu không thì ta phải sinh ra một dãy x mới tăng dần thoả mãn vừa đủ lớn hơn dãy cũ theo nghĩa không có một tập con k phần tử nào chen giữa chúng khi sắp thứ tự từ điển. Ví dụ: n = 9, k = 6. Cấu hình đang có x = {1, 2, 6, 7, 8, 9}. Các phần tử x3 đến x6 đã đạt tới giới hạn trên nên để sinh cấu hình mới ta không thể sinh bằng cách tăng một phần tử trong số các x6, x5, x4, x3 lên được, ta phải tăng x2 = 2 lên thành x2 = 3. Được cấu hình mới là x = {1, 3, 6, 7, 8, 9}. Cấu hình này đã thoả mãn lớn hơn cấu hình trước nhưng chưa thoả mãn tính chất vừa đủ lớn muốn vậy ta lại thay x3, x4, x5, x6 bằng các giới hạn dưới của nó. Tức là: • x3 := x2 + 1 = 4 • x4 := x3 + 1 = 5 • x5 := x4 + 1 = 6 • x6 := x5 + 1 = 7 Ta được cấu hình mới x = {1, 3, 4, 5, 6, 7} là cấu hình kế tiếp. Nếu muốn tìm tiếp, ta lại nhận thấy rằng x6 = 7 chưa đạt giới hạn trên, như vậy chỉ cần tăng x6 lên 1 là được x = {1, 3, 4, 5, 6, 8}. Vậy kỹ thuật sinh tập con kế tiếp từ tập đã có x có thể xây dựng như sau: Lê Minh Hoàng
8. Bài toán liệt kê \ 8 [ • Tìm từ cuối dãy lên đầu cho tới khi gặp một phần tử xi chưa đạt giới hạn trên n - k + i. i := n; while (i > 0) and (xi = n - k + i) do i := i - 1; (1, 2, 6, 7, 8, 9); • Nếu tìm thấy: if i > 0 then ♦ Tăng xi đó lên 1. xi := xi + 1; (1, 3, 6, 7, 8, 9) ♦ Đặt tất cả các phần tử phía sau xi bằng giới hạn dưới: for j := i + 1 to k do xj := xj-1 + 1; (1, 3, 4, 5, 6, 7) Input: file văn bản SUBSET.INP chứa hai số nguyên dương n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 30) cách nhau ít nhất một dấu cách Output: file văn bản SUBSET.OUT các tập con k phần tử của tập {1, 2, , n} SUBSET.INP SUBSET.OUT 5 3 {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 2, 5} {1, 3, 4} {1, 3, 5} {1, 4, 5} {2, 3, 4} {2, 3, 5} {2, 4, 5} {3, 4, 5} PROG02_2.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các tập con k phần tử program Combinations; const max = 30; var x: array[1 max] of Integer; n, k, i, j: Integer; begin {Định nghĩa lại thiết bị nhập/xuất chuẩn} Assign(Input, 'SUBSET.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'SUBSET.OUT'); Rewrite(Output); ReadLn(n, k); for i := 1 to k do x[i] := i; {x1 := 1; x2 := 2; ; x3 := k (Cấu hình khởi tạo)} Count := 0; {Biến đếm} ――repeat {In ra cấu hình hiện tại} Write('{'); for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], ', '); WriteLn(x[k], '}'); {Sinh tiếp} i := k; {xi là phần tử cuối dãy, lùi dần i cho tới khi gặp một xi chưa đạt giới hạn trên n - k + i} while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i); if i > 0 then― {Nếu chưa lùi đến 0 có nghĩa là chưa phải cấu hình kết thúc} ―― begin Inc(x[i]); {Tăng xi lên 1, Đặt các phần tử đứng sau xi bằng giới hạn dưới của nó} for j := i + 1 to k do x[j] := x[j - 1] + 1; end; until i = 0; {Lùi đến tận 0 có nghĩa là tất cả các phần tử đã đạt giới hạn trên - hết cấu hình} Close(Input); Close(Output); end. Lê Minh Hoàng
9. Bài toán liệt kê \ 9 [ III. LIỆT KÊ CÁC HOÁN VỊ Ta sẽ lập chương trình liệt kê các hoán vị của {1, 2, , n} theo thứ tự từ điển. Ví dụ với n = 4, ta phải liệt kê đủ 24 hoán vị: 1.1234 2.1243 3.1324 4.1342 5.1423 6.1432 7.2134 8.2143 9.2314 10.2341 11.2413 12.2431 13.3124 14.3142 15.3214 16.3241 17.3412 18.3421 19.4123 20.4132 21.4213 22.4231 23.4312 24.4321 Như vậy hoán vị đầu tiên sẽ là (1, 2, , n). Hoán vị cuối cùng là (n, n-1, , 1). Hoán vị sẽ sinh ra phải lớn hơn hoán vị hiện tại, hơn thế nữa phải là hoán vị vừa đủ lớn hơn hoán vị hiện tại theo nghĩa không thể có một hoán vị nào khác chen giữa chúng khi sắp thứ tự. Giả sử hoán vị hiện tại là x = (3, 2, 6, 5, 4, 1), xét 4 phần tử cuối cùng, ta thấy chúng được xếp giảm dần, điều đó có nghĩa là cho dù ta có hoán vị 4 phần tử này thế nào, ta cũng được một hoán vị bé hơn hoán vị hiện tại!. Như vậy ta phải xét đến x2 = 2, thay nó bằng một giá trị khác. Ta sẽ thay bằng giá trị nào?, không thể là 1 bởi nếu vậy sẽ được hoán vị nhỏ hơn, không thể là 3 vì đã có x1 = 3 rồi (phần tử sau không được chọn vào những giá trị mà phần tử trước đã chọn). Còn lại các giá trị 4, 5, 6. Vì cần một hoán vị vừa đủ lớn hơn hiện tại nên ta chọn x2 = 4. Còn các giá trị (x3, x4, x5, x6) sẽ lấy trong tập {2, 6, 5, 1}. Cũng vì tính vừa đủ lớn nên ta sẽ tìm biểu diễn nhỏ nhất của 4 số này gán cho x3, x4, x5, x6 tức là (1, 2, 5, 6). Vậy hoán vị mới sẽ là (3, 4, 1, 2, 5, 6). (3, 2, 6, 5, 4, 1) → (3, 4, 1, 2, 5, 6). Ta có nhận xét gì qua ví dụ này: Đoạn cuối của hoán vị được xếp giảm dần, số x5 = 4 là số nhỏ nhất trong đoạn cuối giảm dần thoả mãn điều kiện lớn hơn x2 = 2. Nếu đổi chỗ x5 cho x2 thì ta sẽ được x2 = 4 và đoạn cuối vẫn được sắp xếp giảm dần. Khi đó muốn biểu diễn nhỏ nhất cho các giá trị trong đoạn cuối thì ta chỉ cần đảo ngược đoạn cuối. Trong trường hợp hoán vị hiện tại là (2, 1, 3, 4) thì hoán vị kế tiếp sẽ là (2, 1, 4, 3). Ta cũng có thể coi hoán vị (2, 1, 3, 4) có đoạn cuối giảm dần, đoạn cuối này chỉ gồm 1 phần tử (4) Vậy kỹ thuật sinh hoán vị kế tiếp từ hoán vị hiện tại có thể xây dựng như sau: • Xác định đoạn cuối giảm dần dài nhất, tìm chỉ số i của phần tử xi đứng liền trước đoạn cuối đó. Điều này đồng nghĩa với việc tìm từ vị trí sát cuối dãy lên đầu, gặp chỉ số i đầu tiên thỏa mãn xi 0) and (xi > xi+1) do i := i - 1; • Trong đoạn cuối giảm dần, tìm phần tử xk nhỏ nhất thoả mãn điều kiện xk > xi. Do đoạn cuối giảm dần, điều này thực hiện bằng cách tìm từ cuối dãy lên đầu gặp chỉ số k đầu tiên thoả mãn xk > xi (có thể dùng tìm kiếm nhị phân). k := n; while xk < xi do k := k - 1; • Đổi chỗ xk và xi, lật ngược thứ tự đoạn cuối giảm dần (từ xi+1 đến xk) trở thành tăng dần. Input: file văn bản PERMUTE.INP chứa số nguyên dương n ≤ 12 Output: file văn bản PERMUTE.OUT các hoán vị của dãy (1, 2, , n) PERMUTE.INP PERMUTE.OUT 3 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 Lê Minh Hoàng
10. Bài toán liệt kê \ 10 [ PROG02_3.PAS * Thuật toán sinh liệt kê hoán vị program Permute; const max = 12; var n, i, k, a, b: Integer; x: array[1 max] of Integer; procedure Swap(var X, Y: Integer); {Thủ tục đảo giá trị hai tham biến X, Y} var Temp: Integer; begin Temp := X; X := Y; Y := Temp; end; begin Assign(Input, 'PERMUTE.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'PERMUTE.OUT'); Rewrite(Output); ReadLn(n); for i := 1 to n do x[i] := i;― {Khởi tạo cấu hình đầu: x1 := 1; x2 := 2; , xn := n} ――repeat ――――for i := 1 to n do Write(x[i], ' '); {In ra cấu hình hoán vị hiện tại} WriteLn; i := n - 1; while (i > 0) and (x[i] > x[i + 1]) do Dec(i); if i > 0 then {Chưa gặp phải hoán vị cuối (n, n-1, ,1)} ――――――begin k := n; {xk là phần tử cuối dãy} ―――― while x[k] < x[i] do Dec(k);― {Lùi dần k để tìm gặp xk đầu tiên lớn hơn xi } Swap(x[k], x[i]); {Đổi chỗ xk và xi} ―――――― a := i + 1; b := n; {Lật ngược đoạn cuối giảm dần, a: đầu đoạn, b: cuối đoạn} ―― while a < b do begin Swap(x[a], x[b]); {Đổi chỗ xa và xb} Inc(a); {Tiến a và lùi b, đổi chỗ tiếp cho tới khi a, b chạm nhau} Dec(b); end; end; until i = 0;―{Toàn dãy là dãy giảm dần - không sinh tiếp được - hết cấu hình} Close(Input); Close(Output); end. Bài tập: 1. Các chương trình trên xử lý không tốt trong trường hợp tầm thường, đó là trường hợp n = 0 đối với chương trình liệt kê dãy nhị phân cũng như trong chương trình liệt kê hoán vị, trường hợp k = 0 đối với chương trình liệt kê tổ hợp, hãy khắc phục điều đó. 2. Liệt kê các dãy nhị phân độ dài n có thể coi là liệt kê các chỉnh hợp lặp chập n của tập 2 phần tử {0, 1}. Hãy lập chương trình: Nhập vào hai số n và k, liệt kê các chỉnh hợp lặp chập k của {0, 1, , n -1}. Gợi ý: thay hệ cơ số 2 bằng hệ cơ số n. 3. Hãy liệt kê các dãy nhị phân độ dài n mà trong đó cụm chữ số "01" xuất hiện đúng 2 lần. Bài tập: 4. Nhập vào một danh sách n tên người. Liệt kê tất cả các cách chọn ra đúng k người trong số n người đó. Gợi ý: xây dựng một ánh xạ từ tập {1, 2, , n} đến tập các tên người. Ví dụ xây dựng một mảng Tên: Tên[1] := 'Nguyễn văn A'; Tên[2] := 'Trần thị B'; sau đó liệt kê tất cả các tập con k phần tử Lê Minh Hoàng
11. Bài toán liệt kê \ 11 [ của tập {1, 2, , n}. Chỉ có điều khi in tập con, ta không in giá trị số {1, 3, 5} mà thay vào đó sẽ in ra {Tên[1], Tên [3], Tên[5]}. Tức là in ra ảnh của các giá trị tìm được qua ánh xạ 5. Liệt kê tất cả các tập con của tập {1, 2, , n}. Có thể dùng phương pháp liệt kê tập con như trên hoặc dùng phương pháp liệt kê tất cả các dãy nhị phân. Mỗi số 1 trong dãy nhị phân tương ứng với một phần tử được chọn trong tập. Ví dụ với tập {1, 2, 3, 4} thì dãy nhị phân 1010 sẽ tương ứng với tập con {1, 3}. Hãy lập chương trình in ra tất cả các tập con của {1, 2, , n} theo hai phương pháp. 5. Nhập vào danh sách tên n người, in ra tất cả các cách xếp n người đó vào một bàn 6. Nhập vào danh sách n người nam và n người nữ, in ra tất cả các cách xếp 2n người đó vào một bàn tròn, mỗi người nam tiếp đến một người nữ. 7. Người ta có thể dùng phương pháp sinh để liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k. Tuy nhiên có một cách là liệt kê tất cả các tập con k phần tử của tập hợp, sau đó in ra đủ k! hoán vị của nó. Hãy viết chương trình liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k của {1, 2, , n}. 8. Liệt kê tất cả các hoán vị chữ cái trong từ MISSISSIPPI theo thứ tự từ điển. 9. Liệt kê tất cả các cách phân tích số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương, hai cách phân tích là hoán vị của nhau chỉ tính là một cách. Cuối cùng, ta có nhận xét, mỗi phương pháp liệt kê đều có ưu, nhược điểm riêng và phương pháp sinh cũng không nằm ngoài nhận xét đó. Phương pháp sinh không thể sinh ra được cấu hình thứ p nếu như chưa có cấu hình thứ p - 1, chứng tỏ rằng phương pháp sinh tỏ ra ưu điểm trong trường hợp liệt kê toàn bộ một số lượng nhỏ cấu hình trong một bộ dữ liệu lớn thì lại có nhược điểm và ít tính phổ dụng trong những thuật toán duyệt hạn chế. Hơn thế nữa, không phải cấu hình ban đầu lúc nào cũng dễ tìm được, không phải kỹ thuật sinh cấu hình kế tiếp cho mọi bài toán đều đơn giản như trên (Sinh các chỉnh hợp không lặp chập k theo thứ tự từ điển chẳng hạn). Ta sang một chuyên mục sau nói đến một phương pháp liệt kê có tính phổ dụng cao hơn, để giải các bài toán liệt kê phức tạp hơn đó là: Thuật toán quay lui (Back tracking). Lê Minh Hoàng
12. Bài toán liệt kê \ 12 [ §3. THUẬT TOÁN QUAY LUI Thuật toán quay lui dùng để giải bài toán liệt kê các cấu hình. Mỗi cấu hình được xây dựng bằng cách xây dựng từng phần tử, mỗi phần tử được chọn bằng cách thử tất cả các khả năng. Giả thiết cấu hình cần liệt kê có dạng (x1, x2, , xn). Khi đó thuật toán quay lui thực hiện qua các bước sau: 1) Xét tất cả các giá trị x1 có thể nhận, thử cho x1 nhận lần lượt các giá trị đó. Với mỗi giá trị thử gán cho x1 ta sẽ: 2) Xét tất cả các giá trị x2 có thể nhận, lại thử cho x2 nhận lần lượt các giá trị đó. Với mỗi giá trị thử gán cho x2 lại xét tiếp các khả năng chọn x3 cứ tiếp tục như vậy đến bước: n) Xét tất cả các giá trị xn có thể nhận, thử cho xn nhận lần lượt các giá trị đó, thông báo cấu hình tìm được (x1, x2, , xn). Trên phương diện quy nạp, có thể nói rằng thuật toán quay lui liệt kê các cấu hình n phần tử dạng (x1, x2, , xn) bằng cách thử cho x1 nhận lần lượt các giá trị có thể. Với mỗi giá trị thử gán cho x1 lại liệt kê tiếp cấu hình n - 1 phần tử (x2, x3, , xn). Mô hình của thuật toán quay lui có thể mô tả như sau: {Thủ tục này thử cho xi nhận lần lượt các giá trị mà nó có thể nhận} procedure Try(i: Integer); begin for (mọi giá trị V có thể gán cho xi) do begin ; if (xi là phần tử cuối cùng trong cấu hình) then else begin ; Try(i + 1); {Gọi đệ quy để chọn tiếp xi+1} ―― ; end; end; end; Thuật toán quay lui sẽ bắt đầu bằng lời gọi Try(1) Ta có thể trình bày quá trình tìm kiếm lời giải của thuật toán quay lui bằng cây sau: Try(1) Try(2) Try(2) Try(3) Try(3) Try(3) Try(3) Hình 1: Cây tìm kiếm quay lui Lê Minh Hoàng
