Bài giảng Cơ học ứng dụng - Phần III: Động lực học - Huỳnh Vinh

pdf

121 trang Gia Huy 25/05/2022 2080

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ học ứng dụng - Phần III: Động lực học - Huỳnh Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_co_hoc_ung_dung_phan_iii_dong_luc_hoc_huynh_vinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ học ứng dụng - Phần III: Động lực học - Huỳnh Vinh

Độ ng l ực h ọc nghiên c ứu các quy lu ật chuy ển độ ng c ơ h ọc của các v ật th ể dướ i tác d ụng c ủa l ực. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 627
* Nếu lực là tr ọng lượ ng, thì P= m. g 8.2 Trong đó: g là gia tốc tr ọng tr ườ ng. P §1. Các đị nh lu ật Newton g v Mặt đấ t C Tâm trái đấ t Kh ối lượ ng m quan hệ với tr ọng lượ ng P: P P= mg. ⇒ m = 8.3 g GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 628 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 630 1. Đị nh lu ật 1 (Đị nh lu ật cơ bản của độ ng lực học) Dướ i tác dụng của lực, ch ất điểm sẽ chuy ển độ ng với gia tốc cùng Tham kh ảo cách tính gia t ốc tr ọng tr ườ ng g giá cùng chi ều với lực tác dụng. F= m. a 8.1 F m1. m 2 F m2 F= G m d 2 Qu ỹ đạ o chuy ển độ ng c ủa v F ch ất điểm G: h ằng s ố h ấp d ẫn m1 −11 a d G= 6,67.10 ( N . m ² / kg ²) Với: m là kh ối lượ ng của ch ất điểm – độ đo quán tính. F, a , v cùng thu ộc mặt ph ẳng mật ti ếp của qu ỹ đạ o tại vị trí ch ất điểm GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 629 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 631
3. Đị nh lu ật 3 (Đị nh lu ật về tính độ c lập tác dụng của lực) m * Khi h << R thì: Dướ i tác dụng đồ ng th ời của một số lực, ch ất điểm có gia tốc bằng M. m P h PG=e = gm. tổng hình học các gia tốc mà ch ất điểm có đượ c khi từng lực tác dụng R2 riêng bi ệt. M Với: g= G e aaa= + + + a 8.4 R R2 1 2 n Me: Kh ối l ượ ng trái đấ t ak ( k = 1, n ) là gia tốc do lực F k gây ra. M R: Bán kính trái đấ t e Nhân m vào hai vế, ta có: * Giá tr ị gia t ốc tr ọng tr ườ ng g: ma= ma1 + ma 2 ++ ma n 24 Me = 5,9722.10 (kg) ⇔maF =1 + F 2 ++ F n n R = 6.371 (km) ⇔ma = ∑ F k 8.5 G= 6 , 67 . 10 −11 (N.m²/kg²) k =1 Do đó: g= 9,81 ( m / s 2 ) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 632 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 634 2. Đị nh lu ật 2 (Đị nh lu ật quán tính) 4. Đị nh lu ật 4 (Đị nh lu ật về tác dụng và ph ản tác dụng) Ch ất điểm có kh ối lượ ng m không ch ịu tác dụng của lực nào sẽ đứ ng Hai lực mà hai ch ất điểm tác dụng lên nhau bằng nhau về tr ị số, cùng yên ho ặc chuy ển độ ng th ẳng đề u. đườ ng tác dụng nh ưng ng ượ c chi ều. Chú ý: Các lực tác dụng tươ ng hỗ này không tạo thành một hệ lực cân bằng vì chúng đặ t vào hai ch ất điểm khác nhau. F = 0 v = 0 Đứ ng yên F m m C F = 0 v= const F 21 Chuy ển độ ng th ẳng đề u F 12 m (1) (2) Xét vật (1): - Tr ạng thái đứ ng yên hay chuy ển độ ng th ẳng đề u của ch ất điểm F 12 : lực tác dụng đượ c gọi là chuy ển độ ng theo quán tính. - Hệ quy chi ếu trong đó th ỏa mãn đị nh lu ật quán tính gọi là hệ quy F 21 : lực ph ản tác dụng chi ếu quán tính. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 633 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 635
Xét hệ vật: 1. D ạng véc t ơ P1 n P n Xét chuy ển độ ng của ch ất điểm ch ịu tác dụng bởi ∑ F k : k =1 Véc tơ đị nh vị: r r t C = ( ) F 21 2 ɺɺ d r z F 1 P 2 F 12 Gia tốc chuy ển độ ng: a= r = 2 F 2 (1) (2) dt m Ph ươ ng trình vi phân của chuy ển độ ng: F n n2 n P3 ɺɺ d r P 4 mr= Fk ⇔ m = F k 8.6 Phân lo ại lực: ∑2 ∑ kdt k e =1 = 1 a Ngo ại lực F k : các vật ngoài tác dụng lên hệ vật r e ɺ ∼ Lưu ý: k k Fk( PP1 , 2 , , P n ) F= F(, trr , ) O i y Nội lực F k : các vật bên trong hệ tươ ng tác nhau i Fk ∼( F12 , F 21 )0 ∼ x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 636 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 638 2. Dạng tọa độ Descartes: Chi ếu ph ươ ng trình 8.6 lên các tr ục của hệ tr ục tọa độ z  n  d2 x n ɺɺ mx= ∑ F kx m2 = ∑ F kx dt F 1 §2. Ph ươ ng trình vi phân c ủa  k =1  k =1 z( t )  n 2 n F 2 chuy ển độ ng điểm ɺɺ d y m my=∑ Fky ⇔  m2 = ∑ F ky k=1  dt k = 1 F n n  d2 z n mzɺɺ = F ∑ kz  m2 = ∑ F kz  k =1  dt k =1 a r 8.7 y t O ( ) y x( t ) x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 637 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 639
3. Dạng tọa độ tự nhiên: 1. Bài toán thu ận – Bài toán tìm l ực (Trùng pháp tuy ến) Đị nh vị s= s( t ) Bi ết chuy ển độ ng của ch ất điểm (, r v , a ) , tìm lực tác dụng lên ch ất điểm. b − n (Pháp tuy ến) n +O * Cách gi ải quy ết: Phép đạ o hàm ∑ F kτ a O ' Mặt ph ẳng m ật ti ếp b n k=1 n Ví dụ: Cho ch ất điểm kh ối lượ ng m, chuy ển độ ng trên đườ ng a Qu ỹ đạ o n ɺ chuy ển độ ng cong ph ẳng. Tìm ph ản lực theo ϕ , bi ết ϕϕϕ = (), t (0) = 0, ϕ (0) = 0 . ∑ F k m τ k=1 aτ n τ ∑ F kn (Ti ếp tuy ến) ϕ R k=1  n  n ma= F msɺɺ = F  τ∑ k τ a= ɺɺ s ,  ∑ kτ  k =1 τ  k =1  2  n  sɺ  sɺ2 n man= ∑ F kn Vì an = nên m= F ρ ∑ kn 8.8  k =1   ρ k =1  n  n ab = 0  ma= F b∑ kb 0 = ∑ Fkb  k =1  k =1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 640 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 642 Bài gi ải: n + Phân tích lực tác dụng lên ch ất điểm (P , N ) + Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng ϕ R ma= P + N (1) an N §3. Hai bài toán c ơ b ản c ủa độ ng ⇒ ma(n + aτ ) = PN + a (gt ) lực h ọc τ Chi ếu (1) lên các ph ươ ng ti ếp tuy ến và bán kính : P τ ma= P.cosϕ = mg .cos ϕ  τ man =− NP.sinϕ =− Nmg .sin ϕ ɺɺ ɺɺ aτ = R .ϕ mR.ϕ= mg .cos ϕ (a) Mà  nên  ɺ 2 ɺ 2 an = R .ϕ mR.ϕ= N − mg .sin ϕ (b) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 641 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 643
Gi ải ph ươ ng trình (a): Bài gi ải: g mR.ϕɺɺ= mg .cos ϕϕ⇒ ɺɺ = .cos ϕ + Phân tích lực tác dụng lên ch ất điểm (P , T ) R + Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng O dgω d ω g ⇒ = .cosϕ⇒ d ϕ= .cos ϕϕ d ma= P + T (1) dtR dt R dϕ g g Chi ếu (1) lên các ph ươ ng ti ếp tuy ến: l ⇒ dω= .cos ϕϕωω dd⇒ = .cos ϕϕ d ϕ a dtR R n maτ =− P.sinϕ =− mg .sin ϕ g2 2 g ⇒ ωωd= cos ϕϕω d⇒ = sin ϕ + A T a (gt ) ∫R ∫ R Mà a = l .ϕ ɺɺ và sin ϕ ≈ ϕ nên: τ τ m ϕ(0)= 0 2 2g Với điều ki ện biên ⇒ A = 0 . Do đó: ϕɺ = .sin ϕ g 2  ɺ ϕɺɺ+. ϕ = 0⇒ ϕ ɺɺ +k . ϕ = 0 (a) ϕ(0)= 0 R l P g Gi ải ph ươ ng trình (b): N= 3 mg .sin ϕ Trong đó: k = l * Nếu bài toán yêu cầu vi ết mối quan hệ gi ữa ϕ và t – ph ươ ng trình chuy ển độ ng thì: Nghi ệm tổng quát của ph ươ ng trình vi phân (a) 2g 2 gdgϕ 2 d ϕt ϕ d ϕ ϕɺ2 = .sin ϕϕ⇒ ɺ = .sin ϕ⇒ = .sin ϕ ⇒ dt= ⇒ ∫ dt = ∫ R R dt R 2g 2 g ϕ()t= A .cos ktB + .sin kt .sinϕ0 0 .sin ϕ R R GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 644 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 646 2. Bài toán ng ượ c – tìm chuy ển độ ng Xác đị nh A, B từ điều ki ện ban đầ u của chuy ển độ ng: Bi ết lực tác dụng lên ch ất điểm, tìm chuy ển độ ng (, r v , a ) . ϕ(0)= ϕ (b)  0 v(0)= v (c) * Cách gi ải quy ết: Gi ải ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng.  0 Gi ải điều ki ện (b): ϕ (0) = ϕ ⇒ A = ϕ Ví dụ: Cho con lắc đơ n dao độ ng bé nh ư hình vẽ. Tìm ph ươ ng trình 0 0 Vận tốc của con lắc: vt()= ω (). tl = ϕ ɺ (). tl =− klA .sin ktklB + .cos kt chuy ển độ ng của con lắc. Bi ết th ời điểm khi t=0,ϕ (0) = ϕ 0 ,(0) v = v 0 . O Gi ải điều ki ện (c): v(0)= v0⇒ Bklv = 0⇒ Bvkl= 0 / l Vậy ph ươ ng trình chuy ển độ ng của con lắc là: ϕ v v ϕϕ()t= .cos kt +0 .sin kt =+ ( ϕ )2 ( 0 ).sin( 2 kt + γ ) 0 kl0 kl ϕ kl m Với: γ = arctan 0 v0 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 645 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 647
Kéo lên nhanh d ần đề u, gia t ốc Kéo lên ch ậm d ần đề u, gia t ốc có chi ều h ướ ng lên có chi ều h ướ ng xu ống T+ mg = ma T+ mg = ma ⇒ T− mg = ma Kéo đề u: a = 0 ⇒ T− mg = − ma ⇒ ⇒ T= mg( + a ) T= mg T= mg( − a ) T T BÀI T ẬP CH ƯƠ NG 8 SINH VIÊN C ẦN GI ẢI QUY ẾT a Hai bài toán c ơ b ản c ủa độ ng l ực h ọc m m a mg mg GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 648 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 650 Bài 8.1 Bài 8.2 Kéo vật nặng có tr ọng lượ ng P đi lên theo ph ươ ng th ẳng đứ ng bởi Một đoàn tàu ch ạy trên một đườ ng ray th ẳng đặ t trên mặt ph ẳng một sợi dây mềm không tr ọng lượ ng với gia tốc là a = const . Hãy xác ngang. Lúc tàu đang có vận tốc là v0 thì tàu tắt máy đồ ng th ời ti ến hành đị nh lực căng trong dây. Xem vật nh ư là ch ất điểm. hãm phanh. Bi ết rằng tổng lực hãm phanh và cản khác là hằng số bằng 1/12 tr ọng lượ ng đoàn tàu. Yêu cầu, kể từ khi tàu tắt máy hãy xác đị nh: 1. Ph ươ ng trình chuy ển độ ng của tàu 2. Mất bao lâu để tàu dừng v 3. Quãng đườ ng đi đượ c đế n lúc dừng * H ướ ng d ẫn: N Vị trí và th ời điểm t ắt x( t ) m máy (x = 0, t = 0, v = v ) 0 x O F c m g mxtɺɺ()= − F⇒ ɺɺxt () = − c 12 P  g  g xtɺ( ) = − tA + ɺ  1 vt()= xt () =− tv + 0  12 x(0)= 0  A2 = 0  12 ⇒  ⇒ →  g 2 xɺ(0) = v A= v g xt( ) =− t + AtA +  0  1 0 xt( ) = − t2 + vt  24 1 2  24 0 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 649 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 651
Bài 8.3 Bài 8.4 Một ch ất điểm A có kh ối lượ ng m chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng Một qu ả cầu nh ỏ có kh ối lượ ng m bu ộc vào một đầ u mút của lò xo nằm ngang có ph ươ ng trình: có độ cứng là k, đầ u kia cố đị nh. Ng ườ i ta kéo qu ả cầu kh ỏi vị trí cân xt()= R .cos kt bằng theo ph ươ ng tr ục lò xo một đoạn là a rồi th ả cho nó chuy ển độ ng.  A Bỏ qua ma sát gi ữa qu ả cầu và mặt ph ẳng tựa, lò xo làm vi ệc hoàn toàn yt()= R .sin kt  A đàn hồi. Yêu cầu lập ph ươ ng trình chuy ển độ ng của qu ả cầu trong hai Hãy tìm nh ững lực ch ưa bi ết tác dụng lên ch ất điểm. tr ườ ng hợp: 1. Không kể đế n cản của môi tr ườ ng * H ướ ng d ẫn: 2. Ch ịu cản từ môi tr ườ ng có hệ số cản nh ớt c, c < 4 mk . + Qu ỹ đạ o chuy ển độ ng là đườ ng tròn tâm O bán kính R trong hệ tr ục Oxy. N N + Các l ực tác d ụng lên ch ất điểm O m F c F lx m F c  2 x O x mx.ɺɺ ( t ) = F Fx = − mRk.cos kt  A x  ɺɺ ⇒ 2 myt.()A= F y  F y = − mRk .sin kt P P x( t ) x( t ) Flx = kx ɺɺ   mzt.()A= F z F z = 0 ɺ  Fc = cx GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 652 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 654 z Trong m ặt ph ẳng Oxy, l ực tác d ụng lên Bài 8.5 ch ất điểm là: Một ch ất điểm có kh ối lượ ng m ch ịu tác dụng của một lực theo ph ươ ng ngang x là F = Qsin(kt) + Q. Tìm ph ươ ng trình chuy ển độ ng Q= ( F , F ) của ch ất điểm bi ết khi t= 0(s) thì ch ất điểm ở vị trí x và có vận tốc v . x y R 0 0 Q= mRk 2 y Q kt N m F x A O x P * H ướ ng d ẫn: F= ma⇒ Q.sin kt+ Q = mxɺɺ Theo ph ươ ng z, l ực ch ưa bi ết tác d ụng v t lên ch ất điểm là l ực h ướ ng lên có độ Q Q Q ⇒ ɺɺx=.sin kt + ⇒ dv= (sin ktdt + 1) lớn b ằng tr ọng l ượ ng c ủa v ật ( N = P). m m∫ m ∫ v0 0 Q1t Q 1 1 ⇒ vtv()−=− (cos ktt + )⇒ vt ()=− (cos ktt +++ ) v 0 mk0 mk k 0 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 653 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 655
1. Theo ph ươ ng trình độ ng lực học Q 1 1  ⇒ dx=( − cos ktt +++ ) vdt  0  ∑ Fx= ma x 0= mxɺɺ ( t ) m k k  ⇒  x t F ma −mg = mytɺɺ ( ) Q 1 1  ∑ y= y  ⇒ dx=( − cos ktt +++ ) vdt ∫ ∫ m k k 0  ɺɺx( t )= 0 x0 0 ⇒  ɺɺ Q1 t 2 1  t  y( t ) = − g ⇒ xtx()−=0  ( − sin kt +++ t) vt0  m k2 2 k  0 Lấy tích phân, ta có: 2  ɺ Q1 t 1 vtx ()= xt () = C 1 ⇒  xt()=− (2 sin kt ++++ t) vtx0 0 ɺ m k2 k vty ()= yt () =− gt + D 1 xt( ) = Ct + C  1 2  g 2  yt( ) =− t + DtD1 + 2  2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 656 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 658 Bài 8.6 Tìm các hằng số tích phân từ điều ki ện ban đầ u của chuy ển độ ng Một vật nh ỏ đượ c xem nh ư ch ất điểm có kh ối lượ ng m đượ c ném vx (0) = v 0 C1= v 0 ngang từ độ cao h. Vận tốc ngay khi vật rời tay là v . Yêu cầu:   0 vy (0)= 0  D1 = 0 1. Vi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật. ⇒  x(0)= 0 C = 0 2. Mất bao lâu thì vật ti ếp đấ t?   2   D= h 3. Vật đượ c ném xa bao nhiêu theo ph ươ ng ngang?  y(0) = h  2 4. Ngay khi vật ti ếp đấ t thì vật có vận tốc và gia tốc bao nhiêu? Thay tất cả vào ph ươ ng trình vận tốc và ph ươ ng trình chuy ển độ ng ta có: 5. Nếu vật đượ c ném trong môi tr ườ ng có cản với hệ số cản là c rất bé thì ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật th ế nào? + Ph ươ ng trình chuy ển độ ng: y xt( ) = vt  0 g ⇒ y= h − x 2 t = 0 v0  1 2 2 : ph ươ ng trình qu ỹ đạ o  yt( ) = h − gt 2v0 M( x , y )  2 + Ph ươ ng trình vận tốc: h vx ( t ) = v 0 mg  Sv gi ải ti ếp vt( ) = − gt x  y O GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 657 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 659
