Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 10: Các định lý của động lực học đối với cơ hệ - Huỳnh Vinh

111 trang Gia Huy 25/05/2022 2600

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 10: Các định lý của động lực học đối với cơ hệ - Huỳnh Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_co_hoc_ly_thuyet_chuong_10_cac_dinh_ly_cua_dong_lu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 10: Các định lý của động lực học đối với cơ hệ - Huỳnh Vinh

Chương 10 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 708
4 Mối quan hệ gi ữa véc tơ mômen lực chính với véc tơ mômen Độ ng lượng, Mômen độ ng lượng, Độ ng năng độ ng lượ ng chính đố i với cùng một điểm– Đị nh lý Mômen độ ng lượ ng 1 Hai đặ c tr ưng của hệ lực trên hệ ch ất điểm Từ: makk= Fk⇒ rma kkkk∧ = rF ∧ k⇒ rma kkkO∧ = mF( k ) * Véc tơ lực chính m n F k 1 R= F k m m2 drmv(kkk∧ ) dv k dr k ∑ k mà: =∧(rm )( + mv ∧ ) k =1 kk kk m3 dt dt dt * Véc tơ mômen lực chính đố i với O v m4 n n k dv rk m v k MO= mF() k = ( rF ∧ k ) k k =∧(rmkk )(0)( +=∧ rma kkk ) ∑O ∑ k dt k=1 k = 1 O m n 5 mn   Cố đị nh 2 Hai đặ c tr ưng độ ng học của hệ ch ất điểm d∑ ( rk∧ mv k k )  dr(∧ mv ) n Từ: k k k k =1  * Véc tơ độ ng lượng chính = mFO ()k ⇒ = ∑ mFO ()k dt dt n Ch ất điểm k b ất k ỳ k =1 - Xác đị nh b ởi r v ới O là điểm tùy ch ọn Q= ∑ ( mk v k ) k d K O k =1 - Kh ối l ượ ng m k Do đó: = M O * Véc tơ mômen độ ng lượng chính đố i với O - Ch ịu l ực tác d ụng F k dt n n Trong một hệ ch ất điểm, đạ o hàm bậc nh ất theo th ời gian của véc tơ mômen KO = mmv()( = rmv ∧ ) ∑Okk ∑ k kk độ ng lượ ng chính tại điểm nào thì bằng véc tơ mômen lực chính tại điểm đó. k=1 k = 1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 709 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 711 3 Mối quan hệ gi ữa véc tơ lực chính với véc tơ độ ng lượ ng chính 5 Mối quan hệ gi ữa công su ất của hệ lực với độ ng năng của hệ – Đị nh lý Độ ng lượ ng ch ất điểm dvk dmv( k k ) ⇒ Từ: maFm= k⇒ = F k⇒ = F k Từ: makk= Fk mav kkk.= Fv k . k k k k dt dt 1 n n d( m v 2 ) d( mk v k ) k k d( T ) ⇒ = F k 2 k ∑ ∑ ⇒ = Fk . vk⇒ = W k k=1dt k = 1 dt dt n n d( m v ) ∑ k k n d(∑ T k ) n k =1 dT ⇒ = ∑ F k ⇒ k =1 = W⇒ = W dt ∑ k k =1 dtk =1 dt d Q 1 2 1 2 ⇒ = R Tk= mv kk = mv kk : độ ng n ăng c ủa ch ất điểm th ứ k 2 2 dt W Fk v F k Trong một hệ ch ất điểm, đạ o hàm bậc nh ất theo th ời gian của véc tơ độ ng k= k : công su ất c ủa l ực lượ ng chính thì bằng véc tơ lực chính. Trong một hệ ch ất điểm, đạ o hàm bậc nh ất theo th ời gian của tổng độ ng năng của hệ thì bằng tổng công su ất của lực trong hệ. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 710 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 712
6 Lưu ý áp dụng đị nh lý cho hệ vật rắn Các ch ất điểm về vị trí và độ ng học liên hệ theo công th ức sau: Khi áp dụng đị nh lý cho vật rắn thì cần lưu ý nh ững điều sau: n n n n i i ∑mrkk. ∑ mv kk . ∑ ma kk . e iR=∑ F k = 0 e k =1 k=1 k = 1 k = 1 RRR= + → RR = rC=, v C = , a C = n i i M M M e i MO=∑ mO ( F k ) = 0 e k =1 MMMOOO= + → MM OO = Th ật vậy, xét hai ch ất điểm bất kỳ M và N trong cùng một vật rắn, Mỗi đị nh lý th ể hi ện nội dung đị nh lý dướ i nh ững dạng công chúng tươ ng tác nhau bởi các nội lực nh ư hình vẽ. th ức khác nhau. Các bài sau, mỗi bài trình bày mỗi đị nh lý. i N Rõ ràng: F NM i i i F MN FMN F NM 0 M + = i i r rN M rM∧ FMN +∧ r N F NM = 0 i i i FNM= F MN = F O Véc tơ lực chính và mômen lực chính do nội lực là bằng 0, nên nội lực không làm phát sinh độ ng lượ ng và mômen độ ng lượ ng trong hệ. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 713 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 715 e i Vật rắn tuy ệt đố i W= W + W W= W e W i = 0 Nội lực trong vật rắn bi ến dạng có sinh công, trong vật tuy ệt đố i cứng không sinh công. dA i Công su ất do nội lực: W i = dt §1. Đị nh lý độ ng l ượ ng i i i i i i i Ta có: dA(F MN , F NM ).= FdrMNM + Fdr NM . N = Fdr MN . M − Fdr MN . N i i i =FMN( drM −= drN ) F MN .() dNM =− F NM .d ( NM ) Trong ph ần này s ẽ kh ảo sát m ối quan h ệ gi ữa độ ng l ượ ng của h ệ i 2 với véc t ơ chính c ủa ngo ại l ực tác d ụng trên h ệ. Có th ể bi ểu di ễn F NM = α . NM (α là hằng số nào đó) Do đó: 2 2 i i i 2 α2 α 2 dA(F MN, F NM )=−α () NMdNM =−d ()NM =− dMN () 2 2 +V ật rắn bi ến dạng, có th ể MN thay đổ i nên nội lực sinh công +V ật rắn tuy ệt đố i cứng, MN không đổ i nên nội lực không sinh công GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 714 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 716
F n c. Động l ượ ng của vật r ắn: Q= M. v C F1 Một vài k ết qu ả t ừ đị nh lý 10.3 F 3 Q= M. v dQ e C vC C k i = R dt mk vk M e e idQ= Rdt = dS F 2 e * Ch ứng minh: Q= mv = mrɺ iQ− Q = S 1− 2 ∑kk ∑ kk 2 1 ɺ Véc t ơ độ ng l ượ ng c ủa h ệ: Mà: ∑mk r k= Mr C nên Q= MrC = Mv C Q= ∑ mk. v k Nội dung đị nh lý này đượ c k làm rõ chi ti ết trong ph ần Véc t ơ l ực chính c ủa h ệ ngo ại l ực: ti ếp sau. e R= ∑ F i i GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 717 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 719 1. Độ ng l ượ ng d. Động l ượ ng của hệ v ật r ắn: QMv=. + Mv . ++ Mv . 1C1 2 C 2 nC n a. Động l ượ ng của một ch ất điểm: Q= m. v 10.1 10.4 m v Q= m. v v = 0 C3 C3 n v 10.2 C4 b. Động l ượ ng của hệ ch ất điểm: Q= ∑ mk v k M. v Q M 3 M 1 C1 k =1 C 2 M 2 4 C 4 α v Q= m. v C2 M. v 1 1 1 2 C2 M. v 4 C4 v Q= m. v C m 1 2 2 2 M 1 1 1 m 2 vC mn 1 Q v2 Qn = mn. v n vn GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 718 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 720
Trong h ệ tr ục t ọa độ Descartes c ố đị nh thì: 3. Đị nh lý độ ng l ượ ng n e * Khi các véc t ơ v C ( k = 1, n ) đã xác đị nh, thì: d Q k a. Dạng độ ng h ọc: = F k 10.7 n ∑  dt k =1 Qx= ∑ M kxC. v  k  k =1 * Ch ứng minh: n  2 2 2 e i e dv k Qy= ∑ Mv kyC. ⇒ Q= QQQ xyz + + ma=+ Fk F k ⇔ m =+ F k 0 k Ta có: ∑k k ∑∑ ∑k ∑  k =1 dt  n d e dQ e Q= M. v ⇔∑mvk k = ∑ Fk ⇔= ∑ F k z∑ kzC k dt dt  k =1 * Khi bi ết ph ương trình chuy ển độ ng c ủa C k ( k = 1, n ) , thì: b. Ph ương trình vi phân c ủa chuy ển độ ng kh ối tâm: QMx=.ɺ + Mx . ɺ ++ Mx . ɺ x1 C1 2 C 2 nC n n n 10.8  e e 2 2 2 ⇒ ɺɺ QMyMy=.ɺ + . ɺ ++ My . ɺ ⇒ Q= QQQ + + MaC= ∑ Fk Mr C = ∑ F k y1 C1 2 C 2 nCn xyz  k=1 k = 1 QMz=.ɺ + Mz . ɺ ++ Mz . ɺ  z1 C1 2 C 2 nC n GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 721 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 723 2. L ực tác d ụng - Đố i với hệ một vật rắn kh ối lượng M, kh ối tâm C: n  e a. Véc t ơ chính c ủa ngo ại l ực M. axC= ∑ X k k =1 n  e e 10.5 n R= F k  e ∑ M. a= Y k =1  yC∑ k k =1  10.9a  n b. Xung l ượ ng c ủa l ực: bi ểu th ị tác d ụng c ủa l ực theo th ời gian e M. azC= ∑ Z k  k =1 + Xung l ượ ng nguyên t ố: bi ểu th ị tác d ụng c ủa l ực trong dt e eee eee Lưu ý: a= aaa,,, Fk = FFF ,, = XYZ ,, C( xCyCzC) ( kxkykx) ( kk k ) dS= Fdt - Đố i với hệ p vật rắn; vật rắn th ứ k có kh ối lượng Mk, kh ối tâm Ck: p n  e + Xung l ượ ng h ữu h ạn: bi ểu th ị tác d ụng c ủa l ực t ừ t đế n t ∑MkxC. a= ∑ X k 1 2  k  k=1 k = 1 t2 t 2 p n 10.6  e S1− 2 = dS = Fdt  M. a= Y ∫ ∫ ∑kyCk ∑ k 10.9b t1 t 1  k=1 k = 1  p n  M. a= Z e Nếu F = const thì S1− 2 = Ft(2 − t 1 ) ∑kzCk ∑ k  k=1 k = 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 722 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 724
c. Dạng b ảo toàn: Ví dụ 1: Đĩ a tròn mảnh đồ ng ch ất, kh ối lượng M, kh ối tâm C. Đĩ a lăn tự do không tr ượ t trên mặt ph ẳng nghiêng nhanh dần đề u theo chi ều hướ ng n e Nếu Fk =0 ⇔ Q = const xu ống. Hãy vi ết công th ức dạng đạ o hàm của đị nh lý độ ng lượng? ∑ 10.10 k =1 F ms N v= const C + Đố i với hệ một vật rắn: MvC = const ⇔  C C aC aC = 0 q q + Đố i với hệ gồm q vật rắn: ∑MvkC= const ⇔ ∑ Ma kC = 0 k k k=1 k = 1 α α α n e 10.11 P Nếu ∑ Xk=0 ⇔ Q x = const Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: P+ N + Fms = Ma k =1 C v= const Từ công th ức trên, tính đượ c l ực ma sát và ph ản l ực pháp + Đố i với hệ một vật rắn: Mv= const ⇔  xC xC i P.sinα− FMa = ⇒ FP= .sin α − Ma axC = 0 ms C ms C q q i ⇒ + Đố i với hệ gồm q vật rắn: ∑MvkxC= const ⇔ ∑ Ma kxC = 0 NP−.cosα = 0 NP= .cos α k k k=1 k = 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 725 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 727 e Ví d ụ 2: Vật ph ẳng đồ ng ch ất có kh ối l ượng M, kh ối tâm C tr ượt t ự do c. Dạng bi ến thiên: Q− Q = S 1− 2 10.12 2 1 không v ận t ốc đầ u trên m ặt nghiêng không ma sát. Hãy vi ết công th ức * Ch ứng minh: dạng đạ o hàm c ủa đị nh lý độ ng l ượng? t t e2 2 e e e N ⇒ ⇒ ⇒ Ta có: dQ= ∑ Fdtk∫ dQ= ∫ ∑ Fdt k Qt()2− Qt () 1 = S12− Q2− Q 1 = S 12 − t1 t 1 C C a C v α α α C Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: P+ N = Ma C P Từ công th ức trên, ta tính đượ c ph ản l ực pháp và tìm đượ c ph ươ ng trình v ận t ốc, ph ươ ng trình chuy ển độ ng. i NP−.cosα = 0⇒ NP= .cos α vt()= g .sinα . tv +  C 0 i ⇒ ⇒ P.sinα= MaC ag C = .sin α  1 2 stC ()= ( g .sinα ) tvts +0 + 0  2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 726 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 728
Ví d ụ 3: Thanh th ẳng m ảnh đồ ng ch ất, kh ối l ượng M, kh ối tâm C quay Ví d ụ 5: Vật đồ ng ch ất có kh ối l ượng M, kh ối tâm C r ơi t ự do không tự do quanh đầ u thanh. Hãy vi ết công th ức d ạng đạ o hàm c ủa đị nh lý vận t ốc đầ u, không ch ịu c ản. Vi ết công th ức d ạng bi ến thiên c ủa đị nh lý độ ng l ượng? độ ng l ượng, th ời điểm đầ u lúc v ật b ắt đầ u chuy ển độ ng, th ời điểm cu ối Y A là th ời điểm t 2. A A X A C t=0, v (0) = 0, s (0) = 0 ϕ ϕ Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: s( t ) n t2 C a C (2) (0) C Mv( t ) − v  = Pdt tvt, (), st () C C  ∫ C S 0 τ (2) vC ( t ) ⇒ M. v= Pt B aC B C 2 P (2) (2) ⇒ Mv. C= Mgt2⇒ v C = gt 2 t, v τ n P 2 2 Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: PX+A += Y A Ma(C + a C ) Nếu t 2=t thì: g ⇒ 2 Từ công th ức trên, ta tính đượ c ph ản l ực liên k ết t ại A t ừ 2 ph ươ ng trình vtC ()= gt st () = t + s 0 2 chi ếu khi bi ết gia t ốc t ại C. ⇒ g s(0)0= →s 0 = 0 s( t ) = t 2 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 729 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 731 Ví d ụ 4: Vật ph ẳng đồ ng ch ất có kh ối l ượng M, kh ối tâm C tr ượt t ự do Nhìn l ại đị nh lý độ ng l ượ ng n không v ận t ốc đầ u trên m ặt nghiêng không ma sát. Hãy vi ết công th ức d Q e dạng bi ến thiên c ủa đị nh lý độ ng l ượng, th ời điểm đầ u lúc v ật b ắt đầ u 1. T ừ công th ức d ạng đạ o hàm: = ∑ F k dt k =1 chuy ển độ ng, th ời điểm cu ối là th ời điểm t t ổng quát. - Đây là ph ươ ng trình véc t ơ t ổng quát. t = 0 - Trong h ệ tr ục Oxyz, có th ể tri ển khai thành 3 ph ươ ng trình chi ếu N 0 - Khi véc t ơ độ ng l ượ ng đã bi ết thì dùng ph ươ ng trình trên tìm ngo ại C C t lực – xác đị nh đượ c nhi ều nh ất 3 ẩn s ố. v (0) C -Nếu bi ết t ất c ả ngo ại l ực thì dùng ph ươ ng trình trên đị nh véc t ơ độ ng lượ ng. T ừ đó, tìm các đặ c tr ưng chuy ển độ ng. n N( t ) 2. Đố i v ới h ệ t ĩnh, cân b ằng thì:  e ∑ X k = 0 Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: P C  k =1 aC ( t ) n n t e  e Q= 0⇒ Fk = 0 ⇔ Y = 0 Mvt()− v(0)  = Nt () + Pdt  ∑ ∑ k C C  ∫   vC ( t ) k=1 k = 1 0  n t P  Z e = 0 ⇒ Mvt Nt Pdt  ∑ k C ()=∫  () +   k =1 0 Đây là ph ươ ng trình cân b ằng l ực theo 3 ph ươ ng trong bài toán t ĩnh GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 730 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 732
Bài gi ải: ω 0 O C1 A P 45 0 ω AB v C1 vA v 3r C2 C2 a n BBA≡ C 3 v= v BÀI TẬP CH ƯƠ NG 10 SINH VIÊN C ẦN GI ẢI QUY ẾT r B C 3 R Các d ạng bài toán áp d ụng các đị nh lý t ổng quát R - Bài toán th ứ nh ất: Dùng đị nh lý b ảo toàn độ ng l ượ ng để tìm chuy ển d ịch m ột vài b ộ ph ận trong h ệ. I - Bài toán th ứ hai: Dùng đị nh lý b ảo toàn độ ng l ượ ng để xác đị nh ph ản l ực liên k ết Véc tơ độ ng lượ ng của hệ là một véc tơ tự do : Q= Q + Q + Q trong h ệ. 1 2 3 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 733 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 735 Bài t ập 10.1 Xác đị nh véc tơ độ ng lượ ng của hệ sau, các thanh là mảnh đồ ng ch ất, y y bánh xe đồ ng ch ất với kh ối tâm là B. ω 0 O A Q3 = m3. v C H 3 x H x 0 45 45 0 Q 1 Q Q= m. v 2 2 C2 0 Thanh OA: OA= a = 2,, rm ω 3r Q1 = m1. v C 1 0 1 45 Q Q 2 3 Thanh AB: AB= l , m 2 n Banïh xe: R, r , m 3 a BBA Bánh xe l ăn không tr ượ t r R Cho: m3=2 m 2 = 4 m 1 = 4 m I GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 734 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 736
