Bai giảng Giải tích 3 - Chương 1: Chuỗi (Phần 3)

Nội dung text: Bai giảng Giải tích 3 - Chương 1: Chuỗi (Phần 3)

1. 2. Các tính chất của chuỗi lũy thừa +∞ 푛 Giả sử chuỗi lũy thừa σ푛=0 푛 có bán kinh HT là 푅. +∞ 푛 TC1: Chuỗi lũy thừa σ푛=0 푛 HT đều trên , : −푅 < < < 푅 +∞ 푛 TC2: σ푛=0 푛 = ( ) liên tục trên −푅, 푅 . TC3: Với mọi , nằm trong khoảng −푅, 푅 thì +∞ +∞ +∞ 푛+1 − 푛+1 න ෍ 푛 = ෍ න 푛 = ෍ 푛 푛 푛 푛 + 1 푛=0 푛=0 푛=0 TC4: Tại mọi ∈ −푅, 푅 ta có +∞ 푛 ′ +∞ 푛 ′ +∞ 푛−1 σ푛=0 푛 =σ푛=0 푛 = σ푛=1 푛 푛
2. 3. Ứng dụng tính tổng của chuỗi 1 VD: Tính tổng σ+∞ = 푆 (1) 푛=1 푛2푛 푛 Giải: Đặt f = σ+∞ 푛=1 푛 푛+1 푛+1( ) 푛 Ta có lim = lim 푛 = < 1 푛→+∞ 푛( ) 푛→∞ 푛+1 Khoảng HT −1,1 . (−1)푛 • = −1 → σ+∞ HT theo Leibnitz. 푛=0 푛 +∞ 1 • = 1 → σ푛=0 FK→ Miền HT ሾ−1, 1) 푛 ′ +∞ +∞ 푛 1 1 ( ) ′ = ෍ = ෍ 푛−1 = → = න = −푙푛 1 − + 푛 1 − 1 − 푛=0 푛=1 1 0 = 0 → C = 0 → x = −ln 1 − x → S = = ln2. 2
3. $4. Chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurent 1. Chuỗi Taylor 1.1. ĐN. i) Giả sử hàm có đạo hàm vô hạn lần trong lận cận 훿 > 0 của 0, ký hiệu là 푈훿( 0) =( 0 − 훿, 0 + 훿) khi đó chuỗi ′( ) ′′( ) 푛 ( ) 푛 ( ) + 0 − + 0 − 2 + ⋯ + 0 − 푛 + ⋯ = σ+∞ 0 − 푛 (1) 0 1! 0 2! 0 푛! 0 푛=0 푛! 0 Gọi là chuỗi Taylor của hàm ( ) lân cận 푈훿( 0)của 0 ii) Nếu (1) HT và có tổng đúng bằng thì hàm gọi là khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận 푈훿( 0)của 0. Ta biết ′( ) ′′( ) 푛 ( ) 푛+1 (휇) = + 0 − + 0 − 2 + ⋯ + 0 − 푛+ − 푛+1 0 1! 0 2! 0 푛! 0 (푛+1)! 0 trong đó 휇 là điểm nằm giữa 푣à 0. ′( ) ′′( ) 푛 Đặt 푃 = + 0 − + 0 − 2 + ⋯ + 0 − 푛 푛 0 1! 0 2! 0 푛! 0 푛+1 (휇) 푅 = − 푛+1 푛 (푛 + 1)! 0
4. 1.2 Điều kiện khai triển được thành chuỗi Taylor Định lý 1. Giả sử hàm số có đạo hàm vô hạn lần trong lân cận 푈훿( 0)của 0, khi đó hàm khai triển được thành chuỗi Taylor lân cận đó khi và chỉ khi lim 푅푛 = 0 푛→+∞ Định lý 2. Nếu trong lân cận 푈훿( 0)của 0 hàm có đạo hàm vô hạn lần và tồn tại > 0 sao cho 푛 ( ) 0 ta có 푛 = 푒 ∀푛 ∈ và 푛 = 푒 0 tùy ý nên = 푒 có thể khai triển thành chuỗi Taylor trên R. 2 푛 푛 0 = 1 ∀푛 → 푒 = 1 + + + ⋯ + + ⋯ 1! 2! 푛!