2. Kh ối tâm của hệ Ký hi ệu kh ối tâm: C a. Đố i v ới h ệ ch ất điểm (v ật r ắn) z * D ạng véc t ơ: m1 n C m. r m ∑ k k 2 k =1 r r rC = 9.2 1 C M r2 Độ ng l ực h ọc nghiên c ứu các quy lu ật chuy ển độ ng c ơ h ọc mn của các v ật th ể dướ i tác d ụng c ủa l ực. * Trong h ệ tr ục Descartes Oxyz: rn  1 n O y xC= ∑ m k. x k M  k =1 x  1 n  yC= ∑ m k. y k M k =1  9.3  1 n zC= ∑ m k. z k  M k =1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 660 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 662 1. Kh ối lượ ng của hệ Nói rõ h ơn v ề kh ối tâm Chuy ển độ ng của một cơ hệ ngoài vi ệc ph ụ thu ộc vào lực tác dụng còn n ph ụ thu ộc vào tổng kh ối lượ ng và phân bố các kh ối lượ ng của hệ đó. Kh ổi tâm C c ủa h ệ ch ất điểm là điểm th ỏa mãn: ∑ mk. CM k = 0 Xét cơ hệ gồm n ch ất điểm có kh ối lượ ng tươ ng ứng là m , m , , m . k =1 1 2 n mk : kh ối l ượ ng ch ất điểm th ứ k Kh ối lượ ng của hệ: bằng tổng kh ối lượ ng của tất cả các ph ần tử hợp M : v ị trí xác đị nh ch ất điểm th ứ k thành hệ đó. k Xác đị nh v ị trí kh ối tâm C theo điểm quy chi ếu O: 9.1 Với O là điểm xác đị nh trong không gian thì: CM= OM − OC M=∑ mk ( k = 1, n ) k k n n Từ ∑mCMkk.= 0⇒ ∑ mOM kk .(− OC )0 = k=1 k = 1 m2 m1 n n n ⇒ mOM OC⇒ mOM OC m m ∑kk.(− )0 = ∑ kk .− . ∑ k = 0 3 m4 k =1 k=1 k = 1 n m5 Đặ t r kkC = OMr , = OCM , = ∑ m k , ta có: m k =1 n n m r n ∑ k k k =1 ∑ mrrMkkC−. = 0 ⇒ r C = 9.2 k =1 M GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 661 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 663
Ch ỉ t ồn t ại m ột kh ối tâm ứng v ới m ột tr ạng thái v ị trí c ủa h ệ ch ất điểm: Ý ngh ĩa độ ng h ọc c ủa kh ối tâm C Với điểm quy chi ếu O: n m r ∑ k k Khi h ệ ch ất điểm chuy ển độ ng (v ật r ắn, h ệ v ật r ắn) Kh ối tâm C đượ c xác đị nh b ởi: OC= r = k =1 C M + Quan h ệ v ận t ốc gi ữa các ch ất điểm: n m r n n ∑ k k ɺ * k 1 Gi ả s ử t ồn t ại tâm C* nào đó khác tâm C, thì: OC r = ∑mrkk. ∑ mv kk . =C* = M i ɺ k=1 k = 1 rC= ⇒ v C = M M Nh ư vậy r C = r C * , điều này ch ứng t ỏ C trùng C* và d ẫn đế n k ết lu ận t ồn t ại duy nh ất m ột tâm. + Quan h ệ gia t ốc gi ữa các ch ất điểm: n n mr.ɺɺ ma . ∑kk ∑ kk i ɺɺr= k=1⇒ a = k = 1 CM C M GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 664 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 666 b. Đố i v ới h ệ v ật r ắn * Tr ục trung tâm : là tr ục đi qua kh ối tâm C. Xét h ệ g ồm n v ật r ắn, v ật r ắn th ứ k có kh ối l ượ ng m k và kh ối tâm C k. Gọi C và M l ần l ượ t là kh ối tâm và t ổng kh ối l ượ ng c ủa h ệ v ật r ắn. * D ạng véc t ơ: z n n ∑mrkC. ∑ mr kC . m k k 2 m k=1 k = 1 C 1 rC =n = 1 M C zC m 9.4 2 ∑ k C C k =1 m * Trong h ệ tr ục Descartes Oxyz: n r C1 rC rC  1 n 2 x= m. x Cn  C∑ k C k y y M k =1 r C  Cn  1 n x O  y= m. y C C C∑ k C k 9.5 r 3  M k =1 C3  n 1 x m zC= ∑ m k. z C 3 k  M k =1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 665 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 667
* Kh ối tâm c ủa v ật đồ ng ch ất: * Tính ch ất: -Nếu vật có mặt ph ẳng đố i xứng thì kh ối tâm thu ộc mặt đố i xứng đó * Tổng quát : Trong hệ tr ục Oxyz gắng cố đị nh đố i với vật, tọa độ kh ối -Nếu vật có 3 mặt ph ẳng đố i xứng thì kh ối tâm C là giao điểm của 3 tâm C: mặt đố i xứng đó.  xdV. xdV . xdxdydz . ∫ ∫ ∫∫∫ -Nếu vật là thanh th ẳng mảnh thì kh ối tâm C là trung điểm của tr ục  ()V () V () V  xC = = = thanh.  ∫dVV ∫∫∫ dxdydz -Nếu vật là dạng tấm ph ẳng có chi ều dày không đổ i – mặt trung bình  ()V ()V là mặt đố i xứng thì kh ối tâm thu ộc mặt trung bình (t ấm mảnh là  tr ườ ng hợp đặ t bi ệt của dạng tấm này). Kh ối tâm cần xác đị nh là tâm  ∫ydV. ∫ ydV . ∫∫∫ ydxdydz .  ()V () V () V di ện tích hình học ph ẳng của mặt trung bình đố i xứng, tọa độ tâm C  yC = = =  ∫dVV ∫∫∫ dxdydz đượ c xác đị nh theo công th ức sau:  ()V ()V   ∫zdV. ∫ zdV . ∫∫∫ zdxdydz .  z =()V = () V = () V  C ∫dVV ∫∫∫ dxdydz  ()V ()V GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 668 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 670 Khi vật đượ c tổ hợp cộng từ n kh ối hình con mà mỗi kh ối hình con th ứ i bi ết Trong hệ tr ục ph ẳng ch ọn tr ướ c ch ứa y kh ối tâm Ci và th ể tích Vi thì: mặt ph ẳng trung bình đố i xứng của (F)  xV+ xV + + xV C11 C 2 2 Cnn vật, tâm C có tọa độ (x C,y C): dF  xC =  V1+ V 2 + + V n  yV+ yV + + yV  xdF. xdF . xdxdy .  C11 C 2 2 Cnn ∫ ∫ ∫∫  yC =  C V+ V + + V ()F () F () F  1 2 n  xC = = =   dFF dxdy y zVC1+ zV C 2 + + zV Cn ∫ ∫∫ 1 2 n F F  zC =  () ()  V1+ V 2 + + V n  x  ydF. ydF . ydxdy . Lưu ý: Vi ệc tổ hợp có th ể là cộng hình kết hợp tr ừ hình. Gi ả sử cộng các hình ∫ ∫ ∫∫ O  ()F () F () F x từ 1 đế n k, tr ừ các hình từ k+1 đế n n, thì công th ức là: yC = = =  dFF dxdy  ∫ ∫∫  (xVxV+ ++ xV )( − xVxV + ++ xV ) ()F ()F C11 C 2 2 Ckk CkCk kk+1 +1 Cn n   xC =  (VV12+++ VVVkkk )( −+ 12 + + ++ V n )  (yVyV+ ++ yV )( − yVyV + ++ yV )  C11 C 2 2 Ckk CkCk kk+1 +1 Cn n  yC =  (VV12+++ VVVkkk )( −+ 12 + + ++ V n ) Lưu ý: Nếu mặt ph ẳng trung bình đố i xứng của vật này có tr ục  (zV+ zV + + zV ) −(zV + zV ++ zV )  z = C11 C 2 2 Ckk CkCkk k+1 +1 Cn n đố i xứng thì tâm C thu ộc tr ục đố i xứng đó. Nh ờ tính ch ất này ta  C (VV+++ VVV )( − + ++ V )  12kkk+ 12 + n bi ết đượ c tâm của một số hình: tròn, vuông, elip, đa giác đề u GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 669 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 671
Khi mặt ph ẳng đố i xứng này đượ c tổ hợp cộng từ n hình con mà mỗi + Véc tơ mômen chính: hình con th ứ i bi ết tâm Ci và di ện tích Fi thì: ∞ ∞ MC =∑ mmgCk() = ∑ ( rmg kk ∧ )  xF+ xF + + xF k=1 k = 1 C11 C 2 2 Cnn  xC = ∞ ∞  F1+ F 2 + + F n =(mrg ∧= )() mr ∧= gMrg ∧=∧= 00 g  ∑kk ∑ kk C yF+ yF + + yF k=1 k = 1  C11 C 2 2 Cnn yC =  F+ F + + F 1 2 n M C = 0 Lưu ý: Vi ệc tổ hợp có th ể là cộng hình kết hợp tr ừ hình. Gi ả sử cộng các hình từ 1 đế n k, tr ừ các hình từ k+1 đế n n, thì công C C th ức là: rk  (xFxF+ ++ xF )( − xFxF + ++ xF ) C11 C 2 2 Ckk CkCk kk+1 +1 Cn n  xC = m k  (FF+++ FFF )( − + ++ F ) k  12kkk+ 12 + n  (yFyFC1+ C 2 ++ yF Ck )( − yFyF CkCk ++1 ++ yF Cn ) y = 1 2 k kk+1 n  C ∞  (FF12+++ FFFkkk )( −+ 12 + + ++ F n ) mk g RC =∑ pk = P k =1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 672 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 674 * Thu gọn hệ tr ọng lượ ng của vật rắn: Khối lượ ng của vật rắn phân Trong tr ườ ng tr ọng lực, kh ối tâm C trùng với tr ọng tâm G. bố theo không gian phân bố của vật ch ất. Ở đâu có kh ối lượ ng thì ở đó * Tr ọng tâm G của vật là điểm đặ t hợp tr ọng lực P của vật có tr ọng lượ ng. Tr ọng lượ ng là hệ lực song song hướ ng tâm trái đấ t phân bố trên từng đơ n vị th ể tích. Khi tính toán, ta thu gọn về tâm kh ối lượ ng thì đượ c một véc tơ chính (khác không) bằng tổng véc tơ tr ọng lượ ng thành ph ần, còn mômen chính bằng không . C≡ G M C = 0 Tươ ng đươ ng C C Tươ ng đươ ng Tươ ng đươ ng C P ∞ P= ∑ p k p k =1 k RC = P P pk CM : Khi thu gọn hệ tr ọng lượ ng về kh ối tâm C, ta đượ c: + Véc tơ lực chính: ∞ ∞ ∞ RC =∑ pk = ∑ mggmMgP k = ∑ k ==≠. 0 k=1 k = 1 k = 1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 673 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 675
3. Mômen quán tính c ủa h ệ c. Mômen quán tính trong hệ tr ục tọa độ Descartes n n a. Mômen quán tính đố i với một điểm (mômen quán tính độ c cực):  2 2 2 Jx=∑ md kx = ∑ myz kkk( + ) * Đố i với một ch ất điểm  k=1 k = 1 z  n n 2 r J= md2 = mxz( 2 + 2 ) JO = m. r 9.6 O m y∑ ky ∑ kkk 9.10  k=1 k = 1  n n 2 2 2 d z Jz=∑ md kz = ∑ mxy kkk( + )  mk( x k , y k , z k ) * Đố i với hệ ch ất điểm k=1 k = 1 m1 r1 n r n n d 2 2 2 222 d y J= m r 9.7 O m2 x rk zk O∑ k k JO=∑ mr kk = ∑ myxz kkkk( ++ ) k=1 y rn mn k=1 k = 1 O xk Jx+ J y + J z x yk 2 9.11 Bán kính quán tính ρ đố i v ới điểm Ο: J= M .ρ J O = Ο O O 2 Dấu c ủa mômen quán tính đố i v ới m ột điểm: luôn luôn d ươ ng GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 676 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 678 b. Mômen quán tính đố i với một tr ục ∆∆∆: * Tr ườ ng hợp đặ c bi ệt z + Tấm ph ẳng mảnh: * Đố i với một ch ất điểm ∆ Trong hệ tr ục Oxyz, gi ả sử mặt ph ẳng vật nằm 2 9.8 y J∆ = m. d trong mặt ph ẳng tọa độ Oxy, khi đó ta có: d m JO= J z O * Đố i với hệ ch ất điểm ∆ x m n d 1 2 1 J= m d 9.9 d ∆ ∑ k k 2 m k =1 2 Jx+ J y + J z Mà JO = mn 2 dn Jx+ J y + J O Nên JO= ⇒ JJJJ Oxyz= + = 2 2 Bán kính quán tính ρ∆ đố i v ới tr ục ∆: J∆= M .ρ ∆ Dấu c ủa mômen quán tính đố i v ới m ột tr ục: luôn luôn d ươ ng GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 677 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 679
+ Thanh th ẳng mảnh: z * Mômen quán tính đố i với hệ tr ục ph ẳng trong hệ tr ục Descartes Trong hệ tr ục Oxyz, gi ả sử tr ục thanh trùng (mômen quán tính ly tâm) với tr ục Oz, với t là tr ục bất kỳ nằm trong mặt  n J= J = mxy Oxy và đi qua O, ta có kết qu ả sau: y  xy yx∑ kkk  k=1 J n z = 0  9.14 Jxz= J zx = ∑ mxz kkk J= J = J = J O x y t O t  k=1  n Dấu: ho ặc d ươ ng ho ặc âm ho ặc b ằng 0 Jyz= J zy = ∑ myz kkk x  k =1 + Tr ục quán tính chính Tr ục x là tr ục quán tính chính khi Jxy= J xz = 0 9.15 Tr ục y là tr ục quán tính chính khi Jyx= J yz = 0 9.16 9.17 Tr ục z là tr ục quán tính chính khi Jzx= J zy = 0 + Tr ục quán tính chính trung tâm: là tr ục vừa là tr ục trung tâm vừa là tr ục quán tính chính. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 680 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 682 * Các bán kính quán tính kh ối lượ ng đố i với gốc tọa độ và đố i với * Công th ức chuy ển tr ục song song của mômen quán tính các tr ục tọa độ Z  z Có th ể vi ết lại JO ρO =  M 2 J M Z k d Zz O= .ρ O  J  x z 2 ρ x = k Jx= M .ρ x  M ⇒ mk 2  9.12 Jy= M .ρ y  J y   ρ y = J= M .ρ 2 M c  z z  y O k  J z ρ z = d Trong đó:  M xk Yy y I x b Yk - Bán kính quán tính kh ối lượ ng đố i với tâm O: ρO Y d Xx - Các bán kính quán tính kh ối lượ ng đố i với các tr ục: ρx, ρ y , ρ z a 2 2 2 X k 2 ρx+ ρ y + ρ z ρO = 9.13 2 X GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 681 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 683
+ Tịnh ti ến hệ tr ục IXYZ theo véc tơ OI đượ c hệ tr ục Oxyz. Trong hệ - Mômen quán tính đố i với tr ục Z: tr ục IXYZ, tọa độ của O là (a,b,c ). n n 22 2 2  JZ=∑ mXY kkk( += ) ∑ max k ()() +++ k by k  - Mômen quán tính đố i với tr ục X: k=1 k = 1 n n n J= mYZ(22 += ) mby ()() +++ 2 cz 2  2 22 2  X∑ kkk ∑ k k k  =∑ mak(2 +++++ ax kk x )(2 b by kk y )  k=1 k = 1 k=1 n 2 22 2  2 2 =∑ mbk(2 +++++ by kk y )(2 c cz kk z )  =+(a bM ) + 2. aMxC + 2. bMy C + J z k=1 2 2 2 =+dMZz2. aMx C + 2. bMy Cz + J =+(b cM ) + 2. bMyC + 2. cMz C + J x 2 =dMXx +2. bMy C + 2. cMz Cx + J Nếu tr ục x là tr ục trung tâm (tr ục đi qua kh ối tâm C) thì: yC = 0, zC = 0. Nếu tr ục z là tr ục trung tâm (tr ục đi qua kh ối tâm C) thì: xC = 0, yC = 0. 2 2 Khi đó:J X= J x + dM Xx Khi đó: JZ= J z + dM Zz GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 684 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 686 - Mômen quán tính đố i với tr ục Y: * Đị nh lý Steiner-Huygens: Mômen quán tính của vật đố i với một tr ục n n Z nào đó bằng mômen quán tính đố i với tr ục z đi qua kh ối tâm và song 22 2 2  JY=∑ mXZ kkk( += ) ∑ max k ()() +++ k cz k  song với Z cộng với tích kh ối lượ ng của vật với bình ph ươ ng kho ảng k=1 k = 1 cách gi ữa hai tr ục. n z 2 22 2  2 9.18 =∑ mak(2 +++++ ax kk x )(2 c cz kk z )  JZ= J z + dM. Z k=1 2 2 =+(a cM ) + 2. aMxC + 2. cMz C + J y Trong nh ững tr ục song song nhau, tr ục đi qua kh ối tâm có mômen quán tính bé nh ất. 2 C =+dMYy2. aMx C + 2. cMz Cy + J d Nếu tr ục y là tr ục trung tâm (tr ục đi qua kh ối tâm C) thì: xC = 0, zC = 0. 2 Khi đó: JY= J y + dM Yy GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 685 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 687