Độ ng lượ ng của hệ là: Q= mv. + mv . + mv . (1) 1C1 2 C 2 3 C 3 * V ận t ốc góc c ủa thanh OA khi t = 2(s) aω0 0 2 2 Trong đó: v= = r ω ,vC= v A .cos45 = r ω0 2 π π3 π C1 0 2 ω= ϕɺ =−sin(t ) =− (rad/s) =<ω 0 2 OA t=2( s ) 0 18 6t=2( s ) 36 v= v = 2 r ω , C3 B 0 vA = aω0 = 2 r ω 0 * G ọi C 1 là kh ối tâm c ủa OA. G ọi C 2 là kh ối tâm c ủa AB. B là kh ối tâm Chi ếu véc tơ độ ng lượ ng Q lên các tr ục của hệ tr ục tọa độ (x,y), ta có: của bánh xe Qmv=. .cos450 + mv . = 10 mr ω x2 C2 3 C 3 0 * T ọa độ c ủa các kh ối tâm: Q=− mvmv. − . .cos450 =− 3 mr ω y1 C1 2 C 2 0  a  a y = .cos ϕ y = 3 .cos ϕ  C1  C2    yB = 2 a .cos ϕ 2 2 2 2 Độ lớn độ ng lượ ng của hệ: Q= QQ + = 109. mr ω C1 :  C2 :  B :  x y 0 a a z = 0 z = .sin ϕ z = .sin ϕ  B  C1  C2 Véc tơ độ ng lượ ng là một véc tơ tự do , ph ươ ng đượ c xác đị nh nh ư sau:  2  2 cosαx = 10mr ω0 / 109. mr ω 0 = 10/ 109 cosαy =− 3mr ω0 /109. mr ω 0 =− 3/109 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 737 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 739 Bài t ập 10.1* * Các thành ph ần v ận t ốc c ủa các kh ối tâm: Cho cơ cấu nh ư hình vẽ. Hai thanh OA, AB là các thanh mảnh đồ ng ch ất có  a  a cùng kh ối lượ ng m, OA = AB = a. Bánh xe đượ c xem nh ư đĩ a mảnh đồ ng ch ất yɺ = − ω.sin ϕ yɺ = − 3ω .sin ϕ  C1  C2 ɺ  2  2  yB = − ω2 a .sin ϕ có bán kính r = a/2, kh ối lượ ng 2m, lăn không tr ượ t. Hệ chuy ển độ ng trong mặt C :  C :  B :  1 a 2 a zɺ = 0 π π zɺ = ω.cos ϕ zɺ = ω.cos ϕ  B ph ẳng (Oyz) th ẳng đứ ng. Ph ươ ng trình quay của OA: ϕ = cos( t ) .  C1  C2 3 6  2  2 Khi t = 2 (s): 1. Tính vận tốc kh ối tâm của: thanh OA, thanh AB, bánh xe theo ω0, (ω0 = ωOA ). 2. Tính độ ng lượ ng của hệ theo ω0, (ω0 = ωOA ). * Các giá tr ị thành ph ần v ận t ốc c ủa các kh ối tâm khi t = 2(s): z A Với ω = ω thì: OA t=2( s ) 0  ɺ 1  ɺ 3 yC = − a ω0 y= − a ω  1  C2 0 ɺ ϕ  4  4  yB = − a ω0 B C :  C :  B :  O y 1 3 2 zɺ = 0  ɺ  ɺ 3  B r zC = a ω0 z= a ω  1 4  C2 4 0 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 738 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 740
* Độ ng l ượ ng c ủa h ệ khi t = 2(s): Bài t ập 10.2 Xác đị nh véc tơ độ ng lượ ng của hệ sau, các thanh và đĩ a là nh ững vật Q= my.ɺ + my . ɺ + my . ɺ  y OAC1 ABC 2 bxB mảnh đồ ng ch ất:  ω Q= mz.ɺ + mz . ɺ + mz . ɺ O OA A  z OAC1 ABC 2 bxB 45 0  1 3 Q=− maω − ma ω − 2 ma . ω Qy = −3 m . a ω0 > 0  y 40 4 0 0  ⇒  ⇒  3 ω= ω  3 3 Q= ma ω < 0 OA 0 B Q= maω + ma ω + 2 m .0 z 0  z 0 0  2 OA= a  4 4 Thanh OA Kh ối l ượ ng m AB= 2 a R Thanh AB Không kh ối l ượ ng Đĩ a tròn Bán kính R = a Kh ối l ượ ng m GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 741 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 743 * Các giá tr ị thành ph ần v ận t ốc c ủa các kh ối tâm khi t = 2(s): Hướ ng dẫn: Qy = − 3 m . a ω0 2 2 39   ⇒ v1 → Q OA ⇒  Q= QQy + z = ma ω0 3 2 ωOA →  Qz = ma ω0 v→ v → Q  2 A B B * Xác đị nh chi ều véc t ơ Q: O A z P 0 45 Q ω OA v α 1 vA vB y R α = 160 6'7,61'' GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 742 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 744
Bài t ập 10.3 Bài t ập 10.4 Xác đị nh véc tơ độ ng lượ ng của hệ sau, các thanh là mảnh đồ ng ch ất: Vật nặng tr ọng lượ ng P tr ượ t trên mặt nghiêng có hệ số ma sát tr ượ t là f, vận tốc ban đầ u là v0. Sau kho ảng th ời gian bao lâu thì vật có vận tốc 2v . 0 0 0 60 60 v B A α Bài gi ải: * Gọi mốc th ời gian là t1 khi vật có vận tốc v1= v0, là t2 khi vật có vận ωOA = ω 0 tốc v2= 2v0. OA= a Thanh OA O ω Kh ối l ượ ng m OA C v1 AB= 2 a C Qu ỹ đạ o của C Thanh AB t Không kh ối l ượ ng 1 C v Con tr ượ t B có kh ối l ượ ng m α 2 t2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 745 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 747 Hướ ng dẫn: * Phân tích ngo ại lực tác dụng lên vật: v→ Q N 1 OA ωOA →  v v→ v → Q C  A B B F ms n aC Qu ỹ đạ o của C vB τ α 0 0 P 60 A 60 B + Tr ọng lượ ng P có chi ều và độ lớn đã bi ết. v A + Ph ản l ực N có chi ều nh ư hình và độ l ớn đượ c xác đị nh nh ư sau: • Đị nh lý chuy ển độ ng kh ối tâm C v1 P PNF++ms = Ma.C = ( aaτ + n ) (*) O ωOA g • Chi ếu (*) lên ph ươ ng n: N= P.cosα (Do a n = 0) + Lực ma sát F ms có chi ều nh ư hình vẽ và độ lớn Fms = Nf = Pf .cos α GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 746 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 748
* Áp dụng đị nh lý độ ng lượ ng dạng bi ến thiên: Bài t ập 10.5 t2 P P t 2 Cho cơ hệ gồm vật (1) có tr ọng lượ ng P đặ t trên mặt nghiêng của lăng ⇒ 1 QQ2− 1 =∫() PNFdt ++ ms v2− v 1 = ∫ () PNFdt ++ ms tr ụ có tr ọng lượ ng là P2. Góc nghiêng của mặt lăng tr ụ với mặt ngang là t g g t 1 1 α. Lăng tr ụ đặ t trên đượ c đặ t trên 2 con lăn song song nhau và đặ t trên P= const  mặt ngang nh ẵn tr ơn. Ban đầ u vật (1) nằm yên tươ ng đố i trên mặt tr ụ Khi vật chuy ển độ ng: N= const⇒ P+ N + Fms = const còn lăng tr ụ thì tr ượ t sang ph ải với vận tốc v . Sau đó cho vật 1 tr ượ t 0  xuôi xu ống theo mặt nghiêng với vận tốc tươ ng đố i u = a.t. Tìm vận tốc Fms = const  của lăng tr ụ tại th ời điểm t. P P Do đó: v− v =++( PNFms )( tt − ) g21 g 21 P P ⇒ v2− v 1 =++( PNFms ) ∆ t ( ) g g u v0 Chi ếu ( ) lên ph ươ ng chuy ển độ ng, ta có: v ? P P v .2v− . vP = (.sinα −∆ Ftt ). ⇒ ∆ = 0 gg0 0 ms gf(sinα− .cos α ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 749 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 751 Có th ể gi ải bài toán b ằng ph ươ ng trình chuy ển độ ng C 1 Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của kh ối tâm C theo ph ươ ng tr ượ t u x P1 N 2 (P .sinα− f . P .cos α ) v ? dvt( ) = dt N 1 m C 2 (P .sinα− f . P .cos α ) ⇒ vt( ) = tA + P 2 m Điều ki ện ban đầ u: v(0) = v0⇒ Av= 0 Ngo ại l ực tác d ụng lên h ệ (g ồm 2 vật): P1, P 2 , N1 , N 2 (P .sinα− f . P .cos α ) Vận tốc tại th ời điểm t là: vt( ) = tv + Tại th ời điểm t m 0 Th ời điểm vật có vận tốc 2v : Gi ả s ử lăng tr ụ chuy ển độ ng sang ph ải, v ận t ốc tuy ệt đố i của v ật (1): 0 Ut()= ut () + vt () (P .sinα− f . P .cos α ) v 2v= tvt + ⇒ = 0 0 m0 g(sinα− f .cos α ) P P Véc t ơ độ ng lượ ng của h ệ: Qt()=1 Ut () + 2 vt () v g g Kho ảng th ời gian cần tìm: ∆t = t = 0 g(sinα− f .cos α ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 750 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 752
Áp d ụng đị nh lý độ ng lượ ng Bài t ập 10.6 Tr ọng tâm ph ần quay của độ ng cơ điện đặ t lệch tâm so với tr ục quay A P1 P 2 at()+ atPPNN () =+++1 2 1 2 (*) một đoạn AB = a. Tr ọng lượ ng của ph ần quay là P1, tr ọng lượ ng của vỏ gC1 g C 2 độ ng cơ (ph ần không quay) là P2. Tìm quy lu ật chuy ển độ ng của ph ần Chi ếu ph ươ ng trình véc t ơ (*) lên tr ục x vỏ độ ng cơ trên sàn nằm ngang. Cho bi ết vận tốc góc của ph ần quay không đổ i. Nếu ta cố đị nh vỏ độ ng cơ trên sàn bằng bulông D thì lực cắt PP12C1 C 2 PP 12 CC 12 atx()+ at x ()0 = ⇒ vt xx ()+ vtconst () = lên bulông đượ c xác đị nh nh ư th ế nào. Coi ma sát gi ữa nền và độ ng cơ gg gg không đáng kể. P P P P 1C1 2 C 2 1 C 1 2 C 2 ⇒ Utx()+ vt x () = U x (0) + v x (0) g g g g m m ω ω P P PP 0 B 0 B Với điều ki ện ban đầ u, ta có: 1C1 2 C 2 12 Utx()+ vt x () = v0 + v 0 A A g g gg P1 P1 P 2 P 2 P P PP ⇒ 1UtC1 ()+ 2 vt () = 12 v + v gx g gg0 0 N N D m1 m1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 753 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 755 P1 PPP 212 Bài gi ải: []vtut()+ ().cosα + vt () =+ v0 v 0 g ggg ω t 1. Quy lu ật chuy ển độ ng của ph ần vỏ. x0C x 0 ⇒ ⇒ Pvt1[ ()+ ut ().cosα ] + Pvt 2 () =+ Pv 1020 Pv ∑ X= 0 vCx = const m ω0 B ⇒ ()()P12+ Pvt() =+ P 120 Pv − utP ().cos 1 α Gi ả sử lúc đầ u đứ ng yên: A P P P1 1 1 P 2 ⇒ vtv()=−0 ut ().cosα =− va0 .cos α t v0xC= 0 ⇒ x 0 C = const ()PP1+ 2 PP1 + 2 Xét tại th ời điểm t Nếu v > 0 thì l ăng tr ụ chuy ển độ ng sang ph ải N m1 Nếu v < 0 thì l ăng tr ụ chuy ển độ ng sang trái xA = x xB = xa + .sin ω0 t Pxx2(+oC ) + Pxx 1 ( + oC + a .sin)ω 0 t xC = P1+ P 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 754 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 756
Do tổng ngo ại lực theo ph ươ ng x bằng 0 nên hoành độ kh ối tâm không ∆ F n Một vài k ết qu ả t ừ đị nh lý đổ i. Vì vậy: F 3 Pxx(+ ) + Pxx ( + + a .sin)ω t F1 x =2oC 1 oC 0 = x C oC d K O e P1+ P 2 i O dn = M ω0t dt ⇒ PxPxa+( + .sinω t ) = 0 k v 2 1 0 d1 k e d mk v k d K ∆ Pasin ω t 3 mk i = M ∆ ⇒ 1 0 m x = − ω rk dt P+ P 0 B 1 2 A 2. Khi cố đị nh độ ng cơ trên sàn P1 O d2 P 2 bằng bu lông D. F 2 Pa.sinω t ) Véc t ơ mômen độ ng l ượ ng t ại O c ủa h ệ: 1 0 D xC = N Nội dung đị nh lý này đượ c P1+ P 2 KO =∑() rmvk ∧ k k m1 R xD làm rõ chi ti ết trong ph ần d2 x k C Véc t ơ mômen chính t ại O c ủa h ệ ngo ại ti ếp sau. M2 = R xD dt x lực: ω2Pa.sin ω t ) ω 2 Pa .sin ω t ) e 01 0 01 0 MO=∑ di ∧ F i RxD =− M . =− ( ) i P1+ P 2 g GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 757 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 759 1. Mômen độ ng l ượ ng a. Ch ất điểm đố i với điểm O b. Ch ất điểm đố i với tr ục ∆∆∆ ∆ mv / / ∆ K O K ∆ mv v mv 1 d v d2 m mv §2. Đị nh lý mômen độ ng l ượ ng r 2 K m O O O r Trong ph ần này s ẽ kh ảo sát m ối quan h ệ gi ữa mômen mv 1 / / ∆ độ ng l ượ ng c ủa h ệ với mômen chính c ủa ngo ại lực. + Véc t ơ: KO = mmv() = r ∧ () mv + Phân tích: mv= mv + mv O 1 2 mv ⊥ ∆ 10.13 2 - Điểm đặ t t ại O + Mômen độ ng l ượ ng 10.14 - Vuông góc v ới mp (O , mv ) - Độ l ớn: K∆ ( mv )= mv2 . d 2 - Th ứ t ự r , mv , K O theo chi ều tam di ện thu ận - Chi ều quay: cùng chi ều quay - Độ l ớn KO = mvd của mv 2 đố i v ới ∆. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 758 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 760
Đị nh lý: Khi O thu ộc ∆, thì K= K.cosϕ = mvd .cos ϕ * Mômen độ ng l ượng đạ i s ố: ∆ O 10.15 Giá tr ị đạ i số của mômen độ ng + Mômen độ ng l ượng đạ i s ố đố i lượng theo một hướng nhìn đượ c ∆ K ∆ với điểm O quy ướ c nh ư sau: Nhìn một chi ều nào đó theo ph ươ ng K O mv KO = + mv. d véc tơ mômen độ ng lượng, nếu I v ϕ d m mômen độ ng lượng quay ng ượ c chi ều K K O quay của kim đồ ng hồ (véc tơ mômen ∆ r độ ng lượng hướ ng vào mắt nhìn) thì K O O ∈( ∆ ) d mv O mômen độ ng lượng đạ i số là dươ ng, O v r m nếu mômen độ ng lượng quay thu ận KO chi ều quay của kim đồ ng hồ (véc tơ Cách xác đị nh chi ều quay c ủa K ∆ ( mv ) sau khi bi ết hình chi ếu: mômen độ ng lượng hướ ng ra xa mắt Nhìn theo m ột chi ều c ủa tr ục ∆, nếu chi ều t ừ O đế n I mà: nhìn) thì mômen độ ng lượng đạ i số là - hướng vào m ắt thì theo h ướng nhìn c ủa m ắt, mômen c ủa tr ục xoay ng ược chi ều âm đố i với hướ ng nhìn đó. quay kim đồ ng h ồ đố i v ới tr ục. KO = − mv. d - hướng ra xa m ắt thì theo h ướng nhìn c ủa m ắt, mômen c ủa tr ục xoay theo chi ều quay kim đồ ng h ồ đố i v ới tr ục. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 761 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 763 Ch ứng minh: + Mômen độ ng l ượng đạ i s ố đố i v ới tr ục ∆ Phân tích: mv= mv + mv Giá tr ị đạ i số của mômen 1 2 K∆ = + mv. d 2 2 độ ng lượng đố i với tr ục theo Ta có: KO( mv )= K O ( mv ) + K O ( mv ) (*) 1 2 một hướng nhìn đượ c quy ∆ Chi ếu (*) lên tr ục ∆: mv / / ∆ ướ c nh ư sau: mp (β ) K( mv ) K( mv ).cosϕ = mv d = K ( mv ) ∆ O 2 2 ∆ mv Nhìn theo một chi ều tr ục, nếu mv ∆ d2 1 mômen độ ng lượng quay mv v ()∆ ⊥ mp ()α mv O 2 ng ượ c chi ều quay của kim 1 m mp()α⊥ mp () β v r đồ ng hồ thì mômen độ ng {}O=() ∆ ∩ mp ()α d mv lượng đạ i số là dươ ng, nếu v∈ mp (β ) KO ( mv 2 ) 2 2 v1 v= v + v v mômen độ ng lượng quay 1 2 ϕ KO ( mv ) 2 m v⊥ mp (α ) thu ận chi ều quay của kim 1 r K∆ = − mv2. d 2 d,,, rvKO ( mv )∈ mp ()α đồ ng hồ thì mômen đạ i số là ()2 2 1 âm đố i với hướ ng nhìn đó. KO ( mv 2 ) O mp (α ) KO ( mv 1 ) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 762 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 764
