Bai giảng Giải tích 3 - Bùi Xuân Diệu

106 trang haiha333 08/01/2022 3700

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bai giảng Giải tích 3 - Bùi Xuân Diệu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_giai_tich_3_bui_xuan_dieu.pdf

Nội dung text: Bai giảng Giải tích 3 - Bùi Xuân Diệu

Giải tích III TS. Bùi Xuân Diệu Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 1 / 53
Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy 3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu 4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều 5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa 6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 2 / 53
Đại cương về chuỗi số Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy 3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu 4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều 5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa 6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 3 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Định nghĩa Cho an là một dãy số. Tổng vô hạn { }n∞=1 a + a + + an + 1 2 ··· ··· ∞ được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là an. Khi đó, an được gọi là n=1 số hạng tổng quát và Sn = a + a + + anPđược gọi là tổng riêng thứ n. 1 2 ··· TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 4 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Định nghĩa Cho an là một dãy số. Tổng vô hạn { }n∞=1 a + a + + an + 1 2 ··· ··· ∞ được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là an. Khi đó, an được gọi là n=1 số hạng tổng quát và Sn = a + a + + anPđược gọi là tổng riêng thứ n. 1 2 ··· Nếu như dãy số Sn là hội tụ và lim Sn = S tồn tại, thì ta nói n { } →∞ ∞ ∞ chuỗi số an là hội tụ và có tổng bằng S và viết an = S. n=1 n=1 P ∞ P Nếu dãy số Sn là phân kỳ thì ta nói chuỗi số an là phân kỳ. { } n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 4 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Ví dụ Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1]. Sau đó chúng ta chia đôi khoảng này ra thì ta được hai khoảng là [0, 1/2] và (1/2, 1], mỗi khoảng có độ dài bằng 1/2. Sau đó ta lại tiếp tục chia đôi khoảng [0, 1/2], thì ta sẽ được hai khoảng, mỗi khoảng có độ dài bằng 1/4. Tiếp tục kéo dài quá trình này ta sẽ được chuỗi số sau: 1 1 1 1 = + + + + 2 4 ··· 2n ··· TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 5 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Ví dụ Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân ∞ qn = 1 + q + q2 + . n=0 ··· P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Ví dụ Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân ∞ qn = 1 + q + q2 + . n=0 ··· P Ví dụ ∞ 1 Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính n(n+1) . n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Ví dụ Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân ∞ qn = 1 + q + q2 + . n=0 ··· P Ví dụ ∞ 1 Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính n(n+1) . n=1 P Ví dụ ∞ 1 Chứng minh rằng chuỗi điều hòa n là phân kì. n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) ∞ Nếu chuỗi số an là hội tụ, thì lim an = 0. n + n=1 → ∞ P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) ∞ Nếu chuỗi số an là hội tụ, thì lim an = 0. n + n=1 → ∞ P Chú ý: Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0 n + → ∞ ∞ ∞ 1 thì chưa chắc chuỗi an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa n . n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) ∞ Nếu chuỗi số an là hội tụ, thì lim an = 0. n + n=1 → ∞ P Chú ý: Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0 n + → ∞ ∞ ∞ 1 thì chưa chắc chuỗi an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa n . n=1 n=1 Điều kiện đủ để kiểmP tra một chuỗi là phân kỳ: nếu limPan không n + → ∞ tồn tại hoặc lim an = 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Ví dụ, xét n + → ∞ 6 ∞ n chuỗi 2n+1 . n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) ∞ Nếu chuỗi số an là hội tụ, thì lim an = 0. n + n=1 → ∞ P Chú ý: Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0 n + → ∞ ∞ ∞ 1 thì chưa chắc chuỗi an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa n . n=1 n=1 Điều kiện đủ để kiểmP tra một chuỗi là phân kỳ: nếu limPan không n + → ∞ tồn tại hoặc lim an = 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Ví dụ, xét n + → ∞ 6 ∞ n chuỗi 2n+1 . n=1 Thay đổiP một số số hạng đầu tiên của một chuỗi thì không làm ảnh hưởng đến tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số đó. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Các phép toán trên chuỗi số hội tụ ∞ ∞ ∞ Nếu an và bn là các chuỗi số hội tụ, thì (αan + βbn) cũng là n=1 n=1 n=1 P P ∞ ∞ P ∞ một chuỗi số hội tụ và (αan + βbn)= α an + β bn. n=1 n=1 n=1 P P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 8 / 53
Đại cương về chuỗi số Đại cương về chuỗi số Các phép toán trên chuỗi số hội tụ ∞ ∞ ∞ Nếu an và bn là các chuỗi số hội tụ, thì (αan + βbn) cũng là n=1 n=1 n=1 P P ∞ ∞ P ∞ một chuỗi số hội tụ và (αan + βbn)= α an + β bn. n=1 n=1 n=1 P P P Ví dụ Xét xem chuỗi sau đây là hội tụ hay phân kỳ. Nếu nó hội tụ, tính tổng. ∞ 2 ∞ n ∞ en a) b) ln c) n2 1 n + 1 n3 n n n X=1 − X=1 X=1 ∞ n2 + 1 ∞ 1 ∞ 1 d) ln e) f) 2n2 + 3 2 n n3 n n n 1 + 3 n X=1 X=1 X=1 − TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 8 / 53
