›
›

Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 11: Các nguyên lý cơ học - Huỳnh Vinh

pdf 31 trang Gia Huy 25/05/2022 870
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 11: Các nguyên lý cơ học - Huỳnh Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_co_hoc_ly_thuyet_chuong_11_cac_nguyen_ly_co_hoc_hu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 11: Các nguyên lý cơ học - Huỳnh Vinh

  1. Chương 11 §1. Lực quán tính GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 1146 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 1147 1. Định nghĩa Chất điểm M có khối lượng m, chuyển động với gia tốc a dưới tác dụng của hệ lực trong hệ quy chiếu quán tính. qt F= − ma 11.1 qt F qt F n * Trong hệ trục Oxyz: z qt F τ M aτ qt τ F= − mxɺɺ  x qt ɺɺ 11.2 a Fy = − my n  a Fqt = − mzɺɺ  z n O y x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 1148
  2. * Trong hệ tr ục tọa độ tự nhiên: c. V ật quay quanh m ột tr ục z c ố đị nh qt qt qt Thu g ọn h ệ l ực quán tính v ề O z F= Fn + F τ 11.3 qt qt RO = − Ma C Với: Fn = − ma n : l ực quán tính pháp qt qt 2 Mx = Jxzε − J yz ω Fτ = − ma τ : l ực quán tính ti ếp 11.6 qt 2 Từ đị nh ngh ĩa ta th ấy l ực quán tính không ph ải là l ực th ực s ự My = − Jyzε + J xz ω tác d ụng lên ch ất điểm kh ảo sát. L ực quán tính là l ực ảo. qt Mz = J zε C Nếu tr ục z là tr ục quán tính chính ( Jyz= J xz = 0) Lưu ý chi ều, giá tr ị đạ i s ố c ủa l ực quán tính khi làm toán: qt qt qt qt 11.7 RO=− MaMC , xy == M 0, M z = J z ε - Gi ả s ử ch ất điểm có véc t ơ gia t ốc a v ới chi ều gi ả thi ết O y - Véc t ơ l ực quán tính đượ c đặ t ng ượ c chi ều v ới véc t ơ gia t ốc gi ả Nếu tr ục z là tr ục quán tính chính trung tâm thi ết này. ( Jyz= J xz =0, OC ≡ ) x ε - Giá tr ị đạ i s ố c ủa l ực quán tính theo chi ều đã đặ t tính theo công qt qt qt qt qt ω th ức: F = ma , với a là giá tr ị đạ i s ố. RO=0, MM xy == 0, MJ z = zε 11.8 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1149 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1151 2. Thu g ọn h ệ l ực quán tính đố i v ới h ệ ch ất điểm d. T ấm ph ẳng quay quanh m ột tr ục cố đị nh vuông góc v ới t ấm Các k ết qu ả sau, ng ườ i đọ c t ự ch ứng minh ho ặc tham kh ảo khác. Tấm ph ẳng quay quanh tr ục c ố đị nh z, tr ục Oz đi qua O và vuông góc với t ấm. Tr ục z là tr ục quán tính chính. qt qt qt a. V ật chuy ển độ ng t ịnh ti ến aC RO =−Ma , MO = − J ε (⇔M z = −J ε ) C O z qt qt C z z RC= − MaC , M C = 0 aτ 11.4 qt qt qt M qt C M RC O O Rqt = M. a F n C C O an O≡ C qt qt b. V ật chuy ển độ ng song ph ẳng F τ M C ε sp qt qt qt ε F qt ε RC=− MaC; M C =− J Cspε F= m. a O = 0 C aC τ τ qt qt qt M= J .ε F= m. a MO= J O .ε 11.5 C O sp n n qt qt qt RC MO= J O .ε RC= M. a C ( z là tr ục quán tính chính ( z là tr ục quán tính chính) trung tâm) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1150 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1152
  3. 2. Đố i v ới c ơ h ệ Tại mỗi th ời điểm, nếu đặ t thêm vào mỗi ch ất điểm của hệ các lực quán tính tươ ng ứng thì cùng với các ngo ại lực và nội lực th ực sự tác dụng lên hệ. Ta sẽ đượ c một hệ cân bằng. e §2. Nguyên lý D’Alembert Cho: F k là ngo ại lực { } i Nguyên lý D’Alembert cho phép chúng ta gi ải các bài toán F k là nội lực. (B ằng 0 đố i với hệ vật rắn tuy ệt đố i cứng) độ ng lực học bằng cách thi ết lập các ph ươ ng trình chuy ển { } qt độ ng của hệ dạng các ph ươ ng trình cân bằng quen thu ộc. Đó F k là quán tính chính là nội dung của ph ươ ng pháp tĩnh độ ng lực học. { } e i qt Theo nguyên lý: (Fk , F k , F k )0∼ 11.9 { } { } { } GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1153 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1155 1. Đố i v ới ch ất điểm 3. L ưu ý khi v ận d ụng Nguyên lý Tại mỗi th ời điểm nếu đặ t thêm vào ch ất điểm lực quán tính của nó ta e i qt Theo nguyên lý: ( F k , F k , F k )0 ∼ đượ c một hệ lực cân bằng gồm lực ch ủ độ ng, lực liên kết và lực quán { } { } { } tính của ch ất điểm. - Công th ức trên đúng với mọi th ời điểm, nên xét tại th ời điểm nào Cho: F là lực ch ủ độ ng thì các đạ i lượ ng trong công th ức xác lập tại th ời điểm đó. N là lực liên kết - Hệ lực trên là cân bằng nên ta có th ể th ực hi ện vi ết các ph ươ ng trình cân bằng theo lý thuy ết lực. qt F là lực quán tính - Do hệ lực trên là cân bằng tại th ời điểm bất kỳ nên công của hệ lực qt trên gây ra trên chuy ển vị bé tại th ời điểm bất kỳ đó cũng bằng 0. Theo nguyên lý: (,,F N F )∼ 0 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1154 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1156
  4. Bài t ập 11.1- xem bài 10.25 1 P l ⇒ −l2.ε . δϕ + P . cos ϕ . δϕ = 0 Thanh th ẳng mảnh AB có chi ều dài l, tr ọng lượ ng P. Lúc đầ u ng ườ i ta 3g 2 gi ữ thanh đứ ng yên nằm ngang, rồi th ả cho thanh chuy ển độ ng quay tự 3g do không vận tốc đầ u trong mặt ph ẳng th ẳng đứ ng dướ i tác dụng của ⇒ ε= cos ϕ tr ọng lượ ng của nó. Tính ph ản lực liên kết tại A khi thanh chuy ển độ ng. 2l * Tính vận tốc góc của thanh AB khi xoay góc ϕ. A 3g dgω 3 d ω 3 g ε= cos ϕ⇒ = cos ϕ⇒ d ϕ= cos ϕϕ d ϕ 2l dt 2 l dt 2 l 3g ⇒ ωωd= cos ϕϕ d 2l ω 3g ϕ B ⇒ ∫ωωd= ∫ cos ϕϕ d 02l 0 3g 3 g Bài gi ải: ⇒ ω2 = sin ϕω⇒ = sin ϕ Xét th ời điểm tổng quát t, khi thanh AB quay đượ c góc là ϕ. 2l 2 l GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1157 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1159 * Tính gia tốc góc của thanh AB khi xoay góc ϕϕϕ. * Tính ph ản lực liên kết tại A khi thanh AB khi xoay góc ϕϕϕ. qt qt y qt qt qt  l 2 F y F a = −ωcos ϕε + .sin ϕ (,,,YA X A P MA , Fx , F y )0∼  x () qt qt  2 M A M A qt  A A X A x   A X x qt ∑ X = 0  XA= F x l 2 qt  x ⇒ ⇒ a = −ωsin ϕε + .cos ϕ F x F ϕ   qt  y () ϕ Y= F − P 2 ∑Y = 0  A y C C Y A Y A a ax  Pl x X = −ω2cos ϕε + .sin ϕ ε a ay  A () Ta có: y  2g δϕ ⇒  qt qt qt B B  Pl 2 (MA , F y , F x , XYP AA ,,)0∼ P y P YA =−()ωsin ϕε + .cos ϕ − P y  2g qt l ⇒ −MA .δϕ + P .[] sin( ϕ +−= δϕ )sin ϕ 0  9P 2 X = − sin 2 ϕ  A 8 Taylor – Maclaurin qt l ⇒  →−MA .δϕ + P .[] sin ϕ + cos. ϕ δϕ − sin ϕ = 0  P 2 2 YA =−()9sinϕ +< 1 0  4 l ⇒ −Mqt .δϕ + P . cos ϕ . δϕ = 0 A 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1158 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1160
