Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ma trận định thức. Hệ phương trình tuyến tính

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ma trận định thức. Hệ phương trình tuyến tính

1. 5.1. MA TRẬN Trong thực tế ta thường gặp phải các bảng số thống kê các số liệu. Thí dụ như bảng thống kê về mức độ sử dụng các loại nguyên liệu để sản xuất Chương 5 các loại sản phẩm. MA TRẬN ĐỊNH THỨC loại sản phẩm HHỆỆ PTPT loại 1 2 n TUYẾN nguyên liệu TÍNHTÍNH 1 a11 a12 a1n 2 a21 a22 a2n m am1 am2 amn
2.  Số aij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) là số lượng đơn vị nguyên liệu thứ i cần dùng để sản xuất một đơn vị sản phẩm thứ j.  Thống kê các số aij như trên thành một bảng số tỏ ra rất tiện lợi, nĩ giúp ta nắm được nhu cầu và khả năng của sản xuất một cách trực quan và thuận tiện. Trong tốn học, người ta gọi các bảng số như trên là ma trận.
3.  1) Ma trận: Cho m và n là 2 số nguyên dương. Một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm m x n số được xếp thành m hàng và n cột, nghĩa là:  Để viết gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu  Số aij R gọi là phần tử nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của A (do đĩ i thường gọi là chỉ số hàng và j gọi là chỉ số cột).  Tập hợp tất cả ma trận cấp m x n, kí hiệu là Mmxn.
4.  Ma trận vuơng, là ma trận cĩ số hàng bằng số cột. Ma trận vuơng cĩ n hàng và n cột gọi là ma trận vuơng cấp n.  Tập hợp tất cả các ma trận vuơng cấp n, kí hiệu là Mn. 2) Các phép tốn trên ma trận:  Ma trận bằng nhau: Hai ma trận A, B Mmxn gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu
5.  Nhân một số với ma trận Cho A Mmxn và k R. Tích của k với A, kí hiệu kA, là ma trận cấp m x n, xác định bởi: Ví dụ 5.1 vd5-1.ppt  Qui ước: (-1)A viết thành -A và gọi là ma trận đối của A.  Phép cộng ma trận. Cho A, B Mmxn. Tổng của A và B, kí hiệu A + B, là ma trận cấp mxn, xác định bởi:  Ví dụ 5.2
6.  Định nghĩa: Hiệu của hai ma trận cùng cấp A và B, kí hiệu A - B, được xác định:  Nhân hai ma trận. Cho A Mmxn và B Mnxr (số cột của A bằng số hàng của B). Tích của A và B, kí hiệu AB, là ma trận cấp m x r, xác định bởi:  Sơ đồ: Ví dụ 5.3 vd5-3.ppt
7.  Chú ý:  Thơng thường AB BA khi chúng cùng xác định,  Nếu ab = 0 với a, b R thì a = 0 hoặc b = 0. Nhưng tích ma trận AB = 0 chưa kết luận được A = 0 hoặc B = 0, vì dễ dàng tìm thấy hai ma trận khác ma trận khơng mà tích của chúng là ma trận khơng, chẳng hạn:  Chuyển vị ma trận. Cho A Mmxn. Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu AT, là ma trận cấp nxm nhận được từ A bằng cách đổi hàng thành cột, tức là: Ví dụ 5.4
8. Giải tốn ma trâṇ trên EXCEL Xét các ma trận A, B và C ở bảng tính sau: 1. Lập ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) của A: AT Các bước thực hiện: Quét chọn khối ma trận A (vùng A3:D5) Thực hiện lệnh Edit – Copy (hoặc gõ Ctrl+C) Chọn vị trí lập ma trận chuyển vị (ơ A15) Dùng lệnh Edit – Paste Special. Xuất hiện hộp thoại. Chọn Transpose, và OK.
