›
›

Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 9: Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ - Huỳnh Vinh

pdf 12 trang Gia Huy 25/05/2022 2410
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 9: Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ - Huỳnh Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_co_hoc_ly_thuyet_chuong_9_cac_dac_trung_hinh_hoc_k.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 9: Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ - Huỳnh Vinh

  1. 1. Khối lượng của hệ Chuyển động của một cơ hệ ngoài việc phụ thuộc vào lực tác dụng còn phụ thuộc vào tổng khối lượng và phân bố các khối lượng của hệ đó. Xét cơ hệ gồm n chất điểm có khối lượng tương ứng là m1, m2, , mn. Khối lượng của hệ: bằng tổng khối lượng của tất cả các phần tử hợp Chương 9 thành hệ đó. 9.1 M=∑ mk ( k = 1, n ) m m1 2 m 3 m4 m5 mn GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 662 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 663 2. Khối tâm của hệ Ký hiệu khối tâm: C a. Đối với hệ chất điểm (vật rắn) z * Dạng véc tơ: m1 n C m. r m ∑ k k 2 k =1 r r rC = 9.2 1 C M r2 mn * Trong hệ trục Descartes Oxyz: rn  1 n O y xC= ∑ m k. x k M  k =1 x  1 n  yC= ∑ m k. y k M k =1  9.3  1 n zC= ∑ m k. z k  M k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 664
  2. b. Đố i v ới h ệ v ật r ắn Nói rõ h ơn v ề kh ối tâm Xét h ệ g ồm n v ật r ắn, v ật r ắn th ứ k có kh ối l ượ ng m và kh ối tâm C . n k k  Kh ổi tâm C c ủa h ệ ch ất điểm là điểm th ỏa mãn: ∑ mk. CM k = 0 Gọi C và M l ần l ượ t là kh ối tâm và t ổng kh ối l ượ ng c ủa h ệ v ật r ắn. k =1 * D ạng véc t ơ: z  mk : kh ối l ượ ng ch ất điểm th ứ k n n  Mk : v ị trí xác đị nh ch ất điểm th ứ k ∑mrkC. ∑ mr kC . m k k 2 m k=1 k = 1 C 1  Xác đị nh v ị trí kh ối tâm C theo điểm quy chi ếu O: rC =n = 1 zC M C2 ∑ mk 9.4 Với O là điểm xác đị nh trong không gian thì: CMk= OM k − OC C k =1 n n m mCM⇒ mOM OC * Trong h ệ tr ục Descartes Oxyz: n r Từ ∑kk.= 0 ∑ kk .(− )0 = C1 rC rC k=1 k = 1  1 n 2 n n n C xC= ∑ m k. x C n  k ⇒ ∑mOMkk.(− OC )0 = ⇒ ∑ mOM kk .− OC . ∑ m k = 0 y y M k =1 r C k =1 k=1 k = 1  Cn n n  1 x O Đặ t r = OMr , = OCM , = m , ta có:  y= m. y C C kkC∑ k C∑ k C k 9.5 r 3 k =1 M C3 n  k =1 m r n n ∑ k k  1 x k =1 m mrrM−. = 0 ⇒ r = 9.2 zC= ∑ m k. z C 3 ∑ kkC C k k =1 M  M k =1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 665 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 667  Ch ỉ t ồn t ại m ột kh ối tâm ứng v ới m ột tr ạng thái v ị trí c ủa h ệ ch ất điểm: Ý ngh ĩa độ ng h ọc c ủa kh ối tâm C Với điểm quy chi ếu O: n m r ∑ k k Khi h ệ ch ất điểm chuy ển độ ng (v ật r ắn, h ệ v ật r ắn) Kh ối tâm C đượ c xác đị nh b ởi: OC= r = k =1 C M + Quan h ệ v ận t ốc gi ữa các ch ất điểm: n m r n n ∑ k k ɺ * k 1 Gi ả s ử t ồn t ại tâm C* nào đó khác tâm C, thì: OC r = ∑mrkk. ∑ mv kk . =C* = M i ɺ k=1 k = 1 rC= ⇒ v C = M M Nh ư vậy r C = r C * , điều này ch ứng t ỏ C trùng C* và d ẫn đế n k ết lu ận t ồn t ại duy nh ất m ột tâm. + Quan h ệ gia t ốc gi ữa các ch ất điểm: n n mr.ɺɺ ma . ∑kk ∑ kk i ɺɺr= k=1⇒ a = k = 1 CM C M GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 666 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 668