c. Hệ ch ất điểm đố i với điểm O d. Hệ ch ất điểm đố i với tr ục ∆∆∆ n n K= Kmv( ) KO = ∑ mmvO( k k ) 10.16 ∆∑ ∆ k k 10.17 k=1 k =1 Các bướ c xác đị nh: m v 1 1 - Xác đị nh mômen đạ i số độ ng lượ ng theo một hướ ng nhìn K O m1 m v - Suy ra chi ều quay của mômen độ ng lượ ng theo hướ ng nhìn đó v 2 2 1 - Độ lớn mômen độ ng lượ ng cần tìm bằng tr ị tuy ệt đố i mômen đạ i số. r m2 1 v2 KO r2 O rn m n mp (α ) mn v n vn KO ⊥ mp (α ) Nếu các véc tơ độ ng lượ ng đồ ng ph ẳng thì xác đị nh véc tơ mômen độ ng lượ ng từ mômen độ ng lượ ng đạ i số. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 765 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 767 Ví dụ: Cho 2 ch ất điểm chuy ển độ ng trong cùng mặt ph ẳng, xác đị nh Ví dụ: Cho các ch ất điểm nằm ở các đỉ nh của hình lập ph ương cạnh a có mômen độ ng lượ ng đố i với O của hai ch ất điểm đó. kh ối lượng bằng nhau và bằng m. Vận tốc các ch ất điểm có chi ều và có Bi ết m1= 2m2 = 2m, v1=3v2=3v, d1 = 2d2= 2d. độ lớn nh ư hình vẽ. Xác đị nh mômen độ ng lượ ng của các ch ất điểm đố i với tr ục ∆. d K∆ = −4 mva + 3 mva v d 1 2 2 = −mva 0 5mv 5v K= mva m ∆ m K O 1 1 m v 2 2 d 3 2 v 1 m1 v 1 3mv v d2 4v 4mv 2 O v r1 1 m1 m3 m m3 2 3mv KO =11 mvd m2 m2 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 766 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 768
Mômen độ ng l ượ ng trong h ệ tr ục t ọa độ c ố đị nh Oxyz * Mômen độ ng lượ ng đố i với các tr ục tọa độ Xét h ệ ch ất điểm chuy ển độ ng trong h ệ quy chi ếu c ố đị nh Oxyz. • Đố i với tr ục x: z n ɺ ɺ Kx=∑ myz kkk[] − zy kk k =1 zk • Đố i với tr ục y: n mk ɺ ɺ Ky=∑ mzx kkk[] − xz kk k=1 rk • Đố i với tr ục z: k y n j k ɺ ɺ O y Kz=∑ mxy kkk[] − yx kk i k =1 xk x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 769 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 771 * Mômen độ ng lượ ng đố i với gốc tọa độ O + Khi v ật quay quanh tr ục c ố đị nh z i j k z n n i ɺ ɺɺ zk= const⇒ z k= 0⇒ z k = 0 KO =∑( rmvk ∧ kk )(. = ∑ mxyz kkkk ) k=1 k = 1 xɺy ɺ zɺ ix= d .cos ϕ z k k k k k k d ɺ k ⇒ xk= − d k .sinϕ . ω nyz n xz n xy ε =im.(.kk ).(. − jm kk ).(. + km kk ) y m ∑k ∑ k ∑ k ⇒ ɺ k k yzɺɺ xz ɺ ɺ xy ɺɺ xk=− d k. . ω =− y k ω k=1kk k = 1 kk k = 1 kk d k ω r ⇒ ɺɺ ɺ k n n n xk= − y kω − y k ε =i. myzɺ −+ zyɺ j . mzx ɺ −+ xz ɺ k . mxy ɺɺ − yx k ∑kkkkk[][][] ∑ kkkkk ∑ kkk kk y k=1 k = 1 k = 1 i y d j yk k= k .sin ϕ O i ⇒ yk= d k .cosϕ . ω dk x ϕ x k ɺ k ⇒ yk= d k. . ω = x k ω dk ɺɺ ɺ ⇒ yk= x kω + x k ε x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 770 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 772
• Đố i với tr ục x: e. Mômen độ ng lượng của vật chuy ển độ ng tịnh ti ến đố i với điểm cố n n đị nh, tr ục cố đị nh. ɺ ∆ ' Kx=−∑ mzy kkk. =− ∑ mzx kkk .ω =− ω . J xz k=1 k = 1 ∆ K ∆ ' • Đố i với tr ục y: n n K ∆ ɺ K O Ky=∑ mzx kkk =−ω ∑ mzy kkk =− ω . J yz k=1 k = 1 α • Đố i với tr ục z: K ∆ dC K Mv C n n O ɺ ɺ r vC Kz=∑ mxyyx kkkkk[][] −= ∑ mxx kkk.ω + yy kk . ω O C k=1 k = 1 C n 2 =ω∑ mk d k = ω . J z k =1 KO =∧( r Mv ) = mMv () →= K Mvd C C OC O CC • Đố i với gốc O: KO=−ω Ji xz − ω Jj yz + ω Jk z K∆ = K O .cos α 10.18 Chuy ển độ ng t ịnh ti ến K∆ ' = K O GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 773 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 775 + Khi v ật chuy ển độ ng t ịnh ti ến Ch ứng minh: xɺ = v  k x ɺ KO =( rmv ∧ )( = mrv ∧ )  yk= v y , ∀ k ∑k kk ∑ kkk  zɺ = v ɺ ɺ  k z + Do chuy ển độ ng tịnh ti ến, nên: r= r k C • Đố i với tr ục x: ɺ + Vì vậy: KO =(∑ mrk k ) ∧ r C n K= myzɺ −= zyɺ vMy − vMz = Mvy (. − vz .) x∑ kkkkk[] z Cy C zCyC + Mặt khác: ∑mk r k= Mr C k =1 ɺ ɺ + Cu ối cùng ta đượ c: KO = Mr ∧=∧ r r Mr = mMv( ) • Đố i với tr ục y: CCC C O C n K= mzxɺ −= xzɺ vMz − vMx = Mvz (. − vx .) K∆= hc ∆ KO = K O .cos α y∑ kkkkk[] x Cz C xCzC k=1 K∆'= hc ∆ ' KO = K O • Đố i với tr ục z: n ɺ ɺ Kz=∑ mxy kkkkk[] −= yx vMx y Cx − vMy C = Mvx (. yCxC − vy .) k =1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 774 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 776
f. Mômen độ ng lượng của vật chuy ển độ ng quanh tr ục cố đị nh ∆∆∆ * Khi tr ục quay cố đị nh là tr ục trung tâm ∆(//Cz ) + Mômen độ ng lượng đố i với tr ục quay ∆: + Mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục quay K K ∆ Cz K∆ = J ∆ .ω 10.19 KCz = J .ω 10.20a Cz K∆ = K Cz + Mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục cố đị nh ∆ song song với tr ục quay. C Ch ứng minh: K∆ = J Cz .ω 10.20b 2 2 z K∆ =( mrω ) = ω mrJ = ω (∆ ) ∑kk ∑ kk ∆ ω ω GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 777 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 779 Tr ườ ng hợp vật ph ẳng – quay quanh O cố đị nh trong mặt ph ẳng Ch ứng minh tổng quát nh ư sau : Z z ch ứa vật Xét vật quay quanh tr ục cố đị nh K là z. Gán các hệ tr ục cố đị nh nh ư z KO = J O .ω K Z ∆ hình vẽ Nếu tr ục ∆ đi qua O vuông góc với mặt quay K= K ∆ O  X= ax + Xɺ = xɺ Ta có: k k⇒ kk K∆ = J.ω = J . ω   ∆ O Y b y ɺ ɺ  k= + k Yk= y k K O O ω a Y k ω O j b y i ϕ X x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 778 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 780
• Đố i với tr ục Z song song với tr ục z: g. Mômen độ ng lượng của vật rắn chuy ển độ ng song ph ẳng đố i với n n tr ục cố đị nh ∆∆∆ bất kỳ vuông góc với mặt ph ẳng quy chi ếu: K= mXYYXɺ −= ɺ  mxay( +−+ )(ɺ ybx ) ɺ Z∑ kkkkk  ∑ kk[] kk k * Vật hình kh ối chuy ển độ ng song ph ẳng: k=1 k = 1 z ∆ n Tr ục ∆ bất k ỳ vuông góc v ới mp quy MvC d C =∑ mxkk[]( + ax ).( kω ++ y k by ). k ω chi ếu k=1 n K∆ = mMv∆ (C ) + J Cz . ω sp Mv =ω m( x2 +++ y 2 )( ax yb )  C d ∑ kkk kk  vC c k =1 = ±Mvd ± J .ω C n n n CC Cz sp 2 2  =ω∑mxykkk( ++ )  ω amx ∑ kk + ω bmy ∑ kk 10.21 k=1 k = 1 k = 1 O =ωJ + ω aMx. + ω bMy . z C C ωsp J Cz.ω sp Mặt quy chi ếu cố đị nh ( π0) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 781 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 783 Tr ườ ng hợp tr ục z là tr ục trung tâm thì: Tr ườ ng h ợp ∆ là tr ục v ận t ốc t ức th ời, thì Mv C và ω sp ∆ quay quanh ∆ theo cùng m ột chi ều, do đó: xC = 0 Z z  →KZ = J zω = K z K∆ = ±( MvdCC + J Cz .ω sp ) 10.22a z  yC = 0 Ho ặc Xây dựng công th ức với chi ều tr ục Z ωsp 10.22b cùng chi ều với chi ều tr ục z nên: K∆ = ± J ∆ .ωsp C KZ= K z Ch ứng minh: C vC dc rC K∆ = ±( MvdCC + J Cz .ω sp ) O Mv = ±( Mωsp OCOC + J Czsp .) ω C ω 2 b Y =±(.MOC + JCz )ω sp =± J ∆ . ω sp k K ∆ O j a y i ϕ Mặt quy chi ếu X cố đị nh ( π ) x 0 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 782 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 784
* Vật ph ẳng chuy ển độ ng song ph ẳng trong mặt ph ẳng ch ứa nó: Ch ứng minh: k z ∆ KO =∑ ( rmvk ∧ k k ) m K∆ = mMv∆ (C ) + J Cz . ω sp k vk M = (r ++∧ CP d ) mv )  90 0 ∑ C k kk  = ±MvdCC ± J Cz . ω sp MvC d C = (r ∧+ mv ) ( CPmv ∧+ ) ( d ∧ mv ) C ∑Ckk ∑ kk ∑ kkk dk vC rk O 90 0 K= mMvO( C ) + J Csp . ω =∧rC∑ mvCP kk +∧ ∑ mv kk + ∑ ( d kkk ∧ mv ) Mv C Mv rC = ±Mvd ± J . ω C CC C sp =∧rC Mv C +∧ CP Mv CPsp + J . ω vC d (J= J ) C C C Cz =mMv ( ) +∧ CP MPC ω + J . ω ωsp OC spPsp O O =mMv ( ) − PCM2 ω + J . ω Với: C là kh ối tâm, Cz// ∆∆∆ O C sp Psp P ωsp 2 ΟΟΟ thu ộc mp chuy ển độ ng =mOC ( Mv )( + J P − PCM .) ω sp J Cz.ω sp Cùng hướ ng nhìn xét =mO ( Mv C ) + J Cspω giá tr ị đạ i số thì K∆ = K O Tâm v ận t ốc t ức th ời KO = mMvO( C ) + J Cspω Mặt quy chi ếu 2  Nếu O trùng P thì: KO== K P PCMPC.( )ωωsp += J Csp MPCJ . +== C  ωωω sp J Psp J Osp cố đị nh ( π0) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 785 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 787 + Tr ườ ng hợp Ο là tâm vận tốc tức th ời thì ∆ là tr ục vận tốc tức th ời: Ví dụ tính giá tr ị đạ i số KO = ±( MvdCC + J C .ω sp ) z ∆ J C.ω sp KO = − Mvd. . − J ω M. v . f C C Csp I C C Ho ặc KO = ± J O.ω sp KI = + Mvf.C . C − J Cω sp K∆ = ±( MvdCC + J Cz .ω sp ) K= K ∆ O fC Ho ặc K∆ = ± J ∆ .ωsp KH = − J ω H C sp 90 0 d= OC M C vC C J .ω  Mv C dC C sp Với: JC= J Cz 0 O KO 90 C J= J  O ∆ ω dC sp Mv C Cùng hướ ng nhìn xét giá tr ị đạ i số thì K∆ = K O ωsp O Mặt quy chi ếu M. vC . d C J C.ω sp cố đị nh ( π0) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 786 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 788
2. L ực tác d ụng b. Dạng bảo toàn: e + Mômen chính của ngo ại lực: + Nếu MO=0 ⇔ K O = const 10.29 e n e e + Nếu MO=0 ⇔ K O = const 10.30 10.23 - Tổng quát: MO= m( F k ) ∑ O e k =1 + Nếu M∆=0 ⇔ K ∆ = const 10.31 n e e 10.24 - Tr ườ ng hợp hệ ph ẳng: MO= ∑ mO ( F k ) k =1 n e e - Đố i với tr ục: M∆ = ∑ m∆ ( F k ) 10.25 k =1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 789 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 791 3. Các đị nh lý v ề mômen độ ng l ượ ng 4. Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng quay c ủa v ật a. Dạng đạ o hàm: * Ph ươ ng trình vi phân của chuy ển độ ng vật rắn quay quanh tâm cố đị nh O – bài toán ph ẳng d K O e = M O ( d ạng t ổng quát – đố i v ới điểm O 10.26 ɺɺ e e J M O hay J M O 10.32a dt trong bài toán không gian) O .ϕ = O .ε = d K O e + Công th ức trên còn dùng cho vật ph ẳng chuy ển độ ng song = M O ( đố i v ới điểm O trong bài toán ph ẳng) 10.27 dt ph ẳng trong mặt ph ẳng ch ứa vật, với tâm vận tốc tức th ời là O. d K ∆ e 10.28 = M ∆ ( đố i v ới tr ục) * Ph ươ ng trình vi phân của chuy ển độ ng rắn quay quanh tr ục cố dt đị nh ∆: * Ch ứng minh: ɺɺ e e 10.32b J.ϕ = M ∆ hay J.ε = M ∆ ∆ ∆ Ta có: d KO d drk  d d  =()∑ ()()rmvkkk ∧=∧+∧ ∑ mv kk ∑ r k() mv kk =∧+∧ ∑∑ () vmv kkk  rmv kkk()  dtdt dt dt  dt  d  e i e e e =+0 ∑rmvkkk ∧()  =∧+∧=∧+= ∑∑∑ rF kk rF kk rF kk0 ∑ mFM Ok = O + Công th ức trên còn dùng cho vật chuy ển độ ng song ph ẳng với dt  ()()()() tr ục vận tốc tức th ời là ∆. d K ∆ e Chi ếu ph ươ ng trình trên lên tr ục ∆: = M ∆ dt GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 790 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 792
Từ ph ương trình vi phân, ta có th ể xây dựng đượ c ph ươ ng trình vận + Áp dụng đị nh lý Mômen độ ng lượ ng cho từng điểm C và P. tốc góc, ph ươ ng trình chuy ển độ ng quay nh ờ bi ết điều ki ện biên của bài toán. Điều ki ện biên thông th ườ ng là bi ết vận tốc đầ u và góc quay • Đố i với điểm P: ban đầ u khi t = 0. e e d K P KP = J P.ω sp =MP → J.ε = M P dt P sp Ta có: ωɺ ()t= ε () t • Đố i với điểm C: ⇒ ω()t=∫ ε () tdt + ω 0 e e d K C KC = J C.ω sp ⇒ ϕ()t= ω () tdt + ϕ =MC → J.ε = M C ∫ 0 dt C sp Trong đó ω , ϕ : lần lượ t là vận tốc đầ u và góc quay đầ u khi t=0. 0 0 Dạng công th ức của đị nh lý Mômen độ ng lượ ng đố i với hai điểm C và P là nh ư nhau. Đố i với nh ững điểm I khác, công th ức tổng quát không có dạng tươ ng tự. Khi dùng đị nh lý đố i với điểm I này thì ph ải xu ất phát từ công th ức: d K I e = M I dt GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 793 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 795 Lưu ý: Tr ườ ng hợp đĩ a mảnh đồ ng ch ất và vành mảnh đồ ng ch ất lăn * Mở rộng cho tr ụ đặ c đồ ng ch ất và tr ụ rỗng mảnh đồ ng ch ất lăn không không tr ượ t. Đị nh lý Mômen độ ng lượ ng áp dụng cho kh ối tâm C và tr ượ t. tâm vận tốc tức th ời P có dạng chung. ωsp z z + Gi ả sử hệ ngo ại lực bất kỳ nào đó tác dụng lên vật làm cho vật lăn không tr ượ t. zP zP C vC C vC R R • Đố i với tr ục zPzP: ωsp ωsp d K z z e Kz z = J .ω e P P P P zzP P sp R R =MzPP z → J.ε = M zP z P P P dt zzP P sp • Đố i với tr ục zz : e e d K zz Kzz = J zz.ω sp =Mzz → J.ε = M zz dt zz sp GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 794 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 796
