Bai giảng Giải tích 3 - Chương 1: Chuỗi (Phần 2)

Nội dung text: Bai giảng Giải tích 3 - Chương 1: Chuỗi (Phần 2)

1. Chương I. CHUỖI $2 Chuỗi hàm 1.Đại cương về chuỗi hàm 1.1 Định nghĩa chuỗi hàm +∞ σ푛=1 푛 1 ; 푛( ) là hàm số ∀푛 xác định trên tập . Tổng riêng thứ n: 푆푛 = 1( ) + 2( ) + ⋯ + 푛 Phần dư thứ n: +∞ 푅푛 = 푛+1( ) + 푛+2( ) + ⋯ = σ =푛+1 ( ) sin 푛 (2푛+1) 푛 VD 1) σ+∞ 2)σ+∞ 푛=1 푛+ 2 푛=1 푛!3푛
2. 1.2 Miền HT của chuỗi hàm +∞ +∞ Thay = 0 ∈ vào σ푛=1 푛 (1) → σ푛=1 푛 0 (2) là chuỗi số. Nếu (2) HT thì 0 gọi là điểm HT của (1), nếu ko thì 0 gọi là điểm FK của (1). Tập hợp tất cả các điểm HT của (1) gọi là miền HT của (1). 1 VD: Tìm miền HT của σ+∞ 푛=1 1+ 푛 푛 푛+1( ) 1+ lim = lim 푛+1 = 퐿 푛→+∞ 푛( ) 푛→+∞ 1+ 1 • Nếu 1 → 퐿 = lim 1 = 1
3. 1.3 Tổng của chuỗi hàm. +∞ σ푛=1 푛 (1) hội tụ điểm trên ( lầ miền HT của (1)) và lim 푆푛 = ( ) ∀ ∈ 푛→+∞ ∀휀 > 0, ∃푛0 휀, : 푛 > 푛0, 푆푛 − < 휀 +∞ thì ( ) gọi là tổng của chuỗi hàm (1): σ푛=1 푛 = ( ) trên . 1 VD σ+∞ 푛 = ∀ < 1. 푛=0 1−
4. 2. Hội tụ đều 2.1 ĐN +∞ σ푛=1 푛 (1) HT đều tới trên nếu ∀휀 > 0 ∃푛0(휀) ∈ : 푛 > 푛0 thì 푆푛 − ( ) 0, ∀ ∈ ∃푛0: 푆푛+ − 푆푛 푛0;∀ ∈ . TC Weirstrass: Nếu 푛( ) ≤ 푛 ∀푛 ∈ ; ∀ ∈ và +∞ +∞ σ푛=1 푛 HT→ σ푛=1 푛 (1) HT đều trên .
5. VD 풔풊풏 풏풙 1) σ+∞ (1) HT đều trên 푅. 풏= 풏 +풙 sin nx 1 ( ) = ≤ ∀푛 ∈ ; ∀ ∈ 푅. 푛 n2 + x2 푛2 1 σ+∞ HT→ 1 đều trên 푅. 푛=1 푛2 1 2) σ+∞ (2) HT đều trên ; với > 1 . 푛=1 1+ 푛 Giải: 1 1 1 • > 1 → 1 < ≤ ≤ → = < < 푛 1+ 푛 푛 푛 1 σ+∞ HT → (2) HT đều 푛=1 푛
6. 2.3 Tính chất của chuỗi hàm HT đều Đ +∞ TC1. 푛( ) lt trên ; và σ푛=1 푛 ( ) trên ; → ( ) lt trên ; . Đ +∞ TC2. 푛( ) lt trên ; và σ푛=1 푛 ( ) trên σ+∞ ; → ׬ = ׬ 푛=1 푛( ) σ+∞ .푛=1 ׬ 푛 ; ≤ ≤ ≤ = TC3. Nếu 푛( ) khả vi liên tục trên ; ∀푛; Đ +∞ +∞ σ푛=1 푛( ) ( ) trên ; và σ푛=1 ′푛( ) ( ) trên ; thì ( ) khả vi trên ; và ′ +∞ +∞ ′ = σ푛=1 푛( ) ’= σ푛=1 푛 = ( )
7. VD 푠푖푛푛 푠푖푛푛 1 1) σ+∞ (1) → ( ) = ≤ ∀ ∈ 푅 푛=1 푛3 푛 푛3 푛3 1 • σ+∞ HT → 1 HTĐ trên 푅. 푛=1 푛3 ′ 표푠푛 ′ 1 • = ; ≤ ∀ ∈ 푅 푛 푛2 푛 푛2 1 ′ • σ+∞ HT→ σ+∞ HTĐ trên 푅. 푛=1 푛2 푛=1 푛 푠푖푛푛 푠푖푛푛 ′ 표푠푛 Vậy σ+∞ ′ = σ+∞ = σ+∞ trên 푅 푛=1 푛3 푛=1 푛3 푛=1 푛2
8. VD (tiếp) 푒−푛 2) Chứng minh = σ+∞ (1) liên tục trên 0, +∞ 푛=1 1+푛2 푒−푛 1 Giải: ( ) = ≤ ∀ ∈ 0, +∞ 푛 1+푛2 1+푛2 1 σ+∞ HT → 1 HTĐ trên 0, +∞ 푛=1 1+푛2 푒−푛 = liên tục trên 0, +∞ 푛 1+푛2 Vậy ( ) liên tục trên 0, +∞
9. $3. Chuỗi lũy thừa 1. Định nghĩa chuỗi lũy thừa. Định lý Abel +∞ 푛 2 푛 1.1 ĐN: σ푛=0 푛 = 0 + 1 + 2 + ⋯ + 푛 + ⋯ 2푛−2 3푛+2 VD: σ+∞ 푛 (1) σ+∞ 푛 (2). 푛=0 푛!5푛 푛=0 푛2+푛+1 Tổng quát: +∞ 푛 +∞ 푛 σ푛=0 푛 − 0 ; σ푛=1 푛 ( ) (푛+3)( −5)푛 4푛+2 2 −1 푛 σ+∞ ; σ+∞ 푛=0 2푛(푛3+2푛+4) 푛=0 5푛 푛+3 +3 +∞ 푛 Định lý Abel. Nếu σ푛=0 푛 (1) HT tại 0 thì (1) HT TĐ tại mọi thỏa mãn 0: 푛 0 <M ∀ 푛 ≥ 0.