  5. Bài t ập 11.2 – xem 10.9 2. Tính phản lực liên kết tại O: Cho đĩ a tròn có bán kính R, tr ọng ε qt qt qt qt lượ ng P có th ể quay quanh tr ục M O (,,,,,YO XO PQQ1 2 F1, F 2 , M O )0∼ ngang tại kh ớp O. Hai vật có tr ọng A O Y 0 X 0 lượ ng là Q , Q (Q > Q ) đượ c bu ộc  O 1 2 2 1 0 R ∑ X = 0 X 0 = 0 vào hai đầ u dây qu ấn trên biên đĩ a 90 ⇒ ⇒  YPQF=+( +qt )( + QF − qt ) tròn. Dây không tr ọng lượ ng, không ∑Y = 0  0 11 22 R giãn, khi chuy ển độ ng không tr ượ t X 0 = 0 (2)  đố i với đĩ a tròn. Cho hệ chuy ển độ ng s ⇒  a a P qt F 2 từ tr ạng thái đứ ng yên. Khi vật (2) đi YQ0= 1(1 ++ ) Q 2 (1 −+ ) P  g g đượ c quãng đườ ng s, yêu cầu: 0 (2) 30 a 1. Xác đị nh gia tốc của các vật a 2. Tìm ph ản lực liên kết của đĩ a tại (1) (1) tr ục quay. qt B F 1 3. Lực căng trong các nhánh dây Q 2 Q1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1161 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1163 1. Tìm gia tốc khi vật (2) chuy ển độ ng xu ống đoạn s 3. Lực căng dây: qt qt qt ε qt qt a (,,,,,YO XO PQQ F1, F 2 , M O )0∼ 1 2 qt (,,)0QT1 F1 1 ∼ ⇒ TQ1= 1+ F 1 = Q 1 (1) + M O g T 2 * Công do hệ lực trên th ực hi ện trên Y 0 mọi chuy ển vị đề u bằng không, nên: O X 0 T 1 δ s qt qt qt qt F 2 (QF22− )(δ sQF −+ 11 ) δ sM −O .0 = R R a (2) a a Pasδ qt ⇒ 2 F 2 Q2(1)−−+−δ sQ 1 (1) δ s ( R ). = 0 P (1) a g g2 gRR (2) s qt F 1 Q2− Q 1 ⇒ a= 2 g a δ s Q 2Q+ 2 Q + P 2 2 1 (1) a qt Q1 qt F 1 qt a Q (,,)0QTF2 2 ∼ ⇒ TQ=− F = Q (1) − 2 2 2 22 2 g Q1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1162 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1164
  6. Bài t ập 11.3 qt qt qt Ta có: (,,,,PPQMX12O ,, Y O F 12 , F , M )0∼ Vật nặng (1) có tr ọng lượ ng P1 = P và vật nặng (2) có tr ọng lượ ng P2 = 2P đượ c bu ộc vào hai dây cu ốn vào hai tang của một tời bán Công hệ lực trên sinh ra trên quãng đườ ng bất kỳ bằng 0, nên: kính r và R =2r. Để nâng vật nặng P lên, ta tác dụng mômen M lên 2 A MMqt PFsFPs qt qt tời. Bi ết tr ọng lượ ng tời là Q = 4P, bán kính quán tính là ρ = 1,5r. ∑δ()(k =− ).( δϕ +−11 )( δ 1 −+ 2 22 ) δ = 0 Xác đị nh gia tốc của tời quay. qt qt qt ⇒ (MM− )2(δϕ +− rPF11 )( δϕ −+= rFP 22 )0 δϕ ⇒ qt qt qt  M (MM−+ )2( rPF11 −− )( rF 2 + P 2 )  δϕ = 0 R r ⇒ (MM−qt )2( + rPF −− qt )( rF qt += P )0 O 11 2 2 4P 9 P 2 P ⇒ (M− r2ε )2( +−− rP 2)( araP += 2)0 g4 g g Mg ⇒ Mg=15 P εr 2 ⇒ ε = 15 Pr 2 (2) (1) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1165 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1167 * Xét th ời điểm vật (2) chuy ển độ ng quãng đườ ng s, gia tốc của nó là a. qt qt qt a Ta có: (,,,,PPQMX12O ,, Y O F 12 , F , M )0∼ a= aa, = 2 a , ε = qt A B r M Công hệ lực trên sinh ra trên quãng đườ ng bất kỳ bằng 0, nên: Các tải tr ọng và ph ản lực liên kết: Y O M R qt qt qt r ∑δ()(Ak =− MM ).( δϕ +− PFsFPs11 )( δ 1 −+ 2 22 ) δ = 0 P1, P 2 ,,, QMXO , Y O ⇒ qt qt qt O (MM− )2(δϕ +− rPF11 )( δϕ −+= rFP 22 )0 δϕ Các lực quán tính: X O ⇒ qt qt qt  (MM−+ )2( rPF11 −− )( rF 2 + P 2 )  δϕ = 0 qt P1 P 1 P Q F1 = aA = Rε = 2 r ε qt qt qt g g g ⇒ (MM− )2( + rPF11 −− )( rF 2 += P 2 )0 qt P2 P 2 P Mg F= a =ε r = 2 ε r qt δ s ⇒ ε = 2 gB g g (2) 15 Pr 2 F 1 s Q P P2 Mqt =ρ2 ε = 9 r 2 ε (1) g g qt Ta có: P1 F 2 δ s δϕ=, δs == δ sr δϕ , δ s ==22 δ sr δϕ r 2 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1166 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1168
  7. qt qtqt m s Bài t ập 11.4 * Ta có: (,,, F1 PQFCCI , M , F ,, NXI OO ,)0 Y ∼ P Cho cơ cấu nh ư hình vẽ. Vật (1) có tr ọng lượ ng P. Tr ọng lượ ng của vật Fqt = a (3) là Q = 4P, bán kính quán tính đố i với tr ục quay Cz là 1,5r. Vật 2 có Ag A tr ọng lượ ng không đáng kể. Tìm gia tốc của vật (1) khi nó hạ xu ống. qt Q8 P Bi ết R = 2r. FC= a C = a A g3 g Q P MJqt =.ε = ρ2 ε = 3 ra g g A R (3) (2) * Công của hệ lực cân bằng th ực hi ện khi vật (1) dịch chuy ển δs từ s: C O r qt qt qt ∑δ()(Ak=− PF1 ) δ sF − C . δ s C − M .0 δϕ 3 = 2 δ s ⇒ (PF−qt )δ sF − qt . δ sM − qt .0 = 1 C 3 3 r 2 1 A (1) ⇒ (PF−−qt ). F qt − M qt .0 = 1 C 3 3 r P82 P P 1 9 ⇒ (Pa−− ) a .3.0 − ra = ⇒ a= g gAA3 g 3 gr A 3 A 34 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1169 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1171 * Quan hệ về chuy ển vị, gia tốc: ε 3 (3) M qt Y O R qt C §3. Nguyên lý di chuy ển kh ả d ĩ O X O F C r Q a C Nguyên lý này còn đượ c gọi là nguyên lý công ảo, dùng ph ươ ng N I qt F 1 pháp độ ng học để gi ải bài toán cân bằng. ms s F I I (1) A δ s aA δ s 2 δϕ3 =; δsC = δδ ss , A = δ s 3r 3 P a 2 ε =A ;a = a 3 3r C 3 A GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1170 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1172
  8. 1. Các khái ni ệm c ơ b ản v ề c ơ h ệ ch ịu liên k ết 1.3. Tọa độ suy rộng: 1.1. Di chuy ển kh ả dĩ: Độ dời vô cùng bé tưở ng tượ ng th ực hi ện đượ c Là các thông s ố đị nh v ị đúng b ằng s ố b ậc t ự do hoàn toàn xác đị nh mà không phá vỡ liên kết của cơ hệ. đượ c v ị trí c ủa c ơ h ệ g ọi là t ọa độ suy r ộng. * Các di chuy ển kh ả dĩ th ườ ng gặp: Ký hi ệu t ọa độ suy r ộng: { q}= ( q1, q 2, q 3, ,q n). δr( δ x, δ y , δ z ) : Di chuy ển kh ả dĩ tổng quát 1.4. Công kh ả dĩ: δ s : Di chuy ển dài kh ả dĩ δA= F. δ r δϕ : Di chuy ển góc kh ả dĩ 1.5. Lực suy rộng: Xét h ệ g ồm m ch ất điểm ch ịu tác d ụng c ủa h ệ l ực { F k } . Cho h ệ g ồm n b ậc t ự do đượ c xác đị nh b ởi t ọa độ suy r ộng { q}= ( q1, q 2, q 3, ,q n). Công kh ả d ĩ c ủa h ệ l ực tác d ụng lên c ơ h ệ: 11.10 δA= ∑ Fk . δ r k k GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1173 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1175 1.2. Số bậc tự do của cơ hệ: bằng số di chuy ển kh ả dĩ độ c lập của nó. + Công kh ả d ĩ tính trong t ọa độ Descartes + V ật chuy ển độ ng t ịnh ti ến th ẳng có m ột di chuy ển kh ả d ĩ là δs  δA=∑ Frkx. δ kx + ∑ Fr ky . δ ky + ∑ Fr kz . δ kz 11.11 bậc tự do là 1. + Công kh ả d ĩ tính trong t ọa độ suy r ộng + V ật chuy ển độ ng t ịnh ti ến ph ẳng có hai di chuy ển kh ả d ĩ độ c l ập theo hai ph ươ ng  bậc t ự do là 2. n ∂r k (Khai tri ển M-L) Ta có: rrqqqkk= ()1, 2 , , nk⇒ δ r= ∑ δ q i + V ật chuy ển độ ng quay quanh m ột tr ục c ố đị nh có m ột di chuy ển kh ả i ∂q i dĩ δϕ  bậc t ự do là 1. n ∂r ∂ r  Nên: k k + V ật chuy ển độ ng song ph ẳng có ba di chuy ển kh ả d ĩ độ c l ập. Trong δAF=∑∑k δ qi = ∑∑ F k  δ q i ki∂q ik ∂ q  đó có hai di chuy ển kh ả d ĩ c ủa điểm c ực, m ột di chuy ển kh ả d ĩ c ủa v ật i i quay quanh c ực đó  bậc t ự do là 3. ∂rk Đặ t: Q i = ∑ F k g ọi là l ực suy r ộng. 11.12 ∂q * Cách xác đị nh s ố b ậc t ự do: k i ế ả ở ể ả ĩ độ ậ ọ đ ể ộ ệ n N u c n tr n di chuy n kh d c l p mà m i i m thu c h 11.13 Do đó: δA=∑ QqQqQqi δδδ i =11 + 2 2 ++ Qqn δ n mới đứ ng yên thì h ệ có đúng n b ậc t ự do. i=1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1174 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1176