Ví dụ 1: Vi ết đị nh lý Mômen độ ng lượ ng cho vật chuy ển độ ng tịnh ti ến. Khi vật rắn quay quanh tr ục z cố đị nh, ta có: e i ⇒ ɺ⇒ ɺɺ *Áp dụng đị nh lý Mômen độ ng lượ ng: F 4 zk= const z k= 0 z k = 0 e z F n e O ix= d .cos ϕ ⋅=K∑( rmvk ∧ kk )( = ∑ mrv kk ∧ ) F 3 k k ⇒ xɺ = − d .sinϕ . ω z =mr ∧= v Mr ∧=∧ v r Mv k k k ∑ kk CCC C e dk F 1 C y ⇒ xɺ =− d.k . ω =− y ω ε   sk k k k ⋅=MO∑( rFk ∧= k ) ∑ ( rsF C +∧ k ) k   dk mk rC ⇒ ɺɺx= −y ɺ ω − y ε e k k k ω r k F 2 k =∧rC∑ Fk + ∑ ( sF k ∧ k ) r k i yk= d k .sin ϕ O k e i j y y ⇒ yk= d k .cosϕ . ω k =∧rC (∑ Fk + ∑ F k ) + 0 O e i K O xk dk = MO ⇒ v∧ Mv +∧ r Ma =∧ r R ⇒ yɺ d x e e C CC CC k= k. . ω = k ω ϕ xk dt dk =∧rC∑ FrRk =∧ C e ⇒ ɺɺ ɺ ⇒ rC∧ Ma C = r C ∧ R yk= x kω + x k ε e x ⇒ MaC = R Đị nh lý độ ng l ượ ng GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 797 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 799 Ví dụ 2: Cho vật rắn chuy ển độ ng quay quanh tr ục z của hệ tr ục tọa độ * Mômen độ ng lượ ng đố i với các tr ục tọa độ cố đị nh Oxyz với ph ương trình quay ϕ(t). Hãy tính: dK • Đố i với tr ục x: dK x y dK z z , , n dt dt dt ɺ Kx= − ∑ mzy kkk. k =1 zk dk • Đố i với tr ục y: n mk ɺ Ky= ∑ mzx kkk k=1 rk • Đố i với tr ục z: k y j yk O n dk ɺ ɺ i Kz=∑ mxy kkk[] − yx kk ϕ k =1 xk x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 798 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 800
* Đạ o hàm theo th ời gian c ủa mômen độ ng l ượ ng đố i v ới các tr ục t ọa Ví dụ 3: Ng ườ i ta kéo một lực không đổ i là F để đư a một vật B có kh ối độ c ố đị nh lượ ng m lên cao từ tr ạng thái đứ ng yên bằng ròng rọc có kh ối lượ ng M, bán kính R, bán kính quán tính đố i với tr ục quay ngang là ρ, tr ục quay là • Đố i với tr ục x: tr ục trung tâm. Xác đị nh ph ản lực liên kết tại O và gia tốc chuy ển độ ng dK n n n x ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ của các vật, bi ết dây mềm không kh ối lượ ng và không giãn. =−∑mzyzykkkkk.( +=− ) ∑ mzy kkk . =− ∑ mzx kkk .(ω + x k ε ) dt k=1 k = 1 k = 1 n 2 2 =−∑ mzykk.( − kω += x k εω ). J yz − ε J xz R k=1 O • Đố i với tr ục y: dK n n n y ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ =∑mzxzxkkkkk() += ∑ mzx kkk =− ∑ mzy kkk ()ω + y k ε dt k=1 k = 1 k = 1 n mzx2 y 2 J J =−∑ kkk(ω + k ε ) =− ω . xz − ε yz F B k=1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 801 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 803 • Đố i với tr ục z: Y O R ε Y O R ε dK n O O z ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ =∑ mxykkk[] +−− xy kk yx kk yx kk O O dt k =1 X X n n ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ T d =∑mxyyxkkkkk[][] −= ∑ mxx kkk(ωε +++ x k )( yy kk ωε y k ) k=1 k = 1 aB n 2 2  T d =∑ mxykkk( −++ωε x k )( yx kk ωε + y k )  F B F k =1 C1. Cách tách hệ a n mg B =m( − yxωε22 ++ x )( xy ω 22 + y ε )  ∑ k kk k kk k  * Đị nh lý Độ ng lượ ng cho vật B: B k =1 n n mg+ Td = ma⇒ T= mg + ma 2 2  2 B d B mg =∑mxykkk( += )ε  ∑ md kk ε = J z . ε k=1 k = 1 * Đị nh lý Mômen độ ng lượ ng đố i với ròng rọc: e 2 ∑ MO = JO.ε⇒ ( FTRM− d ). = ρ . ε GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 802 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 804
C2. Cách không tách hệ ⇒ 2 (F− mg − maB ). R = M ρ . ε Y O R ε ⇒ (F− mg − mRRε ). = M ρ2 . ε * Đị nh lý Mômen độ ng lượ ng đố i với toàn hệ: O M ρ 2 X O ⇒ d K O e F− mg − mRε = . ε = M O (*) R dt M ρ 2 ⇒ F− mg =( mR + ). ε Mà: KO = J.ω + mvR . aB R O B e 2 F B ()FmgR− () FmgR − MO =( F − mgR ). ⇒ ⇒ ∑ ε = 22aB = 22 mRM+ρ mRM + ρ mg Nên từ (*): JO.ε + maR B .( = F − mgR ). 2 Điều ki ện để lực F kéo đượ c vật lên: F> mg ⇒ Mρ. ε + maRB .( = FmgR − ). ⇒ Mρ2. ε+ mR ε . 2 = ( FmgR − ). (FmgR− ). ( FmgR − ). 2 ⇒ ε = ⇒ a = mRM22+ρB mRM 22 + ρ GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 805 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 807 * Đị nh lý Độ ng lượ ng đố i với toàn hệ: * Đị nh lý Độ ng lượ ng đố i với ròng rọc: Y O R ε Y O R ε FT+d + X O + Y O = Ma F++ mg XO += Y O MaO + ma B O O O ⇒ ⇒ FT+d + X O + Y O = 0 F+ mg + XO + Y O = ma B X O X O X=0  X = 0 XO=0  X O = 0 ⇒O ⇒ O ⇒ ⇒    Y−−= F mg ma Y =++ F mgma YOdO=+ FT  Y =++ Fmgma B O BO  B aB  X = 0  X O = 0 T d O ⇒  ⇒  F B F Y= F + mg( + a ) YO= F + mg( + a B ) O B mg GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 806 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 808
Ví dụ 4: Ng ườ i ta kéo tại kh ối tâm C của một đĩ a mảnh đồ ng ch ất có  kh ối lượ ng M và bán kính là R bởi một lực không đổ i là F theo ph ươ ng N= Mgcos. α mặt nghiêng làm cho đĩ a lăn không tr ượ t lên dốc mặt nghiêng. Tại th ời Mg+ N + F = Ma  Ho ặc: i ⇒  FMg−.sin α − F = Ma điểm gia tốc của kh ối tâm là a, yêu cầu tìm lực lực kéo F và lực ma sát e ms MC = J Cε  tr ượ t. Bỏ qua ma sát lăn tác dụng lên đĩ a. 1 2 a N F. R= MR .  ms 2 R v F= const v F= const  a C a C C C N= Mgcos. α R ω R ω  sp sp  3 ε sp ε sp ⇒ F= Ma + Mg .sin α  2 P P  1 F ms F= Ma α α  ms 2 Mg x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 809 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 811 * Cần 3 ph ươ ng trình: * Cần 3 ph ươ ng trình: + 1 ph ươ ng trình từ đị nh lý Mômen độ ng lượ ng + 2 ph ươ ng trình từ đị nh lý Mômen độ ng lượ ng + 2 ph ươ ng trình từ đị nh lý Độ ng lượ ng + 1 ph ươ ng trình từ đị nh lý Độ ng lượ ng   e   ∑ X= Ma x N= Mgcos. α     N= Mgcos. α e  3 Mg+ N + F = Ma  i MP = Jε⇒  F= MaMg + .sin α Ho ặc: i ⇒  FMg−.sin α − F = Ma P 2 e ms e  MP = J Pε  MC = J ε 3 2 a C  1 2 a (FMg− .sin).α R = MR . Fms . R= MR .  2 R  2 R   N= Mgcos. α N= Mgcos. α     3 1 ⇒ F= Ma + Mg .sin α ⇒ Fms = Ma   2  2  3  1 F= Ma + Mg .sin α Fms = Ma  2  2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 810 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 812
* Cần 3 ph ươ ng trình: 3 ph ươ ng trình từ đị nh lý Mômen độ ng lượ ng i e JC.ε= MC ⇒ J C . ε = FR ms . ( ) d K I e  Thay (*), ( ) vào ( ):  = M I JCε=( Mgcos . α + F ms − NR )  dt  a e  3 i J.C = ( Mg .sinα − MaR ). i C C MP = JPε⇒  F= MaMg + .sin α R 2 e  J g.sin α MC = J ε  1 a ⇒ C ⇒ C 2 (2 +Ma )C = Mg .sin α a C =   Fms . R= MR . R JC   2 R N 2 +1 MR  v F= const  C 1 2 N= Mgcos. α a 2 a= g .sin α  C + Đĩ a m ảnh đồ ng ch ất có J C = MR nên: C  3 R ω 2 3 ⇒ sp F= Ma + Mg .sin α ε 1 2 2 2 sp + Tr ụ đặ c đồ ng ch ất có J = MR nên: a= g .sin α  I C 2 C 3  1 P Fms = Ma 2 1  2 F ms + Vành m ảnh đồ ng ch ất có J = MR nên: a= g .sin α C C 2 1 + Tr ụ r ỗng m ảnh đồ ng ch ất có J = MR 2 nên: a= g .sin α Mg C C 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 813 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 815 Ví dụ 5: Ng ườ i ta th ả cho các vật đồ ng ch ất là đĩ a tròn mảnh, vành tròn * Ứng với mỗi dạng hình, gia tốc kh ối tâm của vật lăn không tr ượ t không mảnh, tr ụ đặ c đồ ng ch ất, tr ụ rỗng mảnh đồ ng ch ất cùng trên mỗi mặt ph ụ thu ộc vào: kh ối lượ ng, kích th ướ c, ma sát tr ượ t. Điều này ch ứng tỏ, nghiêng khác nhau để các vật chuy ển độ ng tự do lăn không tr ượ t. Hỏi nếu có hai đĩ a đồ ng ch ất có kích th ướ c khác nhau, kh ối lượ ng khác nhau dạng vật nào có gia tốc của kh ối tâm là lớn nh ất. cùng lăn không tr ượ t trên 2 mặt nghiêng khác nhau nh ưng góc nghiêng * Xét vật dạng tròn đồ ng ch ất, kh ối tâm C: N nh ư nhau thì gia tốc kh ối tâm của hai đĩ a là bằng nhau. a iv= R.ω⇒ a= R . ε⇒ ε = C (*) C C R R C ωsp iMg+ N + Fms = Ma F ms C a ⇒ C Mg.sin α − Fms = Ma C vC P ⇒ F= Mg.sinα − Ma ( ) ms C α ε sp Mg GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 814 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 816
Ví dụ 6: Kh ối lập ph ương đồ ng ch ất hàn ∆  3F cứng với tr ục quay cố đị nh mảnh ∆ ω(t ) = t + ω 3F  Ml 0 không kh ối lượng. Kh ối lập ph ương B ε (t ) = ⇒  Ml 3F cạnh l, kh ối lượng M. Từ tr ạng thái ϕ(t ) = t2 + ω t + ϕ  0 0 đứ ng yên khi t = 0 (s) ứng với góc quay b F1  2Ml (0) = 0, ng ườ i ta tác dụng lực có độ lớn ϕ * Điều ki ện ban đầ u không đổ i là F trên vật, lực có ph ươ ng không đổ i so với các cạnh của kh ối lập ω(0)= 0 ω0 = 0 ⇒  ph ươ ng. ϕ(0)0= ϕ = 0 l   0 1. Vi ết ph ươ ng trình vi phân, ph ươ ng trình vận tốc, ph ươ ng trình chuy ển độ ng F 2 * Ph ươ ng trình vận tốc và ph ươ ng trình chuy ển độ ng theo chi ều của vật. dươ ng đã ch ọn 0 2. Khi vật quay đượ c góc quay là 90 ,  3F xác đị nh ph ản lực liên kết của tr ục. b ω(t ) = t  Ml F= F = F  1 2 3F ϕ(t ) = t 2 A  2Ml GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 817 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 819 0 ∆ * Phân tích ngo ại lực tại th ời điểm t và * Th ời điểm t0 khi vật quay đượ c góc 90 : B ch ọn chi ều quay dươ ng nh ư hình vẽ ∆ Y B y ' 3F 2 π ω(t0 ) B ϕ(t ) = t = ⇒ t ⇒  Y B X B * Ph ươ ng trình vi phân của chuy ển 0 0 0 y ' 2Ml 2 ε (t0 ) X B ϕ F1 độ ng quay đố i với tr ục ∆ x' F1 e ω= ω (t0 ) J∆ .()ε t= Mt∆ () * Đặ t:  x' ε= ε (t ) l 2 2 0 C + Với: J∆= J ∆ ' + ( ) . M 2 * Không mất tính tổng quát, các thành ph ần C P 1 1 ph ản lực liên kết tại th ời điểm tính t đượ c ω0 =Ml2 + Ml 2 0 P 6 2 phân tích nh ư hình vẽ. Gia tốc kh ối tâm C: ε F 2 0 2 z 2  l l 2 2 F 2 A = Ml 2 a()( t =ω2 − ε . ) z ∆' 3 xC 0 2 2 2 A  ∆' Z A e  2 + Với: M∆ ( t )= 2 Fl 2 l l 2 2 a()( t = −ω + ε . ) Z A y yC 0 2 2 2 2 2 F  y X A Do đó: Ml t Fl⇒ t Y A .()2ε= ε ()3=  X A 3 Ml azC ( t 0 )= 0  Y A x  x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 818 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 820
* Đặ t: a( t ) = a  xC0 x ayC( t0 ) = a y  azC( t0 ) = a z * Dùng các đị nh lý và ph ươ ng trình vi phân c ủa chuy ển độ ng * Năm ph ươ ng trình để xác đị nh 5 ẩn số quay để gi ải quy ết bài toán v ật quay: + Ph ươ ng trình th ứ nh ất - Tìm vận tốc góc - Tìm gia tốc góc ∑ Xt(0 )= Ma .xC ( t 0 ) (1) - Tìm ph ươ ng trình quay ⇒ XA+ X B − F2 = Ma. x - Tìm lực ch ưa bi ết + Ph ươ ng trình th ứ hai ∑Yt(0 )= Ma .yC ( t 0 ) (2) ⇒ YA+ Y B − F1 = Ma. y GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 821 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 823 + Ph ươ ng trình th ứ ba Nhìn l ại đị nh lý mômen độ ng l ượ ng d K O e ∑ Zt(0 )= Ma .zC ( t 0 ) (3) 1. T ừ công th ức d ạng đạ o hàm: = M O dt - Đây là ph ươ ng trình véc t ơ t ổng quát. ⇒ ZA− P = Ma. z - Trong h ệ tr ục Oxyz, có th ể tri ển khai thành 3 ph ươ ng trình mômen + Ph ươ ng trình th ứ t ư đố i v ới 3 tr ục. ɺ e - Khi véc t ơ mômen độ ng l ượ ng đã bi ết thì dùng ph ươ ng trình trên tìm Ktx()0= mt x () 0 (4) ngo ại l ực (l ực, mômen) – xác đị nh đượ c nhi ều nh ất 3 ẩn s ố. 2 l ⇒ ω.()Jtyz0− ε Jt xz () 0 =− Y B .(2 blFlbP ++ ) 1 ( +− ) . -Nếu bi ết t ất c ả ngo ại l ực thì dùng ph ươ ng trình trên đị nh véc t ơ 2 mômen độ ng l ượ ng. T ừ đó, tìm các đặ c tr ưng chuy ển độ ng. + Ph ươ ng trình th ứ n ăm 2. Đố i v ới h ệ t ĩnh, cân b ằng thì: Ktɺ ()= mte () (5) y0 y 0 me = 0 l  x ⇒ 2 e e −ω.()Jtxz0 − ε Jt yz () 0 = X B .(2 blFbP +−− ) 2 . KO= 0⇒ M O = 0 ⇔ m = 0 2 y  e Các mômen quán luôn tính đượ c, nên t ừ 5pt trên cho k ết qu ả ph ản l ực mz = 0 liên k ết c ần tìm. Đây là ph ươ ng trình cân b ằng mômen theo 3 tr ục trong bài toán t ĩnh GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 822 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 824
Xét tại th ời điểm t, khi góc quay của thanh là ϕ. Ngo ại lực tác dụng lên thanh AB bao gồm: P, XA , Y A A X A x ϕ Y A B P BÀI TẬP CH ƯƠ NG 10 SINH VIÊN C ẦN GI ẢI QUY ẾT (TT) y Các d ạng bài toán áp d ụng các đị nh lý t ổng quát Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng quay của thanh: - Bài toán th ứ ba: Dùng đị nh lý mômen độ ng l ượ ng tìm các đặ c tr ưng độ ng h ọc c ủa chuy ển độ ng. d KA d ω KJA = .ω⇒ = J .⇒ MJA = . ε Adt A dt A GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 825 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 827 Bài t ập 10.7 1. Xác đị nh vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB: Thanh th ẳng mảnh đồ ng ch ất AB có chi ều dài l, tr ọng lượ ng P. Lúc Ch ọn chi ều dươ ng là chi ều quay nh ư hình vẽ thì: đầ u ng ườ i ta gi ữ thanh đứ ng yên nằm ngang, rồi th ả cho thanh chuy ển l ml2 3 g độ ng quay tự do không vận tốc đầ u trong mặt ph ẳng th ẳng đứ ng dướ i mg .cosϕ= . εε⇒ = cos ϕ (*) tác dụng của tr ọng lượ ng của nó. 2 3 2 l 1. Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng tính vận tốc góc và gia tốc Xem: ϕϕωω=(),t == () tt ϕεεɺ (), == () tt ϕ ɺɺ () góc của AB theo ϕ. 2. Tính ph ản lực liên kết tại A khi thanh chuy ển độ ng 3g dgω 3 dg ϕ 3 ε= cos ϕ⇒ = cos ϕω⇒ d= cos ϕϕ d 2l dtl 2 dtl 2 A 3g ϕ ⇒ ωωd= cos ϕϕ d 2l B GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 826 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 828