Chuỗi số dương Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy 3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu 4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều 5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa 6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 9 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Chuỗi số dương Định nghĩa ∞ Chuỗi số an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương. n=1 P ∞ Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn an hội tụ Snbị chặn. n=1 ⇔ P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 10 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Chuỗi số dương Định nghĩa ∞ Chuỗi số an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương. n=1 P ∞ Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn an hội tụ Snbị chặn. n=1 ⇔ P Định lý (Tiêu chuẩn tích phân) Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ) và ∞ ∞ an = f (n). Khi đó chuỗi số an và tích phân suy rộng 1∞ f (x)dx có n=1 cùng tính chất hội tụ hoặc phânP kỳ. R TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 10 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Chuỗi số dương Định nghĩa ∞ Chuỗi số an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương. n=1 P ∞ Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn an hội tụ Snbị chặn. n=1 ⇔ P Định lý (Tiêu chuẩn tích phân) Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ) và ∞ ∞ an = f (n). Khi đó chuỗi số an và tích phân suy rộng 1∞ f (x)dx có n=1 cùng tính chất hội tụ hoặc phânP kỳ.Nói cách khác, R 1 ∞ Nếu 1∞ f (x)dx là hội tụ thì an cũng là hội tụ. n=1 R P 2 ∞ Nếu 1∞ f (x)dx là phân kỳ thì an cũng là phân kỳ. n=1 TS. BùiR Xuân Diệu GiảiP tích III 10 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ ∞ 1 ∞ 1 Xét sự hội tụ của các chuỗi a) 1+n2 b) nα (α> 0). n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 11 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ ∞ 1 ∞ 1 Xét sự hội tụ của các chuỗi a) 1+n2 b) nα (α> 0). n=1 n=1 P P Một số lưu ý 1 ∞ 1 Hàm zeta ζ(x)= nx . Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu n=1 P ∞ 1 π2 ∞ 1 π4 tiên tính được chính xác ζ(2)= n2 = 6 và ζ(4)= n4 = 90 . n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 11 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ ∞ 1 ∞ 1 Xét sự hội tụ của các chuỗi a) 1+n2 b) nα (α> 0). n=1 n=1 P P Một số lưu ý 1 ∞ 1 Hàm zeta ζ(x)= nx . Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu n=1 P ∞ 1 π2 ∞ 1 π4 tiên tính được chính xác ζ(2)= n2 = 6 và ζ(4)= n4 = 90 . n=1 n=1 P 2 P 2 ∞ ∞ 1 π 1 an = 1∞ f (x)dx. Chẳng hạn như n2 = 6 = 1∞ x2 dx = 1. n=1 6 n=1 6 P R P R TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 11 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ ∞ 1 ∞ 1 Xét sự hội tụ của các chuỗi a) 1+n2 b) nα (α> 0). n=1 n=1 P P Một số lưu ý 1 ∞ 1 Hàm zeta ζ(x)= nx . Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu n=1 P ∞ 1 π2 ∞ 1 π4 tiên tính được chính xác ζ(2)= n2 = 6 và ζ(4)= n4 = 90 . n=1 n=1 P 2 P 2 ∞ ∞ 1 π 1 an = 1∞ f (x)dx. Chẳng hạn như n2 = 6 = 1∞ x2 dx = 1. n=1 6 n=1 6 3 KhiP dùngR TCTP, không nhất thiết chuỗiP số phải bắtR đầu từ n = 1. ∞ 1 ∞ 1 VD, có thể kiểm tra sự hội tụ của (n 1)2 bằng (x 1)2 dx. n=4 − 4 − P R TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 11 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ 1 Chứng minh rằng chuỗi n∞=2 n(ln n)p là hội tụ khi và chỉ khi p > 1. P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 12 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ 1 Chứng minh rằng chuỗi n∞=2 n(ln n)p là hội tụ khi và chỉ khi p > 1. P Ví dụ Dùng TCTP xét sự hội tụ hay phân kì của các chuỗi số sau. 1 ∞ ln n ∞ 2 n3 ∞ ln n ∞ ln(1 + n) a) b) n e− c) d) (n + 2)2 n3 (n + 3)2 n n n n X=1 X=1 X=1 X=1 ∞ e1/n ∞ n2 ∞ ln n ∞ ln n e) f) g) h) n2 en np 3n2 n n n n X=1 X=1 X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 12 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Các tiêu chuẩn so sánh Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 1) ∞ ∞ Cho hai chuỗi số dương an và bn có an bn với mọi n hoặc kể từ n=1 n=1 ≤ một số n nào đó. Khi đóP P ∞ ∞ 1 Nếu bn là hội tụ thì an cũng là hội tụ. n=1 n=1 P∞ P∞ 2 Nếu an là phân kỳ thì bn cũng là phân kỳ. n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 13 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Các tiêu chuẩn so sánh Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 1) ∞ ∞ Cho hai chuỗi số dương an và bn có an bn với mọi n hoặc kể từ n=1 n=1 ≤ một số n nào đó. Khi đóP P ∞ ∞ 1 Nếu bn là hội tụ thì an cũng là hội tụ. n=1 n=1 P∞ P∞ 2 Nếu an là phân kỳ thì bn cũng là phân kỳ. n=1 n=1 P P Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi ∞ 1 ∞ 1 a) , b) . n2 + n + 1 ln n n n X=1 X=2 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 13 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Các tiêu chuẩn so sánh Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2) ∞ ∞ an Cho hai chuỗi số dương an và bn và lim = c > 0. Khi đó n + bn n=1 n=1 → ∞ ∞ ∞ P P an và bn có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ. n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 14 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Các tiêu chuẩn so sánh Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2) ∞ ∞ an Cho hai chuỗi số dương