  9. 2. Nguyên lý di chuy ển kh ả d ĩ * Cách tính l ực suy r ộng: Để tính l ực suy r ộng Qi nào đó ta truy ền cho h ệ m ột di chuy ển kh ả d ĩ độ c l ập sao cho t ọa độ suy r ộng qi có s ố 2.1. Nguyên lý: Điều ki ện cần và đủ để cho cơ hệ ch ịu liên kết lý tưở ng gia δqi ≠ 0, còn các t ọa độ khác δqi = 0 với j ≠ i . Tính t ổng công δA đượ c cân bằng là tổng công nguyên tố của tất cả các lực ch ủ độ ng tác của các l ực trên di chuy ển kh ả d ĩ. L ực suy r ộng Qi đượ c tính b ởi dụng lên hệ trong mọi di chuy ển kh ả dĩ của hệ ph ải bằng không. công th ức: Xét hệ lý tưở ng với: δ A 11.14 Qi = + Lực tác dụng lên hệ gồm các lực ho ạt độ ng: F k δ q i + Các ph ản lực liên kết: N k 1.6. Liên kết lý tưở ng: Theo nguyên lý di chuy ển kh ả dĩ: ∑δAF()k= ∑ Fr k . δ k = 0 11.16 Ta đã gặp nh ững lo ại liên kết mà tổng công của các lực liên kết sinh ra k trên các độ dời phân tố của hệ tri ệt tiêu. Hay nói cách khác các liên kết Ch ứng minh: 1. Điều ki ện cần này không ảnh hưở ng đế n bi ến thiên độ ng năng của hệ trong quá trình NFk+k = 0⇒ NFr k + k δ = 0 chuy ển độ ng. Ta đư a ra khái ni ệm cơ hệ lý tưở ng. Ta có đị nh ngh ĩa ( ) k sau: ⇒ Nkδ rk+ Fk δ r k = 0 Toàn h ệ Các liên kết của hệ sẽ đượ c gọi là lý tưở ng nếu tổng công ⇒ δAN()k + δ AF ()0k = nguyên tố của các lực liên kết trên mọi di chuy ển kh ả dĩ của hệ đề u ∑δ A( F k )= 0 bằng không. ⇒ 0 +δ A ( F k ) = 0 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1177 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1179 Xét hệ lý tưở ng với: 2. Điều ki ện đủ : ch ứng minh hệ ph ải cân bằng + Lực tác dụng lên hệ gồm các lực ho ạt độ ng: F k Lúc đầ u hệ đứ ng yên và th ỏa mãn điều ki ện cần. Gi ả sử tại th ời + Các ph ản lực liên kết: điểm nào đó hệ chuy ển độ ng, theo đị nh lý độ ng năng thì: N k 11.15 dT= dAF(k ) + dAN (k ) > 0 (*) ∑δAN()k= ∑ Nr k . δ k = 0 k Mà dA ( N k ) = 0 và dA ( F k ) = 0 nên (*) không đúng. Vậy h ệ Các liên k ết th ườ ng g ặp sau đây là liên k ết lý t ưở ng: luôn đứ ng yên. - Liên k ết t ựa không ma sát - Liên k ết l ăn không tr ượ t trên m ặt cong nhám - Liên k ết b ản l ề không ma sát - Liên k ết dây m ềm không giãn - Liên k ết thanh GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1178 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1180
  10. 2.2. Các ph ươ ng trình cân bằng: Bài t ập 11.5 Xét hệ lý tưở ng với các lực ho ạt độ ng F k Cho hệ dầm ch ịu liên kết và ch ịu lực nh ư hình vẽ. Bỏ qua ma sát, tìm ph ản lực ở gối C và ngàm A. + Ph ươ ng trình cân b ằng d ạng t ọa độ Descartes ∑δAF()0k = ⇒ ∑∑ Frkx . δδδ kx+ Fr ky . ky + ∑ Fr kz .0 kz = 11.17 P= 2 ql + Ph ươ ng trình cân b ằng d ạng t ọa độ suy r ộng 1 P2 = ql q δAF()0k = ⇒ QqQq δδ+ ++ Qq δ = 0 C ∑ 11 2 2 n n A B D Q1 = 0 l l l  Q = 0 2 11.18 Khi các δ q i độ c l ập nhau thì:    Qn = 0 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1181 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1183 3. Áp d ụng 1. Tìm ph ản lực liên kết gối tại C: 3.1. Các dạng toán th ườ ng gặp: - Giải phóng liên kết tại gối C  ph ản lực VC - Tìm điều ki ện cân bằng của cơ hệ có một ho ặc nhi ều bậc tự do P= 2 ql P= ql 1 q 2 - Xác đị nh các ph ản lực liên kết của các hệ cơ học tĩnh đị nh C A 3.2. Các bướ c ti ến hành: B D - Ch ọn b ậc t ự do c ủa đố i t ượ ng kh ảo sát và cho di chuy ển kh ả d ĩ l l l V - Ch ọn b ậc t ự do c ủa đố i t ượ ng kh ảo sát và cho di chuy ển kh ả d ĩ C - Gây di chuy ển kh ả dĩ của dầm BCD – xoay tại B góc δϕ - Tính và tri ệt tiêu tổng công các lực ho ạt độ ng trong di chuy ển kh ả dĩ. Từ đó rút ra nh ững ph ươ ng trình tìm điều ki ện cân bằng của cơ hệ. P= 2 ql 1 P2 = ql (V ới hệ cơ học tĩnh đị nh cân bằng , gi ải phóng ph ản lực liên kết cần q ư ự ạ độ C tìm và xem nó nh l c ho t ng) A B δϕ D y l l l VC GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1182 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1184
  11. - Li ệt kê các lực ho ạt độ ng: - Li ệt kê các lực ho ạt độ ng: P1 = 2 ql q   q P= ql  2 P= ql V  2  C  M A - Tính công kh ả dĩ của lực ho ạt độ ng: - Tính công kh ả dĩ của lực ho ạt độ ng: lδϕ l lδϕ l δAql=. + Pl .2 δϕ − Vl . δϕ =+− (. ql PlVl .2 .) δϕ δAPl=1. δϕ + ql . − Pl 2 . δϕ − MA .( ) δϕ =+−− Plql 12 PlM A δϕ 22 C 2 2 C 2 2 δA= Q ϕ δϕ - Áp dụng nguyên lý: l - Áp dụng nguyên lý: ⇒ Pl + ql − Pl . − M = 0 l 12 2 A Q= 0⇒ ql .+ PlVl .2 − . = 0 ϕ 2 2 C ql2 ql 2 ⇒ M=+−= P. l P l 2 ql2 +−= ql 2 1,5 ql 2 ql ql A 12 2 2 ⇒ V=+ 2 P =+ 2 ql = 2,5 ql C 22 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1185 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1187 2. Tìm ph ản lực liên kết tại A: * Xác đị nh HA, gây di chuy ển kh ả dĩ tại A theo ph ươ ng ngang δ z : * Giải phóng liên kết tại A  ph ản lực V , H , M A A A M A P= 2 ql P= ql 1 q 2 M A P= 2 ql P= ql 1 q 2 C H A A C A δ z B D H A B D l l l l l l VA VC VA - Li ệt kê các lực ho ạt độ ng: H * Tính MA: gây di chuy ển kh ả dĩ của dầm AB – xoay tại B góc δϕ A - Tính công kh ả dĩ của lực ho ạt độ ng:δ A= − HA δ z M P1 = 2 ql P= ql A q 2 - Áp dụng nguyên lý: H = 0 A B C A δϕ D l l l GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1186 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1188
  12. 1. Nguyên lý * Xác đị nh VA, gây di chuy ển kh ả dĩ của dầm BA, xoay tại tại B: δϕ Tại mỗi th ời điểm cơ hệ ch ịu liên kết hình học lý tưở ng là tổng công M A P= 2 ql P= ql 1 q 2 của các lực ch ủ độ ng (ch) và các ph ản lực quán tính (qt) trong mọi di δϕ C chuy ển kh ả dĩ bằng không. H A A B D δA() ch+ δ A ()0 qt = 11.19 l l l (cd ) Trong đó: δA( ch ) = ∑ Fk δ r k VA VC (k ) (qt ) δA( qt ) = ∑ Fk δ r k (k ) (qt ) - Li ệt kê các lực ho ạt độ ng: MA, V A Với: Fk = − mk. a k - Tính công kh ả dĩ của lực ho ạt độ ng: δAVl=A. δϕ − M A δϕ =− (.) VlM AA δϕ 1,5 ql 2 - Áp dụng nguyên lý: V. l− M = 0⇒ V= = 1,5 ql A A A l GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1189 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1191 2. Ph ươ ng trình t ổng quát c ủa độ ng l ực h ọc + Dạng véc tơ: (cd ) ∑(Fk − mak .) kδ r k = 0 11.20 (k ) §4. Nguyên lý D’Alembert - Lagrange + Dạng tọa độ Descartes: Nguyên lý D’Alembert cho phép gi ải bài toán độ ng lực học với cách ()cdɺɺ () cd ɺɺ () cd ɺɺ ∑((Fkx− mxxF k .)( kxδ k +− ky myy k .)( ky δ k +− F kz mzz k .) kz δ k ) = 0 th ức nh ư bài toán cân bằng tĩnh học. Nguyên lý di chuy ển kh ả dĩ cho (k ) 11.21 ta ph ươ ng pháp tổng quát để gi ải bài toán cân bằng tĩnh. Kết hợp hai + Dạng tọa độ suy rộng: xét hệ n bậc tự do ph ươ ng pháp trên sẽ có ph ươ ng pháp tổng quát để gi ải bài toán độ ng qt lực học. Do: δAch( )=∑ Qqii δδ , Aqt ( ) = ∑ Qq ii δ , i = 1, n ()i () i ∂r qt k 11.22 Qi= ∑- m k a k : lực suy rộng quán tính (k ) ∂qi qt⇒ qt 11.23 Nên: ∑(QQqiii+ )δ = 0 QQ ii+ = 0, in = 1, (i ) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1190 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1192