9. Ta cĩ kết quả: 2. Nhân (multiply) hai ma trận A và B: A.B Các bước thực hiện: Chọn vị trí lập ma trận tích (ơ A27) Dùng lệnh MMULT (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar. Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh MMULT). Xuất hiện hộp thoại:
10.  Chọn vùng xác định ma trận A (A3:D5) trong khung Array1; Chọn vùng xác định ma trận B (F3:H6) trong khung Array2.  Click OK. Lưu ý: Sau khi Click OK, tại vị trí con trỏ ơ hiện hành (ơ A27) chỉ xuất hiện số hạng ở dịng 1, cột 1 của ma trận AB. Để hiển thị tồn bộ ma trận AB, ta phải quét chọn khối xuất hiện của AB (3 dịng và 3 cột, vì A cấp 3x3 – B cấp 4x3), bắt đầu từ số đầu tiên vừa xuất hiện. Tiếp đến gõ F2, rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift + Enter. Ta cĩ kết quả: tich-chvi matran.xls
11. 5.2. ĐỊNH THỨC Khái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính cĩ số phương trình bằng số ẩn. Hệ này cĩ một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận tương ứng với hệ phương trình này khác 0. Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn: cĩ các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuơng: định thức của nĩ là: det(A)=ad-bc
12. q Nếu det(A) 0, hệ cĩ nghiệm duy nhất: q Nếu det(A) = 0 hệ cĩ thể cĩ vơ số nghiệm hoặc khơng cĩ nghiệm nào.  Cĩ nhiều cách định nghĩa định thức và trong giáo trình này, định thức được xây dựng trên phép hốn vị.  1. Hốn vị Xét n số tự nhiên 1, 2, 3, , n. Một cách sắp xếp các số 1, 2, 3, , n theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị của n số đĩ.  Các hốn vị của 3 số 1, 2, 3 là: (1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1).
13.  Kí hiệu Sn là tập hợp tất cả các hốn vị của n số 1, 2, 3, , n. Tập Sn cĩ n! phần tử. Chẳng hạn tập S2 cĩ 2! = 2 phần tử, tập S3 cĩ 3! = 6 phần tử.  2. Nghịch thế  Trong hốn vị ( 1 2 n) của n số tự nhiên, ta nĩi i tạo với j một nghịch thế nếu i j.  Hay nĩi cách khác, trong một hốn vị số lớn hơn đứng trước số nhỏ hơn tạo thành một nghịch thế.  Tổng số nghịch thế trong hốn vị ( 1 2 n), kí hiệu là N( 1 2 n).
14.  3. Định nghĩa Định thức  Cho ma trận vuơng cấp n A = [aij]nxn. Định thức của A, kí hiệu detA hay A, là một số thực được xác định như sau:  trong đĩ
15. Ví du 5.6 Ta cĩ S2 = {(1 2),(2 1)} N(12) N(21) detA =(-1) a11a22 + (-1) a12a21 = a11a22 - a12a21. Vậy: (Cơng thức tính định thức cấp 2) Ví du 5.7 Tính định thức cấp 3.
16. 4. Ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch đảo Một số định nghĩa: a) Cho A = (aij)n. Trong A, bỏ đi các hàng và cột chứa phần tử aij (tức là bỏ hàng thứ i và cột thứ j). Phần cịn lại tạo một ma trận vuơng cấp n -1, định thức của nĩ được gọi là định thức con bù của phần tử aij, và ký hiệu là ij. Đại lượng được gọi là phần bù đại số của aij. Ví dụ 5.8
17.  b) Cho MT vuơng cấp n: A = (aij)n và Aij là phần bù đại số của aij. Ta lập ma trận c) Ma trận vuơng A gọi là khơng suy biến nếu  detA 0. d) Cho A Mn. Nếu tồn tại ma trận B sao cho  AB = BA = In thì B gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1.
18. Tính định thức & tìm MT nghịch đảo trên EXCEL Xét ma trận C ở bảng tính sau: 1. Tính định thức của ma trận vuơng Để tính định thức của ma trận (Matrix determinant) vuơng C (detC), ta thực hiện các bước: Chọn vị trí tính định thức (ơ F3). Dùng lệnh MDETERM (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar. Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh MDETERM).
19. Xuất hiện hộp thoại:
20. Chọn vùng xác định ma trận C (A2:C4) trong khung Array. Click OK. Kết quả:
21. 2. Lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix) Để lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix) của C (C-1) ta thực hiện các bước sau:  Chọn vị trí lập ma trận nghịch đảo (ơ A7)  Dùng lệnh MINVERSE (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar. Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh Minverse). Xuất hiện hộp thoại:
22.  Chọn vùng xác định ma trận C (A2:C4) trong khung Array.  Click OK. Lưu ý: Sau khi Click OK, tại vị trí con trỏ ơ hiện hành (ơ A7) chỉ xuất hiện số hạng ở dịng 1, cột 1 của C-1. Để hiển thị tồn bộ ma trận C-1, ta phải quét chọn khối xuất hiện của C-1(3 dịng và 3 cột), bắt đầu từ số đầu tiên vừa xuất hiện (ở đây ta quét chọn khối A7:C9). Tiếp đến gõ F2, rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift + Enter. Ta cĩ kết quả: dthuc-ngdao matran.xls
23. 5.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1. Một hệ gồm m phương trình tuyến tính đối với n ẩn số x1, x2, , xn dạng gọi là hệ phương trình tuyến tính. Nếu b1= b2= =bm= 0 thì hệ (1) gọi là hệ thuần nhất; Ngược lại, nếu  i {1, 2, , m}: bi 0 thì hệ (1) gọi là hệ khơng thuần nhất.