13. Bài toán liệt kê \ 13 [ I. LIỆT KÊ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N Input/Output với khuôn dạng như trong PROG2_1.PAS Biểu diễn dãy nhị phân độ dài N dưới dạng (x1, x2, , xn). Ta sẽ liệt kê các dãy này bằng cách thử dùng các giá trị {0, 1} gán cho xi. Với mỗi giá trị thử gán cho xi lại thử các giá trị có thể gán cho xi+1.Chương trình liệt kê bằng thuật toán quay lui có thể viết: PROG03_1.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các dãy nhị phân độ dài n program BinaryStrings; const max = 30; var x: array[1 max] of Integer; n: Integer; procedure PrintResult; {In cấu hình tìm được, do thủ tục tìm đệ quy Try gọi khi tìm ra một cấu hình} var i: Integer; begin for i := 1 to n do Write(x[i]); WriteLn; end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn xi} var j: Integer; begin for j := 0 to 1 do {Xét các giá trị có thể gán cho xi, với mỗi giá trị đó} ――――begin x[i] := j; {Thử đặt xi} if i = n then PrintResult {Nếu i = n thì in kết quả} ―――― else Try(i + 1); {Nếu i chưa phải là phần tử cuối thì tìm tiếp xi+1} end; end; begin Assign(Input, 'BSTR.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'BSTR.OUT'); Rewrite(Output); ReadLn(n); {Nhập dữ liệu} Try(1); {Thử các cách chọn giá trị x1} Close(Input); Close(Output); end. Ví dụ: Khi n = 3, cây tìm kiếm quay lui như sau: Try(1) x1 := 0 x1 := 1 Try(2) Try(2) x2 := 0 x2 := 1 x2 := 0 x2 := 1 Try(3) Try(3) Try(3) Try(3) x3 := 0 x3 := 1 x3 := 0 x3 := 1 x3 := 0 x3 := 1 x3 := 0 x3 := 1 000 001 010 011 100 101 110 111 result Hình 2: Cây tìm kiếm quay lui trong bài toán liệt kê dãy nhị phân Lê Minh Hoàng
14. Bài toán liệt kê \ 14 [ II. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ Input/Output có khuôn dạng như trong PROG02_2.PAS Để liệt kê các tập con k phần tử của tập S = {1, 2, , n} ta có thể đưa về liệt kê các cấu hình (x1, x2, , xk) ở đây các xi ∈ S và x1 < x2 < < xk. Ta có nhận xét: • xk ≤ n • xk-1 ≤ xk - 1 ≤ n - 1 • • xi ≤ n - k + i • • x1 ≤ n - k + 1. Từ đó suy ra xi-1 + 1 ≤ xi ≤ n - k + i (1 ≤ i ≤ k) ở đây ta giả thiết có thêm một số x0 = 0 khi xét i = 1. Như vậy ta sẽ xét tất cả các cách chọn x1 từ 1 (=x0 + 1) đến n - k + 1, với mỗi giá trị đó, xét tiếp tất cả các cách chọn x2 từ x1 + 1 đến n - k + 2, cứ như vậy khi chọn được đến xk thì ta có một cấu hình cần liệt kê. Chương trình liệt kê bằng thuật toán quay lui như sau: PROG03_2.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các tập con k phần tử program Combinations; const max = 30; var x: array[0 max] of Integer; n, k: Integer; procedure PrintResult; (*In ra tập con {x1, x2, , xk}*) var i: Integer; begin Write('{'); for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], ', '); WriteLn(x[k], '}'); end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn giá trị cho x[i]} var j: Integer; begin for j := x[i - 1] + 1 to n - k + i do begin x[i] := j; if i = k then PrintResult else Try(i + 1); end; end; begin Assign(Input, 'SUBSET.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'SUBSET.OUT'); Rewrite(Output); ReadLn(n, k); x[0] := 0; Try(1); Close(Input); Close(Output); end. Lê Minh Hoàng
15. Bài toán liệt kê \ 15 [ Nếu để ý chương trình trên và chương trình liệt kê dãy nhị phân độ dài n, ta thấy về cơ bản chúng chỉ khác nhau ở thủ tục Try(i) - chọn thử các giá trị cho xi, ở chương trình liệt kê dãy nhị phân ta thử chọn các giá trị 0 hoặc 1 còn ở chương trình liệt kê các tập con k phần tử ta thử chọn xi là một trong các giá trị nguyên từ xi-1 + 1 đến n - k + i. Qua đó ta có thể thấy tính phổ dụng của thuật toán quay lui: mô hình cài đặt có thể thích hợp cho nhiều bài toán, khác với phương pháp sinh tuần tự, với mỗi bài toán lại phải có một thuật toán sinh kế tiếp riêng làm cho việc cài đặt mỗi bài một khác, bên cạnh đó, không phải thuật toán sinh kế tiếp nào cũng dễ cài đặt. III. LIỆT KÊ CÁC CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP CHẬP K Để liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k của tập S = {1, 2, , n} ta có thể đưa về liệt kê các cấu hình (x1, x2, , xk) ở đây các xi ∈ S và khác nhau đôi một. Như vậy thủ tục Try(i) - xét tất cả các khả năng chọn xi - sẽ thử hết các giá trị từ 1 đến n, mà các giá trị này chưa bị các phần tử đứng trước chọn. Muốn xem các giá trị nào chưa được chọn ta sử dụng kỹ thuật dùng mảng đánh dấu: • Khởi tạo một mảng c1, c2, , cn mang kiểu logic. Ở đây ci cho biết giá trị i có còn tự do hay đã bị chọn rồi. Ban đầu khởi tạo tất cả các phần tử mảng c là TRUE có nghĩa là các phần tử từ 1 đến n đều tự do. • Tại bước chọn các giá trị có thể của xi ta chỉ xét những giá trị j có cj = TRUE có nghĩa là chỉ chọn những giá trị tự do. • Trước khi gọi đệ quy tìm xi+1: ta đặt giá trị j vừa gán cho xi là đã bị chọn có nghĩa là đặt cj := FALSE để các thủ tục Try(i + 1), Try(i + 2) gọi sau này không chọn phải giá trị j đó nữa • Sau khi gọi đệ quy tìm xi+1: có nghĩa là sắp tới ta sẽ thử gán một giá trị khác cho xi thì ta sẽ đặt giá trị j vừa thử đó thành tự do (cj := TRUE), bởi khi xi đã nhận một giá trị khác rồi thì các phần tử đứng sau: xi+1, xi+2 hoàn toàn có thể nhận lại giá trị j đó. Điều này hoàn toàn hợp lý trong phép xây dựng chỉnh hợp không lặp: x1 có n cách chọn, x2 có n - 1 cách chọn, Lưu ý rằng khi thủ tục Try(i) có i = k thì ta không cần phải đánh dấu gì cả vì tiếp theo chỉ có in kết quả chứ không cần phải chọn thêm phần tử nào nữa. Input: file văn bản ARRANGES.INP chứa hai số nguyên dương n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 20) cách nhau ít nhất một dấu cách Output: file văn bản ARRANGES.OUT ghi các chỉnh hợp không lặp chập k của tập {1, 2, , n} ARRANGES.INP ARRANGES.OUT 3 2 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 PROG03_3.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k program Arranges; const max = 20; var x: array[1 max] of Integer; c: array[1 max] of Boolean; n, k: Integer; procedure PrintResult; {Thủ tục in cấu hình tìm được} Lê Minh Hoàng
16. Bài toán liệt kê \ 16 [ var i: Integer; begin for i := 1 to k do Write(x[i],' '); WriteLn; end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn xi} var j: Integer; begin for j := 1 to n do if c[j] then {Chỉ xét những giá trị j còn tự do} begin x[i] := j; if i = k then PrintResult {Nếu đã chọn được đến xk thì chỉ việc in kết quả} ―― else begin c[j] := False; {Đánh dấu: j đã bị chọn} ―――――――― Try(i + 1); {Thủ tục này chỉ xét những giá trị còn tự do gán cho xi+1, tức là sẽ không chọn phải j} ―― c[j] := True; {Bỏ đánh dấu: j lại là tự do, bởi sắp tới sẽ thử một cách chọn khác của xi} ―――――――― end; end; end; begin Assign(Input, 'ARRANGES.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'ARRANGES.OUT'); Rewrite(Output); ReadLn(n, k); FillChar(c, SizeOf(c), True); {Tất cả các số đều chưa bị chọn} Try(1); {Thử các cách chọn giá trị của x1} Close(Input); Close(Output); end. Nhận xét: khi k = n thì đây là chương trình liệt kê hoán vị IV. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ Bài toán Cho một số nguyên dương n ≤ 30, hãy tìm tất cả các cách phân tích số n thành tổng của các số nguyên dương, các cách phân tích là hoán vị của nhau chỉ tính là 1 cách. Cách làm: 1. Ta sẽ lưu nghiệm trong mảng x, ngoài ra có một mảng t. Mảng t xây dựng như sau: ti sẽ là tổng các phần tử trong mảng x từ x1 đến xi: ti := x1 + x2 + + xi. 2. Khi liệt kê các dãy x có tổng các phần tử đúng bằng n, để tránh sự trùng lặp ta đưa thêm ràng buộc xi-1 ≤ xi. 3. Vì số phần tử thực sự của mảng x là không cố định nên thủ tục PrintResult dùng để in ra 1 cách phân tích phải có thêm tham số cho biết sẽ in ra bao nhiêu phần tử. 4. Thủ tục đệ quy Try(i) sẽ thử các giá trị có thể nhận của xi (xi ≥ xi - 1) 5. Khi nào thì in kết quả và khi nào thì gọi đệ quy tìm tiếp ? Lưu ý rằng ti - 1 là tổng của tất cả các phần tử từ x1 đến xi-1 do đó • Khi ti = n tức là (xi = n - ti - 1) thì in kết quả • Khi tìm tiếp, xi+1 sẽ phải lớn hơn hoặc bằng xi. Mặt khác ti+1 là tổng của các số từ x1 tới xi+1 không được vượt quá n. Vậy ta có ti+1 ≤ n ⇔ ti-1 + xi + xi+1 ≤ n ⇔ xi + xi + 1 ≤ n - ti - 1 tức là xi Lê Minh Hoàng
17. Bài toán liệt kê \ 17 [ ≤ (n - ti - 1)/2. Ví dụ đơn giản khi n = 10 thì chọn x1 = 6, 7, 8, 9 là việc làm vô nghĩa vì như vậy cũng không ra nghiệm mà cũng không chọn tiếp x2 được nữa. Một cách dễ hiểu ta gọi đệ quy tìm tiếp khi giá trị xi được chọn còn cho phép chọn thêm một phần tử khác lớn hơn hoặc bằng nó mà không làm tổng vượt quá n. Còn ta in kết quả chỉ khi xi mang giá trị đúng bằng số thiếu hụt của tổng i-1 phần tử đầu so với n. 6. Vậy thủ tục Try(i) thử các giá trị cho xi có thể mô tả như sau: (để tổng quát cho i = 1, ta đặt x0 = 1 và t0 = 0). • Xét các giá trị của xi từ xi - 1 đến (n - ti-1) div 2, cập nhật ti := ti - 1 + xi và gọi đệ quy tìm tiếp. • Cuối cùng xét giá trị xi = n - ti-1 và in kết quả từ x1 đến xi. Input: file văn bản ANALYSE.INP chứa số nguyên dương n ≤ 30 Output: file văn bản ANALYSE.OUT ghi các cách phân tích số n. ANALYSE.INP ANALYSE.OUT 6 6 = 1+1+1+1+1+1 6 = 1+1+1+1+2 6 = 1+1+1+3 6 = 1+1+2+2 6 = 1+1+4 6 = 1+2+3 6 = 1+5 6 = 2+2+2 6 = 2+4 6 = 3+3 6 = 6 PROG03_4.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các cách phân tích số program Analyses; const max = 30; var n: Integer; x: array[0 max] of Integer; t: array[0 max] of Integer; procedure Init; {Khởi tạo} begin ReadLn(n); x[0] := 1; t[0] := 0; end; procedure PrintResult(k: Integer); var i: Integer; begin Write(n,' = '); for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], '+'); WriteLn(x[k]); end; procedure Try(i: Integer); var j: Integer; begin for j := x[i - 1] to (n - T[i - 1]) div 2 do {Trường hợp còn chọn tiếp xi+1} begin x[i] := j; Lê Minh Hoàng
18. Bài toán liệt kê \ 18 [ t[i] := t[i - 1] + j; Try(i + 1); end; x[i] := n - T[i - 1]; {Nếu xi là phần tử cuối thì nó bắt buộc phải là và in kết quả} PrintResult(i); end; begin Assign(Input, 'ANALYSE.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'ANALYSE.OUT'); Rewrite(Output); Init; Try(1); Close(Input); Close(Output); end. Bây giờ ta xét tiếp một ví dụ kinh điển của thuật toán quay lui: V. BÀI TOÁN XẾP HẬU Bài toán Xét bàn cờ tổng quát kích thước nxn. Một quân hậu trên bàn cờ có thể ăn được các quân khác nằm tại các ô cùng hàng, cùng cột hoặc cùng đường chéo. Hãy tìm các xếp n quân hậu trên bàn cờ sao cho không quân nào ăn quân nào. Ví dụ một cách xếp với n = 8: Hình 3: Xếp 8 quân hậu trên bàn cờ 8x8 Phân tích • Rõ ràng n quân hậu sẽ được đặt mỗi con một hàng vì hậu ăn được ngang, ta gọi quân hậu sẽ đặt ở hàng 1 là quân hậu 1, quân hậu ở hàng 2 là quân hậu 2 quân hậu ở hàng n là quân hậu n. Vậy một nghiệm của bài toán sẽ được biết khi ta tìm ra được vị trí cột của những quân hậu. • Nếu ta định hướng Đông (Phải), Tây (Trái), Nam (Dưới), Bắc (Trên) thì ta nhận thấy rằng: ♦ Một đường chéo theo hướng Đông Bắc - Tây Nam (ĐB-TN) bất kỳ sẽ đi qua một số ô, các ô đó có tính chất: Hàng + Cột = C (Const). Với mỗi đường chéo ĐB-TN ta có 1 hằng số C và với một hằng số C: 2 ≤ C ≤ 2n xác định duy nhất 1 đường chéo ĐB-TN vì vậy ta có thể đánh chỉ số cho các đường chéo ĐB- TN từ 2 đến 2n ♦ Một đường chéo theo hướng Đông Nam - Tây Bắc (ĐN-TB) bất kỳ sẽ đi qua một số ô, các ô đó có tính chất: Hàng - Cột = C (Const). Với mỗi đường chéo ĐN-TB ta có 1 hằng số C và với một hằng số C: 1 - n ≤ C ≤ n - 1 xác định duy nhất 1 đường chéo ĐN-TB vì vậy ta có thể đánh chỉ số cho các đường chéo ĐN- TB từ 1 - n đến n - 1. Lê Minh Hoàng