an và bn và lim = c > 0. Khi đó n + bn n=1 n=1 → ∞ ∞ ∞ P P an và bn có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ. n=1 n=1 P P Nhận xét: Nếu lim an = 0 n + bn → ∞ ∞ ∞ và bn hội tụ thì an hội tụ. n=1 n=1 P∞ P∞ và an phân kỳ thì bn phân kỳ. n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 14 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Các tiêu chuẩn so sánh Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2) ∞ ∞ an Cho hai chuỗi số dương an và bn và lim = c > 0. Khi đó n + bn n=1 n=1 → ∞ ∞ ∞ P P an và bn có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ. n=1 n=1 P P Nhận xét: Nếu lim an = 0 n + bn → ∞ ∞ ∞ và bn hội tụ thì an hội tụ. n=1 n=1 P∞ P∞ và an phân kỳ thì bn phân kỳ. n=1 n=1 P P Ví dụ ∞ n2+n ∞ 2n+3n Xét sự hội tụ của các chuỗi a) b) n n . √n5+1 4 +5 n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 14 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Chuỗi số dương Khi nào dùng tiêu chuẩn so sánh 1 Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu số đều là các đa thức của n. Chẳng hạn 2 m ∞ a + a n + a n + + amn 0 1 2 ··· . b + b n + b n2 + + b nk n 0 1 2 k X=1 ··· TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 15 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Chuỗi số dương Khi nào dùng tiêu chuẩn so sánh 1 Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu số đều là các đa thức của n. Chẳng hạn 2 m ∞ a + a n + a n + + amn 0 1 2 ··· . b + b n + b n2 + + b nk n 0 1 2 k X=1 ··· 2 Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu số đều là tổng của các lũy thừa với số mũ là n. Chẳng hạn n n n ∞ α a + α a + + αma 1 1 2 2 ··· m , β bn + β bn + + β bn n 1 1 2 2 k k X=1 ··· với a < a < < am, b < b < < bk . 1 2 ··· 1 2 ··· TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 15 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn so sánh Ví dụ Dùng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau ∞ n3 ∞ 2016n ∞ n sin2 n 1) 2) 3) (n + 2)4 2015n + 2017n 1 + n3 n n n X=1 X=1 X=1 ∞ √3 n ∞ ∞ n + sin n 4) 5) sin(√n + 1 √n) 6) √n − √3 7 n + 3 n n n + 1 X=1 X=1 X=1 ∞ n + 1 ∞ 1 7) sin 8) ln 1 + n3 + n + 1 3n2 n n X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 16 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn D’Alambert Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert) Giả sử tồn tại lim an+1 = L. Khi đó n + an → ∞ 1 Nếu L 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 17 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn D’Alambert Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert) Giả sử tồn tại lim an+1 = L. Khi đó n + an → ∞ 1 Nếu L 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ. Ví dụ Dùng tiêu chuẩn D’Alambert để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau ∞ 2n ∞ 2nn! ∞ 5n(n!)2 1) 2) 3) n! nn n2n n n n X=1 X=1 X=1 ∞ (2n + 1)!! ∞ (n2 + n + 1) ∞ (2n)!! 4) 5) 6) nn 2n(n + 1) nn n n n X=1 X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 17 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn Cauchy Tiêu chuẩn Cauchy Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Giả sử tồn tại lim √n an = L. Khi đó n + → ∞ 1 Nếu L 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 18 / 53
Chuỗi số dương Tiêu chuẩn Cauchy Tiêu chuẩn Cauchy Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Giả sử tồn tại lim √n an = L. Khi đó n + → ∞ 1 Nếu L 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ. Ví dụ Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau n n 2 ∞ n2 + n + 1 ∞ n ∞ nn 5n 1) 2) 3) 3n2 + n + 1 n + 2 n n n2 n n n 2 ( + 1) X=1 X=1 X=1 n(n+4) n(n+4) n ∞ n + 2 ∞ n + 3 ∞ 2n + 1 4) 5) 6) n + 3 n + 2 3n + 1 n n n X=1 X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 18 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy 3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu 4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều 5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa 6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 19 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Định lý ∞ ∞ Nếu an là hội tụ thì an cũng là hội tụ. n=1 | | n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 20 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Định lý ∞ ∞ Nếu an là hội tụ thì an cũng là hội tụ. n=1 | | n=1 P P Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ ∞ Chuỗi an được gọi là n=1 P ∞ hội tụ tuyệt đối nếu an là hội tụ, n=1 | | ∞ P ∞ bán hội tụ nếu an là hội tụ và an là phân kỳ. n=1 n=1 | | P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 20 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Định lý ∞ ∞ Nếu an là hội tụ thì an cũng là hội tụ. n=1 | | n=1 P P Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ ∞ Chuỗi an được gọi là n=1 P ∞ hội tụ tuyệt đối nếu an là hội tụ, n=1 | | ∞ P ∞ bán hội tụ nếu an là hội tụ và an là phân kỳ. n=1 n=1 | | P P Ví dụ ∞ n n ∞ sin n Xét sự hội tụ tuyệt đối của các chuỗi số a) ( 1) n b) . 2 √n3 n=1 − n=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III P P 20 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chú ý − ∞ ∞ ∞ ( 1)n 1 an phân kỳ an phân kỳ. Ví dụ, −n+1 . n=1 | | 6⇒ n=1 n=1 P∞ P P ∞ an phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alambert hoặc Cauchy an n=1 | | ⇒ n=1 phânP kỳ. P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 21 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chú ý − ∞ ∞ ∞ ( 1)n 1 an phân kỳ an phân kỳ. Ví dụ, −n+1 . n=1 | | 6⇒ n=1 n=1 P∞ P P ∞ an phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alambert hoặc Cauchy an n=1 | | ⇒ n=1 phânP kỳ. P Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert, Cauchy) an+1 Giả sử tồn tại lim = L hoặc lim an = L. Khi đó n + an n + | | → ∞ → ∞ 1 Nếu L 1 thì cả hai chuỗi an và an đều là phân kỳ. n=1 | | n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 21 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi đan dấu Chuỗi đan dấu Định nghĩa ∞ n 1 Chuỗi số có dạng ( 1) − an với an > 0 được gọi là một chuỗi đan dấu. n=1 − P Định lý (Định lý Leibniz) Nếu an n∞ là một dãy số dương, giảm và lim an = 0 thì =1 n + { } → ∞ ∞ n 1 ∞ n 1 ( 1) − an là một chuỗi số hội tụ và ( 1) − an a1. n=1 − n=1 − ≤ P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 22 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi đan dấu Chuỗi đan dấu Định nghĩa ∞ n 1 Chuỗi số có dạng ( 1) − an với an > 0 được gọi là một chuỗi đan dấu. n=1 − P Định lý (Định lý Leibniz) Nếu an n∞ là một dãy số dương, giảm và lim an = 0 thì =1 n + { } → ∞ ∞ n 1 ∞ n 1 ( 1) − an là một chuỗi số hội tụ và ( 1) − an a1. n=1 − n=1 − ≤ P P Ví dụ Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số n− ∞ ( 1) 1 ∞ n 1 n2 a) −n+1 b) ( 1) − n3+1 . n=1 n=1 − P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 22 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi đan dấu Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Ví dụ Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số ∞ 2n + 1 ∞ n2 ∞ ( 1)n(n2 + n + 1) 1) ( 1)n 2) ( 1)n 3) − − 3n + 2n − n3 + 4 2n(n + 1) n n n X=1 X=1 X=1 ∞ π ∞ ( 1)nn2 ∞ ( 1)n 4) ( 1)n sin 5) − 6) − − n πn 3nn! n=1 n=1 n=1 X n X X ∞ n + 1 ∞ 1 ∞ ln n 7) ( 1)n 8) ( 1)n sin 9) ( 1)n − n + 2 − n√n − n n n n X=1 X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 23 / 53
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi đan dấu
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi đan dấu Khi nào dùng tiêu chuẩn nào Một số gợi ý 1 ∞ n Nếu lim an = 0 hoặc thì chuỗi đã cho PK. Ví dụ sin n+1 . n + 6 6∃ n=1 → ∞ 2 m P 2 ∞ a0+a1n+a2n + +amn 2 ··· k tiêu chuẩn SS. b +b n+b n + +bk n n=1 0 1 2 ··· ⇒ P n n n ∞ α1a1+α2a2+ +αmam 3 n n ··· n tiêu chuẩn SS. β1b +β2b + +βk b n=1 1 2 ··· k ⇒ P ∞ n 1 4 Chuỗi đan dấu ( 1) − an tiêu chuẩn Leibniz. n=1 − ⇒ ∞ P n n 5 an, ở đó an có chứa a , n! hoặc n tiêu chuẩn D’Alambert. n=1 ⇒ P ∞ n 6 Chuỗi có dạng (bn) tiêu chuẩn Cauchy n=1 ⇒ P 7 an = f (n), ở đó ∞ f (x)dx có thể KT được tính HT, PK TCTP. 1 ⇒ TS. Bùi Xuân Diệu R Giải tích III 25 / 53
Chuỗi hàm số Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy 3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu 4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều 5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa 6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 26 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số Định nghĩa Cho dãy các hàm số an(x) . Chuỗi hàm số được định nghĩa như sau: { } ∞ u1(x)+ u2(x)+ + un(x)+ = un(x). ··· ··· n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 27 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số Định nghĩa Cho dãy các hàm số an(x) . Chuỗi hàm số được định nghĩa như sau: { } ∞ u1(x)+ u2(x)+ + un(x)+ = un(x). ··· ··· n=1 P ∞ 1 Chuỗi hàm số un(x) được gọi là hội tụ tại x = x0 nếu chuỗi số n=1 ∞ P un(x0) là hội tụ. n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 27 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số Định nghĩa Cho dãy các hàm số an(x) . Chuỗi hàm số được định nghĩa như sau: { } ∞ u1(x)+ u2(x)+ + un(x)+ = un(x). ··· ··· n=1 P ∞ 1 Chuỗi hàm số un(x) được gọi là hội tụ tại x = x0 nếu chuỗi số n=1 ∞ P un(x0) là hội tụ. n=1 P ∞ 2 Chuỗi hàm số un(x) được gọi là phân kỳ tại x = x0 nếu chuỗi số n=1 ∞ P un(x0) là phân kỳ. n=1 P ∞ Tập hợp các điểm hội tụ của un(x) được gọi là miền hội tụ. n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 27 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số Ví dụ Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số ∞ ∞ 1 ∞ sin x + cos x 1) xn 2) 3) nx n2 + x2 n n n X=1 X=1 X=1 ∞ xn ∞ sin nx ∞ (2n)!! 4) 5) 6) xn n! 2n(n + 1) nn n n n X=1 X=1 X=1 ∞ 22n+1xn ∞ n + sin x 7) 8) sin 5n 3n + 1 n n X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 28 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Chuỗi hàm số hội tụ đều Định nghĩa ∞ Chuỗi hàm số un(x) hội tụ đều đến S(x) trên tập X nếu n=1 ǫ> 0, n(ǫ) PN : ∀ ∃ ∈ Sn(x) S(x) n(ǫ), x X . − ∀ ∀ ∈ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 29 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Chuỗi hàm số hội tụ đều Định nghĩa ∞ Chuỗi hàm số un(x) hội tụ đều đến S(x) trên tập X nếu n=1 ǫ> 0, n(ǫ) PN : ∀ ∃ ∈ Sn(x) S(x) n(ǫ), x X . − ∀ ∀ ∈ Ý nghĩa hình học: với n đủ lớn thì Sn(x) nằm hoàn toàn trong dải (S(x) ǫ, S(x)+ ǫ), x X . − ∈ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 29 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Chuỗi hàm số hội tụ đều Định nghĩa ∞ Chuỗi hàm số un(x) hội tụ đều đến S(x) trên tập X nếu n=1 ǫ> 0, n(ǫ) PN : ∀ ∃ ∈ Sn(x) S(x) n(ǫ), x X . − ∀ ∀ ∈ Ý nghĩa hình học: với n đủ lớn thì Sn(x) nằm hoàn toàn trong dải (S(x) ǫ, S(x)+ ǫ), x X . − ∈ Tiêu chuẩn Cauchy ∞ Chuỗi hàm số un(x) hội tụ đều trên tập X nếu ǫ> 0, n(ǫ) N : n=1 ∀ ∃ ∈ P Sp(x) Sq(x) n(ǫ), x X . − ∀ ∀ ∈ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 29 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Chuỗi hàm số hội tụ đều Tiêu chuẩn Weierstrass Nếu un(x) < an, n N, x X , | | ∀ ∈ ∀ ∈ ∞ chuỗi số an hội tụ n=1 P ∞ thì chuỗi hàm số un(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên X . n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 30 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Chuỗi hàm số hội tụ đều Tiêu chuẩn Weierstrass Nếu un(x) < an, n N, x X , | | ∀ ∈ ∀ ∈ ∞ chuỗi số an hội tụ n=1 P ∞ thì chuỗi hàm số un(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên X . n=1 P Ví dụ Xét sự hội tụ đều của các chuỗi hàm số − ∞ ( 1)n 1 ∞ xn 1 − x R 3 x x2+n2 , . 