Ch ọn gốc th ời gian t = 0 khi thanh bắt đầ u quay: ϕ(0) = 0; ω(0) = 0 C2: Gi ải theo ph ươ ng pháp t ọa độ Descartes: Ph ươ ng trình chuy ển độ ng kh ối tâm C A X A Ứng với th ời điểm t: ϕ = ϕ( t), ω = ω( t) x 3g  l ϕ Từ công th ức vi phân ωω d = cos ϕϕ d , tích phân v ới điều ki ện xC = cos ϕ  2 Y A C ban đầ u, ta đượ c: 2l  a l x  ay yC = sin ϕ ω ϕ 3g 3 g 3 g  2 ⇒ 2 ⇒ ∫ωωd= ∫ cos ϕϕω d = sin ϕω= sin ϕ Ph ươ ng trình vận tốc và gia tốc kh ối tâm C A 0 0 2l l l y P l  l 2 vx=−ωϕsin a x =−() ωϕεϕ cos + .sin 2  2 2. Tìm ph ản lực liên kết tại A: ⇒  l  l 2 Khi đã bi ết vận tốc góc và gia tốc góc thì có th ể gi ải theo 1 trong 2 vy=ωϕcos a y =−+() ωϕεϕ sin .cos 2  2 cách sau: Từ ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng kh ối tâm C, ta có: P Pl2 9 P XA= a x =−()ωϕεϕcos + .sin =− sin2 ϕ g2 g 8 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 829 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 831 C1: Gi ải ti ếp theo k ết qu ả bài toán A X A x A X A Theo đị nh lý chuy ển độ ng kh ối tâm C x ϕ P ϕ (an + aτ ) =+ PXA + Y A (1) Y A a C n 0 g 90 Y A C ax ay Chi ếu (1) lên các tr ục x: a B P y τ P B (−a .cosϕ − a .sin ϕ ) = X y g nτ A P Pl9 P ⇒ X= −(ωϕεϕ2 .cos + .sin)⇒ X = − sin2 ϕ Từ ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng kh ối tâm C, ta có: A 2g A 8 P Pl 2 Chi ếu (1) lên các tr ục y: P+= YA a y =() −ωsin ϕε + .cos ϕ g2 g P (−an .sinϕ + aτ .cos ϕ ) =+ YP A Pl P ⇒ 2 2 g YA =−()ωϕεϕsin + .cos −=− P () 9sin ϕ +< 1 0 2g 4 Pl P ⇒ 2 2 YA =−(ωϕεϕ .sin + .cos) −=− P () 9sin ϕ +< 1 0 2g 4 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 830 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 832
Bài t ập 10.8 Bài t ập 10.9 Cho hệ nh ư hình vẽ với BC = 5r. Dây mềm không tr ọng lượ ng, Cho đĩ a tròn đồ ng ch ất (3) với bề dày không giãn, các đĩ a đồ ng ch ất có bề dày không đổ i lăn không tr ượ t. không đổ i, có bán kính R, tr ọng lượ ng (3) Cho hệ chuy ển độ ng tự do từ tr ạng thái đứ ng yên. Khi vật (1) P có th ể quay quanh tr ục ngang tại A O chuy ển độ ng xu ống đạ t vận tốc v , yêu cầu: kh ớp O. Vật (1) có tr ọng lượ ng là Q1, 0 R vật (2) có tr ọng lượ ng Q2 (Q 2 > Q1) 90 Tìm K Bz của hệ. r đượ c bu ộc vào hai đầ u dây qu ấn trên B biên đĩ a tròn. Dây không tr ọng lượ ng, (1) : v , P1 = P không giãn, khi chuy ển độ ng không s (2): r, P2 = 2 P (1) tr ượ t đố i với đĩ a tròn. Các thanh th ẳng OA và OB xem nh ư không tr ọng (3): r , P3 = P 0 lượ ng. Cho hệ chuy ển độ ng từ tr ạng 30 (1) (2) C (3) thái đứ ng yên. Khi vật đi đượ c quãng (1) đườ ng s, yêu cầu: r 1. Xác đị nh vận tốc và gia tốc của của B α đĩ a và vật. 2. Tìm nội lực của các thanh OA, OB. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 833 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 835 (3) (1) (2) (3) Y 0 KBz= K Bz + K Bz + K Bz X 0 A O X 0 A O 0 0 90 R 90 r (2) B Y 0 P (2) s vD D 30 0 30 0 C (1) v (1) C Q r (3) 2 B B α v Q1 Ngo ại l ực tác d ụng lên h ệ độ ng Ngo ại l ực tác d ụng lên h ệ t ĩnh GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 834 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 836
* Hướ ng dẫn: (3) ω Gia tốc của vật (2) khi nó đi đượ c quãng đườ ng s: 2 + Xét hệ độ ng gồm: đĩ a tròn, hai vật và dây. ɺɺ t a=ε Rst = ()⇒ st () = ε R + AtA3 + 4 Y 0 2 Ngo ại lực tác dụng lên hệ gồm: PQ,1 , Q 2 , X0 , Y 0 O X 0 Với điều ki ện ban đầ u: 1. Xác đị nh vận tốc và gia tốc của của đĩ a và vật. v(0)= sɺ (0) = 0 A = 0 Gi ả thi ết chi ều chuy ển độ ng của các vật nh ư hình R 2 ⇒  3 s(0)= 0 A = 0 Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng: 4 t 2 2s d K Oz e Do vậy: sst=( ) = ε R⇒ t = = M Oz (1) P 2 ε R dt s (âéa ) Q1 Q 2 KOz =− JOz .ω − RvRv .1 − . 2 Cu ối cùng: g g v1 (2) (1) v2 P Q Q 2εs 4g ( Q2− Q 1 ) 21 2 2 2 ω= ε t = = s =−Rω − R ω − R ω 2 2g g g R RPQ()+21 + 2 Q 2 Q 2   P Q1 Q 2 2 =− + +  R ω 2g g g  Q1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 837 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 839 e ω Vận tốc và gia tốc của vật (1), (2): MOz = − QRQR2 + 1 (3) 2g ( Q2− Q 1 ) Thay vào (1), ta có: Y 0 vvR1= 2 =ω = t ()P+2 Q1 + 2 Q 2 P Q Q  O X 0 ++1 2 Rε =− Q Q   2 1 2g ( Q− Q ) 2g g g  aaR===ε 2 1 = a R 1 2 P+2 Q + 2 Q 2g ( Q− Q ) ()1 2 ⇒ ε =2 1 = const RP()+2 Q1 + 2 Q 2 2. Tìm nội lực trong các thanh OA, OB. P (2) Xác đị nh ph ản lực liên kết tại O lên hệ: 2g ( Q− Q ) s 2 1 ω =t + C 1 X = 0 RP+2 Q + 2 Q a2  0 ()1 2 ∑ X= Ma Cx  v1 v ⇒  Q Q a 2 YPQQ−−− =1 a − 2 a ⇒ C 1 ∑Y= Ma Cy  0 12 1 2 ω(0)0= 1 = 0  g g (1)  2g ( Q2− Q 1 ) Q X = 0 X = 0 ω = t 2 0  0 RP()+2 Q1 + 2 Q 2 ⇒ ⇒ Q1 Q 2  a a Q Y0= a 1 − aPQQ 2 +++ 12  YQ0= 1( ++ 1) Q 2 (1 −+ ) P 1  g g  g g Do Q2 >Q 1 nên ω>0, do đó chi ều chuy ển độ ng của hệ nh ư đã gi ả thi ết GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 838 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 840
Xét hệ tĩnh gồm 2 thanh OA, OB, nội lực trong các thanh lần lượ t là 1. Vi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật rắn: SOA , SOB . A X 0 O S OA X 0 O Ta có: 0 90 0 60  2 Fâéa âàûc = 9π a ⇒ X O  Mâéa âàûc= 9π M vuäng y 2 O ϕ Fvuäng = a Y 0 Y 0 S OB C Mà: M− M = M Y O âéa âàcû vuäng B 0 M 9π P 30 Nên: M=, M = M Tách và xét cân bằng mắt O: vuäng91π− âéa âàcû 91 π − Y0 ∑Y= 0 ⇒ S OB = B cos30 0 x 0 0 P= Mg ∑ XSS= 0⇒ OA=− OB .cos60 =− Y 0 .tan30 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 841 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 843 Bài t ập 10.10 Mômen quán tính của vật quay đố i với kh ối tâm C: 1 81 π Vật rắn mảnh đồ ng ch ất với biên ngoài hình tròn bán kính R = 3a, bị Jâéa âàûc =. Ma .(3)2 = Ma . 2 C 2âéa âàûc 2(9π − 1) khoét lỗ hình vuông cạnh a, bề dày rất bé và không đổ i, kh ối lượ ng M. Vật quay quanh tr ục O nằm ngang dướ i tác dụng của tr ọng lực. Ban đầ u vuäng 12 1 2 X O y OC nằm ngang, trùng với tr ục Oy và vận tốc bằng không. JC =. Mavuäng . = . Ma O 6 6(9π − 1) ϕ 1. Vi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật rắn. C 0 Y O 2. Tính vận tốc và gia tốc của điểm B khi OC thu ộc tr ục Ox (ϕ = 90 ). váût âéa âàûc vuäng 243π − 1 2 JJC= C − J C = . Ma 6(9π − 1) P B y O ϕ x C B Mômen quán tính của vật quay đố i với tâm quay O: 729π − 55 JJváût=+= váût 9 aM2 . . MaJ 2 = O C 6(9π − 1) 0 x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 842 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 844
Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng quay của vật rắn: Bài t ập 10.11 3aMg Cho hệ sau; dây mềm không tr ọng lượ ng, không giãn. Vật A có tr ọng MO = J.ε⇒ MgR .cos ϕϕϕ= J ɺɺ⇒ ɺɺ − .cos ϕ = 0 0 0 lượ ng P , vật B có tr ọng lượ ng P , ròng rọc C có tr ọng lượ ng P , bán J 0 1 2 3 kính quán tính ρ, quay quanh tr ục trung tâm. Cho hệ chuy ển độ ng tự do 6aMg ⇒ ϕɺ 2 −.sin ϕ +A = 0 từ tr ạng thái đứ ng yên. Khi vật A chuy ển độ ng xu ống đạ t vận tốc v , J 0 A 0 yêu cầu: (C ) ϕ(0)= 0 1. Tìm ε của ròng rọc (C). R Điều ki ện ban đầ u:  ⇒ A0 = 0 ϕɺ(0)= 0 2. Tìm ph ản lực liên kết tại O và lực căng các r O nhánh dây. Vậy ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng: Bi ết: R=2, rPP1 == 3 3 P 2 = 3. P 6aMg 6 aMg ϕɺ 2 −.sin ϕω = 0⇒ 2 − .sin ϕ = 0 J0 J 0 B A GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 845 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng LưvuA hành nội bô ̣ Slide 847 6aMg Bài t ập 10.12 Ta có: ω= .sin ϕ J0 Cho đĩ a m ảnh đồ ng ch ất ( R , m ) quay quanh O v ới điều ki ện ban đầ u 6aMg 36(9π − 1) g khi t = 0 (s) là ϕ(0)= 0, ϕ ɺ (0) = 0. 0 ω = = Tính vận tốc góc khi ϕ =90 : 90 0 J0 (729π − 55). a 1. Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của C ɺ 2.1. Vận tốc của điểm B khi ϕϕϕ =90 0: 2. Tìm ω()t= ϕ () t 3. Tìm ph ản lực liên kết tại O 324a (9π − 1) g y v0=ω 0 . R = O B (90) 90 (729π − 55) ϕ 2.2. Gia tốc của điểm B khi ϕϕϕ =90 0: C 6aMg 3 aMg Với ω2 −.sin ϕε = 0⇒ = .cos ϕε⇒ = 0 R 90 0 J0 J 0 108(9π − 1) an =(ω )2 . R = g B (90)0 90 0 (729π − 55) x aτ =ε . R = 0 B (90)0 90 0 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 846 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 848
Bài t ập 10.13 z z ' Ng ườ i ta gắn vào đầ u cu ối của một thanh Thay tất cả số li ệu vào (*): mỏng đồ ng ch ất nằm ngang, chi ều dài l, tr ọng lượ ng P một đĩ a tròn mảnh tròn đồ ng ω 2 2 2 KOz =4 Pl +++ 3 Qr 12( Qlr )  ch ất bán kính AC = r, tr ọng lượ ng Q. Cho 12 g bi ết mặt đĩ a th ẳng đứ ng. O, A, C th ẳng hàng A C A C và hệ quay quanh tr ục th ẳng đứ ng Oz với vận O O r r tốc ω. Hãy xác đị nh mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục quay. ω ω * Bài trên khi tính cần lưu ý công th ức chuy ển tr ục song song của mômen quán tính: GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 849 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 851 Bài t ập 10.14 z z ' * Mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục quay Oz z Vật nặng kh ối lượ ng m nằm trên một mâm Do cơ hệ chuy ển độ ng quay cùng tr ục nên: quay nằm ngang có kh ối lượ ng M = 2m, bán kính quán tính đố i với tr ục quay là ρ = 0,5.R. ()OA ()âéa KOz= K Oz + K Oz (* ) Tr ục quay của mâm là tr ục trung tâm của mâm. Tại th ời điểm t = 0 (s), nặng ở vị trí A, A C O hệ gồm mâm quay và vật nặng quay tự do R + Thanh OA chuy ển độ ng quay quanh tr ục Oz r với vận tốc góc ω . Khi vật nặng chuy ển A 0 O độ ng trên mâm quay theo đườ ng cong tròn (OA ) P (OA )1 2 2 KOz = J.ω = l . ω (s) theo ph ươ ng trình s(t) = 2t +t (cm). Hãy Oz 3 g ω vi ết ph ươ ng trình vận tốc góc của mâm quay ω0 + Đĩ a chuy ển độ ng quay quay quanh tr ục Oz theo t. Bi ết bán kính R = 400 (cm), m = 40 (kg). (âéa ) ()âéa () âéa 2() âéa  KOz = JOz.ω = J Cz ' + OCM .  . ω 1 Q22 Q  Q 2 2 =rlr ++()  ω = rlr ++ 4().  ω 4g g  4 g HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 850 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 852
* Hướ ng dẫn: Bài t ập 10.15 z P= mg Một đĩ a mảnh đồ ng ch ất tr ọng lượ ng P z Y I X I I nằm trong mặt ph ẳng ngang, bán kính r Q= Mg quay quanh tr ục th ẳng đứ ng Cz (C là kh ối e tâm của đĩ a) với vận tốc góc không đổ i Ta có: ∑ M Oz = 0, ∀ t nên KOz = const R ω0. Từ điểm A trên vành đĩ a, một điểm M B A có tr ọng lượ ng Q chuy ển độ ng theo dây R O cung AB với vận tốc ban đầ u bằng không. a C M Hãy xác đị nh vận tốc góc của đĩ a khi điểm M nằm cách tâm đoạn ng ắn nh ất là a và có Q P A vận tốc tươ ng đố i là u. Bỏ qua kh ối lượng ω0 ω tr ục quay. Z H Y H X H H HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 853 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 855 e z + Mômen độ ng lượ ng lúc vật tại A (t=0 (s)) Ta có: ∑ M Cz = 0, ∀ t nên KCz = const (0) 2 2 Y I KOz = M.(0,5 R ) . ω + mR ω v X I 0 0 e I vr + Mômen độ ng lượ ng tại th ời điểm t. R dr B de yr (t ) 2 α KOz = M.(0,5 R ).ω + mvd . . + R e e a I O xr A + m. vr . d r C M ω(t ) = ω + Dùng đị nh lý mômen độ ng lượ ng: A (0) ()t P KOz= K Oz ⇒ ? ω Q 2 R 2t+ t x=(cos α + 1) = d α = r r vr =4 t + 1 R / 2 2 Z H R 2 2 v= d .ω H yr = .sin α d= y + x e e 2 e r r Y H X H GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 854 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 856
+ Khi M còn tại A: Bài t ập 10.16 ()âéa () M Trong rãnh nh ỏ OA của đĩ a mảnh đồ ng z KCz = JCz.ω0 + J Cz ω 0 ch ất nằm ngang có tr ọng lượ ng Q, bán   1 P2 Q 2 kính R, ng ườ i ta đặ t một thanh đồ ng =.R + . R  ω0 2 g g  ch ất dài l, nặng P, đầ u B gắn vào tâm O R 2 của đĩ a. Đĩ a quay quanh tr ục th ẳng =()P + 2 Q ω0 đứ ng Oz với vận tốc góc không đổ i ω . 2g 0 R Sau đó B rời kh ỏi O và thanh bắt đầ u B B1 + Khi M tại I: chuy ển độ ng dọc theo rãnh OA. Hãy O A xác lập vận tốc góc của đĩ a ở th ời điểm   (âéa )Q1 P 2 Q khi đầ u B của thanh cách Oz một đoạn KJCz =+=Cz.ω Rv M  . R ω + aau (.) ω +  ω g2 g g  R/2. 1 2 2 =()PR.ω + 2. Qa ω + 2 Qua 2g HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 857 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 859 e z Ta có: M Oz = 0, ∀ t nên KOz = const ∑ Ta có: Y I X I I 2 1 2 2 R ()PR.ω+ 2.2 Qa ω + Qua =+() P 2 Q ω 0 2g 2 g R 2 2 2 ⇒ B B1 ()PR.ω+ 2.2 Qa ω + Qua =+() P 2 QR ω 0 O A P+2 QR2ω − 2 Qua ⇒ () 0 ω = 2 2 PR+ 2 Qa Q P ω Z H H Y H X H GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 858 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 860
