Bài giảng Dao động kỹ thuật

174 trang Gia Huy 24/05/2022 1970

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Dao động kỹ thuật", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dao_dong_ky_thuat.pdf

Nội dung text: Bài giảng Dao động kỹ thuật

LỜI NĨI ĐẦU Dao động là một hiện tƣợng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các máy mĩc, các phƣơng tiện giao thơng vận tải, các tồ nhà cao tầng, những chiếc cầu bắc qua các dịng sơng, chiếc đồng hồ đeo tay mà chúng ta thƣờng hay sử dụng đĩ là các hệ dao động trong kỹ thuật. Bản thân mỗi ngƣời chúng ta cũng là một hệ dao động mà cĩ lẽ ít ngƣời đã biết. Vậy dao động là gì? Một cách sơ lƣợc, dao động là một quá trình trong đĩ một đại lƣợng vật lý (hố học, sinh học, ) thay đổi theo thời gian mà cĩ một đặc điểm nào đĩ lặp lại ít nhất một lần. Dao động kỹ thuật là dao động của các hệ kỹ thuật (các máy mĩc, các phƣơng tiện giao thơng vận tải, ). Các kiến thức về lý thuyết dao động ngày nay trở thành một bộ phận khơng thể thiếu đƣợc trong tổng thể các kiến thức cần phải trang bị cho ngƣời kỹ sƣ cơ khí, xây dựng, tự động hố, Nhằm đáp ứng yêu cầu cần thiết đĩ mơn học Dao động kỹ thuật đã đƣợc đƣa vào chƣơng trình giảng dạy cho sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung mơn học gồm hai phần: Dao động tuyến tính của hệ hữu hạn bậc tự do và Dao động tuyến tính của hệ vơ hạn bậc tự do trong tổng số 4 chƣơng của chƣơng trình mơn học. Tập bài giảng đƣợc viết trên cơ sở chƣơng trình mơn học Dao động kỹ thuật. Ngƣời biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Dao động kỹ thuật theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sƣ phạm và yêu cầu chất lƣợng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên cĩ thể học các mơn học tiếp theo của các ngành Cơng nghệ hàn, Cơng nghệ Ơ tơ, Cơng nghệ chế tạo máy Các Ví dụ trong bài giảng gồm hai loại: Các Ví dụ củng cố kiến thức và các Ví dụ áp dụng giải một số mơ hình dao động trong kỹ thuật. Tập bài giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắc chắn cịn nhiều thiếu sĩt. Chúng tơi rất mong nhận đƣợc sự gĩp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để cĩ điều kiện sửa chữa, hồn thiện hơn tập bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho cơng tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đĩng gĩp xin gửi về địa chỉ: Bộ mơn Kỹ thuật cơ sở, Khoa cơ khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm kỹ thuật Nam Định. Nhĩm tác giả biên soạn 1
MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU 1 MỤC LỤC 2 Chƣơng 1 4 MƠ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC QUÁ TRÌNH DAO ĐỘNG 4 1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ 4 1.1.1 Biểu diễn thực dao động điều hồ 4 1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ 5 1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng và cùng tần số 6 1.2 DAO ĐỘNG TUẦN HỒN 7 1.2.1 Các tham số động học của dao động tuần hồn 7 1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hồ cĩ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ 9 1.2.3 Phân tích Fourier các hàm tuần hồn 11 1.2.4 Biểu diễn các hàm tuần hồn trong miền tần số 14 1.2.5 Biểu diễn đồng thời hai đại lƣợng dao động điều hồ theo hai phƣơng vuơng gĩc với nhau 14 1.2.6 Biểu diễn dao động tuần hồn trên mặt phẳng pha 18 1.3 DAO ĐỘNG KHƠNG TUẦN HỒN 20 1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vơ tỷ 20 1.3.2 Biểu diễn tích phân Fourier các hàm khơng tuần hồn 22 1.3.3 Dao động họ hình sin 25 CÂU HỎI ƠN TẬP 29 Chƣơng 2 30 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 30 2.1 DAO ĐỘNG TỰ DO KHƠNG CẢN 30 2.1.1 Các thí dụ về thiết lập phƣơng trình vi phân dao động 30 2.1.2 Tính tốn dao động tự do khơng cản 32 2.1.3 Xác định các tham số độ cứng của hệ dao động 37 2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO CĨ CẢN 44 2.2.1 Tính tốn dao động tự do cĩ ma sát nhớt 44 2.2.2 Tính tốn dao động tự do cĩ ma sát khơ 49 CÂU HỎI ƠN TẬP 80 Chƣơng 3 81 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 81 3.1 THÀNH LẬP CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG 81 2
3.1.1 Phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình Lagrange loại II. 81 3.1.2 Phƣơng pháp lực 86 3.2 DAO ĐỘNG TỰ DO KHƠNG CẢN 91 3.2.1 Các tần số riêng và các dạng dao động riêng 91 3.2.2 Tính chất trực giao của các véc tơ riêng 93 3.2.3 Các tọa độ chính 94 3.2.4 Các tọa độ chuẩn 98 3.3 DAO ĐỘNG TỰ DO CĨ CẢN 104 3.3.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp (ma trận cản tùy ý) 104 3.3.2 Phƣơng pháp ma trận dạng riêng (ma trận cản đặc biệt) 106 3.4 Dao động cƣỡng bức 109 3.4.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp 109 3.4.2 Phƣơng pháp ma trận dạng riêng 111 CÂU HỎI ƠN TẬP 124 Chƣơng 4 126 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ VƠ HẠN BẬC TỰ DO 126 4.1 DAO ĐỘNG DỌC VÀ DAO ĐỘNG XOẮN CỦA THANH THẲNG 126 4.1.1 Dao động dọc tự do của thanh đồng chất tiết diện khơng đổi 126 4.1.2 Dao động dọc cƣỡng bức của thanh thẳng đồng chất tiết diện khơng đổi . 132 4.1.3 Dao động dọc tự do của thanh cĩ tiết diện thay đổi 135 4.2 DAO ĐỘNG XOẮN CỦA THANH THẲNG 139 4.3 DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM 141 4.3.1 Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động uốn của dầm 141 4.3.2 Dao động uốn tự do của dầm Euler- Bernoulli đồng chất tiết diện khơng đổi 145 4.3.3 Dao động uốn cƣỡng bức của dầm Euler-Bernoulli đồng chất tiết diện khơng đổi 153 4.3.4 Dao động uốn tự do của dầm Timoshenko 159 CÂU HỎI ƠN TẬP 171 TÀI LIỆU THAM KHẢO 174 3
Chƣơng 1 MƠ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC QUÁ TRÌNH DAO ĐỘNG Các quá trình dao động thƣờng là các quá trình thay đổi đa dạng theo thời gian. Trong tính tốn hoặc trong đo đạc các quá trình dao động ngƣời ta thƣờng phân thành dao động tuần hồn và dao động khơng tuần hồn. Một dạng đặc biệt của các dao động tuần hồn là dao động điều hồ. Trong chƣơng này ta sẽ trình bày một số tính chất động học và cách biểu diễn các dao động tuần hồn và khơng tuần hồn. Phần động học các quá trình dao động ngẫu nhiên sẽ đƣợc trình bày ở giáo trình khác. 1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ 1.1.1 Biểu diễn thực dao động điều hồ Dao động điều hồ đƣợc mơ tả về phƣơng diện động học bởi hệ thức y t = Asin ωt + α = Asinψ(t) (1.1) Dao động điều hồ cịn đƣợc gọi là dao động hình sin. Đại lƣợng A khơng giảm tổng quát luơn cĩ thể giả thiết là số dƣơng và đƣợc gọi là biên độ dao động. Nhƣ thế biên độ dao động là giá trị tuyệt đối của độ lệch lớn nhất của đại lƣợng dao động y(t) so với giá trị trung bình của nĩ (hình 1.1). Đại lƣợng ψ t = ωt + α đƣợc gọi là gĩc pha, hay một cách vắn tắt là pha dao động. Gĩc 훼 đƣợc gọi là pha ban đầu. 2 T =  y (t) A O t  t Hình 1.1 Dao động điều hồ Đại lƣợng 휔 đƣợc gọi là tần số vịng của dao động điều hồ, đơn vị của 휔 là rad/s hoặc s-1. Vì hàm sin cĩ chu kỳ 2 nên dao động điều hồ cĩ chu kỳ 2π T (1.2) ω Điều đĩ đƣợc xác định bởi biến đổi sau: 2π y t + T = Asin ω t + + α = Asin ωt + α + 2π ω = Asin ωt + α = y(t) Nhƣ thế chu kỳ dao động là khoảng thời gian nhỏ nhất cần thiết để đại lƣợng dao động trở lại vị trí ban đầu. 4
1 Đại lƣợng f (1.3) T đƣợc gọi là tần số dao động. Đơn vị của tần số f là s-1 hoặc Hz (Hertz). Nhƣ thế, tần số là số lần dao động thực hiện trong một giây. Giữa tần số dao động f và tần số vịng 휔 cĩ mối quan hệ sau 휔 = 2 f (1.4) Từ cơng thức (1.1) ta thấy: một dao động điều hồ đƣợc xác định khi biết ba đại lƣợng A, 휔 và 훼. Mặt khác, một dao động điều hồ cũng đƣợc xác định duy nhất khi biết tần số vịng 휔 và các điều kiện đầu. Giả sử các điều kiện đầu cĩ dạng t = 0 ; y(0) = y0 ; y 0 = y 0 Khi đĩ từ phƣơng trình (1.1) ta cĩ y0 = Asinα ; y 0 = ωAcosα Từ đĩ suy ra y&2 Ay 2 0 (1.5) 0 ω2 ωy α arctg 0 (1.6) y&0 Việc biểu diễn pha ban đầu 훼 dƣới dạng (1.6) cĩ nhƣợc điểm là trong khoảng từ 0 đến 2 pha ban đầu 훼 khơng đƣợc xác định một cách duy nhất. Vì vậy để xác định 훼, ta cần chú ý đến cả hệ thức y α = arcsin 0 (1.7) A Ngƣời ta cũng hay biểu diễn dao động điều hồ (1.1) dƣới dạng sau y t = C1cosωt + C2sinωt (1.8) So sánh biểu thức (1.8) với biểu thức (1.1) ta cĩ các hệ thức C1 = Asinα; C2 = Acosα (1.9) Từ đĩ suy ra 2 2 C1 C1 A = C1 + C2 α = arctg = arcsin (1.10) C2 A Các hằng số C1 và C2 cũng cĩ thể xác định đƣợc từ các điều kiện đầu y& C = y ; C 0 1 0 2 ω 1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ Một cách biểu diễn cĩ hình ảnh dao động điều hồ là biểu diễn bằng véc tơ phức. Hàm điều hồ y(t) cĩ thể xem nhƣ là phần ảo của véc tơ phức z quay với vận tốc gĩc 휔 trong mặt phẳng số (hình 1.2) z Aei(ωt α) Ae iα e iωt Ae iωt (1.11) 5
y t = Im(z t ) (1.12) Đại lƣợng A = Aeiα đƣợc gọi là biên độ phức. Nhƣ thế biên độ phức A biểu diễn vị trí của véc tơ phức z tại thời điểm t = 0. Véc tơ phức z cịn đƣợc gọi là véc tơ quay. iy iy z A=|z| i z A=Ae y=Im(z) t t+ x x A Hình 1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ Nhờ cơng thức Euler eiφ = cosφ + isinφ Ta cĩ y t = Im z t = A Im(ei ωt+α ) = Asin(ωt + α) Trị tuyệt đối của véc tơ phức z bằng biên độ của dao động điều hồ. Việc biễu diễn dao động điều hồ bằng véc tơ phức quay trong mặt phẳng số gọi là ảnh véc tơ phức của dao động điều hồ. 1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng và cùng tần số Cho 2 dao động điều hồ cùng phƣơng và cùng tần số y1 t = A1 sin 휔푡 + 훼1 ; y2 t = A2sin⁡(ωt + α2) Tổng của hai dao động điều hồ trên đƣợc xác định bởi hệ thức y t = A1 sin ωt + α1 + A2sin⁡(ωt + α2) Sử dụng định lý cộng đối với hàm sin ta cĩ y t = A1 sin ωt cosα1 + A1cosωtsinα1 + A2sinωtcosα2 + A2cosωtsinα2 = A1cosα1 + A2cosα2 sinωt + A1sinα1 + A2sinα2 cosωt Nếu ta đƣa vào các ký hiệu Acosα = A1cosα1 + A2cosα2 Asinα = A1sinα1 + A2sinα2 thì biểu thức trên cĩ dạng y t = Asinωtcosα + Acosωtsinα = Asin(ωt + α) (1.13) Nhƣ thế tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng và cùng tần số là dao động điều hồ với tần số là tần số của các dao động điều hồ thành phần, biên độ A và gĩc pha ban đầu 훼 đƣợc xác định bởi các hệ thức sau 6
2 2 A = A1cosα1 + A2cosα2 + A1sinα1 + A2sinα2 (1.14) 2 2 = A1 + A2 + 2A1A2cos⁡(α1 − α1) A sinα A sinα α arctg 1 1 2 2 (1.15) A1 cosα 1 A 2 cosα 2 hoặc A sinα A sinα α arcsin 1 1 2 2 (1.16) A Nếu sử dụng cách biểu diễn phức dao động điều hồ, thì hai dao động điều hồ thành phần cĩ dạng i(ωt+α1) i(ωt+α2) z 1 = A1e ; z 2 = A2e Từ đĩ dao động tổng hợp cĩ dạng iα1 iα2 iωt iωt iωt z = z 1 + z 2 = A1e + A2e e = (A 1 + A 2)e = A e (1.17) Trong đĩ A = A 1 + A 2 (1.18) Cơng thức (1.18) đƣợc biểu diễn trên mặt phẳng số nhƣ hình 1.3. Sử dụng cơng thức Euler, từ (1.17) ta sẽ tìm đƣợc các cơng thức xác định biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp nhƣ các cơng thức (1.14) và (1.15) Khi các pha ban đầu 훼1 = 훼2 = 0 thì ta cĩ A A = A1 + A2 A1 Hai dao động điều hồ y1(t) và y2(t) cĩ cùng phƣơng, cùng tần số và cùng biên độ đƣợc gọi là các dao động đồng bộ. Mặc dù rằng các biên độ A1 và A2 1 A2 của chúng cĩ thể biểu diễn các đại lƣợng vật lý khác 2 nhau. Thí dụ nhƣ y (t) biểu diễn lực thay đổi điều hồ, 1 Hình 1.3 Tổng hợp hai dao y2(t) biểu diễn biến dạng đàn hồi do lực đĩ gây ra. động điều hồ Chúng tạo nên một quá trình diễn biến đồng bộ. 1.2 DAO ĐỘNG TUẦN HỒN 1.2.1 Các tham số động học của dao động tuần hồn Một hàm số y(t) đƣợc gọi là hàm tuần hồn, nếu tồn tại một hằng số T > 0, sao cho với mọi t ta cĩ hệ thức y(t + T) = y(t) (2.1) Một quá trình dao động đƣợc mơ tả về mặt động học bởi một hàm tuần hồn y(t) đƣợc gọi là dao động tuần hồn. Hằng số T nhỏ nhất để cho hệ thức (2.1) đƣợc thoả mãn gọi là chu kỳ dao động. Hình vẽ 1.5 biểu diễn một quá trình diễn biến theo thời gian của một dao động tuần hồn. Chú ý rằng nếu hàm số y(t) cĩ chu kỳ T thì hàm số u(t) = y(at) cĩ chu kỳ là T/a. 7