5. 3. Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp) 3.2 Hàm 풇 풙 = 풔풊풏풙; 푛 = 푠푖푛 + 푛 → 푛 ≤ 1 ∀푛 ≥ 0; ∀ ∈ 푅 2 ( ) có thể khai triển thành chuỗi Maclaurent 0 nếu 푛 = 2 푛 Ta có 푛 0 = 푠푖푛 = ቐ 2 1 nếu 푛 = 4 + 1 −1 nếu 푛 = 4 − 1 3 5 7 2푛−1 2푛−1 푠푖푛 = − + − + ⋯ + (−1)푛−1 +⋯ = σ+∞ (−1)푛−1 3! 5! 7! 2푛−1 ! 푛=1 2푛−1 ! 3.3 Hàm 풇 풙 = 풐풔풙; 푛 = 표푠 + 푛 → 푛 ≤ 1 ∀푛 ≥ 0; ∀ ∈ 푅 2 ( ) có thể khai triển thành chuỗi Maclaurent 0 nếu 푛 = 2 − 1 푛 Ta có 푛 0 = 표푠 = ቐ 2 1 nếu 푛 = 4 −1 nếu 푛 = 4 + 2 2 4 6 2푛 2푛 cos = 1 − + − + ⋯ + (−1)푛 +⋯ = σ+∞ (−1)푛 2! 4! 6! 2푛 ! 푛=0 2푛 !
6. 3. Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp) 3.4 Hàm số 풇 풙 = 퐥퐧 + 풙 1 1 푛−1 ! ′ = ; "( ) = − ; 푛 = (−1)푛−1 1+ (1+ )2 (1+ )푛 không thỏa mãn đk của Đinh lý 2. 1 1 = = 1 − + 2 − ⋯ + −1 푛 푛 + ⋯ = σ+∞ −1 푛 푛 với −1 < < 1 1+ 1−(− ) 푛=0 1 (−1)푛 푛+1 ( ) = ׬ 푡 = ׬ σ+∞ (−1)푛푡푛 푡 = σ+∞ (−1)푛׬ 푡푛 푡 = σ+∞ với −1 < < 1 0 1+푡 0 푛=0 푛=0 0 푛=0 푛+1 2 3 (−1)푛 푛+1 ln 1 + = − + − ⋯ + +⋯ với −1 < < 1 2 3 푛+1 3.5 Hàm số 풇 풙 = 풓 풕 풏풙 1 ′ = = 1 − 2 + 4 + ⋯ + −1 푛 2푛 + ⋯ = σ+∞ −1 푛 2푛 với −1 < < 1 1− − 2 푛=0 3 5 2푛+1 2푛+1 푡 푛 = − + − ⋯ + −1 푛 + ⋯ = σ+∞ −1 푛 với −1 < < 1 3 5 2푛+1 푛=0 2푛+1
7. 3. Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp) 3.6 Hàm số 풇 풙 = ( + 풙)휶, ′ = 훼(1 + )훼−1, ′′ = 훼 훼 − 1 1 + 훼−2, ⋯ 푛 = 훼 훼 − 1 (훼 − 푛 + 1)(1 + )훼−푛 Chuỗi Maclaurent của HT về : 훼 훼(훼 − 1) 훼 훼 − 1 훼 − 1 훼 − 푛 + 1 (1 + )훼= 1 + + 2 + ⋯ + 푛 + ⋯ với − 1 < < 1 1! 2! 푛! 1 VD: Khai triển hàm = thành chuỗi lũy thừa của + 5 3− 1 푛 푛 1 1 8 +∞ 1 +5 +∞ ( +5) +5 Giải: = = = +5 = σ푛=0 = σ푛=0 với < 1 3− 8−ሾ +5 ] 1− 8 8 8푛+1 8 8 −13 < < 3
8. $4. Chuỗi Fourier 1. Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier 1.1 Chuỗi lượng giác ĐN: 0 + σ+∞ 표푠 + 푠푖푛 gọi là chuỗi lượng giác 2 =1 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2 ĐN: i)Giả sử hàm xác định, khả tích trên đoạn − , , tuần hoafn chu kỳ 2 . Khi đó các hệ số 1 = න 표푠푛 푛 = 0,1,2, ⋯ 푛 − 1 = න 푠푖푛푛 푛 = 1,2, ⋯ 푛 − gọi là các hệ số Fourier của và chuỗi 0 + σ+∞ 표푠푛 + 푠푖푛푛 (1) 2 푛=1 푛 푛 gọi là chuỗi Fourier của . ii) Nếu chuỗi Fourier (1) của HT và có tổng bằng thì hàm số gọi là khai triển được thành chuỗi Fourier. Khi đó = 0 + σ+∞ 표푠푛 + 푠푖푛푛 2 푛=1 푛 푛