+ Khi B còn tại A: z (âéa ) (BB 1 ) KOz = JOz.ω0 + J Oz ω 0 Ta có:   1Q2 1 P 2  22ω0 1Q 22 1 P PRl+ 2 =.R + . l  ω0 ()32QRPl+ = R + l + ()  ω 2g 3 g  62g g 12 gg 2  22 22 2 2 2 ω R ⇒ 64QR+ Plω = 6 QR +++ Pl 3() PRl ω =3QR + 2 Pl 0 ()()0 () B B1 6g 2 2 O A ()3QR+ 2 Pl ⇒ ω= 2 ω 0 2 2 2 ()6QR+ Pl + 3() PR + l ω GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 861 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 863 + Khi B cách O đoạn R/2: thanh BB Bài t ập 10.17 1 z z chuy ển độ ng song ph ẳng. Một vật M có tr ọng lượ ng P = 4,2 (kN) R đượ c gi ữ trên mặt nghiêng bằng một r O ng ườ i có tr ọng lượ ng Q = 1,4 (kN) gi ữa đầ u dây A. Sau đó ng ườ i đó bắt đầ u R nâng lên theo sợi dây với vận tốc B B u = 0,74 (m/s) đố i với dây. Bỏ qua tr ọng M O A C 1 lượ ng của các ròng rọc; dây không tr ọng lượ ng, không giãn; bỏ qua ma sát. A Ròng rọc quay quanh tr ục ngang. R+ l ω (âéa ) ()BB 1 ()BB 1 e Xác đị nh vận tốc của M nếu bi ết: KJOz =Ozω + J Cz ω + ( Mv C )( ) α 2 sin α = 5/6, r = 0,1 (m), R = 0,25 (m). 1Q2 1 P 2 PRl+ 2  =Rω + l ω + ( ) ω  2g 12 g g 2  1Q2 1 P 2 PRl+ 2  =R + l + ( )  ω 2g 12 g g 2  HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 862 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 864
Bài t ập 10.18 Ta có: Y O 5 Một đĩ a mảnh đồ ng ch ất nằm ngang A T= P .sinα = 4,2. = 3,5 (kN) R 6 r kh ối lượ ng m1, bán kính r quay quanh e X O tr ục th ẳng đứ ng AB cố đị nh với vận tốc ∑ MOz =−= Tr. QR . 3,5.0,1 − 1,4.0,25 = 0 O góc ω . Vào một th ời điểm nào đó, một T 0 điểm M có kh ối lượ ng m2 bắt đầ u Do đó: KOz = const, ∀ t A chuy ển độ ng từ tâm đĩ a ra ngoài vành r T theo một đườ ng bán kính với vận tốc M N không đổ i u. Xác đị nh vận tốc góc của C Q đĩ a theo th ời gian kể từ lúc M chuy ển M độ ng. Bỏ qua ma sát ở ổ tr ục quay. ω P α B HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 865 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 867 e Ta có: M AB = 0, ∀ t nên KAB = const ∑ A R Gọi vận tốc chuy ển độ ng đi lên theo mặt r Y A X A nghiêng của vật M là v (v ận tốc của dây). O Vận tốc chuy ển độ ng lên của ng ườ i là: R M u− v M r r C P * Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng A KOz = const = 0 α Q Q= m1 g P Q R  KOz = vr − uv −  . R = 0 Z B P m g g g r  = 2 ω QRru ⇒ v = 2 2 Y B ()Pr+ QR X B B GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 866 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 868
+ Khi M còn ở C: * Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng: A (0) 1 2 e KAB = m. r ω d KO ( t ) 1 0 = M O 2 dt + Sau kho ảng th ời gian t: + Gi ả sử chi ều chuy ển độ ng nh ư hình vẽ, vận tốc tại th ời điểm t là v. e A v M r (t ) 1 2 e r M v KAB = mr.ω + mvut .() M 1 2 M M 1 2 C ut O 1 =mr.2ω + m .() ω ut 2 v 2 1 2 ω M 2 β α ()âéa ()M () M B 1 2 1 Q P1 P 2 2 KtKO()= O () tK + O () tK + O () t =++ rv vr vr (0) ()t m1 r 2 g g g AB AB ⇒ Ta có: K= K ω= 2 2 ω 0 mr1+ 2 m 2 ( ut ) r ⇒ KtO ()=() QPPv + 22 + 2g 2 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 869 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 871 Bài t ập 10.19 R A Ng ườ i ta vắt qua ròng rọc A có tr ọng lượ ng Q một sợi dây không kh ối A lượ ng, không giãn, hai đầ u dây bu ộc hai vật nặng M1, M2 có tr ọng T 1 lượ ng P1, P2. Các vật đượ c đặ t lên mặt nghiêng tr ơn hợp với mặt O T 2 ngang các góc α = 30 0 và β = 60 0. Hãy xác đị nh gia tốc của các vật. T 1 Coi ròng rọc là đĩ a đồ ng ch ất có bề dày không đổ i, bán kính r, các N 1 2 nhánh dây song song với mặt nghiêng. T Q N 2 A M 1 O M 2 β P1 α M 1 P 2 M TP12=sinβ , TP 22 = sin α 2 β α e MOz =−= TrTrPrsinβ − Pr sin α = rP sin β − P sin α HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. 212 1() 2 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 870 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 872
* Ta có: + Gi ả sử chi ều chuy ển độ ng nh ư hình vẽ, vận tốc góc tại th ời điểm t là ω: dKtO ( ) e r = MO ⇒ ()() QPParP++2 2 = sinα − P sin β ω dt2 g 2 1 2 P− 3 P ⇒ a= 1 2 g r Q+2( P1 + P 2 ) 2 r1 O ()âéa ()M1 () M 2 KtKO()= O () tK + O () tK + O () t 1Q12 1 Q 2 2 P 1 P 2 =(r1 + r 2 ) ω ++ vrC 11 vr C 22 2g 2 g g g M 1 1Q 1 Q P P M 2 =(1r2 + 2 rr 2 ++ 1 2 2 r 2 ) ω 2g1 2 g 21 g g 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 873 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 875 Bài t ập 10.20 e MO = Pr + Pr 11 22 RO Hai vật nặng M1, M2 có tr ọng lượ ng P1, P2 qu ấn vào hai ròng rọc gắn r2 cứng với nhau có chung một tr ục quay. Bỏ qua tr ọng lượ ng của dây, dây r1 không giãn, các ròng rọc là các đĩ a đồ ng ch ất với bề dày không đổ i có O các bán kính r1 và r2 (r 2 >r 1) có tr ọng lượ ng tươ ng ứng là Q1, Q2. Cho hệ chuy ển độ ng tự do không cản từ tr ạng thái đứ ng yên. Hãy xác đị nh gia Q tốc của các ròng rọc khi chuy ển độ ng. 1 Q r2 2 r1 M 1 O M * Ta có: 2 P1 P 2 e d KO () t 1Q12 1 Q 2 2 P 1 2 P 2 2 = MO ⇒ ( r+ r ++ r r ) ε =+ PrPr dt2 g1 2 ggg 2 1 2 1122 M 1 Pr+ Pr ⇒ ε = 2g 11 22 M 2 2 HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. 2 (2PQr1+ 11 ) + (2 PQr 2 + 22 ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 874 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 876
z Bài t ập 10.21 e MAz = M Y I Ba thanh mảnh đồ ng ch ất tạo thành tam X I Ta có: I giác cân ABC (AB =AC). Tr ọng lượ ng e   A của AB và AC nh ư nhau là P1; thanh d KAz ( t )P12 1 P 2 2 = MAz ⇒ 2 a+ aM  ε = BC nằm ngang có tr ọng lượ ng là P2, có A dt3 g 3 g  độ dài 2a. Tam giác quay quanh đườ ng α 3Mg cao AH dướ i tác dụng của mômen quay ⇒ ε = 2P+ P a 2 M. Hãy xác đị nh gia tốc của các thanh. ()1 2 M P1 H P1 M B C H a a B C a a P 2 Z H ω H Y H HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. X H GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 877 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 879 * Ch ọn chi ều quay nh ư hình vẽ, gi ả sử tại th ời điểm t vận tốc góc là ω. Bài t ập 10.22 ()AB () AC () BC Hai đĩ a đồ ng ch ất nh ư nhau bán kính R và tr ọng lượ ng P đặ t trong mặt KtKAz()= Az () tK + Az () tK + Az () t z ph ẳng th ẳng đứ ng và vuông góc với thanh không tr ọng lượ ng O1O2 Gọi chi ều dài thanh AC là l: dài 2a quay đượ c quanh tr ục z cố đị nh dướ i tác dụng của mômen M. l (AB ) Hãy xác đị nh gia tốc của các đĩ a. 2P1 P 1 2 z KtAz ()=ω∫ (.sin x α ) dx = ω a O1 0 gl3 g A ()AC () AB P1 2 KtKtAz()= Az () = ω a α 3g O (BC ) P P 2 122 1 2 2 M M KtAz ()= (2) aω = ω a a 12g 3 g B H C Do đó: a a a   P121 P 2 2 ω KtAz ()= 2. a + a  ω g g 3 3  C HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 878 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 880
* Chuy ển độ ng quay theo chi ều mômen với vận tốc góc ωωω: Bài t ập 10.23 Cho cơ cấu hành tinh gồm tay quay OA với kh ối lượ ng không đáng kể ()âéa O1 () âéa O 2 2 2 P KtKCz()= Cz () tK + Cz ()( tRa =+ 4) ω quay quanh tr ục cố đị nh Oz, bánh xe cố đị nh 1 và bánh xe 3 cùng bán 2g kính r, cho kh ối lượ ng bánh 3 là m. Bánh xe 2 có kh ối lượ ng m2 và (âéa O 1 ) (âéa O )  1 bán kính r2. Cho tay quay quay với vận tốc góc có hình chi ếu lên tr ục KCz ( t )= J Cz . ω Với: z Oz bằng ω . Coi các đĩ a tròn là đồ ng ch ất. Tính mômen độ ng lượ ng (âéa O 2 ) z (âéa O 2 ) z KCz ( t )= J Cz . ω của hệ đố i với tr ục Oz.  (âéa O 1 ) P (âéa O 1 ) 2 O KCz ()( tJ= + a .). ω 1  O1 z g ⇒  1 O (âéa O 2 ) P  (âéa O 2 ) 2 2 KCz ()( tJ=O z + a .). ω O  2 g M 2 B a  (âéa O 1 ) P2 2 P ω KCz ()( t= Ra + .). ω  4g g a A 3 ⇒   (âéa O 2 ) P2 2 P KCz ()( t= Ra + . ). ω   4g g C GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 881 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 883 e MCz = M z * Xác đị nh vận tốc kh ối tâm vật 2 và 3 Ta có: v=ω .( r + r ) B z 2 O dKtCz ( ) e P 1 2 2 vA=2ω z .( r + r 2 ) ω = MCz ⇒ ( Ra+ 4 ) ε = M z z dt2 g 2 2Mg X I ⇒ ε = B 2 2 Y I (R+ 4 a ) P O1 I vB 3 P A O2 M v a A Z C a P X C x Y C C y GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 882 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 884
Bài t ập 10.24 * Xác đị nh vận tốc góc song ph ẳng Để kéo kh ối tr ụ đồ ng ch ất (2) với tr ọng lượ ng P2 và bán kính r2 lăn + Vật 2 chuy ển độ ng song ph ẳng: không tr ượ t trên mặt ph ẳng nghiêng đi lên, ng ườ i ta dùng tr ống (1) có O 1 tr ọng lượ ng P1, bán kính r1 quay quanh tr ục cố đị nh Oz vuông góc với vBω z .( r+ r 2 ) ωz mặt ph ẳng hình vẽ, trên mặt tr ống qu ấn dây, một đầ u nối với tr ục của ω2 = = r2 r 2 2 kh ối tr ụ. Bỏ qua ma sát lăn và tr ọng lượ ng của dây. Hãy tính mômen độ ng lượ ng của hệ đố i với tr ục ngang Oz ph ụ thu ộc vào vận tốc góc + Phân tích gi ảng đồ véc tơ vận tốc cho th ấy: B của D. v = v nên vật 3 chuy ển độ ng tịnh ti ến. vB I A I (1) 3 r v O 1 I A (2) r v 2 A C GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 885 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 887 * Mômen độ ng lượ ng của từng ph ần hệ theo chi ều quay: * Mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục Oz: (2) ω m2 2 2 m 2 + Tr ống D KtmvrrOz ()=2B .() ++ 2 r 222 .ω = mrr ωz () ++ 2 ω z rrr 22 () + 2 2 (1) (1)P1 2 (3) (D ) 2 KtJOz ( )=Oz . ω1 = r 1 ω KtOz ()2= mvrr .( += )4 mω ( rr + ) 2g r A2 z 2 O 1 * Mômen độ ng lượ ng của hệ theo chi ều quay: r2 (2) (3) C KtOz()= K Oz () tKt + Oz () + Kh ối tr ụ t ại đầ u C 2 m2 2 =mrr22ωz() ++ ω z rrr 22 ()4() ++ mrr ω z + 2 2 (C ) (2) KOz ( t )= mvr2 . C 1 + J Cz ω 2 (r+ r 2 ) =ωz []m2(2 r +++ 3)8( r 2 mrr 2 ) P2 P 2 2ω 2 2 = vrC 1+ r 2 =()2 Pr 21 + Prr 221 g2 g 2 g + Toàn h ệ: (1) (2) ωr1 KtKtKtOz()= Oz () + Oz () =[] PrPrr11 ++ 2 (2 1 2 ) 2g GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 886 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 888
1. Động n ăng a. Độ ng năng của một chất điểm: Là công cần th ực hi ện để gia tốc ch ất điểm có kh ối lượ ng m từ tr ạng thái đứ ng yên lên vật tốc v. 1 T= mv 2 10.33 2 n 1 §3. Đị nh lý độ ng n ăng 2 10.34 b. Độ ng năng của hệ ch ất điểm: T= ∑ mk v k k=1 2 Trong ph ần này s ẽ kh ảo sát m ối quan h ệ gi ữa công 1 của l ực tác d ụng trên h ệ với độ ng n ăng c ủa h ệ. c. Độ ng năng của vật rắn chuy ển độ ng tịnh ti ến: T= Mv 2 10.35 2 Ch ứng minh: n n n 12 11 22 1 2 T=∑ mvkk = ∑ mv k = vm ∑ k = Mv k=12 k = 1 22 k = 1 2 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 889 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 891 * Trong hệ tr ục tọa độ cố đị nh Oxyz: F n Một vài k ết qu ả t ừ đị nh lý F1 1222 111 2 2 2 F 3 dT dA T= Mvvv()xyz ++= Mv x + Mv y + MvTTT zxyz =++ i = 2 222 k dt dt Khi bi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật, thì: mk vk idT= dA v= xɺ( t )  x ɺ vy = y( t ) F 2 iT− T = A  2 1 12− v= zɺ( t ) Độ ng n ăng c ủa h ệ: z 1 2 T= ∑ mk. v k 2 k Nội dung đị nh lý này đượ c Công do h ệ l ực tác d ụng trên h ệ có làm rõ chi ti ết trong ph ần dạng: ti ếp sau. A=∫ dAi = ∫ Fi . dr i GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 890 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 892
d. Độ ng năng của vật rắn chuy ển độ ng quay quanh tr ục cố đị nh, tâm * Vật ph ẳng chuy ển độ ng song ph ẳng trong mặt ph ẳng ch ứa nó: cố đị nh: 1 1 T= Mv2+ J ω 2 1 C Csp 10.38c 2 10.36 2 2 * Vật quay quanh tr ục cố đị nh ∆: T= J ∆ω 2 1 2 Ho ặc T= J ω 10.38d * Vật ph ẳng quay quanh O cố đị nh trong mặt ph ẳng ch ứa vật (bài toán 2 P sp ph ẳng): Ch ứng minh: k 1 2 mk vk M T= J Oω 10.37 90 0 2 1 1 T= mv2 = mr(ω ) 2 C ∑kk ∑ kksp v 2 2 C rk 1222 1 1 2 2 90 0 Mv Ch ứng minh: =ωsp∑ mr kk == ω sp . JP ω sp ( JPCM C + .) C 2 2 2 n n n 12 1 222 1 1 2  1 1 T== mv mr(ω ) = ω mrJ = ω T=ω 2( J + PCM 2 . ) = J ω 2 ∑kk ∑ kk ∑ kk ∆  2 sp C 2 P sp k=12 k = 1 2 2 k = 1 2 ⇒  ωsp 1 1 1 1 T= Jω2 + MP ω 2C 2 =Jω 2 + M v 2  Csp sp C sp C  2 2 2 2 P Tâm v ận t ốc t ức th ời GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 893 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 895 e. Độ ng năng của vật rắn chuy ển độ ng song ph ẳng: ĐỘ NG N ĂNG TRONG M ỘT S Ố TR ƯỜ NG H ỢP 12 1 2 i z 1. V ật chuy ển độ ng quay ờ ∆ T= Mv + J ω 10.38a 2C 2 Cz sp c th c * Đĩ a m ảnh đồ ng ch ất (M, R) quay trong m ặt ph ẳng ch ứa đĩ a quanh tâm ứ 1 c t c 2 C c ố đị nh ố 10.38b Ho ặc T= J ∆ωsp nt 2 ậ ω dk vk ω c v c Ch ứng minh: R z ụ C z Tr m v k C 12 1 2 T=∑ mvkk = ∑ md kksp(ω ) P C 2 2 1222 1 1 2 2 =ωsp∑ md kk == ω sp . J∆ ω sp ( J Cz + PCM .) 2 2 2  1 2 2 1 2 12 11 22 1 22 T= ωsp( J Cz + PCM . ) = J ∆ωsp TJ=Cω =( MR ) ω = MR ω ωsp ⇒  2 2 2 22 4 1 1 1 1 T= J ω 2 + Mω 2PC 2 = J ω 2+ Mv 2  2Czsp 2 sp 2Czsp 2 C * Tr ụ đặ c đồ ng ch ất (M, R) quay quanh tr ục tr ụ c ố đị nh Mặt quy chi ếu 12 11 22 1 22 TJ=zz ω =( MR ) ω = MR ω cố đị nh ( π0) 2 22 4 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 894 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 896
