Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương III: Không gian vector

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương III: Không gian vector

1. CHƯƠNG 3 1
2.  §1: Không gian vector Cơ cấu tổ chức của trường đại học Hiệu trưởng Trưởng Trưởng Trưởng Trưởng phòng phòng phòng phòng nghiên cứu Đào tạo hành chính Tài vụ Khoa học
3.  §1 : Không gian vector Cơ cấu tổ chức của công ty Giám đốc Trưởng Trưởng Trưởng Trưởng phòng phòng phòng phòng kinh doanh hành chính tài vụ kế hoạch
4.  §1 : Không gian vector
5.  § 1: Không gian vector
6.  § 1 : Không gian vector
7.  § 1 : Không gian vector
8.  § 1 : Không gian vector
9.  § 1 : Không gian vector
10.  § 1 : Không gian vector
11.  § 1 : Không gian vector
12.  § 1 : Không gian vector 1.1. Khái niệm. 1.1.1. Định nghĩa. Cho tập V khác rỗng và một trường số K, cùng hai phép toán: - phép cộng: "":V V V (u,v) u v - Phép nhân với vô hướng ".":K V V (k,v) kv
13.  § 1 : Không gian vector Bộ ba (V;+;.) gọi là một không gian vecto (KGVT) trên K hay một K-không gian vecto nếu thỏa mãn 8 tiên đề:
14.  §1: Không gian vector
15.  §1: Không gian vector 1.1.2. Ví dụ VD1: Tập các số thực R là một R - không gian vecto với - véc tơ không là số 0 - vecto đối của u là số đối (-u)
16.  §1: Không gian vector VD2.
17.  §1: Không gian vector VD3.
18.  §1: Không gian vector Tổng quát n (x1 ;x 2 ; ;xn )|x i ,i 1 ,n với hai phép toán: " ":(x;x12 ; ;xn ) (y;y 12 ; ;y n ) (x1 y;x 12 y; ;x 2 n y) n ".":k(x12 ;x ; ;xn ) (kx 12 ;kx ; ;kx n ) là một R-kgvt với vecto không θ=(0;0; ;0) và vecto đối của v= (x1, x2, , xn) là (-v)=(-x1,- x2, , -xn)
19.  §1: Không gian vector VD4.
20.  §1: Không gian vector VD5
21.  §1: Không gian vector VD6. Không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất Xét tập nghiệm của hệ AX=0: V={X∈Rn| AX=0} Với phép toán cộng và nhân với vô hướng của Rn, ta có V là một không gian véctơ với vec tơ không là nghiệm tầm thường (0;0; ;0)
22.  §1: Không gian vectơ 1.1.3. Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ Cho V là một K-kgvt. Khi đó ta luôn có -Vectơ không θ là duy nhất. -Vectơ đối (-v) của vectơ v là duy nhất.  0 - Ta có v  v 
23.  §2: Không gian vectơ con 2.1. Không gian con. a. Định nghĩa. Cho không gian vectơ (V,+,.). Một tập con W khác rỗng của V gọi là không gian con của V nếu (W,+,.) là một không gian vectơ.
24.  §2: Không gian vectơ con b. Định lý. Tập con khác rỗng W của không gian vecto V là không gian con của V nếu W đóng kín đối với hai phép toán của V, tức là: i)  x,y W : x y W ii)   x W ,k K: kx W Chú ý: Các điều kiện (i) và (ii) tương đương với   x,yW , k,l K: kx ly W
25.  §2: Không gian vectơ con Để chứng minh một tập con W của không gian vecto V là không gian con của V ta cần chỉ ra: (i) W  ( W) (ii) W đóng kín đối với hai phép toán của V:  x,y W : x y W   x W ,k K: kx W Chú ý: -Mọi không gian con đều chứa vectơ không. -Một kgvt V bất kì luôn có 2 không gian con tầm thường là {θ} và V.
26.  §2: Không gian vectơ con Thật vậy, rõ ràng  (0 ; 0 ) W W  Mặt khác,  x (a, 0 ),y (b, 0 )  W, k ta có x y (a b,)0 W kx (ka,0 ) W Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
27.  §2: Không gian vectơ con
28.  §2: Không gian vectơ con  W, W  và
29.  §2: Không gian vectơ con = 0
30.  §2: Không gian vectơ con = 0
31.  §2: Không gian vectơ con 3. Tập nghiệm của hệ AX=0 là một không gian con của n . Chứng minh.
32.  §2: Không gian vectơ con  Bài Tập: Kiểm tra các tập sau đây có là không gian vectơ con của các không gian vectơ tương ứng không? U (,,) xyz R3 /2 xy 3 z 0 W (,) xyRx 2 / 2 y 1 2 M xt() at btcPt2 []/ abc 0 t N AMA n | A
33.  §2: Không gian vectơ con 2.2. Tổ hợp tuyến tính-Hệ sinh. a.Định nghĩa Cho hệ vectơ S={v1, v2, ,vn} trong không gian vectơ V. Vectơ v cv11 cv 22 cvn n với c i ,i  1 ,n gọi là một tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói v được biểu diễn tuyến tính qua v1, v2, ,vn .
34.  §2: Không gian vectơ con VD1: Cho x1 (;12 ),x 2 (;),x 31 (; 53 ) Ta có 2.(1;-2)+(3;1)=(5;-3) hay 2x1 x 2 x Vậy x là tổ hợp tuyến tính của hệ {x1, x 2 } hay x được biểu diễn tuyến tính qua x 1 , x 2 .
35. §2:Không gian vectơ con 
36. §2: Không gian vectơ con 
37. §2: Không gian vectơ con  Nhận xét:
38.  §2: Không gian vectơ con b. Định nghĩa. Cho hệ vectơ S={v1, v2, , vm} trong không gian vectơ V. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S gọi là bao tuyến tính của hệ S, kí hiệu là span(S) hoặc span(v1, v2, , vm) c. Định lý. W= span(v1, v2, , vm) là một không gian con của không gian vectơ V. Hơn nữa, nó là không gian con nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa {v1, v2, , vm}. Chứng minh:
39.  §2: Không gian vectơ con d. Hệ sinh - Hệ vectơ { x 1 , x 2 , , x n } gọi là hệ sinh của không gian V nếu  xV:x 11 x  22 x  n x n tức là V span(x1 ,x 2 , ,xn ) - Khi đó, ta cũng nói là V được sinh bởi {x1 ,x 2 , ,xn }
40.  §2: Không gian vectơ con Thật vậy, x 2 ,x (a,b) Khi đó, x (a;b) a(;10 ) b( 01 ;) a.e1 b.e 2
41.  §2: Không gian vectơ con Thật vậy, x 2 ,x (a,b) Khi đó, x (a;b) a(;10 ) b(;) 01 025 .(; )
42.  §2: Không gian vectơ con Thật vậy, x 3 ,x (a,b,c) Khi đó, a(,100 , ) b( 010 ,, ) c( 001 , ,) (a,b,c)