10. CM (tiếp) 푛 푛 푛 푛 푛 푛 * 푛 = 푛 0 = 푛 0 ≤ 0 0 0 푛 +∞ +∞ 푛 1 +∞ 푛 CM: Nếu σ푛=0 푛 (1) HT tại = 2 với 2 > 1 +∞ 푛 Theo Định lý thì σ푛=0 푛 (1) HT tuyệt đối tại ∀ thỏa mãn < 2 → (1) HT tại 1 → trái gt. 푛+1 푛+1( ) 푛+1 • Ta có lim = lim 푛 푛→+∞ 푛( ) 푛→∞ 푛 1 = lim 푛+1 = 휌. = < 1 → < = 푅 푛→+∞ 푛 휌 푅 gọi là bán kính HT ൬휌 = lim 푛+1 hoặc 휌 = 푛→+∞ 푛 푛 lim 푛 )൰
11. Các VD Tìm miền HT 푛 푛 1)σ+∞ (1); 푛=1 푛+1 −1 푛 푛 2) σ+∞ (2) ; 푛=1 푛2푛 2푛( −3)푛 3) σ+∞ (3) 푛=1 푛+5 푛 푛 푛 Giải: 1) 푛= → lim 푛 → 푅 = 1 → ℎ표ả푛 (−1,1) 푛+1 푛→∞ 푛 푛 +∞ 푛 푛 1 • = 1 → σ푛=1 → lim 푛 = lim = ≠ 0 → 퐹퐾 푛+1 푛→+∞ 푛→+∞ 푛+1 푒 푛 +∞ 푛 푛 • = −1 → σ푛=1(−1) → lim 푛 ≠ 0 → 퐹퐾 푛+1 푛→+∞ Miền HT của (1): (−1,1)
12. Giải 푛 푛 푛 (−1) 푛+1 푛2 1 2) 푛( ) = 푛 → lim = lim 푛+1 = = 휌 → 푅 = 2 푛2 푛→∞ 푛 푛→+∞ (푛+1)2 2 khoả푛 (−2,2). −1 푛2푛 (−1)푛 퐿푒푖 푛푖푡 • = 2 → σ+∞ = σ+∞ 푛=1 푛2푛 푛=1 푛 −1 푛(−2)푛 1 • = −2 → σ+∞ = σ+∞ → 퐹퐾 푛=1 푛2푛 푛=1 푛 Miền HT (−2, 2ሿ 2푛( −3)푛 2푛+1 푛+5 1 3) 푛 = (3) → 휌 = lim = 2 → 푅 = 푛+5 푛→+∞ 푛+6 2푛 2 1 5 7 Vậy (3) HT khi − 3 < ↔ < < 2 2 2 푛 5 푛 5 2 ( −3) (−1)푛 퐿푒푖푛푖푡 • = → σ+∞ 2 = σ+∞ HT 2 푛=1 푛+5 푛=1 푛+5 푛 7 푛 7 2 ( −3) 1 • = → σ+∞ 2 = σ+∞ → FK 2 푛=1 푛+5 푛=1 푛+5 5 7 Vậy miền HT ቂ , ቁ 2 2
13. 2. Các tính chất của chuỗi lũy thừa Giả sử chuỗi lũy thừa có ban kinh HT là 푅. +∞ 푛 TC1: Chuỗi lũy thừa σ푛=0 푛 HT đều trên , : −푅 < < < 푅 +∞ 푛 TC2: σ푛=0 푛 = ( ) liên tục trên −푅, 푅 . TC3: Với mọi , nằm trong khoảng −푅, 푅 thì +∞ +∞ +∞ 푛+1 − 푛+1 න ෍ 푛 = ෍ න 푛 = ෍ 푛 푛 푛 푛 + 1 푛=0 푛=0 푛=0 TC4: Tại mọi ∈ −푅, 푅 ta có +∞ 푛 ′ +∞ 푛 ′ +∞ 푛−1 σ푛=0 푛 =σ푛=0 푛 = σ푛=1 푛 푛
14. Ứng dụng tính tổng của chuỗi 1 VD: Tính tổng σ+∞ = 푆 (1) 푛=1 푛2푛 푛 Giải: Đặt 푆 = σ+∞ 푛=1 푛 푛+1 푛+1( ) 푛 Ta có lim = lim 푛 = < 1 푛→+∞ 푛( ) 푛→∞ 푛+1 Khoảng HT −1,1 . (−1)푛 • = −1 → σ+∞ HT theo Leibnitz. 푛=0 푛 1 • = 1 → σ+∞ FK→Miền HT ሾ−1, 1) 푛=0 푛 ′ +∞ +∞ 푛 1 1 푆( ) ′ = ෍ = ෍ 푛−1 = → 푆 = න = −푙푛 1 − + 푛 1 − 1 − 푛=0 푛=1 1 S 0 = 0 → C = 0 → S x = −ln 1 − x → S = S = ln2. 2