›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 5)

pdf 52 trang haiha333 07/01/2022 3800
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 5)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_ii_ma_tran_dinh_thuc_he_p.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 5)

  1. BÀI 5 1
  2.  §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.1 Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính. 5.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng: axax111 122 ax 1n n b 1 axax21 1 22 2 ax 2n n b 2 (*) axaxm11 m 22 axb mn n m trong đó aij là hệ số của pt thứ i của ẩn xj , bi là hệ số tự do của phương trình thứ i, xj là các ẩn số (i=1, ,m, j=1, ,n). 2
  3. §5: Hệ phương trình tuyến  tính - Nếu bi = 0 với mọi i=1,2, ,m thì hệ được gọi là hệ tuyến tính thuần nhất. Ví dụ 235xx1 2 x 3 x 4 2 Hệ 4 phương trình 4 ẩn x12 x 2 3 x 3 4 x 4 0 3853x1 x 2 x 3 x 4 2 Là hệ không thuần nhất 4x2 2 x 3 7 x 4 9 3
  4. §5: Hệ phương trình tuyến  tính + Ma trận gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình A [ aij ] m n (*). b1 b + Ma trận b 2 gọi là ma trận hệ số tự do của hệ phương trình (*). bm x1 x + Ma trận x 2 gọi là ma trận ẩn số của hệ phương trình (*). xn 4
  5.  §5: Hệ phương trình tuyến tính  Ví dụ: Cho hệ phương trình 235x1 x 2 xx 34 2 x12 x 2 3 x 3 4 x 4 0 3853x1 x 2 x 3 x 4 2 4x2 2 x 3 7 x 4 9 2351 2 x1 1234 0 x  A , b , x 2 3853 2 x3 0427 9 x4 5
  6.  §5: Hệ phương trình tuyến tính Ma trận bổ sung của hệ (*): Ab s A  A|b   Ví dụ: Cho hệ phương trình 235x1 x 2 xx 34 2 2 35 12 x12 x 2 3 x 3 4 x 4 0 1 23 40  Abs A [A|b] 38532x1 x 2 x 3 x 4 38532 4x2 27 x 3 x 4 9 0 42 79 Nhận xét: Các hệ số của phương trình thứ i là các phần tử ở hàng thứ bs i của A và ngược lại. 6
  7.  §5: Hệ phương trình tuyến tính Với các kí hiệu đó, hệ (*) được đưa về dạng Ax b ( ) gọi là dạng ma trận của hệ (*).  Ví dụ: 2x 7 y z 9 271 x 9 3x y 4 z 0 314 y 0 5x 9 y 2 z 5 592 z 5 7
  8.  §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.2. Hệ Cramer Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến được gọi là hệ Cramer Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 8
  9.  5.2 Hệ Crame Định lý: Mọi hệ Cramer n pt đều có nghiệm duy nhất (x1, x2, ,xn) được xác định bởi công thức D x j j D 9
  10.  5.2 Hệ Crame 10
  11.  5.2 Hệ Crame Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 11
  12.  5.2 Hệ Crame 12
  13.  5.2 Hệ Crame 13
  14.  5.2 Hệ Crame 14
  15.  5.2 Hệ Crame  Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 1 1 2 x1 x 2 2 x 3 1 D1 5 1 3 = -19 2x x 3 x 5 1 2 3 1 2 1 3x1 2 x 2 x 3 1 1 1 2 D2 2 5 3 = -29 1 1 2 3 1 1 D 2 1 3 = -8 1 1 1 3 2 1 D3 2 1 5 = -9 3 2 1 15
  16.  5.2 Hệ Crame D x 1 19 1 D 8 D x 2 29 2 D 8 D x 3 9 3 D 8 16
  17.  §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.3. Giải hệ phương trình bằng PP Gauss 5.3.1. Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình Nhân một số (  0 ) vào 2 vế của 1 PT của hệ. Đổi chỗ hai PT của hệ. Nhân một số (  0 ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ. x y z 1 x y x z y1 z 1 pt3 2 pt2 pt 3 2x y 3 z 2 2 x y 2x 3 z 4 y 2 2 z 10 x 2 y z 5 2x 4 y2 x 2 z y 1 30 z 2 17
  18.  5. Giải hệ PT bằng PP Gauss  Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng. VD x y z 1 x y z 1 x y z 1 pt2 ( 2) pt 1  3y 5 z 0 pt3 pt 2 2x y 3 z 2 pt3 ( 1) pt 1  3y 4 x 2 y z 5 3y 4 3y 5 z 0 1 1 11 1 1 11 1 1 11 h ( 2) h h3 h 2 A 2 1 32  2 1 0 3 50  0 3 04 h3 ( 1) h 1 0 3 50 1 2 15 0 3 04 18
  19.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 5.3.2. Định lí Kronecker-Capelli a. ĐL: Cho hệ phương trình Ax=b Hệ có nghiệm r(A) r(A) Cụ thể hơn, ta có kết quả sau: Nếu Ax=b là hệ n ẩn số, ta có + r(A) r(A) hệ vô nghiệm + r(A) r(A) n hệ có nghiệm duy nhất + r(A) r(A) r n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số 19
  20.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Chứng minh. Xét hệ phương trình tổng quát sau: Giả sử A có hạng là r 20
  21.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Ta có ma trận bổ sung tương ứng 21
  22.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng: aa'11 ' 12 a ' 1r a ' 1 n b'1 0a ' a ' a ' b' 22 2r 2 n 2 A' 0 0 a 'rr a ' rn b 'r 0 0 0 0 b r 1 0 0 0 0 bn 22
  23.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Khi đó ta có:  Nếu r(A) r(A) thì tồn tại ít nhất một trong các br+1, br+2 , ,bn khác 0 nên hệ pt vô nghiệm.  Nếu r(A) r(A) n thì hệ là hệ Cramer, nên có nghiệm duy nhất.  Nếu r(A) r(A) r n thì chuyển các ẩn xr+1, xr+2, , xn sang vế phải ta được hệ: axax'11 1 ' 12 2 axbax ' 1nr 1 ' 1, rr 1 1 ax ' 1, nn axax'211 ' 222 axbax ' 2nr 2 ' 2,11 rr ax ' 2, nn 23 axax'r1122 ' r axbax ' rrrrrrr ' ,11 ax ' rnn ,
  24.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss axax'11 1 ' 12 2 axbax ' 1nr 1 ' 1, rr 1 1 ax ' 1, nn axax'211 ' 222 axbax ' 2nr 2 ' 2,11 rr ax ' 2, nn axax'r1122 ' r axbax ' rrrrrrr ' ,11 ax ' rnn , Ta gán cho các ẩn xr+1, xr+2, , xn các giá trị cụ thể ta sẽ được một hệ Cramer với r ẩn x1, ,xr. Do đó, trong trường hợp này hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số. Các ẩn x1, ,xr gọi là các ẩn cơ sở (cơ bản), còn xr+1, xr+2, , xn gọi là các ẩn tự do hay ẩn phụ (tham số). 24
  25.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 5.3.3. Phương pháp Gauss bs Bđsc Hệ Ax=b A =[A|b] Bbs=[B|c] (bậc thang) theo hàng Khi đó: + r(A)=r(B), r(Abs)=r(Bbs) + Ax b Bx c 25
  26.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 26
  27. 5.3. Giải hệ PT bằng PP  Gauss h2 2 h 1  h4 4 h 1 h5 h 1 12 11 0 12 11 0 01 1 1 1 011 1 1 h3 7 h 2 h h h h  2 3 0 73 23  4 8 2 0 0 10 5 10 h5 h 2 08 25 2 0 0 10 3 10 0 12 0 2 003 1 3 27
  28. 5.3. Giải hệ PT bằng PP  Gauss 12 11 0 12 11 0 011 1 1 011 1 1 0 0 10 5 10  h3 3 h 5 001 2 1 0 0 10 3 10 0 0 10 3 10 00 3 1 3 003 1 3 12 110 12 110 011 11 011 11 h4 10 h 3 17h5 5 h 4  h ( 3 )h 001 21  001 21 5 3 00 0 17 0 0 0 0 17 0 000 50 000 00 r(Abs ) r(A) 4 Hệ có nghiệm duy nhất 28
  29. 5.3. Giải hệ PT bằng PP  Gauss 12 110 011 11 Hệ tương đương với 001 21 x 2 xxx 0 1 234 x1 1 0 0 0 17 0 x x x 1 2 3 4 x2 0 000 00 x3 2 x 4 1 x 3 1 17x 0 4 x4 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;0;1;0) 29
  30.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 30
  31.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 31
  32.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang: Abs 32
  33.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 33
  34.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 34
  35.  §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 35
  36.  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss VD3. Giải hệ phương trình: x1 2 x 2 3 x 3 1 (K55-đề 1) 23x1 x 2 7 x 3 3 x1 x 2 4 x 3 2 VD4: Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình theo tham số a, b x1 3 xx 23 4 x 4 0 27x1 x 2 22 x 3 x 4 8 x1 4 x 2 3 x 3 ax 4 b (Đề 2-K53) 36