Thực vậy T T u t + = y a t + = y at + T = y at = u(t) a a Hình 1.4 Dao động tuần hồn Đại lƣợng nghịch đảo của chu kỳ dao động 1 f (2.2) T đƣợc gọi là tần số dao động. Nhƣ thế tần số dao động f là số dao động thực hiện trong một đơn vị thời gian. Nếu chu kỳ dao động T tính bằng giây (s) thì tần số dao động f tính bằng s-1 hoặc Hz (Hertz). Trong kỹ thuật ngƣời ta hay sử dụng khái niệm tần số vịng ω ω = 2πf (2.3) Khái niệm tần số vịng ω đƣợc dung nhiều nên đơi khi ngƣời ta hay gọi tắt nĩ là tần số dao động. Cần chú ý đến cách gọi tắt này để khỏi nhầm lẫn với khái niệm tần số dao động f. Thứ nguyên của ω là rad/s hoặc 1/s. Biên độ A của dao động tuần hồn y(t) đƣợc định nghĩa bởi hệ thức sau 1 A = max y t − min y(t) (2.4) 2 Đối với dao động tuần hồn, ngồi các tham số động học đặc trƣng nhƣ chu kỳ, tần số, biên độ ngƣời ta cịn sử dụng các tham số giá trị trung bình theo thời gian của hàm y(t) trong một chu kỳ. Ba loại giá trị trung bình hay đƣợc sử dụng là giá trị trung bình tuyến tính T 1 2 ytt y t dt (2.5) T T 2 giá trị trung bình hiệu dụng 8
T 1 2 2 (2.6) yhd y t dt T T 2 và giá trị trung bình hiệu chỉnh T 1 2 yhc y(t) dt (2.7) T T 2 Trong các cơng thức (2.5), (2.6) và (2.7) khoảng lấy tích phân – T/2, T/2 cĩ thể thay bằng khoảng t0, t0 + T . 1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hồ cĩ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ Cho hai dao động điều hồ thành phần y1 t = A1 sin 휔1푡 + 훼1 ; y2 t = A2sin⁡(ω2t + α2) với ω T p 12 1 p,q 1,2,3  (2.8) ω21 T q Tổng của hai dao động điều hồ trên đƣợc xác định bởi hàm y t = y1 t + y2 t = A1 sin ω1t + α1 + A2 sin ω2t + α2 (2.9) Chu kỳ của dao động thành phần y1(t) là T1 = 2π/ω1, của dao động thành phần y2(t) là T2 = 2π/ω2. Từ cơng thức (2.8) ta suy ra chu kỳ của dao động tổng hợp y(t) là T = pT1 = qT2 (2.10) Vậy tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ ω1: ω2 = p: q là một dao động tuần hồn chu kỳ T = pT1 = qT2. Nếu p/q là phân số tối giản thì T là bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2. Hình 1.5 là đồ thị dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ với A1:A2 = 2:1, ω1: ω2 = 2: 3, α1 = 0, α2 = π 3 Hình 1.5 Đồ thị dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ 9
Nếu sử dụng các véc tơ phức ta cĩ thể viết một cách hình thức nhƣ sau iψ1 iψ2 iψ z = z 1 + z 2 = z 1 e + z 2 e = z e (2.11) Trong đĩ z 1 = A1 ; z 2 = A2 ; ψ1 = ω1t + α1 ; ψ2 = ω2t + α2 Từ hình vẽ 1.6 ta cĩ thể xác định đƣợc mođun z và argument ψ của số phức z 2 2 z = z 1 + z 2 − 2 z 1 z 2 cos π − ψ2 − ψ1 (2.12) 2 2 = A1 + A2 + 2A1A2cos ω2 − ω1 zzsin ψ sinψ ψ t arcsin 1 1 2 2 (2.13) z A sin ω t + α + A sin ω t + α = arcsin 1 1 1 2 2 2 z Bây giờ ta xét một trƣờng hợp riêng quan trọng. Đĩ là trƣờng hợp 1 - 2 nhỏ và biên độ các dao động điều hồ thành phần bằng nhau A1 = A2 = A. Chú ý đến hệ thức lƣợng giác 2 표푠2훼 = 1 + 표푠2훼, từ cơng thức (2.12) ta suy ra z = A 2 1 + cos ω2 − ω1 t + α2 − α1 = 2A cos ω2 − ω1 t + α2 − α1 /2 2.14 Hình 1.6 Tổng hợp hai dao động điều hồ α β α β Chú ý đến hệ thức lƣợng giác sinα sinβ 2sin cos ta cĩ thể biến 22 đổi biểu thức (2.13) về dạng đơn giản hơn ω + ω t + α + α ω − ω t + α − α 2sin 2 1 2 1 . cos 2 1 2 1 2 2 ψ t = arcsin ω − ω t + α − α 2cos 2 1 2 1 2 10
1 = ω + ω t + α + α (2.15) 2 1 2 2 1 Để viết cho gọn ta đƣa vào ký hiệu ω ω t α α a t 2Acos 2 1 2 1 (2.16) 2 Chú ý đến (2.14), (2.15), (2.16) từ cơng thức (2.11) ta suy ra y t = Im(z ) ω ω t α α ω ω t α α 2Acos 2 1 2 1 sin 2 1 2 1 22 ω ω t α α a t sin 2 1 2 1 (2.17) 2 Vậy khi ω1 khá gần ω2 và biên độ A1 = A2, dao động tổng hợp (2.17) là dao động hình sin với tần số vịng ω = ω1 + ω2 2 và biên độ dao động a(t) là hàm thay đổi chậm theo thời gian. Tần số vịng của biên độ a(t) là ω1 − ω2 2. Quá trình dao động nhƣ thế đƣợc gọi là hiện tƣợng phách. Hình 1.7 là một thí dụ minh hoạ về dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ tần số khá gần nhau. Hình 1.7 Dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ tần số khá gần nhau 1.2.3 Phân tích Fourier các hàm tuần hồn Trong thực tế ta ít gặp các dao động điều hồ thuần tuý mà thƣờng hay gặp các 2 dao động phức tạp biểu diễn bằng hàm tuần hồn. Một hàm tuần hồn chu kỳ = 휔 với một số giả thiết mà trong thực tế luơn chấp nhận đƣợc cĩ thể phân tích thành chuỗi Fourier y t a0  akk cosk t b sink t (2.18) k 1 Trong đĩ a0 , ak , bk đƣợc gọi là các hệ số Fourier và đƣợc xác định bởi các cơng thức 11
1 T a0 y t dt T 0 2 T bk y t sin k t dt k 1,2,  . (2.19) T 0 2 T ak y t cos k t dt k 1,2,  T 0 Chuỗi Fourier (2.18) cĩ thể viết dƣới dạng chuẩn của dao động y t a0  Akksin k t a (2.20) k 1 22 ak với Ak a k b k, k arctg (2.21) bk Việc phân tích một hàm tuần hồn thành chuỗi Fourier đƣợc gọi là phân tích điều hồ. Hằng số a0 đƣợc gọi là giá trị trung bình của dao động, số hạng A1sin⁡(ωt + α1) đƣợc gọi là dao động cơ bản, số hạng Ak sin⁡(kωt + αk) đƣợc gọi là dao động bậc k-1 (với k > 1) hay gọi là các điều hồ. Nếu một chuỗi Fourier hội tụ đều thì nĩ sẽ hội tụ đến giá trị của hàm y(t). Đối với chuỗi Fourier hội tụ đều thì ta cĩ thể tích phân, vi phân từng số hạng của chuỗi. Chú ý rằng một chuỗi Fourier nào đĩ hội tụ, nhƣng chuỗi các đạo hàm các thành phần của nĩ cĩ thể khơng hội tụ. Thí dụ 1.1: Phân tích Fourier hàm răng cƣa nhƣ hình 1.8. Biết rằng giá trị của hàm ở các vị trí nhảy bằng khơng. y h O t T Hình 1.8 Hàm răng cưa Lời giải: Trong khoảng 0 < t < T hàm răng cƣa tuân theo quy luật 2t y t = h −1 + T Vậy y(t) là hàm lẻ, y(-t) = -y(t). Do đĩ các hệ số Fourier ak = 0. Theo cơng thức (2.19) ta cĩ 12
T 2h 2t 2kπt 2h b = −1 + sin dt = − k T T T kπ 0 Từ đĩ suy ra chuỗi Fourier của hàm răng cƣa cĩ dạng ∞ 2h 1 2kπt y t = − sin π k T k=1 Theo tiêu chuẩn hội tụ Abel chuỗi trên hội tụ. Ta xét các tổng bộ phận của chuỗi trên n 2h 1 2kπt y t = − sin n π k T k=1 Trên hình 1.9b là đồ thị của đƣờng cong yn(t) (n = 1, 2, 3) của chuỗi trong nửa chu kỳ. Khi n càng tăng thì yn(t) càng gần giống y(t). Trong khi nhiều bài tốn thực tế hàm y(t) thƣờng cho dƣới dạng đồ thị hoặc bảng số. Khi đĩ để xác định các hệ số Fourier a0, ak, bk ta khơng thể sử dụng các cơng thức tích phân (2.19). Để phân tích điều hồ gần đúng, ngƣời tat hay chuỗi Fourier (2.18) của hàm y(t) bằng một đa thức lƣợng giác n 2kπt 2kπt y t = a + a cos + b sin (2.22) n 0 k T k T k=1 Hình 1.9 Đồ thị đường cong yn(t) Để xác định các hệ số Fourier a0, ak, bk ngƣời ta chia khoảng tích phân (0, T) thành m phần bằng nhau (m ≥ 2n+1) và xác định giá trị của hàm y(t) tại các điểm ti iT t = i=1,2, ,m (2.23) i m Các cơng thức (2.19) đƣợc thay bởi cơng thức sau 1 m a0i  y t (2.24) m i1 13
m 2 2kiπ a = y t cos k m i m i=1 m 2 2kiπ b = y t sin , (k = 1,2, , n) k m i m i=1 1.2.4 Biểu diễn các hàm tuần hồn trong miền tần số Ta chọn hệ toạ độ vuơng gĩc, trục hồnh biểu diễn tần số ω (hoặc tần số f), trục tung biểu diễn độ lớn các biên độ A của các điều hồ. Việc biểu diễn các biên độ Ak ứng với tần số ωk = kω của điều hồ thứ k trong chuỗi Fourier của hàm tuần hồn y(t) trong mặt phẳng 휔, gọi là biểu diễn hàm tuần hồn y(t) trong miền tần số. Tập hợp các biên độ Ak trong khai triển Fourier (2.20) của hàm tuần hồn y(t) đƣợc gọi là phổ của hàm tuần hồn y(t). Trên hình 1.10 biểu diễn phổ của hàm răng cƣa trong thí dụ 1.1. Việc cho biết các biên độ Ak của các điều hồ chƣa đủ các thong tin về hàm y(t), bởi vì ta chƣa biết đƣợc các pha ban đầu của các điều hồ đĩ. Tuy nhiên từ biểu đồ biên độ - tần số ta cũng cĩ thể giải quyết đƣợc khá nhiều vấn đề của bài tốn dao động cần nghiên cứu. Từ kết quả đo dao động, các máy phân tích tần số đơn giản cũng cĩ thể xác định đƣợc biên độ của dao động cơ bản và các dao động bậc cao. Việc xác định các pha ban đầu địi hỏi các thiết bị đo tƣơng đối phức tạp. Dao động cơ bản A k 1. 2. 3. 4. 5. Dao động bậc cao 2. 3. 4. 5. 6. Bậc điều hoà  1 1 11 1 1 Hình 1.10 Phổ của hàm răng cưa Nếu muốn biểu diễn đầy đủ các thơng tin về một hàm tuần hồn trong miều tần số, ta sử dụng hai biểu đồ, một để vẽ các hệ số Fourier ak, một để vẽ các hệ số bk. Khi đĩ biên độ và pha ban đầu của các điều hồ sẽ đƣợc xác định bởi cơng thức (2.21) 1.2.5 Biểu diễn đồng thời hai đại lƣợng dao động điều hồ theo hai phƣơng vuơng gĩc với nhau a. Hai dao động điều hồ cĩ cùng tần số Giả sử cho hai dao động điều hồ cùng tần số thực hiện chuyển động đồng thời theo hai phƣơng vuơng gĩc với nhau x t = Asin ωt + α1 ; y t = Bsin ωt + α1 (2.25) 14
Từ hai phƣơng trình (2.25) khử biến thời gian t đi ta sẽ cĩ phƣơng trình quỹ đạo. Trƣớc hết ta viết lại phƣơng trình (2.25) dƣới dạng sau x sinωtcosα sinα cosωt (2.26) A 11 y sinωtcosα sinα cosωt (2.27) B 22 Nhân hai phƣơng trình (2.26) với −cosα2, phƣơng trình (2.27) với cosα1 rồi cộng lại ta đƣợc xy cosα cosα cosωtsin α α (2.28) AB2 1 2 1 Nhân phƣơng trình (2.26) với sinα2, phƣơng trình (2.27) với −sinα1 rồi cộng vế với vế xy sinα sinα sinωtsin α α (2.29) AB2 1 2 1 Bình phƣơng hai vế của các phƣơng trình (2.28), (2.29) rồi cộng lại ta đƣợc phƣơng trình x22 y x y 2 cos α α sin2 α α (2.30) AB22AB 2 1 2 1 Phƣơng trình (2.30) là phƣơng trình đƣờng cong bậc hai với x, y theo (2.27) cĩ giá trị giới nội. Vậy (2.30) là phƣơng trình của đƣờng elip. Dạng của elip này phụ thuộc vào các biên độ dao động điều hồ A, B và vào hiệu các gĩc pha ∆α = α2 − α1. Ta xét một số trƣờng hợp đặc biệt sau đây 1. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = 0. Phƣơng trình (2.30) cĩ dạng 2 x y B 0 y x (2.31) ABA Phƣơng trình elip suy biến thành phƣơng trình đƣờng thẳng. Quỹ đạo là một đoạn thẳng −A ≤ x ≤ A, −B ≤ y ≤ B . 2. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = π. Phƣơng trình (2.30) cĩ dạng 2 x y B 0 y x (2.32) ABA Phƣơng trình elíp suy biến thành phƣơng trình đƣờng thẳng. Quỹ đạo là một đoạn thẳng −A ≤ x ≤ A, −B ≤ y ≤ B . 3. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = π/2 hoặc 3 /2. Phƣơng trình (2.30) cĩ dạng xy22 1 (2.33) AB22 15
Phƣơng trình này chứng tỏ quĩ đạo chuyển động là một elip lấy Ox, Oy làm trục và cĩ hai bán trục là A và B. y y y y x x x x           Hình 1.11 Chiều chuyển động của điểm ảnh P(x,y) trên quỹ đạo Chú ý đến phƣơng trình (2.25) ta xác định đƣợc chiều chuyển động của điểm ảnh P(x,y) trên quĩ đạo (hình 1.11). Chẳng hạn khi ∆α = α2 − α1 = π/2 điểm ảnh P chuyển động trên quỹ đạo theo chiều kim đồng hồ, khi ∆α = α2 − α1 = 3π/2 điểm ảnh P chuyển động trên quỹ đạo theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ. Bây giờ chuyển sang xét trƣờng hợp biên độ của các đại lƣợng dao động cĩ độ lớn nhƣ nhau A = B. Bằng phép biến đổi các trục chính của elip, ta sẽ đƣợc kết quả là các trục chính sẽ nghiêng một gĩc β = 450 đối với các trục toạ độ. Dạng của elip bây giờ chỉ phụ thuộc vào hiệu hai gĩc pha ∆α = α2 − α1. Từ phƣơng trình (2.30) ta suy ra 2 2 2 2 x y 2xycos(α2 α) 1 Asin(α 2 α) 1 Ký hiệu a, b là các bán trục của elip. Ngƣời ta chứng minh đƣợc b α 2arctg (2.34) a Trên hình 1.12 là một vài đƣờng cong quĩ đạo của điểm ảnh với các ∆α = α2 − α1 khác nhau. y y y                 b  b/a  A b = a A A a a b b A x A x A x a) b) c) y y            A A b/a  a = 0 b a A x A x d) e) Hình 1.12 Một số đường cong quỹ đạo của điểm ảnh 16
b. Hai dao động điều hồ khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ Cho hai dao động điều hồ thực hiện chuyển động dọc theo hai trục toạ độ vuơng gĩc với nhau cĩ dạng x t = Asin ω1t + α1 ; y t = Bsin ω2t + α2 (2.35) với ω T p 1 = 2 = ≠ 1 (p, q = 1,2,3, . ) ω2 T1 q Trong trƣờng hợp này quĩ đạo là những đƣờng cong phức tạp nội tiếp trong một hình chữ nhật cạnh là 2A và 2B và đƣợc gọi là các đƣờng cong Lissajou. Hình dạng của chúng phụ thuộc vào tỷ số ω1/ω2 và hiệu số của các pha ∆α = α2 − α1. Trên hình 1.13 là đƣờng cong Lissajou khi ω1: ω2 = 2: 3 và ∆α = α2 − α1 = 0. Hình 1.13 Đường cong Lissajou khi 휔1: 휔2 = 2: 3 và ∆훼 = 훼2 − 훼1 = 0 Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng tỷ số ω1/ω2 bằng tỷ số cực đại các múi của đƣờng Lissajou dọc theo các trục Ox và Oy. Trên hình 1.14 là đồ thị các đƣờng Lissajou với ∆α = 0, T1/T2 lần lƣợt là 1/2, 2/3 và 3/4. Dựa vào hình dạng các đƣờng Lissajou ta cĩ thể xác định đƣợc chu kỳ của một dao động thành phần khi biết chu kỳ dao động của thành phần kia. Các đƣờng cong Lissajou đƣợc sử dụng nhiều trong kỹ thuật do dao động. 1 2 3 1 = 1 = 1 = 2 2 2 3 2 4 17
Hình 1.14 đồ thị các đường Lissajou 1.2.6 Biểu diễn dao động tuần hồn trên mặt phẳng pha Giả sử y(t) là một đại lƣợng dao . động. Khi đĩ đạo hàm của y(t) theo thời y t0 gian, ký hiệu là y (t), cũng là một đại lƣợng t1 t2 dao động. Ta cĩ thể xem y(t), y (t) là cách t3 biểu diễn dạng tham số của hàm y (y). Ta chọn hệ trục toạ độ vuơng gĩc với trục hồnh là y, trục tung là y . Đồ thị của hàm O y y (y) trong hệ toạ độ vuơng gĩc đĩ đƣợc gọi là quỹ đạo pha hay đƣờng cong pha. Hình 1.15 Điểm ảnh trên quỹ đạo pha Mặt phẳng (y, y ) đƣợc gọi là mặt phẳng pha. Trong mặt phẳng pha, dao động đƣợc mơ tả bởi sự di chuyển của điểm ảnh P(y, y ). Biểu diễn trên mặt phẳng pha ta khơng thấy đƣợc quá trình tiến triển của dao động theo thời gian. Để khắc phục nhƣợc điểm này, ngƣời ta gắn vào vị trí của các điểm ảnh trên quỹ đạo pha một thơng tin phụ về thời gian (hình 1.15). Điểm ảnh P(y, y ) cho biết giá trị tức thời của đại lƣợng dao động y và đạo hàm của nĩ theo thời gian ý ở thời điểm t. Ƣu điểm của sự biểu diễn dao động trên mặt phẳng pha là từ dạng hình học của quỹ đạo pha ta cĩ thể rút ra những kết luận quan trọng về tính chất của đại lƣợng dao động. Nếu đại lƣợng dao động là tuần hồn thì quỹ đạo pha là đƣờng cong kín. Trƣờng hợp đơn giản của dao động tuần hồn là dao động điều hồ. Từ phƣơng trình dao động điều hồ y = Asin ωt + α y = ωAcos(ωt + α) . y  . y A +A y y -A +A -A A -A -A a) b) Hình 1.16 Các quỹ đạo pha của dao động điều hồ Khử t ta đƣợc phƣơng trình quỹ đạo pha dao động điều hồ 18
y 2 y 2 + = 1 (2.36) A ωA Phƣơng trình (2.36) biểu diễn trên mặt phẳng pha một elip với các bán trục là A và ωA (hình 1.16a). Nếu chọn tỷ xích trên các trục hồnh và trục tung một cách thích hợp thì quỹ đạo pha của dao động điều hồ là đƣờng trịn (hình 1.16b). Đối với một số quá trình dao động tuần hồn ta rất khĩ biểu diễn phƣơng trình quỹ đạo pha y = f(y) dƣới dạng giải tích. Trong trƣờng hợp đĩ ta phải vẽ quỹ đạo pha bằng cách tính các trị số y(tk) và y (tk) với k = 0, 1, 2, ,n. Ngày nay với sự phát triển của tin học việc vẽ các quỹ đạo pha khá thuận tiện và đơn giản. Để làm thí dụ ta vẽ quỹ đạo pha dao động răng cƣa trong thí dụ 1.1 với các gần đúng n = 1, 2, 3. Từ thí dụ 1.1 ta cĩ n n 2h 1 2kπt 4h 2kπt y t = − sin ; y t = − cos n π k T n T T k=1 k=1 Từ đĩ ta vẽ đƣợc các quỹ đạo pha với n = 1, 2, 3 nhƣ trên hình 1.17. Với n = 1 ta cĩ quỹ đạo pha dao động điều hồ. Với n = 2 và n = 3 ta cĩ quỹ đạo pha dao động tuần hồn. Chú ý rằng ở nửa trên của mặt phẳng pha do y > 0 nên hàm y tăng. Các điểm ảnh chuyển động trên quỹ đạo pha từ trái sang phải. Ở nửa dƣới mặt phẳng pha do y < 0 nên các điểm ảnh chuyển động từ phải qua trái. Nếu biết đƣợc phƣơng trình quỹ đạo pha y = f(y) thì ta tính đƣợc hàm ngƣợc giữa t và y y dy dy dt = → t = t + (2.37) f(y) 0 f(y) y0 Đối với các dao động tuần hồn, ta cĩ thể tìm đƣợc chu kỳ dao động T bằng cách tích phân theo hệ thức (2.37) trên tồn bộ quỹ đạo pha kín. Đối với dao động điều hồ thì từ phƣơng trình (2.36) ta cĩ y = ω A2 − y2 Do đĩ ta tính đƣợc chu kỳ dao động theo hình 1.16 A A dy 2 y 2π T = 2 = arcsin = ω A2 − y2 ω A ω −A −A 19
Hình 1.17 Các quỹ đạo pha của dao động mơ tả bởi hàm răng cưa 1.3 DAO ĐỘNG KHƠNG TUẦN HỒN 1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vơ tỷ Trong phần trên ta đã thấy tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ ω1: ω2 = p: q là dao động tuần hồn chu kỳ T = pT1 = qT2. Bây giờ ta xét bài tốn y t = y1 t + y2 t = A1 sin ω1t + α1 + A2 sin ω2t + α2 (3.1) Trong đĩ tỷ số ω1: ω2 là một số vơ tỷ. Dao động tổng hợp y(t) khơng phải là dao động tuần hồn vì bội số chung nhỏ nhất của T1 = 2π/ω1, và T2 = 2π/ω2 khơng tồn tại. Tuy nhiên ta cĩ thể biểu diễn 20
ω p 1 = + ε (3.2) ω2 q với ε bé tuỳ ý. Khi đĩ ta chọn T ≈ pT1 ≈ qT2, dao động tổng hợp là hàm hầu tuần hồn. Chú ý rằng hàm y(t) gọi là hàm hầu tuần hồn nếu với 휂 > 0 cho trƣớc bé tuỳ ý tồn tại một hằng số T* mà y t + T∗ − y(t) < 휂. Vậy tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vơ tỷ ta đƣợc dao động hầu tuần hồn. Thí dụ 1.2: Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng với tỷ lệ hai tần số là ω1: ω2 = 2 2 , A1 = A2, α1 = α2 = 0. Lời giải: Dao động tổng hợp là y t = A sin ω1t + A sin 2ω1t (3.3) α+β α−β Chú ý đến hệ thức lƣợng giác sinα + sinβ = 2sin cos , biểu thức (3.3) 2 2 1+ 2 1− 2 cĩ dạng y t = 2Asin ω t cos ω t (3.4) 2 1 2 1 Trên hình 1.18a là quá trình diễn biến dao động theo thời gian với A = 1 và −1 ω1 = 2πs . Chu kỳ của các dao động thành phần là T1 = 1 s, T2 = 2 2 s . Trên hình 1.18b biểu diễn tiến trình dao động trên biểu đồ véc tơ phức, cịn trên hình 1.18c là tiến trình dao động biểu diễn trên mặt phẳng pha. Trên các hình này, các đƣờng cong biểu diễn dao động khơng tuần hồn là các đƣờng cong khơng kín. Quỹ đạo pha cho ta thấy tính khơng tuần hồn của dao động rõ hơn trên đồ thị diễn biến dao động theo thời gian. Hình 1.18a Quá trình diễn biến dao động theo thời gian 21
Hình 1.18b Tiến trình dao động trên biểu đồ véc tơ phức Hình 1.18c Tiến trình dao động biểu diễn trên mặt phẳng pha 1.3.2 Biểu diễn tích phân Fourier các hàm khơng tuần hồn Nhƣ chúng ta đã biết một hàm tuần hồn cĩ thể biểu diễn qua các hàm điều hồ bằng chuỗi Fourier. Vấn đề đặt ra ở đây là cĩ thể biểu diễn hàm khơng tuần hồn y(t) qua các hàm điều hồ với một số khái niệm suy rộng nào đĩ về chuỗi Fourier đƣợc hay khơng? 22
Giả sử y(t) là một hàm xác định trên tồn bộ trục số, trong một đoạn hữu hạn hàm y(t) liên tục hoặc cĩ thể cĩ một số hữu hạn điểm gián đoạn và hàm y(t) tuyệt đối khả tích. Điều đĩ cĩ nghĩa là tích phân suy rộng ∞ I = y(t) dt (3.5) −∞ tồn tại và cĩ giá trị hữu hạn. Khi đĩ trong tốn học đã chứng minh đƣợc rằng hàm y(t) cĩ thể biểu diễn dƣới dạng tích phân Fourier nhƣ sau ∞ y t = a ω cosωt + b ω sinωt dω (3.6) −∞ Trong đĩ các hàm a(ω) và b(ω) đƣợc xác định bởi các hệ thức 1 a ω y τ cosωτdτ (3.7) 2π ∞ 1 b ω = y τ sinωτdτ 2π −∞ So sánh cách biểu diễn bằng chuỗi Fourier các hàm tuần hồn với cách biểu diễn bằng tích phân Fourier các hàm khơng tuần hồn ta thấy cĩ sự tƣơng tự giữa cơng thức (2.18) với (3.6), giữa cơng thức (2.19) với (3.7). Trong đĩ chu kỳ T → ∞, mật độ phổ rời rạc xác định bởi hệ thức (2.19) thay bằng mật độ phổ liên tục xác định bởi (3.7). Tuy nhiên trong (2.19) các đại lƣợng ak và bk là các biên độ của các thành phần cosin và sin ứng với tần số ωk = kω của điều hồ thứ k. Đơn vị của chúng trùng với đơn vị của đại lƣợng dao động y(t). Trong (3.7) các hàm a(ω) và b(ω) đƣợc gọi là mật độ phổ, hay gọi tắt là mật độ. Đơn vị của chúng bằng đơn vị của đại lƣợng dao động y(t) nhân với đơn vị thời gian. Biểu thức A ω = a2 ω + b2(ω) (3.8) đƣợc gọi là phổ mật độ biên độ hay gọi tắt là mật độ biên độ. Bình phƣơng của mật độ biên độ A2 ω = a2 ω + b2 ω (3.9) đƣợc gọi là phổ mật độ cơng suất hay gọi tắt là mật độ cơng suất. Chú ý rằng cách gọi này trong một số tài liệu khơng đƣợc thống nhất. Cĩ tài liệu gọi A(ω) và A2(ω) là phổ biên độ và phổ cơng suất. Cách gọi ấy thật ra khơng đƣợc chính xác. Nếu y(t) là hàm chẵn hoặc hàm lẻ, thì biểu diễn tích phân Fourier của y(t) sẽ đơn giản hơn nhiều. Nếu y(t) là hàm chẵn, do y(-t) =y(t) nên b(ω)=0 và 23
∞ 1 a ω = y τ cosωτdτ (3.10) π 0 Biểu thức (3.8) cĩ dạng A ω = a(ω) (3.11) Nếu y(t) là hàm lẻ, y(-t) = -y(t), ta cĩ a ω = 0 và ∞ 1 b ω = y τ sinωτdt (3.12) π 0 Từ đĩ suy ra A ω = b(ω) (3.13) Trong nhiều bài tốn ứng dụng ngƣời ta cũng hay sử dụng cách biểu diễn tích phân Fourier dạng phức. Từ hệ thức ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 y t = dω y τ eiω(t−τ)dτ = eiωtdω y τ e−iωτ dτ (3.14) 2π 2π −∞ −∞ −∞ −∞ ta suy ra ∞ y t = A ω eiωtdω (3.15) −∞ Trong đĩ ∞ 1 A ω = y τ e−iωτ dτ 2π −∞ = a ω − ib ω = A (ω) e−iφ(ω) = A ω e−iφ ω (3.16) Đại lƣợng A ω gọi là phổ mật độ biên độ phức, A(ω) nhƣ trên đã gọi là mật độ biên độ thực, φ ω = arctg b(ω)/a(ω) là phổ pha. Thí dụ 1.3: Cho y(t) là hàm va chạm lý tƣởng, đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình sau y(t) C (hình 1.19a) c khi t < t y t = 0 0 khi t ≥ t0 Hãy xác định mật độ biên độ phức A ω , mật độ cơng suất A2(ω) và cách biểu t0 O t0 t diễn tích phân của hàm y(t). Hình 1.19a Đồ thị hàm y(t) Lời giải: Hàm y(t) là hàm thoả mãn các điều kiện về hàm khả tích tuyệt đối. Vì vậy ta cĩ thể biểu diễn hàm này dƣới dạng tích phân Fourier. Do y(t) là hàm chẵn nên b ω = 0, ta cĩ Do tgφ ω = 0 nên cĩ thể lấy φ ω = 0. Từ đĩ suy ra 24
A ω = a ω c2t2 sinωt 2 2 2 0 0 A ω = a ω = 2 π ωt0 Hình 1.19b Đồ thị hàm 휔 Hình 1.19c Đồ thị hàm 2(휔) Trên hình (1.19b) và (1.19c) là đồ thị các hàm A (ω) và A2(ω). Biểu diễn tích phân Fourier của hàm y(t) theo cơng thức (3.6) cĩ dạng ∞ ∞ c sinωt cosωt y t = a ω cosωtdω = 0 dω π ω −∞ −∞ 1.3.3 Dao động họ hình sin Dao động họ hình sin đƣợc mơ tả về phƣơng diện động học bởi hệ thức y t = A t sin ω t t + α(t) (3.17) Trong đĩ A(t), ω(t) và α(t) là các đại lƣợng dao động thay đổi chậm theo thời gian. Nếu chỉ cĩ A(t) thay đổi thì dao động đƣợc gọi là dao động với biên độ biến đổi. Tƣơng tự ta cĩ dao động với tần số biến đổi khi chỉ cĩ 휔(푡) thay đổi, dao động với pha biến đổi khi chỉ cĩ 훼(푡) biến đổi. Dao động với pha biến đổi thì tần số của nĩ cũng biến đổi, bởi vì tần số của dao động họ hình sin đƣợc xác định bởi hệ thức d ω = ω t t + α(t) (3.18) a dt 25
Giả sử ta cĩ dao động mà A t = A0, ω = ω0 + g t , α = α0 + h(t). Khi đĩ áp dụng các biến đổi lƣợng giác ta cĩ y t = A0sin ω0t + α0 + g t t + h(t) = A0 sin ω0t + α0 cos g t t + h(t) + sin g t t + h(t) cos⁡(ω0t + α0) = A1 t sin ω0t + α0 + A2 t cos⁡(ω0t + α0) Nhƣ thế dao động với tần số hoặc pha biến đổi cĩ thể xem nhƣ là tổng hợp của hai dao động với biên độ biến đổi. Dao động với biên độ biến đổi theo quy luật βt A t = A0e cĩ một vai trị quan trọng trong lý thuyết dao động. Nếu β 0 dao động tăng dần. Trên hình 1.20a biểu diễn dao động tắt dần trong miền thời gian, cịn hình 1.21 biểu diễn dao động tăng dần trong miền thời gian (β = +0,046ω). Hình 1.20b biểu diễn dao động tắt dần trên mặt phẳng pha. Dao động mà biên độ thay đổi luân phiên đƣợc gọi là dao động biến điệu (hình 1.22). Trong các loại dao động tần số thay đổi, ngƣời ta phân biệt dao động tần số thay đổi đơn điệu (hình 1.23) và dao động tần số thay đổi biến điệu (hình 1.24). Các dao động biến điệu cĩ một vai trị quan trọng trong kỹ thuật vơ tuyến điện. Hình 1.20a Dao động họ hình sin tắt dần 26
Hình 1.20b Dao động tắt dần trên mặt phẳng pha Hình 1.21 Dao động họ hình sin tăng dần Hình 1.22 Dao động biên độ biến điệu 27
Hình 1.23 Dao động tần số thay đổi đơn điệu Hình 1.24 Dao động tần số thay đổi biến điệu 28
CÂU HỎI ƠN TẬP 1. Thế nào là dao động điều hồ, nêu các tham số động học của dao động điều hồ. 2. Biểu diễn phức dao động điều hồ y(t) = Asin(t + ). 3. Tổng hợp hai dao động điều hồ: y1(t) = A1sin(t + 1) và y2(t) = A2sin(t + 2) theo 2 phƣơng pháp đại số và biểu diễn phức. 4. Thế nào là dao động tuần hồn, nêu các tham số động học của dao động tuần hồn. 5. Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là hữu tỷ. 6. Biểu diễn đồng thời hai đại lƣợng dao động điều hồ theo hai phƣơng vuơng gĩc với nhau. 7. Thế nào là dao động khơng tuần hồn. 8. Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vơ tỷ. 9. Thế nào là dao động họ hình sin. Trình bày dạng dao động họ hình sin tắt dần, tăng dần. 10. Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng với tỷ lệ hai tần số là 1:2=1/2, A1 = A2, 1 = 2 = 0. 29
Chƣơng 2 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Hệ cơ học hơlơnơm một bậc tự do là cơ hệ mà vị trí của nĩ trong khơng gian đƣợc xác định bởi một toạ độ suy rộng. Chuyển động của hệ đƣợc xác định bởi qui luật thay đổi của toạ độ suy rộng đĩ theo thời gian. Trong chƣơng này ta xét dao động nhỏ của hệ một bậc tự do quanh vị trí cân bằng ổn định. Khi đĩ phƣơng trình vi phân mơ tả dao động của hệ sẽ là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số. 2.1 DAO ĐỘNG TỰ DO KHƠNG CẢN 2.1.1 Các thí dụ về thiết lập phƣơng trình vi phân dao động Trƣớc hết chúng ta xét một vài thí dụ về thiết lập phƣơng trình vi phân dao động tự do khơng cản của hệ một bậc tự do. Thí dụ 2.1: Dao động của một vật nặng treo vào lị xo. Xét một vật nặng khối lƣợng m treo vào lị xo cĩ hệ số cứng c. Bỏ qua khối lƣợng lị xo (hình 2.1) Động năng và thế năng của hệ cĩ dạng 1 1 T = mx2 , Π = cx2 2 2 Thế các biểu thức động năng và thế năng trên c vào phƣơng trình Lagrange loại hai Vị trí cân d ∂T ∂T ∂Π x bằng tĩnh − = − dt ∂x ∂x ∂x ta nhận đƣợc phƣơng trình dao động của hệ m mx + cx = 0 (1.1) Hình 2.1 Dao động của vật Chú ý rằng ta cĩ thể nhận đƣợc phƣơng trình nặng treo vào lị xo dao động (1.1) bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau. Chẳng hạn, nếu sử dụng định luật Newton ta cĩ mx = P − c(x0 + x) trong đĩ x0 là độ dãn tĩnh của lị xo P = cx0, cịn biểu thức của lực đàn hồi tuyến tính của lị xo Fđh = c(x0 + x), lực đàn hồi hƣớng ngƣợc chiều trục x. Từ phƣơng trình trên ta suy ra mx + cx = 0 Thí dụ 2.2: Dao động con lắc tốn học. Con lắc tốn học là một hệ dao động gồm một chất điểm cĩ khối lƣợng m treo vào một điểm O cố định bằng một sợi dây nhẹ, khơng dãn chiều dài là l (hình 2.2). Gọi 30
toạ độ của chất điểm là x, y. Từ hình vẽ ta cĩ = 푙푠푖푛휑 , = 푙 표푠휑. Từ đĩ dễ dàng tính đƣợc các biểu thức động năng của chất điểm 1 1 T = m x2 + y2 = ml2φ 2 O 2 2 y Π = −mgy = −mglcosφ l Thế các biểu thức trên vào phƣơng trình Q Lagrange loại hai lực ta đƣợc 2 ml φ = −mglsinφ x g Hay φ + sinφ = 0 l Vị trí cân P Trong trƣờng hợp con lắc dao động nhỏ, ta cĩ bằng tĩnh thể lấy xấp xỉ sinφ ≈ φ. Khi đĩ phƣơng trình dao động nhỏ của con lắc tốn học cĩ dạng Hình 2.2 Dao động con lắc g tốn học φ + φ = 0 (1.2) l Thí dụ 2.3: Dao động con lắc vật lý. Con lắc vật lý là một hệ dao động gồm cĩ một O a vật rắn cĩ thể quay quanh một trục cố định đi qua O và vuơng gĩc với mặt phẳng chứa khối tâm C của vật (hình 2.3). Khoảng cách từ điểm O đến khối tâm C của vật là a, mơmen quán tính của vật rắn với trục C quay là J0. Biểu thức động năng và thế năng của hệ cĩ dạng mg 1 Vị trí cân T = J φ 2 , Π = −mgacosφ 2 0 bằng tĩnh Thế các biểu thức động năng và thế năng vào Hình 2.3 Dao động con lắc phƣơng trình Lagrange loại hai ta đƣợc vật lý J0φ + mgasinφ = 0 Trong trƣờng hợp con lắc vật lý dao động nhỏ, ta lấy sinφ ≈ φ, phƣơng trình vi phân dao động cĩ dạng J0φ + mgaφ = 0 (1.3) Thí dụ 2.4: Dao động xoắn. Xét dao động xoắn của một vật nặng (chẳng hạn một đĩa hình trịn) gắn chặt vào một c trục đàn hồi. Đầu kia của trục đàn hồi ngàm chặt vào tƣờng cố định (hình 2.4). Cho biết J Vị trí mơmen quán tính của vật nặng đối với trục cân bằng tĩnh quay là J, độ cứng xoắn của trục đàn hồi là c. Hình 2.4 Dao động xoắn 31
Giả thiết mơmen quán tính của trục đàn hồi đối với trục quay nhỏ hơn nhiều so với mơmen quán tính của vật nặng đối với trục quay. Biểu thức động năng và thế năng của hệ cĩ dạng 1 1 T = Jφ 2 , Π = cφ2 2 2 Thế các biểu thức động năng và thế năng vào phƣơng trình Lagrange loại hai ta nhận đƣợc phƣơng trình dao động xoắn tuyến tính của vật nặng Jφ + cφ = 0 (1.4) Gọi q là toạ độ suy rộng. Từ các phƣơng trình (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) ta thấy dạng của phƣơng trình dao động tự do khơng cản của hệ một bậc tự do cĩ dạng chung là mq + cq = 0 (1.5) 2.1.2 Tính tốn dao động tự do khơng cản Nếu ta sử dụng ký hiệu c ω2 (1.6) 0 m Thì phƣơng trình dao động tự do khơng cản cĩ dạng 2 q + ω0q = 0 (1.7) Nhƣ đã biết từ lý thuyết phƣơng trình vi phân, nghiệm của phƣơng trình vi phân (1.7) cĩ dạng nhƣ sau q = C1cosω0t + C2sinω0t (1.8) Trong đĩ C1, C2 là hằng số tuỳ ý. Các hằng số này đƣợc xác định từ các điều kiện đầu t = 0: q 0 = q0 , q 0 = q 0 Để xác định các hằng số C1 , C2 ta đạo hàm biểu thức (1.8) theo thời gian q = −C1ω0sinω0t + C2ω0cosω0t (1.9) Thế các điều kiện đầu vào các biểu thức (1.8) và (1.9) ta xác định đƣợc q0 C1 = q0 , C2 = (1.10) ω0 Chú ý rằng nghiệm (1.8) của phƣơng trình vi phân (1.7) cĩ thể viết dƣới dạng q = Asin ω0t + α (1.11) Trong đĩ A và 훼 là các hằng số tuỳ ý. Do hệ thức sin ω0t + α = sinω0tcosα + sinαcosω0t nên từ (1.8), (1.10) và (1.11) dễ dàng tính đƣợc 2 2 2 2 q0 C1 q0 A = C1 + C2 = q0 + , tgα = = ω0 (1.12) ω0 C2 q 0 32
Từ biểu thức (1.11) ta thấy dao động tự do khơng cản của hệ một bậc tự do đƣợc mơ tả bởi hàm điều hồ. Vì vậy dao động tự do khơng cản cịn đƣợc gọi là dao động điều hồ. Theo chƣơng 1, trong biểu thức (1.11), A đƣợc gọi là biên độ dao động, ω0 đƣợc gọi là tần số riêng, ω0t + α đƣợc gọi là pha dao động, α là pha ban đầu. Đại lƣợng T = 2π ω0 đƣợc gọi là chu kỳ dao động. Qua khảo sát trên, dao động tự do khơng cản của hệ một bậc tự do là dao động điều hồ và cĩ các tính chất sau: - Tần số riêng và chu kỳ dao động khơng phụ thuộc vào các điều kiện đầu mà chỉ phụ thuộc vào các tham số của hệ. - Biên độ dao động là hằng số. Biên độ dao động và pha ban đầu của dao động tự do khơng cản phụ thuộc vào các điều kiện đầu và các tham số của hệ. Việc xác định tần số dao động riêng theo cơng thức (1.6) là nhiệm vụ quan trọng nhất của bài tốn dao động tự do. Bảng 2.1 thống kê một số cơng thức tính tần số riêng của một số hệ dao động đơn giản. Thí dụ 2.5: Tay biên khối lƣợng m, dài l. Tìm toạ độ trọng tâm và mơmen quán tính của tay biên đối với trục qua trọng tâm và vuơng gĩc với mặt phẳng tay biên. Các kích thƣớc cho trên hình vẽ. B b m l C a A Hình 2.5 Tay biên Lời giải: Ta sẽ xác định các đại lƣợng trên bằng thực nghiệm (hình 2.5). Gọi vị trí trọng tâm là C. Các khoảng cách a, b trên hình là các đại lƣợng cần tìm, với a = l – b. Ký hiệu JA, JB là mơmen quán tính của tay biên lần lƣợt đối với các trục đi qua A, B và vuơng gĩc với mặt phẳng hình vẽ. JA, JB là các đại lƣợng chƣa biết. Ta làm hai thí nghiệm xem tay biên là con lắc vật lý, lần lƣợt cĩ các điểm treo là A rồi B. 33
Phƣơng trình dao động nhỏ quanh A, theo (1.3) là JA φ A + mgaφA = 0 Từ đĩ suy ra chu kỳ dao động quanh A 2π JA T2A π (1.13) ωA mga Tƣơng tự, phƣơng trình dao động nhỏ của tay biên quanh B là JB φ B + mgbφB = 0 Từ đĩ suy ra chu kỳ dao động 2πJB T2B π (1.14) ωB mgb Các đại lƣợng TA, TB ở trên đƣợc xác định bằng thực nghiệm (chẳng hạn sử dụng đồng hồ bấm giây). Ngồi ra, ta cịn cĩ ba phƣơng trình 2 2 a + b = l , JA = JC + ma , JB = JC + mb (1.15) Nhƣ thế ta cĩ năm phƣơng trình để xác định năm ẩn là JA , JB , JC , a, b. Giải các phƣơng trình trên ta đƣợc gT22 4πl bl A 2 2 2 g TA TB 8πl T2 J B mgb mb2 c 4π2 34
2 Số TT Mơ hình dao động Phƣơng trình 휔0 X c c c 1 Hệ khối lƣợng – lị xo đơn giản x + x = 0 m m m Hệ khối lƣợng – lị xo trong c c c 2 y y + y = 0 trọng trƣờng m m m O l g g 3 Con lắc tốn học φ + φ = 0 l l m O rc mgrC mgrC g 4 Con lắc vật lý φ + φ = 0 = J0 J0 Jred C m Jo cd cd 5 Bàn quay φ + φ = 0 J0 J0 Cd 35
r O Jo l c l c 6 Hệ khối lƣợng vắt qua rịng rọc y + y = 0 y J0 ml J0 ml l + 2 l + 2 m1 mlr mlr C m c − mgl c − mgl 7 Cơ cấu gõ nhịp φ + d φ = 0 d l O J0 J0 Cd X l c l c c Jc x + x = 0 8 Hệ con lăn – lị xo JC m JC m r l + l + C mr2 mr2 l  Jc l g l g r ψ + ψ = 0 9 Con lăn trên quỹ đạo trịn JC l JC l C l + l + mr2 mr2 rc m mgrC mgrC 10 Nửa đĩa trịn trên mặt phẳng φ + 2 φ = 0 2 C r JC + m r − rC JC + m r − rC Bảng 2.1. Tần số riêng của một vài mơ hình dao động 36
2.1.3 Xác định các tham số độ cứng của hệ dao động Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thƣờng đƣợc giả thiết bỏ qua khối lƣợng. Đại lƣợng đặc trƣng cho phần tử đàn hồi tuyến tính cĩ độ cứng và ký hiệu là c. Vì hệ cĩ thể thực hiện đƣợc dao động thẳng, dao động uốn, dao động xoắn nên thứ nguyên của độ cứng c nĩi chung khác nhau. Phần tử đàn hồi cĩ nhiều dạng và nhiều kết cấu tuỳ theo sự sử dụng và cách chịu lực của chúng. Dƣới đây trình bày một số cơng thức tính tốn hệ số cứng c qui đổi. a. Tính tốn hệ số cứng qui đổi của thanh đàn hồi Nếu lị xo là các thanh đàn hồi khơng trọng lƣợng, ta cĩ thể tính tốn hệ số cứng quy đổi tƣơng đối đơn giản. Trong trƣờng hợp thanh đàn hồi (lị xo) chịu kéo nén (hình 2.6), từ giáo trình Sức bền vật liệu [37, 49] ta cĩ Fl Δl = EA Trong đĩ E là mơ đun đàn hồi, A là diện tích mặt cắt ngang. Từ đĩ ta suy ra l EA F = Δl = cΔl l Vậy độ cứng qui đổi đƣợc xác định bởi cơng thức EA l c = (1.16) l Trong trƣờng hợp thanh đàn hồi (lị xo) chịu xoắn F (hình 2.7) từ giáo trình Sức bền vật liệu ta cĩ cơng thức Hình 2.6 Thanh đàn hồi M l Δφ = x chịu kéo GIp Trong đĩ G là mơ đun trƣợt, Ip là mơmen quán tính cực của mặt cắt ngang. Từ cơng thức trên dễ dàng suy ra GIp M = ∆φ = c∆φ Mx x l Vậy độ cứng qui đổi trong trƣờng hợp thanh xoắn cĩ dạng GIp c = (1.17) l l Trƣờng hợp thanh đàn hồi (lị xo) bị uốn, hệ số cứng qui đổi c cịn phụ thuộc vào các điều kiện biên. Để làm thí dụ ta xét dầm chịu uốn nhƣ hình 2.8. Từ giáo trình Sức bền vật liệu, ta tính đƣợc độ võng f [37, 49] Hình 2.7 Thanh đàn hồi l Fl3 f = chịu xoắn 3 EI 37
Trong đĩ EI là độ cứng chống uốn. Từ đĩ suy ra l F 3EI F = f = cf l3 f Vậy độ cứng qui đổi c đƣợc xác định bởi cơng thức Hình 2.8 Dầm chịu uốn EI c3 (1.18) l3 b. Tính tốn lị xo thay thế tương đương của các hệ các lị xo mắc song song và mắc nối tiếp Đối với hệ cĩ hai lị xo mắc song song nhƣ hình 2.9, ta cĩ thể thay thế tƣơng đƣơng bằng hệ cĩ một lị xo. Từ biểu thức lực đàn hồi lị xo, ta suy ra cơng thức tính hệ số cứng lị xo tƣơng đƣơng ∗ ∗ F = c1x + c2x = c x → c = c1 + c2 c1 * * c1 c 2 c c c 2 x x Hình 2.9 Hai lị xo mắc song song Hình 2.10 Hai lị xo mắc nối tiếp Nếu hệ cĩ n lị xo mắc song song, tính tốn tƣơng tự ta cĩ n * cc  j (1.19) jl Đối với hệ cĩ hai lị xo mắc nối tiếp nhƣ hình 2.10, nếu ở hệ thay thế lị xo dãn ra một đoạn x bằng tổng hai độ dãn x1 và x2 của hệ ban đầu thì ta cĩ ∗ F = c1x1 = c2x2 , x1 + x2 = x , F = c x Từ đĩ ta suy ra F F F 1 1 1 x = + = ∗ → ∗ = + c1 c2 c c c1 c2 Nếu hệ cĩ n lị xo mắc nối tiếp thì cơng thức tính hệ số cứng lị xo thay thế cĩ dạng 38
11n *  (1.20) c il c j Thí dụ 2.6: Cho hệ dao động gồm khối lƣợng và các lị xo mắc nhƣ hình 2.11. Hãy tính tần số riêng của hệ. C C 1 y 2 m C3 C 4 Hình 2.11 Hình thí dụ 2.6 Lời giải: Ở đây ta cĩ bốn lị xo mắc song song. Do đĩ c∗ c∗ = c + c + c + c , ω = 1 2 3 4 0 m Thí dụ 2.7: Cho hai hệ dao động nhƣ hình 2.12. Mỗi hệ gồm một dầm khơng trọng lƣợng cĩ độ cứng chống uốn là EI, một lị xo cĩ độ cứng c và một khối lƣợng m. Hãy tính các tần số riêng của chúng. Lời giải: Cả hai hệ đã cho đều cĩ thể thay bằng một mơ hình thay thể tƣơng đƣơng (hình 2.12c) c EI EI c* m m c l/2 l/2 l/2 l/2 m a) b) c) Hình 2.12 Hình thí dụ 2.7 Trên hình 2.12a dầm và lị xo là hai lị xo mắc song song. Lị xo thay thế dầm (xem bảng 2.2) cĩ độ cứng quy đổi là 48EI c = 1 l3 Từ đĩ dễ dàng tính đƣợc lị xo thay thế tƣơng đƣơng của hệ 48EI c∗ = c + c = c + 1 l3 39
Tần số riêng của hệ trên hình 2.12a là c∗ cl3 + 48EI ω = = 0 m ml3 Trên hình 2.12b, dầm và lị xo là hai lị xo mắc nối tiếp. Do đĩ 1 1 1 ∗ cc1 ∗ = + → c = c c c1 c + c1 Tần số riêng của hệ là c∗ 48cEI ω = = 0 m cl3 + 48EI m Nhƣ thế tần số riêng của hệ b nhỏ hơn tần số riêng của hệ a. Nĩi cách khác, hệ b cĩ lị xo thay thế mềm hơn. Cuối cùng ta thống kê ra một số cơng thức hay dùng để tính tốn các hệ số cứng của lị xo thay thế trong bảng 2.2. Thí dụ 2.8: Một khung hình chữ nhật gồm một thanh ngang cứng và hai thanh chống đàn hồi (h = 3m, E = 2,1.105 N/mm2 , I = 3500cm4) nhƣ hình 2.13. Trên thanh ngang gắn chặt một vật rắn cĩ khối lƣợng m = 105kg. Bỏ qua khối lƣợng các thanh của khung. Xác định tần số riêng của hệ. m EI h a) b) w w A M m c* F F EI c) d) e) Hình 2.13 Hình thí dụ 2.8 Lời giải: Khung cĩ khả năng dao động ngang nhƣ hình 2.13b, mơ hình thay thế tƣơng đƣơng là hình 2.13c. Để tính c* ta phải tính các lị xo tƣơng đƣơng của các thanh chống đàn hồi. 40
Hệ trên hình 2.13d là một hệ siêu tĩnh đơn giản. Nếu ta giải phĩng liên kết tại A và thay bằng ngẫu lực cĩ mơmen chƣa biết M thì độ võng và gĩc xoay ở đầu A cĩ thể xác định theo các cơng thức: Fh3 Mh2 Fh2 Mh w = − , φ = − 3EI 2EI 2EI EI Từ điều kiện bổ sung gĩc xoay ở A bằng khơng ta suy ra 퐹푕 퐹푕3 2퐹 24 = → 푤 = → ∗ = 2 = = 2 12 푤 푕3 Tần số riêng của hệ c∗ 24EI ω ω = = → ω = 8,1s−1 → f = 0 = 1,3Hz 0 m h3m 0 2π 41
Số TT Sơ đồ Hệ số c 1 Gd4 8nD3 d – Đƣờng kính thiết diện D – Đƣờng kính lị xo G – Mơ đun trƣợt; n – Số vịng lị xo 2 c1 + c2 3 c c 1 2 c1 + c2 4 3EI l3 5 3EI(a + b) a2b2 6 12EI a + b 3 a3b2 3a + 4b 42
7 3EI(a + b)3 a3b3 8 3EI b + l b2 9 12EI 4b + 3l b2 10 α2EI N α = x αl chαl − shαl EI 11 α2EI shαl N α = x l αl chαl − shαl EI 43