  13. 3. Bài t ập áp d ụng Tính các di chuy ển kh ả d ĩ theo α: Các thanh không tr ọng lượ ng đượ c liên kết ZalB=+.cosα  δ Zl B =− .sin. αδα O y   với nhau nh ư hình vẽ. Thanh th ẳng đứ ng Z a Z 0. C=  δ C = δα quay đề u với vận tốc ω. Trên các thanh mang a qt ⇒  C F 1 Yl=.sinα δ Yl = .cos. αδα các vật (xem nh ư ch ất điểm) có tr ọng lượ ng A B  B qt P1 2   F1 = ω l .sin α là P = 2P = 2P. Hãy vi ết mối liên hệ gi ữa YlC=.sinα  δ Yl C = .cos. αδα g 1 2 vận tốc góc ω với góc α. Bi ết các liên kết P1 Thay t ất c ả vào (*): không ma sát, đầ u D của thanh CD liên kết α với con tr ượ t không tr ọng lượ ng – giá tr ượ t 0.Pl−+ .sinα . Pl .cos α . Flqt + .cos α . F qt δα = 0 là tr ục thanh Oz. Hai thanh AB và CD cùng ( 1 2 1 2 ) qt qt qt chi ều dài l, kh ớp nối nhau chính gi ữa. F 2 ⇒ B 0.Pl1− .sinα . Pl 2 + .cos α . Fl 1 + .cos α . F 2 = 0 D P ⇒ −P.sinα + 3cos αω .2 l .sin α = 0 z g ω P 2 g ⇒ ω = 3l .cos α GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1193 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1195 Ta xét c ơ c ấu ở tr ạng thái cân b ằng t ươ ng đố i trong m ặt ph ẳng c ủa nó. 4. Ph ươ ng trình Lagrange lo ại II Khi đó h ệ có m ột b ậc t ự do. Ch ọn q = α làm t ạo độ suy r ộng. H ệ ch ịu 4.1. Tr ườ ng hợp chung: liên k ết lý t ưở ng vì b ỏ Xét cơ hệ liên kết lý tưở ng hình học có m ch ất điểm, có n bậc tự Các lực ch ủ độ ng: P1, P 2 do, tươ ng ứng n tọa độ suy rộng q1, q2, ,q n dướ i dạng tác dụng của hệ P1 = 2 P lực F k . Hệ luôn th ỏa mãn: P= P { } 2 qt qt d∂ T ∂ T Các lực quán tính: F1, F 2 ( )− =Q , i = 1, n dt∂ qɺ ∂ q i qt P1 2 i i F1 = ω l .sin α g Trong đó: P Fqt = 2 ω2 l .sin α q : tọa độ suy r ộng 2 g i ɺ Theo ph ươ ng trình t ổng quát c ủa độ ng l ực h ọc ta có: qi : vận t ốc suy r ộng δA() ch+ δ A ()0 qt = T= Tqq( ,ɺ ): là độ ng n ăng c ủa c ơ h ệ chi ếu qua h ệ t ọa độ suy r ộng qt qt δZPC.1+ δ ZP B . 2 + δ YF C . 1 + δ YF B . 2 = 0 (*) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1194 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1196
  14. Ch ứng minh: Ta đư a vào hàm Largange L = T − Π Ta có:  ∂L ∂ T ∂Π = − QQq+qtδ = 0⇒ QQ+ qt = 0⇒ QQ= − qt , in = 1,  ∑( iii) ii ii ∂qi ∂ q i ∂ q i (i ) L= T − Π ⇒     ∂L ∂ T ∂Π qt d∂ T ∂ T = − Mà: −Qi =  −  ɺ ɺ ɺ ɺ ∂qi ∂ q i ∂ q i dt∂ qi  ∂ q i d∂ T ∂ T Nên: ( )− =Q , i = 1,n dt∂ qɺ ∂ q i Khi đó ph ươ ng trình Lagrange lo ại II trong tr ườ ng h ợp l ực có th ế nh ư i i sau: d∂ L ∂ L ( )− = 0 11.26 ɺ dt∂ qi ∂ q i GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1197 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1199 4.2. Tr ườ ng hợp các lực có th ế: * Áp dụng: Vì các l ực có th ế nên ta có th ể tính l ực suy r ộng qua th ế n ăng Π = Π (qi )  Ph ươ ng trình tổng quát độ ng lực học và ph ươ ng trình Lagrange lo ại II sử dụng để thành lập ph ươ ng Ta có: trình vi phân chuy ển độ ng của cơ hệ có một ho ặc nhi ều bậc tự do. Th ực tế, khi thi ết lập ph ươ ng trình ∂Π ∂Π vi phân có 2 bậc tự do tr ở lên mới sử dụng. Đố i với cơ hệ có một bậc tự do thì có th ể sử dụng đị nh lý Q = − và = 0 11.24 bi ến thiên độ ng năng. i ɺ ∂qi ∂qi  Ph ươ ng trình tổng quát độ ng lực học là ph ươ ng trình dạng bi ến phân nên tươ ng ứng với hệ ph ươ ng trình vi phân ngh ĩa là số ph ươ ng trình của hệ bằng số bậc tự do của hệ. d∂ T ∂ T Nên t ừ: ( )− =Q , i = 1,n  Ph ươ ng pháp gi ải : Để áp dụng ph ươ ng trình tổng quát độ ng lực học, ta đặ t tr ực ti ếp các lực quán tính ɺ i của các ch ất điểm thu ộc cơ hệ. Sau đó, ta cho cơ hệ một di chuy ển kh ả dĩ và tính tổng công kh ả dĩ của dt∂ qi ∂ q i các lực ho ạt độ ng và lực quán tính. Lập ph ươ ng trình và dựa vào các di chuy ển kh ả dĩ độ c lập rút ra các ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng. d∂ T ∂Π ∂ T ∂Π Suy ra: (+ ) − =−  Để vi ết ph ươ ng trình Lagrange lo ại II, đầ u tiên xác đị nh số bậc tự do của hệ và ch ọn các tọa độ suy ɺ ɺ rộng đủ . Tính độ ng năng của cơ hệ và bi ểu di ễn nó qua các tọa độ và vận tốc suy rộng. Tính các lực dt∂∂ qii q ∂ q i ∂ q i suy rộng của các lực ho ạt độ ng ứng với các tọa độ suy rộng. Tính các bi ểu th ức đạ o hàm của độ ng d∂ T ∂Π ∂ T ∂Π ⇒ (+ ) − + = 0 11.25 năng theo tọa độ và vận tốc suy rộng và đạ o hàm toàn ph ần của bi ểu th ức đạ o hàm riêng của độ ng ɺ ɺ dt∂ qi ∂ q i ∂ q i ∂ q i năng theo vận tốc suy rộng.  Trong một số tr ườ ng hợp của cơ hệ với liên kết ma sát, ta có cơ hệ với liên kết không lý tưở ng. Cần gi ải phóng liên kết ma sát và kể cả lực ma sát thu ộc vào lớp các lực ho ạt độ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1198 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1200
  15. Ví dụ 1 * Tính các đạ o hàm của độ ng năng theo tọa độ suy rộng: Cho cơ cấu gồm vành tròn cố đị nh 1 - bán kính R1; bánh xe ch ủ độ ng ∂T18 P + Q 2, bán kính R , tr ọng lượ ng P. Tay quay OA tr ọng lượ ng Q, ch ịu tác =(R − R ) 2ϕɺ 2 ∂ϕɺ 12 g 1 2 dụng một ng ẫu lực với mômen không đổ i M. Hãy xác đị nh gia tốc góc tay quay OA, cho bi ết cơ cấu đặ t trong mặt ph ẳng th ẳng đứ ng. ∂T = 0 Bánh xe 2 lăn không tr ượ t trên vành tròn 1. Bỏ qua ma sát, bánh xe 2 ∂ϕ là đĩ a đồ ng ch ất, thanh OA là thanh đồ ng ch ất. d∂ T18 PQ + ()= (R − R ) 2ϕɺɺ dt∂ϕɺ 12 g 1 2 A ϕ * Tính lực suy rộng: Q M ϕ x Các lực sinh công: M, Q , P O P Q Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δϕ δ y δAQ=A + Py δ + M δϕ 2 A y GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1201 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1203 Cơ cấu 1 bậc tự do. Ch ọn tọa độ suy rộng q = ϕ. Ph ươ ng trình Ta có: yA = −( RR12 − ).sinϕ⇒ δ yA = − ( RR 12 − ).cos. ϕ δϕ Lagrange có dạng: (R− R )( Q + 2 P )  d∂ T ∂ T Do đó: δA= −1 2 .cos ϕ + M  δϕ ( ) − = Q 2  dt ∂ϕɺ ∂ ϕ ϕ 1 ⇒ Qϕ =[]2 MRRQP −− (1 2 )( + 2 ).cos ϕ * Tính độ ng năng của hệ theo ϕ: 2 1 1Q22 1 Q 22 Thay tất cả vào ph ươ ng trình Lagrange lo ại II: T=.() RR −=ω () RR − ϕ ɺ OA 2 12g12 24 g 12 18P+ Q 1 (RR− )2ϕɺɺ = 2 MRRQP −− ( )( + 2 ).cos ϕ 11P22 1 P 2 11 P 22vA 1 P 2 12[] 12 Tbx =. Rv2ω 2 +=A .() R 2 + v A 12g 2 22g 2 g 22 gRg2 2 6gM[ 2− ( RRQ1 − 2 )( + 2 P ).cos ϕ] 3P2 3 P 2 2 ⇒ ε= ϕ ɺɺ = v R R ɺ 2 =A =(1 − 2 ) ϕ (18P+ QR )( − R ) 4g 4 g 1 2 18 P+ Q TTT=+=( RR − ) 2ϕɺ 2 OA bx 24 g 1 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1202 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1204
  16. Ví dụ 2 * Tính độ ng năng của hệ: Một tr ụ đồ ng ch ất có kh ối lượ ng m, chuy ển độ ng lăn không tr ượ t trên M m m mặt ph ẳng nghiêng của một lăng tr ụ tam giác A, có kh ối lượ ng M, góc T= xɺ222 +( xsxs ɺɺɺɺ ++ 2 .cosα ) + s ɺ 2 nghiêng là α. Lăng tr ụ có th ể tr ượ t trên mặt ph ẳng ngang, nh ẵn. Tìm 2 2 4 gia tốc kh ối tâm của tr ụ C đố i với lăng tr ụ A và gia tốc của lăng tr ụ A. * Hàm Lagrange: Bỏ qua ma sát. 1 3 y L=−Π= T() M + m xɺ2 + ms ɺ 2 + mxs ɺɺ .cosα + mgs .sin α + const 2 4 * Tính các đạ o hàm: x ∂L ∂L = 0 = mg .sin α O (C ) ∂x ∂s ∂L ɺ ɺ ∂L 3 ɺ ɺ ( A) P =()M + m x + ms .cos α =ms + mx .cos α α x ∂xɺ ∂sɺ 2 O1 d∂ L d∂ L 3 Q s ( )=()M + mɺɺ x + ms ɺɺ .cos α ( )=msɺɺ + mx ɺɺ .cos α dt∂ xɺ dt∂ sɺ 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1205 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1207 Hệ kh ảo sát gồm 2 vật: ống tr ụ và lăng tr ụ tam giác. Hệ có 2 bậc tự do, * Thay tất cả vào (1), (2): ch ọn q1 = x, q2 = s. Do các lực tác dụng lên hệ là lực th ế nên: d∂ L ∂ L  ɺɺ ɺɺ ( )− = 0 (1) (M+ m) x + ms .cosα = 0 ɺ  dt∂ x ∂ x 3  msɺɺ+ mx ɺɺ .cosα − mg .sin α = 0 d∂ L ∂ L  ( )− = 0 (2) 2 dt∂ sɺ ∂ s msɺɺ.cosα + M + m ɺɺx = 0 ⇒ () * Tính th ế năng của hệ:  3ɺɺs+ 2.cos ɺɺxα = 2 g .sin α Π=−mgs.sin α + const  mg .sin 2 α ɺɺx  = − 2 * Tính độ ng năng của hệ:  3()M+ m − 2 m .cos α T= T + T ⇒  A C 2()M+ m g .sin α ɺɺs = M  2 T= xɺ2  3()M+ m − 2 m .cos α A 2 m m T=( xɺɺ2 ++ s 2 2 xs ɺɺ .cosα ) + s ɺ 2 C 2 4 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1206 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1208