  3. * Tr ục trung tâm : là tr ục đi qua kh ối tâm C. Khi vật đượ c tổ hợp cộng từ n kh ối hình con mà mỗi kh ối hình con th ứ i bi ết kh ối tâm Ci và th ể tích Vi thì:  xV+ xV + + xV C11 C 2 2 Cnn  xC =  V1+ V 2 + + V n  yV+ yV + + yV  C11 C 2 2 Cnn  yC =  V1+ V 2 + + V n  zV+ zV + + zV C11 C 2 2 Cnn  zC = C  V1+ V 2 + + V n Lưu ý: Vi ệc tổ hợp có th ể là cộng hình kết hợp tr ừ hình. Gi ả sử cộng các hình từ 1 đế n k, tr ừ các hình từ k+1 đế n n, thì công th ức là:  (xVxV+ ++ xV )( − xVxV + ++ xV ) C11 C 2 2 Ckk CkCk kk+1 +1 Cn n  xC =  (VV12+++ VVVkkk )( −+ 12 + + ++ V n )  (yVyV+ ++ yV )( − yVyV + ++ yV )  C11 C 2 2 Ckk CkCk kk+1 +1 Cn n  yC =  (VV12+++ VVVkkk )( −+ 12 + + ++ V n )  (zV+ zV + + zV ) −(zV + zV ++ zV )  C11 C 2 2 Ckk CkCkk k+1 +1 Cn n zC =  (VV12+++ VVVkkk )( −+ 12 + + ++ V n ) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 669 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 671 * Kh ối tâm c ủa v ật đồ ng ch ất: * Tính ch ất: -Nếu vật có mặt ph ẳng đố i xứng thì kh ối tâm thu ộc mặt đố i xứng đó * Tổng quát : Trong hệ tr ục Oxyz gắng cố đị nh đố i với vật, tọa độ kh ối -Nếu vật có 3 mặt ph ẳng đố i xứng thì kh ối tâm C là giao điểm của 3 tâm C: mặt đố i xứng đó.  xdV. xdV . xdxdydz . ∫ ∫ ∫∫∫ -Nếu vật là thanh th ẳng mảnh thì kh ối tâm C là trung điểm của tr ục  ()V () V () V  xC = = = thanh.  ∫dVV ∫∫∫ dxdydz -Nếu vật là dạng tấm ph ẳng có chi ều dày không đổ i – mặt trung bình  ()V ()V là mặt đố i xứng thì kh ối tâm thu ộc mặt trung bình (t ấm mảnh là  tr ườ ng hợp đặ t bi ệt của dạng tấm này). Kh ối tâm cần xác đị nh là tâm  ∫ydV. ∫ ydV . ∫∫∫ ydxdydz .  ()V () V () V di ện tích hình học ph ẳng của mặt trung bình đố i xứng, tọa độ tâm C  yC = = =  ∫dVV ∫∫∫ dxdydz đượ c xác đị nh theo công th ức sau:  ()V ()V   ∫zdV. ∫ zdV . ∫∫∫ zdxdydz .  z =()V = () V = () V  C ∫dVV ∫∫∫ dxdydz  ()V ()V GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 670 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 672
  4. Trong hệ tr ục ph ẳng ch ọn tr ướ c ch ứa y * Thu gọn hệ tr ọng lượ ng của vật rắn: Khối lượ ng của vật rắn phân mặt ph ẳng trung bình đố i xứng của (F) bố theo không gian phân bố của vật ch ất. Ở đâu có kh ối lượ ng thì ở đó vật, tâm C có tọa độ (x C,y C): dF có tr ọng lượ ng. Tr ọng lượ ng là hệ lực song song hướ ng tâm trái đấ t phân bố trên từng đơ n vị th ể tích. Khi tính toán, ta thu gọn về tâm kh ối  ∫xdF. ∫ xdF . ∫∫ xdxdy . lượ ng thì đượ c một véc tơ chính (khác không) bằng tổng véc tơ tr ọng  ()F () F () F C lượ ng thành ph ần, còn mômen chính bằng không .  