Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 3)

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 3)

1. Bài 3 AX B X A 1 B 1
2.  §3: Ma trận nghịch đảo Xét phương trình: a x = b. b 1 Ta có: x b a 1b.(a 0) a a Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có AX B X A 1 B. như vậy A 1 là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào? 2
3.  §3: Ma trận nghịch đảo Ta để ý: a x b A X B a 1ax a 1b AAX 1 AB 1 1x a 1b IX AB 1 x a 1b X A 1 B Phải chăng A 1 A I ? 3
4.  §3: Ma trận nghịch đảo 3.1 Định nghĩa. a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=En Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1. -1 -1 Như vậy, A.A = A A=En 4
5.  §3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét: (1) Ma trận đơn vị En khả nghịch và -1 (En) =En (2) Ma trận không  không khả nghịch vì .A A .   ,  A 5
6.  §3: Ma trận nghịch đảo Nhận xét: 6
7.  §3: Ma trận nghịch đảo b. Tính chất: Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả nghịch và (i) AB 1 B 1 A 1 1 1 (ii) kA A 1 k (iii) (A 1 ) 1 A 7
8.  §3: Ma trận nghịch đảo c. Ma trận phụ hợp Cho A [ a ij ] là ma trận vuông cấp n. Ma trận phụ hợp của A, kí hiệu là PA ,được định nghĩa như sau: A11 A 21 An 1 A A A P 12 22n 2 A A1n A 2 n A nn trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A. 8
9.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 1 2 3 A11 28 A21 -29 A31 -12 A 14 A -5 A -6 A 2 4 0 12 22 32 A -6 A 13 A 8 4 5 7 13 23 33 A11 A 21 A 31 P AA A A 12 22 32 A13 A 23 A 33 9
10.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 2 0 0 A11 -1 A21 0 A31 0 A 5 A -2 A 0 A 5 1 0 12 22 32 A13 17 A -8 A 2 3 4 1 23 33 A11 A 21 A 31 P AA A A 12 22 32 A13 A 23 A 33 10
11.  §3: Ma trận nghịch đảo 3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo a. Sử dụng phần phụ đại số Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì PA .A A.P A det A.E trong đó, PA là ma trận phụ hợp của ma trận A. 11
12.  §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ: 1 2 3 28 29 12 AP 24014 5 6 A 4 57 613 8 38 0 0 1 0 0 0 38 0 380 1 0 0 0 38 0 0 1 12
13.  §3: Ma trận nghịch đảo Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là detA ≠0 . Khi đó, 1 A 1 P det A A 13
14.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: 28 29 12 1 A 1 14 5 6 38 6 13 8 14
15.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3 det(A ) 1 A 0 1 4 0 0 1 1 2 5 A 1 0 1 4 1 2 5 P 0 0 1 A 0 1 4 0 0 1 15
16.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 6 4 6 A P det(A ) 2 A 1 4 1 2 1 4 6 2 3 A 1 1 2 1 2 2 1 16
17.  §3: Ma trận nghịch đảo Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2 ab db A PA cd ca  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 25 1 1 2525 A A 12det A 1212 17
18.  §3: Ma trận nghịch đảo b. Phương pháp Gauss-Jordan Cho ma trận A có detA≠0. -Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, được ma trận [A|E] -Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển ma trận [A|E] về dạng [E|B] -Khi đó B=A-1 18
19.   Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3 A 0 1 4 1 2 2 19
20.   Lời giải: 1 2 31 0 0 12 31 00 h3 ( 1) h 1  A| E 014010  01 40 10 1 2 20 0 1 00 1101 12 0203 1006 2 5 h 4 h h ( 2) h  2 3 01 0414  1 2 01041 4 h1 3 h 3 00 1101 00 110 1 1006 2 5 h3 ( 1) 1  0104 1 4 A 0011 0 1 20
21.  §3: Ma trận nghịch đảo Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) AX = B 2) XA = B 3) AXB = C 4) AX + kB = C 21
22.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ta có: 1) AX=B A-1 AX=A-1B EX=A-1 B X A 1B 2) XA B XAA 1 BA 1 XE BA 1 X BA 1 A 1 B 22
23.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ta có: 3) AXB=C A-1 AXB=A -1C XBB-1 =A -1CB 1 X A 1CB 1 4) AX kB C AX ( C kB ) A 1 AX A 1( C kB ) X A 1( C kB) 23
24.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn: 123 15 014 X 04 001 23 Phương trình có dạng: AX=B Ta có: X A 1 B 24
25.  §3: Ma trận nghịch đảo Vậy 1 2 515 X 01 4 04 00 123 9 18 8 16 2 3 25
26.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ 2: Tìm ma trận X thỏa mãn: 13 11 23 X 2 24 20 05 Phương trình có dạng XA 2 B C X ( C 2 BA ) 1 26
27.  §3: Ma trận nghịch đảo 1 1 43 01  Ta có A ; C 2 B 2 21 45 Với X ( C 2 BA ) 1 nên 01 1 43 1 0143 X ( ) 45 2 21 2 4521 1 2 1 1 1 2 17 2 26 17 13 2 27
28.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ 3. Tìm ma trận X thỏa mãn: 24 27 48 X 35 13 20 Phương trình có dạng AXB C X ACB 1 1 28
29.  §3: Ma trận nghịch đảo  Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trìnhsau: x 2 y z 6 121 x 6 3x y 2 z 1  312 y 1 435 z 5 4x 3 y 5 z 5 1 1 AX B X A B X 2 1 29
30.  §3: Ma trận nghịch đảo  Bài tập: 2 1 2 1. Cho ma trận A và đa thức f(x) x 5x 1 5 3 Tính f(A). Tìm ma trận X thỏa mãn (5A2 AX 3 ) At 2. Cho các ma trận 123 771 210 A 012,B 238,C 113 130 045 014 a) Tính det(B-2C) và tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có) b) Tìm ma trận X thỏa mãn X(AB 2AC) (B 2C)2 (Đề thi K55 – Đề 1 – Đề 3) 30