* Vành m ảnh đồ ng ch ất (M, R) quay trong m ặt ph ẳng ch ứa vành quanh 2. V ật chuy ển độ ng song ph ẳng tâm C c ố đị nh * Đĩ a m ảnh đồ ng ch ất (M, R) l ăn không tr ượt trong m ặt ph ẳng ch ứa đĩ a ω ω ω R C ω z z R C z z vC P 1 1 1 T= Jω2 =( MR 22 ) ω = MR 22 ω 2C 2 2 11 111 3 3 T=+=+ Mv2 Jω 2 Mv 2.( MR 22 ) ω == Mv 2 MR 22 ω * Tr ụ r ỗng m ảnh đồ ng ch ất (M, R) quay quanh tr ục tr ụ c ố đị nh 22CCC 222 4C 4 1 1 1 * Tr ụ đặ c đồ ng ch ất (M, R) l ăn không tr ượt T= Jω2 =( MR 22 ) ω = MR 22 ω 2zz 2 2 11 111 3 3 T=+=+ Mv2 Jω 2 Mv 2.( MR 22 ) ω == Mv 2 MR 22 ω 22C zz 222 C 4C 4 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 897 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 899 * Thanh th ẳng m ảnh đồ ng ch ất (M, l) quay quanh điểm c ố đị nh ở đầ u * Vành m ảnh đồ ng ch ất (M, R) l ăn không tr ượt trong m ặt ph ẳng ch ứa thanh. ω đĩ a A B ω ω R C z z 12 11 22 1 22 TJ=Aω =( Ml ) ω = Ml ω 2 23 6 vC * Thanh th ẳng m ảnh đồ ng ch ất (M, l) quay quanh điểm c ố đị nh là trung điểm c ủa thanh P C ω A B 1 1 1 1 T=+ Mv2 Jω 2 =+ Mv 2.( MR 222 ) ω == Mv MR 22 ω 2CC 2 2 C 2 C 12 11 22 1 22 * Tr ụ r ỗng m ảnh đồ ng ch ất (M, R) l ăn không tr ượt TJ=Cω =( Ml ) ω = Ml ω 2 212 24 1 1 1 1 T=+ Mv2 Jω 2 =+ Mv 2.( MR 222 ) ω == Mv MR 22 ω 2Czz 2 2 C 2 C GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 898 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 900
2. Công của lực: tác dụng của lực theo quãng đườ ng * Trong hệ tọa độ tự nhiên: a. Công nguyên tố: công của lực gây ra trên độ dời nguyên tố dr . FF=τ + Fn = F.τ + Fn . τ n ⇒  dA= Fdsτ . = F cos.α ds 10.41 Sau đây ta tính vi phân công theo chi ều chuy ển độ ng của dr= ds .τ  n điểm đặ t lực. F F M α n F n * Dạng véc tơ: v α τ F M z F τ ds F n dA= F. dr = F . dr .cos α r n Ti ếp tuy ến qu ỹ đạ o theo F τ ds τ dA= F. v . dt = F . v .cosα . dt chi ều chuy ển độ ng c ủa M τ τ r điểm đặ t l ực M Ti ếp tuy ến qu ỹ đạ o theo 10.39 chi ều chuy ển độ ng c ủa Qu ỹ đạ o theo chi ều F= ( F, F ) chuy ển độ ng c ủa M τ n điểm đặ t l ực M Qu ỹ đạ o theo chi ều O chuy ển độ ng c ủa M O y : góc gi ữa véc t ơ l ực F và tr ục τ theo α α : góc gi ữa véc t ơ l ực F và tr ục τ theo hướ ng chuy ển độ ng x hướ ng chuy ển độ ng GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 901 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 903 * Trong hệ tr ục tọa độ Descartes: b. Công hữu hạn: Công của lực F trên độ dời hữu hạn M M bất kỳ. 1 2  F= Fix + Fj y + Fk z A = dA ⇒ M M ∫ F  dA= Fx. dx + F y . dy + F z . dz 10.40 1 2 M1 M 2 z dr= dx. i + dy . j + dz . k * Dạng véc tơ: s M 1 M α z F I 1 v M α r2 t 2 τ A= Fdr = Fvdt 10.42 v M M ∫ ∫ ds τ 1 2 r1 t 1 r ds r1 s * Trong hệ tr ục tọa độ Descartes: 2 r Ti ếp tuy ến qu ỹ đạ o theo A =( Fdx + Fdy + Fdz ) M chi ều chuy ển độ ng c ủa M M ∫ x y z 2 1 2 điểm đặ t l ực M M1 M 2 10.43a r2 Qu ỹ đạ o theo chi ều chuy ển độ ng c ủa M k O y O j y * Trong hệ tr ục tọa độ tự nhiên: x i s2 x α : góc gi ữa véc t ơ l ực F và tr ục τ theo A = ∫ F.cosα . ds , với s1= IM 12, s = IM 2 10.43b M1 M 2 hướ ng chuy ển độ ng s1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 902 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 904
Công các l ực th ườ ng g ặp + Khi điểm đặ t lực chuy ển độ ng từ M đế n M 2 1 1. Công của lực hằng: F = const z Tính công của lực F th ực hi ện trên quãng đườ ng M1M2. M - Ch ọn hệ tr ục nh ư hình vẽ z M F 2 Mxyz(, , ), F= ( − F ,0,0) M M F 2 M 1 sM - Công nguyên tố: O M x 1 x xM M1 2 dA= − Fdx sM x O x x M1 M 2 y x y M1 A =− Fdx =− Fx( − x ) =− Fs . ∫ M1 M 2 M M2 M 1 x M 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 905 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 907 - Công hữu hạn: 2. Công của tr ọng lực P tác dụng trên vật rắn: z + Khi điểm đặ t lực chuy ển độ ng từ M đế n M Tính công của tr ọng lực P th ực hi ện trên quãng 1 2 z z đườ ng dịch chuy ển M1M2 của kh ối tâm C. M1 M 1 M M F 2 - Ch ọn hệ tr ục phù hợp nh ư hình vẽ mi i(, x y , z ) M h C 1 - Công nguyên tố của tr ọng lực trên ch ất sM p O điểm th ứ i: ixyz (, , ), p= (0,0, − mg . ) i x i i z P x xM M 2 M1 2 dAi( p i )= − mgdz i . y M 2 y O x x M 2 A =− Fdx =− Fx( − x ) =+ Fs . - Công hữu hạn của p i gây ra khi C chuy ển từ M1 đế n M2: ∫ M2 M 1 M M1 M 2 x M1 Ap( )= − mgz . i − z i i i i ( 2 1 ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 906 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 908
- Công của tr ọng lực trên tất cả các ch ất điểm của vật rắn khi tâm C 4. Công của ng ẫu lực chuy ển độ ng từ M đế n M . 1 2 - Công nguyên tố: dAM( ) = Mdϕ = ± Md ϕ iiP CC ∑Api(). i=− gmzz ∑ i −=− g zz − ()21g () 21 Lấy “+” khi M và ϕ cùng chi ều quay. Lấy “-” khi M và ϕ ng ượ c chi ều quay =−Pz.C − z C =− Pz . − z ( 21) ( M 21 M ) - Tổng quát: Công do tr ọng lực P trên vật gây ra khi kh ối tấm C di chuy ển theo ph ươ ng đứ ng một đoạn h: M P. h khi P chuy ển độ ng xu ống AP( )= ± Ph . 10.44 −P. h khi P chuy ển độ ng lên dϕ dϕ M ϕ ϕ O O dAM( ) = + Md ϕ dAM( ) = − Md ϕ GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 909 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 911 3. Công của lực đàn hồi ϕ2 Công của lực đàn hồi lò xo có độ cứng k th ực hi ện trong quá trình lò xo - Công hữu hạn: AM( )= ∫ Md . ϕ ϕ1 chuy ển từ bi ến dạng x1 sang bi ến dạng x2. Nếu M = const thì AMM()(=ϕϕ2 − 1 ). = M ∆=±∆ ϕ M . ϕ - Lực đàn hồi khi lò xo bi ến dạng đoạn x: Flx = − k. x 10.46 - Công nguyên tố: dAF()lx= F lx . dx =− kxdx =− kxdx x2 k 2 2 10.45 - Công hữu hạn: AF()lx =−∫ kxdx =− ( x2 − x 1 ) M ϕ2 M ϕ2 2 ∆ϕ ∆ϕ x1 x l : là chi ều dài t ự nhiên ( ứng v ới tr ạng thái không bi ến d ạng) 0 ϕ1 ϕ1 l0 O O F lx 1 x A( M )= + M . ∆ ϕ A( M )= − M . ∆ ϕ l x 0 1 F lx 2 Ng ẫu l ực và góc quay Ng ẫu l ực và góc quay x cùng chi ều nhau ng ượ c chi ều nhau l0 x2 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 910 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 912
5. Công của lực tác độ ng trên vật rắn quay ϕ2 - Công hữu hạn: A= m( Fd ) ϕ - Lực F tác độ ng trên vật rắn quay quanh tr ục Οz cố đị nh ∫ Oz ϕ1 - Công nguyên tố: dA = FOI . .cos. α d ϕ = m Oz () Fd ϕ Nếu m Oz ( F ) = const thì AmF=Oz().(ϕ2 −= ϕ 1 ) mF Oz (). ∆ ϕ Ho ặc: dA= ± mOz ( Fd ) ϕ , với: m Oz = FOIτ . 10.47 Lấy “+” khi m và ϕ cùng chi ều quay. τ Oz Lấy “-” khi m Oz và ϕ ng ượ c chi ều quay. F (ϕ ) 2 F (ϕ ) τ ds n α Fn (ϕ ) ϕ F (ϕ ) ds ∆ϕ 2 dϕ I F (ϕ ) 1 ϕ ϕ Fτ (ϕ ) F (ϕ ) O 1 O dϕ ϕ F (ϕ ) O τ GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 913 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 915 Ví dụ: Công nguyên tố của lực F tác dụng trên thanh OI chuy ển độ ng Vd1: L ực P không đổ i chi ều trong m ặt m ặt quay c ủa v ật gây ra mômen quay quanh điểm cố đị nh O. thay đổ i khi thanh chi ều dài l quay quanh O. τ τ I F τ ds 0 P h I F τ 45 P n F n 135 0 I Pτ ds ds ϕ2 F n ∆ϕ dϕ I I P ϕ P ϕ1 dϕ O O dϕ ϕ Fτ ϕ O O dAmPd=O ()ϕ =− POIdτ ϕ =− Pl .cos. ϕϕ d 0 0 dA FOI d ϕ2 = . .cos135 . ϕ dA= + FOI. .cos45. d ϕ h 0 APl=−cos.ϕϕ d =− Pl[] sin ϕ2 − sin ϕ 1 =− Pl =− Ph = − FOI. .cos45. d ϕ ∫ l ϕ1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 914 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 916
Vd2: L ực F nằm trong m ặt ph ẳng quay c ủa thanh gây ra mômen không * Lực ma sát tr ượ t không sinh công khi nó tác độ ng vào vật lăn đổ i khi thanh dài l quay quanh O. không tr ượ t vì: τ vC I dA=− Fdsms =− Fvdt msI = 0 F ωsp C ds I N P F ϕ2 I I ∆ϕ dϕ F ms F ϕ ϕ α O 1 O 7. Công của ma sát lăn: Ng ẫu lực ma sát lăn sinh công âm dAMms =− Mdϕ =− kNd ϕ dA= mO () Fdϕ =− FOId ϕ =− Fld ϕ ( ) ms ϕ2 k: hệ số ma sát lăn, dϕ: góc quay của vật A=− Fld∫ ϕ =− Fl[] ϕϕ2 − 1 =−∆ Fl . ϕ ϕ1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 917 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 919 6. Công của lực ma sát tr ượ t 3. Công su ất: công sinh ra trong một đơ n vị th ời gian * Lực ma sát tr ượ t sinh công khi có sự tr ượ t * Công th ức công su ất của lực: dAFms F ms ds Fds fNds dA Fdr ( )= =−ms =− . W= = = FvFv. = .cos α 10.49 dt dt F ms N α v s F Công su ất của tr ọng lực trên vật rắn: s s W= P. v C AF(ms )=−∫ Fdsms =− ∫ fNds . C v i 0s 0 i 10.48 AF(ms = const ) =−∫ Fdsms =− Fs ms =− fNs . vC mgi 0 f : hệ số ma sát tr ượ t, s: quãng đườ ng tr ượ t của vật P W=∑ mgvii. = g ∑ mv ii = gMv C = Pv . C GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 918 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 920
* Đặ c điểm khi vận dụng công th ức * Công th ức công su ất của ng ẫu lực: - Độ ng năng và công su ất là hàm số, hay: T= TtW(), = Wt () dA Md ϕ W= = = M.ω =± M . ω 10.50 - Dạng các hàm số của độ ng năng và công su ất th ườ ng gặp: dt dt + Độ ng năng bi ểu di ễn dướ i dạng Lấy “+” khi M và ω cùng chi ều quay. 2 T= Tt() = kvt1 . () Lấy “-” khi M và ω ng ượ c chi ều quay. 2 Ho ặc TTt=() = k2 .ω () t + Công su ất th ườ ng gặp dạng: M M W= Wt() = hvt1 .() WWt=() = h2 .()ω t ω ω W= Wt() = hvtst3 .().() O O WWt=() = h4 .().()ω t ϕ t W= + M .ω W= − M .ω GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 921 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 923 4. Đị nh lý độ ng n ăng T= Tt() = kvt .2 () Dạng:  1 a. Dạng đạ o hàm: W= Wt() = hvt1 .() n n ne n i e i dT e i dAk dA k dA =+=WW Fvkk + Fv k k = + = ∑ ∑ ∑ ∑ 10.51 dT * dtk=1 k = 1 k = 1 dtdtdt k = 1 = W⇒ vtat().()= kvt ()⇒ at () ⇒ vt () ⇒ st () dt 1 Ch ứng minh:  2 1 dT e i T= Tt() = kvt1 . () 2 k Dạng:  Tk= mv kk⇒ = mvamav kkkkkk = =+ Fk Fv k k 2 dt ( ) W= Wt() = hvtst3 .().() n n n dT ei e i ⇒ =Fkk + Fv = Fv k + Fv k dT * ∑( ) k ∑ k ∑ k = W⇒ vtat().()= kvtst ().()⇒ at () ⇒ vt () ⇒ st () dt k=1 k = 1 k = 1 dt 3 Tươ ng tự đố i với các dạng TTt=() = k .ω 2 () t TTt=() = k .ω 2 () t  2  2 WWt=() = h2 .()ω t WWt=() = h4 .().()ω t ϕ t GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 922 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 924
b. Dạng vi phân: * Đặ c điểm khi vận dụng công th ức n n + Nếu tr ạng thái (1) và (2) xác đị nh cụ th ể thì công th ức có dạng dT dAe dA i dA 10.52 =∑k + ∑ k = BI ẾN THIÊN TR Ị. k=1 k = 1 n ⇒ i T2− T 1 = A 12− Tìm tr ị s ố v ận t ốc theo tr ị s ố quãng đườ ng Đố i với vật rắn tuy ệt đố i cứng: ∑ dA k = 0 k =1 + Nếu tr ạng thái (1) xác đị nh và (2) xác đị nh tổng quát theo t thì Lưu ý : V ới hàm s ố y = f(x) xác đị nh trên kho ảng (a; b) có đạ o hàm công th ức có dạng BI ẾN THIÊN HÀM. tại x thu ộc (a; b) thì d y = df(x) = f '(x) dx. ⇒ ⇒ ⇒ 1 TTA21−= 12− ⇔ TtTAt 2() −= 1 12 − () st () vt () at () Ví d ụ: T= mv2 ⇒ dT= mvdv 2 * Đặ c điểm khi vận dụng công th ức dT dA dT Với đị nh lý độ ng năng, ta có th ể tìm tất cả đặ c tr ưng của chuy ển idTdA= ⇒ = ⇒ = W Dạng đạ o hàm dt dt dt độ ng. Trong các bài toán tìm lực ch ưa bi ết khi bi ết đặ c tr ưng chuy ển độ ng, ta còn vận dụng đị nh lý Độ ng Lượ ng và đị nh lý (2) (2) i ⇒ ⇒ Mômen Độ ng Lượ ng để tìm các lực ch ưa bi ết đó – thông th ườ ng dT= dA∫ dT= ∫ dA T2− T 1 = A 12− Dạng bi ến thiên (1) (1) là các ph ản lực liên kết không sinh công. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 925 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 927 c. Dạng bi ến thiên: Ví dụ: Ng ườ i ta gi ữ vật nặng có kh ối lượ ng M bởi một sợ dây mềm n n không kh ối lượ ng ở độ cao H so với mặt đấ t. Rồi ng ườ i ta cắt dây cho e i TT2−= 1∑ Ak (12)− + ∑ A k (12) − = A 12 − 10.53 vật rơi tự do không ch ịu cản, không vận tốc đầ u. k=1 k = 1 1. Vật có nh ững lo ại chuy ển độ ng cơ bản nào? n 2. Hãy vi ết ph ươ ng trình vận tốc và ph ươ ng trình quãng đườ ng rơi. Đố i với vật rắn tuy ệt đố i cứng: Ai = 0 ∑ k (1− 2) 10.54 3. Khi quãng đườ ng rơi là s thì vận tốc là v, tìm mối liên hệ gi ữa v và s. k =1 4. Mất bao lâu để vật ch ạm đấ t? Ch ứng minh: nnt2 t 2  nn  ∆ x ei⇒ ei dT=∑∑ dAkk + dA∫ dT= ∫  ∑∑ dA kk + dA  C kk==11 kk == 11  t1 t 1 n n e i ⇒ TT2−= 1∑ Ak (12)− + ∑ A k (12) − = A 12 − H k=1 k = 1 Mặt đấ t GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 926 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 928