24. Định nghĩa 2.  Nghiệm của hệ (1) là mọi bộ số (x1, x2, , xn) thoả mãn tất cả các phương trình của hệ.  Hệ (1) được gọi là tương thích nếu nĩ cĩ nghiệm, gọi là xác định nếu cĩ một nghiệm duy nhất và khơng xác định (hay vơ định) nếu hệ cĩ nhiều hơn một nghiệm. Trong trường hợp hệ khơng cĩ nghiệm ta nĩi hệ khơng tương thích hay hệ vơ nghiệm.  Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu nĩ cĩ cùng chung nghiệm hoặc cùng vơ nghiệm.
25. Giải hệ PT tuyến tính trên EXCEL  Dùng lệnh Solver trong Data tab | Analysis group của Excel. Nếu trong trường hợp trong Analysis group chưa cĩ lệnh này, ta thực hiện các thao tác sau:  Vào: File tab| options | Add-Ins bấm (excel add-in) Go
26. Xuất hiện hộp thoại Add-Ins:  Click chọn mục Solver Add-in.  Click nút OK. Trong Data tab | analysis group sẽ xuất hiện lệnh Solver.
27. Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính: a) Trình bày bài tốn trên bảng tính Excel:
28. A1:E1 và B7:C7 là dịng tiêu đề. A2:A5 là các hệ số của x; B2:B5 là các hệ số của y, C2:C5 là các hệ số của z. B8:B10 là tên các ẩn số. C8:C10 là giá trị ban đầu của ẩn số. Sau khi giải xong, vùng này là nghiệm của phương trình tương ứng với các ẩn số. Cột trái để trống. Cột phải (E2:E5) là các giá trị vế phải của hệ phương trình.
29. b) Các bước giải bài tốn: Bước 1:  Đánh dấu khối cột trái (D2:D5).  Dùng lệnh nhân ma trận: MMULT(A2:C5,C8:C10) (hoặc Click biểu tượng trên Toolbar. Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh MMULT), gõ F2, rồi ấn tổ hợp phím Ctrl + Shift + Enter.
30. Bước 2:  Click chuột vào ơ D2.  Gọi Solver từ menu Tools. Nhập các tham số trong cửa sổ Solver parameters như sau:
31.  Set Target Cell: Do chúng ta để ơ định vị tại D2, nên sẽ hiển thị $D$2. Nếu chưa đúng phải gõ chính xác địa chỉ tuyệt đối này.  Equal To: Click chuột đánh dấu Value of, và gõ vào khung bên cạnh giá trị là 2 (vì chúng ta phải giải sao cho vế bên trái bằng vế bên phải).  Subject to the Constraints: Đây là nơi ta xác định các điều kiện ràng buộc để thoả mãn cách giải bài tốn trên (điều kiện là tồn bộ giá trị cột trái bằng giá trị cột phải). Click nút Add, xuất hiện hộp thoại Add Constraints, và nhập vào các tham số như sau: Click OK để trở lại hộp Solver Parameters.
32. Sau khi đưa vào các tham số của hộp thoại Solver, Click vào nút chọn Solver. Nếu kết quả tốt, Excel thơng báo là “found a solution” Hãy chọn Keep Solver Solution để lưu kết quả trên bảng tính (nếu chọn Restore Original Values sẽ huỷ kết quả Solver vừa tìm được và trả lại giá trị khởi động của các biến). Kết quả trên bảng tính như sau:
33. Nhìn trên bảng tính, ta thấy các giá trị trong cột trái bằng đúng các giá trị trong cột phải. Cột khởi động đã thay đổi, mỗi giá trị mới ứng với mỗi ẩn số. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 1; y = -2, z = 2.
34. Bài tập  5.1. Tìm ma trận tích AB và BA (khi chúng được xác định):
35. 5.2. Cho Tìm AAT và ATA. 5.3. Cho a) Tính AT, BT, (AB)T, BTAT. b) Kiểm tra (AB)T = BTAT. 5.4. Tính các định thức cấp ba sau:
36.  5.5. Tính các định thức:
37. 5.6. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận:đ 5.7. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
38. 5.8. Giải các hệ phương trình sau: