Bai giảng Giải tích 3 - Chương 1: Chuỗi

Nội dung text: Bai giảng Giải tích 3 - Chương 1: Chuỗi

1. Chương I. CHUỖI $1 Chuỗi số 1.Đại cương về chuỗi số 1.1 Các khái niệm 3푛+2 + Chuỗi số: σ+∞ 1 , ∈ 푅. VD σ+∞ 푛=1 푛 푛 푛=1 푛2+2 3푛 3푛+2 +Số hạng tổng quát = 푛 (푛2+2)3푛 푛 +Tổng riêng thứ 푛: 푆푛 = 1 + 2 + ⋯ + 푛=σ =1 +∞ + Phần dư thứ 푛: 푅푛 = 푛+1 + 푛+2 + ⋯ = σ =푛+1 +∞ + lim 푆푛 = 푆 ≠ ∞ thì (1) gọi là HT và : σ푛=1 푛 = 푆 푛→+∞ Nếu lim 푆푛 = ∞ hoặc ∄ 푆푛 thì (1) FK 푛→+∞
2. VD 1. 1 1 1 1 σ+∞ 1 ; = = − 푛=1 푛 푛+1 푛 푛(푛+1) 푛 푛+1 푆푛= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛 1 1 1 1 1 1 1 1 푆 = − + − + − +⋯ + − 푛 1 2 2 3 3 4 푛 푛+1 1 푆 = 1 − 푛 푛 + 1 +∞ 1 lim 푆푛=1→ σ푛=1 = 1 → 1 푛→+∞ 푛(푛+1)
3. VD 2 +∞ 푛 푛 σ푛=1 푞 (2) ( ≠ 0); 푛 = 푞 푛 푛 푆푛 = 1 + 2 + ⋯ + 푛= 푞 + 푞 + ⋯ + 푞 • 푞 = 1 → 푆푛 = 푛 → lim 푆푛 = ∞ → 2 퐹퐾 푛→+∞ − ℎ𝑖 푛 = 2 + 1 • 푞 = −1 → 푆 = ቊ → 푛 0 ℎ𝑖 푛 = 2 ∄lim 푆푛 → 2 퐹퐾 푛→+∞ 2 푛−1 • 푞 ≠ 1 → 푆푛 = 푞 1 + 푞 + 푞 + ⋯ + 푞 푞 푛 1 − 푞 lim 푆푛 = ℎ𝑖 푞 1 푛→+∞ +∞ 푛 KL: σ푛=1 푞 HT ↔ 푞 <1.
4. 1.2 Điều kiện cần của chuỗi HT +∞ Định lý: σ푛=1 푛 (1) HT→ lim 푛 = 0 푛→+∞ Chứng minh: 푛 = 푆푛 − 푆푛−1 → lim 푛 = lim 푆푛 − 푆푛−1 =푆 − 푆 = 0 푛→+∞ 푛→+∞ Ghi chú: Đây chỉ là điều kiện cần chứ không đủ. 1 VD. σ+∞ (1). 푛=1 푛 1 1 1 1 1 1 1 푆 − 푆 = + +⋯ + > + +⋯ + = 2푛 푛 푛+1 푛+2 푛+푛 푛+푛 푛+푛 푛+푛 2 lim 푆2푛 − 푆푛 ≠ 0 → 1 퐹퐾 푛→+∞ (1) gọi là chuỗi điều hòa
5. 1.3 Tính chất của chuỗi HT +∞ +∞ TC1: i) σ푛=1 푛 = 푆 → σ푛=1 푛 = a푆 +∞ +∞ ii) σ푛=1 푛 FK → σ푛=1 푛 FK với ≠ 0. +∞ +∞ +∞ TC2. σ푛=1 푛 = 푆 và σ푛=1 푣푛 = σ thì σ푛=1( 푛 ± 푣푛) = 푆 ± σ. TC3.Tính HT hay FK của một chuỗi không thay đổi khi ta thêm vào hay bớt đi một số hữu hạn số hạng.