xC = = = F y  ∫dF ∫∫ dxdy M C = 0  ()F () F C C  x Tươ ng đươ ng Tươ ng đươ ng  ∫ydF. ∫ ydF . ∫∫ ydxdy . C O ∞  ()F () F () F x y = = =  C P= ∑ p k dFF dxdy  ∫ ∫∫ p k =1  ()F ()F k RC = P P CM : Khi thu gọn hệ tr ọng lượ ng về kh ối tâm C, ta đượ c: Lưu ý: Nếu mặt ph ẳng trung bình đố i xứng của vật này có tr ục + Véc tơ lực chính: ∞ ∞ ∞ đố i xứng thì tâm C thu ộc tr ục đố i xứng đó. Nh ờ tính ch ất này ta RC =∑ pk = ∑ mggmMgP k = ∑ k ==≠. 0 bi ết đượ c tâm của một số hình: tròn, vuông, elip, đa giác đề u k=1 k = 1 k = 1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 673 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 675 Khi mặt ph ẳng đố i xứng này đượ c tổ hợp cộng từ n hình con mà mỗi + Véc tơ mômen chính: hình con th ứ i bi ết tâm Ci và di ện tích Fi thì: ∞ ∞ MC =∑ mmgCk() = ∑ ( rmg kk ∧ )  xF+ xF + + xF k=1 k = 1 C11 C 2 2 Cnn  xC = ∞ ∞  F1+ F 2 + + F n =(mrg ∧= )() mr ∧= gMrg ∧=∧= 00 g  ∑kk ∑ kk C yF+ yF + + yF k=1 k = 1  C11 C 2 2 Cnn yC =  F+ F + + F 1 2 n M C = 0 Lưu ý: Vi ệc tổ hợp có th ể là cộng hình kết hợp tr ừ hình. Gi ả sử cộng các hình từ 1 đế n k, tr ừ các hình từ k+1 đế n n, thì công C C th ức là: rk  (xFxF+ ++ xF )( − xFxF + ++ xF ) C11 C 2 2 Ckk CkCk kk+1 +1 Cn n  xC = m k  (FF+++ FFF )( − + ++ F ) k  12kkk+ 12 + n  (yFyFC1+ C 2 ++ yF Ck )( − yFyF CkCk ++1 ++ yF Cn ) y = 1 2 k kk+1 n  C ∞  (FF12+++ FFFkkk )( −+ 12 + + ++ F n ) mk g RC =∑ pk = P k =1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 674 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 676
  5. Trong tr ườ ng tr ọng lực, kh ối tâm C trùng với tr ọng tâm G. b. Mômen quán tính đố i với một tr ục ∆∆∆: * Tr ọng tâm G của vật là điểm đặ t hợp tr ọng lực P của vật * Đố i với một ch ất điểm ∆ 2 J∆ = m. d 9.8 d m C≡ G Tươ ng đươ ng * Đố i với hệ ch ất điểm P ∆ m n d 1 2 1 J= m d 9.9 d ∆ ∑ k k 2 m k =1 2 pk mn dn 2 Bán kính quán tính ρ∆ đố i v ới tr ục ∆: J∆= M .ρ ∆ Dấu c ủa mômen quán tính đố i v ới m ột tr ục: luôn luôn d ươ ng GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 677 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 679 3. Mômen quán tính c ủa h ệ c. Mômen quán tính trong hệ tr ục tọa độ Descartes n n a. Mômen quán tính đố i với một điểm (mômen quán tính độ c cực):  2 2 2 Jx=∑ md kx = ∑ myz kkk( + ) * Đố i với một ch ất điểm  k=1 k = 1 z  n n 2 r J= md2 = mxz( 2 + 2 ) JO = m. r 9.6 O m y∑ ky ∑ kkk 9.10  k=1 k = 1  n n 2 2 2 d z Jz=∑ md kz = ∑ mxy kkk( + )  mk( x k , y k , z k ) * Đố i với hệ ch ất điểm k=1 k = 1 m1 r1 n r n n d 2 2 2 222 d y J= m r 9.7 O m2 x rk zk O∑ k k JO=∑ mr kk = ∑ myxz kkkk( ++ ) k=1 y rn mn k=1 k = 1 O xk Jx+ J y + J z x yk 2 9.11 Bán kính quán tính ρ đố i v ới điểm Ο: J= M .ρ J O = Ο O O 2 Dấu c ủa mômen quán tính đố i v ới m ột điểm: luôn luôn d ươ ng GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 678 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 680