2nn√3 n , [ 2, 2]. n=1 ∈ n=1 ∈ − P P n 2 ∞ sin nx R 4 ∞ 1 2x+1 n2+x2 , x . 2n−1 x+2 , x [ 1, 1]. n=1 ∈ n=1 ∈ − PTS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III P 30 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều Tính liên tục Nếu un(x) liên tục trên X với mọi n, ∞ Chuỗi un(x) hội tụ đều về S(x) trên X n=1 thì S(x) liênP tục trên X , i.e., ∞ ∞ lim un(x)= lim un(x). x x0 x x0 → n n → X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 31 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều Tính liên tục Nếu un(x) liên tục trên X với mọi n, ∞ Chuỗi un(x) hội tụ đều về S(x) trên X n=1 thì S(x) liênP tục trên X , i.e., ∞ ∞ lim un(x)= lim un(x). x x0 x x0 → n n → X=1 X=1 Ví dụ Xét tính liên tục của chuỗi hàm số ∞ 1 arctan x . n2 √n+1 n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 31 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều Tính khả tích Nếu un(x) liên tục trên [a, b] với mọi n, ∞ Chuỗi un(x) hội tụ đều về S(x) trên [a, b] n=1 thì S(x) khảP tích trên [a, b] và b b b ∞ ∞ S(x)dx = un(x) = un(x)dx . a a n ! n a Z Z X=1 X=1 Z TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 32 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều Tính khả tích Nếu un(x) liên tục trên [a, b] với mọi n, ∞ Chuỗi un(x) hội tụ đều về S(x) trên [a, b] n=1 thì S(x) khảP tích trên [a, b] và b b b ∞ ∞ S(x)dx = un(x) = un(x)dx . a a n ! n a Z Z X=1 X=1 Z Ví dụ Tìm miền hội tụ và tính tổng ∞ n 1 n ∞ n 2n a) ( 1) − (n + 1)(x 1) b) ( 1) (2n + 1)x . n=1 − − n=1 − P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 32 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều Tính khả vi Nếu un(x) khả vi liên tục trên (a, b) với mọi n, ∞ Chuỗi un(x) hội tụ về S(x) trên (a, b), n=1 P∞ Chuỗi un′ (x) hội tụ đều trên (a, b) n=1 P ∞ ′ ∞ thì S(x) khả vi trên (a, b) và S′(x)= un(x) = un′ (x). n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 33 / 53
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều Tính khả vi Nếu un(x) khả vi liên tục trên (a, b) với mọi n, ∞ Chuỗi un(x) hội tụ về S(x) trên (a, b), n=1 P∞ Chuỗi un′ (x) hội tụ đều trên (a, b) n=1 P ∞ ′ ∞ thì S(x) khả vi trên (a, b) và S′(x)= un(x) = un′ (x). n=1 n=1 P P Ví dụ − ∞ ( 1)n 1 n ∞ x2n+1 Tìm miền hội tụ và tính tổng a) − n (x + 1) b) 2n+1 . n=1 n=1 P P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 33 / 53
Chuỗi lũy thừa Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy 3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu 4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều 5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa 6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 34 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Định nghĩa Chuỗi hàm số có dạng ∞ n 2 n anx = a + a x + a x + + anx + , (1) 0 1 2 ··· ··· n X=0 ở đó x là biến số còn an là các hệ số, được gọi là chuỗi lũy thừa. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 35 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Định nghĩa Chuỗi hàm số có dạng ∞ n 2 n anx = a + a x + a x + + anx + , (1) 0 1 2 ··· ··· n X=0 ở đó x là biến số còn an là các hệ số, được gọi là chuỗi lũy thừa. Ví dụ Nếu an = 1 với mọi n, thì chuỗi (1) đã cho trở thành chuỗi cấp số nhân 1 + x + x2 + + xn + , ··· ··· sẽ hội tụ nếu 1 < x < 1 và phân kỳ nếu x 1. − | |≥ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 35 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Ví dụ ∞ xn Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số n . n=1 P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 36 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Ví dụ ∞ xn Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số n . n=1 P Ví dụ Tìm tập xác định của hàm số Bessel được định nghĩa bởi ∞ ( 1)nx2n J (x)= − . 0 22n(n!)2 n X=0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 36 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Định lý (Abel) ∞ n Nếu chuỗi lũy thừa anx hội tụ tại x0 = 0, thì nó cũng hội tụ (tuyệt n=0 6 đối) tại mọi điểm x màP x < x . | | | 0| TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 37 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Định lý (Abel) ∞ n Nếu chuỗi lũy thừa anx hội tụ tại x0 = 0, thì nó cũng hội tụ (tuyệt n=0 6 đối) tại mọi điểm x màP x Px . | | | 0| TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 37 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Hệ quả ∞ n Với mỗi chuỗi lũy thừa anx cho trước, chỉ có 3 khả năng sau có thể n=0 xảy ra. P i) Chuỗi hội tụ tại duy nhất điểm x = 0. ii) Chuỗi hội tụ tại mọi điểm x R. ∈ iii) Tồn tại một số