Xét vật khi rơi đoạn h ứng với th ời điểm t tổng quát 2. Ph ươ ng trình vận tốc và ph ươ ng trình quãng đườ ng rơi t = 0 2.1. Theo đị nh lý Độ ng lượ ng: ∆ ⇒ O x  Từ: vt()= gtv + ⇒ vt ()= gtv + →v(0)0= v 0 = 0 vt () = gt v(0)= 0 yC 0 0  1⇒ 1 s s(0)= 0 2 s(0) s 0 = 0 2 y t Ta có: s() t= gt + s0 → s () t = gt  2 2 C v( t )= ? 2.2. Theo đị nh lý Độ ng năng: có th ể sử dụng các dạng công th ức khác  s( t )= ? nhau nh ưng kết qu ả nh ư nhau. Mg Mặt đấ t dT( t ) Dạng đạ o hàm: = W( t ) * Xét thành ph ần chuy ển độ ng quay: dt 1 2 e Ta có: Tt()= Mv (),() tWt = Mgvt .() = Mgvt .() + Mômen ngo ại lực đố i với tâm C: MC ( t )= 0 2 + Theo đị nh lý Mômen độ ng lượ ng: dT( t ) Từ: = Wt()⇒ Mvtat ().()= Mgvt .() d K C e dt =MC ()0 t = ⇒ J .()0ε t= ⇒ ε ()0 t= ⇒ ω () t= const dt C v( t )= 0 (không th ỏa mãn vì vật có chuy ển độ ng) ⇒  Mà ω ()t= const →ω(0)= 0 ωϕ ()0() t = ⇒ t= const →ϕ (0)= 0 ϕ ()0 t = a( t ) = g = const với at()= vtɺ () GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 929 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 931 Vậy vật không th ực hi ện chuy ển độ ng quay v( t ) = gt + v 0 v( t ) = gt v(0)= 0  * Xét thành ph ần chuy ển độ ng tịnh ti ến cùng kh ối tâm C: 1 2 →s(0)= 0  1 2 st( ) = gt + vt0 + s 0  s( t ) = gt + Theo đị nh lý Độ ng lượ ng:  2  2 a()0 t= ⇒ v () t= const →vxC (0)= 0 v ()0 t = Dạng đạ o hàm: dT() t= dA () t Mg= Ma⇒ a= g ⇒  xC xC xC C C a() t= g = const⇒ v () t= gt + v  yC yC 0 dT() t= Mv (). t dv () t Ta có:  1. Điều này ch ứng tỏ vật ch ỉ chuy ển độ ng tịnh ti ến theo ph ươ ng th ẳng dA() t= Mg .() ds t đứ ng mà thôi. Vận tốc và quãng đườ ng của mọi điểm thu ộc vật cũng chính là của tâm C. Nên: Mv( t ). dv ( t )= Mg . ds ( t )⇒ v ( t ). dv ( t )= g . ds ( t ) (*) * Gi ải quy ết các câu còn lại có th ể ti ếp tục theo đị nh lý Độ ng lượ ng ho ặc theo Đị nh lý Độ ng năng sau khi đã kết lu ận vật chuy ển độ ng tịnh Tích phân 2 vế của (*) với điều ki ện ban đầ u ta có: s 2 v v ti ến. v( t ). dv ( t )= g . ds ( t )⇒ = gs⇒ v2 = 2 gs ( ) ∫0 ∫ 0 2 Do v = v(t), s = s(t) nên đạ o hàm ( ) theo t ta có: 2().()vtat= 2 gvt .() với at()= vtɺ () GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 930 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 932
VẤN ĐỀ C ẦN GI ẢI QUY ẾT TRONG v( t )= 0 (không th ỏa mãn vì vật có chuy ển độ ng) BÀI TOÁN ĐỘ NG L ỰC H ỌC ⇒  a( t ) = g = const v( t ) = gt  ⇒ Quan h ệ b ởi Đặ c tr ưng chuy ển độ ng  1 2 Hệ l ực trên h ệ s( t ) = gt các đị nh lý  2 - Lực đã bi ết - Độ ng l ượ ng - Ph ương trình chuy ển độ ng - Mômen độ ng l ượ ng Dạng đạ o hàm: TtT()− (0) = At0−t () - Lực ch ưa bi ết - Vận t ốc (ph ản l ực liên k ết) - Độ ng n ăng  1 - Gia t ốc T() t= Mv2 () t  2   1 * Khi t ất c ả l ực đã bi ết tính đặ c tr ưng chuy ển độ ng t ừ các đị nh lý Ta có: T(0)= Mv 2 (0) = 0 * Khi các l ực ch ưa bi ết đầ y đủ , thông th ườ ng  2 - Dùng đị nh lý Độ ng n ăng tính đặ c tr ưng chuy ển độ ng - Dùng đị nh lý Độ ng l ượ ng và Mômen độ ng l ượ ng tìm l ực ch ưa bi ết A0−t () t= Mgst .()[] − s (0) = Mgst .()  Ho ặc k ết h ợp các đị nh lý v ới nhau. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 933 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 935 1 Từ: Tt()− T (0) = At ()⇒ Mvt2 ()= Mgst .()⇒ vt 2 ()= 2.() gst ( ) 0−t 2 Đạ o hàm ( ) theo t, ta có: v( t ) = gt v(0)= 0  2.().()vtat= gvt .()⇒ at () = g = const →  1 s(0)= 0 s( t ) = gt 2  3. Mối liên hệ gi ữa v và s 2 v( t ) = gt  v( t ) = v  1 2 →s( t ) = s v = 2 gs s( t ) = gt  2 4. Kho ảng th ời gian từ lúc bắt đầ u rơi đế n lúc vật ch ạm đấ t là BÀI TẬP CH ƯƠ NG 10 SINH VIÊN C ẦN GI ẢI QUY ẾT (TT) Gọi th ời điểm khi vật ch ạm đấ t là t*, thì kho ảng th ời gian cần Các d ạng bài toán áp d ụng các đị nh lý t ổng quát tìm là t* - 0. - Bài toán th ứ t ư: Dùng đị nh lý độ ng n ăng để xác đị nh các đặ c tr ưng độ ng h ọc c ủa chuy ển 12 2 H Khi vật ch ạm đấ t: gt( *)= H⇒ t * = độ ng. 2 g GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 934 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 936
Bài t ập 10.25 * Áp dụng dạng đạ o hàm – vừa tính đượ c vận tốc và gia tốc Thanh th ẳng mảnh AB có chi ều dài l, tr ọng lượ ng P. Lúc đầ u ng ườ i ta Y A gi ữ thanh đứ ng yên nằm ngang, rồi th ả cho thanh chuy ển độ ng quay tự ϕ= ϕ (t ) do không vận tốc đầ u trong mặt ph ẳng th ẳng đứ ng dướ i tác dụng của A ω= ω (t ) X A ϕ tr ọng lượ ng của nó. C 1. Áp dụng đị nh lý độ ng năng, tính vận tốc góc và gia tốc góc của AB khi nó th ẳng đứ ng. v ϕ B 2. Tính ph ản lực liên kết tại A khi thanh chuy ển độ ng C ω P A 1 1 1 P P TtJ()= .ω2 = l 22 ω = l 22 . ω ϕ 2A 23g 6 g l Wt()= Pv . = Pv cosϕ = P . ω .cos ϕ C C 2 dTt() P l3 g 0 = Wt()⇒ l2 .ωε= P cos ωϕε⇒ = cos ϕ →ϕ =90 ε = 0 B dt3 g 2 2 l GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 937 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 939 1. Tính vận tốc và gia tốc 3g dgω 3 dg ϕ 3 ε= cos ϕ⇒ = cos ϕω⇒ d= cos ϕϕ d Tại th ời điểm t, khi thanh quay đượ c góc ϕ, ngo ại lực tác dụng lên 2l dtl 2 dtl 2 thanh bao gồm: XA, Y A , P 3g ⇒ ωωd= cos ϕϕ d Y A 2l ω ϕ 3g 3 g A ωωd= cos ϕϕω d ⇒ 2 = sin ϕ X A ϕ ∫ ∫ 2l l C 0 0 3gϕ =90 0 3 g ⇒ ω=sin ϕ → ω = v ϕ B l l C ω P GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 938 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 940
* Áp dụng dạng bi ến thiên hàm – vừa tính đượ c vận tốc và gia tốc * Áp dụng dạng bi ến thiên tr ị xác đị nh th ời điểm đầ u và cu ối – ch ỉ tính P đượ c tr ị số của vận tốc góc mà thôi. T=0, TTt = ( ) = l 2 . ω 2 1 2 2 6g T= T l 2 ϕ =90 0 A1− 2 () t= P . sin ϕ 2 P T− T = l 2.ω 2 ϕ =9001 6g 90 0 P2 2 l 2 3 g TtTAt2()− 1 = 12− ()⇒ l .ω= P .sin ϕω⇒ = sin ϕ 6g 2 l l A= P . 1− 2 2 3gϕ=90 0 3 g iω=sin ϕ → ω = P l3 g l l TTA− = ⇒ l2.ω 2 = P . ⇒ ω = ϕ =900 1 1− 2 6g 900 2 90 0 l 3g 3 g iω2 = sin ϕ⇒ 2 ωεω= cos ϕ l l 3g 0 ⇒ ε= cos ϕ →ϕ =90 ε = 0 2l GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 941 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 943 * Áp dụng dạng vi phân - vừa tính đượ c vận tốc và gia tốc: 2. Tính ph ản lực liên kết tại A Y A l P dAt()= P . .cosϕ . d ϕ dTt()= l 2 ω ε 2 3g A X A ϕ dTt()= dAt () a n C τ l3g l 3 g C P l aC =ε. =cos ϕ . = co s ϕ ⇒ ldP2 ωω= cos. ϕϕ d 2 2l 2 4 ε 3g 2 ϕ B n 2 l3g l 3 g ω 3g aC =ω. =sin ϕ . = si n ϕ ⇒ ωω.d= .cos. ϕϕ d Tt( ) − T = A 2 l 2 2 aτ P dT( t ) 2l 1 1 −t C = W( t ) dt Áp dụng đị nh lý Độ ng lượ ng – ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng kh ối tâm ω ϕ 3g P τ n dω3 g d ϕ ωω.d= .cos. ϕϕ d XYPA+ A +=( aa + ) ω.= .cos. ϕ ∫2l ∫ g C C dt2 l dt 0 0 2  P dω 3 g ω 3g X( an .cos a τ .sin ) ⇒ ω.= .cos. ϕ ω ⇒ = .sin ϕ  A= Cϕ + C ϕ 2 2 l  g dt2 l ⇒  3g 3g  P n τ ⇒ ε= .cos ϕ ⇒ ω= .sin ϕ YPA− =( a C .sinϕ − a C .cos ϕ ) 2l l  g GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 942 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 944
P  P 3g 3 g Xa=+(.cosn ϕτϕ a .sin) X = (sinϕ .cos ϕ + cos ϕ .sin) ϕ Do đó: ACg  A g 2 4 ⇒ ⇒    l P 2  9P Pn τ  P 3g 3 g X = −(.sinε ϕω + .cos ϕ ) Y =−+=(.sinaaPYϕϕ .cos) ( sinϕ.sin ϕϕ − cos ϕ .c os ) + P  A  X A = − sin 2 ϕ ACC  A 2 g  8 g  g 2 4 ⇒  P l 2  P 2  3P  9P YA =. (.cosε ϕω − sin ϕ ) − P YA =−()9sinϕ +< 1 0 X =(2sinϕ .cosϕ + cos ϕ .si n ϕ ) X = sin 2 ϕ  g 2  4  A 4  A 8 ⇒  ⇒  3P P Y=(2sinϕ .sinϕ − co sϕ .cos)ϕ + P Y =(1 + 9.sin2 ϕ )  A 4  A 4 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 945 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 947 * Có th ể tính ph ản lực tai A theo cách sau Bài t ập 10.26 Cho hệ sau, dây mềm không tr ọng lượ ng, không giãn. Vật (1) có tr ọng A X A x lượ ng P = P. Đĩ a tròn (2) có tr ọng lượ ng P = 2P, bán kính R = 2r. Con ϕ 1 2 C lăn (3) có tr ọng lượ ng P3 = P, bán kính đố i với tr ục ρ=3r, lăn không Y A tr ượ t. (2) B Nhánh dây nối vật (2) và (3) R y song song với đườ ng lăn. Lúc P Ta có: đầ u gi ữ hệ đứ ng yên, rồi th ả  P ɺɺ  XA= x C cho hệ chuy ển độ ng tự do e Mxɺɺ = X  g C A không vận tốc đầ u. Khi vật (1) MaC = ∑ F k ⇒ ⇒  (3) MyYPɺɺ = + P R  C A  ɺɺ di chuy ển đoạn đườ ng là s thì YA= y C − P Trong đó:  g vận tốc của nó là v, yêu cầu: r s 1. Tìm vận tốc và gia tốc của    lɺω l ɺɺ l 2 vật (1), (2), (3) theo s. (1) xC=cosϕ  x C =− sin ϕ  x C =− (.sin εϕωϕ + .cos) 2  2  2 ả ự ế ⇒  ⇒  2. Tìm các ph n l c liên k t 0 lω l l 30 y=sinϕ  yɺ = cos ϕ  ɺɺy =− (.cos εϕωϕ2 sin) và lực căng của các nhánh C2  C 2  C 2 dây. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 946 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 948
dT( t ) * Áp d ụng đị nh lý Độ ng N ăng d ạng đạ o hàm = W( t ) ω 2 dt Y B X B (2) (1) (2) (3)31 P 2 B - Tính độ ng n ăng c ủa h ệ: TtTtTtTt()= () + () + () = v ω 3 18 g R Độ ng n ăng c ủa các v ật: P 2 (3) 1 P P R (1) 21 2 2 v Tt( )= mv1 . A = v = v C C 2 2g 2 g r s (1) (2)1 2 1 P 22v P 2 N I A TtJ()= .ω =2 (2).() r = v 2B 2 22g 2 r 2 g P3 v= v I A ms 1 1P 2 P v F I TtmvJ(3)()= . 2 + .ω 2 =3 .() v 2 + 3 (3)() r 22 30 0 23C 2 C 3 232g g 3 r P1 P2 P v 13 P = .(v )2 + (3)( r 22 ) = v 2 23g 2 g 3 rg 18 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 949 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 951 1. Tính vận tốc và gia tốc của các vật (1), (2), (3) - Tính công su ất c ủa l ực: các l ực có công su ất là P1, P 3 * Xét hệ gồm: e Wt()= Wt () = Pv1 .A + Pv 3 . C + Vật (1) chuy ển độ ng tịnh ti ến 0 + Ròng rọc (2): chuy ển độ ng quay quanh B =Pv1.A + Pv 3 . C .cos120 + Con lăn (3): chuy ển độ ng song ph ẳng với điểm tâm vận tốc 1 122 =−Pv. Pv . =− Pv . Pv . = Pv tức th ời I. A C ms 2 233 * Các lực ngoài tác dụng: PPPX1,,, 2 3 B ,, Y B NI , F I Chuy ển độ ng c ủa h ệ do các l ực trên h ệ gây ra nên W(t)>0, do đó v>0. Điều đó ch ứng * Vận tốc của các vật tính theo v với chi ều gi ả thi ết nh ư hình vẽ tỏ chi ều chuy ển độ ng nh ư gi ả thi ết là chi ều th ực. Khi gi ải bài toán t ổng quát thì v là v2 v giá tr ị đạ i s ố, chi ều v ận t ốc là gi ả thi ết. Mối liên h ệ: vv==,ω , v = v , ω = A22r C 3 3 3 r - Từ công th ức đị nh lý: dTt() 31 P 2 = Wt( ) ⇒ va= Pv dt9 g 3 v = 0 (không th ỏa mãn)  ⇒ v(31 a− 6 g ) = 0 ⇒ 6 a= g = const  31 Các v ật chuy ển độ ng nhanh d ần đề u GV Hu ỳnh VinhV –ớ Đi:HBK v= Đ vtà ()Nẵng = stɺ () = s ɺ Lưu hành nội bô ̣ Slide 950 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 952
Ta có: - Tính v ận t ốc và gia t ốc khi c ủa v ật (1) khi nó chuy ển độ ng đoạn s: v= at + v 0 31P 2 2 3  Từ TtTAt2()− 1 = 12− ()⇒ v= Psv⇒ = 2 gs  1 2 18g 3 31 s= at + vt0 + s 0  2 v = 0 (không th ỏa mãn) 31P2 2 31 P 2  Từ v= Ps⇒ 2 va= Pv ⇒ 6 v(0)= 0 v = 0 18g 3 18 g 3 a= g = const Mà:  nên  0  31 s(0)= 0  s0 = 0 * Áp d ụng đị nh lý Độ ng N ăng d ạng vi phân dT() t= dA () t v= at - Tính vi phân độ ng n ăng:  6 3 Do đó:  ⇒ v=2 as = 2 gs = 2 gs 31P2 31 P 1 2 Tt()= v⇒ dTt () = vdv s= at 31 31  2 18g 9 g - Tính vi phân công: nh ững l ực sinh công là P1, P 3 1 2 2 dAt()=− Pds . P .sin30.0 ds =− Pds . P . ds = Pds 1A 3 C 2 3 3 → Chi ều chuy ển độ ng của hệ nh ư chi ều đã gi ả thi ết GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 953 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 955 - Áp d ụng đị nh lý: * Áp d ụng đị nh lý Độ ng N ăng d ạng bi ến thiên hàm Tt2()− T 1 = A 12− () t 31P 2 Từ dT( t )= dA ( t )⇒ vdv= Pds (*) Tt2()− T 1 = A 12− () t 9g 3 - Tính độ ng n ăng c ủa h ệ t ại các th ời điểm: - Tính v ận t ốc và gia t ốc khi c ủa v ật (1) khi nó chuy ển độ ng đoạn s: T1 = 0 ()t () t 31 P 2 ɺ 31P 2 31 P 2 2 3 T2 ( t )= v , v= vt() = st () ⇒ ⇒ ⇒ 18 g Từ (*) ∫vdv= ∫ Pds v= Ps v= 2 gs (0)9g (0) 3 18 g 3 31 - Tính công th ực hi ện do ngo ại l ực trên quãng đườ ng d ịch chuy ển P1, P 3 31P dv 2 ds 31 P 2 của h ệ: nh ững l ực sinh công là Từ (*) ⇒ v= P⇒ va= Pv 9g dt 3 dt 9 g 3 20 2 At()=+=− AP (1 ) AP ( 3 ) Ps . Ps .sin30 = Ps 1− 2 3 3 v = 0 (không th ỏa mãn)  Chuy ển độ ng của hệ do các lực trên hệ gây ra nên A (t)>0, ⇒ v(31 a− 6 g ) = 0 ⇒ 6 1-2 a= g = const do đó chi ều chuy ển độ ng nh ư chi ều đã gi ả thi ết.  31 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 954 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 956