›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương IV: Ánh xạ tuyến tính

pdf 58 trang haiha333 07/01/2022 2690
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương IV: Ánh xạ tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_iv_anh_xa_tuyen_tinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương IV: Ánh xạ tuyến tính

  1. CHƯƠNG 4 7/11/2014 THS. NGUYỄN HẢI SƠN - ĐHBK 1
  2. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  1.1 Định nghĩa. a.Định nghĩa. Cho V và W là 2 KGVT trên trường K. Ánh xạ f :V→W là một ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn 2 tính chất: (i) f(u v) f(u) f(v) (ii) f(ku) kf(u) với u,v V,  k K + Ánh xạ tuyến tính f :V→V gọi là toán tử tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính trên V.
  3. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  NX: Ta có thể gộp (i) và (ii) thành (iii) f(ku lv) kf(u) lf(v) với u,v  V, k,l K b. Các ví dụ. VD1. Ánh xạ không f:V W ,f(v)   W ,v V là ánh xạ tuyến tính. VD2. Ánh xạ đồng nhất IdV : V V v Id(v)V v là một toán tử tuyến tính.
  4. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  VD3. Ánh xạ đạo hàm D:P n [x] P n 1 [x] p D(p) p' là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với  f , g P n [x], k,l ta có Dkf(. lg .)(. kf lg .)' kf .'.' lg kDf () lDg ()
  5. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  VD4. Ánh xạ f : 3 2 f(x,x,x)123 (x 1 2 x,x 223 x) là ánh xạ tuyến tính.
  6. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  3 Thật vậy, với  xxxxy (,,), 123 (,,) yyy 123 , k ta có fxy()( fx1 yx 12 , yx 23 , y 3 ) ((xy11 ) 2( xyxy 2222 ),( ) ( xy 33 )) ((xx1 2 2 ) ( yyxx 1 2 223 ),( ) ( yy 23 )) (x1 2 xxx 223 , ) ( y 1 2 yyy 223 , ) fx ( ) fy ( ) f()(,,)( kx f kx123 kx kx kx 1 2, kx 22 kx kx 3 ) (kx (1 2 xkxx 2 ), ( 23 )) kx ( 1 2 xxx 223 , ) kf ( x )
  7. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  VD5. Với A là một ma trận cỡ mxn bất kì, ánh xạ f:Mnp (K) M mp (K) X AX là ánh xạ tuyến tính.
  8. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  1.2. Các phép toán a. ĐL1. Cho các ánh xạ tuyến tính f,g: V→W. Khi đó, các ánh xạ ψ,φ: V→W xác định bởi ψ(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), φ(x)=(kf)(x)=k.f(x) , k∈K,x∈V. cũng là ánh xạ tuyến tính. b. ĐL2. Cho các ánh xạ tuyến tính giữa các K-kgvt f: V→W, g: W→U. Khi đó, các ánh xạ h:V→U, h(x)=g(f(x)) hợp thành của f và g cũng là ánh xạ tuyến tính.
  9. §1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu. a.Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính f:V→W gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Trường hợp f là đẳng cấu, ta nói V và W là đẳng cấu với nhau, kí hiệu: V W b. Định lý. Mọi không gian vectơ n chiều trên trường K đều đẳng cấu với Kn .
  10. §1. Ánh xạ tuyến tính  1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng của ánh xạ tuyến tính. Đn1. Cho ánh xạ tuyến tính f:V→W giữa các không gian vectơ. - Hạt nhân của f , kí hiệu là Ker(f) xác định bởi 1 Ker(f)={v V|f(v)= W }=f ({  W }) - Ảnh của f, kí hiệu Im(f) xác định bởi Im(f)={f(u)|u V}=f(V)
  11. §1: Ánh xạ tuyến tính  Mđ 1. Ker(f) là không gian con của V Im(f) là không gian con của W. c/m: . Đn2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f) hay rank(f), là số chiều của Im(f) r(f) = dimIm(f) Mđ 2. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và V=span(S) thì f(V)=span(f(S)). c/m: .
