Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 2)

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 2)

1. a b ad b c BÀI 2 c d 1
2.  §2: Định Thức 2.1 Mở đầu ax by c - Xét hệ phương trình sau: ax' by ' c ' Theo phương pháp Grame ta có công thức nghiệm sau: D D “Định thức” cấp 2 x x ; y y ,( D 0) D D ab cb ac D ; D ; D acac '' ab''x cb '' y ac '' 2
3.  §2: Định Thức Xét hệ phương trình sau: ax11 ay 12 az 13 b1 ax21 ay 22 az 23 b2 a31x ay 32 az 33 b3 a11 a 12 a 13 Ta có thể định nghĩa: Da 21 a 22 a 23 ? a31 a 32 a 33 3
4.  §2: Định Thức b1 a12 a 13 a11b1 a 13 Dx b2 a22 a 23 ? Dy a21b2 a 23 ? b3 a32a 3 3 a31b3 a 33 a a b D Dy 11 12 1 x x ; y ; D a a b ? D D z 21 22 2 D z z , ( D 0) a31 a3 2 b3 D 4
5.  §2: Định Thức  Định thức cấp 2: a11 a 12 D2 aaaa 11 22 12 21. a21 a 22  Ví dụ: 2 3 2.6 5.3 3. 5 6 5
6.  §2: Định Thức  Định thức cấp 3: (Quy tắc hình sao) a11 a 12 a 13 (aaa aaa aaa ) D3 a 21 a 22 a 23 11 22 33 31 12 23 13 32 21 (aaa13 22 31 aaa 33 21 12 aaa 11 32 23 ) a31 a 32 a 33 6
7.  §2: Định Thức  Ví dụ: Tính 2 1 5 1 4 0 = -108 3 6 2 2 1 5 1 4 0 =[2.4.(-2)+1.0.3+5.(-1).6] 3 6 2 -[5.4.3 +2.0.6+1.(-1).(-2)] =[-16+0-30]-[60+0+2]=-108 7
8.  §2: Định Thức  Bài tập: Tính 2 4 1 3 5 6 36 12 24 0 2 3 3 1 2 3 4 0 = -55 1 2 5 8
9.  §2: Định Thức  Ví dụ: Tính 1 2 3 2 4 1 (1.4.6+3.2.1+3.2.5) 3 5 6 -(3.4.3 +6.2.2 +1.1.5) =(24+6+30)-(36+24+5)=60-65=-5 9
10.  §2: Định Thức  Bài tập: Tính 3 1 4 5 2 0 =[ 3.(-2).7+6.1.0+4.5.(-1) ] 6 1 7 -[ 4.(-2).6+7.1.5+3.0.(-1) ] = -62+13= - 49 10
11.  §2: Định Thức 2.2 Định nghĩa 2.2.1 Đ/n1: Cho ma trận A=[aij ] vuông cấp n. Phần phụ đại số của aij, kí hiệu là Aij , được xác định như sau i j Aij ( 1) det M ij trong đó Mij là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng i, cột j. 11
12.  §2: Định Thức  Ví dụ: Cho ma trận 1 4 3 A 5 2 1 3 6 0 1 1 A11 ( 1) det( M 11 ) 6 1 2 3 5 1 A12 ( 1) det(M12 ) ( 1) 3 3 0 5 2 A ( 1)1 3 det( M ) ( 1)4 36 13 13 3 6 12
13.  §2: Định Thức  Bài tập: Với 1 4 3 A 5 2 1 3 6 0  Tính A21 A23 A33 13
14.  §2: Định Thức 2.2.2 Đ/n 2. Cho ma trận vuông cấp n A [ aij ] Định thức của A là một số được kí hiệu là detA, hay a11 a 12 a 1n a a a A 21 22 2n an1 a n 2 a nn được xác định quy nạp theo n như sau:  Nếu n=1 thì |[a11 ]| = a11. 14
15.  §2: Định Thức  Nếu n=1 thì |[a11 ]| = a11.  Nếu n>1 thì a11 a 12 a 1n A AaAaA1111 1212 aA 1n 1 n * (khai triển theo hàng 1) - Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n. 15
16.  §2: Định Thức  Ví dụ: Tính định thức sau: 1 4 3 5 2 1 3 6 0 1 4 3 i 1 5 2 1 a11A11 a 12 A 12 a13 A 13 3 6 0 1.( 6) 4 .( 3) (3 ).36 126 16
17.  §2: Định Thức 2.3. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc (i) detAt = detA. Hq : Một mệnh đề về định thức nếu đã đúng cho hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất sau đây ta chỉ phát biểu cho “hàng”.  VÝ dô: 147 123 258 456 369 789 17