  6. * Tr ườ ng hợp đặ c bi ệt z * Các bán kính quán tính kh ối lượ ng đố i với gốc tọa độ và đố i với + Tấm ph ẳng mảnh: các tr ục tọa độ Có th ể vi ết lại  J Trong hệ tr ục Oxyz, gi ả sử mặt ph ẳng vật nằm ρ = O y O trong mặt ph ẳng tọa độ Oxy, khi đó ta có:  M  2 JO= M .ρ O   J x J= J = J + J 2 ρ x = z O x y O Jx= M .ρ x  M ⇒ 2  9.12 Jy= M .ρ y  J ρ = y x 2  y M Jz= M .ρ z  9.10 9.11  J z Lấy ch ất điểm bất kỳ thu ộc tấm, thì: zk = 0. Nên từ và : ρ = n n  z  2 2 Trong đó:  M Jx=∑ myJ kky, = ∑ mx kk  k=1 k = 1 J= J + J ρ  n  z x y - Bán kính quán tính kh ối lượ ng đố i với tâm O: O Jmxy=(2 + 2 ) ⇒  ⇒ JJJJ= = + z∑ k k k Jx+ J y + J z z O x y - Các bán kính quán tính kh ối lượ ng đố i với các tr ục: ρx, ρ y , ρ z k =1  J O =   2 2 2 2 Jx+ J y + J z J = 2 ρx+ ρ y + ρ z  O 2 ρ = 9.13 O 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 681 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 683 + Thanh th ẳng mảnh: z * Mômen quán tính đố i với hệ tr ục ph ẳng trong hệ tr ục Descartes Trong hệ tr ục Oxyz, gi ả sử tr ục thanh trùng (mômen quán tính ly tâm) với tr ục Oz, với t là tr ục bất kỳ nằm trong mặt  n J= J = mxy Oxy và đi qua O, ta có kết qu ả sau: y  xy yx∑ kkk  k=1 n J z = 0  9.14  Jxz= J zx = ∑ mxz kkk J= J = J = J O k=1  O x y t t   n Dấu: ho ặc d ươ ng ho ặc âm ho ặc b ằng 0 Jyz= J zy = ∑ myz kkk x  k =1 9.10 9.11 Lấy ch ất điểm bất kỳ thu ộc tấm, thì: xk = 0, yk= 0. Nên từ và : + Tr ục quán tính chính  n J= J = mz 2  x y∑ kk Tr ục x là tr ục quán tính chính khi Jxy= J xz = 0 9.15  k =1 J = 0 J = 0 ⇒ z z  Tr ục y là tr ục quán tính chính khi Jyx= J yz = 0 9.16 JO= J x = J y  J+ J + J  x y z J O = 9.17  2 Tr ục z là tr ục quán tính chính khi Jzx= J zy = 0 J z = 0 Vai trò tr ục t nh ư tr ục x và y nên:  + Tr ục quán tính chính trung tâm: là tr ục vừa là tr ục trung tâm vừa là JO= J x = J y = J t tr ục quán tính chính. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 682 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 684
  7. * Công th ức chuy ển tr ục song song của mômen quán tính - Mômen quán tính đố i với tr ục Y: Z n n 22 2 2  z JY=∑ mXZ kkk( += ) ∑ max k ()() +++ k cz k  k=1 k = 1 n Z k d Zz 2 22 2  =∑ mak(2 +++++ ax kk x )(2 c cz kk z )  zk k=1 mk 2 2 =+(a cM ) + 2. aMxC + 2. cMz C + J y c y =+dM2 2. aMx + 2. cMz + J O k Yy C Cy d xk Yy y x b Yk I Y d Xx a Nếu tr ục y là tr ục trung tâm (tr ục đi qua kh ối tâm C) thì: xC = 0, zC = 0. X k 2 Khi đó: JY= J y + dM Yy X GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 685 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 687 + Tịnh ti ến hệ tr ục IXYZ theo véc tơ OI đượ c hệ tr ục Oxyz. Trong hệ - Mômen quán tính đố i với tr ục Z: tr ục IXYZ, tọa độ của O là (a,b,c ). n n 22 2 2  JZ=∑ mXY