  12. §1: Ánh xạ tuyến tính  Mđ 3. Axtt f: V→W là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={θ} c/m: . Mđ 4. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và dimV=n thì dimIm(f) + dimKer(f) = dimV=n c/m: . Hq. Hai không gian hữu hạn chiều trên trường K đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúng bằng nhau
  13. §1: Ánh xạ tuyến tính  VD 1. Cho ánh xạ tuyến tínhf : 3 3 xác định bởi fxxx (,,)(2, 123 x 1 xx 22 xxx 312 , x 3 ) a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính. b) Tìm số chiều và một cơ sở của Im(f ) và Ker(f )
  14.  §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  15. §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  2.1 Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vec tơ hữu hạn chiều f: V→W. G/s BV = {v1, v2, ,vm} và BW= {u1, u2, , un } lần lượt là cơ sở của V và W (dimV=m, dimW=n). Ma trận A có cột j là ma trận tọa độ của vectơ f(vj) đối với cơ sở BW gọi là ma trận của ánh xạ f đối với cặp cơ sở BV và BW: A [f(v )] [f(v )] [f(v )] 1BW 2 B W mB W
  16. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  NX: i) A là ma trận cỡ nxm. ii) [uu12 un ]A=[ fvfv ( 12 ) ( ) fv ( m )] MĐ 1. r(A)=r(f)=dimIm(f)
  17. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 2 xđ bởi f(x,x,x)123 (x 1 2 x,x 223 x) a)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở chính tắc. b)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở B={v1=(1;0;0), v2=(1;1;2), v3=(1;2;3)} và B’={u1=(1;0), u2=(1;1)} VD2. Tìm ma trận của ánh xạ D:P3[x] →P2[x], D(p)=p’ đối với cặp cơ sở chính tắc E={1, x, x2, x3} và E’={1, x , x2}
  18. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  VD 3. Cho ánh xạ tuyến tính f:P[x] 3 P[x] 2 có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 345 A 2 4 01 3 5 12 a) Xác định f(a bx cx2 dx) 3 b) Xác định cơ sở và số chiều của Im(f) và Kerf
  19. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  2.2 Công thức tọa độ. Cho f: V →W là ánh xạ tuyến tính có ma trận A đối với cặp cơ sở BV và BW. Khi đó, với mọi vecto u V , ta có [fu ( )] Au [ ] BW BV 3 VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f : P 2 [ x ] Xác định f(v) với v=(1;2;3) biết f có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 0 1 A 2 1 2 3 2 1
  20. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  VD2. (Đề 1_ Hè 2009) Cho toán tử tuyến tính f : 3 3 thỏa mãn: f(1;2;0) ( 1;4;7), f (0;1;2) ( 1;3;7), f (1;1;1) (0;4;6) a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 b) Tìm vecto v 3 sao cho f (v) = (-1;7;13) VD3. (Đề 2_ Hè 2009) Tương tự VD2 với f(1;2;0) (1;5;5), f (0;1;2) (1;4;5), f (1;1;1) (0;4;6)
  21. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  Nhận xét. Cho BV và BW tương ứng là cơ sở của các kgvt V và W, dim V=n, dimW=m. Khi đó, ta có tương ứng 1-1 giữa mỗi ánh xạ tuyến tính f: V →W với tập các ma trận cỡ mxn.
  22. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  2.1.3. Ma trận của ánh xạ tổng và ánh xạ tích ĐL1: Nếu f, g: V →W là các ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cặp cơ sở BV và BW lần lượt là A và B thì ma trận của các ánh xạ f+g và λ f đối với cặp cơ sở BV và BW tương ứng là: A+B và λA. ĐL2. Nếu f: V →W , g: W →U là các ánh xạ tuyến tính, f có ma trận A đối với cặp cơ sở BV và BW và g có ma trận B đối với cặp cơ sở BW và BU thì ma trận của các ánh xạ gof đối với cặp cơ sở BV và BU là BA.
  23. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  2.4 Ma trận của toán tử tuyến tính theo một cơ sở. 2.4.1. Đ/n. Cho toán tử tuyến tính f: V→V trên không gian n chiều V và B là một cơ sở của V. Ma trận của f đối với cặp cơ sở B , B gọi là ma trận của toán tử f đối với cơ sở B. NX. Nếu B {v1 , v 2 , , vn } và A là ma trận của f đối với cơ sở B thì [f()f()vv12 f()][ vvvn 12  vA n ]
  24. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  2.4.2 Mệnh đề. Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian véc tơ V. α={v1,v2, ,vn} và α’={u1,u2, ,un} là 2 cơ sở của V. G/s mtr chuyển cơ sở từ α sang α’ là C, mtr của f đối với cơ sở α và α’ lần lượt là A và B. Khi đó B=C-1AC C/m: .