  17. Ho ặc có th ể gi ải: Thay tất cả vào ph ươ ng trình Lagrange lo ại II (1) và (2):  mg sin 2 α d∂ T ∂ T ɺɺx = − ( )− = Qx (1)  2 dt∂ xɺ ∂ x (M+ m )ɺɺ x + ms ɺɺ .cosα = 0  3(M+ m ) − 2 m .cos α ⇒  ɺɺ ɺɺ 2M+ m g .sin α d∂ T ∂ T 2x .cosα+ 3 s = 2 g sin α ɺɺ () ( )− = Qs (2) s = 2 dt∂ sɺ ∂ s  3()M+ m − 2 m .cos α * Tính độ ng năng của hệ theo x, s: M T= xɺ2 tg 2 m m T=( xɺ2 + 2.cos xs ɺɺα ++ s ɺ 2 ) s ɺ 2 v 2g 4 M+ m3 m T=+= T T xɺ2 + mxs ɺɺ.cos α + s ɺ 2 tg v 2 4 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1209 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1211 * Tính các đạ o hàm của độ ng năng theo tọa độ suy rộng: Bài t ập 11.6 ∂T M + m ∂T3 m =xɺ + ms ɺ .cos α =mxɺ.cos α + s ɺ Hai tấm ph ẳng đồ ng ch ất có cùng chi ều dày. Tấm hình vuông (D) cạnh ∂xɺ g ∂sɺ 2 a, kh ối lượ ng m. Tấm hình tam giác ABC có h = 30a, kh ối lượ ng 6m. ∂T ∂T Tại th ời điểm ban đầ u khi t = 0 (s) cả hai vật đứ ng yên, đượ c ghép = 0 = 0 ∂x ∂s ph ẳng với nhau và K1 trùng A. Cho hệ chuy ển độ ng tự do dướ i tác dụng của tr ọng lực: vật B tr ượ t không ma sát trên mặt ph ẳng nghiêng của vật d∂ T QP + P d∂ T3 m ( )=ɺɺx + ɺɺs .cos α ( )=mxɺɺ .cos α + ɺɺs ABC, vật ABC tr ượ t không ma sát trên mặt ph ẳng ngang. Tại mọi th ời dt∂ xɺ g g dt∂ sɺ 2 điểm, mặt trung gian của hai vật luôn thu ộc một mặt ph ẳng cố đị nh. Vi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng kh ối tâm của các vật khi vật D đang còn trên * Tính lực suy rộng: Qx mặt nghiêng. A Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx≠0, δ s = 0 Không có lực sinh công nên Qx = 0 * Tính lực suy rộng: Q h s K1 Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx=0, δ s ≠ 0 90 0 0 B 45 C δA= mg.sin. αδ s = 0⇒ Qs = mg sin α GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1210 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1212
  18. Gọi G1 là kh ối tâm của vật tam giác. * Tính độ ng năng của hệ: Gọi G là kh ối tâm của vật hình vuông. 2 m T=3 mxɺ2 + ( x ɺɺ 2 ++ s 2 2) xs ɺɺ y 2 * Hàm Lagrange: 7m m 2 I L=−Π= T mxɺ2 +s ɺ 2 +2 xs ɺɺ + mgs + const s 222 2 * Tính các đạ o hàm: G2 x G1 ∂L ∂L 2 = 0 = mg P ∂x ∂s 2 P 2 x O 1 ∂L m ∂L m =7mxɺ + 2 s ɺ =msɺ + 2 x ɺ ∂xɺ 2 ∂sɺ 2 s d∂ L m d∂ L m ()7=mxɺɺ + 2 ɺɺs ( )=msɺɺ + 2 ɺɺx dt∂ xɺ 2 dt∂ sɺ 2 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1213 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1215 Hệ kh ảo sát gồm 2 vật: tấm vuông và tấm tam giác. Hệ có 2 bậc tự do, * Thay tất cả vào (1), (2): ch ọn q1 = x, q2 = s. Do các lực tác dụng lên hệ là lực th ế nên:  m d∂ L ∂ L 7mxɺɺ+ 2 ɺɺs = 0 ( )− = 0 (1)  2 dt∂ xɺ ∂ x   m 2 d∂ L ∂ L msɺɺ+2 ɺɺx − mg = 0 ( )− = 0 (2)  2 2 dt∂ sɺ ∂ s 2 14ɺɺx+ 2 ɺɺs = 0 * Tính th ế năng của hệ: Π=−mgs + const ⇒  2 ɺɺx+2 ɺɺs = g * Tính độ ng năng của hệ: ɺɺ g T= T + T x = − tg v  13 ⇒  -Ph ươ ng trình chuy ển độ ng tuy ệt đố i M ɺ2 ɺ 2  7 2 g Ttg = x = 3 mx ɺɺs = tấm tam giác 2  13 -Ph ươ ng trình chuy ển độ ng tươ ng đố i m (theo mặt nghiêng) của tấm vuông. T=( xɺ2 + s ɺ 2 + 2 xs ɺɺ ) v 2 Ng ườ i đọ c t ự gi ải quy ết ti ếp -Ph ươ ng trình chuy ển độ ng tuy ệt đố i của tấm vuông (h ợp chuy ển độ ng) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1214 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1216
  19. Ho ặc có th ể gi ải: Thay tất cả vào ph ươ ng trình Lagrange lo ại II (1) và (2): d∂ T ∂ T  7 2 g ( )− = Qx (1) ɺɺs dt∂ xɺ ∂ x 14ɺɺx+ 2 ɺɺs = 0  = ⇒  13 d∂ T ∂ T ɺɺx+2 ɺɺs = g g ( )− = Q (2)  ɺɺx = − dt∂ sɺ ∂ s s  13 * Tính độ ng năng của hệ theo x, s: 1 T=.6 mxɺ2 = 3 mx ɺ 2 tg 2 1 T=.( m xɺ2 + xs ɺɺ .2 + s ɺ 2 ) v 2 m TTT=+=7 xɺ2 + 2 xss ɺɺɺ + 2 tg v 2 ( ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1217 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1219 * Tính các đạ o hàm của độ ng năng theo tọa độ suy rộng: Bài t ập 11.7 ∂T m ∂T m Con lắc elíptic gồm con ch ạy A kh ối lượ ng M, tr ượ t không ma sát trên =14xɺ + s ɺ . 2 =xɺ. 2 + 2 s ɺ ∂xɺ 2 ( ) ∂sɺ 2 ( ) mặt ph ẳng nằm ngang và qu ả cầu nh ỏ kh ống lượ ng m nối với con ch ạy bằng thanh AB chi ều dài l không tr ọng lượ ng. Thanh có th ẻ quay quanh ∂T ∂T = 0 = 0 tr ục A gắng li ền với con ch ạy và vuông góc với mặt ph ẳng. Hãy lập ∂x ∂s ph ươ ng trình Lagrange lo ại II. d∂ T m ɺɺ ɺɺ d∂ T m ( )=( 14x + s . 2 ) ()=ɺɺx .22 + ɺɺs dt∂ xɺ 2 dt∂ sɺ 2 ( ) A x * Tính lực suy rộng: Qx Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx≠0, δ s = 0 l Không có lực sinh công nên Qx = 0 ϕ * Tính lực suy rộng: Q s y B Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx=0, δ s ≠ 0 2 2 δA= mg δ s = 0 ⇒ Q= mg 2s 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1218 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1220
  20. *Hệ gồm hai bậc tự do. Ch ọn tọa độ suy rộng: * Các ph ươ ng trình Lagrange lo ại II: d∂ L ∂ L q= x, q = ϕ x ( )− = 0 (1) 1 2 dt∂ xɺ ∂ x A x d∂ L ∂ L ( )− = 0 (2) * Tính độ ng năng của hệ: dt ∂ϕɺ ∂ ϕ T= T + T A B l * Thay tất cả vào các ph ươ ng trình Lagrange lo ại II: Trong đó: ϕ (1)⇒ (M++ m )ɺɺ x ml (ϕɺɺ .cos ϕϕ − ɺ 2 sin ϕ ) = 0 1 ɺ 2 y B TA = Mx 2 (2)⇒ lϕɺɺ +ɺɺ x .cos ϕ + g .sin ϕ = 0 1 T= ml(2ϕɺ 2 + 2 lx ϕ ɺ ɺ .cos ϕ + x ɺ 2 ) B 2 Do đó: 1 1 T=+ Mxɺ2 ml( 22ϕɺ + 2 lx ϕ ɺ ɺ .cos ϕ + x ɺ 2 ) 2 2 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1221 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1223 Ho ặc có th ể gi ải: * Tính th ế năng của hệ: Π=−mgl.cos ϕ + const d∂ T ∂ T * Hàm Lagrange: ( )− = Q (1) dt∂ xɺ ∂ x x 1ɺ2 1 22ɺ ɺ ɺ ɺ 2 L=−Π= T Mx + m( lϕϕϕ + 2 l x .cos ++ x ) mgl .cos ϕ + const d∂ T ∂ T 2 2 ( )− = Q (2) ɺ ϕ * Tính các đạ o hàm: dt ∂ϕ ∂ ϕ ∂L ∂L = 0 = −mlϕɺ xɺ.sin ϕ − mgl .sin ϕ * Tính độ ng năng của hệ theo x, ϕ: ∂x ∂ϕ ∂L 1 =Mxɺ + m( lϕɺ .cos ϕ + x ɺ ) ∂L T= . Mxɺ2 ∂xɺ =ml( lϕɺ + xɺ .cos ϕ ) A ∂ϕɺ 2 d∂ L ɺɺ ɺɺ ɺ 2 1 2 2 2 ( )(=++Mmxml ) (.cosϕ ϕϕ − l sin) ϕ d∂ L T=. m ( xɺ + 2 xl ɺ ϕɺ .cos ϕ + l ϕ ɺ ) dt∂ xɺ ( )=ml ( lϕɺɺ +ɺɺ x .cos ϕϕϕ − x ɺ ɺ .sin ) B 2 dt ∂ϕɺ 1 1 T=+= T T( M ++ m ) xɺ2 mxl ɺ ϕɺ .cos ϕ + ml 2 ϕ ɺ 2 A B 2 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1222 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1224