9. Chuỗi Fourier (tiếp) Nhận xét: Nếu là hàm chẵn thì 푛 = 0 ∀푛 = 1,2 . Khi đó chuỗi Fourier của hàm chỉ có các hàm số cosine: 0 + σ+∞ 표푠푛 (khai triển Fourier hàm chẵn) 2 푛=1 푛 Nếu là hàm lẻ thì 푛 = 0 ∀푛 = 0,1,2 Khi đó chuỗi Fourier của hàm chỉ có các +∞ hàm sin: σ푛=1 푛푠푖푛푛 (khai triển Fourier hàm lẻ) 2. Các Định lý Định lý 1(Dirichlet) : Nếu là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2 , ( ) và ′( ) liên tục từng khúc trên − , thì chuỗi Fourier của HT trên 푅 và có tổng nếu liên tục tại 푆 = ቐ − 0 + ( + 0) nếu gián đoạn loại I tại 2 Định lý 2. Nếu là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2 , ( ) liên tục và ′( ) liên tục từng khúc trên − , thì chuỗi Fourier của HT đều trên 푅 và có tổng đúng bằng .
10. VD. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ 2 xác định bởi = trên khoảng ሾ− , ). Giải: là hàm lẻ 푛 = 0 ∀푛 = 0,1,2 1 2 2 표푠푛 2 = න 푠푖푛푛 = න 푠푖푛푛 = − 표푠푛 ቮ + න = (−1)푛+1 , 푛 = 1,2 푛 푛 0 푛 푛 − − 0 +∞ +∞ 1 1 1 1 ෍ 푠푖푛푛 = 2 푠푖푛 − 푠푖푛2 + 푠푖푛3 − ⋯ + −1 푛+1 푠푖푛푛 + ⋯ = 2 ෍ −1 푛+1 푠푖푛푛 푛 2 3 푛 푛 푛=1 푛=1 +∞ khi ≠ (2 + 1) 1 2 ෍ −1 푛+1 푠푖푛푛 = ቐ 2 + 1 − 0 + 2 + 1 + 0 ∈ 푍 푛 = 0 khi = (2 +) 푛=1 2 − −0 + (− +0) Nhận xét: − = − ≠ 0 = 2
11. 3. Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2푙 ( ) tuần hoàn chu kỳ 2l khả tích trên −푙, 푙 . 푙 푙 Dùng phép đổi biến 푡 = → = 푡 . Đặt g t = 푡 → (푡) tuần hoàn chu kỳ 2 . 푙 푙 1 1 푙 1 = න 푡 푡 = න 푡 푡 = න 0 푙 − − −푙 푙 1 1 푙 1 푛 = න 푡 표푠푛푡 푡 = න 푡 표푠푛푡 푡 = න 표푠 , 푛 = 1,2, . 푛 푛 푙 푙 − − −푙 푙 1 1 푙 1 푛 = න 푡 푠푖푛푛푡 푡 = න 푡 푠푖푛푛푡 푡 = න 푠푖푛 , 푛 = 1,2, . 푛 푛 푙 푙 − − −푙
12. VD Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn 2푙 với 푙 = 1, biết rằng = 1 − 2 với − 1 ≤ ≤ 1. Giải: ( ) là hàm chẵn 푛= 0, 푛 = 1,2, . 1 1 4 = න 1 − 2 = 0 1 3 −1 1 1 1 1 푛 푠푖푛푛 1 푠푖푛푛 2 = න 1 − 2 표푠 = 1 − 2 ተ + 2 න = න 푠푖푛푛 푛 1 1 푛 −1 푛 푛 −1 −1 −1 1 2 표푠푛 1 표푠푛 −4 4 = − ඎ + න = 표푠푛 = (−)푛+1 푛 푛 −1 푛 푛2 2 푛2 2 −1 +∞ 2 4 표푠푛 = 1 − 2 = + ෍(−1)푛+1 ∀ ∈ 푅. 3 2 푛2 푛=1 2 4 표푠푛 2 4 1 1 2 Thay = 1 vào ta có 0 = − σ+∞ (−1)푛 = − σ+∞ → σ+∞ = . 3 2 푛=1 푛2 3 2 푛=1 푛2 푛=1 푛2 6