6. 2.Chuỗi số dương 2.1 Đinh nghĩa +∞ σ푛=1 푛 (1) gọi là chuỗi số dương nếu 푛 > 0 ∀푛 2.2. Các tiêu chuẩn xét sự HT chuỗi số dương +∞ +∞ a) TC so sánh: σ푛=1 푛 (1) ;σ푛=1 푣푛(2) Tiêu chuẩn 1. i) Nếu 푣 ≤ 푣푛∀푛;(2)HT thì (1) HT ii) Nếu 푣 ≤ 푣푛∀푛;(1)FK thì (2) FK CM: 푆푛 = 1 + 2 + ⋯ + 푛; 휎푛 = 푣1 + 푣 + ⋯ + 푣푛 → 푆푛 , 휎푛 là 2 dãy tăng và 푆푛 ≤ 휎푛 ∀푛 i) (2) HT→ lim 휎푛 = 휎 → 푆푛 ≤ 휎푛 ≤ 휎 푛→+∞ → ∃ lim 푆푛 = 푆 ≤ 휎 → 1 푛→+∞ (1)FK→ lim 푆푛 = +∞ → lim 휎푛 = +∞ →(2) FK 푛→+∞ 푛→+∞
7. +∞ +∞ a) TC so sánh (tiếp) σ푛=1 푛 (1) ;σ푛=1 푣푛(2) Tiêu chuẩn 2. : 0 < < +∞ → 1 , 2 , 퐹퐾 lim 푛 =ቐ = 0; 2 → 1 푛→∞ 푣 푛 = +∞; 2 퐹퐾 → 1 퐹퐾 Ghi chú: Nếu 푛và 푣푛là 2 VCB cùng bậc thì +∞ +∞ σ푛=1 푛 (1) ;σ푛=1 푣푛(2) cùng HT hoặc cùng FK
8. 2.2. Các tiêu chuẩn xét sự HT chuỗi số dương (tiếp +∞ b) T/C D’Alembert: σ푛=1 푛 (1) 1 → 1 퐹퐾 푛→∞ 푣푛 = 1 ℎư 퐾퐿
9. 2.2. Các tiêu chuẩn xét sự HT chuỗi số dương (tiếp) +∞ c) Tiêu chuẩn Cauchy:σ푛=1 푛(1) 1 → 1 퐹퐾 푛→+∞ = 1 ℎư 퐾퐿 +∞ d) Tiêu chuẩn tích phân: σ푛=1 푛 (1) Nếu tồn tại thỏa mãn: i) xd, lt, giảm, dương trên ൣ푛표; +∞) ii) lim = 0 →+∞ +∞ Khi đó chuỗi (1) và tp ׬ cùng HT hoặc FK 푛0
10. 1 VD: σ+∞ 푛=1 푛푠 1 1 Khi 푠 ≤ 1 → 0 1 1 1 푠 1 Vậy σ+∞ HT ↔ 푠 > 1 (chuỗi Rieman) 푛=1 푛푠
11. 3. Chuỗi có dấu bất kỳ 3.1 Chuỗi đan dấu +∞ 푛−1 a) Định nghĩa:σ푛=1 −1 푛 (1) với 푛>0 ∀푛. −1 푛−1(2푛+4) VD:σ+∞ 푛=1 푛+2 3푛 b) Tiêu chuẩn Lebnitz: Nếu chuỗi đan dấu (1) thỏa mãn : i) 푛+1 ≤ 푛 ∀푛 ≥ 푛0 ∈ ii) lim 푛=0 푛→+∞ thì (1) HT
12. Chứng minh tiêu chuẩn Lebnitz 푆2푛 = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ − 2푛−2 + 2푛−1 − 2푛 = ( 1− 2) + ( 3 − 4) + ⋯ + ( 2푛−1 − 2푛) → 푆2푛 tăng. 푆2푛 = 1 − ( 2 + 3) − ⋯ − ( 2푛−2 + 2푛−1) − 2푛 → 푆2푛< 1 ∀푛 → ∃ lim 푆2푛=S. 푛→∞ Mặt khác lim 푆2푛−1 = lim 푆2푛 − 2푛 = 푆 − 0 = 푆 푛→+∞ 푛→+∞ Vậy lim 푆푛 = 푆 → 1 푛→+∞
13. Các VD 푛 1)σ+∞ (−1)푛 ; 푛=1 푛2+1 • Đan dấu 푛 • 푛 = giảm; lim 푛=0→ 푛2+1 푛→+∞ 표푠푛 2) σ+∞ 푛=1 푛 đ 푛 ấ 1 표푠푛 (−1)푛 𝑖ả 푛 = = → 푛 → 푛 푛 1 lim = 0 푛→+∞ 푛
14. 3.2 Chuỗi HT tuyệt đối, bán HT +∞ ĐN: Cho chuỗi σ 푛 (1) với 푛 ∈ 푅. Khi đó chuỗi +∞ 푛=1 σ푛=1 푛 (2) gọi là chuỗi trị tuyệt đối của (1) Định lý: (2) HT→ 1 . Khi đó (1) gọi là HT tuyệt đối Nếu (1) HT mà (2) FK thì (1) gọi là bán HT hay HT có ĐK. Chứng minh: Ta có − 푛 ≤ 푛 ≤ 푛 → 0 ≤ 푛 + 푛 ≤ 2 푛 . +∞ Đặt 0 ≤ 푣푛 = 푛+ 푛 ≤ 2 푛 → σ푛=1 푣푛 HT → 푛 = 푣푛 − 푛 HT.