kkk( += ) ∑ max k ()() +++ k by k  - Mômen quán tính đố i với tr ục X: k=1 k = 1 n n n J= mYZ(22 += ) mby ()() +++ 2 cz 2  2 22 2  X∑ kkk ∑ k k k  =∑ mak(2 +++++ ax kk x )(2 b by kk y )  k=1 k = 1 k=1 n 2 22 2  2 2 =∑ mbk(2 +++++ by kk y )(2 c cz kk z )  =+(a bM ) + 2. aMxC + 2. bMy C + J z k=1 2 2 2 =+dMZz2. aMx C + 2. bMy Cz + J =+(b cM ) + 2. bMyC + 2. cMz C + J x 2 =dMXx +2. bMy C + 2. cMz Cx + J Nếu tr ục x là tr ục trung tâm (tr ục đi qua kh ối tâm C) thì: yC = 0, zC = 0. Nếu tr ục z là tr ục trung tâm (tr ục đi qua kh ối tâm C) thì: xC = 0, yC = 0. 2 2 Khi đó:J X= J x + dM Xx Khi đó: JZ= J z + dM Zz GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 686 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 688
  8. * Đị nh lý Steiner-Huygens: Mômen quán tính của vật đố i với một tr ục + Mômen quán tính đố i với tr ục L: Z nào đó bằng mômen quán tính đố i với tr ục z đi qua kh ối tâm và song 2 2 22  JL=∑ mIH kkk() = ∑ mIH kkk () =− ∑ mr kk () OH k song với Z cộng với tích kh ối lượ ng của vật với bình ph ươ ng kho ảng   cách gi ữa hai tr ục.  2 2 2 2  z =∑ mxyzxkkkkk ++−( .cosα + y k .cos β + z k .cos) γ  2 9.18 JZ= J z + dM. Z  2 22 22 2  =∑ mxkk (1 − cosα ) +− y k (1 cos β ) +− z k (1 cos γ )  Trong nh ững tr ục song song nhau, tr ục đi −2∑ mxykkk ( .cosαβ cos + xz kk .cos αγ cos + yz kk .coscos) βγ qua kh ối tâm có mômen quán tính bé nh ất. C Do cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , nên:  22 2 22 222 2  JmxLkk=∑  (cosβγ ++ cos ) y k (cos αγ +++ cos ) z k (cos αβ cos )  −2J cosαβ cos − 2 J cos βγ cos − 2 J cos γα cos d xy yz zx 2 2 222 222 2 Do xy kk += dxz zkk , += dyz ykk , += d x , nên: 22 22 22  JmdL=∑ kxcosα + d y cos β + d z cos γ  −2Jxy cosαβ cos − 2 J yz cos βγ cos − 2 J zx cos γα cos GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 689 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 691 * Công th ức mômen quán tính đố i với tr ục bất kỳ đi qua gốc tọa độ . + Mômen quán tính đố i với tr ục L có công th ức sau: 2 2 2 JJLx=.cosα + J y .cos β + J z .cos γ z L + Ta có: −2J cosαβ cos − 2 J cos βγ cos − 2 J cos γα cos xy yz zx rkk= xi. + yj k . + zk k . zk d z Có th ể vi ết d ướ i d ạng sau: rk= OH k + HI kk 2 mk cosα   cos.cos α β  H k I ế ụ k 2    + Chi u (*) lên tr c L: JJJJ= .cosβ − 2  JJJ  .cos.cos β γ k []L xyz    xyyzzx    x.cosα+ y .cos β + z .cos γ = OH γ 2 k k k k r d cosγ   cos.cos γ α  d x k y   α β JL= Det[ J L ] j y k y O i xk x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 690 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 692