19. Bài toán liệt kê \ 19 [ 12345678 1 2 N 3 W E 4 5 S 6 7 8 Hình 4: Đường chéo ĐB-TN mang chỉ số 10 và đường chéo ĐN-TB mang chỉ số 0, ô chung (5, 5) Cài đặt: 1. Ta có 3 mảng logic để đánh dấu: • Mảng a[1 n]. ai = TRUE nếu như cột i còn tự do, ai = FALSE nếu như cột i đã bị một quân hậu khống chế • Mảng b[2 2n]. bi = TRUE nếu như đường chéo ĐB-TN thứ i còn tự do, bi = FALSE nếu như đường chéo đó đã bị một quân hậu khống chế. • Mảng c[1 - n n - 1]. ci = TRUE nếu như đường chéo ĐN-TB thứ i còn tự do, ci = FALSE nếu như đường chéo đó đã bị một quân hậu khống chế. • Ban đầu cả 3 mảng đánh dấu đều mang giá trị TRUE. (Các cột và đường chéo đều tự do) 2. Thuật toán quay lui: Xét tất cả các cột, thử đặt quân hậu 1 vào một cột, với mỗi cách đặt như vậy, xét tất cả các cách đặt quân hậu 2 không bị quân hậu 1 ăn, lại thử 1 cách đặt và xét tiếp các cách đặt quân hậu 3 Mỗi cách đặt được đến quân hậu n cho ta 1 nghiệm 3. Khi chọn vị trí cột j cho quân hậu thứ i, thì ta phải chọn ô(i, j) không bị các quân hậu đặt trước đó ăn, tức là phải chọn cột j còn tự do, đường chéo ĐB-TN (i+j) còn tự do, đường chéo ĐN-TB(i-j) còn tự do. Điều này có thể kiểm tra (aj = bi+j = ci-j = TRUE) 4. Khi thử đặt được quân hậu thứ i vào cột j, nếu đó là quân hậu cuối cùng (i = n) thì ta có một nghiệm. Nếu không: • Trước khi gọi đệ quy tìm cách đặt quân hậu thứ i + 1, ta đánh dấu cột và 2 đường chéo bị quân hậu vừa đặt khống chế (aj = bi+j = ci-j := FALSE) để các lần gọi đệ quy tiếp sau chọn cách đặt các quân hậu kế tiếp sẽ không chọn vào những ô nằm trên cột j và những đường chéo này nữa. • Sau khi gọi đệ quy tìm cách đặt quân hậu thứ i + 1, có nghĩa là sắp tới ta lại thử một cách đặt khác cho quân hậu thứ i, ta bỏ đánh dấu cột và 2 đường chéo bị quân hậu vừa thử đặt khống chế (aj = bi+j = ci-j := TRUE) tức là cột và 2 đường chéo đó lại thành tự do, bởi khi đã đặt quân hậu i sang vị trí khác rồi thì cột và 2 đường chéo đó hoàn toàn có thể gán cho một quân hậu khác Hãy xem lại trong các chương trình liệt kê chỉnh hợp không lặp và hoán vị về kỹ thuật đánh dấu. Ở đây chỉ khác với liệt kê hoán vị là: liệt kê hoán vị chỉ cần một mảng đánh dấu xem giá trị có tự do không, còn bài toán xếp hậu thì cần phải đánh dấu cả 3 thành phần: Cột, đường chéo ĐB-TN, đường chéo ĐN- TB. Trường hợp đơn giản hơn: Yêu cầu liệt kê các cách đặt n quân xe lên bàn cờ nxn sao cho không quân nào ăn quân nào chính là bài toán liệt kê hoán vị Input: file văn bản QUEENS.INP chứa số nguyên dương n ≤ 12 Output: file văn bản QUEENS.OUT, mỗi dòng ghi một cách đặt n quân hậu Lê Minh Hoàng
20. Bài toán liệt kê \ 20 [ QUEENS.INP QUEENS.OUT 5 (1, 1); (2, 3); (3, 5); (4, 2); (5, 4); (1, 1); (2, 4); (3, 2); (4, 5); (5, 3); (1, 2); (2, 4); (3, 1); (4, 3); (5, 5); (1, 2); (2, 5); (3, 3); (4, 1); (5, 4); (1, 3); (2, 1); (3, 4); (4, 2); (5, 5); (1, 3); (2, 5); (3, 2); (4, 4); (5, 1); (1, 4); (2, 1); (3, 3); (4, 5); (5, 2); (1, 4); (2, 2); (3, 5); (4, 3); (5, 1); (1, 5); (2, 2); (3, 4); (4, 1); (5, 3); (1, 5); (2, 3); (3, 1); (4, 4); (5, 2); PROG03_5.PAS * Thuật toán quay lui giải bài toán xếp hậu program n_Queens; const max = 12; var n: Integer; x: array[1 max] of Integer; a: array[1 max] of Boolean; b: array[2 2 * max] of Boolean; c: array[1 - max max - 1] of Boolean; procedure Init; begin ReadLn(n); FillChar(a, SizeOf(a), True); {Mọi cột đều tự do} FillChar(b, SizeOf(b), True); {Mọi đường chéo Đông Bắc - Tây Nam đều tự do} ――FillChar(c, SizeOf(c), True); {Mọi đường chéo Đông Nam - Tây Bắc đều tự do} end; procedure PrintResult; var i: Integer; begin for i := 1 to n do Write('(', i, ', ', x[i], '); '); WriteLn; end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách đặt quân hậu thứ i vào hàng i} var j: Integer; begin for j := 1 to n do if a[j] and b[i + j] and c[i - j] then {Chỉ xét những cột j mà ô (i, j) chưa bị khống chế} ――――――begin x[i] := j; {Thử đặt quân hậu i vào cột j} ――――――――if i = n then PrintResult else begin a[j] := False; b[i + j] := False; c[i - j] := False; {Đánh dấu} ―― Try(i + 1); {Tìm các cách đặt quân hậu thứ i + 1} ―――――― a[j] := True; b[i + j] := True; c[i - j] := True; {Bỏ đánh dấu} ―――― end; end; end; begin Assign(Input, 'QUEENS.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'QUEENS.OUT'); Rewrite(Output); Init; Lê Minh Hoàng
21. Bài toán liệt kê \ 21 [ Try(1); Close(Input); Close(Output); end. Tên gọi thuật toán quay lui, đứng trên phương diện cài đặt có thể nên gọi là kỹ thuật vét cạn bằng quay lui thì chính xác hơn, tuy nhiên đứng trên phương diện bài toán, nếu như ta coi công việc giải bài toán bằng cách xét tất cả các khả năng cũng là 1 cách giải thì tên gọi Thuật toán quay lui cũng không có gì trái logic. Xét hoạt động của chương trình trên cây tìm kiếm quay lui ta thấy tại bước thử chọn xi nó sẽ gọi đệ quy để tìm tiếp xi+1 có nghĩa là quá trình sẽ duyệt tiến sâu xuống phía dưới đến tận nút lá, sau khi đã duyệt hết các nhánh, tiến trình lùi lại thử áp đặt một giá trị khác cho xi, đó chính là nguồn gốc của tên gọi "thuật toán quay lui" Bài tập: 1. Một số chương trình trên xử lý không tốt trong trường hợp tầm thường (n = 0 hoặc k = 0), hãy khắc phục các lỗi đó 2. Viết chương trình liệt kê các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử 3. Cho hai số nguyên dương l, n. Hãy liệt kê các xâu nhị phân độ dài n có tính chất, bất kỳ hai xâu con nào độ dài l liền nhau đều khác nhau. 4. Với n = 5, k = 3, vẽ cây tìm kiếm quay lui của chương trình liệt kê tổ hợp chập k của tập {1, 2, , n} 5. Liệt kê tất cả các tập con của tập S gồm n số nguyên {S1, S2, , Sn} nhập vào từ bàn phím 6. Tương tự như bài 5 nhưng chỉ liệt kê các tập con có max - min ≤ T (T cho trước). 7. Một dãy (x1, x2, , xn) gọi là một hoán vị hoàn toàn của tập {1, 2, , n} nếu nó là một hoán vị và thoả mãn xi ≠ i với ∀i: 1 ≤ i ≤ n. Hãy viết chương trình liệt kê tất cả các hoán vị hoàn toàn của tập trên (n vào từ bàn phím). 8. Sửa lại thủ tục in kết quả (PrintResult) trong bài xếp hậu để có thể vẽ hình bàn cờ và các cách đặt hậu ra màn hình. 9. Bài toán mã đi tuần: Cho bàn cờ tổng quát kích thước nxn và một quân Mã, hãy chỉ ra một hành trình của quân Mã xuất phát từ ô đang đứng đi qua tất cả các ô còn lại của bàn cờ, mỗi ô đúng 1 lần. 10. Chuyển tất cả các bài tập trong bài trước đang viết bằng sinh tuần tự sang quay lui. 11. Xét sơ đồ giao thông gồm n nút giao thông đánh số từ 1 tới n và m đoạn đường nối chúng, mỗi đoạn đường nối 2 nút giao thông. Hãy nhập dữ liệu về mạng lưới giao thông đó, nhập số hiệu hai nút giao thông s và d. Hãy in ra tất cả các cách đi từ s tới d mà mỗi cách đi không được qua nút giao thông nào quá một lần. Lê Minh Hoàng
22. Bài toán liệt kê \ 22 [ §4. KỸ THUẬT NHÁNH CẬN I. BÀI TOÁN TỐI ƯU Một trong những bài toán đặt ra trong thực tế là việc tìm ra một nghiệm thoả mãn một số điều kiện nào đó, và nghiệm đó là tốt nhất theo một chỉ tiêu cụ thể, nghiên cứu lời giải các lớp bài toán tối ưu thuộc về lĩnh vực quy hoạch toán học. Tuy nhiên cũng cần phải nói rằng trong nhiều trường hợp chúng ta chưa thể xây dựng một thuật toán nào thực sự hữu hiệu để giải bài toán, mà cho tới nay việc tìm nghiệm của chúng vẫn phải dựa trên mô hình liệt kê toàn bộ các cấu hình có thể và đánh giá, tìm ra cấu hình tốt nhất. Việc liệt kê cấu hình có thể cài đặt bằng các phương pháp liệt kê: Sinh tuần tự và tìm kiếm quay lui. Dưới đây ta sẽ tìm hiểu phương pháp liệt kê bằng thuật toán quay lui để tìm nghiệm của bài toán tối ưu. II. SỰ BÙNG NỔ TỔ HỢP Mô hình thuật toán quay lui là tìm kiếm trên 1 cây phân cấp. Nếu giả thiết rằng ứng với mỗi nút tương ứng với một giá trị được chọn cho xi sẽ ứng với chỉ 2 nút tương ứng với 2 giá trị mà xi+1 có thể nhận thì cây n cấp sẽ có tới 2n nút lá, con số này lớn hơn rất nhiều lần so với dữ liệu đầu vào n. Chính vì vậy mà nếu như ta có thao tác thừa trong việc chọn xi thì sẽ phải trả giá rất lớn về chi phí thực thi thuật toán bởi quá trình tìm kiếm lòng vòng vô nghĩa trong các bước chọn kế tiếp xi+1, xi+2, Khi đó, một vấn đề đặt ra là trong quá trình liệt kê lời giải ta cần tận dụng những thông tin đã tìm được để loại bỏ sớm những phương án chắc chắn không phải tối ưu. Kỹ thuật đó gọi là kỹ thuật đánh giá nhánh cận trong tiến trình quay lui. III. MÔ HÌNH KỸ THUẬT NHÁNH CẬN Dựa trên mô hình thuật toán quay lui, ta xây dựng mô hình sau: procedure Init; begin ; end; {Thủ tục này thử chọn cho xi tất cả các giá trị nó có thể nhận} procedure Try(i: Integer); begin for (Mọi giá trị V có thể gán cho xi) do begin ; if (Việc thử trên vẫn còn hi vọng tìm ra cấu hình tốt hơn BESTCONFIG) then if (xi là phần tử cuối cùng trong cấu hình) then else begin ; Try(i + 1); {Gọi đệ quy, chọn tiếp xi+1 } ; end; end; end; begin Init; Try(1); end. Lê Minh Hoàng
23. Bài toán liệt kê \ 23 [ Kỹ thuật nhánh cận thêm vào cho thuật toán quay lui khả năng đánh giá theo từng bước, nếu tại bước thứ i, giá trị thử gán cho xi không có hi vọng tìm thấy cấu hình tốt hơn cấu hình BESTCONFIG thì thử giá trị khác ngay mà không cần phải gọi đệ quy tìm tiếp hay ghi nhận kết quả làm gì. Nghiệm của bài toán sẽ được làm tốt dần, bởi khi tìm ra một cấu hình mới (tốt hơn BESTCONFIG - tất nhiên), ta không in kết quả ngay mà sẽ cập nhật BESTCONFIG bằng cấu hình mới vừa tìm được IV. BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH Bài toán Cho n thành phố đánh số từ 1 đến n và m tuyến đường giao thông hai chiều giữa chúng, mạng lưới giao thông này được cho bởi bảng C cấp nxn, ở đây Cij = Cji = Chi phí đi đoạn đường trực tiếp từ thành phố i đến thành phố j. Giả thiết rằng Cii = 0 với ∀i, Cij = +∞ nếu không có đường trực tiếp từ thành phố i đến thành phố j. Một người du lịch xuất phát từ thành phố 1, muốn đi thăm tất cả các thành phố còn lại mỗi thành phố đúng 1 lần và cuối cùng quay lại thành phố 1. Hãy chỉ ra cho người đó hành trình với chi phí ít nhất. Bài toán đó gọi là bài toán người du lịch hay bài toán hành trình của một thương gia (Traveling Salesman) Cách giải 1) Hành trình cần tìm có dạng (x1 = 1, x2, , xn, xn+1 = 1) ở đây giữa xi và xi+1: hai thành phố liên tiếp trong hành trình phải có đường đi trực tiếp (Cij ≠ +∞) và ngoại trừ thành phố 1, không thành phố nào được lặp lại hai lần. Có nghĩa là dãy (x1, x2, , xn) lập thành 1 hoán vị của (1, 2, , n). 2) Duyệt quay lui: x2 có thể chọn một trong các thành phố mà x1 có đường đi tới (trực tiếp), với mỗi cách thử chọn x2 như vậy thì x3 có thể chọn một trong các thành phố mà x2 có đường đi tới (ngoài x1). Tổng quát: xi có thể chọn 1 trong các thành phố chưa đi qua mà từ xi-1 có đường đi trực tiếp tới.(1 ≤ i ≤ n) 3) Nhánh cận: Khởi tạo cấu hình BestConfig có chi phí = +∞. Với mỗi bước thử chọn xi xem chi phí đường đi cho tới lúc đó có < Chi phí của cấu hình BestConfig?, nếu không nhỏ hơn thì thử giá trị khác ngay bởi có đi tiếp cũng chỉ tốn thêm. Khi thử được một giá trị xn ta kiểm tra xem xn có đường đi trực tiếp về 1 không ? Nếu có đánh giá chi phí đi từ thành phố 1 đến thành phố xn cộng với chi phí từ xn đi trực tiếp về 1, nếu nhỏ hơn chi phí của đường đi BestConfig thì cập nhật lại BestConfig bằng cách đi mới. 4) Sau thủ tục tìm kiếm quay lui mà chi phí của BestConfig vẫn bằng +∞ thì có nghĩa là nó không tìm thấy một hành trình nào thoả mãn điều kiện đề bài để cập nhật BestConfig, bài toán không có lời giải, còn nếu chi phí của BestConfig < +∞ thì in ra cấu hình BestConfig - đó là hành trình ít tốn kém nhất tìm được Input: file văn bản TOURISM.INP • Dòng 1: Chứa số thành phố n (1 ≤ n ≤ 20) và số tuyến đường m trong mạng lưới giao thông • m dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi số hiệu hai thành phố có đường đi trực tiếp và chi phí đi trên quãng đường đó (chi phí này là số nguyên dương ≤ 100) Output: file văn bản TOURISM.OUT Ghi hành trình tìm được. Lê Minh Hoàng