  37.  5.4. Hệ PTTT thuần nhất 5.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 37
  38.  §5: Hệ PTTT thuần nhất 38
  39.  §5: Hệ PTTT thuần nhất 39
  40.  §5: Hệ PTTT thuần nhất Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung a11 a 12 a 1n 0 a a a 0 Abs 21 22 2n am1 a m 2 a mn 0 Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số 40
  41.  §5: Hệ PTTT thuần nhất  Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:  Hệ có nghiệm duy nhất Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình  Hệ có vô số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình 41
  42.  §5: Hệ PTTT thuần nhất Tóm lại: Hệ thuần nhất n ẩn - chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi r(A)=n - có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A)≠n. VD1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường. 42
  43.  §5: Hệ PTTT thuần nhất Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A)<3. 43
  44.  §5: Hệ PTTT thuần nhất Cách 1. Ta có: 1 2 1 Biến đổi A  0 3 1 sơ cấp 0 0m 2 Do đó với m 2 r ()3 A Vậy với m 2 thì hệ có nghiệm không tầm thường 44
  45.  §5: Hệ PTTT thuần nhất Cách 2. Vì r(A)<3  detA=0 nên 1 2 1 det(A ) 2 1 3 1 1 m (3m 6) 0 m 2 45
  46.  MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 1. Cho hệ phương trình x1 x 2 xx 34 1 2x1 x 2 x 3 3 x 4 8 với a, b là tham số 3xxx1 2 2 3 b 443x1 x 2 x 3 ax 4 14 a) Giải phương trình với a=4, b=-5 b) Tìm a, b để hệ phương trình vô nghiệm. (Đề 1-K52) (Đ/s: a) (3;1;-2;1) b) a=10, b≠-11) 46
  47.  MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 2. Cho hệ phương trình x1+ x 2 x 34 ax 5 2x1 2 xx 23 - 3 x 4 10 với a, b là tham số 2xxx1 2 34 +x b 2x1 3 x 2 4 x 3 2 x 4 11 a) Giải phương trình với a=1, b=3 b) Tìm a, b để hệ phương trình vô số nghiệm. (Đề 2-K52) (Đ/s: a) (2;-1;1;3) b) a=-1, b=-9) 47
  48.  MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 3. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình theo a và b x1 2 x 2 - 4 xx 34 4 i) 3xx1 5 2 x 3 2 x 4 7 (Đề 1-K53) 2x1 3 x 2 ax 3 -3 x 4 b x1 3 xx 23 4 x 4 5 ii) 2x1 7-2 xx 2 3 2 x 4 8 (Đề 2-K53) x1 4 x 2 3 x 3 ax 4 b 48
  49.  MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 4. Giải hệ phương trình x1 x 2 2 xx 34 3 2 2x1 2 x 2 3 x 3 5 x 4 2 i) (Đề 3-K54) 3xx12 2 x 3 x 4 2 2xx1 6 2 7 x 3 13 x 4 10 x1 2 x 2 xx 34 4 2xxx123 4 x 4 =3 ii) (Đề 4-K54) xx12 2 xx 34 1 24x1 x 2 46 x 3 x 4 6 49
  50.  MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 4. Giải hệ phương trình x1 x 2 2 xx 34 3 2 2x1 2 x 2 3 x 3 5 x 4 2 i) (Đề 3-K54) 3xx12 2 x 3 x 4 2 2xx1 6 2 7 x 3 13 x 4 10 x1 2 x 2 xx 34 4 2xxx123 4 x 4 =3 ii) (Đề 4-K54) xx12 2 xx 34 1 24x1 x 2 46 x 3 x 4 6 50
  51.  MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 5. Tìm giá trị của tham số thực a để hệ có nghiệm duy nhất x1 x 2 x 3 1 i) 2x1 ax 2 3 x 3 2 (Đề 3-K51) 3x1 ax 2 ( a 1) x 3 5 x1 2 x 2 x 3 3 ii) 2x1 ax 2 ax 3 5 (Đề 4-K51) 3x1 5 x 2 ( a 2) x 3 7 51
  52.  MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 6. Cho hệ phương trình 2x1 6 x 2 16 xx 34 0 x1 3 x 2 x 3 2 x 4 0 xx1 7 2 17 xx 3 3 4 = 0 4xx12 7 x 3 2 x 4 0 i) ii) x1 4 x 2 10 xx 34 + = 0 9x1 3 x 2 14 xx 34 + 0 2x1 2 x 2 4 x 3 3 x 4 0 x1 4 x 2 3 x 3 3 x 4 0 (Đề 1-hè 2010) (Đề 2-hè 2010) a) Giải hệ khi λ=1 b) Với giá trị nào của λ thì số chiều của không gian nghiệm bằng 2? 52