2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO CĨ CẢN Quan sát các hệ dao động, ta thấy dao động tự do nĩi chung tắt dần theo thời gian. Tính chất này của hệ dao động lý giải bởi ảnh hƣởng của lực cản. Hai loại lực cản phổ biến nhất là lực ma sát nhớt tỷ lệ bậc nhất với vận tốc và lực ma sát khơ. 2.2.1 Tính tốn dao động tự do cĩ ma sát nhớt Xét dao động của hệ mơ tả trên hình 2.14. Do cĩ thêm lực cản nhớt tỷ lệ bậc nhất với vận tốc, nên phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mq + bq + cq = 0 (2.1) Nếu ta đƣa vào các ký hiệu c b = ω2 , = 2δ (2.2) m 0 m thì phƣơng trình (2.1) cĩ dạng 2 Hình 2.14 Hệ dao động q + 2δq + ω0q = 0 (2.3) Theo lý thuyết phƣơng trình vi phân tuyến tính [1], cĩ cản nhớt phƣơng trình đặc trƣng của (2.3) là 2 2 λ + 2δλ + ω0 = 0 (2.4) Tuỳ theo quan hệ giữa δ và ω0, cĩ thể xảy ra các trƣờng hợp sau 2 2 δ < ω0 (lực cản nhỏ): λ1,2 = −δ ± i ω0 − δ 2 2 δ ≥ ω0 (lực cản lớn): λ1,2 = −δ ± δ − ω0 a. Trường hợp thứ nhất: 휹 < 흎 (lực cản nhỏ) Trong trƣờng hợp này 휆 cĩ giá trị phức. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân dao động (2.3) cĩ dạng −δt q = e C1cosωt + C2sinωt (2.5) trong đĩ 2 2 ω = ω0 − δ (2.6) Các hằng số C1 , C2 đƣợc xác định từ các điều kiện đầu t = 0 ∶ q 0 = q0 , q 0 = q 0 Từ các điều kiện đầu đã cho, dễ dàng xác định các hằng số C1 , C2 q + δq C = q , C = 0 0 (2.7) 1 0 2 ω Để biến đổi biểu thức (2.5) ta đƣa vào các hằng số A và β xác định theo hệ thức C1 = Asinβ , C2 = Acosβ Từ đĩ suy ra 2 2 C1 A = C1 + C2 , tgβ = C2 44
Biểu thức nghiệm (2.5) bây giờ cĩ thể viết dƣới dạng q = Ae−δtsin ωt + β (2.8) Từ biểu thức nghiệm (2.8) ta thấy: Khi lực cản đủ nhỏ, hệ thực hiện dao động tắt dần. Độ lệch Ae−δt giảm theo luật số mũ, tiệm cận tới khơng (hình 2.15). Dao động đƣợc mơ tả bởi phƣơng trình (2.8) là dao động họ hình sin. Tuy chuyển động của hệ đƣợc mơ tả bởi qui luật khơng tuần hồn, nhƣng toạ độ q lại đổi dấu một cách tuần hồn. Vì thế ngƣời ta qui ƣớc gọi 휔 là “tần số riêng”, = 2 휔 là “chu kỳ”, cịn Ae−δt là “biên độ” của dao động tắt dần. Hình 2.15 Đồ thị q trường hợp lực cản nhỏ Để đặc trƣng cho độ tắt dần của dao động tự do cĩ cản nhớt, ta đƣa vào khái niệm độ tắt lơga. Độ tắt lơga Λ đƣợc xác định bởi hệ thức q(t) Λ ln δT (2.9) q(t T) Độ tắt lơga đặc trƣng cho độ giảm “biên độ” dao động tắt dần. Trong thực tế ta thƣờng xác định tỷ số hai biên độ dao động sau k chu kỳ q(t) e−δt = = eδkT q(t + kT) e−δ(t+kT ) Từ đĩ ta suy ra 1 q(t) Λ δT ln (2.10) k q(t kT) b. Trường hợp thứ hai: 휹 > 흎 (lực cản lớn) Khi 훿 > 휔0 hai nghiệm 휆1 và 휆2 của phƣơng trình đặc trƣng là các số thực và âm. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân dao động (2.3) cĩ dạng q Ae δt sh δ 2 ω 2 t β (2.11) 0 Đƣờng biểu diễn q = q(t) cắt trục t khơng quá một lần (hình 2.16). Do đĩ chuyển động của hệ là chuyển động tắt dần, khơng dao động. c. Trường hợp thứ ba: 휹 = 흎 (lực cản tới hạn) 45
Hình 2.16 Đồ thị q trường hợp lực cản lớn Trong trƣờng hợp này hai nghiệm 휆1 và 휆2 là các số thực âm và bằng nhau. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân dao động (2.3) cĩ dạng −δt q = e (C1t + C2) (2.12) Chuyển động của hệ là tắt dần, khơng dao động. Trong một số tài liệu viết về dao động trong kỹ thuật, ngƣời ta cịn sử dụng khái niệm độ của Lehr. Độ cản Lehr (ký hiệu bằng chữ D) đƣợc xác định bởi hệ thức δ b b D (2.13) ω00 2mω 2 mc Phƣơng trình vi phân dao động tự do cĩ cản nhớt (2.3) cĩ thể viết dƣới dạng 2 q + 2Dω0q + ω0q = 0 (2.14) 2 2 2 Do hệ thức ω0 − φ = ω0 l − D chuyển động của hệ đƣợc phân thành ba trƣờng hợp sau: D l (δ > ω0) : độ cản lớn Căn cứ vào độ cản Lehr ta cĩ kết luận: Khi D < l chuyển động của hệ là dao động tắt dần, khi D ≥ 1 chuyển động của hệ tắt dần, khơng dao động. Từ cơng thức định nghĩa độ cản Lehr, ta dễ dàng xác định đƣợc hệ thức liên hệ giữa độ tắt lơga và độ cản Lehr D Λ2  T (2.15) lD 2 Thí dụ 2.9: Trên hình 2.17 là đồ thị dao động tịnh tiến thẳng của một vật điểm cĩ khối lƣợng m = 0,5kg. Từ đồ thị dao động hãy xác định - Chu kỳ và tần số dao động tắt dần - Độ tắt lơga Λ - Hệ số cản b và hệ số cứng c - Các điều kiện đầu và qui luật dao động của vật điểm. 46
Lời giải: Từ đồ thị dao động ta thấy dao động của hệ là dao động tự do tắt dần với lực cản nhớt nhỏ. Thời gian thực hiện bốn chu kỳ dao động là 0,6s. Từ đĩ suy ra: Hình 2.17 Hình thí dụ 2.9 0,6 Chu kỳ dao động tắt dần T s 0,15s 4 2π 2π Tần số dao động tắt dần ω s ll 41,9s T 0,15 Theo cơng thức (2.10) ta xác định độ tắt lơga 1 x(t) 1 Λ = δT = ln = ln18,5 = 0,729 4 x(t + 4T) 4 A 0,729 Từ đĩ suy ra δ 4,86s l T 0,15 Hệ số cản b của hệ cĩ giá trị là b = 2δm = 2 .4,86 .0,5 = 4,86 kg/s 2 2 Từ cơng thức ω = ω0 − δ ta tính đƣợc tần số dao động riêng của hệ 2 2 −l ω0 = ω + δ = 42,18s Từ đĩ dễ dàng tính đƣợc hệ số cứng c 2 2 c = mω0 = 889,6 kg/s Từ đồ thị ta cĩ ngay x(0) = 0. Với ký hiệu mx , mt là các tỷ lệ xích, 푡 훼 là hệ số gĩc của tiếp tuyến với đƣờng cong tại t = 0, ta cĩ vận tốc ban đầu m x 0 = x tgα = 10,5 cm/s mt Qui luật dao động họ hình sin của hệ đƣợc xác định bởi cơng thức (2.8) v x t = 0 e−δtsinωt = 0,25e−4,86tsin⁡(41,9t) ω 47
Thí dụ 2.10: Cho biết các điều kiện đầu cho một hệ dao động trên hình 2.18 là x(0) = x0 , 0 = 0. Hãy xác định năng lƣợng hao tán trong một chu kỳ. Cho biết D = 0,01. Lời giải: Tại thời điểm đầu (t = 0), năng lƣợng của hệ dao động là 1 E = Π = cx2 (do T =0) 0 0 2 0 0 Sau một chu kỳ năng lƣợng của hệ là 1 b C E = Π = cx2 (do T =0) 2 1 1 2 1 1 Từ biểu thức dao động tự do tắt dần ta cĩ x m 0 eδt x x e δt 10 x1 Do Hình 2.18 Hình 2π 2π 2π thí dụ 2.10 T = = = ω 2 2 2 ω0 − δ ω0 1 − D ta suy ra 2πD − 2 x1 = x0e 1−D Nhƣ thế, năng lƣợng hao tán trong một chu kỳ là 4πD 4πD 1 1 − 1 − ∆E = E − E = cx2 − cx2e 1−D2 = cx2(1 − e 1−D2 ) 0 1 2 0 2 0 2 0 1 Khi cho D = 0,01 thì ∆ = 0,13 . 2. Vậy sau chu kỳ đầu, năng lƣợng của hệ bị hao 2 0 tán mất 13%. Thí dụ 2.11: Gắn một khối lƣợng m vào đầu thanh. Gắn vào thanh các phần tử cản và đàn hồi nhƣ hình 2.19. Bỏ qua khối lƣợng của thanh. - Phải chọn độ lớn của hệ số cản b nhƣ thế nào để hệ cĩ khả năng dao động nhỏ? - Xác định độ cản Lehs D cần thiết để sau mƣời dao động., biên độ giảm cịn 1/10 biên độ của chu kỳ đầu, sau đĩ xác định chu kỳ dao động. Hình 2.19 Hình thí dụ 2.11 48
Lời giải: Áp dụng định lý biến thiên mơmen động lƣợng đối với trục ds đi qua A và do 휑 nhỏ lấy xấp xỉ 푠푖푛휑 ≈ 휑 , 표푠휑 ≈ 1, ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân dao động của hệ b c g φ + φ + + φ = 0 4m m 2a 2 → φ + 2δφ + ω0φ = 0 Trong đĩ b c g 2δ = , ω2 = + 4m 0 m 2a Để hệ cĩ khả năng dao động nhỏ thì δ 0 F = ms μmg khi q 0 Hình 2.20 Hệ dao động tự do cĩ ma sát khơ Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mq + cq − μmg = 0 khi q < 0 (2.16) 49
mq + cq + μmg = 0 khi q > 0 (2.17) Nếu ta đƣa vào các ký hiệu c μmg = ω2 , = s m 0 c thì các phƣơng trình (2.16) và (2.17) cĩ dạng 2 (q − s) + ω0(q − s) = 0 khi q 0 (2.19) Dễ dàng tính đƣợc nghiệm tổng quát của các phƣơng trình trên q = A1 cos ω0t + α1 + s khi q 0 (2.21) Chu kỳ dao động của hệ là 2πm T2 π (2.22) ωc Để xác định biểu thức nghiệm, cần phải biết các điều kiện đầu. Giả sử tại thời điểm đầu t = 0 ∶ q 0 = q0 , q 0 = 0 . Trong nửa chu kỳ đầu q 0 ta cĩ q t = A2 cos ω0t + α2 − s Các hằng số A2 và 훼2 đƣợc xác định từ các điều kiện đầu. Ta cĩ các phƣơng trình T π q q A2 coscos π α 2 s 2s q 0 2 ω0 50
T π qq&& ω0 A 2 sinsin π α 2 0 2 ω0 Từ hai phƣơng trình trên suy ra α2 = 0, A2 = q0 − 3s. Nhƣ thế trong nửa thứ π 2π hai của chu kỳ đầu t vật điểm dao động theo qui luật ωω00 q t = q0 − 3s cos ω0t − s (2.24) Từ biểu thức (2.24) ta xác định đƣợc các điều kiện đầu cho dao động ở nửa đầu chu kỳ thứ hai q T = q0 − 4s , q T = 0 Sau đĩ tiếp tục tính tốn tƣơng tự nhƣ trên. Đồ thị dao động tự do cĩ ma sát khơ tƣơng ứng với điều kiện đầu t = 0 ∶ q 0 = q0 , q 0 = 0 cĩ dạng nhƣ hình 2.21a. Hình 2.21a Đồ thị dao động tự do cĩ ma sát khơ với điều kiện đầu 푡 = 0 ∶ 푞 0 = 푞0 , 푞 0 = 0 Ngày nay việc tính tốn dao động cĩ thể thực hiện khá đơn giản trên máy tính điện tử. Hai phƣơng trình (2.16) và (2.17) cĩ thể viết lại dƣới dạng 2 x + ω0x = −μgsign x (2.25) Trong đĩ 1khi x& 0 sign x& (2.26) 1khi x& 0 51
−1 2 Cho biết ω0 = c m = 100s , μ = 0,1 , g = 9,81m/s . Với các điều kiện đầu 0 = 0,005 , 0 = 0 , sử dụng chƣơng trình MATLAB, ta dễ dàng tính đƣợc nghiệm của phƣơng trình (2.25). Đồ thị biểu diễn kết quả tính tốn cĩ dạng nhƣ hình 2.21b. Hình 2.21b Dao động tự do cĩ tính đến ma sát khơ 2.2.2.1 Dao động cƣỡng bức của hệ chịu kích động điều hồ a. Các dạng kích động và phƣơng trình vi phân dao động * Kích động lực Trên hình 2.22a là mơ hình dao động khối lƣợng – lị xo chịu kích động lực. Giả sử F t = F sinΩt, trong đĩ F là giá trị cực đại của hàm F(t). Đối với mơ hình này ta cĩ 1 1 1 T = my 2 , Π = cy2 , Φ = by2 , Q∗ = F(t) 2 2 2 Thế các biểu thức trên vào phƣơng trình Lagrange loại 2 d ∂T ∂T ∂Π ∂Φ − = − − + Q∗ dt ∂y ∂y ∂y ∂y ta đƣợc my + by + cy = F sinΩt (3.1) Chia hai vế của (3.1) cho m và đƣa vào ký hiệu y = F c , ta biến đổi (3.1) về dạng Hình 2.22 Hệ chịu kích động lực 52
22 &&y2 δy & ω00 y ωyˆ sinΩt (3.1a) * Kích động bởi khối lượng lệch tâm Mơ hình dao động của hệ chịu kích động bởi khối lƣợng lệch tâm cho trên hình 2.22b. Rơto cĩ khối lƣợng lệch tâm m1 , quay đều với vận tốc gĩc Ω. Biểu thức động năng của hệ cĩ dạng 1 1 T = m y 2 + m v2 2 0 2 1 1 Do x1 = ecosΩt , x 1 = −eΩsinΩt , y1 = y + esinΩt , y 1 = y + eΩcosΩt nên ta cĩ 2 2 2 2 2 2 v1 = x 1 + y 1 = y + 2y eΩcosΩt + e Ω Từ đĩ suy ra Hình 2.22b Hệ chịu kích động bởi 11 T my&&2 m yeΩcosΩt m e 2 Ω 2 khối lượng lệch tâm 2211 Trong đĩ m = m0 + m1 Các biểu thức thế năng Π và hàm hao tán Φ cĩ dạng nhƣ các thí dụ trƣớc 1 1 Π = cy2 , Φ = by2 2 2 Thế các biểu thức T, Π, Φ vào phƣơng trình Lagrange loại 2, ta đƣợc 2 my + by + cy = m1eΩ sinΩt (3.2) Biến đổi tƣơng tự nhƣ trên ta đƣợc 2 2 y + 2δy + ω0y = Ω y sinΩt (3.2a) trong đĩ m yˆ 1 e mm01 * Kích động bằng lực đàn hồi Trên hình 2.22c là mơ hình hệ chịu kích động lực đàn hồi tuyến tính. Bỏ qua ma sát trƣợt động μ = 0 . Cho biết u t = u sinΩt Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mx + bx + c1x + c0 x − u(t) = 0 Do u t = u sinΩt nên ta cĩ mx + bx + cx = c0u sinΩt (3.3) trong đĩ c = c1 + c0. Hình 2.22c Hệ chịu kích động c0 Nếu sử dụng ký hiệu x=ˆ uˆ thì phƣơng bằng lực đàn hồi c10 +c 53
trình (3.3) biến đổi đƣợc về dạng 2 2 x + 2δx + ω0x = ω0x sinΩt (3.3a) * Kích động động học Trên hình 2.22d là mơ hình hệ chịu kích động động học. Giả sử điểm chân của bộ lị xo và cản nhớt chuyển động theo qui luật điều hồ u t = u sinΩt. Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mx + b y − u + c y − u = 0 m Thế u t = u sinΩt , u t = u ΩcosΩt vào y phƣơng trình trên ta đƣợc my + by + cy = u csinΩt + bΩcosΩt (3.4) b c Chia hai vế của phƣơng trình (3.4) cho m ta đƣợc u(t) 2 y + 2δy + ω0y = Ω = ω0y ω0sinΩt + 2δ cosΩt (3.4a) ω0 Hình 2.22d Hệ chịu kích động trong đĩ y = u . động học * Kích động bằng lực cản nhớt Trên hình 2.22e là mơ hình hệ chịu kích động bằng lực cản nhớt. Mặt trƣợt nhẵn tuyệt đối μ = 0 . Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mx + b1x + cx + b0 x − u (t) = 0 Cho biết u t = u sinΩt , u t = u ΩcosΩt , x khi đĩ phƣơng trình trên cĩ dạng u(t) b1 mx + bx + cx = b0u ΩcosΩt (3.5) với b = b1 + b0. c Chia hai vế của (3.5) cho m, ta đƣợc b0 2 x + 2δx + ω0x = 2δΩx cosΩt (3.5a) b trong đĩ x = 0 u . Hình 2.22d Hệ chịu kích động b Qua các thí dụ trên ta thấy: Phƣơng trình vi động học phân dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do chịu kích động điều hồ cĩ dạng mq + bq + cq = H1sinΩt + H2cosΩt (3.6) hoặc 2 q + 2δq + ω0q = h1sinΩt + h2cosΩt (3.7) Chú ý, nếu ta sử dụng độ cản Lehr D thì phƣơng trình (3.1a) cĩ dạng nhƣ sau 2 2 y + 2Dω0y + ω0y = ω0y sinΩt (3.8) 54
trong đĩ 2 c δb ω0 ,D m ω0 2 cm Ta cĩ thể biến đổi các phƣơng trình (3.2a), (3.3a), (3.4a), (3.5a) về dạng tƣơng ứng. b. Tính tốn dao động cƣỡng bức khơng cản Phƣơng trình vi phân dao động cƣỡng bức khơng cản của hệ một bậc tự do cĩ dạng mq + cq = HsinΩt (3.9) Nếu ta đƣa vào các ký hiệu cH ω2 ,h 0 mm thì phƣơng trình (3.9) cĩ dạng 2 q + ω0q = hsinΩt (3.10) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân (3.10) bao gồm nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tƣơng ứng và một nghiệm riêng của phƣơng trình cĩ vế phải. Để giải phƣơng trình vi phân (3.10) ta xét hai trƣờng hợp Ω ≠ 휔0(xa cộng hƣởng) và Ω ≈ 휔0 (gần cộng hƣởng). Khi Ω ≠ 휔0 ta tìm nghiệm riêng của phƣơng trình (3.10) dƣới dạng q∗ = AsinΩt (3.11) Trong đĩ A là hằng số chƣa xác định. Thế biểu thức (3.11) vào phƣơng trình (3.10), so sánh với các hệ số của sinΩt, ta rút ra biểu thức xác định A h A 22 với (Ω ω0 ) ωΩ0 Theo lý thuyết phƣơng trình vi phân, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.10) cĩ dạng h q t C1 cosω 0 t C 2 sinω 0 t 22 sinΩt (3.12) ωΩ0 Các hằng số C1, C2 đƣợc xác định từ các điều kiện đầu. Giả sử khi t = 0 thì q(0) = qo ; q 0 = q 0. Thế các điều kiện đầu này vào biểu thức (3.12) và đạo hàm của nĩ, ta cĩ q& hΩ C q ;C 0 1 0 2 ω 22 0 ω00 ω Ω Nhƣ thế, biểu thức nghiệm (3.12) cĩ dạng q& hΩh q t q cosω t 0 sinω t sinω t sinΩt (3.13) 0 0ω 022 0 ω22 Ω 00ω00 ω Ω 55