* Công th ức mômen quán tính đố i với tr ục bất kỳ đi qua gốc tọa độ . + Mômen quán tính đố i với tr ục L có công th ức sau: 2 2 2 JJLx=.cosα + J y .cos β + J z .cos γ z L + Ta có: −2J cosαβ cos − 2 J cos βγ cos − 2 J cos γα cos xy yz zx rkk= xi. + yj k . + zk k . zk d z Có th ể vi ết d ướ i d ạng sau: rk= OH k + HI kk 2 mk cosα   cos.cos α β  H k I ế ụ k 2    + Chi u (*) lên tr c L: JJJJ= .cosβ − 2  JJJ  .cos.cos β γ k []L xyz    xyyzzx    x.cosα+ y .cos β + z .cos γ = OH γ 2 k k k k r d cosγ   cos.cos γ α  d x k y   α β JL= Det[ J L ] j y k y O i xk x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 688 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 690 + Mômen quán tính đố i với tr ục L: 4. Mômen quán tính c ủa v ật r ắn th ườ ng g ặp 2 2 22  JL=∑ mIH kkk() = ∑ mIH kkk () =− ∑ mr kk () OH k  4.1. Thanh mảnh th ẳng đồ ng ch ất: (M,l) 2 2 2 2 z z =mxyzx ++−( .cosα + y .cos β + z .cos) γ  ' ∑ kkkkk k k   1 J= J = Ml. 2  z' A C 3 9.19 A B =mx 2(1 − cos 22α ) +− y (1 cos 22 β ) +− z (1 cos 2 γ )   ∑ kk k k  1 l / 2 l / 2 J= J = Ml. 2  z C −2∑ mxykkk ( .cosαβ cos + xz kk .cos αγ cos + yz kk .coscos) βγ  12 Do cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , nên: (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài )  22 2 22 222 2  JmxLkk=∑  (cosβγ ++ cos ) y k (cos αγ +++ cos ) z k (cos αβ cos )  −2Jxy cosαβ cos − 2 J yz cos βγ cos − 2 J zx cos γα cos 2 2 222 222 2 Do xy kk += dxz zkk , += dyz ykk , += d x , nên: 22 22 22  JmdL=∑ kxcosα + d y cos β + d z cos γ  −2Jxy cosαβ cos − 2 J yz cos βγ cos − 2 J zx cos γα cos GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 689 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 691
Thanh m ảnh th ẳng đồ ng ch ất AB có kh ối l ượ ng M, chi ều dài l 4.3. Đĩ a mảnh tròn đồ ng ch ất : (M,R) B Đĩ a mảnh nằm trong mặt ph ẳng Cxy, kh ối tâm C; tr ục k bất kỳ thu ộc mặt ph ẳng Cxy, đi qua tâm. k1 d1 z B z '  1 J= J = MR. 2  C z 2 k d  9.21 2 A 2 C  1 2 Jx= J y = MR. = J k  4 z A mp (α ) mp (β ) (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) AB⊥ mp (α ) AB⊥ mp (β ) y C : Kh ối tâm (trung điểm c ủa AB) C R (,CzCk , Ck )⊂ mp ()α (',Az Ad , Ad )⊂ mp ()β 1 2 1 2 x Ml 2 Ml 2 J= J = J = J = JJA= Az' = J Ad = J Ad = k C Cz Ck1 Ck 2 12 1 2 3 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 692 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 694 4.2. Vành mảnh tròn đồ ng ch ất : (M,R) 4.4. Kh ối cầu đặ c đồ ng ch ất: (M, R) – gốc tọa độ của hệ tr ục Cxyz Vành mảnh nằm trong mặt ph ẳng Cxy, kh ối tâm C; tr ục k bất kỳ thu ộc là kh ối tâm C. z mặt ph ẳng Cxy, đi qua kh ối tâm. 2 y J= J = J = MR 2 9.22 x y z 5 J= J = MR. 2  C z C x  9.20 z 3 2 1 2 JC = MR Jx= J y = MR. = J k 5  2 (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) Với tr ục k bất kỳ đi qua kh ối tâm C thì y 2 2 C R Jk= J x = J y = J z = MR 5 x k (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 693 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 695
4.5. Tấm ph ẳng mảnh ch ữ nh ật đồ ng ch ất: (M,a,b) Sinh viên có th ể ch ứng minh các k ết qu ả trên cách đơ n gi ản nh ư sau a  1 O y 1. Thanh mảnh th ẳng đồ ng ch ất (M, l) J= M. a 2  x 3 z ' z z '  C y  1 b 0 dM 2 9.23 C Jy = M. b A B 3 A  l / 2 l / 2 dx x x  1 2 2 x 0 JO= J z = Mab.( + ) J= J  3  A z ' -Cứ chi ều dài l thì có kh ối lượ ng M JC= J z -Vậy đoạn dài dx thì có kh ối lượ ng dM = Mdx/l  1 O J= M. a 2 * Xét đoạn dài dx cách A đoạn x có kh ối lượ ng dM  x0 12 a  z * Mômen quán tính đố i với tr ục z’ đượ c xác đị nh bởi:  b 2 l 2 1 2 2 Mx dx M21 2 l 1 2 Jy = M. b 9.24 C Jz ' =∑ x dM = ∑ = x dx = Ml⇒ Jz' = J z + M⇒ J z = Ml 0 y l l ∫ 3 4 12  12 0 z0  1 2 2  1 2 JC= J z = Mab.( + ) JA= J z ' = Ml  0 x y0  3  12 * Kết qu ả:  x  1 2 0 J= J = Ml (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài )  C z 12 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 696 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 698 y 2. Vành mảnh tròn đồ ng ch ất (M, R): 4.6. Tr ụ rỗng mỏng đồ ng ch ất: (M, R) z y 2 x  1 2 h Jx= J y = MR( + ) 9.25 C dM  2 6 z  2 C J= MR x z y R h / 2 C R h x y k 4.7. Tr ụ đặ c đồ ng ch ất: (M, R) * Vai trò tr ục x và y là nh ư nhau nên J x = J y , nên JJJJCzxy==+ =2 J x = 2 J y 2 x  1 2 h * Xét đoạn vành dài dS , bán kính R, kh ối lượ ng dM Jx= J y = MR( + ) C  4 3 z * Mômen quán tính đố i với tâm C của vành tròn xác đị nh bởi:  9.26  1 2 2 2 J= MR JC =∑ R dM = MR  z  2 h / 2 21 2 * Kết qu ả: JCz== J MR, J xy == J MR = J k (Xem ph ần ch ứng minh cu ối bài ) h 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 697 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 699
3. Đĩ a mảnh tròn đồ ng ch ất 5. Tấm ph ẳng mảnh ch ữ nh ật đồ ng ch ất z y O a * Xét vi phân ch ữ nh ật tấm tại tọa độ (x,y) có các cạnh dx và dy: dM z b + Di ện tích dS = dx.dy C C + ố ượ dM = Mdx.dy/(a.b) x x y Kh i l ng y z0 C R dx x y0 x O y 2 x x k -Cứ di ện tích πR thì có kh ối lượ ng M 0 dM 2 -Vậy di ện tích 2πxdx thì có kh ối lượ ng dM = 2Mxdx/R dx * Vai trò tr ục x và y là nh ư nhau nên J = J , nên JJJJ==+ =2 J = 2 J J= J = J + J x y Czxy x y C z0 x 0 y 0 y dy  * Xét vành tròn bán kính x, dày dx, kh ối lượ ng dM . JO= J z = J x + J y x * Mômen quán tính đố i với tâm C của đĩ a đượ c xác đị nh bởi:  a 2 2Mx3 dx 2 M R 1 J= J + ( ) M 2 3 2 x x 0 JC =∑ xdM = ∑ 2 = 2 xdxMR =  2 R R ∫ 2 0  b 2 12 1 2 J= J + ( ) M y y 0 * Kết qu ả: JCz== J MR, J xy == J MR = J k  2 4 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 700 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 702 4. Kh ối cầu đặ c đồ ng ch ất: z + Mômen quán tính đố i với tr ục Ox của tấm đượ c xác đị nh bởi: b a y 2M 2 M 221 Jx ==∑ ydM ydxdy = dxydy = Ma * Vai trò tr ục x, y và z là nh ư nhau nên Jx= J y = J z ∫∫ ∫ ∫ ab()S ab 00 3 J+ J + J J = x y z + Mômen quán tính đố i với tr ục Oy của tấm đượ c xác đị nh bởi: C C 2 x b a 2M 2 M 21 2 Jy ==∑ x dM∫∫ x dxdy = ∫ x dx ∫ dy = Mb ab()S ab 00 3 * Xét vỏ cầu có bán kính x, dày dx , kh ối lượ ng dM + Mômen quán tính đố i với tr ục Cx 0 của tấm đượ c xác đị nh bởi: -Cứ th ể tích V =4πR3/3 thì có kh ối lượ ng M a 1 1 1 1 -Vậy th ể tích vỏ cầu dV = 4πx2dx thì có kh ối lượ ng dM = 3Mx 2dx/R 3. J= J + ( ) 2 M⇒ J=− J Ma 2222 = Ma − Ma = Ma xx02 xx 0 4 3 4 12 * Mômen quán tính đố i với tâm C kh ối cầu đượ c xác đị nh bởi: + Mômen quán tính đố i với tr ục Cy 0 của tấm đượ c xác đị nh bởi: R 23M 4 3 M 42 3 b 21 2222 1 1 1 JC =∑ xdM = ∑ 3 xdx =∫ 3 xdx = MR J= J + ( ) M⇒ J=− J Mb = Mb − Mb = Mb yy0 yy 0 R0 R 5 2 4 3 4 12 2 J= J = J = MR 2 x y z 5 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 701 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 703
6. Tr ụ rỗng mỏng đồ ng ch ất (M, R) y y Y dM x C z C z M  h / 2 z dz dM= dz  h  Độ ng l ực h ọc nghiên c ứu các quy lu ật chuy ển độ ng c ơ h ọc h của các v ật th ể dướ i tác d ụng c ủa l ực. Xét đoạn tr ụ rỗng tại cao độ z có chi ều dài dz, kh ối lượ ng dM. 2 2 Jz =∑ RdM = MR 21 2 2 Jx== J y∑( dJ Y + zdM )( = ∑ RdMzdM + ) 2 MMMh/2 1 h 2 =∑ (Rdzz22 + dz )(2) =∫ R 22 +=+ zdz MR () 2 2h h h 0 2 6 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 704 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 706 7. Tr ụ đặ c đồ ng ch ất (M, R) Độ ng lượng, Mômen độ ng lượng, Độ ng năng y y Y dM x 1 Hai đặ c tr ưng của hệ lực trên hệ ch ất điểm C C * Véc tơ lực chính z z n F k m1 k m R= ∑ F mk 2 k =1 m3 M  * Véc tơ mômen lực chính đố i với O v m4 h / 2 z dz dM= dz n n k   rk m v h  MO mF k rF k k k h =∑O() = ∑ ( k ∧ ) k=1 k = 1 m O 5 mn Xét đoạn tr ụ rỗng tại cao độ z có chi ều dài dz, kh ối lượ ng dM. 2 Hai đặ c tr ưng độ ng học của hệ ch ất điểm Cố đị nh 12 1 2 * Véc tơ độ ng lượng chính Ch ất điểm k b ất k ỳ Jz =∑ RdM = MR n 2 2 - Xác đị nh b ởi r k v ới O là điểm tùy ch ọn 21 2 2 Q= ∑ ( mk v k ) - Kh ối l ượ ng mk Jx== J y∑( dJ Y + zdM )( = ∑ RdMzdM + ) k =1 - Ch ịu l ực tác d ụng F k 4 * Véc tơ mômen độ ng lượng chính đố i với O h/2 2 n n MMM22 221 2 h =∑ (Rdzz + dz )(4) =∫ R +=+ zdz MR () KO =∑ mmvOkk()( = ∑ rmv k ∧ kk ) 4h h 2 h 0 43 k=1 k = 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 705 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 707
3 Mối quan hệ gi ữa véc tơ lực chính với véc tơ độ ng lượ ng chính 5 Mối quan hệ gi ữa công su ất của hệ lực với độ ng năng của hệ – Đị nh lý Độ ng lượ ng ch ất điểm dvk dmv( k k ) ⇒ Từ: maFm= k⇒ = F k⇒ = F k Từ: makk= Fk mav kkk.= Fv k . k k k k dt dt 1 n n d( m v 2 ) d( mk v k ) k k d( T ) ⇒ = F k 2 k ∑ ∑ ⇒ = Fk . vk⇒ = W k k=1dt k = 1 dt dt n n d( m v ) ∑ k k n d(∑ T k ) n k =1 dT ⇒ = ∑ F k ⇒ k =1 = W⇒ = W dt ∑ k k =1 dtk =1 dt d Q 1 2 1 2 ⇒ = R Tk= mv kk = mv kk : độ ng n ăng c ủa ch ất điểm th ứ k 2 2 dt W Fk v F k Trong một hệ ch ất điểm, đạ o hàm bậc nh ất theo th ời gian của véc tơ độ ng k= k : công su ất c ủa l ực lượ ng chính thì bằng véc tơ lực chính. Trong một hệ ch ất điểm, đạ o hàm bậc nh ất theo th ời gian của tổng độ ng năng của hệ thì bằng tổng công su ất của lực trong hệ. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 708 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 710 4 Mối quan hệ gi ữa véc tơ mômen lực chính với véc tơ mômen 6 Lưu ý áp dụng đị nh lý cho hệ vật rắn độ ng lượ ng chính đố i với cùng một điểm– Đị nh lý Mômen Khi áp dụng đị nh lý cho vật rắn thì cần lưu ý nh ững điều sau: độ ng lượ ng n i i e iR=∑ F k = 0 e k =1 Từ: makk= Fk⇒ rma kkkk∧ = rF ∧ k⇒ rma kkkO∧ = mF( k ) RRR= + → RR = n i i e i MO=∑ mO ( F k ) = 0 e drmv(∧ ) dv dr k =1 mà: kkk=∧(rm k )( + mv ∧ k ) MMMOOO= + → MM OO = dtkk dt kk dt Th ật vậy, xét hai ch ất điểm bất kỳ M và N trong cùng một vật rắn, dv =∧(rmk )(0)( +=∧ rma ) chúng tươ ng tác nhau bởi các nội lực nh ư hình vẽ. kkdt kkk n  i N Rõ ràng: F NM d∑ ( rk∧ mv k k ) i i i   n dr(k∧ mv k k ) k =1  F MN FMN+ F NM = 0 Từ: = mF()k ⇒ = mF ()k M O ∑ O i i dt dt k =1 r r N r∧ FMN +∧ r F NM = 0 M M N d K O i i i Do đó: = M O FNM= F MN = F O dt Trong một hệ ch ất điểm, đạ o hàm bậc nh ất theo th ời gian của véc tơ mômen Véc tơ lực chính và mômen lực chính do nội lực là bằng 0, nên nội lực độ ng lượ ng chính tại điểm nào thì bằng véc tơ mômen lực chính tại điểm đó. không làm phát sinh độ ng lượ ng và mômen độ ng lượ ng trong hệ. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 709 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 711
e i Vật rắn tuy ệt đố i W= W + W W= W e W i = 0 Nội lực trong vật rắn bi ến dạng có sinh công, trong vật tuy ệt đố i cứng không sinh công. dA i Công su ất do nội lực: W i = dt §1. Đị nh lý độ ng l ượ ng i i i i i i i Ta có: dA(F MN , F NM ).= FdrMNM + Fdr NM . N = Fdr MN . M − Fdr MN . N i i i =FMN( drM −= drN ) F MN .() dNM =− F NM .d ( NM ) Trong ph ần này s ẽ kh ảo sát m ối quan h ệ gi ữa độ ng l ượ ng của h ệ i 2 với véc t ơ chính c ủa ngo ại l ực tác d ụng trên h ệ. Có th ể bi ểu di ễn F NM = α . NM (α là hằng số nào đó) Do đó: 2 2 i i i 2 α2 α 2 dA(F MN, F NM )=−α () NMdNM =−d ()NM =− dMN () 2 2 +V ật rắn bi ến dạng, có th ể MN thay đổ i nên nội lực sinh công +V ật rắn tuy ệt đố i cứng, MN không đổ i nên nội lực không sinh công GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 712 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 714 F n Các ch ất điểm về vị trí và độ ng học liên hệ theo công th ức sau: F1 Một vài k ết qu ả t ừ đị nh lý n n n F 3 mr. mv . ma . ∑kk ∑ kk ∑ kk k dQ e r=k=1, v = k = 1 , a = k = 1 i = R C C C dt M M M mk vk e e idQ= Rdt = dS Mỗi đị nh lý th ể hi ện nội dung đị nh lý dướ i nh ững dạng công F 2 e th ức khác nhau. Các bài sau, mỗi bài trình bày mỗi đị nh lý. i Q2− Q 1 = S 1− 2 Véc t ơ độ ng l ượ ng c ủa h ệ: Q= ∑ mk. v k Nội dung đị nh lý này đượ c k làm rõ chi ti ết trong ph ần Véc t ơ l ực chính c ủa h ệ ngo ại l ực: ti ếp sau. e R= ∑ F i i GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 713 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 715