18.  §2: Định Thức (ii) Nếu đổi chỗ hai hàng bất kì của định thức thì định thức đổi dấu  VÝ dô: abc xyz h1 h 3 * * * * * *. xyz abc 18
19.  §2: Định Thức Hq. Khi tính định thức ta có thể khai triển theo hàng và cột bất kì. 221 0 j 4 31 2 1 a14A14 a 24 A 24 a 34 A 34 a 44 A44 04 30 504 2 221 221 6 8 0.A14 1 (1)04 30 . A 34 ( 2) (1)312 86 504 0 4 3 19
20.  §2: Định Thức  Ví dụ: Tính định thức sau: 230 120 i 4 ( 1)(1)5 1 5 1 6 (1)4 7 11 2 2 3 0 2 3 (24 5) 6( 3 26) 19 174 193 20
21.  §2: Định Thức  Bµi TËp: TÝnh ®Þnh thøc sau 12 31 024 2 = 102 130 4 20 15 21
22.  §2: Định Thức (iii) Nếu các phần tử của một hàng nào đó của định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì ta có thể viết định thức thành tổng của 2 định thức như sau: a b a b a b a a a b b b 1122 nn12 n12 n (các phần tử còn lại giữ nguyên) 22
23.  §2: Định Thức  VÝ dô: 2 3 2323 abcd ac bd 23
24.  §2: Định Thức (iv) Nếu nhân một hàng nào đó của định thức với một số λ thì được định thức mới bằng λ lần định thức cũ. Hq: (1) Nếu các phần tử của một hàng có thừa số chung thì ta có thể đưa thừa số đó ra ngoài dấu định thức.  VÝ dô: 2 5 4 10 A ; 2 A 3 4 6 8 410 2.2 2.5 2 5 2 5 det(2)A 2 2.2 2det().2 A 6 8 6 8 2.32.4 3 4 24
25.  §2: Định Thức  VÝ dô: 123 123 h1 h 3 A 579  B 579 A 123 123 det(AB ) det( ) det( A ) det( A ) det( A ). 25
26.  §2: Định Thức (v) Nếu thêm vào một hàng của định thức bội λ của hàng khác thì định thức không đổi.  VÝ dô: 123 123 h2 ( 4)1 h 456 036 abc abc 26
27.  §2: Định Thức (vi) Định thức của ma trận chéo bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.  Ví dụ: 2 0 00 3 0 0 0 300 i 1 a A 2 0 5 0 0 0 50 11 11 0 0 1 0 0 01 i 1 5 0 2. ( 3) 2.( 3).5.1 0 1 27
28.  §2: Định Thức - Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.  Ví dụ: 158 2 036 0 002 9 1.3.2.5 30 000 5 28
29.  §2: Định Thức (vii) Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Khi đó det(AB) = detA.detB 29
30.  §2: Định Thức  Ví dụ: Cho 2 ma trận 23 15 8 31 A ; B AB 14 27 9 33 det(A ) 5;det( B ) 3 det(AB ) 15 5.( 3) det( A ).det( B ) 30
31.  §2: Định Thức 2.4 Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp 31
32.  §2: Định Thức  Ví dụ 1: Tính định thức 12 13 1 2 13 231 5 h2 2 h 1 0 13 1 D 165 2 16 5 2 34 27 3 4 27 12 13 13 h h 1 3 1 3 1 j 1 0 13 1 1 h 3 h a11 A11 1.8 4 1 4 1 08 4 4 1 1 2 1 2 034 21 27 2 32
33.  §2: Định Thức  Ví dụ 2: Tính định thức 0 23 5 1 02 2 1 02 2 h1 h 2 0 23 5 D 230 6 230 6 4 17 0 4 17 0 102 2 2 3 5 h3 2 h 1 02 3 5 13 4 2 h 4 h 03 4 2 4 1 1 1 8 01 18 33
34.  §2: Định Thức  Bài tập: Tính định thức sau 11 2 0 3 104 D = 58 205 2 0 361 34
35.  §2: Định Thức  Ví dụ 3: Tính định thức cấp n sau 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 h2 h 1 0 1 0 Dn 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0  Tiếp tục hàng 3 trừ hàng 1, hàng 4 trừ hàng 1, 35
36.  §2: Định Thức  Ta được: 1 1 1 1 0 1 0 0 n 1 Dn 0 0 1 0 ( 1) 0 0 0 1 36