  25. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  VD1. Cho toán tử tuyến tính f : 3 3 xđ bởi f(x,x,x)123 (x 12 x,x 21232 x x,x 2 x) 3 a) Tìm mtr của f đối với cơ sở chính tắc b) Tìm mtr của f đ/v B { 1;0;0 , 1;1;0 , 1;1;1 } VD2. Cho toán tử tuyến tính f : 3 3 có ma trận A đối với cơ sở B { 1;1;1 , 1;1;2 , 1;2;3 } Tính f(6;9;14) biết 1 0 1 A 1 1 2 2 2 1
  26. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  2.4.3 Đ/n. Hai ma trận A và B gọi là đồng dạng, kí hiệu là A~B, nếu tồn tại ma trận khả nghịch C sao cho B=C-1AC. NX: (i) Các ma trận của một toán tử tuyến tính f trên không gian vectơ V theo hai cơ sở của V đồng dạng với nhau. (ii) Quan hệ đồng dạng của hai ma trận là quan hệ tương đương. (iii) A và B đồng dạng thì detA = detB
  27. Một số đề thi  Bài 1. Cho toán tử tuyến tính f:P 2 [x] P 2 [x] thỏa mãn: f(1 xx)2 353 x x,f( 22 2 x) 108 x, 2 f(2 xx) 32 254 x x 2 Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. (Đề 1_K52)
  28. Một số đề thi  Bài 2. Cho toán tử tuyến tính f:P 2 [x] P 5 [x] xác định bởi f(p(x)) x2 p(x) p'(x) a) Tìm ma trận của f đối với các cơ sở cơ sở B {p1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 } và cơ sở chính tắc E của P 5 [x] , trong đó 3 23 2 p12 =1+x , p =2+3x +x , p 34 =3x-x , p 1 x b) Tìm f(7 3 x) (Đề 1-8/2010) Bài 2’. Tương tự bài 2, với f:P2[x] P 5 [x], f(p(x)) x3 p(x) p'(x) 2 2 B {p1 ,p 2 ,p 3 } với p1 =1+x , p 2 =1+2x+3x , p 3 =3+5x (Đề 2-8/2010)
  29. Một số đề thi  Bài 3. Cho toán tử tuyến tính f:P 2 [x] P 2 [x] có ma trận theo cơ sở B { 1 x, 1 x,x} 2 là 2 2 1 A 1 3 m 1 2 2 Xác định một cơ sở và số chiều của Kerf theo m. (Đề 1_K53)
  30. Một số đề thi  Bài 4. Cho toán tử tuyến tính f:P 2 [x] P 2 [x] thỏa mãn f(a bx cx)2 (a24 b c) (a 237 b c)x (a 3 b 7 c)x 2 a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}. f có là toàn ánh không? b) G/s u 1 mx (m 3 )x 2 . Xác định m để u Imf Đ/s: m=5/2 (Đề 3_K56) Bài 4’. Tương tự bài 4, với f(a bx cx)2 (a23354 b c) (a b c)x ( 2 a b 9 c)x 2 u 1 mx(m 3 7 )x2 (Đề 4_K56) Đ/s: m=0
  31. Một số đề thi  Bài 5. Cho toán tử tuyến tính f:P 2 [x] P 2 [x] thỏa mãn f(2 x) 4112 x x;f(2 1 xx) 2 410 x(a 3 )x; 2 f(1 x)2 25 x(a 1 )x 2 a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}. b) G/s u 3 8 xbx 2 . Xác định a, b để u Imf Đ/s: a 5 hoặc (a,b) (5 ; 3 ) (Đề 1-K55) Bài 5’. Tương tự bài 5, với f(x 1275 ) x x;f(2 1 xx) 2 10 x(a 5 )x; 2 f(xx) 2 58 x(a 8 )x;u 2 12 xbx 2 Đ/s: a 5 hoặc (a,b) ( 5 ;) 1 (Đề 2-K55)
  32. Một số đề thi  Bài 6. Cho toán tử tuyến tính f : 4 4 có ma trận theo cơ sở chính tắc của 4 là 1 0 1 0 0 1 1 1 A 1 1 2 1 3 12 1 1/ Xác định số chiều của Im(f). Tìm một cơ sở của Ker(f). 2/ Cho v1 (;;;),v2021 2 (;;;),v 3210 3 ( 1211 ; ;;) Đặt W span(v 1 ,v 2 ,v 3 ). Xác định số chiều và một cơ sở của W và f(W). (Đề 1_K51)
  33. Một số đề thi  Bài 7. Cho toán tử tuyến tính f : 4 4 có ma trận theo cơ sở chính tắc của 4 là 21 11 11 0 1 A 53 23 32 12 1/ Xác định số chiều của Im(f). Tìm một cơ sở của Ker(f). 2/ Cho v1 (;;;0101 ),v 2 (;;;),v 1111 3 (;;;) 2010 Đặt W span(v 1 ,v 2 ,v 3 ). Xác định số chiều và một cơ sở của W và f(W). (Đề 2-K51)
  34.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
  35.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG 3.1. Trị riêng và vectơ riêng 3.1.1 Đ/n1. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt V. Không gian con V’  V được gọi là kg con bất biến đối với toán tử f nếu f(V’)  V’ VD1. Với một toán tử tuyến tính bất kì f trên kgvt V bao giờ cũng có hai kg con bất biến là V và {θ}.