1. Độ ng l ượ ng d. Động l ượ ng của hệ v ật r ắn: QMv=. + Mv . ++ Mv . 1C1 2 C 2 nC n a. Động l ượ ng của một ch ất điểm: Q= m. v 10.1 10.4 m v Q= m. v v = 0 C3 C3 n v 10.2 C4 b. Động l ượ ng của hệ ch ất điểm: Q= ∑ mk v k M. v Q M 3 M 1 C1 k =1 C 2 M 2 4 C 4 α v Q= m. v C2 M. v 1 1 1 2 C2 M. v 4 C4 v Q= m. v C m 1 2 2 2 M 1 1 1 m 2 vC mn 1 Q v2 Qn = mn. v n vn GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 716 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 718 c. Động l ượ ng của vật r ắn: Q= M. v Trong h ệ tr ục t ọa độ Descartes c ố đị nh thì: C 10.3 * Khi các véc t ơ v C ( k = 1, n ) đã xác đị nh, thì: k Q= M. v n C vC C  Qx= ∑ M kxC. v  k M  k =1 n  2 2 2 Qy= ∑ Mv kyC. ⇒ Q= QQQ xyz + + k  k =1 n ɺ  * Ch ứng minh: Q= mv = mr Qz= ∑ M kzC. v ∑kk ∑ kk k  k =1 ɺ Mà: ∑mk r k= Mr C nên Q= MrC = Mv C * Khi bi ết ph ương trình chuy ển độ ng c ủa C k ( k = 1, n ) , thì: QMx=.ɺ + Mx . ɺ ++ Mx . ɺ  x1 C1 2 C 2 nC n ɺ ɺ ɺ 2 2 2 QMyMyy=1. C + 2 . C ++ My nC . ⇒ Q= QQQ xyz + +  1 2 n QMz=.ɺ + Mz . ɺ ++ Mz . ɺ  z1 C1 2 C 2 nC n GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 717 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 719
2. L ực tác d ụng - Đố i với hệ một vật rắn kh ối lượng M, kh ối tâm C: n  e a. Véc t ơ chính c ủa ngo ại l ực M. axC= ∑ X k k =1 n  e e 10.5 n R= F k  e ∑ M. a= Y k =1  yC∑ k k =1  10.9a  n b. Xung l ượ ng c ủa l ực: bi ểu th ị tác d ụng c ủa l ực theo th ời gian e M. azC= ∑ Z k  k =1 + Xung l ượ ng nguyên t ố: bi ểu th ị tác d ụng c ủa l ực trong dt e eee eee Lưu ý: a= aaa,,, Fk = FFF ,, = XYZ ,, C( xCyCzC) ( kxkykx) ( kk k ) dS= Fdt - Đố i với hệ p vật rắn; vật rắn th ứ k có kh ối lượng Mk, kh ối tâm Ck: p n  e + Xung l ượ ng h ữu h ạn: bi ểu th ị tác d ụng c ủa l ực t ừ t đế n t ∑MkxC. a= ∑ X k 1 2  k  k=1 k = 1 t2 t 2 p n 10.6  e S1− 2 = dS = Fdt  M. a= Y ∫ ∫ ∑kyCk ∑ k 10.9b t1 t 1  k=1 k = 1  p n  M. a= Z e Nếu F = const thì S1− 2 = Ft(2 − t 1 ) ∑kzCk ∑ k  k=1 k = 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 720 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 722 3. Đị nh lý độ ng l ượ ng c. Dạng b ảo toàn: n d Q e n e a. Dạng độ ng h ọc: = ∑ F k 10.7 Nếu ∑ Fk =0 ⇔ Q = const 10.10 dt k =1 k =1  * Ch ứng minh: vC = const + Đố i với hệ một vật rắn: MvC = const ⇔  e idv e k a = 0 Ta có: ∑mak k =+ ∑∑ Fk F k ⇔ ∑ mk =+ ∑ F k 0  C dt q q e e d dQ + Đố i với hệ gồm q vật rắn: ∑MvkC= const ⇔ ∑ Ma kC = 0 k k ⇔∑mvk k = ∑ Fk ⇔= ∑ F k dt dt k=1 k = 1 n e 10.11 Nếu ∑ Xk=0 ⇔ Q x = const b. Ph ương trình vi phân c ủa chuy ển độ ng kh ối tâm: k =1 n n  e e 10.8 vxC = const ɺɺ + Đố i với hệ một vật rắn: Mv= const ⇔  MaC= ∑ Fk⇒ Mr C = ∑ F k xC k=1 k = 1 axC = 0 q q + Đố i với hệ gồm q vật rắn: ∑MvkxC= const ⇔ ∑ Ma kxC = 0 k k k=1 k = 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 721 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 723
e Ví d ụ 2: Vật ph ẳng đồ ng ch ất có kh ối l ượng M, kh ối tâm C tr ượt t ự do c. Dạng bi ến thiên: Q− Q = S 1− 2 10.12 2 1 không v ận t ốc đầ u trên m ặt nghiêng không ma sát. Hãy vi ết công th ức * Ch ứng minh: dạng đạ o hàm? t t e2 2 e e e N ⇒ ⇒ ⇒ Ta có: dQ= ∑ Fdtk∫ dQ= ∫ ∑ Fdt k Qt()2− Qt () 1 = S12− Q2− Q 1 = S 12 − t1 t 1 C C a C v α α α C Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: P+ N = Ma C P Từ công th ức trên, ta tính đượ c ph ản l ực pháp và tìm đượ c ph ươ ng trình v ận t ốc, ph ươ ng trình chuy ển độ ng. i NP−.cosα = 0⇒ NP= .cos α vt()= g .sinα . tv +  C 0 i ⇒ ⇒ P.sinα= MaC ag C = .sin α  1 2 stC ()= ( g .sinα ) tvts +0 + 0  2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 724 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 726 Ví dụ 1: Đĩ a tròn mảnh đồ ng ch ất, kh ối lượng M, kh ối tâm C. Đĩ a lăn tự Ví d ụ 3: Thanh th ẳng m ảnh đồ ng ch ất, kh ối l ượng M, kh ối tâm C quay do không tr ượ t trên mặt ph ẳng nghiêng nhanh dần đề u theo chi ều hướ ng tự do quanh đầ u thanh. Hãy vi ết công th ức d ạng đạ o hàm? xu ống. Hãy vi ết công th ức dạng đạ o hàm? Y A F ms N A A X A C C aC ϕ ϕ C n C aC α α α τ P B aC B Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: P+ N + Fms = Ma C P Từ công th ức trên, tính đượ c l ực ma sát và ph ản l ực pháp τ n Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: PX+A += Y A Ma(C + a C ) i P.sinα− FMa = ⇒ FP= .sin α − Ma ms C ms C Từ công th ức trên, ta tính đượ c ph ản l ực liên k ết t ại A t ừ 2 ph ươ ng trình i NP−.cosα = 0⇒ NP= .cos α chi ếu khi bi ết gia t ốc t ại C. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 725 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 727
Ví d ụ 4: Vật ph ẳng đồ ng ch ất có kh ối l ượng M, kh ối tâm C tr ượt t ự do Nhìn l ại đị nh lý độ ng l ượ ng n không v ận t ốc đầ u trên m ặt nghiêng không ma sát. Hãy vi ết công th ức d Q e dạng bi ến thiên, th ời điểm đầ u lúc v ật b ắt đầ u chuy ển độ ng, th ời điểm 1. T ừ công th ức d ạng đạ o hàm: = ∑ F k dt k =1 cu ối là th ời điểm t t ổng quát. - Đây là ph ươ ng trình véc t ơ t ổng quát. t = 0 - Trong h ệ tr ục Oxyz, có th ể tri ển khai thành 3 ph ươ ng trình chi ếu N 0 - Khi véc t ơ độ ng l ượ ng đã bi ết thì dùng ph ươ ng trình trên tìm ngo ại C C t lực – xác đị nh đượ c nhi ều nh ất 3 ẩn s ố. v (0) C -Nếu bi ết t ất c ả ngo ại l ực thì dùng ph ươ ng trình trên đị nh véc t ơ độ ng lượ ng. T ừ đó, tìm các đặ c tr ưng chuy ển độ ng. n N( t ) 2. Đố i v ới h ệ t ĩnh, cân b ằng thì:  e ∑ X k = 0 Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: P C  k =1 aC ( t ) n n t e  e Q= 0⇒ Fk = 0 ⇔ Y = 0 Mvt()− v(0)  = Nt () + Pdt  ∑ ∑ k C C  ∫   vC ( t ) k=1 k = 1 0  n t P  Z e = 0 ⇒ Mvt Nt Pdt  ∑ k C ()=∫  () +   k =1 0 Đây là ph ươ ng trình cân b ằng l ực theo 3 ph ươ ng trong bài toán t ĩnh GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 728 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 730 Ví d ụ 5: Vật đồ ng ch ất có kh ối l ượng M, kh ối tâm C r ơi t ự do không vận t ốc đầ u, không ch ịu c ản. Vi ết công th ức d ạng bi ến thiên, th ời điểm đầ u lúc v ật b ắt đầ u chuy ển độ ng, th ời điểm cu ối là th ời điểm t 2. C t=0, v (0) = 0, s (0) = 0 Theo đị nh lý Độ ng l ượ ng: s( t ) t2 Mv(2)( t ) − v (0)  = Pdt tvt, (), st () C C  ∫ C S 0 v( t ) (2) C ⇒ M. vC = Pt 2 (2) (2) ⇒ Mv. C= Mgt2⇒ v C = gt 2 t, v BÀI TẬP CH ƯƠ NG 10 SINH VIÊN C ẦN GI ẢI QUY ẾT P 2 2 Nếu t 2=t thì: g Các d ạng bài toán áp d ụng các đị nh lý t ổng quát vt()= gt⇒ st () = t2 + s C 2 0 - Bài toán th ứ nh ất: Dùng đị nh lý b ảo toàn độ ng l ượ ng để tìm chuy ển d ịch m ột vài b ộ ph ận trong h ệ. ⇒ g s(0)0= →s 0 = 0 s( t ) = t 2 - Bài toán th ứ hai: Dùng đị nh lý b ảo toàn độ ng l ượ ng để xác đị nh ph ản l ực liên k ết 2 trong h ệ. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 729 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 731
Bài t ập 10.1 Xác đị nh véc tơ độ ng lượ ng của hệ sau, các thanh là mảnh đồ ng ch ất, y y bánh xe đồ ng ch ất với kh ối tâm là B. ω 0 O A Q3 = m3. v C H 3 x H x 0 45 45 0 Q 1 Q Q= m. v 2 2 C2 0 Thanh OA: OA= a = 2,, rm ω 3r Q1 = m1. v C 1 0 1 45 Q Q 2 3 Thanh AB: AB= l , m 2 n Banïh xe: R, r , m 3 a BBA Bánh xe l ăn không tr ượ t r R Cho: m3=2 m 2 = 4 m 1 = 4 m I GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 732 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 734 Bài gi ải: Độ ng lượ ng của hệ là: Q= mv. + mv . + mv . (1) 1C1 2 C 2 3 C 3 ω aω 0 Trong đó: v=0 = r ω ,v= v.cos450 = r ω 2 C1 0 C2 A 0 O C1 A P 2 0 45 ω vC= v B = 2 r ω0 , vA = aω0 = 2 r ω 0 AB 3 v C1 Chi ếu véc tơ độ ng lượ ng Q lên các tr ục của hệ tr ục tọa độ (x,y), ta có: vA 3r 0 vC 2 Qmvx=2. C .cos45 + mv 3 . C = 10 mr ω 0 C2 2 3 Q=− mvmv. − . .cos450 =− 3 mr ω n y1 C1 2 C 2 0 aBA B≡ C 3 2 2 v= v Độ lớn độ ng lượ ng của hệ: Q= QQx + y = 109. mr ω0 r B C 3 R Véc tơ độ ng lượ ng là một véc tơ tự do , ph ươ ng đượ c xác đị nh nh ư sau: cosα= 10mr ω / 109. mr ω = 10/ 109 I x 0 0 Véc tơ độ ng lượ ng của hệ là một véc tơ tự do : Q= Q1 + Q 2 + Q 3 cosαy =− 3mr ω0 /109. mr ω 0 =− 3/109 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 733 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 735
Bài t ập 10.1* * Các thành ph ần v ận t ốc c ủa các kh ối tâm: Cho cơ cấu nh ư hình vẽ. Hai thanh OA, AB là các thanh mảnh có cùng kh ối ượ m a đượ ư đĩ ả r = a/2  a  a l ng , OA = AB = . Bánh xe c xem nh a m nh có bán kính , yɺ = − ω.sin ϕ yɺ = − 3ω .sin ϕ  C1  C2 ɺ kh ối lượ ng 2m, lăn không tr ượ t. Hệ chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng (Oyz) th ẳng  2  2  yB = − ω2 a .sin ϕ π π C1 :  C2 :  B :  đứ ng. Ph ươ ng trình quay của OA: ϕ = cos( t ) . Khi t = 2 (s): a a zɺ = 0 3 6 zɺ = ω.cos ϕ zɺ = ω.cos ϕ B  C1  C2 1. Tính vận tốc kh ối tâm của: thanh OA, thanh AB, bánh xe theo ω0, (ω0 = ωOA ).  2  2 2. Tính độ ng lượ ng của hệ theo ω0, (ω0 = ωOA ). z A * Các giá tr ị thành ph ần v ận t ốc c ủa các kh ối tâm khi t = 2(s): Với ω = ω thì: OA t=2( s ) 0  ϕ ɺ 1  ɺ 3 yC = − a ω0 y= − a ω B  1  C2 0  yɺ = − a ω O y  4  4 B 0 r C1 :  C2 :  B :  3 zɺ = 0  ɺ  ɺ 3  B zC = a ω0 z= a ω  1 4  C2 4 0 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 736 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 738 * V ận t ốc góc c ủa thanh OA khi t = 2(s) * Độ ng l ượ ng c ủa h ệ khi t = 2(s): 2 2 ɺ ɺ ɺ π π3 π Qy= my OAC. + my ABC . + my bxB . ɺ 1 2 ωOA = ϕ =−sin(t ) =− (rad/s) = 0 của bánh xe  y 40 4 0 0  ⇒  ⇒  3 3 3 * T ọa độ c ủa các kh ối tâm:  Qz = ma ω0 < 0 Qz = maω0 + ma ω 0 + 2 m .0  2  4 4  a  a y = .cos ϕ y = 3 .cos ϕ  C1  C2  2  2  yB = 2 a .cos ϕ C :  C :  B :  1 a 2 a z = 0 z = .sin ϕ z = .sin ϕ  B  C1 2  C2 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 737 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 739
* Các giá tr ị thành ph ần v ận t ốc c ủa các kh ối tâm khi t = 2(s): Hướ ng dẫn: Qy = − 3 m . a ω0 2 2 39   ⇒ v1 → Q OA ⇒  Q= QQy + z = ma ω0 3 2 ωOA →  Qz = ma ω0 v→ v → Q  2 A B B * Xác đị nh chi ều véc t ơ Q: O A z P 0 45 Q ω OA v α 1 vA vB y R α = 160 6'7,61'' GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 740 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 742 Bài t ập 10.2 Bài t ập 10.3 Xác đị nh véc tơ độ ng lượ ng của hệ sau, các thanh và đĩ a là nh ững vật Xác đị nh véc tơ độ ng lượ ng của hệ sau, các thanh là mảnh đồ ng ch ất: mảnh đồ ng ch ất: O ωOA A 60 0 60 0 45 0 B A ω= ω OA 0 B OA= a Thanh OA ωOA = ω 0 Kh ối l ượ ng m OA= a R Thanh OA AB= 2 a O ωOA Thanh AB Kh ối l ượ ng m Không kh ối l ượ ng AB= 2 a Thanh AB Đĩ a tròn Bán kính R = a Không kh ối l ượ ng Kh ối l ượ ng m Con tr ượ t B có kh ối l ượ ng m GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 741 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 743
Hướ ng dẫn: * Phân tích ngo ại lực tác dụng lên vật: v→ Q N 1 OA ωOA →  v v→ v → Q C  A B B F ms n aC Qu ỹ đạ o của C vB τ α 0 0 P 60 A 60 B + Tr ọng lượ ng P có chi ều và độ lớn đã bi ết. v A + Ph ản l ực N có chi ều nh ư hình và độ l ớn đượ c xác đị nh nh ư sau: • Đị nh lý chuy ển độ ng kh ối tâm C v1 P PNF++ms = Ma.C = ( aaτ + n ) (*) O ωOA g • Chi ếu (*) lên ph ươ ng n: N= P.cosα (Do a n = 0) + Lực ma sát F ms có chi ều nh ư hình vẽ và độ lớn Fms = Nf = Pf .cos α GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 744 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 746 Bài t ập 10.4 * Áp dụng đị nh lý độ ng lượ ng dạng bi ến thiên: Vật nặng tr ọng lượ ng P tr ượ t trên mặt nghiêng có hệ số ma sát tr ượ t là f, t2 P P t 2 ⇒ QQ2− 1 =∫() PNFdt ++ ms v2− v 1 = ∫ () PNFdt ++ ms vận tốc ban đầ u là v0. Sau kho ảng th ời gian bao lâu thì vật có vận tốc t g g t 2v . 1 1 0 P= const v  Khi vật chuy ển độ ng: N= const⇒ P+ N + Fms = const α  Fms = const Bài gi ải: P P * Gọi mốc th ời gian là t1 khi vật có vận tốc v1= v0, là t2 khi vật có vận Do đó: v21− v =++( PNFms )( tt 21 − ) tốc v2= 2v0. g g P P ⇒ v− v =++( PNFms ) ∆ t ( ) C g2 g 1 v1 C Qu ỹ đạ o của C Chi ếu ( ) lên ph ươ ng chuy ển độ ng, ta có: t1 C P P v0 v .2v0− . vP 0 = (.sinα −∆ Fttms ). ⇒ ∆ = α 2 gg gf(sinα− .cos α ) t2 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 745 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 747