24. Bài toán liệt kê \ 24 [ TOURISM.INP TOURISM.OUT 4 6 1->3->2->4->1 1 2 3 Cost: 6 3 1 3 2 2 1 2 1 4 1 2 3 1 2 2 4 2 113 4 4 4 3 4 PROG04_1.PAS * Kỹ thuật nhánh cận dùng cho bài toán người du lịch program TravellingSalesman; const max = 20; maxC = 20 * 100 + 1; {+∞} var C: array[1 max, 1 max] of Integer; {Ma trận chi phí} X, BestWay: array[1 max + 1] of Integer; {X để thử các khả năng, BestWay để ghi nhận nghiệm} T: array[1 max + 1] of Integer; {Ti để lưu chi phí đi từ X1 đến Xi} Free: array[1 max] of Boolean; {Free để đánh dấu, Freei= True nếu chưa đi qua tp i} m, n: Integer; MinSpending: Integer; {Chi phí hành trình tối ưu} procedure Enter; var i, j, k: Integer; begin ReadLn(n, m); for i := 1 to n do {Khởi tạo bảng chi phí ban đầu} for j := 1 to n do if i = j then C[i, j] := 0 else C[i, j] := maxC; for k := 1 to m do begin ReadLn(i, j, C[i, j]); C[j, i] := C[i, j]; {Chi phí như nhau trên 2 chiều} end; end; procedure Init; {Khởi tạo} begin FillChar(Free, n, True); Free[1] := False; {Các thành phố là chưa đi qua ngoại trừ thành phố 1} X[1] := 1; {Xuất phát từ thành phố 1} T[1] := 0; {Chi phí tại thành phố xuất phát là 0} MinSpending := maxC; end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn xi} var j: Integer; begin for j := 2 to n do {Thử các thành phố từ 2 đến n} if Free[j] then {Nếu gặp thành phố chưa đi qua} ―― begin X[i] := j; {Thử đi} T[i] := T[i - 1] + C[x[i - 1], j]; {Chi phí := Chi phí bước trước + chi phí đường đi trực tiếp} if T[i] < MinSpending then {Hiển nhiên nếu có điều này thì C[x[i - 1], j] < +∞ rồi} ―――――― if i < n then―{Nếu chưa đến được xn} ―― begin Lê Minh Hoàng
25. Bài toán liệt kê \ 25 [ Free[j] := False;― {Đánh dấu thành phố vừa thử} ―――――――― Try(i + 1); {Tìm các khả năng chọn xi+1} ―――――― Free[j] := True;― {Bỏ đánh dấu} ―――――――― end else if T[n] + C[x[n], 1] '); WriteLn(1); WriteLn('Cost: ', MinSpending); end; begin Assign(Input, 'TOURISM.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'TOURISM.OUT'); Rewrite(Output); Enter; Init; Try(2); PrintResult; Close(Input); Close(Output); end. Trên đây là một giải pháp nhánh cận còn rất thô sơ giải bài toán người du lịch, trên thực tế người ta còn có nhiều cách đánh giá nhánh cận chặt hơn nữa. Hãy tham khảo các tài liệu khác để tìm hiểu về những phương pháp đó. V. DÃY ABC Cho trước một số nguyên dương N (N ≤ 100), hãy tìm một xâu chỉ gồm các ký tự A, B, C thoả mãn 3 điều kiện: • Có độ dài N • Hai đoạn con bất kỳ liền nhau đều khác nhau (đoạn con là một dãy ký tự liên tiếp của xâu) • Có ít ký tự C nhất. Cách giải: Không trình bày, đề nghị tự xem chương trình để hiểu, chỉ chú thích kỹ thuật nhánh cận như sau: Nếu dãy X1X2 Xn thoả mãn 2 đoạn con bất kỳ liền nhau đều khác nhau, thì trong 4 ký tự liên tiếp bất kỳ bao giờ cũng phải có 1 ký tự "C". Như vậy với một dãy con gồm k ký tự liên tiếp của dãy X thì số ký tự C trong dãy con đó bắt buộc phải ≥ k div 4. Tại bước thử chọn Xi, nếu ta đã có Ti ký tự "C" trong đoạn đã chọn từ X1 đến Xi, thì cho dù các bước đệ quy tiếp sau làm tốt như thế nào chăng nữa, số ký tự "C" sẽ phải chọn thêm bao giờ cũng ≥ (n - i) div 4. Tức là nếu theo phương án chọn Xi như thế này thì số ký tự "C" trong dãy kết quả (khi chọn đến Xn) cho dù có làm tốt đến đâu cũng ≥ Ti + (n - i) div 4. Ta dùng con số này để đánh giá nhánh cận, nếu nó nhiều hơn số ký tự "C" trong BestConfig thì chắc chắn có làm tiếp cũng chỉ được một cấu hình tồi tệ hơn, ta bỏ qua ngay cách chọn này và thử phương án khác. Lê Minh Hoàng
26. Bài toán liệt kê \ 26 [ Input: file văn bản ABC.INP chứa số nguyên dương n ≤ 100 Output: file văn bản ABC.OUT ghi xâu tìm được ABC.INP ABC.OUT 10 ABACABCBAB "C" Letter Count : 2 PROG04_2.PAS * Dãy ABC program ABC_STRING; const max = 100; var N, MinC: Integer; X, Best: array[1 max] of 'A' 'C'; T: array[0 max] of Integer; {Ti cho biết số ký tự "C" trong đoạn từ X1 đến Xi} {Hàm Same(i, l) cho biết xâu gồm l ký tự kết thúc tại Xi có trùng với xâu l ký tự liền trước nó không ?} function Same(i, l: Integer): Boolean; var j, k: Integer; begin j := i - l; {j là vị trí cuối đoạn liền trước đoạn đó} for k := 0 to l - 1 do if X[i - k] <> X[j - k] then begin Same := False; Exit; end; Same := True; end; {Hàm Check(i) cho biết Xi có làm hỏng tính không lặp của dãy X1X2 Xi hay không} function Check(i: Integer): Boolean; var l: Integer; begin for l := 1 to i div 2 do―{Thử các độ dài l} if Same(i, l) then―{Nếu có xâu độ dài l kết thúc bởi Xi bị trùng với xâu liền trước} ―――― begin Check := False; Exit; end; Check := True; end; {Giữ lại kết quả vừa tìm được vào BestConfig (MinC và mảng Best)} procedure KeepResult; begin MinC := T[N]; Best := X; end; {Thuật toán quay lui có nhánh cận} procedure Try(i: Integer); {Thử các giá trị có thể của Xi} var j: 'A' 'C'; begin for j := 'A' to 'C' do {Xét tất cả các giá trị} begin X[i] := j; if Check(i) then {Nếu thêm giá trị đó vào không làm hỏng tính không lặp } ――――――――begin if j = 'C' then T[i] := T[i - 1] + 1 {Tính Ti qua Ti - 1} ―――――――― else T[i] := T[i - 1]; Lê Minh Hoàng
27. Bài toán liệt kê \ 27 [ if T[i] + (N - i) div 4 3 giờ). Trong khi đó khi N = 100, với chương trình trên chỉ chạy hết hơn 3 giây cho kết quả là xâu 27 ký tự 'C'. Nói chung, ít khi ta gặp bài toán mà chỉ cần sử dụng một thuật toán, một mô hình kỹ thuật cài đặt là có thể giải được. Thông thường các bài toán thực tế đòi hỏi phải có sự tổng hợp, pha trộn nhiều thuật toán, nhiều kỹ thuật mới có được một lời giải tốt. Không được lạm dụng một kỹ thuật nào và cũng không xem thường một phương pháp nào khi bắt tay vào giải một bài toán tin học. Thuật toán quay lui cũng không phải là ngoại lệ, ta phải biết phối hợp một cách uyển chuyển với các thuật toán khác thì khi đó nó mới thực sự là một công cụ mạnh. Bài tập: 1. Một dãy dấu ngoặc hợp lệ là một dãy các ký tự "(" và ")" được định nghĩa như sau: i. Dãy rỗng là một dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu 0 ii. Nếu A là dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu k thì (A) là dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu k + 1 iii. Nếu A và B là hay dãy dấu ngoặc hợp lệ với độ sâu lần lượt là p và q thì AB là dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu là max(p, q) Độ dài của một dãy ngoặc là tổng số ký tự "(" và ")" Ví dụ: Có 5 dãy dấu ngoặc hợp lệ độ dài 8 và độ sâu 3: 1. ((()())) 2. ((())()) Lê Minh Hoàng
28. Bài toán liệt kê \ 28 [ 3. ((()))() 4. (()(())) 5. ()((())) Bài toán đặt ra là khi cho biết trước hai số nguyên dương n và k. Hãy liệt kê hết các dãy ngoặc hợp lệ có độ dài là n và độ sâu là k (làm được với n càng lớn càng tốt). 2. Cho một bãi mìn kích thước mxn ô vuông, trên một ô có thể có chứa một quả mìn hoặc không, để biểu diễn bản đồ mìn đó, người ta có hai cách: • Cách 1: dùng bản đồ đánh dấu: sử dụng một lưới ô vuông kích thước mxn, trên đó tại ô (i, j) ghi số 1 nếu ô đó có mìn, ghi số 0 nếu ô đó không có mìn • Cách 2: dùng bản đồ mật độ: sử dụng một lưới ô vuông kích thước mxn, trên đó tại ô (i, j) ghi một số trong khoảng từ 0 đến 8 cho biết tổng số mìn trong các ô lân cận với ô (i, j) (ô lân cận với ô (i, j) là ô có chung với ô (i, j) ít nhất 1 đỉnh). Giả thiết rằng hai bản đồ được ghi chính xác theo tình trạng mìn trên hiện trường. Ví dụ: Bản đồ đánh dấu và bản đồ mật độ tương ứng: (m = n = 10) 1010101000 1312131222 0100010011 2334332222 0010100001 2445332353 0111100110 2466322243 0111000101 2365524351 0001010100 3563425353 1110011011 2333535442 1001010101 2543557563 0010111110 2313445332 1000010000 0212334321 Về nguyên tắc, lúc cài bãi mìn phải vẽ cả bản đồ đánh dấu và bản đồ mật độ, tuy nhiên sau một thời gian dài, khi người ta muốn gỡ mìn ra khỏi bãi thì vấn đề hết sức khó khăn bởi bản đồ đánh dấu đã bị thất lạc !!. Công việc của các lập trình viên là: Từ bản đồ mật độ, hãy tái tạo lại bản đồ đánh dấu của bãi mìn. Dữ liệu: Vào từ file văn bản MINE.INP, các số trên 1 dòng cách nhau ít nhất 1 dấu cách • Dòng 1: Ghi 2 số nguyên dương m, n (2 ≤ m, n ≤ 30) • m dòng tiếp theo, dòng thứ i ghi n số trên hàng i của bản đồ mật độ theo đúng thứ tự từ trái qua phải. Kết quả: Ghi ra file văn bản MINE.OUT, các số trên 1 dòng ghi cách nhau ít nhất 1 dấu cách • Dòng 1: Ghi tổng số lượng mìn trong bãi • m dòng tiếp theo, dòng thứ i ghi n số trên hàng i của bản đồ đánh dấu theo đúng thứ tự từ trái qua phải. Ví dụ: MINE.INP MINE.OUT 10 15 80 0 3 2 3 3 3 5 3 4 4 5 4 4 4 3 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 5 5 4 5 4 7 7 7 5 6 6 5 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 4 3 5 4 3 5 4 4 4 4 3 4 5 5 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 4 2 4 4 5 4 2 4 4 3 2 3 5 4 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 3 2 5 4 4 2 2 3 2 3 3 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 2 3 3 5 3 2 4 4 3 4 2 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 3 2 4 3 3 2 3 4 6 6 5 3 3 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 6 4 5 2 4 1 3 3 5 5 5 6 4 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 4 6 5 7 3 5 3 5 5 6 5 4 4 4 3 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 4 4 4 2 3 1 2 2 2 3 3 3 4 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 Lê Minh Hoàng
29. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 1 [ MỤC LỤC §0. CÁC BƯỚC CƠ BẢN KHI TIẾN HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIN HỌC 3 I. XÁC ĐỊNH BÀI TOÁN 3 II. TÌM CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN BÀI TOÁN 3 III. TÌM THUẬT TOÁN 4 IV. LẬP TRÌNH 5 V. KIỂM THỬ 6 VI. TỐI ƯU CHƯƠNG TRÌNH 6 §1. PHÂN TÍCH THỜI GIAN THỰC HIỆN GIẢI THUẬT 8 I. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA GIẢI THUẬT 8 II. XÁC ĐỊNH ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA GIẢI THUẬT 8 V. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN VỚI TÌNH TRẠNG DỮ LIỆU VÀO 10 VI. CHI PHÍ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN 11 §2. ĐỆ QUY VÀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY 12 I. KHÁI NIỆM VỀ ĐỆ QUY 12 II. GIẢI THUẬT ĐỆ QUY 12 III. VÍ DỤ VỀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY 12 IV. HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY 15 §3. CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN DANH SÁCH 17 I. KHÁI NIỆM DANH SÁCH 17 II. BIỂU DIỄN DANH SÁCH TRONG MÁY TÍNH 17 §4. NGĂN XẾP VÀ HÀNG ĐỢI 21 I. NGĂN XẾP (STACK) 21 II. HÀNG ĐỢI (QUEUE) 23 §5. CÂY (TREE) 27 I. ĐỊNH NGHĨA 27 II. CÂY NHỊ PHÂN (BINARY TREE) 28 III. BIỂU DIỄN CÂY NHỊ PHÂN 29 IV. PHÉP DUYỆT CÂY NHỊ PHÂN 30 V. CÂY K_PHÂN 32 VI. CÂY TỔNG QUÁT 32 §6. KÝ PHÁP TIỀN TỐ, TRUNG TỐ VÀ HẬU TỐ 35 I. BIỂU THỨC DƯỚI DẠNG CÂY NHỊ PHÂN 35 II. CÁC KÝ PHÁP CHO CÙNG MỘT BIỂU THỨC 35 III. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 35 IV. CHUYỂN TỪ DẠNG TRUNG TỐ SANG DẠNG HẬU TỐ 38 V. XÂY DỰNG CÂY NHỊ PHÂN BIỂU DIỄN BIỂU THỨC 41 §7. SẮP XẾP (SORTING) 42 I. BÀI TOÁN SẮP XẾP 42 II. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU CHỌN (SELECTION SORT) 44 III. THUẬT TOÁN SẮP XẾP NỔI BỌT (BUBBLE SORT) 44 IV. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU CHÈN 45 V. SHELL SORT 46 Lê Minh Hoàng
30. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 2 [ VI. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU PHÂN ĐOẠN (QUICK SORT) 47 VII. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU VUN ĐỐNG (HEAP SORT) 49 VIII. SẮP XẾP BẰNG PHÉP ĐẾM PHÂN PHỐI (DISTRIBUTION COUNTING) 52 IX. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA THUẬT TOÁN SẮP XẾP (STABILITY) 53 X. THUẬT TOÁN SẮP XẾP BẰNG CƠ SỐ (RADIX SORT) 53 XI. THUẬT TOÁN SẮP XẾP TRỘN (MERGE SORT) 57 XII. CÀI ĐẶT 59 XIII. NHỮNG NHẬN XÉT CUỐI CÙNG 68 §8. TÌM KIẾM (SEARCHING) 70 I. BÀI TOÁN TÌM KIẾM 70 II. TÌM KIẾM TUẦN TỰ (SEQUENTIAL SEARCH) 70 III. TÌM KIẾM NHỊ PHÂN (BINARY SEARCH) 70 IV. CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM (BINARY SEARCH TREE - BST) 71 V. PHÉP BĂM (HASH) 74 VI. KHOÁ SỐ VỚI BÀI TOÁN TÌM KIẾM 75 VII. CÂY TÌM KIẾM SỐ HỌC (DIGITAL SEARCH TREE - DST) 75 VIII. CÂY TÌM KIẾM CƠ SỐ (RADIX SEARCH TREE - RST) 78 IX. NHỮNG NHẬN XÉT CUỐI CÙNG 82 Lê Minh Hoàng
31. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 3 [ §0. CÁC BƯỚC CƠ BẢN KHI TIẾN HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIN HỌC I. XÁC ĐỊNH BÀI TOÁN Input → Process → Output (Dữ liệu vào → Xử lý → Kết quả ra) Việc xác định bài toán tức là phải xác định xem ta phải giải quyết vấn đề gì?, với giả thiết nào đã cho và lời giải cần phải đạt những yêu cầu nào. Khác với bài toán thuần tuý toán học chỉ cần xác định rõ giả thiết và kết luận chứ không cần xác định yêu cầu về lời giải, đôi khi những bài toán tin học ứng dụng trong thực tế chỉ cần tìm lời giải tốt tới mức nào đó, thậm chí là tồi ở mức chấp nhận được. Bởi lời giải tốt nhất đòi hỏi quá nhiều thời gian và chi phí. Ví dụ: Khi cài đặt các hàm số phức tạp trên máy tính. Nếu tính bằng cách khai triển chuỗi vô hạn thì độ chính xác cao hơn nhưng thời gian chậm hơn hàng tỉ lần so với phương pháp xấp xỉ. Trên thực tế việc tính toán luôn luôn cho phép chấp nhận một sai số nào đó nên các hàm số trong máy tính đều được tính bằng phương pháp xấp xỉ của giải tích số Xác định đúng yêu cầu bài toán là rất quan trọng bởi nó ảnh hưởng tới cách thức giải quyết và chất lượng của lời giải. Một bài toán thực tế thường cho bởi những thông tin khá mơ hồ và hình thức, ta phải phát biểu lại một cách chính xác và chặt chẽ để hiểu đúng bài toán. Ví dụ: • Bài toán: Một dự án có n người tham gia thảo luận, họ muốn chia thành các nhóm và mỗi nhóm thảo luận riêng về một phần của dự án. Nhóm có bao nhiêu người thì được trình lên bấy nhiêu ý kiến. Nếu lấy ở mỗi nhóm một ý kiến đem ghép lại thì được một bộ ý kiến triển khai dự án. Hãy tìm cách chia để số bộ ý kiến cuối cùng thu được là lớn nhất. • Phát biểu lại: Cho một số nguyên dương n, tìm các phân tích n thành tổng các số nguyên dương sao cho tích của các số đó là lớn nhất. Trên thực tế, ta nên xét một vài trường hợp cụ thể để thông qua đó hiểu được bài toán rõ hơn và thấy được các thao tác cần phải tiến hành. Đối với những bài toán đơn giản, đôi khi chỉ cần qua ví dụ là ta đã có thể đưa về một bài toán quen thuộc để giải. II. TÌM CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN BÀI TOÁN Khi giải một bài toán, ta cần phải định nghĩa tập hợp dữ liệu để biểu diễn tình trạng cụ thể. Việc lựa chọn này tuỳ thuộc vào vấn đề cần giải quyết và những thao tác sẽ tiến hành trên dữ liệu vào. Có những thuật toán chỉ thích ứng với một cách tổ chức dữ liệu nhất định, đối với những cách tổ chức dữ liệu khác thì sẽ kém hiệu quả hoặc không thể thực hiện được. Chính vì vậy nên bước xây dựng cấu trúc dữ liệu không thể tách rời bước tìm kiếm thuật toán giải quyết vấn đề. Các tiêu chuẩn khi lựa chọn cấu trúc dữ liệu • Cấu trúc dữ liệu trước hết phải biểu diễn được đầy đủ các thông tin nhập và xuất của bài toán • Cấu trúc dữ liệu phải phù hợp với các thao tác của thuật toán mà ta lựa chọn để giải quyết bài toán. • Cấu trúc dữ liệu phải cài đặt được trên máy tính với ngôn ngữ lập trình đang sử dụng Đối với một số bài toán, trước khi tổ chức dữ liệu ta phải viết một đoạn chương trình nhỏ để khảo sát xem dữ liệu cần lưu trữ lớn tới mức độ nào. Lê Minh Hoàng
32. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 4 [ III. TÌM THUẬT TOÁN Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác định một dãy thao tác trên cấu trúc dữ liệu sao cho: Với một bộ dữ liệu vào, sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đã chỉ ra, ta đạt được mục tiêu đã định. Các đặc trưng của thuật toán 1. Tính đơn định Ở mỗi bước của thuật toán, các thao tác phải hết sức rõ ràng, không gây nên sự nhập nhằng, lộn xộn, tuỳ tiện, đa nghĩa. Thực hiện đúng các bước của thuật toán thì với một dữ liệu vào, chỉ cho duy nhất một kết quả ra. 2. Tính dừng Thuật toán không được rơi vào quá trình vô hạn, phải dừng lại và cho kết quả sau một số hữu hạn bước. 3. Tính đúng Sau khi thực hiện tất cả các bước của thuật toán theo đúng quá trình đã định, ta phải được kết quả mong muốn với mọi bộ dữ liệu đầu vào. Kết quả đó được kiểm chứng bằng yêu cầu bài toán. 4. Tính phổ dụng Thuật toán phải dễ sửa đổi để thích ứng được với bất kỳ bài toán nào trong một lớp các bài toán và có thể làm việc trên các dữ liệu khác nhau. 5. Tính khả thi a) Kích thước phải đủ nhỏ: Ví dụ: Một thuật toán sẽ có tính hiệu quả bằng 0 nếu lượng bộ nhớ mà nó yêu cầu vượt quá khả năng lưu trữ của hệ thống máy tính. b) Thuật toán phải được máy tính thực hiện trong thời gian cho phép, điều này khác với lời giải toán (Chỉ cần chứng minh là kết thúc sau hữu hạn bước). Ví dụ như xếp thời khoá biểu cho một học kỳ thì không thể cho máy tính chạy tới học kỳ sau mới ra được. c) Phải dễ hiểu và dễ cài đặt. Ví dụ: Input: 2 số nguyên tự nhiên a và b không đồng thời bằng 0 Output: Ước số chung lớn nhất của a và b Thuật toán sẽ tiến hành được mô tả như sau: (Thuật toán Euclide) Bước 1 (Input): Nhập a và b: Số tự nhiên Bước 2: Nếu b ≠ 0 thì chuyển sang bước 3, nếu không thì bỏ qua bước 3, đi làm bước 4 Bước 3: Đặt r := a mod b; Đặt a := b; Đặt b := r; Quay trở lại bước 2. Bước 4 (Output): Kết luận ước số chung lớn nhất phải tìm là giá trị của a. Kết thúc thuật toán. Lê Minh Hoàng
33. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 5 [ begin Input: a, b No b > 0 ? Output a; Yes r := a mod b; a := b; b := r; end Hình 1: Lưu đồ thuật giải • Khi mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ tự nhiên, ta không cần phải quá chi tiết các bước và tiến trình thực hiện mà chỉ cần mô tả một cách hình thức đủ để chuyển thành ngôn ngữ lập trình. Viết sơ đồ các thuật toán đệ quy là một ví dụ. • Đối với những thuật toán phức tạp và nặng về tính toán, các bước và các công thức nên mô tả một cách tường minh và chú thích rõ ràng để khi lập trình ta có thể nhanh chóng tra cứu. • Đối với những thuật toán kinh điển thì phải thuộc. Khi giải một bài toán lớn trong một thời gian giới hạn, ta chỉ phải thiết kế tổng thể còn những chỗ đã thuộc thì cứ việc lắp ráp vào. Tính đúng đắn của những mô-đun đã thuộc ta không cần phải quan tâm nữa mà tập trung giải quyết các phần khác. IV. LẬP TRÌNH Sau khi đã có thuật toán, ta phải tiến hành lập trình thể hiện thuật toán đó. Muốn lập trình đạt hiệu quả cao, cần phải có kỹ thuật lập trình tốt. Kỹ thuật lập trình tốt thể hiện ở kỹ năng viết chương trình, khả năng gỡ rối và thao tác nhanh. Lập trình tốt không phải chỉ cần nắm vững ngôn ngữ lập trình là đủ, phải biết cách viết chương trình uyển chuyển, khôn khéo và phát triển dần dần để chuyển các ý tưởng ra thành chương trình hoàn chỉnh. Kinh nghiệm cho thấy một thuật toán hay nhưng do cài đặt vụng về nên khi chạy lại cho kết quả sai hoặc tốc độ chậm. Thông thường, ta không nên cụ thể hoá ngay toàn bộ chương trình mà nên tiến hành theo phương pháp tinh chế từng bước (Stepwise refinement): • Ban đầu, chương trình được thể hiện bằng ngôn ngữ tự nhiên, thể hiện thuật toán với các bước tổng thể, mỗi bước nêu lên một công việc phải thực hiện. • Một công việc đơn giản hoặc là một đoạn chương trình đã được học thuộc thì ta tiến hành viết mã lệnh ngay bằng ngôn ngữ lập trình. • Một công việc phức tạp thì ta lại chia ra thành những công việc nhỏ hơn để lại tiếp tục với những công việc nhỏ hơn đó. Trong quá trình tinh chế từng bước, ta phải đưa ra những biểu diễn dữ liệu. Như vậy cùng với sự tinh chế các công việc, dữ liệu cũng được tinh chế dần, có cấu trúc hơn, thể hiện rõ hơn mối liên hệ giữa các dữ liệu. Lê Minh Hoàng
34. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 6 [ Phương pháp tinh chế từng bước là một thể hiện của tư duy giải quyết vấn đề từ trên xuống, giúp cho người lập trình có được một định hướng thể hiện trong phong cách viết chương trình. Tránh việc mò mẫm, xoá đi viết lại nhiều lần, biến chương trình thành tờ giấy nháp. V. KIỂM THỬ 1. Chạy thử và tìm lỗi Chương trình là do con người viết ra, mà đã là con người thì ai cũng có thể nhầm lẫn. Một chương trình viết xong chưa chắc đã chạy được ngay trên máy tính để cho ra kết quả mong muốn. Kỹ năng tìm lỗi, sửa lỗi, điều chỉnh lại chương trình cũng là một kỹ năng quan trọng của người lập trình. Kỹ năng này chỉ có được bằng kinh nghiệm tìm và sửa chữa lỗi của chính mình. Có ba loại lỗi: • Lỗi cú pháp: Lỗi này hay gặp nhất nhưng lại dễ sửa nhất, chỉ cần nắm vững ngôn ngữ lập trình là đủ. Một người được coi là không biết lập trình nếu không biết sửa lỗi cú pháp. • Lỗi cài đặt: Việc cài đặt thể hiện không đúng thuật toán đã định, đối với lỗi này thì phải xem lại tổng thể chương trình, kết hợp với các chức năng gỡ rối để sửa lại cho đúng. • Lỗi thuật toán: Lỗi này ít gặp nhất nhưng nguy hiểm nhất, nếu nhẹ thì phải điều chỉnh lại thuật toán, nếu nặng thì có khi phải loại bỏ hoàn toàn thuật toán sai và làm lại từ đầu. 2. Xây dựng các bộ test Có nhiều chương trình rất khó kiểm tra tính đúng đắn. Nhất là khi ta không biết kết quả đúng là thế nào?. Vì vậy nếu như chương trình vẫn chạy ra kết quả (không biết đúng sai thế nào) thì việc tìm lỗi rất khó khăn. Khi đó ta nên làm các bộ test để thử chương trình của mình. Các bộ test nên đặt trong các file văn bản, bởi việc tạo một file văn bản rất nhanh và mỗi lần chạy thử chỉ cần thay tên file dữ liệu vào là xong, không cần gõ lại bộ test từ bàn phím. Kinh nghiệm làm các bộ test là: • Bắt đầu với một bộ test nhỏ, đơn giản, làm bằng tay cũng có được đáp số để so sánh với kết quả chương trình chạy ra. • Tiếp theo vẫn là các bộ test nhỏ, nhưng chứa các giá trị đặc biệt hoặc tầm thường. Kinh nghiệm cho thấy đây là những test dễ sai nhất. • Các bộ test phải đa dạng, tránh sự lặp đi lặp lại các bộ test tương tự. • Có một vài test lớn chỉ để kiểm tra tính chịu đựng của chương trình mà thôi. Kết quả có đúng hay không thì trong đa số trường hợp, ta không thể kiểm chứng được với test này. Lưu ý rằng chương trình chạy qua được hết các test không có nghĩa là chương trình đó đã đúng. Bởi có thể ta chưa xây dựng được bộ test làm cho chương trình chạy sai. Vì vậy nếu có thể, ta nên tìm cách chứng minh tính đúng đắn của thuật toán và chương trình, điều này thường rất khó. VI. TỐI ƯU CHƯƠNG TRÌNH Một chương trình đã chạy đúng không có nghĩa là việc lập trình đã xong, ta phải sửa đổi lại một vài chi tiết để chương trình có thể chạy nhanh hơn, hiệu quả hơn. Thông thường, trước khi kiểm thử thì ta nên đặt mục tiêu viết chương trình sao cho đơn giản, miễn sao chạy ra kết quả đúng là được, sau đó khi tối ưu chương trình, ta xem lại những chỗ nào viết chưa tốt thì tối ưu lại mã lệnh để chương trình ngắn hơn, chạy nhanh hơn. Không nên viết tới đâu tối ưu mã đến đó, bởi chương trình có mã lệnh tối ưu thường phức tạp và khó kiểm soát. Ta nên tối ưu chương trình theo các tiêu chuẩn sau: Lê Minh Hoàng
35. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 7 [ 1. Tính tin cậy Chương trình phải chạy đúng như dự định, mô tả đúng một giải thuật đúng. Thông thường khi viết chương trình, ta luôn có thói quen kiểm tra tính đúng đắn của các bước mỗi khi có thể. 2. Tính uyển chuyển Chương trình phải dễ sửa đổi. Bởi ít có chương trình nào viết ra đã hoàn hảo ngay được mà vẫn cần phải sửa đổi lại. Chương trình viết dễ sửa đổi sẽ làm giảm bớt công sức của lập trình viên khi phát triển chương trình. 3. Tính trong sáng Chương trình viết ra phải dễ đọc dễ hiểu, để sau một thời gian dài, khi đọc lại còn hiểu mình làm cái gì?. Để nếu có điều kiện thì còn có thể sửa sai (nếu phát hiện lỗi mới), cải tiến hay biến đổi để được chương trình giải quyết bài toán khác. Tính trong sáng của chương trình phụ thuộc rất nhiều vào công cụ lập trình và phong cách lập trình. 4. Tính hữu hiệu Chương trình phải chạy nhanh và ít tốn bộ nhớ, tức là tiết kiệm được cả về không gian và thời gian. Để có một chương trình hữu hiệu, cần phải có giải thuật tốt và những tiểu xảo khi lập trình. Tuy nhiên, việc áp dụng quá nhiều tiểu xảo có thể khiến chương trình trở nên rối rắm, khó hiểu khi sửa đổi. Tiêu chuẩn hữu hiệu nên dừng lại ở mức chấp nhận được, không quan trọng bằng ba tiêu chuẩn trên. Bởi phần cứng phát triển rất nhanh, yêu cầu hữu hiệu không cần phải đặt ra quá nặng. Từ những phân tích ở trên, chúng ta nhận thấy rằng việc làm ra một chương trình đòi hỏi rất nhiều công đoạn và tiêu tốn khá nhiều công sức. Chỉ một công đoạn không hợp lý sẽ làm tăng chi phí viết chương trình. Nghĩ ra cách giải quyết vấn đề đã khó, biến ý tưởng đó thành hiện thực cũng không dễ chút nào. Những cấu trúc dữ liệu và giải thuật đề cập tới trong chuyên đề này là những kiến thức rất phổ thông, một người học lập trình không sớm thì muộn cũng phải biết tới. Chỉ hy vọng rằng khi học xong chuyên đề này, qua những cấu trúc dữ liệu và giải thuật hết sức mẫu mực, chúng ta rút ra được bài học kinh nghiệm: Đừng bao giờ viết chương trình khi mà chưa suy xét kỹ về giải thuật và những dữ liệu cần thao tác, bởi như vậy ta dễ mắc phải hai sai lầm trầm trọng: hoặc là sai về giải thuật, hoặc là giải thuật không thể triển khai nổi trên một cấu trúc dữ liệu không phù hợp. Chỉ cần mắc một trong hai lỗi đó thôi thì nguy cơ sụp đổ toàn bộ chương trình là hoàn toàn có thể, càng cố chữa càng bị rối, khả năng hầu như chắc chắn là phải làm lại từ đầu(*). (*) Tất nhiên, cẩn thận đến đâu thì cũng có xác suất rủi ro nhất định, ta hiểu được mức độ tai hại của hai lỗi này để hạn chế nó càng nhiều càng tốt Lê Minh Hoàng
36. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 8 [ §1. PHÂN TÍCH THỜI GIAN THỰC HIỆN GIẢI THUẬT I. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA GIẢI THUẬT Với một bài toán không chỉ có một giải thuật. Chọn một giải thuật đưa tới kết quả nhanh nhất là một đòi hỏi thực tế. Như vậy cần có một căn cứ nào đó để nói rằng giải thuật này nhanh hơn giải thuật kia ?. Thời gian thực hiện một giải thuật bằng chương trình máy tính phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố. Một yếu tố cần chú ý nhất đó là kích thước của dữ liệu đưa vào. Dữ liệu càng lớn thì thời gian xử lý càng chậm, chẳng hạn như thời gian sắp xếp một dãy số phải chịu ảnh hưởng của số lượng các số thuộc dãy số đó. Nếu gọi n là kích thước dữ liệu đưa vào thì thời gian thực hiện của một giải thuật có thể biểu diễn một cách tương đối như một hàm của n: T(n). Phần cứng máy tính, ngôn ngữ viết chương trình và chương trình dịch ngôn ngữ ấy đều ảnh hưởng tới thời gian thực hiện. Những yếu tố này không giống nhau trên các loại máy, vì vậy không thể dựa vào chúng khi xác định T(n). Tức là T(n) không thể biểu diễn bằng đơn vị thời gian giờ, phút, giây được. Tuy nhiên, không phải vì thế mà không thể so sánh được các giải thuật về mặt tốc độ. Nếu 2 như thời gian thực hiện một giải thuật là T1(n) = n và thời gian thực hiện của một giải thuật khác là T2(n) = 100n thì khi n đủ lớn, thời gian thực hiện của giải thuật T2 rõ ràng nhanh hơn giải thuật T1. Khi đó, nếu nói rằng thời gian thực hiện giải thuật tỉ lệ thuận với n hay tỉ lệ thuận với n2 cũng cho ta một cách đánh giá tương đối về tốc độ thực hiện của giải thuật đó khi n khá lớn. Cách đánh giá thời gian thực hiện giải thuật độc lập với máy tính và các yếu tố liên quan tới máy tính như vậy sẽ dẫn tới khái niệm gọi là độ phức tạp tính toán của giải thuật. Cho f và g là hai hàm xác định dương với mọi n. Hàm f(n) được gọi là O(g(n)) nếu tồn tại một hằng số c > 0 và một giá trị n0 sao cho: f(n) ≤ c.g(n) với ∀ n ≥ n0 Nghĩa là nếu xét những giá trị n ≥ n0 thì hàm f(n) sẽ bị chặn trên bởi một hằng số nhân với g(n). Khi đó, nếu f(n) là thời gian thực hiện của một giải thuật thì ta nói giải thuật đó có cấp là g(n) (hay độ phức tạp tính toán là O(g(n))). II. XÁC ĐỊNH ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA GIẢI THUẬT Việc xác định độ phức tạp tính toán của một giải thuật bất kỳ có thể rất phức tạp. Tuy nhiên, trong thực tế, đối với một số giải thuật ta có thể phân tích bằng một số quy tắc đơn giản: 1. Quy tắc tổng Nếu đoạn chương trình P1 có thời gian thực hiện T1(n) =O(f(n)) và đoạn chương trình P2 có thời gian thực hiện là T2(n) = O(g(n)) thì thời gian thực hiện P1 rồi đến P2 tiếp theo sẽ là T1(n) + T2(n) = O(max(f(n), g(n))) Chứng minh: T1(n) = O(f(n)) nên ∃ n1 và c1để T1(n) ≤ c1.f(n) với ∀ n ≥ n1. T2(n) = O(g(n)) nên ∃ n2 và c2 để T2(n) ≤ c2.g(n) với ∀ n ≥ n2. Chọn n0 = max(n1, n2) và c = max(c1, c2) ta có: Với ∀ n ≥ n0: T1(n) + T2(n) ≤ c1.f(n) + c2.g(n) ≤ c.f(n) + c.g(n) ≤ c.(f(n) + g(n)) ≤ 2c.(max(f(n), g(n))). Vậy T1(n) + T2(n) = O(max(f(n), g(n))). Lê Minh Hoàng
37. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 9 [ 2. Quy tắc nhân Nếu đoạn chương trình P có thời gian thực hiện là T(n) = O(f(n)). Khi đó, nếu thực hiện k(n) lần đoạn chương trình P với k(n) = O(g(n)) thì độ phức tạp tính toán sẽ là O(g(n).f(n)) Chứng minh: Thời gian thực hiện k(n) lần đoạn chương trình P sẽ là k(n)T(n). Theo định nghĩa: ∃ ck ≥ 0 và nk để k(n) ≤ ck(g(n)) với ∀ n ≥ nk ∃ cT ≥ 0 và nT để T(n) ≤ cT(f(n)) với ∀ n ≥ nT Vậy với ∀ n ≥ max(nT, nk) ta có k(n).T(n) ≤ cT.ck(g(n).f(n)) 3. Một số tính chất Theo định nghĩa về độ phức tạp tính toán ta có một số tính chất: a) Với P(n) là một đa thức bậc k thì O(P(n)) = O(nk). Vì thế, một thuật toán có độ phức tạp cấp đa thức, người ta thường ký hiệu là O(nk) b) Với a và b là hai cơ số tuỳ ý và f(n) là một hàm dương thì logaf(n) = logab.logbf(n). Tức là: O(logaf(n)) = O(logbf(n)). Vậy với một thuật toán có độ phức tạp cấp logarit của f(n), người ta ký hiệu là O(logf(n)) mà không cần ghi cơ số của logarit. c) Nếu một thuật toán có độ phức tạp là hằng số, tức là thời gian thực hiện không phụ thuộc vào kích thước dữ liệu vào thì ta ký hiệu độ phức tạp tính toán của thuật toán đó là O(1). d) Một giải thuật có cấp là các hàm như 2n, n!, nn được gọi là một giải thuật có độ phức tạp hàm mũ. Những giải thuật như vậy trên thực tế thường có tốc độ rất chậm. Các giải thuật có cấp là các hàm đa thức hoặc nhỏ hơn hàm đa thức thì thường chấp nhận được. e) Không phải lúc nào một giải thuật cấp O(n2) cũng tốt hơn giải thuật cấp O(n3). Bởi nếu như giải 2 2 3 thuật cấp O(n ) có thời gian thực hiện là 1000n , còn giải thuật cấp O(n ) lại chỉ cần thời gian thực hiện là n3, thì với n < 1000, rõ ràng giải thuật O(n3) tốt hơn giải thuật O(n2). Trên đây là xét trên phương diện tính toán lý thuyết để định nghĩa giải thuật này "tốt" hơn giải thuật kia, khi chọn một thuật toán để giải một bài toán thực tế phải có một sự mềm dẻo nhất định. f) Cũng theo định nghĩa về độ phức tạp tính toán • Một thuật toán có cấp O(1) cũng có thể viết là O(logn) • Một thuật toán có cấp O(logn) cũng có thể viết là O(n) • Một thuật toán có cấp O(n) cũng có thể viết là O(n.logn) • Một thuật toán có cấp O(n.logn) cũng có thể viết là O(n2) • Một thuật toán có cấp O(n2) cũng có thể viết là O(n3) • Một thuật toán có cấp O(n3) cũng có thể viết là O(2n) Vậy độ phức tạp tính toán của một thuật toán có nhiều cách ký hiệu, thông thường người ta chọn cấp thấp nhất có thể, tức là chọn ký pháp O(f(n)) với f(n) là một hàm tăng chậm nhất theo n. Dưới đây là một số hàm số hay dùng để ký hiệu độ phức tạp tính toán và bảng giá trị của chúng để tiện theo dõi sự tăng của hàm theo đối số n. 2 3 n log2n n nlog2nn n 2 010112 122484 248166416 3 8 24 64 512 256 4 16 64 256 4096 65536 5 32 160 1024 32768 2147483648 Ví dụ: Thuật toán tính tổng các số từ 1 tới n: Lê Minh Hoàng
38. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 10 [ Nếu viết theo sơ đồ như sau: Input n; S := 0; for i := 1 to n do S := S + i; Output S; Các đoạn chương trình ở các dòng 1, 2 và 4 có độ phức tạp tính toán là O(1). Vòng lặp ở dòng 3 lặp n lần phép gán S := S + i, nên thời gian tính toán tỉ lệ thuận với n. Tức là độ phức tạp tính toán là O(n). Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán trên là O(n). Còn nếu viết theo sơ đồ như sau: Input n; S := n * (n - 1) div 2; Output S; Thì độ phức tạp tính toán của thuật toán trên là O(1), thời gian tính toán không phụ thuộc vào n. 4. Phép toán tích cực Dựa vào những nhận xét đã nêu ở trên về các quy tắc khi đánh giá thời gian thực hiện giải thuật, ta chỉ cần chú ý đến một phép toán mà ta gọi là phép toán tích cực trong một đoạn chương trình. Đó là một phép toán trong một đoạn chương trình mà số lần thực hiện không ít hơn các phép toán khác. Xét hai đoạn chương trình tính ex bằng công thức gần đúng: x x 2 x n n x i e x ≈ 1+ + + + = ∑ với x và n cho trước. 1! 2! n! i=0 i! {Chương trình 1: Tính riêng từng hạng tử rồi cộng lại} {Tính hạng tử sau qua hạng tử trước} program Exp1; program Exp2; var var i, j, n: Integer; i, n: Integer; x, p, S: Real; x, p, S: Real; begin begin Write('x, n = '); ReadLn(x, n); Write('x, n = '); ReadLn(x, n); S := 0; S := 1; p := 1; for i := 0 to n do for i := 1 to n do begin begin p := 1; p := p * x / i; for j := 1 to i do p := p * x / j; S := S + p; S := S + p; end; end; WriteLn('exp(', x:1:4, ') = ', S:1:4); WriteLn('exp(', x:1:4, ') = ', S:1:4); end. end. Ta có thể coi phép toán tích cực ở đây là Ta có thể coi phép toán tích cực ở đây là phép p := p * x / j; p := p * x / i. Số lần thực hiện phép toán này là: Số lần thực hiện phép toán này là n. 0 + 1 + 2 + + n = n(n - 1)/2 lần. Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán là O(n). Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán là O(n2) V. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN VỚI TÌNH TRẠNG DỮ LIỆU VÀO Có nhiều trường hợp, thời gian thực hiện giải thuật không phải chỉ phụ thuộc vào kích thước dữ liệu mà còn phụ thuộc vào tình trạng của dữ liệu đó nữa. Chẳng hạn thời gian sắp xếp một dãy số theo thứ tự tăng dần mà dãy đưa vào chưa có thứ tự sẽ khác với thời gian sắp xếp một dãy số đã sắp xếp rồi hoặc đã sắp xếp theo thứ tự ngược lại. Lúc này, khi phân tích thời gian thực hiện giải thuật ta sẽ phải xét tới trường hợp tốt nhất, trường hợp trung bình và trường hợp xấu nhất. Khi khó khăn trong Lê Minh Hoàng
39. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 11 [ việc xác định độ phức tạp tính toán trong trường hợp trung bình (bởi việc xác định T(n) trung bình thường phải dùng tới những công cụ toán phức tạp), người ta thường chỉ đánh giá độ phức tạp tính toán trong trường hợp xấu nhất. VI. CHI PHÍ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN Khái niệm độ phức tạp tính toán đặt ra là để đánh giá chi phí thực hiện một giải thuật về mặt thời gian. Nhưng chi phí thực hiện giải thuật còn có rất nhiều yếu tố khác nữa: không gian bộ nhớ phải sử dụng là một ví dụ. Tuy nhiên, trên phương diện phân tích lý thuyết, ta chỉ có thể xét tới vấn đề thời gian bởi việc xác định các chi phí khác nhiều khi rất mơ hồ và phức tạp. Đối với người lập trình thì khác, một thuật toán với độ phức tạp dù rất thấp cũng sẽ là vô dụng nếu như không thể cài đặt được trên máy tính, chính vì vậy khi bắt tay cài đặt một thuật toán, ta phải biết cách tổ chức dữ liệu một cách khoa học, tránh lãng phí bộ nhớ không cần thiết. Có một quy luật tương đối khi tổ chức dữ liệu: Tiết kiệm được bộ nhớ thì thời gian thực hiện thường sẽ chậm hơn và ngược lại. Biết cân đối, dung hoà hai yếu tố đó là một kỹ năng cần thiết của người lập trình, mà kỹ năng đó lại chỉ từ kinh nghiệm mới có chứ không thể học được qua sách vở. Bài tập 1. Chứng minh một cách chặt chẽ: Tại sao với P(n) là đa thức bậc k thì một giải thuật cấp O(P(n)) cũng có thể coi cấp là cấp O(nk) 2. Xác định độ phức tạp tính toán của những giải thuật sau bằng ký pháp chữ O lớn: a) Đoạn chương trình tính tổng n số nhập từ bàn phím Sum := 0; for i := 1 to n do begin Write('Nhập số thứ ', i, ': '); ReadLn(x); Sum := Sum + x; end; b) Đoạn chương trình tính tổng hai đa thức: m m-1 n n-1 P(X) = amx + am-1x + + a1x + a0 và Q(X) = bnx + an-1x + + b1x + b0 Để được đa thức p p-1 R(X) = cpx + cp-1x + + c1x + c0 if m 0) and (c[p] = 0) do p := p - 1; b) Đoạn chương trình tính tích hai đa thức: m m-1 n n-1 P(X) = amx + am-1x + + a1x + a0 và Q(X) = bnx + an-1x + + b1x + b0 Để được đa thức p p-1 R(X) = cpx + cp-1x + + c1x + c0 p := m + n; for i := 0 to p do c[i] := 0; for i := 0 to m do for j := 0 to n do c[i + j] := c[i + j] + a[i] * b[j]; Lê Minh Hoàng
40. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 12 [ §2. ĐỆ QUY VÀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY I. KHÁI NIỆM VỀ ĐỆ QUY Ta nói một đối tượng là đệ quy nếu nó được định nghĩa qua chính nó hoặc một đối tượng khác cùng dạng với chính nó bằng quy nạp. Ví dụ: Đặt hai chiếc gương cầu đối diện nhau. Trong chiếc gương thứ nhất chứa hình chiếc gương thứ hai. Chiếc gương thứ hai lại chứa hình chiếc gương thứ nhất nên tất nhiên nó chứa lại hình ảnh của chính nó trong chiếc gương thứ nhất Ở một góc nhìn hợp lý, ta có thể thấy một dãy ảnh vô hạn của cả hai chiếc gương. Một ví dụ khác là nếu người ta phát hình trực tiếp phát thanh viên ngồi bên máy vô tuyến truyền hình, trên màn hình của máy này lại có chính hình ảnh của phát thanh viên đó ngồi bên máy vô tuyến truyền hình và cứ như thế Trong toán học, ta cũng hay gặp các định nghĩa đệ quy: Giai thừa của n (n!): Nếu n = 0 thì n! = 1; nếu n > 0 thì n! = n.(n-1)! Số phần tử của một tập hợp hữu hạn S (S): Nếu S = ∅ thì S= 0; Nếu S ≠ ∅ thì tất có một phần tử x ∈ S, khi đó S = S\{x} + 1. Đây là phương pháp định nghĩa tập các số tự nhiên. II. GIẢI THUẬT ĐỆ QUY Nếu lời giải của một bài toán P được thực hiện bằng lời giải của bài toán P' có dạng giống như P thì đó là một lời giải đệ quy. Giải thuật tương ứng với lời giải như vậy gọi là giải thuật đệ quy. Mới nghe thì có vẻ hơi lạ nhưng điểm mấu chốt cần lưu ý là: P' tuy có dạng giống như P, nhưng theo một nghĩa nào đó, nó phải "nhỏ" hơn P, dễ giải hơn P và việc giải nó không cần dùng đến P. Trong Pascal, ta đã thấy nhiều ví dụ của các hàm và thủ tục có chứa lời gọi đệ quy tới chính nó, bây giờ, ta tóm tắt lại các phép đệ quy trực tiếp và tương hỗ được viết như thế nào: Định nghĩa một hàm đệ quy hay thủ tục đệ quy gồm hai phần: • Phần neo (anchor): Phần này được thực hiện khi mà công việc quá đơn giản, có thể giải trực tiếp chứ không cần phải nhờ đến một bài toán con nào cả. • Phần đệ quy: Trong trường hợp bài toán chưa thể giải được bằng phần neo, ta xác định những bài toán con và gọi đệ quy giải những bài toán con đó. Khi đã có lời giải (đáp số) của những bài toán con rồi thì phối hợp chúng lại để giải bài toán đang quan tâm. Phần đệ quy thể hiện tính "quy nạp" của lời giải. Phần neo cũng rất quan trọng bởi nó quyết định tới tính hữu hạn dừng của lời giải. III. VÍ DỤ VỀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY 1. Hàm tính giai thừa function Factorial(n: Integer): Integer; {Nhận vào số tự nhiên n và trả về n!} begin if n = 0 then Factorial := 1 {Phần neo} else Factorial := n * Factorial(n - 1); {Phần đệ quy} end; Ở đây, phần neo định nghĩa kết quả hàm tại n = 0, còn phần đệ quy (ứng với n > 0) sẽ định nghĩa kết quả hàm qua giá trị của n và giai thừa của n - 1. Ví dụ: Dùng hàm này để tính 3!, trước hết nó phải đi tính 2! bởi 3! được tính bằng tích của 3 * 2!. Tương tự để tính 2!, nó lại đi tính 1! bởi 2! được tính bằng 2 * 1!. Áp dụng bước quy nạp này thêm một lần nữa, 1! = 1 * 0!, và ta đạt tới trường hợp của phần neo, đến đây từ giá trị 1 của 0!, nó tính Lê Minh Hoàng
41. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 13 [ được 1! = 1*1 = 1; từ giá trị của 1! nó tính được 2!; từ giá trị của 2! nó tính được 3!; cuối cùng cho kết quả là 6: 3! = 3 * 2! ↓ 2! = 2 * 1! ↓ 1!= 1*0! 0! = 1 2. Dãy số Fibonacci Dãy số Fibonacci bắt nguồn từ bài toán cổ về việc sinh sản của các cặp thỏ. Bài toán đặt ra như sau: 1) Các con thỏ không bao giờ chết 2) Hai tháng sau khi ra đời, mỗi cặp thỏ mới sẽ sinh ra một cặp thỏ con (một đực, một cái) 3) Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo chúng lại sinh được một cặp con mới Giả sử từ đầu tháng 1 có một cặp mới ra đời thì đến giữa tháng thứ n sẽ có bao nhiêu cặp. Ví dụ, n = 5, ta thấy: Giữa tháng thứ 1: 1 cặp (ab) (cặp ban đầu) Giữa tháng thứ 2: 1 cặp (ab) (cặp ban đầu vẫn chưa đẻ) Giữa tháng thứ 3: 2 cặp (AB)(cd) (cặp ban đầu đẻ ra thêm 1 cặp con) Giữa tháng thứ 4: 3 cặp (AB)(cd)(ef) (cặp ban đầu tiếp tục đẻ) Giữa tháng thứ 5: 5 cặp (AB)(CD)(ef)(gh)(ik) (cả cặp (AB) và (CD) cùng đẻ) Bây giờ, ta xét tới việc tính số cặp thỏ ở tháng thứ n: F(n) Nếu mỗi cặp thỏ ở tháng thứ n - 1 đều sinh ra một cặp thỏ con thì số cặp thỏ ở tháng thứ n sẽ là: F(n) = 2 * F(n - 1) Nhưng vấn đề không phải như vậy, trong các cặp thỏ ở tháng thứ n - 1, chỉ có những cặp thỏ đã có ở tháng thứ n - 2 mới sinh con ở tháng thứ n được thôi. Do đó F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (= số cũ + số sinh ra). Vậy có thể tính được F(n) theo công thức sau: • F(n) = 1 nếu n ≤ 2 • F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) nếu n > 2 function F(n: Integer): Integer; {Tính số cặp thỏ ở tháng thứ n} begin if n ≤ 2 then F := 1 {Phần neo} else F := F(n - 1) + F(n - 2); {Phần đệ quy} end; 3. Giả thuyết của Collatz Collatz đưa ra giả thuyết rằng: với một số nguyên dương X, nếu X chẵn thì ta gán X := X div 2; nếu X lẻ thì ta gán X := X * 3 + 1. Thì sau một số hữu hạn bước, ta sẽ có X = 1. Ví du: X = 10, các bước tiến hành như sau: 1. X = 10 (chẵn) ⇒ X := 10 div 2; (X := 5) 2. X = 5 (lẻ); ⇒ X := 5 * 3 + 1; (X := 16) 3. X = 16 (chẵn) ⇒ X := 16 div 2; (X := 8) 4. X = 8 (chẵn) ⇒ X := 8 div 2; (X := 4) 5. X = 4 (chẵn) ⇒ X := 4 div 2; (X := 2) 6. X = 2 (chẵn) ⇒ X := 2 div 2; (X := 1) Cứ cho giả thuyết Collatz là đúng đắn, vấn đề đặt ra là: Cho trước số 1 cùng với hai phép toán * 2 và div 3, hãy sử dụng một cách hợp lý hai phép toán đó để biến số 1 thành một giá trị nguyên dương X cho trước. Ví dụ: X = 10 ta có 1 * 2 * 2 * 2 * 2 div 3 * 2 = 10. Lê Minh Hoàng
42. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 14 [ Dễ thấy rằng lời giải của bài toán gần như thứ tự ngược của phép biến đổi Collatz: Để biểu diễn số X > 1 bằng một biểu thức bắt đầu bằng số 1 và hai phép toán "* 2", "div 3". Ta chia hai trường hợp: • Nếu X chẵn, thì ta tìm cách biểu diễn số X div 2 và viết thêm phép toán * 2 vào cuối • Nếu X lẻ, thì ta tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1 và viết thêm phép toán div 3 vào cuối procedure Solve(X: Integer); {In ra cách biểu diễn số X} begin if X = 1 then Write(X) {Phần neo} else {Phần đệ quy} if X mod 2 = 0 then {X chẵn} begin Solve(X div 2); {Tìm cách biểu diễn số X div 2} Write(' * 2'); {Sau đó viết thêm phép toán * 2} end else {X lẻ} begin Solve(X * 3 + 1); {Tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1} Write(' div 3'); {Sau đó viết thêm phép toán div 3} end; end; Trên đây là cách viết đệ quy trực tiếp, còn có một cách viết đệ quy tương hỗ như sau: procedure Solve(X: Integer); forward; {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X: Khai báo trước, đặc tả sau} procedure SolveOdd(X: Integer); {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X > 1 trong trường hợp X lẻ} begin Solve(X * 3 + 1); Write(' div 3'); end; procedure SolveEven(X: Integer); {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X trong trường hợp X chẵn} begin Solve(X div 2); Write(' * 2'); end; procedure Solve(X: Integer); {Phần đặc tả của thủ tục Solve đã khai báo trước ở trên} begin if X = 1 then Write(X) else if X mod 2 = 1 then SolveOdd(X) else SolveEven(X); end; Trong cả hai cách viết, để tìm biểu diễn số X theo yêu cầu chỉ cần gọi Solve(X) là xong. Tuy nhiên trong cách viết đệ quy trực tiếp, thủ tục Solve có lời gọi tới chính nó, còn trong cách viết đệ quy tương hỗ, thủ tục Solve chứa lời gọi tới thủ tục SolveOdd và SolveEven, hai thủ tục này lại chứa trong nó lời gọi ngược về thủ tục Solve. Đối với những bài toán nêu trên, việc thiết kế các giải thuật đệ quy tương ứng khá thuận lợi vì cả hai đều thuộc dạng tính giá trị hàm mà định nghĩa quy nạp của hàm đó được xác định dễ dàng. Nhưng không phải lúc nào phép giải đệ quy cũng có thể nhìn nhận và thiết kế dễ dàng như vậy. Thế thì vấn đề gì cần lưu tâm trong phép giải đệ quy?. Có thể tìm thấy câu trả lời qua việc giải đáp các câu hỏi sau: 1. Có thể định nghĩa được bài toán dưới dạng phối hợp của những bài toán cùng loại nhưng nhỏ hơn hay không ? Khái niệm "nhỏ hơn" là thế nào ? 2. Trường hợp đặc biệt nào của bài toán sẽ được coi là trường hợp tầm thường và có thể giải ngay được để đưa vào phần neo của phép giải đệ quy Lê Minh Hoàng
43. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 15 [ 4. Bài toán Tháp Hà Nội Đây là một bài toán mang tính chất một trò chơi, nội dung như sau: Có n đĩa đường kính hoàn toàn phân biệt, đặt chồng lên nhau, các đĩa được xếp theo thứ tự giảm dần của đường kính tính từ dưới lên, đĩa to nhất được đặt sát đất. Có ba vị trí có thể đặt các đĩa đánh số 1, 2, 3. Chồng đĩa ban đầu được đặt ở vị trí 1: 12 3 Hình 2: Tháp Hà Nội Người ta muốn chuyển cả chồng đĩa từ vị trí 1 sang vị trí 2, theo những điều kiện: • Khi di chuyển một đĩa, phải đặt nó vào một trong ba vị trí đã cho • Mỗi lần chỉ có thể chuyển một đĩa và phải là đĩa ở trên cùng • Tại một vị trí, đĩa nào mới chuyển đến sẽ phải đặt lên trên cùng • Đĩa lớn hơn không bao giờ được phép đặt lên trên đĩa nhỏ hơn (hay nói cách khác: một đĩa chỉ được đặt trên mặt đất hoặc đặt trên một đĩa lớn hơn) Trong trường hợp có 2 đĩa, cách làm có thể mô tả như sau: Chuyển đĩa nhỏ sang vị trí 3, đĩa lớn sang vị trí 2 rồi chuyển đĩa nhỏ từ vị trí 3 sang vị trí 2. Những người mới bắt đầu có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng khi số đĩa là ít, nhưng họ sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi số các đĩa nhiều hơn. Tuy nhiên, với tư duy quy nạp toán học và một máy tính thì công việc trở nên khá dễ dàng: Có n đĩa. • Nếu n = 1 thì ta chuyển đĩa duy nhất đó từ vị trí 1 sang vị trí 2 là xong. • Giả sử rằng ta có phương pháp chuyển được n - 1 đĩa từ vị trí 1 sang vị trí 2, thì cách chuyển n - 1 đĩa từ vị trí x sang vị trí y (1 ≤ x, y ≤ 3) cũng tương tự. • Giả sử ràng ta có phương pháp chuyển được n - 1 đĩa giữa hai vị trí bất kỳ. Để chuyển n đĩa từ vị trí x sang vị trí y, ta gọi vị trí còn lại là z (=6 - x - y). Coi đĩa to nhất là mặt đất, chuyển n - 1 đĩa còn lại từ vị trí x sang vị trí z, sau đó chuyển đĩa to nhất đó sang vị trí y và cuối cùng lại coi đĩa to nhất đó là mặt đất, chuyển n - 1 đĩa còn lại đang ở vị trí z sang vị trí y chồng lên đĩa to nhất đó. Cách làm đó được thể hiện trong thủ tục đệ quy dưới đây: procedure Move(n, x, y: Integer); {Thủ tục chuyển n đĩa từ vị trí x sang vị trí y} begin if n = 1 then WriteLn('Chuyển 1 đĩa từ ', x, ' sang ', y) else {Để chuyển n > 1 đĩa từ vị trí x sang vị trí y, ta chia làm 3 công đoạn} begin Move(n - 1, x, 6 - x - y); {Chuyển n - 1 đĩa từ x sang vị trí còn lại} Move(1, x, y); {Chuyển đĩa to nhất từ x sang y} Move(n - 1, 6 - x - y, y); {Chuyển n - 1 đĩa từ vị trí còn lại sang vị trí y} end; end; Chương trình chính rất đơn giản, chỉ gồm có 2 việc: Nhập vào số n và gọi Move(n, 1, 2). IV. HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY Qua các ví dụ trên, ta có thể thấy đệ quy là một công cụ mạnh để giải các bài toán. Có những bài toán mà bên cạnh giải thuật đệ quy vẫn có những giải thuật lặp khá đơn giản và hữu hiệu. Chẳng Lê Minh Hoàng
44. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 16 [ hạn bài toán tính giai thừa hay tính số Fibonacci. Tuy vậy, đệ quy vẫn có vai trò xứng đáng của nó, có nhiều bài toán mà việc thiết kế giải thuật đệ quy đơn giản hơn nhiều so với lời giải lặp và trong một số trường hợp chương trình đệ quy hoạt động nhanh hơn chương trình viết không có đệ quy. Giải thuật cho bài Tháp Hà Nội và thuật toán sắp xếp kiểu phân đoạn (Quick Sort) mà ta sẽ nói tới trong các bài sau là những ví dụ. Có một mối quan hệ khăng khít giữa đệ quy và quy nạp toán học. Cách giải đệ quy cho một bài toán dựa trên việc định rõ lời giải cho trường hợp suy biến (neo) rồi thiết kế làm sao để lời giải của bài toán được suy ra từ lời giải của bài toán nhỏ hơn cùng loại như thế. Tương tự như vậy, quy nạp toán học chứng minh một tính chất nào đó ứng với số tự nhiên cũng bằng cách chứng minh tính chất đó đúng với một số trường hợp cơ sở (thường người ta chứng minh nó đúng với 0 hay đúng với 1) và sau đó chứng minh tính chất đó sẽ đúng với n bất kỳ nếu nó đã đúng với mọi số tự nhiên nhỏ hơn n. Do đó ta không lấy làm ngạc nhiên khi thấy quy nạp toán học được dùng để chứng minh các tính chất có liên quan tới giải thuật đệ quy. Chẳng hạn: Chứng minh số phép chuyển đĩa để giải bài toán Tháp Hà Nội với n đĩa là 2n-1: • Rõ ràng là tính chất này đúng với n = 1, bởi ta cần 21 - 1 = 1 lần chuyển đĩa để thực hiện yêu cầu • Với n > 1; Giả sử rằng để chuyển n - 1 đĩa giữa hai vị trí ta cần 2n-1 - 1 phép chuyển đĩa, khi đó để chuyển n đĩa từ vị trí x sang vị trí y, nhìn vào giải thuật đệ quy ta có thể thấy rằng trong trường hợp này nó cần (2n-1 - 1) + 1 + (2n-1 - 1) = 2n - 1 phép chuyển đĩa. Tính chất được chứng minh đúng với n Vậy thì công thức này sẽ đúng với mọi n. Thật đáng tiếc nếu như chúng ta phải lập trình với một công cụ không cho phép đệ quy, nhưng như vậy không có nghĩa là ta bó tay trước một bài toán mang tính đệ quy. Mọi giải thuật đệ quy đều có cách thay thế bằng một giải thuật không đệ quy (khử đệ quy), có thể nói được như vậy bởi tất cả các chương trình con đệ quy sẽ đều được trình dịch chuyển thành những mã lệnh không đệ quy trước khi giao cho máy tính thực hiện. Việc tìm hiểu cách khử đệ quy một cách "máy móc" như các chương trình dịch thì chỉ cần hiểu rõ cơ chế xếp chồng của các thủ tục trong một dây chuyền gọi đệ quy là có thể làm được. Nhưng muốn khử đệ quy một cách tinh tế thì phải tuỳ thuộc vào từng bài toán mà khử đệ quy cho khéo. Không phải tìm đâu xa, những kỹ thuật giải công thức truy hồi bằng quy hoạch động là ví dụ cho thấy tính nghệ thuật trong những cách tiếp cận bài toán mang bản chất đệ quy để tìm ra một giải thuật không đệ quy đầy hiệu quả. Bài tập 1. Viết một hàm đệ quy tính ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên a, b không đồng thời bằng 0, chỉ rõ đâu là phần neo, đâu là phần đệ quy. k 2. Viết một hàm đệ quy tính Cn theo công thức truy hồi sau: • 0 = n = Cn Cn 1 • k = k−1 + k Với 0 < k < n: Cn Cn−1 Cn−1 n! Chứng minh rằng hàm đó cho ra đúng giá trị Ck = . n k!(n − k)! 3. Nêu rõ các bước thực hiện của giải thuật cho bài Tháp Hà Nội trong trường hợp n = 3. Lê Minh Hoàng
45. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 17 [ §3. CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN DANH SÁCH I. KHÁI NIỆM DANH SÁCH Danh sách là một tập sắp thứ tự các phần tử cùng một kiểu. Đối với danh sách, người ta có một số thao tác: Tìm một phần tử trong danh sách, chèn một phần tử vào danh sách, xoá một phần tử khỏi danh sách, sắp xếp lại các phần tử trong danh sách theo một trật tự nào đó v.v II. BIỂU DIỄN DANH SÁCH TRONG MÁY TÍNH Việc cài đặt một danh sách trong máy tính tức là tìm một cấu trúc dữ liệu cụ thể mà máy tính hiểu được để lưu các phần tử của danh sách đồng thời viết các đoạn chương trình con mô tả các thao tác cần thiết đối với danh sách. 1. Cài đặt bằng mảng một chiều Khi cài đặt danh sách bằng một mảng, thì có một biến nguyên n lưu số phần tử hiện có trong danh sách. Nếu mảng được đánh số bắt đầu từ 1 thì các phần tử trong danh sách được cất giữ trong mảng bằng các phần tử được đánh số từ 1 tới n. Chèn phần tử vào mảng: Mảng ban đầu: A B G H I Z 1 2 p - 1 p p + 1 n Nếu muốn chèn một phần tử V vào mảng tại vị trí p, ta phải: • Dồn tất cả các phần tử từ vị trí p tới tới vị trí n về sau một vị trí: A B G H I Z 1 2 p - 1 p + 1 p + 2 n + 1 • Sau đó đặt giá trị V vào vị trí p: A B G V H I Z 1 2 p - 1 p p + 1 p + 2 n + 1 • Tăng n lên 1 Xoá phần tử khỏi mảng Mảng ban đầu: A B G H I Z 1 2 p - 1 p p + 1 n Muốn xoá phần tử thứ p của mảng, ta phải: • Dồn tất cả các phần tử từ vị trí p + 1 tới vị trí n lên trước một vị trí: A B G I Z 1 2 p - 1 p n - 1 • Giảm n đi 1 2. Cài đặt bằng danh sách nối đơn Danh sách nối đơn gồm các nút được nối với nhau theo một chiều. Mỗi nút là một bản ghi (record) gồm hai trường: • Trường thứ nhất chứa giá trị lưu trong nút đó • Trường thứ hai chứa liên kết (con trỏ) tới nút kế tiếp, tức là chứa một thông tin đủ để biết nút kế tiếp nút đó trong danh sách là nút nào, trong trường hợp là nút cuối cùng (không có nút kế tiếp), trường liên kết này được gán một giá trị đặc biệt. Lê Minh Hoàng
46. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 18 [ Nút đầu tiên trong danh sách được gọi là chốt của danh sách nối đơn (Head). Để duyệt danh sách nối đơn, ta bắt đầu từ chốt, dựa vào trường liên kết để đi sang nút kế tiếp, đến khi gặp giá trị đặc biệt (duyệt qua nút cuối) thì dừng lại Value 1 Value 2 Value n-1 Value n Head Chèn phần tử vào danh sách nối đơn: Danh sách ban đầu: A G H I Z Head qp Muốn chèn thêm một nút chứa giá trị V vào vị trí của nút p, ta phải: • Tạo ra một nút mới NewNode chứa giá trị V: V • Tìm nút q là nút đứng trước nút p trong danh sách (nút có liên kết tới p). ♦ Nếu tìm thấy thì chỉnh lại liên kết: q liên kết tới NewNode, NewNode liên kết tới p A G H I Z Head q p V ♦ Nếu không có nút đứng trước nút p trong danh sách thì tức là p = Head, ta chỉnh lại liên kết: NewNode liên kết tới Head (cũ) và đặt lại Head = NewNode Xoá phần tử khỏi danh sách nối đơn: Danh sách ban đầu: A G H I Z Head qp Muốn huỷ nút p khỏi danh sách nối đơn, ta phải: • Tìm nút q là nút đứng liền trước nút p trong danh sách (nút có liên kết tới p) ♦ Nếu tìm thấy thì chỉnh lại liên kết: q liên kết thẳng tới nút liền sau p, khi đó quá trình duyệt danh sách bắt đầu từ Head khi duyệt tới q sẽ nhảy qua không duyệt p nữa, trên thực tế khi cài đặt bằng các biến động và con trỏ, ta nên có thao tác giải phóng bộ nhớ đã cấp cho nút p A G H I Z Head qp Lê Minh Hoàng
47. Cấu trúc dữ liệu và giải thuật \ 19 [ ♦ Nếu không có nút đứng trước nút p trong danh sách thì tức là p = Head, ta chỉ việc đặt lại Head bằng nút đứng kế tiếp Head (cũ) trong danh sách. Sau đó có thể giải phóng bộ nhớ cấp cho nút p (Head cũ) 3. Cài đặt bằng danh sách nối kép Danh sách nối kép gồm các nút được nối với nhau theo hai chiều. Mỗi nút là một bản ghi (record) gồm ba trường: • Trường thứ nhất chứa giá trị lưu trong nút đó • Trường thứ hai (Next) chứa liên kết (con trỏ) tới nút kế tiếp, tức là chứa một thông tin đủ để biết nút kế tiếp nút đó là nút nào, trong trường hợp là nút cuối cùng (không có nút kế tiếp), trường liên kết này được gán một giá trị đặc biệt. • Trường thứ ba (Prev) chứa liên kết (con trỏ) tới nút liền trước, tức là chứa một thông tin đủ để biết nút đứng trước nút đó trong danh sách là nút nào, trong trường hợp là nút đầu tiên (không có nút liền trước) trường này được gán một giá trị đặc biệt. Khác với danh sách nối đơn, danh sách nối kép có hai chốt: Nút đầu tiên trong danh sách được gọi là First, nút cuối cùng trong danh sách được gọi là Last. Để duyệt danh sách nối kép, ta có hai cách: Hoặc bắt đầu từ First, dựa vào liên kết Next để đi sang nút kế tiếp, đến khi gặp giá trị đặc biệt (duyệt qua nút cuối) thì dừng lại. Hoặc bắt đầu từ Last, dựa vào liên kết Prev để đi sang nút liền trước, đến khi gặp giá trị đặc biệt (duyệt qua nút đầu) thì dừng lại First Last Value 1 Value 2 Value n-1 Value n Việc chèn / xoá vào danh sách nối kép cũng đơn giản chỉ là kỹ thuật chỉnh lại các mối liên kết giữa các nút cho hợp lý, ta coi như bài tập. 4. Cài đặt bằng danh sách nối vòng một hướng Trong danh sách nối đơn, phần tử cuối cùng trong danh sách có trường liên kết được gán một giá trị đặc biệt (thường sử dụng nhất là giá trị nil). Nếu ta cho trường liên kết của phần tử cuối cùng trỏ thẳng về phần tử đầu tiên của danh sách thì ta sẽ được một kiểu danh sách mới gọi là danh sách nối vòng một hướng. A G H I Z Head qp Đối với danh sách nối vòng, ta chỉ cần biết một nút bất kỳ của danh sách là ta có thể duyệt được hết các nút trong danh sách bằng cách đi theo hướng của các liên kết. Chính vì lý do này, khi chèn xoá vào danh sách nối vòng, ta không phải xử lý các trường hợp riêng khi chèn xoá tại vị trí của chốt 5. Cài đặt bằng danh sách nối vòng hai hướng Danh sách nối vòng một hướng chỉ cho ta duyệt các nút của danh sách theo một chiều, nếu cài đặt bằng danh sách nối vòng hai hướng thì ta có thể duyệt các nút của danh sách cả theo chiều ngược lại nữa. Danh sách nối vòng hai hướng có thể tạo thành từ danh sách nối kép nếu ta cho trường Prev của nút First trỏ thẳng tới nút Last còn trường Next của nút Last thì trỏ thẳng về nút First. Lê Minh Hoàng