  21. * Tính các đạ o hàm của độ ng năng theo tọa độ suy rộng: Bài t ập 11.8 ∂T Tấm ph ẳng AB có kh ối lượ ng M ch ịu tác dụng một lực không đổ i là F =(M + m ) xɺ + ml ϕɺ .cos ϕ ∂xɺ theo ph ươ ng ngang sẽ chuy ển độ ng tịnh ti ến trên mặt ph ẳng nằm ngang ∂T nh ẵn. Một con lăn kh ối lượ ng m, bán kính R có mômen quán tính đố i = 0 với tr ục đi qua kh ối tâm th ẳng góc với mặt ph ẳng con lăn là J . Con lăn ∂x C đặ t tự do trên tấm AB. Xác đị nh gia tốc của tấm AB và gia tốc tâm C d∂ T ( )(=++M m )ɺɺ x ml (.cosϕɺɺ ϕϕ − ɺ 2 sin) ϕ của con lăn. dt∂ xɺ C ∂T =mxlɺ .cos ϕ + ml 2 ϕ ɺ ɺ ∂ϕ A B ∂T = − mxlɺ ϕɺ.sin ϕ F ∂ϕ d∂ T ( )=mlxɺɺ .cosϕ − mx ɺ ϕɺ l .sin ϕ + ml 2 ϕ ɺɺ dt ∂ϕɺ GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1225 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1227 * Tính lực suy rộng: Qx * Hệ gồm hai bậc tự do. Ch ọn tọa độ suy rộng: Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx ≠0, δϕ = 0 q1= xq, 2 = y Không có lực sinh công nên Qx = 0 y * Tính lực suy rộng: Qϕ C Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx =0, δϕ ≠ 0 x δA= − mgl.sin. ϕ δϕ = 0⇒ Q= − mgl .sin ϕ s B A Thay tất cả vào ph ươ ng trình Lagrange lo ại II (1) và (2): F (M++ m )ɺɺ x ml (.cosϕɺɺ ϕϕ − ɺ 2 sin)0 ϕ = * Các ph ươ ng trình Lagrange II có dạng:  ɺɺ ɺɺ x.cosϕ+ l ϕ + g .sin ϕ = 0 d∂ T ∂ T ( )− = Q (1) dt∂ xɺ ∂ x x d∂ T ∂ T ( )− = Q (2) dt∂ yɺ ∂ y y GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1226 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1228
  22. * Tính độ ng năng của hệ theo x, y: * Tính lực suy rộng: Qx 1 ɺ2 Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx≠0, δ y = 0 TAB = . Mx 2 δAFx=. δ = 0 ⇒ QF= 1 1 1 J x T.( mxyɺɺ )2 J . 2 .( mxy ɺɺ ) 22C y ɺ cl= ++ Cω cl = ++ 2 * Tính lực suy rộng: Q 2 22 2 R y 1 1 J Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx=0, δ y ≠ 0 T=+= T T( M + m ) xɺ2 ++ mxy ɺɺ my ɺ 2 + C y ɺ 2 AB cl 2 Q = 0 2 2 2 R Không có lực sinh công nên y Thay tất cả vào ph ươ ng trình Lagrange lo ại II (1) và (2):  mR2 + J ɺɺ C (M+ m ) ɺɺ x + my ɺɺ = F x= 2 F   mMR+( M + m ) J C mR2 + J ⇒  mxɺɺ+C ɺɺy = 0  mR 2  2 ɺɺy= − F R  2  mMR+( M + m ) J C GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1229 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1231 * Tính các đạ o hàm của độ ng năng theo tọa độ suy rộng: Bài t ập 11.9 ∂T Lăng tr ụ A tr ọng lượ ng P tr ượ t trên mặt bên tr ơn của lăng tr ụ B có tr ọng =(M + m ) xɺ + my ɺ ∂xɺ lượ ng Q = 2P. Mặt bên hợp với mặt ngang một góc α. Bỏ qua ma sát gi ữa lăng tr ụ B với mặt ph ẳng nằm ngang. ∂T = 0 1. Hãy xác đị nh gia tốc của lăng tr ụ A, B ∂x 2. Vi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng của các vật bi ết ban đầ u các vật đứ ng d∂ T ()(=M + m ) ɺɺ x + my ɺɺ yên, cạnh tr ụ a của A trùng với cạnh tr ụ b của B. dt∂ xɺ ∂T mR2 + J ɺC ɺ b =mx + 2 y a ∂yɺ R A B ∂T = 0 ∂y α d∂ T mR2 + J ( ) =mxɺɺ + C ɺɺy dt∂ yɺ R 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1230 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1232
  23. s ∂T P P =xɺ.cos α + s ɺ ∂sɺ g g A x B ∂T = 0 P ∂s α dTP∂ P ( )=ɺɺx .cos α + ɺɺs ɺ Q dt∂ s g g * Hệ gồm hai bậc tự do. Ch ọn tọa độ suy rộng: * Tính lực suy rộng: Qx δx≠0, δ s = 0 q1= xq, 2 = s Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: * Các ph ươ ng trình Lagrange II có dạng: Không có lực sinh công nên Qx = 0 d∂ T ∂ T * Tính lực suy rộng: Q ( )− = Q (1) s ɺ x dt∂ x ∂ x Cho cơ hệ th ực hi ện di chuy ển kh ả dĩ: δx=0, δ s ≠ 0 d∂ T ∂ T ( )− = Q (2) δAP=sin. αδ s = 0⇒ QPs = sin α dt∂ sɺ ∂ s s GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1233 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1235 * Tính độ ng năng của hệ theo x, s: Thay tất cả vào ph ươ ng trình Lagrange lo ại II (1) và (2): Q ɺ2 TB = x (QPxPs++ )ɺɺ ɺɺ .cosα = 0  3 ɺɺxs + ɺɺ .cos α = 0 2g ⇒  P ɺɺx.cosα+= ɺɺsg sin α  ɺɺx .cos α += ɺɺsg sin α T=( xɺ2 + 2 xs ɺɺ .cosα + s ɺ 2 ) A ɺɺ  3ɺɺx g sin α 2g ɺɺ 3x ɺɺs = − = 3 s = −  2 QP P P  cos α  cosα (2+ sin α ) TTT=+=+( ) xxsɺ2 + ɺɺ .cos α + s ɺ 2 ⇒  ⇒  A B 3ɺɺx g sin 2 α 2ggg 2 2 g ɺɺx.cosα− = g sin α ɺɺx = −  cos α  2(2+ sin2 α ) * Tính các đạ o hàm của độ ng năng theo tọa độ suy rộng: ∂T QP P =( + )xɺ + s ɺ .cos α Ng ườ i đọ c t ự gi ải quy ết ti ếp ∂xɺ gg g ∂T = 0 ∂x dT∂ QP P ( )= ( + )ɺɺx + ɺɺs .cos α dt∂ xɺ g g g GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1234 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1236
  24. Thay tất cả vào ph ươ ng trình Lagrange lo ại II (1) và (2): C1. Cho cơ cấu tay quay – con tr ượ t nh ư hình vẽ. Bi ết: (QPxPs++ )ɺɺ ɺɺ .cosα = 0  3 ɺɺxs + ɺɺ .cos α = 0 ⇒  OA = a là thanh đồ ng ch ất, kh ối lượ ng m1, ωOA = ω =const; thanh đồ ng ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ x.cosα+= sg sin α  x .cos α += sg sin α ch ất AB = l, có kh ối lượ ng m2; con tr ượ t B có kh ối lượ ng m3. Tính độ ng ɺɺ  3ɺɺx g sin α năng của cơ cấu theo ϕ = ωt.  3x ɺɺs 3 ɺɺs = −  = − = 2  cos α  cosα (2+ sin α ) ⇒  ⇒  3ɺɺx g sin 2 α A ɺɺx.cosα− = g sin α ɺɺx = −  cos α  2(2+ sin2 α ) O ϕ Ng ườ i đọ c t ự gi ải quy ết ti ếp B GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1237 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1239 C2. Cho cơ cấu culit nh ư hình vẽ. Bi ết tay quay OA = a là thanh đồ ng ch ất, kh ối lượ ng m1, có vận tốc góc ωOA = ω = const; con tr ượ t B có kh ối lượ ng m2; thanh BC có kh ối lượ ng m3; kho ảng cách OK = l. Tính độ ng năng của cơ cấu theo ϕ (b ỏ qua ph ần chuy ển độ ng quay của B). A B O ϕ K l C GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 1238 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1240
  25. C3. Cho cơ cấu culit nh ư hình. Bi ết tay quay OA = a là thanh đồ ng C5. Đĩ a tròn đồ ng ch ất bán kính R, tr ọng lượ ng P chuy ển độ ng quanh ch ất, kh ối lượ ng m1, vận tốc góc ωOA = ω = const; con tr ượ t A (xem nh ư tr ục O nằm ngang dướ i tác dụng của tr ọng lực. Ban đầ u bán kính OC ch ất điểm) có kh ối lượ ng m2; culit BC có kh ối lượ ng m3 chuy ển độ ng nằm ngang và vận tốc bằng không. Bi ết vận tốc góc của đĩ a đượ c tính tịnh ti ến trong rãnh K cố đị nh.Tính độ ng năng của cơ cấu theo ϕ =ω t. theo góc quay là: ω2 = (4g/3R) .sin ϕ. Tìm: B 1. Gia tốc góc của đĩ a (theo góc quay ϕ) 2. Ph ản lực liên kết tại tr ục O (theo góc quay ϕ) A O y ϕ K R O ϕ C C x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1241 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1243 C4. Cho cơ cấu hành tinh nh ư hình vẽ. Tay quay O1O2 là thanh đồ ng C6. Vật rắn có kh ối lượ ng m quay quanh tr ục O nằm ngang dướ i ch ất có tr ọng lượ ng P1 quay với vận tốc góc ω, đĩ a tròn đồ ng ch ất 2 có tác dụng của tr ọng lực. Bi ết OC = a, mômen quán tính của vật rắn đó tr ọng lượ ng P2, vành tròn đồ ng ch ất 3 có tr ọng lượ ng P3 quay cùng tr ục đố i với tâm C là J. Ban đầ u OC nằm ngang và vận tốc bằng không. với tay quay. Tính độ ng năng của hệ. Khi vật rắn chuy ển độ ng tự do đượ c góc ϕ, vận tốc góc của vật đượ c tính ω = 2mga.sin ϕ/(J+ma 2). Tìm: 1. Gia tốc góc của vật (theo góc quay ϕ) 2. Ph ản lực liên kết tại tr ục O (theo góc quay ϕ) ω ϕr y O O 1 ϕ R O2 1 2 C 3 x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1242 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1244