Có th ể gi ải bài toán b ằng ph ươ ng trình chuy ển độ ng C 1 Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của kh ối tâm C theo ph ươ ng tr ượ t u x P1 N 2 (P .sinα− f . P .cos α ) v ? dvt( ) = dt N 1 m C 2 (P .sinα− f . P .cos α ) ⇒ vt( ) = tA + P 2 m Điều ki ện ban đầ u: v(0) = v0⇒ Av= 0 Ngo ại l ực tác d ụng lên h ệ (g ồm 2 vật): P1, P 2 , N1 , N 2 (P .sinα− f . P .cos α ) Vận tốc tại th ời điểm t là: vt( ) = tv + Tại th ời điểm t m 0 Th ời điểm vật có vận tốc 2v : Gi ả s ử lăng tr ụ chuy ển độ ng sang ph ải, v ận t ốc tuy ệt đố i của v ật (1): 0 Ut()= ut () + vt () (P .sinα− f . P .cos α ) v 2v= tvt + ⇒ = 0 0 m0 g(sinα− f .cos α ) P P Véc t ơ độ ng lượ ng của h ệ: Qt()=1 Ut () + 2 vt () v g g Kho ảng th ời gian cần tìm: ∆t = t = 0 g(sinα− f .cos α ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 748 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 750 Bài t ập 10.5 Áp d ụng đị nh lý độ ng lượ ng Cho cơ hệ gồm vật (1) có tr ọng lượ ng P1 đặ t trên mặt nghiêng của lăng P1 P 2 tr ụ có tr ọng lượ ng là P . Góc nghiêng của mặt lăng tr ụ với mặt ngang là at()+ atPPNN () =+++1 2 1 2 (*) 2 C1 C 2 α. Lăng tr ụ đặ t trên đượ c đặ t trên 2 con lăn song song nhau và đặ t trên g g mặt ngang nh ẵn tr ơn. Ban đầ u vật (1) nằm yên tươ ng đố i trên mặt tr ụ Chi ếu ph ươ ng trình véc t ơ (*) lên tr ục x còn lăng tr ụ thì tr ượ t sang ph ải với vận tốc v0. Sau đó cho vật 1 tr ượ t PP12C1 C 2 PP 12 CC 12 xuôi xu ống theo mặt nghiêng với vận tốc tươ ng đố i u = a.t. Tìm vận tốc atx()+ at x ()0 = ⇒ vt xx ()+ vtconst () = gg gg của lăng tr ụ tại th ời điểm t. P P P P ⇒ 1UtC1()+ 2 vt C 2 () = 1 U C 1 (0) + 2 v C 2 (0) gx g x g x g x P P PP Với điều ki ện ban đầ u, ta có: 1UtC1()+ 2 vt C 2 () = 12 v + v u gx g x gg0 0 v0 P P PP ⇒ 1C1 2 12 Utx ()+ vt () = v0 + v 0 v ? g g gg GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 749 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 751
P1 PPP 212 Bài gi ải: []vtut()+ ().cosα + vt () =+ v0 v 0 g ggg ω t 1. Quy lu ật chuy ển độ ng của ph ần vỏ. x0C x 0 ⇒ ⇒ Pvt1[ ()+ ut ().cosα ] + Pvt 2 () =+ Pv 1020 Pv ∑ X= 0 vCx = const m ω0 B ⇒ ()()P12+ Pvt() =+ P 120 Pv − utP ().cos 1 α Gi ả sử lúc đầ u đứ ng yên: A P P P1 1 1 P 2 ⇒ vtv()=−0 ut ().cosα =− va0 .cos α t v0xC= 0 ⇒ x 0 C = const ()PP1+ 2 PP1 + 2 Xét tại th ời điểm t Nếu v > 0 thì l ăng tr ụ chuy ển độ ng sang ph ải N m1 Nếu v < 0 thì l ăng tr ụ chuy ển độ ng sang trái xA = x xB = xa + .sin ω0 t Pxx2(+oC ) + Pxx 1 ( + oC + a .sin)ω 0 t xC = P1+ P 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 752 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 754 Bài t ập 10.6 Do tổng ngo ại lực theo ph ươ ng x bằng 0 nên hoành độ kh ối tâm không Tr ọng tâm ph ần quay của độ ng cơ điện đặ t lệch tâm so với tr ục quay A đổ i. Vì vậy: Pxx(+ ) + Pxx ( + + a .sin)ω t một đoạn AB = a. Tr ọng lượ ng của ph ần quay là P1, tr ọng lượ ng của vỏ x =2oC 1 oC 0 = x độ ng cơ (ph ần không quay) là P . Tìm quy lu ật chuy ển độ ng của ph ần C P+ P oC 2 1 2 ω t vỏ độ ng cơ trên sàn nằm ngang. Cho bi ết vận tốc góc của ph ần quay ⇒ PxPxa+( + .sinω t ) = 0 0 không đổ i. Nếu ta cố đị nh vỏ độ ng cơ trên sàn bằng bulông D thì lực cắt 2 1 0 Pasin ω t m lên bulông đượ c xác đị nh nh ư th ế nào. Coi ma sát gi ữa nền và độ ng cơ ⇒ x = − 1 0 ω0 B không đáng kể. P1+ P 2 A 2. Khi cố đị nh độ ng cơ trên sàn P1 P 2 m m bằng bu lông D. ω0 B ω0 B Pa.sinω t ) A A 1 0 D xC = N P1 P1 P+ P P 2 P 2 1 2 m1 R xD 2 d x C M2 = R xD N N D dt x ω2Pa.sin ω t ) ω 2 Pa .sin ω t ) m1 m1 01 0 01 0 RxD =− M . =− P1+ P 2 g GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 753 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 755
1. Mômen độ ng l ượ ng a. Ch ất điểm đố i với điểm O b. Ch ất điểm đố i với tr ục ∆∆∆ ∆ mv / / ∆ K O K ∆ mv v mv 1 d v d2 m mv §2. Đị nh lý mômen độ ng l ượ ng r 2 K m O O O r Trong ph ần này s ẽ kh ảo sát m ối quan h ệ gi ữa mômen mv 1 / / ∆ độ ng l ượ ng c ủa h ệ với mômen chính c ủa ngo ại lực. + Véc t ơ: KO = mmv() = r ∧ () mv + Phân tích: mv= mv + mv O 1 2 mv ⊥ ∆ 10.13 2 - Điểm đặ t t ại O + Mômen độ ng l ượ ng 10.14 - Vuông góc v ới mp (O , mv ) - Độ l ớn: K∆ ( mv )= mv2 . d 2 - Th ứ t ự r , mv , K O theo chi ều tam di ện thu ận - Chi ều quay: cùng chi ều quay - Độ l ớn KO = mvd của mv 2 đố i v ới ∆. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 756 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 758 Đị nh lý: Khi O thu ộc ∆, thì K= K.cosϕ = mvd .cos ϕ 10.15 ∆ F n Một vài k ết qu ả t ừ đị nh lý ∆ O F 3 1 F ∆ K ∆ e id K O d = M O K O n dt mv k v d1 k v e I d mk v k d K ∆ d m 3 mk i = M ∆ ϕ r dt K k ∆ r O KO O ∈( ∆ ) O d2 F 2 Véc t ơ mômen độ ng l ượ ng t ại O c ủa h ệ: K( mv ) Cách xác đị nh chi ều quay c ủa ∆ sau khi bi ết hình chi ếu: Nội dung đị nh lý này đượ c KO = rmv ∧ ∑()k k k làm rõ chi ti ết trong ph ần k Nhìn theo m ột chi ều c ủa tr ục ∆, nếu chi ều t ừ O đế n I mà: Véc t ơ mômen chính t ại O c ủa h ệ ngo ại ti ếp sau. - hướng vào m ắt thì theo h ướng nhìn c ủa m ắt, mômen c ủa tr ục xoay ng ược chi ều quay kim đồ ng h ồ đố i v ới tr ục. lực: e - hướng ra xa m ắt thì theo h ướng nhìn c ủa m ắt, mômen c ủa tr ục xoay theo chi ều MO=∑( di ∧ F i ) quay kim đồ ng h ồ đố i v ới tr ục. i GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 757 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 759
Ch ứng minh: + Mômen độ ng l ượng đạ i s ố đố i v ới tr ục ∆ Phân tích: mv= mv + mv Giá tr ị đạ i số của mômen 1 2 K∆ = + mv. d 2 2 độ ng lượng đố i với tr ục theo Ta có: KO( mv )= K O ( mv ) + K O ( mv ) (*) 1 2 một hướng nhìn đượ c quy ∆ Chi ếu (*) lên tr ục ∆: mv / / ∆ ướ c nh ư sau: mp (β ) K( mv ) K( mv ).cosϕ = mv d = K ( mv ) ∆ O 2 2 ∆ mv Nhìn theo một chi ều tr ục, nếu mv ∆ d2 1 mômen độ ng lượng quay mv v ()∆ ⊥ mp ()α mv O 2 ng ượ c chi ều quay của kim 1 m mp()α⊥ mp () β v r đồ ng hồ thì mômen độ ng {}O=() ∆ ∩ mp ()α d mv lượng đạ i số là dươ ng, nếu v∈ mp (β ) KO ( mv 2 ) 2 2 v1 v= v + v v mômen độ ng lượng quay 1 2 ϕ KO ( mv ) 2 m v⊥ mp (α ) thu ận chi ều quay của kim 1 r K∆ = − mv2. d 2 d,,, rvKO ( mv )∈ mp ()α đồ ng hồ thì mômen đạ i số là ()2 2 1 âm đố i với hướ ng nhìn đó. KO ( mv 2 ) O mp (α ) KO ( mv 1 ) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 760 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 762 * Mômen độ ng l ượng đạ i s ố: Giá tr ị đạ i số của mômen độ ng c. Hệ ch ất điểm đố i với điểm O n + Mômen độ ng l ượng đạ i s ố đố i lượng theo một hướng nhìn đượ c KO = ∑ mmvO( k k ) 10.16 với điểm O quy ướ c nh ư sau: k=1 Nhìn một chi ều nào đó theo ph ươ ng KO = + mv. d véc tơ mômen độ ng lượng, nếu m1 v 1 K O mômen độ ng lượng quay ng ượ c chi ều m 1 m2 v 2 K O quay của kim đồ ng hồ (véc tơ mômen v1 độ ng lượng hướ ng vào mắt nhìn) thì d r m2 mv 1 v2 mômen độ ng lượng đạ i số là dươ ng, r O v KO 2 r m nếu mômen độ ng lượng quay thu ận K chi ều quay của kim đồ ng hồ (véc tơ O O rn m mômen độ ng lượng hướ ng ra xa mắt n mp (α ) m v nhìn) thì mômen độ ng lượng đạ i số là n n vn âm đố i với hướ ng nhìn đó. KO ⊥ mp (α ) KO = − mv. d Nếu các véc tơ độ ng lượ ng đồ ng ph ẳng thì xác đị nh véc tơ mômen độ ng lượ ng từ mômen độ ng lượ ng đạ i số. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 761 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 763
Ví dụ: Cho 2 ch ất điểm chuy ển độ ng trong cùng mặt ph ẳng, xác đị nh Ví dụ: Cho các ch ất điểm nằm ở các đỉ nh của hình lập ph ương cạnh a có mômen độ ng lượ ng đố i với O của hai ch ất điểm đó. kh ối lượng bằng nhau và bằng m. Vận tốc các ch ất điểm có chi ều và có Bi ết m1= 2m2 = 2m, v1=3v2=3v, d1 = 2d2= 2d. độ lớn nh ư hình vẽ. Xác đị nh mômen độ ng lượ ng của các ch ất điểm đố i với tr ục ∆. d K∆ = −4 mva + 3 mva v d 1 2 2 = −mva 0 5mv 5v K= mva m ∆ m K O 1 1 m v 2 2 d 3 2 v 1 m1 v 1 3mv v d2 4v 4mv 2 O v r1 1 m1 m3 m m3 2 3mv KO =11 mvd m2 m2 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 764 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 766 d. Hệ ch ất điểm đố i với tr ục ∆∆∆ Mômen độ ng l ượ ng trong h ệ tr ục t ọa độ c ố đị nh Oxyz n Xét h ệ ch ất điểm chuy ển độ ng trong h ệ quy chi ếu c ố đị nh Oxyz. K∆= ∑ Kmv ∆ (k k ) 10.17 k =1 z Các bướ c xác đị nh: - Xác đị nh mômen đạ i số độ ng lượ ng theo một hướ ng nhìn z - Suy ra chi ều quay của mômen độ ng lượ ng theo hướ ng nhìn đó k - Độ lớn mômen độ ng lượ ng cần tìm bằng tr ị tuy ệt đố i mômen đạ i số. mk rk k j y O k y i xk x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 765 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 767
* Mômen độ ng lượ ng đố i với gốc tọa độ O + Khi v ật quay quanh tr ục c ố đị nh z i j k z n n i ɺ ɺɺ zk= const⇒ z k= 0⇒ z k = 0 KO =∑( rmvk ∧ kk )(. = ∑ mxyz kkkk ) k=1 k = 1 xɺy ɺ zɺ ix= d .cos ϕ z k k k k k k d ɺ k ⇒ xk= − d k .sinϕ . ω nyz n xz n xy ε =im.(.kk ).(. − jm kk ).(. + km kk ) y m ∑k ∑ k ∑ k ⇒ ɺ k k yzɺɺ xz ɺ ɺ xy ɺɺ xk=− d k. . ω =− y k ω k=1kk k = 1 kk k = 1 kk d k ω r ⇒ ɺɺ ɺ k n n n xk= − y kω − y k ε =i. myzɺ −+ zyɺ j . mzx ɺ −+ xz ɺ k . mxy ɺɺ − yx k ∑kkkkk[][][] ∑ kkkkk ∑ kkk kk y k=1 k = 1 k = 1 i y d j yk k= k .sin ϕ O i ⇒ yk= d k .cosϕ . ω dk x ϕ x k ɺ k ⇒ yk= d k. . ω = x k ω dk ɺɺ ɺ ⇒ yk= x kω + x k ε x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 768 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 770 * Mômen độ ng lượ ng đố i với các tr ục tọa độ • Đố i với tr ục x: n n • Đố i với tr ục x: ɺ Kx=−∑ mzy kkk. =− ∑ mzx kkk .ω =− ω . J xz n ɺ ɺ k=1 k = 1 Kx=∑ myz kkk[] − zy kk k =1 • Đố i với tr ục y: n n ɺ • Đố i với tr ục y: Ky=∑ mzx kkk =−ω ∑ mzy kkk =− ω . J yz k=1 k = 1 n ɺ ɺ Ky=∑ mzx kkk[] − xz kk k=1 • Đố i với tr ục z: n n ɺ ɺ • Đố i với tr ục z: Kz=∑ mxyyx kkkkk[][] −= ∑ mxx kkk.ω + yy kk . ω n k=1 k = 1 K= mxyɺ − yx ɺ n z∑ kkk[] kk 2 k =1 =ω∑ mk d k = ω . J z k =1 • Đố i với gốc O: KO=−ω Ji xz − ω Jj yz + ω Jk z GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 769 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 771
+ Khi v ật chuy ển độ ng t ịnh ti ến Ch ứng minh: xɺ = v  k x ɺ KO =( rmv ∧ )( = mrv ∧ )  yk= v y , ∀ k ∑k kk ∑ kkk  zɺ = v ɺ ɺ  k z + Do chuy ển độ ng tịnh ti ến, nên: r= r k C • Đố i với tr ục x: ɺ + Vì vậy: KO =(∑ mrk k ) ∧ r C n K= myzɺ −= zyɺ vMy − vMz = Mvy (. − vz .) x∑ kkkkk[] z Cy C zCyC + Mặt khác: ∑mk r k= Mr C k =1 ɺ ɺ + Cu ối cùng ta đượ c: KO = Mr ∧=∧ r r Mr = mMv( ) • Đố i với tr ục y: CCC C O C n K= mzxɺ −= xzɺ vMz − vMx = Mvz (. − vx .) K∆= hc ∆ KO = K O .cos α y∑ kkkkk[] x Cz C xCzC k=1 K∆'= hc ∆ ' KO = K O • Đố i với tr ục z: n ɺ ɺ Kz=∑ mxy kkkkk[] −= yx vMx y Cx − vMy C = Mvx (. yCxC − vy .) k =1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 772 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 774 e. Mômen độ ng lượng của vật chuy ển độ ng tịnh ti ến đố i với điểm cố f. Mômen độ ng lượng của vật chuy ển độ ng quanh tr ục cố đị nh ∆∆∆ đị nh, tr ục cố đị nh. ∆ ' + Mômen độ ng lượng đố i với tr ục quay ∆: ∆ K ∆ ' K ∆ K∆ = J ∆ .ω 10.19 K ∆ K O α K ∆ dC K Mv C O r vC O C Ch ứng minh: C 2 2 K∆ =( mrω ) = ω mrJ = ω (∆ ) ∑kk ∑ kk ∆ KO =∧( rC Mv C ) = mMv OC () →= K O Mvd CC ω K∆ = K O .cos α 10.18 Chuy ển độ ng t ịnh ti ến K∆ ' = K O GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 773 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 775
Tr ườ ng hợp vật ph ẳng – quay quanh O cố đị nh trong mặt ph ẳng Ch ứng minh tổng quát nh ư sau : Z z ch ứa vật Xét vật quay quanh tr ục cố đị nh K là z. Gán các hệ tr ục cố đị nh nh ư z KO = J O .ω K Z ∆ hình vẽ Nếu tr ục ∆ đi qua O vuông góc với mặt quay K= K ∆ O  X= ax + Xɺ = xɺ Ta có: k k⇒ kk K∆ = J.ω = J . ω   ∆ O Y b y ɺ ɺ  k= + k Yk= y k K O O ω a Y k ω O j b y i ϕ X x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 776 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 778 * Khi tr ục quay cố đị nh là tr ục trung tâm • Đố i với tr ục Z song song với tr ục z: ∆(//Cz ) n n + Mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục quay ɺ ɺ  ɺ ɺ KZ=∑ mXYYX kkkkk −=  ∑ mxay kk[]( +−+ )( kk ybx ) k k=1 k = 1 KCz n =∑ mxkk[]( + ax ).( kω ++ y k by ). k ω KCz = J .ω 10.20a Cz K∆ = K Cz k=1 n 2 2  + Mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục cố =ω∑ mkkk( x +++ y )( ax kk yb )  k =1 đị nh ∆ song song với tr ục quay. C n n n 2 2  =ω∑mxykkk( ++ )  ω amx ∑ kk + ω bmy ∑ kk k=1 k = 1 k = 1 K∆ = J Cz .ω 10.20b =ωJz + ω aMx. C + ω bMy . C z ω GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 777 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 779