Nghiệm (3.13) gồm hai phần: Ba số hạng đầu biểu thị dao động tự do với tần số là tần số riêng của hệ, số hạng thứ tƣ biểu thị dao động cƣỡng bức với tần số là tần số của lực kích động. Chú ý rằng khi q0 = q 0 = 0 chỉ cĩ hai số hạng đầu của dao động tự do triệt tiêu. Vì vậy số hạng thứ ba đƣợc gọi là thành phần dao động với tần số lực kích động và các thành phần dao động với tần số riêng đƣợc gọi là giai đoạn chuyển tiếp. Giai đoạn chỉ tồn tại thành phần dao động với tần số của lực kích động đƣợc gọi là giai đoạn bình ổn. Nếu bỏ qua các thành phần dao động tự do trong (3.13) ta cĩ biểu thức xác định trạng thái bình ổn của dao động cƣỡng bức * hH q t 2 2 sinΩt 2 sinΩt (3.14) ω0 Ω c(1 η ) Chú ý rằng thừa số H/c là dịch chuyển gây ra bởi lực tĩnh H đặt vào vật rắn dao động. Trong đĩ 휂 = Ω 휔0. Đại lƣợng 1 V η (3.15) 1 η2 biểu thị tác dụng động lực của lực kích động, và đƣợc gọi là hàm khuếch dại (hoặc hệ số động lực). Trên hình 2.23 biểu diễn sự phụ thuộc của V vào η. V 1 O  1 Hình 2.23 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc V vào  Khi tỷ số Ω 휔0 dần đến 1 thì hàm khuếch đại (hệ số động lực) và do đĩ biên độ dao động cƣỡng bức tăng lên nhanh chĩng và tiến tới vơ cùng khi Ω = ω0. Hiện tƣợng đĩ gọi là hiện tƣợng cộng hƣởng. Nhƣ vậy hiện tƣợng cộng hƣởng là hiện tƣợng biên độ dao động cƣỡng bức tăng lên rất lớn do tần số của lực kích động trùng với tần số dao động tự do. Trong thực tế khơng cĩ trƣờng hợp nào biên độ dao động tăng lên vơ cùng vì trong các hệ thực bao giờ cũng tồn tại lực cản. Vấn đề này sẽ đƣợc xét ở sau. Trở lại biểu thức tổng quát (3.13) của nghiệm. Khi q0 = q 0 = 0, biểu thức nghiệm (3.13) cĩ dạng h Ω q t 22 sinΩt sinω0 t (3.16) ω00 Ω ω 56
Ta xét trƣờng hợp khi tần số Ω của lực kích động rất gần với tần số dao động tự do 휔0. Đƣa vào ký hiệu Ω − ω0 = 2ε trong đĩ ε là một đại lƣợng vơ cùng bé. Bỏ qua các số hạng bé cỡ ε trong biểu thức của q ta cĩ h 2h Ω + ω Ω − ω 0 0 q ≈ 2 2 sinΩt − sinω0t = 2 2 cos t sin t ω0 − Ω ω0 − Ω 2 2 2hΩω 0 hsinεt 22sinεtcos t cosΩt (3.17) ω0 Ω 2 2Ωε Do ε là một đại lƣợng vơ cùng bé nên hàm sinεt biến thiên chậm, cịn chu kỳ của nĩ 2π ε rất lớn. Trong trƣờng hợp này cĩ thể xem biểu thức (3.17) là qui luật dao động với chu kỳ 2π Ω và biên độ biến đổi 푕 2Ω휀 푠푖푛휀푡. Dạng dao động này đƣợc biểu diễn trên hình 2.24. Hiện tƣợng dao động này gọi là hiện tƣợng phách. Hình 2.24 Hiện tượng phách Hình 2.25 Đồ thị q(t) Xét trƣờng hợp Ω → ω0(ε → 0). Khi đĩ, ta cĩ thể thay sinεt bằmg εt trong biểu thức (3.17) và ta cĩ hệ thức ht q cosωt0 (3.18) 2ω0 Biên độ 푕푡/2휔0 tăng lên vơ hạn khi thời gian t tăng nhƣ hình 2.25. Nhƣ thế, ngay trong phạm vi lý thuyết dao động tuyến tính khơng cản, sự tăng biên độ lên vơ hạn ở vùng cộng hƣởng cũng địi hỏi phải cĩ thời gian. Đối với các máy đƣợc thiết kế làm việc ở trên vùng cộng hƣởng, khi tăng vận tốc của máy qua vùng cộng hƣởng, cần phải khẩn trƣơng cho vƣợt qua đủ nhanh. Nhƣ thế khi tính tốn dao động cƣỡng bức khơng cản ta phân ra hai trƣờng hợp: - Trƣờng hợp xa cộng hƣởng Ω ≠ 휔0 - Trƣờng hợp gần cộng hƣởng Ω ≈ 휔0 . Trong trƣờng hợp này khi Ω = ω0 + 2ε ta cĩ hiện tƣợng phách, khi Ω = 휔0 ta cĩ hiện tƣợng cộng hƣởng. 57
Thí dụ 2.12: Bánh xe O lăn khơng trƣợt trên mặt đƣờng gồ ghề lƣợn sĩng. Vận tốc tâm O của bánh xe luơn khơng đổi là v = 60km/h. Mặt đƣờng lƣợn sĩng cĩ phƣơng πx trình là s = s sin với s = 2cm , L = 100cm. Xác định biên độ dao động cƣỡng L bức thẳng đứng của vật thể M cĩ khối lƣợng m, nối với trục bánh xe bằng lị xo cĩ độ cứng là c. Biết rằng biến dạng tĩnh của lị xo dƣới tác dụng của vật thể là δ0 = 10cm. mg Lời giải: Từ điều kiện cân bằng tĩnh cδ0 = mg ta suy ra c= δ0 Hình 2.26 Hình thí dụ 2.12 Phƣơng trình vi phân chuyển động của vật thể M cĩ dạng my + c y − s = 0 Nếu đƣa vào ký hiệu 휔2 = , phƣơng trình vi phân dao động đƣợc đƣa về 0 dạng πx y + ω2y = ω2s sin 0 0 L Biến đổi 2 c mg g 2 ω0 = = = = 98,1 1 s m mδ0 δ0 πx πvt πv 16,6π = = Ωt , với Ω = = = 16,6π L L L 1 Khi đĩ nghiệm riêng của phƣơng trình trên là y = AsinΩt với ω2s s 2 A = 0 = = = 0,075cm ω2 − Ω2 Ω 2 16,6π 2 0 1 − 1 − ω0 98,1 c. Tính tốn dao động cƣỡng bức cĩ ma sát nhớt Các phƣơng trình vi phân dao động tuyến tính chịu kích động điều hồ của hệ một bậc tự do cĩ ma sát nhớt (3.6), (3.7) cĩ thể viết dƣới dạng nhƣ sau 2 q + 2δq + ω0q = h1sinΩt + h2cosΩt (3.19) Ta tìm nghiệm riêng của phƣơng trình này dƣới dạng 58
q∗ t = MsinΩt + NcosΩt (3.20) Trong đĩ M, N là các hằng số cần xác định. Thế biểu thức (3.20) vào phƣơng trình (3.19) rồi so sánh các hệ số của 푠푖푛Ω푡 và 표푠Ω푡, ta rút ra hệ hai phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định M và N 2 2 ω0 − Ω M − 2δΩN = h1 2 2 2δΩM + ω0 − Ω N = h2 Giải ra ta đƣợc 2 2 ω0 − Ω h1 + 2δΩh2 = 2 2 2 2 2 ω0 − Ω + 4훿 Ω 22 2δΩh1 ω 0 Ω h 2 N 2 (3.21) 2 2 2 2 ω0 Ω 4 Ω Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân (3.19) là tổng của nghiệm riêng (3.20) và nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân thuần nhất (2.28) q t = Ae−δtsin ωt + β + MsinΩt + NcosΩt (3.22) Số hạng thứ nhất của biểu thức nghiệm (3.22) biểu diễn thành phần dao động tự do tắt dần. Hai số hạng sau cĩ tần số Ω của ngoại lực biểu diễn thành phần dao động cƣỡng bức của hệ. Thành phần dao động cƣỡng bức (3.20) cĩ thể biểu diễn dƣới dạng q∗ t = q sin(Ωt + φ) (3.23) Trong đĩ hh22 hh22 qˆ M22 N 12 12 (3.24) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ω0 Ω 4δ Ω ω0 1 η 4D η N tgφ (3.25) M Ω δ Ở đây, cũng nhƣ các đoạn trƣớc, ta dùng ký hiệu η = , D = . So sánh ω0 ω0 phƣơng trình vi phân (3.19) với các phƣơng trình vi phân (3.6), (3.7) và (3.8) ta rút ra các hệ thức sau: - Trƣờng hợp kích động lực hoặc kích động qua lị xo 1 2 2 2 2 − q = V1 η, D y ; V1 = 1 − η + 4D η 2 (3.26) - Trƣờng hợp kích động động học 2 2 q = V2 η, D y ; V2 = 1 + 4D η V1 (3.27) - Trƣờng hợp kích động bởi khối lƣợng lệch tâm 2 q = V3 η, D y ; V3 = η V1 (3.28) 59
Các hàm V1, V2, V3 đƣợc gọi là các hàm khuếch đại (hay các hệ số động lực). Đồ thị của các hàm khuếch đại V1, V2, V3 ứng với một vài giá trị của độ cản Lehr D cho trên hình 2.27. Khi ta cố định độ cản D (xem nhƣ đã cho), các hàm V1, V2, V3 đạt cực đại tại các giá trị sau của 휂 : 2 V1 đạt cực đại khi η = 1 − 2D 1 V đạt cực đại khi η = 1 + 8D2 − ≈ 1 − 2D2 nếu D << 1 2 2D 1 V đạt cực đại khi η = 3 1−2D2 Hình 2.27 Đồ thị các hàm khuyếch đại V1, V2, V3 60
Ta cĩ thể tính đƣợc các giá trị cực đại này 1 max V13 max V ηη2D 1 D2 15 2 max V2 1 D khi D nhỏ η 2D 2 Gĩc pha ban đầu 휑 đƣợc xác định bởi hệ thức (3.25) 22 2δΩh1 ω 0 Ω h 2 tgφ 22 ω0 Ω h 1 2δΩh 2 Trƣờng hợp kích động lực và kích động bởi khối lƣợng lệch tâm −2δΩ −2Dη 2Dη tgφ = 2 2 = 2 → φ = −arctg 2 ω0 − Ω 1 − η 1 − η Trƣờng hợp kích động động học, ta cĩ -2δΩ3 -2Dη3 tgφ= 2 2 2 2 2 = 2 2 2 ω0-Ω ω0+4δ Ω 1-η +4D η 2Dη3 →φ=-arctg 1-η2+4D2η2 Nếu ta ký hiệu Ψ = −휑 thì ta cĩ ba hệ thức sau Ψ = 0 푕푖 휂 → 0 : Dao động cùng pha Ψ = π 2 khi η = 1 : Cộng hƣởng Ψ = π khi η → ∞ : Dao động ngƣợc pha Trƣờng hợp kích động động lực hoặc kích động bởi khối lƣợng lệch tâm, sự phụ thuộc của gĩc Ψ vào 휂 ứng với một vài giá trị của D đƣợc biểu diễn trên hình 2.28 Hình 2.28 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của gĩc 훹 vào 휂 Để tìm nghiệm của phƣơng trình vi phân mơ tả dao động cƣỡng bức ngƣời ta cũng hay sử dụng phƣơng pháp biên độ phức. Muốn vậy ta đƣa vào các ký hiệu sau y t = y sin Ωt = Imy t ; y t = y eiΩt x t = x sin Ωt + φ = Imx t ; x t = x ei Ωt+φ 61
x t = x ei Ωt+φ = x eiφ eiΩt = x eiΩt ; x = x eiφ Sử dụng cách biểu diễn phức nhƣ trên ta cĩ thể tìm đƣợc nghiệm các phƣơng trình (3.6), (3.7) và (3.8) dƣới dạng phức Thế y t = y eiΩt cho y sin Ωt và x = x eiΩt cho x(t) trong phƣơng trình (3.6) ta nhận đƣợc phƣơng trình 2 2 2 ω0 − Ω + i2Dω0Ω = ω0y (3.29) 2 iφ ω0 x% xˆˆe 22 y ω00 Ω i2Dω Ω Nhân cả tử số và mẫu số hệ thức (3.29) với số phức liên hợp của số phức ở mẫu số và sau một vài phép biến đổi ta đƣợc 1 η2 i2Dη % ˆˆiφ x xe 2 y (3.30) 1 η2 4D 2 η 2 Tính tốn tƣơng tự đối với các phƣơng trình (3.7), (3.8). Từ phƣơng trình (3.8) ta cĩ 2 iφ 1-η -i2Dη x% = xeˆˆ =2 y (3.31) 1-η2 +4D 2 η 2 Từ phƣơng trình (3.7) ta cĩ 2 iφ21 η i2Dη x% xeˆ 2 η yˆ (3.32) 1 η42 D 2η 2 Thí dụ 2.13: Sơ đồ một thiết bị đo dao động đƣợc biểu diễn trên hình 2.29a. Vỏ ngồi thiết bị đo bị rung theo qui luật xm = x0 cos Ωt. Phải chọn các tham số khối lƣợng m và độ cứng c nhƣ thế nào để với hệ số cản tuỳ ý kim chỉ đúng biên độ kích động x0 trong một dải tần số đo đủ rộng. Hình 2.29 Hình thí dụ 2.13 Lời giải: Ta chọn toạ độ x là dịch chuyển của khối lƣợng m so với nền cố định (hình 2.29b). Dịch chuyển, vận tốc của khối lƣợng m đối với vỏ ngồi thiết bị là x − xm , x − x m . Phƣơng trình vi phân chuyển động của khối lƣợng m là 62
mx = −c x − xm − b x − x m Kim của thiết bị đo chỉ độ lệch tƣơng đối xr = x – xm . Từ đầu bài ta cĩ 2 x m = −x0Ω cosΩt. Thế vào phƣơng trình trên ta nhận đƣợc phƣơng trình dao động 2 mx r + bx r + cxr = mΩ x0 cos Ωt Chia cả hai vế phƣơng trình trên cho m và sử dụng các ký hiệu quen biết ta đƣợc 2 2 x r + 2δx r + ω0xr = Ω x0 cos Ωt Nghiệm riêng của phƣơng trình trên cĩ dạng xr = x0V3 cos Ωt − φ Biên độ đo đƣợc và biên độ kích động sẽ trùng nhau khi V3 = 1. Theo hình 2.27c kết quả đo sẽ khơng phụ thuộc vào độ cản D khi η ≫ 1. Từ đĩ suy ra c ω2 ≪ Ω2 → ≪ Ω2 0 m Nhƣ vậy phải chọn c và m sao cho tần số riêng của hệ dao động khơng cản bé hơn nhiều tần số của kích động. Thí dụ 2.14: Để xác định độ cản của hệ nhƣ hình 2.30, ta lắp vào khối lƣợng rung hai mơtơ lệch tâm. Cho biết 2∆me = 130 kgcm. Khối lƣợng của hệ là M = 1800 kg, tổng các hệ số cứng của các lị xo là c* = 7200 N/cm. Các mơ tơ lệch tâm quay với vận tĩc gĩc Ω = 20s−1. Biên độ dao động của hệ đo đƣợc là y = 0,2cm. Hãy xác định các hệ số cản D, δ, b. Lời giải: Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng My + by + c∗y = 2∆meΩ2 sin Ωt Chia hai vế cho M ta đƣợc 2 2 y + 2δy + ω0y = Ω y0 sin Ωt 2∆ 푒 với = . 0 Nghiệm của phƣơng trình trên cĩ dạng y t = y sin Ωt + φ 2 Trong đĩ = 3 휂, 0 = 0휂 1. Hình 2.30 Hình thí dụ 2.14 Từ đĩ suy ra 1 y V1 = = 2 1 − η2 2 + 4D2η2 y0η y η2 → 1 − η2 2 + 4D2η2 = 0 y 63
y2η4 → 1 − η2 2 + 4D2η2 = 0 y 2 1 2 Từ cơng thức cuối ta giải ra = 0 휂4 − 1 − 휂2 2 2휂 Theo các số liệu ở đầu bài ta cĩ ∗ 7200. 102 휔 = = = 20푠−1 = Ω 0 1800 2Δme 130 y = = = 0,072cm 0 M 1800 1 0,072 2 Vậy ta cĩ D = − 0 = 0,1806 2 0,2 Từ đĩ suy ra: δ = Dω0 = 3,611 1 s, b = 2Mδ = 13000kg/s Thí dụ 2.15: Bộ phận làm việc của máy đầm đất cĩ khối lƣợng M tựa trên các lị xo nhƣ hình 2.31a. Khối lƣợng vỏ máy là m. Ở bộ phận làm việc cĩ hai khối lƣợng lệch tâm (mỗi khối lƣợng là m2/2) quay với số vịng quay là n. Hãy chọn các tham số của máy sao cho máy làm việc ở vùng cộng hƣởng và trong quá trình làm việc vỏ máy khơng nẩy lên khỏi đất. Hình 2.31 Hình thí dụ 2.15 Lời giải: Mơ hình cơ học của bộ phận làm việc của máy nhƣ hình 2.31b. Bộ phận này dao động quanh vị trí cân bằng tĩnh. Toạ độ của m2 là x2 = x + e cos Ωt Phƣơng trình vi phân chuyển động của mơ hình máy làm đất là 2 Mx + bx + cx = Ω m2e cos Ωt 2 2 x + 2δx + ω0x = Ω x0 cos Ωt với x0 = m2e/M. Nghiệm của phƣơng trình này theo (3.23) cĩ dạng x = x0V3 cos Ωt − φ 64
η2 với V 3 2 1 η2 4D 2 η 2 Khi cản nhỏ, hiện tƣợng cộng hƣởng xẩy ra khi η ≈ 1 πn c πn 2 Ω ≈ ω → ≈ → c ≈ M 0 30 M 30 1 Khi cộng hƣởng V 3 2D Để đơn giản ta bỏ qua lực cản. Khi đĩ phản lực pháp tuyến của nền tác dụng lên vỏ máy (hình 2.31c) N = (M + m)g – cx 1 Do V ≈ nên ta cĩ 3 2D cx N = M + m g − cx = M + m g − 0 min max 2D Điều kiện để vỏ máy khơng nhảy khỏi nền cx cx N ≥ 0 → M + m g ≥ 0 → D ≥ 0 min 2D 2 M + m g d. Tính tốn dao động cƣỡng bức bằng hàm đáp ứng tần số Xét phƣơng trình dao động của hệ tuyến tính một bậc tự do cĩ cản và lực kích động điều hồ my + by + cy = x t (3.33) Trong đĩ kích động đƣợc biểu diễn dƣới dạng hàm số phức x t = X Ω eiΩt (3.34) Ta sẽ tìm nghiệm của phƣơng trình (3.33) dƣới dạng y t = Y Ω eiΩt (3.35) Với Y(Ω) là hàm biên độ phức cần xác định. Đạo hàm bậc một và bậc hai của hàm y(t) theo thời gian t rồi thay vào phƣơng trình (3.33) ta đƣợc −mΩ2Y Ω eiΩt + ibΩY Ω eiΩt + cY Ω eiΩt = X(Ω)eiΩt Khử eiΩt ở hai vế phƣơng trình trên và nhĩm theo Y(Ω) ta đƣợc c − mΩ2 + ibΩ Y Ω = X(Ω) 1 Từ đĩ suy ra Y ΩXΩ 2 (3.36) cm Ω ibΩ 1 Nếu ta đặt H Ω (3.37) cm Ω2 ibΩ thì biểu thức (3.36) cĩ dạng Y Ω = H Ω X Ω (3.38) 65
Định nghĩa: Hàm H(Ω) đƣợc xác định bởi cơng thức (3.37) đƣợc gọi là hàm đáp ứng tần số. Nhân tử số và mẫu số của biểu thức (3.37) với c − mΩ2 − ibΩ ta đƣợc c − mΩ2 − ibΩ H Ω = = a + id c − mΩ2 + ibΩ c − mΩ2 − ibΩ Với c − mΩ2 bΩ a = ; d = − c − mΩ2 2 + b2Ω2 c − mΩ2 2 + b2Ω2 Từ đĩ suy ra mơđun H(Ω) và argument φ của hàm đáp ứng tần số H(Ω) 1 H(Ω) ad22 (3.39) 2 cm Ω2 b 2 Ω 2 db Ω φ arctg arctg 2 (3.40) a cm Ω Từ cơng thức (3.38) ta suy ra X(Ω) Y(Ω) H Ω X(Ω) (3.41) 2 cm Ω2 b 2 Ω 2 Biến đổi cơng thức (3.37) ta đƣợc 1 1 1 H Ω cm Ω22 ibΩc 1  iD 2 1 Hàm Z Ω đƣợc gọi là trở kháng cơ học. iΩH(Ω) e. Đệm đàn hồi của máy Để giảm lực truyền xuống nền mĩng ngƣời ta dùng đệm đàn hồi. Giả sử máy cĩ khối lƣợng m, đệm đàn hồi qui đổi thành lị xo cĩ hệ số cứng c và giảm chấn cĩ hệ số b. Nếu trên máy chịu tác dụng một lực điều hồ F t = F sin Ωt (hình 2.22a) thì lực truyền xuống nền đƣợc xác định bởi hệ thức Ftđ = cx + bx (3.42) Nhƣ đã biết, phƣơng trình vi phân mơ tả dao động của mơ hình 2.22a cĩ dạng $ F &&x2 δx & ω22 x ω sinsinΩt (3.43) 00c Trong quá trình chuyển động bình ổn, nghiệm của phƣơng trình trên cĩ dạng Fˆ xV η,D sin Ωt Ψ (3.33) c 1 Thế biểu thức (3.44) vào phƣơng trình (3.42) ta đƣợc 66
Fˆ F V η,D csin Ωt Ψ bΩcos Ωt Ψ tđ c 1 Fˆ V η,D c2 b 2 Ω 2 sin Ωt Ψ γ (3.45) c 1 bΩ 2δΩ Với tgγ 2 c ω0 b 2 và do c2 + b2Ω2 = c 1 + Ω2 = c 1 + 4D2η2 c Ta cĩ Ftđ = F V2(η, D) sin Ωt − Ψ + γ (3.46) Từ cơng thức (3.46) ta suy ra: Để cho lực truyền xuống nền mĩng nhỏ ta phải chọn các tham số của hệ sao cho hàm khuếch đại V2 đạt cực tiểu. Nếu trên máy cĩ bộ phận quay chƣa đƣợc cân bằng sẽ sinh ra các lực ly tâm (hình 2.22b). Nhờ cĩ đệm đàn hội ta cĩ thể giảm đƣợc lực truyền xuống mĩng máy. Nhƣ đã biết phƣơng trình vi phân dao động của mơ hình 2.22b cĩ dạng 22mr1 &&x2 δx & ω0 x Ω sinΩt (3.47) mm01 Nghiệm riêng của phƣơng trình (3.47) cĩ dạng mr1 xV 3 η,D sin Ωt Ψ (3.48) mm01 Thế (3.48) vào biểu thức (3.42) ta đƣợc m1r Ftđ = V3 η, D csin Ωt − Ψ + bΩ cos Ωt − Ψ m0 + m1 m r 1 2 2 2 Ftđ = V3 η, D c + b Ω sin Ωt − Ψ + γ m0 + m1 mr1 2 c η V2 η,D sin Ωt Ψ γ (3.49) mm01 2 Nếu ta dựa vào hàm khuếch đại V4 η, D = η V2(η, D) thì lực truyền xuống đất cĩ dạng m1r Ftđ = c V4 η, D sin Ωt − Ψ + γ (3.50) m0+m1 Sự phụ thuộc của hàm khuếch đại V4 η, D và gĩc (γ − Ψ) vào η khi cho biết giá trị của D cho trên hình 2.32a và 2.32b. Trong kỹ thuật ta cũng hay gặp bài tốn do ảnh hƣởng rung của nền các thiết bị trên nền mĩng làm việc sẽ kém chính xác. Trong trƣờng hợp này ta sử dụng mơ hình 2.22d. Nhờ cĩ đệm đàn hồi sẽ làm giảm ảnh hƣởng rung của nền mĩng lên các thiết bị đặt trên đĩ. 67
a) b) Hình 2.32a Đồ thị Sự phụ thuộc của hàm khuếch đại V4 η, D và gĩc (γ − Ψ) vào η 68
Thí dụ 2.16: Một máy gắn chặt vào mĩng và đƣợc đặt trên nền bằng một hệ lị xo song song. Khối lƣợng của máy và mĩng là 1000kg. Trong quá trình máy làm việc xuất hiện một lực điều hồ tác dụng theo phƣơng thẳng đứng với biên độ 퐹 = 1000 và tần số f = 10Hz. Dƣới ảnh hƣởng của lực này mĩng dao động theo phƣơng thẳng đứng. Hãy xác định hệ số cứng của lị xo sao cho chỉ cĩ 5% lực tác dụng lên mĩng truyền xuống nền. Sau đĩ xác định độ lún tĩnh của Hình 2.33 Hình thí dụ mĩng và biên độ dao động của nĩ. 2.16 Lời giải: Mơ hình cơ học của bài tốn cho trên hình 2.33. Phƣơng trình dao động của hệ là mx + cx = F sin Ωt F → x + ω2x = sin Ωt 0 m Nghiệm dừng là F 1 x = sin Ωt c 1 − η2 Thế biểu thức nghiệm vào biểu thức tính lực truyền xuống nền ta đƣợc 1 F = cx = F sin Ωt tđ 1 − η2 Từ điều kiện F 1 tđ = = 0,05 F 1 − η2 ta suy ra η = 21 = 4,58 Hệ số cứng của lị xo tổng là Ω2 2πf 2 2π. 10 2 c = mω2 = m = m = 1000. = 188N/mm 0 η2 η2 21 Với hệ số cứng đĩ, độ nén tĩnh của mĩng máy là mg 1000.9,81 = = 52,2 mm c 188 Biên độ dao động dừng của mĩng máy là 1 F 1000 x = = = 0,266mm 1 − η2 c 20.188 e. Tính tốn dao động cƣỡng bức cĩ ma sát khơ Phƣơng trình vi phân mơ tả dao động cƣỡng bức của hệ cĩ ma sát khơ đƣợc viết dƣới dạng mq + cq + μmgsign q = F cos Ωt + α (3.51) 69
2π 4π Giả thiết ở các thời điểm t = 0, , , độ lệch q đạt cực đại (q = A, q = 0), Ω Ω π 3π 5π cịn ở các thời điểm t = , , , thì q = −A, q = 0. Nhƣ thế gĩc α là gĩc lệch Ω Ω Ω pha giữa lực cực đại và độ lệch cực đại. Giả sử trong nửa chu kỳ đầu 0 ≤ t ≤ π Ω vận tốc q âm. Phƣơng trình vi phân dao động trong nửa chu kỳ này là mq + cq = μmg + F cos Ωt + α (3.52) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình trên cĩ dạng h q C cosω t C sinω t a cos Ωt α (3.53) 1 o 2 0 1 η2 Trong đĩ 2 c μmg F Ω ω0 = , a = , h = , η = m c c ω0 Từ điều kiện q 0 = A, q 0 = 0 ta cĩ h C a cosαA (3.54) 1 1 η2 hΩ C ω sinα 0 (3.55) 20 1 η2 Từ điều kiện π π q = −A, q = 0 Ω Ω ta suy ra h C coscosλ C λ a cosα A (3.56) 121 η2 hΩ C Ωsin λ C Ωcoscosλ sinα 0 (3.57) 12 1 η2 πω trong đĩ λ 0 Ω Nhƣ thế ta cĩ hệ bốn phƣơng trình (3.54) – (3.57) để xác định bốn ẩn C1 , C2 , A, 훼. Cộng các phƣơng trình (3.54) và (3.56), (3.55) và (3.57) ta nhận đƣợc hệ hai phƣơng trình để xác định C1 và C2 C1 1 + cos λ + C2 sin λ + 2a = 0 −C1 sin λ + C2 1 + cos λ = 0 Từ đĩ suy ra λ C = −a ; C = −atg 1 2 2 70
Thế các kết quả này vào các phƣơng trình (3.54) và (3.55) ta dẫn đến các phƣơng trình h A = cos α 1 − η2 πω hη −a tg 0 = sin α 2Ω 1 − η2 Từ đĩ suy ra cơng thức xác định biên độ 2 22 1 πω0 h a 1 η tg η 2Ω A (3.58) 1 η2 Chú ý rằng khi Ω → 휔0(휂 → 1) ta cĩ 1 π4 lim 1 η2 tg η1 η 2η π Do đĩ 2 2 4a h π A (3.59) 1 η2 Với sự phát triển của tin học, việc tính tốn dao động cƣỡng bức cĩ ma sát khơ sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều, nếu ta sử dụng phƣơng pháp số. Ta xét phƣơng trình dao động cƣỡng bức cĩ ma sát khơ dạng mq + cq = −μmgsign q + F sin Ωt (3.60) −1 −1 Với các số liệu m = 100kg, μ = 0,1 , ω0 = c m = 100s , Ω = 200s , F = 981N và các điều kiện đầu q 0 = q 0 = 0 ta dễ dàng tìm nghiệm của phƣơng trình (3.60) bằng chƣơng trình tính MATLAB. Kết quả lấy ra dƣới dạng đồ thị nhƣ hình 2.34. Nếu ta quan tâm đến ma sát nhớt thì phƣơng trình vi phân dao động cĩ dạng Fˆ &&q2 δq & ω2 q μgsign q & sinΩt (3.61) 0 m Với các số liệu nhƣ trên và cho thêm 훿 = 8, kết quả tính tốn cho trên hình 2.35. Một vài nhận xét về tính chất dao động cƣỡng bức khi cĩ ma sát Qua các tính tốn ở trên ta cĩ thể rút ra một số nhận xét về tính chất của dao động tuyến tính cĩ cản nhớt chịu kích động điều hồ ở trạng thái bình ổn nhƣ sau: - Dao động cƣỡng bức khi cĩ cản xảy ra với tần số của lực kích động. 71
- Biên độ dao động cƣỡng bức khơng phụ thuộc vào các điều kiện đầu và thời gian. Do đĩ khác với dao động tự do cĩ cản, dao động cƣỡng bức khơng tắt dần vì lực cản. - Khi Ω = 휔0 biên độ dao động cƣỡng bức tuy khá lớn, nhƣng vẫn là đại lƣợng hữu hạn. Nĩ chƣa phải là giá trị lớn nhất trong các giá trị của biên độ. Hình 2.34 Dao động cƣỡng bức tuyến tính cĩ ma sát khơ Hình 2.35 Dao động cƣỡng bức tuyến tính cĩ ma sát khơ và nhớt 72
Khi hệ chịu tác dụng lực điều hồ F = F sin Ωt, biên độ dao động cƣỡng bức cĩ dạng F A = q = 2 2 2 2 2 ω0 − Ω + 4δ Ω ∂A Từ điều kiện = 0 ta suy ra Ω2 = ω2 − 2δ2. Vậy A = A khi Ω2 = ω2 − ∂Ω 0 max 0 2 2δ . Biên độ dao động cƣỡng bức đạt cực đại khi Ω nhỏ hơn 휔0 một chút. - Trong dao động cƣỡng bức cĩ cản nhớt luơn xảy ra sự lệch pha giữa pha dao động và pha của lực kích động. Độ lệch pha đĩ đƣợc xác định bởi cơng thức 2δΩ tgα = 2 2 ω0 − Ω Khi Ω = ω0 thì tgα = ∞ do đĩ α = π 2. Vậy dao động cƣỡng bức khi cộng hƣởng cĩ pha lệch một gĩc π 2 so với pha của ngoại lực. - Ở xa vùng cộng hƣởng, biên độ dao động cƣỡng bức với lực cản nhỏ khơng khác mấy so với biên độ dao động cƣỡng bức khơng cản. Ở gần vùng cộng hƣởng lực cản cĩ một vai trị rất quan trọng. Trong vùng cộng hƣởng độ lớn biên độ dao động cƣỡng bức phụ thuộc rõ rệt vào hệ số cản. 2.2.2.2 Một số thí dụ giải mẫu Thí dụ 2.17: Vật cĩ khối lƣợng m = 5kg đặt trên nền nhẵn. Các lị xo cĩ độ cứng c1 = c3 = 4 3 10 N/m, c2 = c4 = c5 = 10 N/m. Hãy xác định độ cứng tƣơng đƣơng của hệ lị xo và tần số dao động riêng của hệ (Hình 2.36) C1 C 4 C5 C2 m C 3 Hình 2.36 Hình thí dụ 2.17 Lời giải Độ cứng tƣơng đƣơng của các lị xo song song c1, c2, c3: c13 = c1 + c2 + c3 Độ cứng tƣơng đƣơng của các lị xo nối tiếp c4, c5: 1 1 1 c4c5 c45 c45 c4 c5 c4 c5 Độ cứng tƣơng đƣơng của các lị xo song song c13 và c45: 73
c4c5 3 c* c13 c45 c1 c2 c3 21,5.10 N / m c4 c5 Tần số dao động riêng của hệ: c*  65,574 rad / s 0 m Thí dụ 2.18: s Trọng lƣợng vật treo là P. Lị xo cĩ độ dài tự nhiên l, độ l cứng c, trọng lƣợng P0. Tìm chu kỳ dao động của vật (Hình 2.37) x Lời giải Biến dạng của lị xo tại vị trí s: Hình 2.37 x(s) x s x(s) x. s l l Hình thí dụ 2.18 s s2 Suy ra: x(s) x. ; x2 (s) x2. ; l l 2 Động năng của lị xo: 1 1 P T v2 (s)dm; dm 0 d lx 2 0 gl Động năng của hệ: P0 2 1 2 P P P x s T x2 0 ds 3 x2 2 2g 2gL 0 l 2g Thế năng của lị xo đối với vị trí cân bằng tĩnh của vật: c  x2 2 Thay vào phƣơng trình Lagrange loại II: d T T  ( ) dt x x x Phƣơng trình vi phân dao động của hệ: P P 0 3 x cx 0 g P P 0 Chu kỳ:  2 3 cg Nhận xét: Khi kể đến trọng lƣợng P0 của lị xo, trọng lƣợng cả hệ coi nhƣ tăng lên P0/3. 74
Thí dụ 2.19 Vơlăng đƣợc gắn vào thanh bằng thép dài l = 2m, đƣờng kính d = 0,5 cm. Cho vơlăng một gĩc quay ban đầu rồi thả ra, ngƣời ta đo đƣợc 10 dao động xoắn trong 30,2s. Tìm mơmen quán tính đối với trục quay của vơlăng và thanh. Biết mơđun trƣợt của thép G = 80.109 N/m2. (Hình 2.38) Lời giải Phƣơng trình vi phân chuyển động của hệ: l c J  c   0;    J Tần số riêng của dao động xoắn: 10  2 2,081 rad / s 0 30,2 Hình 2.38 Hình thí dụ 2.19 Độ cứng của thanh: c = GIp/l Với Ip là mơmen quán tính độc cực của mặt cắt ngang d 4 I (0,5.10 2 )4 0,006136.10 8 p 32 32 80.109 0,006136.10 8 Độ cứng: c 2,455 Nm / rad 2 c 2,455 2 Suy ra: J 2 2 0,567 kgm 0 2,081 Thí dụ 2.20 Đĩa trịn đồng chất bán kính r, khối lƣợng m, lăn khơng trƣợt trên nền ngang. Hai lị xo cùng cĩ độ cứng c, nối với đĩa ở khoảng cách OA = a tới tâm đĩa. Tìm tần số dao động riêng của đĩa (Hình 2.39) Lời giải Động năng của đĩa: X 1 1 T mx2 J  2 c c 2 2 0 2 A a 1 1 x 3 T mx2 mr2 mx2 O 2 2 r 4 Thế năng của hai lị xo 2 1 a r Hình 2.39 Hình thí dụ 2.20  2 c x2 2 r Phƣơng trình vi phân chuyển động của đĩa: 4c(a r)2 x x 0 3mr2 75
Tần số riêng của dao động: 4c(a r)2  rad / s 0 3mr2 Thí dụ 2.21 Một vật thể dao động tịnh tiến, lực cản tỷ lệ bậc nhất với vận tốc (Hình 2.40). Trong 3 giây ngƣời ta đo đƣợc đúng 11 độ lệch cực đại theo hai phía (tức là 5 dao động) và ghi lại kết quả dƣới dạng bảng số nhƣ sau: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ymax 12,0 -10 7,6 -6,2 5,3 -4,2 3,5 -2,7 2,1 -1,8 1,4 (mm) Hãy xác định độ tắt lơga  và hệ số cản  của dao động Lời giải 3 Chu kỳ dao động tắt dần: T* 0,6s 5 m Độ tắt lơga: y 1 1,4  T* ln 0,424 b c 5 12 Hệ số cản:  0,424  0,707 s 1 Hình 2.40 Hình thí dụ 2.21 T * 0,6 Thí dụ 2.22 Trong bài tốn thiết kế, ngƣời ta phải lắp các phần tử cản và phần tử đàn hồi nối tiếp nhau nhƣ hình 2.41. Hãy thiết lập phƣơng trình vi phân dao động của hệ và tìm điều kiện xuất hiện dao động tự do cĩ cản. Lời giải Gọi A là điểm nối giữa lị xo và phần x1 x2 tử cản. A B Điểm A chịu tác dụng của lực m b c Fc b.x1 . Biến dạng của lị xo là: x2 – x1 Hình 2.41 Hình thí dụ 2.22 Tại điểm B xuất hiện lực đàn hồi Fdh = c(x2 – x1) Tách riêng phần tử lị xo AB ta cĩ: Fc bx Fdh c(x2 x1) (1) Áp dụng định luật Newton hai đối với chất điểm m ta cĩ 76