  9. 4. Mômen quán tính c ủa v ật r ắn th ườ ng g ặp 4.2. Vành mảnh tròn đồ ng ch ất : (M,R) 4.1. Thanh mảnh th ẳng đồ ng ch ất: (M,l) Vành mảnh nằm trong mặt ph ẳng Cxy, kh ối tâm C; tr ục k bất kỳ thu ộc mặt ph ẳng Cxy, đi qua kh ối tâm. z ' z  1 2 2 J= J = MR. Jz' = J A = Ml. C C z  A  3 9.19 B 9.20 z   1 2 1 2 l / 2 l / 2 J= J = MR. = J J= J = Ml.  x y2 k  z C 12 (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) y (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) C R x k GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 693 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 695 Thanh m ảnh th ẳng đồ ng ch ất AB có kh ối l ượ ng M, chi ều dài l 4.3. Đĩ a mảnh tròn đồ ng ch ất : (M,R) B Đĩ a mảnh nằm trong mặt ph ẳng Cxy, kh ối tâm C; tr ục k bất kỳ thu ộc mặt ph ẳng Cxy, đi qua tâm. k1 d1 z B z '  1 J= J = MR. 2  C z 2 k d  9.21 2 A 2 C  1 2 Jx= J y = MR. = J k  4 z A mp (α ) mp (β ) (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) AB⊥ mp (α ) AB⊥ mp (β ) y C : Kh ối tâm (trung điểm c ủa AB) C R (,CzCk , Ck )⊂ mp ()α (',Az Ad , Ad )⊂ mp ()β 1 2 1 2 x Ml 2 Ml 2 J= J = J = J = JJA= Az' = J Ad = J Ad = k C Cz Ck1 Ck 2 12 1 2 3 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 694 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 696
  10. 4.4. Kh ối cầu đặ c đồ ng ch ất: (M, R) – gốc tọa độ của hệ tr ục Cxyz y 4.6. Tr r ng m ng ng ch t: (M, R) là kh ối tâm C. z ụ ỗ ỏ đồ ấ 2 x y  1 2 h 2 2 9.22 Jx= J y = MR( + ) 9.25 C Jx= J y = J z = MR z 5  2 6 C  2 x Jz = MR 3 2 JC = MR h / 2 5 h Với tr ục k bất kỳ đi qua kh ối tâm C thì y 2 2 4.7. Tr ụ đặ c đồ ng ch ất: (M, R) Jk= J x = J y = J z = MR 5 2 x  1 2 h Jx= J y = MR( + )  4 3 C z  9.26 1 J= MR 2  z  2 h / 2 h (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 697 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 699 4.5. Tấm ph ẳng mảnh ch ữ nh ật đồ ng ch ất: (M,a,b) Sinh viên có th ể ch ứng minh các k ết qu ả trên cách đơ n gi ản nh ư sau a  1 O y 1. Thanh mảnh th ẳng đồ ng ch ất (M, l) J= M. a 2  x 3 z ' z z '  C y  1 b 0 dM 2 9.23 C Jy = M. b A B 3 A  l / 2 l / 2 dx x x  1 2 2 x 0 JO= J z = Mab.( + ) J= J  3  A z ' -Cứ chi ều dài l thì có kh ối lượ ng M JC= J z -Vậy đoạn dài dx thì có kh ối lượ ng dM = Mdx/l  1 O J= M. a 2 * Xét đoạn dài dx cách A đoạn x có kh ối lượ ng dM  x0 12 a  z * Mômen quán tính đố i với tr ục z’ đượ c xác đị nh bởi:  b 2 l 2 1 2 2 Mx dx M21 2 l 1 2 Jy = M. b 9.24 C Jz ' =∑ x dM = ∑ = x dx = Ml⇒ Jz' = J z + M⇒ J z = Ml 0 y l l ∫ 3 4 12  12 0 z0  1 2 2  1 2 JC= J z = Mab.( + ) JA= J z ' = Ml  0 x y0  3  12 * Kết qu ả:  x  1 2 0 J= J = Ml (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài )  C z 12 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 698 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 700