thực dương R sao cho chuỗi đã cho hội tụ nếu x R. | | | | TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 38 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Hệ quả ∞ n Với mỗi chuỗi lũy thừa anx cho trước, chỉ có 3 khả năng sau có thể n=0 xảy ra. P i) Chuỗi hội tụ tại duy nhất điểm x = 0. ii) Chuỗi hội tụ tại mọi điểm x R. ∈ iii) Tồn tại một số thực dương R sao cho chuỗi đã cho hội tụ nếu x R. | | | | Định nghĩa Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa được định nghĩa bằng 0 trong trường hợp i) bằng trong trường hợp ii) ∞ bằng số thực dương R trong trường hợp iii) TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 38 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Cách tìm bán kính hội tụ an+1 Nếu ρ = lim hoặc ρ = lim √n an thì bán kính hội tụ của chuỗi n + an n + → ∞ 1 → ∞ lũy thừa là R =ρ , với quy ước là R = 0 nếu ρ = và R = nếu ρ = 0. ∞ ∞ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 39 / 53
Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Cách tìm bán kính hội tụ an+1 Nếu ρ = lim hoặc ρ = lim √n an thì bán kính hội tụ của chuỗi n + an n + → ∞ 1 → ∞ lũy thừa là R =ρ , với quy ước là R = 0 nếu ρ = và R = nếu ρ = 0. ∞ ∞ Ví dụ Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau. ∞ x2n ∞ n(x + 2)n ∞ n(x + 1)n 1) ( 1)n 2) 3) − (2n)! 3n+1 4n n n n X=0 X=0 X=0 ∞ 3n(x + 4)n ∞ ∞ x2n 4) 5) n!(2x 1)n 6) √n − n(ln n)2 n + 1 n n X=0 X=1 X=2 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 39 / 53
Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Định lý ∞ n Giả sử rằng chuỗi lũy thừa anx có bán kính hội tụ bằng R > 0 và đặt n=0 ∞ n P f (x)= anx với x < R. Khi đó n=0 | | 1 ChuỗiP lũy thừa hội tụ đều trên mọi khoảng [a, b] ( R, R). ⊂ − TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 40 / 53
Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Định lý ∞ n Giả sử rằng chuỗi lũy thừa anx có bán kính hội tụ bằng R > 0 và đặt n=0 ∞ n P f (x)= anx với x < R. Khi đó n=0 | | 1 ChuỗiP lũy thừa hội tụ đều trên mọi khoảng [a, b] ( R, R). ⊂ − 2 f (x) là hàm số khả vi (và do đó liên tục) trên khoảng ( R, R) và − ∞ n n 1 f ′(x)= (anx )′ = a + 2a x + + nanx − + . 1 2 ··· ··· n X=0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 40 / 53
Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Định lý ∞ n Giả sử rằng chuỗi lũy thừa anx có bán kính hội tụ bằng R > 0 và đặt n=0 ∞ n P f (x)= anx với x < R. Khi đó n=0 | | 1 ChuỗiP lũy thừa hội tụ đều trên mọi khoảng [a, b] ( R, R). ⊂ − 2 f (x) là hàm số khả vi (và do đó liên tục) trên khoảng ( R, R) và − ∞ n n 1 f ′(x)= (anx )′ = a + 2a x + + nanx − + . 1 2 ··· ··· n X=0 3 x2 xn+1 f (x)dx = C + a x + a + + an + 0 1 2 ··· n + 1 ··· Z TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 40 / 53
Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Ví dụ Tìm biểu diễn chuỗi lũy thừa của các hàm số 1 1) f (x)= ln(1 + x) 2) f (x)= 3) f (x)= arctan x 1 + x2 2 5 1 x 4) f (x)= 5) f (x)= 6) f (x)= − 3 x 1 4x2 1 + x − − 2 x + 2 x2 + x 7) f (x)= 8) f (x)= 9) f (x)= x2 x 2 2x2 x 1 (1 x)3 − − − − − TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 41 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Định nghĩa Hàm số f (x) được gọi là có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại a nếu ∞ n f (x)= an(x a) , x a 0 nào đó. n=0 − | − | P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 42 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Định nghĩa Hàm số f (x) được gọi là có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại a nếu ∞ n f (x)= an(x a) , x a 0 nào đó. n=0 − | − | P Định lý (Điều kiện cần để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa) Nếu hàm số f (x) có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại điểm a thì thì nó phải có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm a và biểu diễn chuỗi lũy thừa của ∞ f (n)(a) n nó phải có dạng f (x)= n! (x a) . n=0 − P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 42 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Định nghĩa Hàm số f (x) được gọi là có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại a nếu ∞ n f (x)= an(x a) , x a 0 nào đó. n=0 − | − | P Định lý (Điều kiện cần để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa) Nếu hàm số f (x) có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại điểm a thì thì nó phải có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm a và biểu diễn chuỗi lũy thừa của ∞ f (n)(a) n nó phải có dạng f (x)= n! (x a) . n=0 − P 1 e− x2 nếu x = 0 Chú ý: Hàm số f (x)= 6 có f (n)(0)= 0 với mọi n nên (0 nếu x = 0 chuỗi lũy thừa tại x = 0 của nó bằng 0. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 42 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Định nghĩa ∞ f (n)(a) n Chuỗi lũy thừa n! (x a) được gọi là chuỗi Taylor của hàm số n=0 − f (x) tại điểm a.P Chuỗi Taylor tại điểm 0 gọi là chuỗi Maclaurin. ∞ f (n)(a) n Nếu n! (x a) = f (x) thì ta nói hàm số f (x) khai triển được n=0 − thànhP chuỗi Taylor trong lân cận của a. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 43 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Định nghĩa ∞ f (n)(a) n Chuỗi lũy thừa n! (x a) được gọi là chuỗi Taylor của hàm số n=0 − f (x) tại điểm a.P Chuỗi Taylor tại điểm 0 gọi là chuỗi Maclaurin. ∞ f (n)(a) n Nếu n! (x a) = f (x) thì ta nói hàm số f (x) khai triển được n=0 − thànhP chuỗi Taylor trong lân cận của a. Ví dụ Tìm chuỗi Maclaurin của hàm số f (x)= ex và tìm bán kính hội tụ của nó. Câu hỏi: ex có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại 0 hay không? Nếu nó có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại 0, thì liệu 2 n ex = 1 + x + x + + x + ? 1! 2! ··· n! ··· TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 43 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Định lý (Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận x : x a < R của { | − | } điểm a và f (n)(ξ) M với mọi ξ trong lân cận nói trên, thì hàm số f (x) | |≤ khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm đó và ∞ f (n)(a) f (x)= (x a)n, x a < R. n! − | − | n X=0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 44 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Định lý (Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận x : x a < R của { | − | } điểm a và f (n)(ξ) M với mọi ξ trong lân cận nói trên, thì hàm số f (x) | |≤ khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm đó và ∞ f (n)(a) f (x)= (x a)n, x a < R. n! − | − | n X=0 Ví dụ x ∞ xn R Chứng minh rằng e = n! x . n=0 ∀ ∈ P TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 44 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp k(k 1) k 1 k 2 n (1 + x) = 1 + kx + 2−! x + + n x + (R = 1) 1 n ···n ··· 2 = 1 x + x2 +( 1) x + (R = 1) 1+x − −··· − ··· 3 1 2 n 1 x = 1 + x + x + + x + (R = 1) − 2 ··· n ··· 4 x x x x e = 1 + 1! + 2! + + n! + (R = ) x3 x5 ··· ···n x2n+1 ∞ 5 sin x = x + +( 1) + (R = ) − 3! 5! −··· − (2n+1)! ··· ∞ x2 x4 n x2n 6 cos x = 1 + +( 1) + (R = ) − 2! 4! −··· − (2n)! ··· ∞ x2 x3 n xn 7 ln(1 + x)= x + +( 1) 1 + (R = 1) − 2 3 −··· − − n ··· TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 45 / 53
Chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp k(k 1) k 1 k 2 n (1 + x) = 1 + kx + 2−! x + + n x + (R = 1) 1 n ···n ··· 2 = 1 x + x2 +( 1) x + (R = 1) 1+x − −··· − ··· 3 1 2 n 1 x = 1 + x + x + + x + (R = 1) − 2 ··· n ··· 4 x x x x e = 1 + 1! + 2! + + n! + (R = ) x3 x5 ··· ···n x2n+1 ∞ 5 sin x = x + +( 1) + (R = ) − 3! 5! −··· − (2n+1)! ··· ∞ x2 x4 n x2n 6 cos x = 1 + +( 1) + (R = ) − 2! 4! −··· − (2n)! ··· ∞ x2 x3 n xn 7 ln(1 + x)= x + +( 1) 1 + (R = 1) − 2 3 −··· − − n ··· Ví dụ Khai triển Maclaurin các hàm số sau a) f (x)= ln(2 + x) b) f (x)= sin2 x c) f (x)= ex sin x x x t2 1 + x sin t d) f (x)= e− dt e) f (x)= ln f) f (x)= dt. 1 x t Z0 − Z0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 45 / 53
Chuỗi Fourier Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy 3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu 4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều 5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa 6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 46 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm số đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng hàm sin và hàm cos. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 47 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm số đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng hàm sin và hàm cos. Định nghĩa Một chuỗi có dạng a0 ∞ + (an cos nx + bn sin nx), an, bn R (2) 2 ∈ n X=0 được gọi là một chuỗi lượng giác. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 47 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm số đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng hàm sin và hàm cos. Định nghĩa Một chuỗi có dạng a0 ∞ + (an cos nx + bn sin nx), an, bn R (2) 2 ∈ n X=0 được gọi là một chuỗi lượng giác. Nhận xét ∞ ∞ an , bn hội tụ chuỗi (2) hội tụ tuyệt đối trên R. n=1 | | n=1 | | ⇒ P P ∞ ∞ Tuy nhiên, chuỗi (2) hội tụ an , bn hội tụ. 6⇒ n=1 | | n=1 | | TS. Bùi Xuân Diệu GiảiP tích III P 47 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Định lý Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và có biểu diễn a0 ∞ f (x)= + (an cos nx + bn sin nx), an, bn R 2 ∈ n X=0 thì các hệ số của nó được tính theo công thức 1 π 1 π 1 π a0 = f (x)dx, an = f (x) cos nxdx, bn = f (x) sin nxdx. π π π π π π Z− Z− Z− TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 48 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Định lý Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và có biểu diễn a0 ∞ f (x)= + (an cos nx + bn sin nx), an, bn R 2 ∈ n X=0 thì các hệ số của nó được tính theo công thức 1 π 1 π 1 π a0 = f (x)dx, an = f (x) cos nxdx, bn = f (x) sin nxdx. π π π π π π Z− Z− Z− Định nghĩa a0 ∞ Chuỗi lượng giác 2 + (an cos nx + bn sin nx) với các hệ số a0, an, bn n=0 xác định như trên đượcP gọi là chuỗi Fourier của hàm số f (x). TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 48 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier Định nghĩa Nếu chuỗi Fourier của hàm f (x) hội tụ về hàm f (x) thì ta nói hàm f (x) được khai triển thành chuỗi Fourier TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 49 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier Định nghĩa Nếu chuỗi Fourier của hàm f (x) hội tụ về hàm f (x) thì ta nói hàm f (x) được khai triển thành chuỗi Fourier Định lý (Dirichlet) Nếu f (x) tuần hoàn với chu kì 2π , đơn điệu từng khúc, bị chặn trên [ π,π] − thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn [ π,π], và − f (x), nếu x là điểm liên tục của f (x) S(x)= f (x+0)+f (x 0) ( 2 − nếu x là điểm gián đoạn của f (x). TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 49 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sau 1, 0 x π 3 f (x)= x2, π < x <π. 1 f (x)= ≤ ≤ . − ( 1, π x < 0 − − ≤ x, x x π 1, 0 x π 2 f (x)= − ≤ ≤ . 