  36. §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG  3.1.2 Đ/n2. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt V trên trường K. Phần tử λ∈ K gọi là (giá) trị riêng của f nếu tồn tại vec tơ x ∈V (x ≠θ) sao cho f(x)= λ x. Khi đó, x gọi là vec tơ riêng của f ứng với trị riêng λ. 2 2 VD2. f: ,(,)(3 fxx12 xxxx 121 , 3) 2 Khi đó λ =2 là một trị riêng của f vì với x=(1;-1), ta có f(x)=f(1;-1)=(2;-2) =2(1;-1)=2x
  37. §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG  Mđ1. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt V. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương (i) λ là trị riêng của f (ii) (f- λ.IdV) không là đơn ánh trong đó IdV là ánh xạ đồng nhất trên V. (c/m: ) ĐL 1. Các vec tơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau đôi một của một toán tử tuyến tính là độc lập tuyến tính.
  38. §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG  Mđ 2. Cho f là một toán tử tuyến tính f trên K- kgvt V. Khi đó, với mọi λ∈K, tập V λ ={v|f(v)= λ v} là một kg con bất biến của f và không gian này khác {θ} khi và chỉ khi λ là một trị riêng của f . (C/m: ) NX: Nếu λ là một trị riêng của f thì V λ là tập tất cả các vec tơ riêng của f ứng với λ và vectơ không. Đ/n3. Nếu λ là một trị riêng của f thì Vλ (Vλ(f)) gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng λ.
  39. §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG  3.2.Bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều. 3.2.1. Phương trình đặc trưng. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt n chều V và có mtr A đối với cơ sở B={v1, v2, , vn}. Gọi v là một vec tơ riêng ứng với trị riêng λ và tọa độ của v đối với B là (v)B=(x1, x2, , xn). Khi đó, ta có [f(v)]B=A[v]B và f(v)= λ v.
  40.  §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG Ta có f (vv )   [ vA ]B [v] B A[v]B   [ v ] B 0 ( AE )[v] B 0 Vì [v]B≠0 nên det(A- λ E)=0. Đ/n 1: Cho ma trận A vuông cấp n và λ là một số. Nếu tồn vec tơ cột x ≠0 sao cho (A -λ E)x =0 thì λ gọi là trị riêng của A và x gọi là vec tơ riêng của A. Rõ ràng, λ là trị riêng của A det(A- λ E)=0.
  41. §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG  NX. Nếu λ là trị riêng, v là vec tơ riêng của của f khi và chỉ khi λ là trị riêng, [v]B là vec tơ riêng của của A và ngược lại. Đ/n2. Đa thức det(A- λE) (bậc n đối với biến λ) gọi là đa thức đặc trưng của f và cũng gọi là đa thức đặc trưng của A. NX: Nghiệm của đa thức đặc trưng là các trị riêng của f và ngược lại.
  42. §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG  Định lí. Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính f không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của V. (c/m: ) NX. Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đa thức đặc trưng.
  43. §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG  3.2.2 Thuật toán tìm trị riêng và vec tơ riêng của toán tử tuyến tính. B1: Tìm mtr A của f đ/v một cơ sở nào đó của V. (thông thường ta chọn cơ sở chính tắc) B2. Tìm đa thức đặc trưng của f: det(A-λE) . B3. Giải pt det(A-λE)=0. Nghiệm của pt λ1, λ2, ,λn là các trị riêng của f. B4. Với mỗi trị riêng λi , giải hệ (A- λiE)x=0. Nghiệm khác không của hệ là tọa độ các vec tơ riêng ứng với trị riêng λi.