Tr ườ ng hợp tr ục z là tr ục trung tâm thì: Tr ườ ng h ợp ∆ là tr ục v ận t ốc t ức th ời, thì Mv C và ω sp ∆ quay quanh ∆ theo cùng m ột chi ều, do đó: xC = 0 Z z  →KZ = J zω = K z K∆ = ±( MvdCC + J Cz .ω sp ) 10.22a z  yC = 0 Ho ặc Xây dựng công th ức với chi ều tr ục Z ωsp 10.22b cùng chi ều với chi ều tr ục z nên: K∆ = ± J ∆ .ωsp C KZ= K z Ch ứng minh: C vC dc rC K∆ = ±( MvdCC + J Cz .ω sp ) O Mv = ±( Mωsp OCOC + J Czsp .) ω C ω 2 b Y =±(.MOC + JCz )ω sp =± J ∆ . ω sp k K ∆ O j a y i ϕ Mặt quy chi ếu X cố đị nh ( π ) x 0 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 780 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 782 g. Mômen độ ng lượng của vật rắn chuy ển độ ng song ph ẳng đố i với * Vật ph ẳng chuy ển độ ng song ph ẳng trong mặt ph ẳng ch ứa nó: tr ục cố đị nh ∆∆∆ bất kỳ vuông góc với mặt ph ẳng quy chi ếu: z ∆ * Vật hình kh ối chuy ển độ ng song ph ẳng: K∆ = mMv∆ (C ) + J Cz . ω sp z ∆ Tr ục ∆ bất k ỳ vuông góc v ới mp quy Mv d = ±MvdCC ± J Cz . ω sp C C MvC d C chi ếu KO = mMvO( C ) + J Csp . ω K∆ = mMv( ) + J . ω ∆ C Cz sp Mv Mv C C d = ±Mvd ± J . ω vC c CC C sp v C C (J= J ) = ±MvdCC ± J Cz.ω sp C dC C Cz 10.21 O O Với: C là kh ối tâm, Cz// ∆∆∆ ω ΟΟΟ thu ộc mp chuy ển độ ng sp J .ω ωsp Cz sp J Cz.ω sp Cùng hướ ng nhìn xét giá tr ị đạ i số thì K∆ = K O Mặt quy chi ếu Mặt quy chi ếu cố đị nh ( π0) cố đị nh ( π0) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 781 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 783
+ Tr ườ ng hợp Ο là tâm vận tốc tức th ời thì ∆ là tr ục vận tốc tức th ời: Ví dụ tính giá tr ị đạ i số KO = ±( MvdCC + J C .ω sp ) z ∆ J C.ω sp KO = − Mvd. . − J ω M. v . f C C Csp I C C Ho ặc KO = ± J O.ω sp KI = + Mvf.C . C − J Cω sp K∆ = ±( MvdCC + J Cz .ω sp ) K= K ∆ O fC Ho ặc K∆ = ± J ∆ .ωsp KH = − J ω H C sp 90 0 d= OC M C vC C J .ω  Mv C dC C sp Với: JC= J Cz 0 O KO 90 C J= J  O ∆ ω dC sp Mv C Cùng hướ ng nhìn xét giá tr ị đạ i số thì K∆ = K O ωsp O Mặt quy chi ếu M. vC . d C J C.ω sp cố đị nh ( π0) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 784 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 786 2. L ực tác d ụng Ch ứng minh: k + Mômen chính của ngo ại lực: KO =∑ ( rmvk ∧ k k ) m k vk M   90 0 =∑ (rC ++∧ CP d k ) mv kk ) n   e e 10.23 C - Tổng quát: MO= ∑ mO ( F k ) =∑ (rCkk ∧+ mv ) ∑ ( CPmv ∧+ kk ) ∑ ( d kkk ∧ mv ) dk v C k =1 rk 90 0 =∧rC∑ mvCP kk +∧ ∑ mv kk + ∑ ( d kkk ∧ mv ) Mv C r n C e e =∧r Mv +∧ CP Mv + J . ω 10.24 C C CPsp - Tr ườ ng hợp hệ ph ẳng: MO= ∑ mO ( F k ) ω k =1 =mMvOC ( ) +∧ CP MPC ω spPsp + J . ω sp O n 2 e e =mMvO ( C ) − PCM ω sp + J Psp . ω P - Đố i với tr ục: M∆ = ∑ m∆ ( F k ) 10.25 2 k =1 =mOC ( Mv )( + J P − PCM .) ω sp =mO ( Mv C ) + J Cspω Tâm v ận t ốc t ức th ời KO = mMvO( C ) + J Cspω 2  Nếu O trùng P thì: KO== K P PCMPC.( )ωωsp += J Csp MPCJ . +== C  ωωω sp J Psp J Osp GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 785 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 787
3. Các đị nh lý v ề mômen độ ng l ượ ng 4. Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng quay c ủa v ật a. Dạng đạ o hàm: * Ph ươ ng trình vi phân của chuy ển độ ng vật rắn quay quanh tâm cố đị nh O – bài toán ph ẳng d K O e = M O ( d ạng t ổng quát – đố i v ới điểm O 10.26 ɺɺ e e J M O hay J M O 10.32a dt trong bài toán không gian) O .ϕ = O .ε = d K O e + Công th ức trên còn dùng cho vật ph ẳng chuy ển độ ng song = M O ( đố i v ới điểm O trong bài toán ph ẳng) 10.27 dt ph ẳng trong mặt ph ẳng ch ứa vật, với tâm vận tốc tức th ời là O. d K ∆ e 10.28 = M ∆ ( đố i v ới tr ục) * Ph ươ ng trình vi phân của chuy ển độ ng rắn quay quanh tr ục cố dt đị nh ∆: * Ch ứng minh: ɺɺ e e 10.32b J.ϕ = M ∆ hay J.ε = M ∆ ∆ ∆ Ta có: d KO d drk  d d  =()∑ ()()rmvkkk ∧=∧+∧ ∑ mv kk ∑ r k() mv kk =∧+∧ ∑∑ () vmv kkk  rmv kkk()  dtdt dt dt  dt  d  e i e e e =+0 ∑rmvkkk ∧()  =∧+∧=∧+= ∑∑∑ rF kk rF kk rF kk0 ∑ mFM Ok = O + Công th ức trên còn dùng cho vật chuy ển độ ng song ph ẳng với dt  ()()()() tr ục vận tốc tức th ời là ∆. d K ∆ e Chi ếu ph ươ ng trình trên lên tr ục ∆: = M ∆ dt GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 788 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 790 b. Dạng bảo toàn: Từ ph ương trình vi phân, ta có th ể xây dựng đượ c ph ươ ng trình vận e tốc góc, ph ươ ng trình chuy ển độ ng quay nh ờ bi ết điều ki ện biên của + Nếu MO=0 ⇔ K O = const 10.29 bài toán. Điều ki ện biên thông th ườ ng là bi ết vận tốc đầ u và góc quay e ban đầ u khi t = 0. + Nếu MO=0 ⇔ K O = const 10.30 e + Nếu M∆=0 ⇔ K ∆ = const 10.31 Ta có: ωɺ ()t= ε () t ⇒ ω()t=∫ ε () tdt + ω 0 ⇒ ϕ()t=∫ ω () tdt + ϕ 0 Trong đó ω 0 , ϕ 0 : lần lượ t là vận tốc đầ u và góc quay đầ u khi t=0. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 789 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 791
Lưu ý: Tr ườ ng hợp đĩ a mảnh đồ ng ch ất và vành mảnh đồ ng ch ất lăn * Mở rộng cho tr ụ đặ c đồ ng ch ất và tr ụ rỗng mảnh đồ ng ch ất lăn không không tr ượ t. Đị nh lý Mômen độ ng lượ ng áp dụng cho kh ối tâm C và tr ượ t. tâm vận tốc tức th ời P có dạng chung. ωsp z z + Gi ả sử hệ ngo ại lực bất kỳ nào đó tác dụng lên vật làm cho vật lăn không tr ượ t. zP zP C vC C vC R R • Đố i với tr ục zPzP: ωsp ωsp d K z z e Kz z = J .ω e P P P P zzP P sp R R =MzPP z → J.ε = M zP z P P P dt zzP P sp • Đố i với tr ục zz : e e d K zz Kzz = J zz.ω sp =Mzz → J.ε = M zz dt zz sp GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 792 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 794 + Áp dụng đị nh lý Mômen độ ng lượ ng cho từng điểm C và P. Ví dụ 1: Vi ết đị nh lý Mômen độ ng lượ ng cho vật chuy ển độ ng tịnh ti ến. e • Đố i với điểm P: *Áp dụng đị nh lý Mômen độ ng lượ ng: F 4 e F n P e e e d K KP = J P.ω sp ⋅=KO ( rmv ∧ )( = mrv ∧ ) =MP → J.ε = M P ∑k kk ∑ kk F 3 dt P sp =∑ mrkk ∧= v Mr CCC ∧=∧ v r Mv C • Đố i với điểm C: e C F 1   sk ⋅=MO∑( rFk ∧= k ) ∑ ( rsF C +∧ k ) k e e   d K C KC = J C.ω sp rC =MC → JC.ε sp = M C e dt k =∧r Fk +( sF ∧ k ) F 2 C∑ ∑ k rk Dạng công th ức của đị nh lý Mômen độ ng lượ ng đố i với hai điểm C và O P là nh ư nhau. Đố i với nh ững điểm I khác, công th ức tổng quát không e i =∧r( Fk + F k ) + 0 có dạng tươ ng tự. Khi dùng đị nh lý đố i với điểm I này thì ph ải xu ất C ∑ ∑ K O e phát từ công th ức: = MO ⇒ v∧ Mv +∧ r Ma =∧ r R e e dt C CC CC =∧rC∑ FrRk =∧ C e d K I e ⇒ = M I rC∧ Ma C = r C ∧ R dt e ⇒ MaC = R Đị nh lý độ ng l ượ ng GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 793 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 795
Ví dụ 2: Cho vật rắn chuy ển độ ng quay quanh tr ục z của hệ tr ục tọa độ * Mômen độ ng lượ ng đố i với các tr ục tọa độ cố đị nh Oxyz với ph ương trình quay ϕ(t). Hãy tính: dK • Đố i với tr ục x: dK x y dK z z , , n dt dt dt ɺ Kx= − ∑ mzy kkk. k =1 zk dk • Đố i với tr ục y: n mk ɺ Ky= ∑ mzx kkk k=1 rk • Đố i với tr ục z: k y j yk O n dk ɺ ɺ i Kz=∑ mxy kkk[] − yx kk ϕ k =1 xk x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 796 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 798 Khi vật rắn quay quanh tr ục z cố đị nh, ta có: * Đạ o hàm theo th ời gian c ủa mômen độ ng l ượ ng đố i v ới các tr ục t ọa độ c ố đị nh iz= const⇒ zɺ= 0⇒ ɺɺz = 0 k k k z i • Đố i với tr ục x: xk= d k .cos ϕ n n n ɺ dK x ⇒ xk= − d k .sinϕ . ω zk mzyzyɺ ɺ ɺɺ mzy ɺɺ mzx ɺ x d =−∑kkkkk.( +=− ) ∑ kkk . =− ∑ kkk .(ω + k ε ) k dt k=1 k = 1 k = 1 yk ⇒ xɺ =− d. . ω =− y ω ε n k kd k 2 2 k mk =−∑ mzykk.( − kω += x k εω ). J yz − ε J xz ɺɺ ɺ k=1 ⇒ xk= − y kω − y k ε ω rk • Đố i với tr ục y: i y= d .sin ϕ k k k dK n n n j y y y ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ ⇒ y= d .cosϕ . ω k =∑mzxzxkkkkk() += ∑ mzx kkk =− ∑ mzy kkk ()ω + y k ε k k O dt x i d k=1 k = 1 k = 1 ⇒ ɺ k k n yk= d k. . ω = x k ω ϕ 2 2 xk dk =−∑ mzxkkk(ω + y k ε ) =− ω . J xz − ε J yz ɺɺ ɺ k=1 ⇒ yk= x kω + x k ε x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 797 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 799
• Đố i với tr ục z: Y O R ε Y O R ε dK n O O z ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ =∑ mxykkk[] +−− xy kk yx kk yx kk O O dt k =1 X X n n ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ T d =∑mxyyxkkkkk[][] −= ∑ mxx kkk(ωε +++ x k )( yy kk ωε y k ) k=1 k = 1 aB n 2 2  T d =∑ mxykkk( −++ωε x k )( yx kk ωε + y k )  F B F k =1 C1. Cách tách hệ a n mg B =m( − yxωε22 ++ x )( xy ω 22 + y ε )  ∑ k kk k kk k  * Đị nh lý Độ ng lượ ng cho vật B: B k =1 n n mg+ Td = ma⇒ T= mg + ma 2 2  2 B d B mg =∑mxykkk( += )ε  ∑ md kk ε = J z . ε k=1 k = 1 * Đị nh lý Mômen độ ng lượ ng đố i với ròng rọc: e 2 ∑ MO = JO.ε⇒ ( FTRM− d ). = ρ . ε GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 800 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 802 Ví dụ 3: Ng ườ i ta kéo một lực không đổ i là F để đư a một vật B có kh ối ⇒ 2 lượ ng m lên cao từ tr ạng thái đứ ng yên bằng ròng rọc có kh ối lượ ng M, (F− mg − maB ). R = M ρ . ε bán kính R, bán kính quán tính đố i với tr ục quay ngang là ρ. Xác đị nh ⇒ (F− mg − mRRε ). = M ρ2 . ε ph ản lực liên kết tại O và gia tốc chuy ển độ ng của các vật, bi ết dây mềm M ρ 2 không kh ối lượ ng và không giãn. ⇒ F− mg − mRε = . ε R M ρ 2 ⇒ F− mg =( mR + ). ε R R ()FmgR− () FmgR − 2 O ⇒ ε = ⇒ a = mRM22+ρB mRM 22 + ρ Điều ki ện để lực F kéo đượ c vật lên: F> mg F B GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 801 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 803
* Đị nh lý Độ ng lượ ng đố i với toàn hệ: * Đị nh lý Độ ng lượ ng đố i với ròng rọc: Y O R ε Y O R ε FT+d + X O + Y O = Ma F++ mg XO += Y O MaO + ma B O O O ⇒ ⇒ FT+d + X O + Y O = 0 F+ mg + XO + Y O = ma B X O X O X=0  X = 0 XO=0  X O = 0 ⇒O ⇒ O ⇒ ⇒    Y−−= F mg ma Y =++ F mgma YOdO=+ FT  Y =++ Fmgma B O BO  B aB  X = 0  X O = 0 T d O ⇒  ⇒  F B F Y= F + mg( + a ) YO= F + mg( + a B ) O B mg GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 804 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 806 C2. Cách không tách hệ Ví dụ 4: Ng ườ i ta kéo tại kh ối tâm C của một đĩ a mảnh có kh ối lượ ng M Y O R ε và bán kính là R bởi một lực không đổ i là F theo ph ươ ng mặt nghiêng * Đị nh lý Mômen độ ng lượ ng đố i với toàn hệ: O làm cho đĩ a lăn không tr ượ t lên dốc mặt nghiêng. Tại th ời điểm gia tốc X O của kh ối tâm là a, yêu cầu tìm lực lực kéo F và lực ma sát tr ượ t. Bỏ qua d K O e ma sát lăn tác dụng lên đĩ a. = M O (*) N dt a vC F= const vC F= const Mà: KO = JO.ω + mvR B . B a a C C e F B R ω R ω ∑ MO =( F − mgR ). sp sp ε sp ε sp mg Nên từ (*): JO.ε + maR B .( = F − mgR ). P P F ms 2 α α ⇒ Mρ. ε + maRB .( = FmgR − ). ⇒ 2 2 Mρ. ε+ mR ε . = ( FmgR − ). Mg (FmgR− ). ( FmgR − ). 2 x ⇒ ε = ⇒ a = mRM22+ρB mRM 22 + ρ GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 805 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 807
* Cần 3 ph ươ ng trình: * Cần 3 ph ươ ng trình: + 1 ph ươ ng trình từ đị nh lý Mômen độ ng lượ ng + 2 ph ươ ng trình từ đị nh lý Mômen độ ng lượ ng + 2 ph ươ ng trình từ đị nh lý Độ ng lượ ng + 1 ph ươ ng trình từ đị nh lý Độ ng lượ ng   e   ∑ X= Ma x N= Mgcos. α     N= Mgcos. α e  3 Mg+ N + F = Ma  i MP = Jε⇒  F= MaMg + .sin α Ho ặc: i ⇒  FMg−.sin α − F = Ma P 2 e ms e  MP = J Pε  MC = J ε 3 2 a C  1 2 a (FMg− .sin).α R = MR . Fms . R= MR .  2 R  2 R   N= Mgcos. α N= Mgcos. α     3 1 ⇒ F= Ma + Mg .sin α ⇒ Fms = Ma   2  2  3  1 F= Ma + Mg .sin α Fms = Ma  2  2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 808 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 810  * Cần 3 ph ươ ng trình: 3 ph ươ ng trình từ đị nh lý Mômen độ ng lượ ng  N= Mgcos. α  Mg+ N + F = Ma  d K I e   = M I Ho ặc: i ⇒  FMg−.sin α − F = Ma JCε=( Mgcos . α + F ms − NR ) e ms  dt  MC = J Cε  e 1 2 a   3 F. R= MR . i MP = Jε⇒  F= MaMg + .sin α  ms P 2 2 R e  MC = J ε  1 a  C F. R= MR 2 . N= Mgcos. α   ms 2 R N   3  ⇒ F= Ma + Mg .sin α v F= const  N= Mgcos. α C  2 a  R C  1  3 ωsp ⇒ Fms = Ma F= Ma + Mg .sin α ε  2  2 I sp  1 P Fms = Ma  2 F ms Mg GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 809 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 811