4 f (x)= ≤ ≤ . ( 1, π x < 0 (0, π x < 0 − − ≤ − ≤ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 50 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Khai triển Fourier các hàm số chẵn, lẻ 2 π Nếu f (x) là hàm số chẵn thì ak = f (x) cos kxdx, bk = 0, k N. π 0 ∀ ∈ 2 π Nếu f (x) là hàm số lẻ thì bk = f (x) sin kxdx, ak = 0, k N. π 0 R ∀ ∈ R TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 51 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Khai triển Fourier các hàm số chẵn, lẻ 2 π Nếu f (x) là hàm số chẵn thì ak = f (x) cos kxdx, bk = 0, k N. π 0 ∀ ∈ 2 π Nếu f (x) là hàm số lẻ thì bk = f (x) sin kxdx, ak = 0, k N. π 0 R ∀ ∈ R Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sau f (x)= x, π < x <π. − TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 51 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Khai triển Fourier các hàm số chẵn, lẻ 2 π Nếu f (x) là hàm số chẵn thì ak = f (x) cos kxdx, bk = 0, k N. π 0 ∀ ∈ 2 π Nếu f (x) là hàm số lẻ thì bk = f (x) sin kxdx, ak = 0, k N. π 0 R ∀ ∈ R Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sau f (x)= x, π < x <π. − Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier của các hàm số cosine, sine các hàm số 1, 0 x π 3 f (x)= π + x, 0 x π. 1 f x 2 ≤ ≤ ( )= π ≤ ≤ . (0, < x π 2 ≤ 2 f (x)= 1 x, 0 x π. 4 f (x)= x(π x), 0 < x <π. − ≤ ≤ − TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 51 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier tuần hoàn với chu kì bất kì Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2L, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ L, L] thì thực hiện phép đổi biến x = π x ta có − ′ L L f (x)= f x′ = F (x′) π sẽ tuần hoàn với chu kì 2π. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 52 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier tuần hoàn với chu kì bất kì Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2L, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ L, L] thì thực hiện phép đổi biến x = π x ta có − ′ L L f (x)= f x′ = F (x′) π sẽ tuần hoàn với chu kì 2π.Áp dụng khai triển Fourier cho hàm số F (x′) ta có a0 ∞ π π f (x)= + an cos n x + bn sin x ), 2 L L n X=0 ở đó 1 L 1 L π 1 L π a0 = f (x)dx, an = f (x) cos n xdx, bn = f (x) sin n xdx. L L L L L L L L Z− Z− Z− TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 52 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier tuần hoàn với chu kì bất kì Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2L, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ L, L] thì thực hiện phép đổi biến x = π x ta có − ′ L L f (x)= f x′ = F (x′) π sẽ tuần hoàn với chu kì 2π.Áp dụng khai triển Fourier cho hàm số F (x′) ta có a0 ∞ π π f (x)= + an cos n x + bn sin x ), 2 L L n X=0 ở đó 1 L 1 L π 1 L π a0 = f (x)dx, an = f (x) cos n xdx, bn = f (x) sin n xdx. L L L L L L L L Z− Z− Z− Ví dụ Khai triển Fourier f (x)= x2, 2 x 2 tuần hoàn với chu kì 2L = 4. − ≤ ≤ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 52 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier hàm số trên đoạn [a, b] bất kì Cho hàm số f (x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [a, b]. Khai triển f (x)thành chuỗi Fourier Xây dựng hàm số g(x) tuần hoàn với chu kì (b a) sao cho ≥ − g(x)= f (x) trên [a, b]. Khai triển hàm g(x) thành chuỗi Fourier thì tổng của chuỗi bằng f (x) tại x [a, b] (có thể trừ những điểm gián đoạn của f (x)). ∈ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 53 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier hàm số trên đoạn [a, b] bất kì Cho hàm số f (x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [a, b]. Khai triển f (x)thành chuỗi Fourier Xây dựng hàm số g(x) tuần hoàn với chu kì (b a) sao cho ≥ − g(x)= f (x) trên [a, b]. Khai triển hàm g(x) thành chuỗi Fourier thì tổng của chuỗi bằng f (x) tại x [a, b] (có thể trừ những điểm gián đoạn của f (x)). ∈ Vì hàm g(x) không duy nhất nên có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số f (x), nói riêng nếu g(x) chẵn thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm số cosine, nếu g(x) lẻ thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm số sine. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 53 / 53
Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier hàm số trên đoạn [a, b] bất kì Cho hàm số f (x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [a, b]. Khai triển f (x)thành chuỗi Fourier Xây dựng hàm số g(x) tuần hoàn với chu kì (b a) sao cho ≥ − g(x)= f (x) trên [a, b]. Khai triển hàm g(x) thành chuỗi Fourier thì tổng của chuỗi bằng f (x) tại x [a, b] (có thể trừ những điểm gián đoạn của f (x)). ∈ Vì hàm g(x) không duy nhất nên có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số f (x), nói riêng nếu g(x) chẵn thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm số cosine, nếu g(x) lẻ thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm số sine. Ví dụ Khai triển Fourier các hàm số sau a) f (x)= x , x < 1 | | | | b) f (x)= 2x, 0 < x < 1 c) f (x)= 10 x, 5 < x < 15. − TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 53 / 53