mx2 c(x2 x1) (2) Từ (1) và (2) ta cĩ: m bx c(x x ) mx x x (3) 1 2 1 2 1 b 2 m Từ (3) suy ra: x x E (4) 1 b 2 Trong đĩ E là hằng số tích phân. Thay (4) vào (2) ta đƣợc: m cm mx c(x x E) mx x cx cE (5) 2 2 b 2 2 b 2 2 Hằng số E đƣợc xác định từ các điều kiện đầu. Nếu cho x1(0) = 0, x2 (0) 0 thì E=0 khi đĩ phƣơng trình (5) cĩ dạng: c c x x x 0 (6) 2 b 2 m 2 c c Từ đĩ suy ra: 2 ;  0 m 2b c c 1 Điều kiện  < 0 dẫn đến: mc b 2b m 2 Thí dụ 2.23 Vật cĩ khối lƣợng m = 0,5kg, lị xo cĩ độ cứng c = 245 N/m, hệ số ma sát trƣợt giữa vật và nền là  = 0,2. Kéo vật sao cho lị xo dãn 3 cm rồi buơng ra khơng vận tốc ban đầu (Hình 2.42). Hãy tìm: - Chu kỳ dao động và biên độ dao động tắt dần. - Vật thực hiện đƣợc bao nhiêu dao động cho tới lúc dừng. Lời giải Lực ma sát phụ thuộc vận tốc của vật: N mg khi x 0 Fms c mg khi x 0 Phƣơng trình vi phân chuyển động của vật: Fms mx cx mg (x 0) x mx cx mg (x 0) c mg 0,2.0,5.9,81 Đặt: 2 ;s 0,004m Hình 2.42 Hình thí dụ 2.23 0 m c 245 Hai phƣơng trình vi phân trên đƣợc viết dƣới dạng: 2 x s 0 x s 0 (1) Do đĩ chu kỳ của dao động tắt dần: 77
2 m 0,5 T* 2 2 0,284s  c 245 T * Thời gian chuyển động giữa hai khơng điểm:  0,142s 2 Nghiệm của phƣơng trình (1) đƣợc tìm dƣới dạng: (x s) = Asin0t + Bcos0t. Từ điều kiện đầu ta cĩ: t = 0; x0 = 3 cm, x0 0 A = 0; x0 s = B Do vật chuyển động theo hƣớng âm, nên: B = x0 – s x – s = (x0 – s)cos0t Biên độ đầu tiên đƣợc xác định từ điều kiện x 0 d (x s) 0 (x0 s)sin0t 0 t dt  Do đĩ: x1 = -(x0 – 2s) = -2,2 cm (tính từ 0) Đối với dao động tiếp theo, các điều kiện đầu mới là: t ; xt (x0 2s) 0 x s = Csin0t + Dcos0t C = 0; D = x0 – 3s x2 = x0 – 4s = 1,4 cm Tƣơng tự, ta cĩ (Hình 1.8) x3 = -(x0 – 6s) = -0,6 cm x4 = (x0 – 8s) = -0,2 cm Vậy vật đã thực hiện 4 dao động với khoảng cách giữa 2 đỉnh lần lƣợt là: x0 + |x1| = 3 + 2,2 = 5,2 cm; |x1| + x2 = 2,2 + 1,4 = 3,6 cm x2 + |x3| = 1,4 + 0,6 = 2,0 cm; |x3| + x4 = 0,6 – 0,2 = 0,4 cm. Thí dụ 2.24 Pitton cĩ khối lƣợng m = 0,01kg; diện tích S = 4 cm2; 2 chịu áp suất hơi theo luật: p 40 30sin t (N / cm 2 ) . c  Trong đĩ: T - Thời gian quay 1 vịng của trục máy tạo m hơi Lị xo cĩ độ cứng c =30 N/cm (Hình 2.43) Xác định dao động của pitton khi trụ máy tạo hơi quay 3 vịng/s. Hình 2.43 Hình thí dụ 2.24 78
Lời giải Gọi  = 3 vịng/s = 6 rad/s Lực kích động: 2 2 1 P p.S S(40 30sin t); T s   3 Phƣơng trình vi phân dao động của pitton: mx cs S(40 30sin t) 40S 30S x  2x sin t 0 m m Tìm nghiệm riêng dƣới dạng x Asin t B x 2 Asin t Sau khi thay vào phƣơng trình vi phân, so sánh các hệ số ta đƣợc: 30S 30 4 A 4,5 cm c m2 30 0,01 36 2 40S 40 4 16 B cm c 30 3 16 Dao động của pitton: x 4,5sin 6 t 3 Biên độ A = 4,5 cm. 79
CÂU HỎI ƠN TẬP 1. Hãy xác định độ cứng tƣơng đƣơng và tần số dao động riêng của hệ lị xo trên các hình sau: c 1 c 1 c 2 c 2 c 2 c1 c2 c 3 m m m c 3 c 4 c 4 c3 c EJ EJ c m m c EJ EJ c m m Hình 2.44 Hình bài tập 1 2. Một trục quay dài l, nằm ngang, mang hai đĩa ở hai đầu. Mơ men quán tính của các đĩa đối với trục quay là J1 và J2. Độ cứng xoắn của trục là c. Hãy xác định quy luật dao động tƣơng đối của hai đĩa (hình 2.45). 3. Đĩa trịn đồng chất cĩ khối lƣợng m = 50kg, bán kính r = 0,5m lăn khơng trƣợt trên nền ngang Lị xo cĩ độ cứng c = 75 N/m, hệ số cản nhớt b = 10 Ns/m (hình 2.46). Xác định: - Độ cản δ và độ cản Lehr D, tần số , chu kỳ dao động tắt dần - Chuyển động x(t) của tâm đĩa, khi t = 0, x = -0,2 m, = 0. X 1 b c r J2 J1 Hình 2.45 Hình bài tập 2 Hình 2.46 Hình bài tập 3 80
Chƣơng 3 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO Cũng nhƣ trong chƣơng 2, ở đây ta chỉ xét dao động của các hệ cơ học hơlơnơm. Một hệ n bậc tự do là một hệ mà vị trí của nĩ trong khơng gian đƣợc xác định bởi n tọa độ suy rộng: q1, q2, qn. Dƣới tác dụng của lực, chuyển động của hệ đƣợc xác định bởi sự biến đổi của các tọa độ suy rộng này theo thời gian. Trong chƣơng này ta xét bài tốn dao động nhỏ của hệ n bậc tự do quanh vị trí cân bằng tĩnh. Khi đĩ hệ các phƣơng trình vi phân mơ tả dao động của hệ là hệ n phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số. Trong các bài tốn kỹ thuật, ta thƣờng gặp bốn mơ hình cơ học sau: hệ các vật rắn, hệ các vật rắn, hệ các phần tử hữu hạn, hệ liên tục, hệ nhiều vật hỗn hợp. Các phƣơng trình tốn học mơ tả dao động của hệ các vật rắn là các phƣơng trình vi phân thƣờng, loại phƣơng trình chúng ta xét trong chƣơng này. Đối với các phần tử hữu hạn, sau một số phép biến đổi ta cũng nhận đƣợc các phƣơng trình vi phân thƣờng. Các phƣơng trình tốn học mơ tả dao động của hệ liên tục (mơi trƣờng liên tục) là các phƣơng trình đạo hàm riêng. Các phƣơng trình tốn học mơ tả dao động của hệ nhiều vật hỗn hợp là các phƣơng trình vi phân thƣờng và các phƣơng trình đạo hàm riêng. Tuy nhiên, khi tính tốn dao động của các hệ phức tạp, ngƣời ta thƣờng cố gắng biến đổi tƣơng đƣơng gần đúng về hệ n tự do, với n là số bé nhất cĩ thể chấp nhận đƣợc. 3.1 THÀNH LẬP CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG Việc lựa chọn các phƣơng pháp để thành lập các phƣơng trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do vào mơ hình cơ học của các máy và các cơng trình. Đối với các hệ cơ gồm các chất điểm, các vật rắn, các phần tử lị xo bỏ qua trọng lƣợng, các phần tử cản, ngƣời ta thƣờng dùng phƣơng trình Lagrange loại hai để thiết lập các phƣơng trình dao động. Đối với các kết cấu đàn hồi, ngƣời ta thƣờng sử dụng các phƣơng pháp lực, phƣơng pháp biến dạng, phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Đối với các hệ cơ phức tạp ngƣời ta cịn sử dụng phƣơng pháp các hệ con (phƣơng pháp tách cấu trúc) để thiết lập các phƣơng trình vi phân dao động. Dƣới đây ta trình bày việc áp dụng phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình Lagrange loại hai và phƣơng pháp lực thiết lập phƣơng trình vi phân dao động của một số mơ hình dao động cụ thể. 3.1.1 Phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình Lagrange loại II. Các phƣơng trình Lagrange loại II đƣợc áp dụng để thiết lập các phƣơng trình vi phân chuyển động của hệ hơlơnơm cĩ dạng tổng quát nhƣ sau: 81
d  T T Qi i 1,  ,n (1.1) dt  qii q Trong đĩ: qi là tọa độ suy rộng, Qi là lực suy rộng, T là biểu thức động năng, n là số bậc tự do của hệ. Thí dụ 3.1: Cho mơ hình dao động nhƣ hình vẽ 3.1. Hãy thiết lập phƣơng trình vi phân dao động của hệ. q q 1 2 b1 b2 F(t) c m c m 1 1 2 2 Hình 3.1 Hình thí dụ 3.1 Lời giải: Biểu thức động năng và thế năng của hệ cĩ dạng 11 T m q&&22 m q 221 1 2 2 1 1 Π = c q2 + c q − q 2 2 1 1 2 2 2 1 Biểu thức hàm hao tán cĩ dạng 1 1 Φ = m q 2 + b q − q 2 2 1 1 2 2 2 1 Thế các biểu thức trên vào phƣơng trình Lagrange loại II d ∂T ∂T ∂π ∂Φ ∗ − = − − + Qi dt ∂q i ∂qi ∂qi ∂q i ta nhận đƣợc hệ phƣơng trình dao động m1q + (b1+b2)q 1 - b2q 2 + (c1+c2)q1 - c2q2 = 0 m2q 2 - b2q 1 + b2q 2 – c1q1 + c2q2 = F(t) (1.2) Các phƣơng trình (1.2) cĩ thể viết dƣới dạng ma trận nhƣ sau: Mq + Bq + Cq = f (t) (1.3) Trong đĩ 0 b + b −b M = 1 , B = 1 2 2 0 2 −b2 b2 c + c −c q 0 C = 1 2 2 , q = 1 , f = −c2 c2 q2 F(t) Khi hệ khơng cĩ lực kích động và khơng cĩ phần tử cản, phƣơng trình dao động tự do khơng cản cĩ dạng 82
0 q c1 + c2 − c2 q1 0 1 1 + = (1.4) 0 2 q 2 −c2 c2 q2 0 Thí dụ 3.2: Thiết lập phƣơng trình dao động xoắn của một mơ hình chuyển động nhƣ hình 3.2. cho biết các moomen M1 (t), M4 (t). Các mơmen M2 và M3 tỷ lệ với vận tốc. M2 = -b2φ 2 , M3 = -b3 φ 3 J1 J2 M1(t) c1 r2 M2 J4 r3 M4(t) c2 M3 J3 Hình 3.2 Hình thí dụ 3.2 Lời giải: Cơ cấu truyềnđộng nhƣ hình 3.2 là một hệ dao động ba bậc tự do. Trong bốn đại lƣợng định vị φ1, φ2, φ3 , φ4 cĩ một điều kiện ràng buộc r2φ2 = - r3φ3. Ta chọn các tọa độ suy rộng: q1 = φ1, q2 = φ2, q3 = φ4 . Động năng và thế năng của hệ cĩ dạng 1 T = (J φ 2 + J φ 2 + J φ 2 + J φ 2 ) 2 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 Π = c (φ - φ )2+ c (φ - φ )2 2 1 2 1 2 2 4 3 r2 Thế điều kiện ràng buộc φ3 = - φ2 vào các biểu thức trên, ta cĩ r3 1 2 r2 2 2 2 T = {J1φ 1 + [J2 + ( ) J3]φ 2 + J4φ 4 } 2 r3 1 2 1 r2 2 Π = c1(φ2 - φ1) + c2(φ4 + φ2 ) 2 2 r3 Để xác định các lực suy rộng ứng với các lực khống chế, ta tính cơng khả dĩ của hệ δA = M1 (t)δφ1 + M2 (t)δφ2 + M3 (t)δφ3 + M4 (t)δφ4 r2 2 = M1 (t)δφ1 + b2φ 2δφ2-b3( ) φ 2δφ2 + M4 (t)δφ4 r3 Vậy ta cĩ * * r2 2 * Q 1 = M1 (t) , Q 2 = - [b2 + b3( ) ]φ 2 , Q 3 = M4 (t) r3 Thế các biểu thức động năng, thế năng và lực suy rộng ứng với các lực khơng cĩ thế vào phƣơng trình Lagrange loại II d ∂T ∂T ∂Π ∗ − = − + Qk dt ∂q k ∂qk ∂qk Ta nhận đƣợc hệ phƣơng trình vi phân dao động của cơ cấu truyền động J1φ1 – c1(φ2 – φ1) = M1 (t) 83
2 2 [J2 + (r2/r3) J3]φ 2 + [b2 + b3(r2/r3) ]φ 2 r2 r2 + c1(φ2 - φ1)+ c2 (φ4 + φ2) = 0 (1.5) r3 r3 r2 r2 J4φ 4 + c2 (φ4 + φ2) = M1 (t) r3 r3 Hệ phƣơng trình (1.5) cĩ thể viết dƣới dạng ma trận nhƣ sau M 퐪 + B퐪 + Cq = f(t) (1.6) Trong đĩ J1 0 0 0 0 0 2 2 M = 0 +(r2 r3) J3 0 , B = 0 b2 + (r2 r3) b3 0 0 0 J4 0 0 0 c1 0 0 φ1 M1(t) 2 r2 C = −c1 c1 + (r2 r3) c2 c , q = φ2 f= 0 r3 2 φ4 M4(t) 0 0 c2 Thí dụ 3.3: Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động tự do của hệ dao động xoắn gồm n đĩa nhƣ hình 3.3   n- n c1 c2 cn-2 cn-1 J1 J2 Jn-1 Jn Hình 3.3 Hình thí dụ 3.3 Lời giải: Biểu thức động năng và biểu thức thế năng của hệ cĩ dạng 1 T = 푛 J φ 2 2 푖=1 푖 i 1 Π = 푛−1 c (휑 – φ )2 2 푖=1 푖 i+1 i Thế các biểu thức động năng và thế năng trên vào phƣơng trình Lagrange loại II d ∂T ∂T ∂Π − = − dt ∂φ i ∂ i ∂φ i Ta đƣợc hệ phƣơng trình dao động tự do của mơ hình khảo sát J1φ 1+ c1 (휑1 – φ2) = 0 J2φ 2 + c2 (휑2– φ3) – c1 (휑1– φ2) = 0 . (1.7) Jn-1φ n-1 + cn-1 (휑n-1 – φn) – cn-2 (휑n-2– φn-1) = 0 Jnφ n + cn-1 (휑n-1 – φn) = 0 Hệ phƣơng trình (1.7)cĩ thể viết dƣới dạng ma trận 84
M 퐪 + C q = 0 Thí dụ 3.4: Một mĩng khối thẳng cĩ khối lƣợng m tựa trên các lị xo theo hai phƣơng thẳng đứng và nằm ngang, chịu tác dụng của lực F(t) thẳng đứng (hình3.4a). Hãy thiết lập phƣơng trình dao động nhỏ của mĩng khối phẳng quanh vị trí cân bằng tĩnh. Giả thiết rằng mĩng chỉ chuyển động trong mặt phẳng hình vẽ vàở vị trí nhƣ hình vẽ 3.4a các lị xo chƣa bị kéo nén. F(t) e m,Jc y y C x x B' b I cx1 cx2 x1 Ix2+ Ix A B A B 2 y m y Iy Iy Ix c 1 c 2 1 A' 2 2 a1 a2 Ix1+ Ix1 Iy1+ Iy1 Iy1+ Iy1 a) b) Hình 3.4 Hình thí dụ 3.4 Lời giải: Vị trí của mĩng đƣợc xácđịnh bởi vị trí trọng tâm của nĩ x,y và các gĩc xoay φ. Hệ tọa độ đƣợc chọn sao cho ở thờiđiểm ban đầu t= 0 thì x=0, y = 0 và φ = 0. Biểu thức động năng của mĩng máy 1 1 T = m ( xy&&22 )2+ J φ 2 2 2 c Khi mĩng máy dao động trong mặt phẳng, biến dạng dài của các lị xo làΔlx1 , Δlx2 , Δly1 , Δly2 ( hình 3.4b). Thế năng của hệ cĩ dạng 1 Π = mgy + (c Δl2 + c Δl2 + c Δl2 + c Δl2 ) (1.9) 2 x1 x1 x2 x2 y1 y1 y2 y2 Chúng ta ký hiệu các thành phần dịch chuyển từ điểm A ( từ A đến A’) là u1 và v1, các thành phần dịch chuyển từ điểm B (từ B đến B’)là u2 và v2. Theo hình vẽ 3.4b ta cĩ u1= x + a1(1-cos φ) + bsinφ; v1 = y - a1sinφ + b(1-cos φ) u2 = x – a2(1-cos φ) + bsinφ ; v2 = y + a2sinφ + b(1-cos φ) Từ định lý hàm consin trong lƣợng giác ta tính đƣợc 2 2 2 2 2 2 Δl x1 = l x1 [ 1 + (u1 + v1 + 2lx1u1)/lx1 − 1] 2 2 2 2 2 2 Δl y1 = l y1 [ 1 + (u1 + v1 + 2ly1v1)/ly1 − 1] 85
2 2 2 2 2 2 Δl x2 = l x2 [ 1 + (u2 + v2 + 2lx2u2)/lx2 − 1] 2 2 2 2 2 2 Δl y2 = l y2 [ 1 + (u2 + v2 + 2ly2v2)/ly2 − 1] Cácđại lƣợng lx1, lx2 , ly1, ly2 là độ dài các lị xo ở trạng thái chƣa biến dạng. Do chúng ta chỉ xét dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng nên cĩ thể sử dụng các xấp xỉ sau. 2 2 2 2 2 2 2 2 Δl x1 ≈ u1; Δl x2 ≈ u2; Δl y1 ≈ v1 ; Δl y2 ≈ v2 Do gĩc φ nhỏ, ta lấy xấp xỉ sinφ≈φ, cosφ ≈ 1. Từ đĩ ta tính đƣợc 2 2 2 2 Δl x1 ≈ x + bφ ; Δl y1≈ (y − a1φ) 2 2 2 2 Δl x2 ≈ x + bφ ; Δl y2 ≈ (y + a2φ) Biểu thức gần đúng của thế năng Π cĩ dạng 1 Π = [c (x - bφ)2+ c (x- bφ)2+ c y − a φ 2+ c y + a φ 2] + mgy 2 x1 x2 y2 1 y2 2 Để xácđịnh các lực suy rộngứng với lực F (t) ta tính cơng khả dĩ của hệ δA = -F(t)δy - F(t)eδφ Từ đĩ ta suy ra * * * Q x = 0 ; Q y = - F(t) ; Q φ = - F(t)e Thế các biểu thức động năng, thế năng, lực suy rộng ứng với lực khơng cĩ thế vào phƣơng trình Lagrange loại II d  T  T Π * Qi dt  q&i  q i  q i ta cĩ phƣơng trình vi phân của mĩng máy khảo sát M 퐪 + C q = f(t) (1.10) với m 0 0 x 0 M = 0 0 ; q = y ; f= − mg + F 0 0 Jc φ eF cx1 + cx2 0 (cx1 + cx2)b C = 0 cy1 + cy2 a2cy2 − a1cy1 2 2 2 (cx1 + cx2)b a2cy2 − a1cy1 [(cx1 + cx2)b + a1cy1 + a2cy2] 3.1.2 Phƣơng pháp lực Phƣơng pháp lực hay đƣợc sử dụng để thiết lập các phƣơng trình dao động của các hệ thanh cĩ khối lƣợng tập trung. Để thấy rõ nội dung của phƣơng pháp này, trƣớc hết ta xét một thí dụ. Sau đĩ trình bày quy trình tổng quát áp dụng phƣơng pháp lực thiết lập các phƣơng trình vi phân dao động. 86