  11. 2. Vành mảnh tròn đồ ng ch ất (M, R): 4. Kh ối cầu đặ c đồ ng ch ất: z z y y * Vai trò tr ục x, y và z là nh ư nhau nên Jx= J y = J z J+ J + J dM J = x y z C 2 C x C x y R C R * Xét vỏ cầu có bán kính x, dày dx , kh ối lượ ng dM x -Cứ th ể tích V =4πR3/3 thì có kh ối lượ ng M -Vậy th ể tích vỏ cầu dV = 4πx2dx thì có kh ối lượ ng dM = 3Mx 2dx/R 3. k * Mômen quán tính đố i với tâm C kh ối cầu đượ c xác đị nh bởi: J J JJJJ==+ =2 J = 2 J * Vai trò tr ục x và y là nh ư nhau nên x = y , nên Czxy x y R 23M 4 3 M 42 3 * Xét đoạn vành dài dS , bán kính R, kh ối lượ ng dM JC =∑ xdM = ∑ 3 xdx =∫ 3 xdx = MR R0 R 5 * Mômen quán tính đố i với tâm C của vành tròn xác đị nh bởi: 2 2 2 2 Jx= J y = J z = MR JC =∑ R dM = MR 5 1 * Kết qu ả: J== J MR2, J == J MR 2 = J Cz xy2 k GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 701 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 703 3. Đĩ a mảnh tròn đồ ng ch ất 5. Tấm ph ẳng mảnh ch ữ nh ật đồ ng ch ất z y O a * Xét vi phân ch ữ nh ật tấm tại tọa độ (x,y) có các cạnh dx và dy: dM z b + Di ện tích dS = dx.dy C C + ố ượ dM = Mdx.dy/(a.b) x x y Kh i l ng y z0 C R dx x y0 x O y 2 x x k -Cứ di ện tích πR thì có kh ối lượ ng M 0 dM 2 -Vậy di ện tích 2πxdx thì có kh ối lượ ng dM = 2Mxdx/R dx * Vai trò tr ục x và y là nh ư nhau nên J = J , nên JJJJ==+ =2 J = 2 J J= J = J + J x y Czxy x y C z0 x 0 y 0 y dy  * Xét vành tròn bán kính x, dày dx, kh ối lượ ng dM . JO= J z = J x + J y x * Mômen quán tính đố i với tâm C của đĩ a đượ c xác đị nh bởi:  a 2 2Mx3 dx 2 M R 1 J= J + ( ) M 2 3 2 x x 0 JC =∑ xdM = ∑ 2 = 2 xdxMR =  2 R R ∫ 2 0  b 2 12 1 2 J= J + ( ) M y y 0 * Kết qu ả: JCz== J MR, J xy == J MR = J k  2 4 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 702 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 704
  12. + Mômen quán tính đố i với tr ục Ox của tấm đượ c xác đị nh bởi: 7. Tr ụ đặ c đồ ng ch ất (M, R) b a 2M 2 M 221 Jx ==∑ ydM ydxdy = dxydy = Ma y y ab∫∫ ab ∫ ∫ 3 Y ()S 00 dM + Mômen quán tính đố i với tr ục Oy của tấm đượ c xác đị nh bởi: x b a 2M 2 M 21 2 C C Jy ==∑ x dM∫∫ x dxdy = ∫ x dx ∫ dy = Mb z z ab()S ab 00 3 + Mômen quán tính đố i với tr ục Cx của tấm đượ c xác đị nh bởi: 0 M  a 1 1 1 1 h / 2 z dz dM= dz  J= J + ( ) 2 M⇒ J=− J Ma 2222 = Ma − Ma = Ma h  xx02 xx 0 4 3 4 12 h + Mômen quán tính đố i với tr ục Cy 0 của tấm đượ c xác đị nh bởi: Xét đoạn tr ụ rỗng tại cao độ z có chi ều dài dz, kh ối lượ ng dM. b 21 2222 1 1 1 J= J + ( ) M⇒ J=− J Mb = Mb − Mb = Mb 12 1 2 yy0 yy 0 2 4 3 4 12 Jz =∑ RdM = MR 2 2 21 2 2 Jx== J y∑( dJ Y + zdM )( = ∑ RdMzdM + ) 4 MMMh/2 1 h 2 =∑ (Rdzz22 + dz )(4) =∫ R 22 +=+ zdz MR () 2 4h h 2 h 0 43 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 705 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 707 6. Tr ụ rỗng mỏng đồ ng ch ất (M, R) y y Y dM x C C z z Ch ươ ng 10 M  h / 2 z dz dM= dz  h  h Xét đoạn tr ụ rỗng tại cao độ z có chi ều dài dz, kh ối lượ ng dM. 2 2 Jz =∑ RdM = MR 21 2 2 Jx== J y∑( dJ Y + zdM )( = ∑ RdMzdM + ) 2 MMMh/2 1 h 2 =∑ (Rdzz22 + dz )(2) =∫ R 22 +=+ zdz MR () 2 2h h h 0 2 6 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 706 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 708