  26. C9. Cho cơ cấu nh ư hình vẽ, bi ết: A có tr ọng lượ ng P1; ròng rọc B C7. Cho cơ cấu xem nh ư làm vi ệc ph ẳng. Biết: A có tr ọng lượ ng P1; B có tr ọng lượ ng P ; ròng rọc C có bán kính trong r, bán kính ngoài R, cố đị nh có tr ọng lượ ng P2, bán kính trong r, bán kính ngoài R, bán kính 2 quán tính đố i với tr ục của nó là ρ. Con lăn K là tr ụ tròn đồ ng ch ất có bán kính quán tính đố i với tr ục của nó là ρ, tr ọng lượ ng P3. Ban đầ u hệ đứ ng yên, sau đó B rơi tự do đi xu ống. Khi B đi chuy ển một đoạn s, tìm: bán kính r, tr ọng lượ ng P3 lăn không tr ượ t trên mặt ph ẳng nằm ngang; 1. Gia tốc góc của C lò xo có độ cứng c = const. Tr ạng thái cân bằng, lò xo giãn tĩnh. Ký 2. Nội lực trong các thanh OO , OO (b ỏ qua tr ọng lượ ng các hi ệu y là dịch chuy ển của A từ vị trí cân bằng và xem là đạ i lượ ng bé. 1 2 thanh, thanh OO nằm ngang). 1. Lực đàn hồi của lò xo khi hệ cân bằng. 1 yɺ 2. Tính độ ng năng của hệ (theo vA = ) C 3. Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ O1 4. Tìm chuy ển độ ng của hệ với điều ki ện O y(0)= h , yɺ (0) = 0. K B c 0 45 B A y O2 A GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1245 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1247 ơ ấ ư ẽ ế đồ ấ ọ C8. Cho cơ cấu xem nh ư làm vi ệc ph ẳng. Biết: A có tr ọng lượ ng P1; C10. Cho c c u nh hình v . Bi t thanh ng ch t OA có tr ng B có tr ọng lượ ng P2; ròng rọc C có bán kính trong r, bán kính ngoài R, lượ ng P3; ròng rọc B cố đị nh có tr ọng lượ ng P2, bán kính trong r, bán bán kính quán tính đố i với tr ục của nó là ρ, tr ọng lượ ng P3. Ban đầ u hệ kính ngoài R, bán kính quán tính đố i với tr ục của nó là ρ; vật M tr ọng đứ ng yên, sau đó B rơi tự do đi xu ống. Khi B đi chuy ển một đoạn s, tìm: lượ ng P1; lò xo có độ cứng c = const. Tr ạng thái cân bằng thanh OA 1. Gia tốc của B nằm ngang, lò xo giãn tĩnh. Ký hi ệu y là dịch chuy ển của M từ vị trí 2. Nội lực trong các thanh OO 1, OO 2 (b ỏ qua tr ọng lượ ng các cân bằng và xem là đạ i lượ ng bé. thanh, thanh OO nằm ngang). 1. Lực đàn hồi của lò xo khi hệ cân bằng. 1 ɺ 2. Tính độ ng năng của hệ (theo vM = y ) C 3. Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ O1 O 4. Tìm chuy ển độ ng của hệ với điều ki ện y(0)= h , yɺ (0) = 0. 4r 2r 30 0 B O1 B O2 O C c A M A y GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1246 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1248
  27. C11. Cho cơ cấu nh ư hình vẽ. Biết vật A có tr ọng lượ ng P1; ròng MỘT S Ố ĐỀ THI THAM KH ẢO rọc B cố đị nh có tr ọng lượ ng P2, bán kính trong r, bán kính ngoài R, bán kính quán tính đố i với tr ục của nó là ρ. Đĩ a tròn đồ ng ch ất K có tr ọng lượ ng P3 lăn không tr ượ t trên mặt nghiêng; lò xo có độ cứng c = const. Mu ốn làm bài t ốt, sinh viên c ần: Tr ạng thái cân bằng, lò xo giãn tĩnh. Ký hi ệu y là dịch chuy ển của A từ - Hệ th ống l ại lý thuy ết vị trí cân bằng và xem là đạ i lượ ng bé. 1. Lực đàn hồi của lò xo khi hệ cân bằng. - Nh ận d ạng bài t ập ɺ 2. Tính độ ng năng của hệ (theo vA = y ) - Tìm cách gi ải quy ết ng ắn g ọn 3. Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ B - Thao tác chính xác, rõ ràng 4. Tìm chuy ển độ ng của hệ với điều ki ện: O - y(0)= h , yɺ (0) = 0. K C 2 A (sinα ≤ ) c y 3 α GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1249 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1251 Đề: 01 C12. Cho cơ cấu hành tinh chuy ển độ ng quay quanh tr ục nằm ngang O dướ i tác dụng của tr ọng lực nh ư hình vẽ, bi ết r = r = 2r = 2r, Câu 1 (5đ). Cho cơ cấu nh ư Hình 1. Hai thanh OA, AB là các thanh mảnh có 1 3 2 cùng kh ối lượ ng m, OA = AB = a. Bánh xe đượ c xem nh ư đĩ a mảnh có bán m = m; các đĩ a tròn đồ ng ch ất 2 và 3 có cùng vật li ệu, cùng bề dày; tay 2 kính r = a/2, kh ối lượ ng 2m, lăn không tr ượ t. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng quay OA có kh ối lượ ng m =2m. Ký hi ệu ϕ là góc nghiêng của tay quay π π π 0 (Oyz) th ẳng đứ ng. Ph ươ ng trình quay c ủa OA: ϕ = + sin(t ) . Khi t = 1(s): OA với tr ục x th ẳng đứ ng và đượ c xem là đạ i lượ ng bé. 2 3 6 ɺ 1. Tính vận tốc góc ωOA của thanh OA. 1. Tính độ ng năng của hệ (theo ωOA = ϕ ) 2. Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ 2. Tính vận tốc kh ối tâm của thanh AB, của điểm B; vận tốc góc của thanh AB theo ω , (v ới ω = ω ). 3. Tìm chuy ển độ ng của hệ với điều ki ện ϕ(0)= α , ϕ ɺ (0) = 0 0 0 OA 3. Tính độ ng lượ ng và độ ng năng của hệ theo ω , (v ới ω = ω ). 0z 0 OA y A 1 O 2 ϕ B B O ϕ y r A 3 x (Hình 1) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1250 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1252
  28. Câu 2 (5đ). Cho cơ hệ nh ư Hình 2. Vật 1 có kh ối lượ ng m. Đĩ a tròn 2 có Câu 2 (5đ).Cho cơ hệ nh ư Hình 2. Vật 1 có kh ối lượ ng m. Đĩ a tròn 2 có kh ối kh ối lượ ng 2m, bán kính r. Ròng rọc kép 3 có kh ối lượ ng 3m, bán kính quán lượ ng 2m, bán kính r. Ròng rọc kép 3 có kh ối lượ ng 3m, bán kính quán tính tính đố i với tr ục quay của nó là ρ = 1,5r. Lò xo có độ cứng là c = const . Khi đố i với tr ục quay của nó là ρ = 1,5r. Lò xo có độ cứng là c = const . Khi hệ hệ cân bằng, lò xo đã có độ dãn tĩnh. Dây mềm không dãn. Bỏ qua kh ối cân bằng, lò xo đã có độ dãn tĩnh. Dây mềm không dãn. Bỏ qua kh ối lượ ng lượ ng dây mềm và lò xo, chuy ển dịch các vật là bé. dây mềm và lò xo, chuy ển dịch các vật là bé. 1. Tìm độ dãn tĩnh của lò xo khi hệ cân bằng. 1. Tìm độ dãn tĩnh của lò xo khi hệ cân bằng. ɺ 2. Tính độ ng năng của hệ theo vận tốc v 1 của vật 1( v 1 = y ). ɺ 2. Tính độ ng năng của hệ theo vận tốc v 1 của vật 1( v 1 = y ). 3. Lập ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ theo y(t) . 3. Lập ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ theo y(t) . c 3 r r r 2r 2r 2 r 3 y 1 c (Hình 2) 2 (Hình 2) (Tr ạng thái cân b ằng) (Tr ạng thái cân b ằng) y 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1253 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1255 Đề: 02 Đề: 03 Câu 1 (5đ). Cho cơ cấu nh ư Hình 1. Hai thanh OA, AB là các thanh mảnh có Câu 1 (5đ). Cho cơ cấu nh ư Hình 1. Hai thanh OA, AB là các thanh mảnh có cùng kh ối lượ ng m, OA = AB = a. Bánh xe đượ c xem nh ư đĩ a mảnh có bán cùng kh ối lượ ng m, OA = AB = a. Bánh xe đượ c xem nh ư đĩ a mảnh, bán kính kính r = a/2, kh ối lượ ng 2m, lăn không tr ượ t. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng r = a/2, kh ối lượ ng 2m, lăn không tr ượ t. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng π π π π π (Oyz) th ẳng đứ ng. Ph ươ ng trình quay của OA: ϕ = sin( t ) . Khi t = 1 (s): (Oyz) th ẳng đứ ng. Phươ ng trình quay của OA: ϕ = + sin( t ) . Khi t = 1(s): 2 2 6 3 6 1. Tính vận tốc góc của thanh OA. 1. Tính vận tốc góc ωOA của thanh OA. ωOA 2. Tính vận tốc kh ối tâm của thanh AB, của điểm B; vận tốc góc của thanh AB 2. Tính vận tốc kh ối tâm của thanh AB, của điểm B; vận tốc góc của thanh AB theo ω , (v ới ω = ω theo ω0, (v ới ω0 = ωOA ). 0 0 OA ). Tính độ ng lượ ng và độ ng năng của hệ theo ω , (v ới ω = ω 3. Tính độ ng lượ ng và độ ng năng của hệ theo ω0, (v ới ω0 = ωOA ). 3. 0 0 OA ). z z A A ϕ ϕ B B O O y y r r (Hình 1) (Hình 1) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1254 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1256