Ví dụ 5: Ng ườ i ta th ả cho các vật đồ ng ch ất là đĩ a tròn mảnh, vành tròn * Ứng với mỗi dạng hình, gia tốc kh ối tâm của vật lăn không tr ượ t không mảnh, tr ụ đặ c đồ ng ch ất, tr ụ rỗng mảnh đồ ng ch ất cùng trên mỗi mặt ph ụ thu ộc vào: kh ối lượ ng, kích th ướ c, ma sát tr ượ t. Điều này ch ứng tỏ, nghiêng khác nhau để các vật chuy ển độ ng tự do lăn không tr ượ t. Hỏi nếu có hai đĩ a đồ ng ch ất có kích th ướ c khác nhau, kh ối lượ ng khác nhau dạng vật nào có gia tốc của kh ối tâm là lớn nh ất. cùng lăn không tr ượ t trên 2 mặt nghiêng khác nhau nh ưng góc nghiêng * Xét vật dạng tròn đồ ng ch ất, kh ối tâm C: N nh ư nhau thì gia tốc kh ối tâm của hai đĩ a là bằng nhau. a iv= R.ω⇒ a= R . ε⇒ ε = C (*) C C R R C ωsp iMg+ N + Fms = Ma F ms C a ⇒ C Mg.sin α − Fms = Ma C vC P ⇒ F= Mg.sinα − Ma ( ) ms C α ε sp Mg GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 812 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 814 i e ⇒ Ví dụ 6: Kh ối lập ph ương đồ ng ch ất hàn JC.ε= MC J C . ε = FR ms . ( ) ∆ cứng với tr ục quay cố đị nh mảnh ∆ Thay (*), ( ) vào ( ): không kh ối lượng. Kh ối lập ph ương B a cạnh l, kh ối lượng M. Từ tr ạng thái i C JC.= ( Mg .sinα − MaR C ). đứ ng yên khi t = 0 (s) ứng với góc quay F1 R b ϕ(0) = 0, ng ườ i ta tác dụng lực có độ lớn J g.sin α ⇒ (C +Ma ) = Mg .sin α ⇒ a = không đổ i là F trên vật, lực có ph ươ ng 2 C C J R C không đổ i so với các cạnh của kh ối lập 2 +1 MR ph ươ ng. l 1. Vi ết ph ươ ng trình vi phân, ph ươ ng 1 2 2 + Đĩ a m ảnh đồ ng ch ất có J C = MR nên: aC = g .sin α F 2 2 3 trình vận tốc, ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật. 1 2 2 + Tr ụ đặ c đồ ng ch ất có J = MR nên: a= g .sin α 0 C 2 C 3 2. Khi vật quay đượ c góc quay là 90 , b 1 xác đị nh ph ản lực liên kết của tr ục. + Vành m ảnh đồ ng ch ất có J = MR 2 nên: a= g .sin α F= F = F C C 2 1 2 1 + Tr ụ r ỗng m ảnh đồ ng ch ất có J = MR 2 nên: a= g .sin α A C C 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 813 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 815
0 ∆ * Phân tích ngo ại lực tại th ời điểm t và * Th ời điểm t0 khi vật quay đượ c góc 90 : B ch ọn chi ều quay dươ ng nh ư hình vẽ ∆ Y B y ' 3F 2 π ω(t0 ) B ϕ(t ) = t = ⇒ t ⇒  Y B X B * Ph ươ ng trình vi phân của chuy ển 0 0 0 y ' 2Ml 2 ε (t0 ) X B ϕ F1 độ ng quay đố i với tr ục ∆ x' F1 e ω= ω (t0 ) J∆ .()ε t= Mt∆ () * Đặ t:  x' ε= ε (t ) l 2 2 0 C + Với: J∆= J ∆ ' + ( ) . M 2 * Không mất tính tổng quát, các thành ph ần C P 1 1 ph ản lực liên kết tại th ời điểm tính t đượ c ω0 =Ml2 + Ml 2 0 P 6 2 phân tích nh ư hình vẽ. Gia tốc kh ối tâm C: ε F 2 0 2 z 2  l l 2 2 F 2 A = Ml 2 a()( t =ω2 − ε . ) z ∆' 3 xC 0 2 2 2 A  ∆' Z A e  2 + Với: M∆ ( t )= 2 Fl 2 l l 2 2 a()( t = −ω + ε . ) Z A y yC 0 2 2 2 2 2 F  y X A Do đó: Ml t Fl⇒ t Y A .()2ε= ε ()3=  X A 3 Ml azC ( t 0 )= 0  Y A x  x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 816 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 818 * Đặ t:  3F ω(t ) = t + ω 0 a( t ) = a 3F  Ml xC0 x ε (t ) = ⇒   Ml 3F ayC( t0 ) = a y ϕ(t ) = t2 + ω t + ϕ  0 0   2Ml azC( t0 ) = a z * Điều ki ện ban đầ u * Năm ph ươ ng trình để xác đị nh 5 ẩn số ω(0)= 0 ω0 = 0 + Ph ươ ng trình th ứ nh ất ⇒  ϕ(0)0= ϕ 0 = 0 ∑ Xt(0 )= Ma .xC ( t 0 ) (1) * Ph ươ ng trình vận tốc và ph ươ ng trình chuy ển độ ng theo chi ều dươ ng đã ch ọn ⇒ XA+ X B − F2 = Ma. x  3F ω(t ) = t + Ph ươ ng trình th ứ hai  Ml  3F ∑Yt(0 )= Ma .yC ( t 0 ) (2) ϕ(t ) = t 2  2Ml ⇒ YA+ Y B − F1 = Ma. y GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 817 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 819
+ Ph ươ ng trình th ứ ba Nhìn l ại đị nh lý mômen độ ng l ượ ng d K O e ∑ Zt(0 )= Ma .zC ( t 0 ) (3) 1. T ừ công th ức d ạng đạ o hàm: = M O dt - Đây là ph ươ ng trình véc t ơ t ổng quát. ⇒ ZA− P = Ma. z - Trong h ệ tr ục Oxyz, có th ể tri ển khai thành 3 ph ươ ng trình mômen + Ph ươ ng trình th ứ t ư đố i v ới 3 tr ục. ɺ e - Khi véc t ơ mômen độ ng l ượ ng đã bi ết thì dùng ph ươ ng trình trên tìm Ktx()0= mt x () 0 (4) ngo ại l ực (l ực, mômen) – xác đị nh đượ c nhi ều nh ất 3 ẩn s ố. 2 l ⇒ ω.()Jtyz0− ε Jt xz () 0 =− Y B .(2 blFlbP ++ ) 1 ( +− ) . -Nếu bi ết t ất c ả ngo ại l ực thì dùng ph ươ ng trình trên đị nh véc t ơ 2 mômen độ ng l ượ ng. T ừ đó, tìm các đặ c tr ưng chuy ển độ ng. + Ph ươ ng trình th ứ n ăm 2. Đố i v ới h ệ t ĩnh, cân b ằng thì: Ktɺ ()= mte () (5) y0 y 0 me = 0 l  x ⇒ 2 e e −ω.()Jtxz0 − ε Jt yz () 0 = X B .(2 blFbP +−− ) 2 . KO= 0⇒ M O = 0 ⇔ m = 0 2 y  e Các mômen quán luôn tính đượ c, nên t ừ 5pt trên cho k ết qu ả ph ản l ực mz = 0 liên k ết c ần tìm. Đây là ph ươ ng trình cân b ằng mômen theo 3 tr ục trong bài toán t ĩnh GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 820 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 822 * Dùng các đị nh lý và ph ươ ng trình vi phân c ủa chuy ển độ ng quay để gi ải quy ết bài toán v ật quay: - Tìm vận tốc góc - Tìm gia tốc góc - Tìm ph ươ ng trình quay - Tìm lực ch ưa bi ết BÀI TẬP CH ƯƠ NG 10 SINH VIÊN C ẦN GI ẢI QUY ẾT (TT) Các d ạng bài toán áp d ụng các đị nh lý t ổng quát - Bài toán th ứ ba: Dùng đị nh lý mômen độ ng l ượ ng tìm các đặ c tr ưng độ ng h ọc c ủa chuy ển độ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 821 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 823
Bài t ập 10.7 1. Xác đị nh vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB: Thanh th ẳng mảnh AB có chi ều dài l, tr ọng lượ ng P. Lúc đầ u ng ườ i ta Ch ọn chi ều dươ ng là chi ều quay nh ư hình vẽ thì: gi ữ thanh đứ ng yên nằm ngang, rồi th ả cho thanh chuy ển độ ng quay tự l ml2 3 g do không vận tốc đầ u trong mặt ph ẳng th ẳng đứ ng dướ i tác dụng của mg .cosϕ= . εε⇒ = cos ϕ (*) tr ọng lượ ng của nó. 2 3 2 l 1. Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng tính vận tốc góc và gia tốc Xem: ϕϕωω=(),t == () tt ϕεεɺ (), == () tt ϕ ɺɺ () góc của AB theo ϕ. 2. Tính ph ản lực liên kết tại A khi thanh chuy ển độ ng 3g dgω 3 dg ϕ 3 ε= cos ϕ⇒ = cos ϕω⇒ d= cos ϕϕ d 2l dtl 2 dtl 2 A 3g ϕ ⇒ ωωd= cos ϕϕ d 2l B GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 824 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 826 Xét tại th ời điểm t, khi góc quay của thanh là ϕ. Ch ọn gốc th ời gian t = 0 khi thanh bắt đầ u quay: ϕ(0) = 0; ω(0) = 0 Ứng với th ời điểm t: ϕ = ϕ( t), ω = ω( t) A X A x 3g ϕ Từ công th ức vi phân ωω d = cos ϕϕ d , tích phân v ới điều ki ện ban đầ u, ta đượ c: 2l Y A ω ϕ 3g 3 g 3 g ωωd= cos ϕϕω d ⇒ 2 = sin ϕω⇒ = sin ϕ ∫ ∫ 2l l l B 0 0 P y 2. Tìm ph ản lực liên kết tại A: Khi đã bi ết vận tốc góc và gia tốc góc thì có th ể gi ải theo 1 trong 2 Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng quay của thanh: cách sau: d KA d ω KJA = .ω⇒ = J .⇒ MJA = . ε Adt A dt A GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 825 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 827
C1: Gi ải ti ếp theo k ết qu ả bài toán A X A x A X A Theo đị nh lý chuy ển độ ng kh ối tâm C x ϕ P ϕ (an + aτ ) =+ PXA + Y A (1) Y A a C n 0 g 90 Y A C ax ay Chi ếu (1) lên các tr ục x: a B P y τ P B (−a .cosϕ − a .sin ϕ ) = X y g nτ A P Pl9 P ⇒ X= −(ωϕεϕ2 .cos + .sin)⇒ X = − sin2 ϕ Từ ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng kh ối tâm C, ta có: A 2g A 8 P Pl 2 Chi ếu (1) lên các tr ục y: P+= YA a y =() −ωsin ϕε + .cos ϕ g2 g P (−an .sinϕ + aτ .cos ϕ ) =+ YP A Pl P ⇒ 2 2 g YA =−()ωϕεϕsin + .cos −=− P () 9sin ϕ +< 1 0 2g 4 Pl P ⇒ 2 2 YA =−(ωϕεϕ .sin + .cos) −=− P () 9sin ϕ +< 1 0 2g 4 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 828 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 830 C2: Gi ải theo ph ươ ng pháp t ọa độ Descartes: Bài t ập 10.8 Ph ươ ng trình chuy ển độ ng kh ối tâm C A X A Cho hệ nh ư hình vẽ với BC = 5r. Dây mềm không tr ọng lượ ng, x không giãn, các đĩ a đồ ng ch ất lăn không tr ượ t. Cho hệ chuy ển độ ng  l ϕ xC = cos ϕ tự do từ tr ạng thái đứ ng yên. Khi vật (1) chuy ển độ ng xu ống đạ t vận  2 Y A C  ax tốc v , yêu cầu: l a y = sin ϕ y  C  2 Tìm K Bz của hệ. r A B Ph ươ ng trình vận tốc và gia tốc kh ối tâm C y P (1) : v , P1 = P l  l 2 vx=−ωϕsin a x =−() ωϕεϕ cos + .sin (2): r, P2 = 2 P (1) 2  2 ⇒  (3): r , P3 = P l  l 2 vy=ωϕcos a y =−+() ωϕεϕ sin .cos 2  2 C (3) (1) Từ ph ươ ng trình chuy ển độ ng kh ối tâm C, ta có: r P Pl2 9 P α XA= a x =−()ωϕεϕcos + .sin =− sin2 ϕ g2 g 8 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 829 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 831
(3) (1) (2) (3) Y 0 KBz= K Bz + K Bz + K Bz X 0 A O X 0 A O 0 0 90 R 90 r (2) B Y 0 P (2) s vD D 30 0 30 0 C (1) v (1) C Q r (3) 2 B B α v Q1 Ngo ại l ực tác d ụng lên h ệ độ ng Ngo ại l ực tác d ụng lên h ệ t ĩnh GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 832 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 834 Bài t ập 10.9 * Hướ ng dẫn: (3) ω Cho đĩ a tròn (3) có bán kính R, tr ọng + Xét hệ độ ng gồm: đĩ a tròn, hai vậ t và dây. lượ ng P có th ể quay quanh tr ục ngang Y 0 (3) Ngo ại lực tác dụng lên hệ gồm: PQ,1 , Q 2 , X0 , Y 0 tại kh ớp O. Vật (1) có tr ọng lượ ng là A O O X 0 Q1, vật (2) có tr ọng lượ ng Q2 (Q 2 > 1. Xác đị nh vận tốc và gia tốc của của đĩ a và vật. 0 R Q1) đượ c bu ộc vào hai đầ u dây qu ấn 90 Gi ả thi ết chi ều chuy ển độ ng của các vật nh ư hình R trên biên đĩ a tròn. Dây không tr ọng Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng: lượ ng, không giãn, khi chuy ển độ ng d K Oz e không tr ượ t đố i với đĩ a tròn. Các = M Oz (1) P thanh th ẳng OA và OB xem nh ư s dt s (âéa ) Q1 Q 2 không tr ọng lượ ng. Cho hệ chuy ển KOz =− JOz .ω − RvRv .1 − . 2 0 30 g g v1 (2) độ ng từ tr ạng thái đứ ng yên. Khi vật (1) (1) v2 (2) đi đượ c quãng đườ ng s, yêu cầu: P 2Q1 2 Q 2 2 =−Rω − R ω − R ω 1. Xác đị nh vận tốc và gia tốc của của 2g g g Q B 2 đĩ a và vật.   P Q1 Q 2 2 2. Tìm nội lực trong các thanh OA, =− + +  R ω 2g g g Q OB.   1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 833 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 835
e ω Vận tốc và gia tốc của vật (1), (2): MOz = − QRQR2 + 1 (3) 2g ( Q− Q ) Thay vào (1), ta có: 2 1 Y 0 vvR1= 2 =ω = t ()P+2 Q1 + 2 Q 2 P Q Q  O X 0 ++1 2 Rε =− Q Q   2 1 2g ( Q− Q ) 2g g g  aaR===ε 2 1 = a R 1 2 P+2 Q + 2 Q 2g ( Q− Q ) ()1 2 ⇒ ε =2 1 = const RP()+2 Q1 + 2 Q 2 2. Tìm nội lực trong các thanh OA, OB. P (2) Xác đị nh ph ản lực liên kết tại O lên hệ: 2g ( Q− Q ) s 2 1 ω =t + C 1 X = 0 RP+2 Q + 2 Q a2  0 ()1 2 ∑ X= Ma Cx  v1 v ⇒  Q Q a 2 YPQQ−−− =1 a − 2 a ⇒ C 1 ∑Y= Ma Cy  0 12 1 2 ω(0)0= 1 = 0  g g (1)  2g ( Q2− Q 1 ) Q X = 0 X = 0 ω = t 2 0  0 RP()+2 Q1 + 2 Q 2 ⇒ ⇒ Q1 Q 2  a a Q Y0= a 1 − aPQQ 2 +++ 12  YQ0= 1( ++ 1) Q 2 (1 −+ ) P 1  g g  g g Do Q2 >Q 1 nên ω>0, do đó chi ều chuy ển độ ng của hệ nh ư đã gi ả thi ết GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 836 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 838 Gia tốc của vật (2) khi nó đi đượ c quãng đườ ng s: Xét hệ tĩnh gồm 2 thanh OA, OB, nội lực trong các thanh lần lượ t là 2 S , S . ɺɺ t OA OB a=ε Rst = ()⇒ st () = ε R + AtA3 + 4 2 A X 0 O S OA X 0 O Với điều ki ện ban đầ u: 0 90 0 60 v(0)= sɺ (0) = 0 A = 0 2 ⇒  3 s(0)= 0 A4 = 0 2 Y 0 Y 0 t 2s S OB Do vậy: sst=( ) = ε R⇒ t = 2 ε R 30 0 Cu ối cùng: Tách và xét cân bằng mắt O: 2εs 4g ( Q− Q ) 2 1 Y0 ω= ε t = = 2 s Y= 0 ⇒ S = B ∑ OB 0 R RPQ()+21 + 2 Q 2 cos30 0 0 ∑ XSS= 0⇒ OA=− OB .cos60 =− Y 0 .tan30 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 837 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 839