  44. §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG  VD1. Tìm trị riêng và vec tơ riêng của toán tử tuyến tính f : 2 2 xác định bởi fxx(,)(612 x 1 4;3 x 2 xx 12 ) VD2. Tìm trị riêng và vectơ riêng của toán tử tuyến tính fPx :[] 2 Px 2 [] xác định bởi 2 faaxax(012 )(562) a 012 a a 2 (a12 8 axa ) ( 0 2 ax 2 )
  45.  §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
  46. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  4.1 Ma trận chéo hóa được. 4.1.1. Đ/n. Ma trận đồng dạng với ma trận chéo được gọi là ma trận chéo hóa được. Với A là một ma trận vuông cho trước, quá trình làm chéo hóa A là quá trình tìm ma trận không suy biến T sao cho T-1AT là ma trận chéo. Khi đó, mtr T gọi là ma trận làm chéo hóa A.
  47. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  VD. 52 21 1 2/51/5 A , T , T 28 12 1/52/5 1 4 0 TAT 0 9 A là mtr chéo hóa được và T là mtr làm chéo hóa A
  48. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  ?1. Tiêu chuẩn để một ma trận chéo hóa được? ?2. Nếu A chéo hóa được, hãy tìm ma trận T làm chéo hóa A. ?3. Ma trận T có duy nhất không?
  49. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  4.1.2. Tiêu chuẩn để một ma trận chéo hóa được. ĐL Điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa được là ma trận đó có đủ n vec tơ riêng độc lập tuyến tính. C/m: Hq Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt thì nó chéo hóa được
  50. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  4.2. Thuật toán chéo hóa ma trận Bước 1. Giải pt đặc trưng det(A-λE)=0. Nếu pt có đủ n nghiệm và g/s trong tập đó chỉ có k nghiệm phân biệt λ1, λ2, , λk thì chuyển sang bước 2. Bước 2. Giải các hệ pt (A-λiE)X=0 (i=1,2, ,k). Nếu không tìm đủ n nghiệm độc lập tuyến tính thi A không chéo hóa được. Trong trường hợp tìm được đủ n nghiệm độc lập tuyến tính u1, u2, , un thì ta thực hiện bước 3.
  51. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  Bước 3. Lập ma trận T có các cột là u1, u2, , un và T chính là ma trận làm chéo hóa A. Bước 4. Ma trận T-1AT là ma trận chéo có các phần tử chéo là các trị riêng tương ứng với các vec tơ riêng u1, u2, , un
  52. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  VD. Đưa ma trận A về dạng chéo. 311 200 aA) 1 3 1 bA ) 1 1 3 113 145
  53. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  4.3. Bài toán tìm cơ sở để ma trận của một toán tử tuyến tính là ma trận chéo. Cho toán tử tuyến tính f:V→V. Hãy tìm một cơ sở B của V để ma trận của f theo cơ sở đó có dạng chéo.
  54. §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN  Bước 1. Chọn một cơ sở E tùy ý của V (thường là cơ sở chính tắc nếu có). Tìm ma trận A của f đối với E. Bước 2. Chéo hóa ma trận A. Nếu A không chéo hóa được thì không tồn tại cơ sở B thỏa mãn điều kiện đầu bài. Nếu A chéo hóa được chuyển sang bước 3. Bước 3. G/s T là ma trận làm chéo hóa A. Xét cơ sở B của V sao cho T là ma trận chuyển cơ sở từ E sang B. Khi đó, ma trận của f đối với cơ sở B là T-1AT có dạng chéo.
  55. MỘT SỐ ĐỀ THI  VD1. (Câu III-Đề III-K55)
  56. MỘT SỐ ĐỀ THI  VD2. (Câu III-Đề IV-K55)
  57. MỘT SỐ ĐỀ THI  VD3. (Đề I-K53) VD3’. Tương tự VD3 với 3 1 1 2 A 2 2 1 m 2 B {;1 1 x;( 1 x)} 2 1 m (Đề II-K53)
  58. Một số đề thi  VD4. Cho toán tử tuyến tính f:P 2 [x] P 2 [x] thỏa mãn f(1 xx)2 353 x x;f( 22 2 x) 108 x; 2 f(2 xx) 32 254 x x 2 a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}. b) Tìm cơ sở của P2[x] để với cơ sở đó ma trận của f có dạng chéo. Xác định dạng chéo đó. (Đề 1-K52) VD4’. Tương tự VD4 với f(12 xx)2 245 x x;f( 2 2 x) 2 4 x; 2 2 f(x 3 x) 5 x 9 x (Đề 2-K52)