  29. Câu 2 (5đ). Cho cơ hệ nh ư Hình 2. Vật 1 có kh ối lượ ng m. Đĩ a tròn 2 có Câu 2 (5đ). Cho cơ hệ nh ư Hình 2. Vật 1 có kh ối lượ ng m. Đĩ a tròn 2 có kh ối lượ ng 2m, bán kính 2r. Đĩ a tròn 3 có kh ối lượ ng m, bán kính r. Lò xo kh ối lượ ng 2m, bán kính 2r. Đĩ a tròn 3 có kh ối lượ ng m, bán kính r. Lò xo có độ cứng là c = const . Dây mềm không dãn. Khi hệ cân bằng, lò xo đã có có độ cứng là c = const . Dây mềm không dãn. Khi hệ cân bằng, lò xo đã có độ dãn tĩnh. Bỏ qua kh ối lượ ng của dây mềm, của lò xo và của thanh cứng độ dãn tĩnh. Bỏ qua kh ối lượ ng của dây mềm và của lò xo, chuy ển dịch các AB, chuy ển dịch các vật là bé. vật là bé. 1. Tìm độ dãn tĩnh của lò xo khi hệ cân bằng. 1. Tìm độ dãn tĩnh của lò xo khi hệ cân bằng. ɺ ɺ 2. Tính độ ng năng của hệ theo vận tốc v 1 của vật 1( v 1 = y ). 2. Tính độ ng năng của hệ theo vận tốc v 1 của vật 1 (v 1 = y ). 3. Lập ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ theo y(t) . 3. Lập ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ theo y(t) . A B 2 3 2r r 2r c 2 c (Hình 2) (Tr ạng thái cân b ằng) 1 y r y 1 (Hình 2) 3 (Tr ạng thái cân b ằng) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1257 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1259 Đề: 04 Đề: 05 Câu 1 (5đ). Cho cơ cấu nh ư Hình 1. Hai thanh OA, AB là các thanh mảnh có Câu 1 (5đ). Cho cơ cấu Culit nh ư Hình 1. Thanh mảnh OA có kh ối lượ ng m, cùng kh ối lượ ng m, OA = AB = a. Bánh xe đượ c xem nh ư đĩ a mảnh có bán kính O1O = OA = a. Con tr ượ t A xem nh ư ch ất điểm có kh ối lượ ng 0,5m. Thanh r = a/2, kh ối lượ ng 2m, lăn không tr ượ t. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng mảnh O1B có chi ều dài 3a, kh ối lượ ng 3m. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng π π π (Oyz) th ẳng đứ ng. Phươ ng trình quay của OA: ϕ = cos( t. ) . Khi t = 2(s): (Oyz) th ẳng đứ ng. Phươ ng trình quay của O1B:ϕ = sin( π t ) . Khi t = 1/6 (s): 2 6 3 1. Tính vận tốc góc ωOA của thanh OA. 1. Tính vận tốc góc của thanh O1B (ký hi ệu ω0). 2. Tính vận tốc kh ối tâm của thanh AB, của điểm B; vận tốc góc của thanh AB 2. Tính vận tốc góc của thanh OA và vận tốc con tr ượ t A theo ω0. theo ω0, (v ới ω0 = ωOA ). 3. Tính độ ng lượ ng và độ ng năng của hệ theo ω0. 3. Tính độ ng lượ ng và độ ng năng của hệ theo ω0, (v ới ω0 = ωOA ). z z A O B ϕ B A O y (Hình 1) r ϕ (Hình 1) O1 y GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1258 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1260
  30. Câu 2 (5đ). Cho cơ hệ nh ư Hình 2. Vật 1 có kh ối lượ ng m. Thanh mảnh AB Câu 2 (5đ). Cho cơ hệ nh ư Hình 2. Vật 1 có kh ối lượ ng m. Thanh mảnh AB có chi ều dài l = 4r, kh ối lượ ng 2m. Ròng rọc kép 2 có kh ối lượ ng 3m, bán có chi ều dài l = 6r, kh ối lượ ng 2m. Đĩ a tròn 2 có kh ối lượ ng 2m, bán kính r. kính quán tính đố i với tr ục quay ρ = 1,5r. Lò xo có độ cứng là c = const . Khi Lò xo có độ cứng là c = const . Dây mềm không dãn. Khi hệ cân bằng, lò xo hệ cân bằng, lò xo đã có độ dãn tĩnh. Bỏ qua kh ối lượ ng của dây mềm, của lò đã có độ dãn tĩnh. Bỏ qua kh ối lượ ng của dây mềm, của lò xo và của thanh xo và của thanh cứng BD, chuy ển dịch các vật là bé. cứng DH, chuy ển dịch các vật là bé. 1. Tìm độ dãn tĩnh của lò xo khi hệ cân bằng. 1. Tìm độ dãn tĩnh của lò xo khi hệ cân bằng. ɺ 2. Tính độ ng năng của hệ theo vận tốc v của vật 1( v = yɺ ). 2. Tính độ ng năng của hệ theo vận tốc v 1 của vật 1 ( v 1 = y ). 1 1 3. Lập ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ theo y(t) . 3. Lập ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ theo y(t) . c 4r 2r 2 A (Hình 2) B D c (Tr ạng thái cân b ằng) r 2r D 2r (Hình 2) O B (Tr ạng thái cân b ằng) r A H 2r 2 1 y y 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1261 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1263 Đề: 06 Đề: 07 Câu 1 (5đ). Cho cơ cấu Culit nh ư Hình 1. Thanh mảnh OA có kh ối lượ ng m, Câu 1 (5đ). Cho cơ cấu Culit nh ư Hình 1. Thanh mảnh OA có kh ối lượ ng m, O O = OA = a. Con tr ượ t A xem nh ư ch ất điểm có kh ối lượ ng 0,5m. Thanh O1O = OA = a. Con tr ượ t A xem nh ư ch ất điểm có kh ối lượ ng 0,5m. Thanh 1 mảnh O B có chi ều dài 3a, kh ối lượ ng 3m. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng mảnh O1B có chi ều dài 3a, kh ối lượ ng 3m. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng 1 2π π ϕ= sin( π t ) (Oyz) th ẳng đứ ng. Phươ ng trình quay của O1B: ϕ = sin( π t ) . Khi t = 1/6 (s): (Oyz) th ẳng đứ ng. Phươ ng trình quay của O1B: . Khi t = 1/6 (s): 2 3 1. Tính vận tốc góc của thanh O B (ký hi ệu ω ). 1. Tính vận tốc góc của thanh O1B (ký hi ệu ω0). 1 0 2. Tính vận tốc góc của thanh OA và vận tốc con tr ượ t A theo ω . 2. Tính vận tốc góc của thanh OA và vận tốc con tr ượ t A theo ω0. 0 3. Tính độ ng lượ ng và độ ng năng của hệ theo ω . 3. Tính độ ng lượ ng và độ ng năng của hệ theo ω0. 0 z z O O B B A A (Hình 1) (Hình 1) ϕ ϕ O y O1 y 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1262 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1264
  31. Câu 2 (5đ). Cho cơ hệ nh ư Hình 2. Vật 1 có kh ối lượ ng m. Thanh mảnh AB Câu 2 (5đ). Cho cơ hệ nh ư Hình 2. Vật 1 có kh ối lượ ng m. Thanh mảnh AB có chi ều dài l = 6r, kh ối lượ ng 2m. Đĩ a tròn 2 có kh ối lượ ng 2m, bán kính r. có chi ều dài l = 4r, kh ối lượ ng 2m. Ròng rọc kép 2 có kh ối lượ ng 3m, bán Lò xo có độ cứng là c = const . Dây mềm không dãn. Khi hệ cân bằng, lò xo kính quán tính đố i với tr ục quay ρ = 1,5r. Lò xo có độ cứng là c = const . đã có độ dãn tĩnh. Bỏ qua kh ối lượ ng của dây mềm và của lò xo, chuy ển Khi hệ cân bằng, lò xo đã có độ dãn tĩnh. Bỏ qua kh ối lượ ng của dây mềm, dịch các vật là bé. của lò xo và của thanh cứng BD, chuy ển dịch của các vật là bé. 1. Tìm độ dãn tĩnh của lò xo khi hệ cân bằng. 1. Tìm độ dãn tĩnh của lò xo khi hệ cân bằng. ɺ 2. Tính độ ng năng của hệ theo vận tốc v của vật 1( v = yɺ ). 2. Tính độ ng năng của hệ theo vận tốc v 1 của vật 1( v 1 = y ). 1 1 3. Lập ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ theo y(t) . 3. Lập ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của hệ theo y(t) . 2r 2r 2 B A r (Hình 2) 2 c (Tr ạng thái cân b ằng) 2r r (Hình 2) D c y 1 O (Tr ạng thái cân b ằng) A B 3r 3r y 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1265 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1267 Đề: 08 Câu 1 (5đ). Cho cơ cấu Culit nh ư Hình 1. Thanh mảnh OA có kh ối lượ ng m, O1O = OA = a. Con tr ượ t A xem nh ư ch ất điểm có kh ối lượ ng 0,5m. Thanh mảnh O1B có chi ều dài 3a, kh ối lượ ng 3m. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng π (Oyz) th ẳng đứ ng. Phươ ng trình quay của O B ϕ = cos( π t ) . Khi t = 1/3 (s): 1 3 1. Tính vận tốc góc của thanh O1B (ký hi ệu ω0). 2. Tính vận tốc góc của thanh OA và vận tốc con tr ượ t A theo ω0. 3. Tính độ ng lượ ng và độ ng năng của hệ theo ω0. z O B A (Hình 1) ϕ O1 y GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 1266