Bài t ập 10.10 Mômen quán tính của vật quay đố i với kh ối tâm C: 1 81 π Vật rắn với biên ngoài hình tròn bán kính R = 3a, bị khoét lỗ hình vuông Jâéa âàûc =. Ma .(3)2 = Ma . 2 C 2âéa âàûc 2(9π − 1) cạnh a, bề dày rất bé và không đổ i, kh ối lượ ng M. Vật quay quanh tr ục O nằm ngang dướ i tác dụng của tr ọng lực. Ban đầ u OC nằm ngang, vuäng 12 1 2 X O y trùng với tr ục Oy và vận tốc bằng không. JC =. Mavuäng . = . Ma O 6 6(9π − 1) ϕ 1. Vi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật rắn. C 0 Y O 2. Tính vận tốc và gia tốc của điểm B khi OC thu ộc tr ục Ox (ϕ = 90 ). váût âéa âàûc vuäng 243π − 1 2 JJC= C − J C = . Ma 6(9π − 1) P B y O ϕ x C B Mômen quán tính của vật quay đố i với tâm quay O: 729π − 55 JJváût=+= váût 9 aM2 . . MaJ 2 = O C 6(9π − 1) 0 x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 840 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 842 1. Vi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật rắn: Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng quay của vật rắn: 3aMg MO = J.ε⇒ MgR .cos ϕϕϕ= J ɺɺ⇒ ɺɺ − .cos ϕ = 0 0 0 J Ta có: 0 6aMg  2 ⇒ ϕɺ 2 −.sin ϕ +A = 0 Fâéa âàûc = 9π a 0 ⇒ X O J 0  Mâéa âàûc= 9π M vuäng y 2 O ϕ Fvuäng = a ϕ(0)= 0 C Điều ki ện ban đầ u:  ⇒ A = 0 Y O 0 Mà: Mâéa âàcû− M vuäng = M ϕɺ(0)= 0  M 9π P B Nên: M=, M = M vuäng91π− âéa âàcû 91 π − Vậy ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng: 6aMg 6 aMg x ϕɺ 2 −.sin ϕω = 0⇒ 2 − .sin ϕ = 0 P= Mg J0 J 0 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 841 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 843
6aMg Bài t ập 10.12 Ta có: ω= .sin ϕ J0 Cho đĩ a đồ ng ch ất ( R , m ) quay quanh tâm O với điều ki ện ban đầ u khi 6aMg 36(9π − 1) g t = 0 (s) là ϕ (0)= 0, ϕ ɺ (0) = 0. 0 ω = = Tính vận tốc góc khi ϕ =90 : 90 0 J0 (729π − 55). a 1. Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng của C ɺ 2.1. Vận tốc của điểm B khi ϕϕϕ =90 0: 2. Tìm ω()t= ϕ () t 3. Tìm ph ản lực liên kết tại O 324a (9π − 1) g y v0=ω 0 . R = O B (90) 90 (729π − 55) ϕ 2.2. Gia tốc của điểm B khi ϕϕϕ =90 0: C 6aMg 3 aMg Với ω2 −.sin ϕε = 0⇒ = .cos ϕε⇒ = 0 R 90 0 J0 J 0 108(9π − 1) an =(ω )2 . R = g B (90)0 90 0 (729π − 55) x aτ =ε . R = 0 B (90)0 90 0 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 844 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 846 Bài t ập 10.11 Bài t ập 10.13 Cho hệ sau; dây mềm không tr ọng lượ ng, không giãn. Vật A có tr ọng Ng ườ i ta gắn vào đầ u cu ối của một thanh lượ ng P1, vật B có tr ọng lượ ng P2, ròng rọc C có tr ọng lượ ng P3, bán mỏng đồ ng ch ất nằm ngang, chi ều dài l, kính quán tính ρ. Cho hệ chuy ển độ ng tự do từ tr ạng thái đứ ng yên. Khi tr ọng lượ ng P một đĩ a tròn bán kính AC = r, vật A chuy ển độ ng xu ống đạ t vận tốc v , yêu cầu: A (C ) tr ọng lượ ng Q. Cho bi ết mặt đĩ a th ẳng đứ ng. 1. Tìm ε của ròng rọc (C). R O, A, C th ẳng hàng và hệ quay quanh tr ục A C th ẳng đứ ng Oz với vận tốc ω. Hãy xác đị nh O 2. Tìm ph ản lực liên kết tại O và lực căng các r r O mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục quay. nhánh dây. ω Bi ết: R=2, rPP1 == 3 3 P 2 = 3. P B A vA GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 845 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 847
Bài t ập 10.14 z z ' * Mômen độ ng lượ ng đố i với tr ục quay Oz z Vật nặng kh ối lượ ng m nằm trên một Do cơ hệ chuy ển độ ng quay cùng tr ục nên: mâm quay nằm ngang có kh ối lượ ng M = 2m, bán kính quán tính đố i với tr ục ()OA ()âéa KOz= K Oz + K Oz (* ) quay là ρ = 0,5.R. Tại th ời điểm t = 0 (s), nặng ở vị trí A, hệ gồm mâm quay và vật A C O nặng quay tự do với vận tốc góc ω . Khi R + Thanh OA chuy ển độ ng quay quanh tr ục Oz r 0 vật nặng chuy ển độ ng trên mâm quay A O theo đườ ng cong tròn (s) theo ph ươ ng (OA ) P (OA )1 2 2 KOz = J.ω = l . ω trình s(t) = 2t +t (cm). Hãy vi ết ph ươ ng Oz 3 g ω trình vận tốc góc mâm quay theo t. Bi ết ω0 + Đĩ a chuy ển độ ng quay quay quanh tr ục Oz bán kính R = 400 (cm), m = 40 (kg). (âéa ) ()âéa () âéa 2() âéa  KOz = JOz.ω = J Cz ' + OCM .  . ω 1 Q22 Q  Q 2 2 =rlr ++()  ω = rlr ++ 4().  ω 4g g  4 g HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 848 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 850 * Hướ ng dẫn: z z ' z Thay tất cả số li ệu vào (*): P= mg Y I X I I ω 2 2 2 Q= Mg KOz =4 Pl +++ 3 Qr 12( Qlr )  12 g e Ta có: ∑ M Oz = 0, ∀ t nên KOz = const A C R O A r O ω Q P ω 0 Z H * Bài trên khi tính cần lưu ý công th ức chuy ển tr ục song song của mômen quán tính: Y H X H H GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 849 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 851
e z + Mômen độ ng lượ ng lúc vật tại A (t=0 (s)) Ta có: ∑ M Cz = 0, ∀ t nên KCz = const (0) 2 2 Y I KOz = M.(0,5 R ) . ω + mR ω v X I 0 0 e I vr + Mômen độ ng lượ ng tại th ời điểm t. R dr B de yr (t ) 2 α KOz = M.(0,5 R ).ω + mvd . . + R e e a I O xr A + m. vr . d r C M ω(t ) = ω + Dùng đị nh lý mômen độ ng lượ ng: A (0) ()t P KOz= K Oz ⇒ ? ω Q 2 R 2t+ t x=(cos α + 1) = d α = r r vr =4 t + 1 R / 2 2 Z H R 2 2 v= d .ω H yr = .sin α d= y + x e e 2 e r r Y H X H GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 852 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 854 Bài t ập 10.15 + Khi M còn tại A: Một đĩ a đồ ng ch ất tr ọng lượ ng P nằm z ()âéa () M KCz = JCz.ω0 + J Cz ω 0 trong mặt ph ẳng ngang, bán kính r quay   quanh tr ục th ẳng đứ ng Cz (C là kh ối tâm 1 P2 Q 2 =.R + . R  ω0 2 g g của đĩ a) với vận tốc góc không đổ i ω0. Từ   điểm A trên vành đĩ a, một điểm M có B R 2 tr ọng lượ ng Q chuy ển độ ng theo dây cung =()P + 2 Q ω0 R 2g AB với vận tốc ban đầ u bằng không. Hãy a xác đị nh vận tốc góc của đĩ a khi điểm M C M + Khi M tại I: nằm cách tâm đoạn ng ắn nh ất là a và có A   vận tốc tươ ng đố i là u. (âéa )Q1 P 2 Q ω KJCz =+=Cz.ω Rv M  . R ω + aau (.) ω +  g2 g g  1 2 2 =()PR.ω + 2. Qa ω + 2 Qua 2g HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 853 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 855
e z Ta có: M Oz = 0, ∀ t nên KOz = const ∑ Ta có: Y I X I I 2 1 2 2 R ()PR.ω+ 2.2 Qa ω + Qua =+() P 2 Q ω 0 2g 2 g R 2 2 2 ⇒ B B1 ()PR.ω+ 2.2 Qa ω + Qua =+() P 2 QR ω 0 O A P+2 QR2ω − 2 Qua ⇒ () 0 ω = 2 2 PR+ 2 Qa Q P ω Z H H Y H X H GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 856 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 858 Bài t ập 10.16 + Khi B còn tại A: z z (âéa ) (BB 1 ) Trong rãnh nh ỏ OA của đĩ a đồ ng ch ất KOz = JOz.ω0 + J Oz ω 0 nằm ngang có tr ọng lượ ng Q, bán kính 1Q2 1 P 2  R, ng ườ i ta đặ t một thanh đồ ng ch ất dài =.R + . l  ω0 l, nặng P, đầ u B gắn vào tâm O của đĩ a. 2g 3 g  Đĩ a quay quanh tr ục th ẳng đứ ng Oz với 2 2 ω0 R =()3QR + 2 Pl B B vận tốc góc không đổ i ω0. Sau đó B rời R 6g 1 kh ỏi O và thanh bắt đầ u chuy ển độ ng B B1 O A dọc theo rãnh OA. Hãy xác lập vận tốc O A góc của đĩ a ở th ời điểm khi đầ u B của ω thanh cách Oz một đoạn R/2. ω HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 857 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 859
+ Khi B cách O đoạn R/2: thanh BB Bài t ập 10.17 1 z z chuy ển độ ng song ph ẳng. Một vật M có tr ọng lượ ng P = 4,2 (kN) R đượ c gi ữ trên mặt nghiêng bằng một r O ng ườ i có tr ọng lượ ng Q = 1,4 (kN) gi ữa đầ u dây A. Sau đó ng ườ i đó bắt đầ u R nâng lên theo sợi dây với vận tốc B B u = 0,74 (m/s) đố i với dây. Bỏ qua tr ọng M O A C 1 lượ ng của các ròng rọc; dây không tr ọng lượ ng, không giãn; bỏ qua ma sát. A Ròng rọc quay quanh tr ục ngang. R+ l ω (âéa ) ()BB 1 ()BB 1 e Xác đị nh vận tốc của M nếu bi ết: KJOz =Ozω + J Cz ω + ( Mv C )( ) α 2 sin α = 5/6, r = 0,1 (m), R = 0,25 (m). 1Q2 1 P 2 PRl+ 2  =Rω + l ω + ( ) ω  2g 12 g g 2  1Q2 1 P 2 PRl+ 2  =R + l + ( )  ω 2g 12 g g 2  HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 860 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 862 Ta có: Y O Ta có: 5 T= P .sinα = 4,2. = 3,5 (kN) R   6 r 22ω0 1Q 22 1 P PRl+ 2 e X O ()32QRPl+ = R + l + ()  ω MOz =−= Tr. QR . 3,5.0,1 − 1,4.0,25 = 0 O 62g g 12 gg 2  ∑ T ⇒ 22 22 2 ()()64QR+ Plω0 = 6 QR +++ Pl 3() PRl ω Do đó: KOz = const, ∀ t A 2 2 ()3QR+ 2 Pl T ⇒ ω= 2 ω 0 6QR2+ Pl 2 + 3() PR + l 2 N () Q M P α GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 861 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 863
e Ta có: M AB = 0, ∀ t nên KAB = const ∑ A R Gọi vận tốc chuy ển độ ng đi lên theo mặt r Y A X A nghiêng của vật M là v (v ận tốc của dây). O Vận tốc chuy ển độ ng lên của ng ườ i là: R M u− v M r r C P * Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng A KOz = const = 0 α Q Q= m1 g P Q R  KOz = vr − uv −  . R = 0 Z B P m g g g r  = 2 ω QRru ⇒ v = 2 2 Y B ()Pr+ QR X B B GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 864 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 866 Bài t ập 10.18 + Khi M còn ở C: A A Một đĩ a đồ ng ch ất nằm ngang kh ối (0) 1 2 KAB = m1. r ω 0 lượ ng m1, bán kính r quay quanh tr ục 2 th ẳng đứ ng AB cố đị nh với vận tốc góc + Sau kho ảng th ời gian t: ω0. Vào một th ời điểm nào đó, một e điểm M có kh ối lượ ng m2 bắt đầ u v M r r (t ) 1 2 e r M v chuy ển độ ng từ tâm đĩ a ra ngoài vành M KAB = mr.ω + mvut .() M 2 1 2 M ut theo một đườ ng bán kính với vận tốc C C 1 không đổ i u. Xác đị nh vận tốc góc của =mr.2ω + m .() ω ut 2 2 1 2 đĩ a theo th ời gian kể từ lúc M chuy ển ω ω độ ng. Bỏ qua ma sát ở ổ tr ục quay. B B 2 (0) ()t m1 r AB AB ⇒ Ta có: K= K ω= 2 2 ω 0 mr1+ 2 m 2 ( ut ) HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 865 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 867
Bài t ập 10.19 R A Ng ườ i ta vắt qua ròng rọc A có tr ọng lượ ng Q một sợi dây không kh ối A lượ ng, không giãn, hai đầ u dây bu ộc hai vật nặng M1, M2 có tr ọng T 1 lượ ng P1, P2. Các vật đượ c đặ t lên mặt nghiêng tr ơn hợp với mặt O T 2 ngang các góc α = 30 0 và β = 60 0. Hãy xác đị nh gia tốc của các vật. T 1 Coi ròng rọc là đĩ a đồ ng ch ất bán kính r. N 1 T 2 Q A N 2 M 1 O M 2 M 1 β P1 α M 2 β P 2 α TP12=sinβ , TP 22 = sin α e MOz =−= TrTrPrsinβ − Pr sin α = rP sin β − P sin α HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. 212 1() 2 1 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 868 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 870 * Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng: * Ta có: e dKtO ( ) e r d KO ( t ) = M O = MO ⇒ ()() QPParP++2 22 = 1 sinα − P 2 sin β dt dt2 g + Gi ả sử chi ều chuy ển độ ng nh ư hình vẽ, vận tốc tại th ời điểm t là v. P− 3 P A ⇒ a= 1 2 g Q+2( P + P ) M 1 2 O 1 v M 2 β α ()âéa ()M () M 1 2 1 Q P1 P 2 KtKO()= O () tK + O () tK + O () t =++ rv vr vr 2 g g g r ⇒ KtO ()=() QPPv + 22 + 2g 2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 869 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 871
Bài t ập 10.20 e MO = Pr + Pr 11 22 RO Hai vật nặng M1, M2 có tr ọng lượ ng P1, P2 qu ấn vào hai ròng rọc gắn r2 cứng với nhau có chung một tr ục quay. Bỏ qua tr ọng lượ ng của dây, r1 dây không giãn, các ròng rọc là các đĩ a đồ ng ch ất có các bán kính r1 O và r2 (r 2 >r 1) có tr ọng lượ ng tươ ng ứng là Q1, Q2. Cho hệ chuy ển độ ng tự do không cản từ tr ạng thái đứ ng yên. Hãy xác đị nh gia tốc của các Q ròng rọc khi chuy ển độ ng. 1 Q r2 2 r1 M 1 O M * Ta có: 2 P1 P 2 e d KO () t 1Q12 1 Q 2 2 P 1 2 P 2 2 = MO ⇒ ( r+ r ++ r r ) ε =+ PrPr dt2 g1 2 ggg 2 1 2 1122 M 1 Pr+ Pr ⇒ ε = 2g 11 22 M 2 2 HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. 2 (2PQr1+ 11 ) + (2 PQr 2 + 22 ) GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 872 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 874 + Gi ả sử chi ều chuy ển độ ng nh ư hình vẽ, vận tốc góc tại th ời điểm t Bài t ập 10.21 là ω: Ba thanh mảnh đồ ng ch ất tạo thành tam ω giác cân ABC (AB =AC). Tr ọng lượ ng của AB và AC nh ư nhau là P1; thanh BC nằm ngang có tr ọng lượ ng là P2, có A r độ dài 2a. Tam giác quay quanh đườ ng 2 cao AH dướ i tác dụng của mômen quay r1 O M. Hãy xác đị nh gia tốc của các thanh. M B H C ()âéa ()M1 () M 2 a a KtKO()= O () tK + O () tK + O () t 1Q12 1 Q 2 2 P 1 P 2 =(r1 + r 2 ) ω ++ vrC 11 vr C 22 2g 2 g g g M 1 1Q 1 Q P P M 2 =(1r2 + 2 rr 2 ++ 1 2 2 r 2 ) ω 2g1 2 g 21 g g 2 HD: Áp dụng đị nh lý mômen độ ng lượ ng. GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 873 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 875