15. Ghi chú: i) (2) FK thì (1) có thể vẫn HT. (−1)푛−1 1 VD: σ+∞ HT theo TC Lebnitz còn σ+∞ 퐹퐾 푛=1 푛 푛=1 푛 ii) Nếu (2) FK theo tiêu chuẩn D’Alembert hay theo tiêu chuẩn Cauchy thì (1) FK
16. 3.3 Một số TC của chuỗi HT tuyệt đối +∞ TC1. Nếu σ푛=1 푛 = 푆 (HT tuyệt đối) thì thay đổi thứ tự hay nhóm tùy ý một số số hạng lại cũng được chuỗi HT tuyệt đối và có tổng bằng 푆. Nếu HT có ĐK thì có thể thay đổi thứ tự các số hạng hoặc nhóm tùy ý một số số hạng được chuỗi mới HT có tổng khác 푆 hoặc FK. +∞ +∞ +∞ ĐN: σ푛=0 푛(1); σ푛=0 푣푛 2 → σ푛=0 푤푛 3 trong đó 푛 푤푛 = σ =0 푣푛− gọi là tích của (1) và (2). +∞ +∞ TC2. σ푛=1 푛 = 푆1(1) và σ푛=1 푣푛 = 푆2(2) HT tuyệt đối +∞ thì (3) HT tuyệt đối và σ푛=1 푤푛 = 푆1푆2
17. Một số Ví dụ I. Xét sự HT của các chuỗi sau: 푛2+3푛−1 푛+3 1.σ+∞ 2. σ+∞ 푛=1 푛3+2푛2+5 푛=1 푛2+3푛+2 1 1 1 푛 3.σ+∞ 푒 푛 − 1 4.σ+∞ 푡 푛 푛=1 푛 푛=1 푛 푛+2 ! 5. σ+∞ 6. σ+∞ 푠𝑖푛 + 푛 푛=1 푛!10푛 푛=1 푛 (−1)푛 7. σ+∞ ln 1 + 푛=2 푛 +∞ 푛 8.σ푛=1 푛 + (−1) − 푛
18. Lời giải 푛2+3푛−1 푛2+3푛−1 푛2 1 1.σ+∞ (1); = ≥ = 푛=1 푛3+2푛2+5 푛 푛3+2푛2+5 푛3+2푛3+5푛3 8푛 +∞ 1 ෍ 퐹퐾 → 1 퐹퐾 8푛 푛=1 푛+3 푛+3 푛+3푛 2 2. σ+∞ (2); = ≤= = 푛=1 푛2+3푛+2 푛 푛2+3푛+2 푛2 3 푛2 +∞ 2 ෍ 3 → 2 푛=1 푛2
19. Lời giải(tiếp) 1 1 푒 −1 +∞ 푛 3) σ푛=1 푒 − 1 (3). Ta có lim = 1 푛 →0 1 1 1 → 푒 −1~ khi → 0 → 푒 푛 − 1 ~ khi 푛 → +∞ 푛 3 푛2 +∞ 1 σ푛=1 3 HT→ 3 HT. 푛2 1 푛 4) σ+∞ 푡 푛 (4). 푛=1 푛 푛 1 푛 1 lim 푡 푛 = lim 푡 푛 = 0 푛→+∞ 푛 푛→+∞ 푛 → (4) HT.
20. Lời giải(tiếp) 푛+2 ! 5. σ+∞ (5). 푛=1 푛!10푛 푛 푛+1 푛+3 ! 푛!10 1 lim = lim 푛+1 = < 1 → 5 HT 푛→+∞ 푛 푛→+∞ (푛+1)!10 푛+2 ! 10 6. σ+∞ 푠𝑖푛 + 푛 (6) 푛=1 푛 = 푠𝑖푛 + 푛 = (−1)푛푠𝑖푛 푛 푛 푛 푛 đ 푛 ấ 푠𝑖푛 < 푠𝑖푛 푛+1 푛 → 6 HT. lim 푠𝑖푛 = 0 푛→+∞ 푛
21. Lời giải(tiếp) (−1)푛 7. σ+∞ ln 1 + (7) 푛=2 푛 1 Ta có ln 1 + = − 2 + 휃 2 (khi → 0) trong đó 2 휃 2 là VCB bậc cao hơn 2 đối với . (−1)푛 (−1)푛 1 1 1 1 → ln 1 + = − + 휃 trong đó 휃 là VCB bậc cao hơn 푛 푛 2푛 푛 푛 푛 (khi 푛 → +∞) +∞ (−1)푛 ෍ 푛 푛=1 +∞ 1 → ෍ 퐹퐾 → 7 퐹퐾 2푛 푛=1 + 1 ෍ 휃 푛 푛=1
22. Lời giải(tiếp) +∞ 푛 8.σ푛=1 푛 + (−1) − 푛 (8) 푛 + (−1)푛− 푛 푛 + (−1)푛+ 푛 푛 = 푛 + (−1)푛+ 푛 (−1)푛 = . Đây là chuỗi đan dấu. 푛+(−1)푛+ 푛 1 1 • 푣 = = 푣 > 푣 = 2 2 +1+ 2 2 +1 2 +2 2 +1+ 2 +2 1 • lim =0 푛→+∞ 푛+(−1)푛+ 푛 → (8) HT