Bai giảng Giải tích 3 - Chương 2: Phương trình vi phân

Nội dung text: Bai giảng Giải tích 3 - Chương 2: Phương trình vi phân

1. Chương 2 Phương trình vi phân $ 1. Khái niệm mở đầu 1. ĐN PTVTP: Phương trình vi phân là phương trình có dạng: 퐹 , , ′, ′′, , 푛 = 0 (1) trong đó là biến độ lập, = là hàm phải tìm , ′, ", (푛) là đạo hàm các cấp của nó, F là hàm có n+2 biến. Dạng khác của PTVP: (푛) = ( , , ′, ", . . , (푛−1)). VD 1) (3) + 4 sin 2 . " + 6 = 0 2) " = 4푒 ′ − (3 + 1) ′ − 2 푠𝑖푛 2. Cấp của PTVP: Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của y(x) có mặt trong phương trinh VD: 1) " − 3 푒 ′ = 0 PTVP cấp 2 2) 3 − + (2푒 + 3) = 0 PTVP cấp 1 Ghi chú: ′ =
2. $1. Khái niệm mở đầu (tiếp) 3. Nghiệm PTVP: Nghiệm của PTVP (1) trên khoảng I là mọi hàm hàm số xác định trên I mà khi thay vào (1) ta được đồng nhất thức VD: 1) = 푒3 là một nghiệm của phương trình vi phân " − 5 ′ + 6 = 0 1 2 2) = + 푒− trong đó C là hằng số tùy ý là 2 nghiệm của PTVP ′ + 2 = trên R
3. $2. PTVP cấp I. 1. Đại cương về PTVP cấp 1 . 1.1 ĐN: 퐹 , , ′ = 0 (1) hay ′ = , (2) 1.2 Bài toán Cauchy (Bài toán giá trị ban đầu): Tìm nghiệm của phương trình (1) hoặc (2) thỏa mãn điều kiện ban đầu: ቤ = 0 hay 0 = 0 trong đó 0, 0 cho trước. = 0 VD. Tìm nghiệm PTVP ′ = 2 thỏa mãn 0 = 1 Giải = 2 → = 2 → ׬ = ׬ 2 → 푙푛 = 2 + Thay = 0, = 1 ta có 푙푛1 = 2.0 + → = 0 → Nghiệm thỏa mãn sơ kiện ban đầu : 푙푛 = 2 → = 푒2 → = 푒2
4. 1.3 Định lý:( về sự tồn tại duy nhất nghiệm) 휕 Cho PTVP ′ = , (1). Nếu , ; liên tục trong miền 휕 của mặt phẳng xOy chứa điểm 0, 0 thì trong lân cận điểm 0 phương trình (1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn sơ kiện ban đầu 0 = 0 1.4 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng. Nghiệm tổng quát của phương trình ′ = , (1) là hàm số = 휑( , ) trong đó là hằng số thỏa mãn 2 đk: i) Nó thỏa mãn (1) với mọi ii) Với mọi điểm 0, 0 tại đó ĐK của Định lý trên thỏa mãn thì tồn tại 0 để hàm số = 휑 , 0 thỏa mãn sơ kiện ban đầu 0 = 0. = 휑 , 0 là nghiệm riêng thỏa mãn sơ kiện ban đầu. Ghi chú: Nghiệm TQ: ɸ , , = 0 gọi là tích phân TQ Nghiệm riêng ɸ , , 0 = 0 gọi là tích phân riêng
5. 2. Các dạng PTVP cấp 1. 2.1 Phương trình khuyết ∶ Dạng 1: 퐹 , ′ = 0 (vắng y) Cách giải: i) ′ = → = ׬ ii) = ′ . Đặt t = y′ → = 푡 ; 푡 = ′ = = 푡 = 푡 ′ 푡 푡 → = න 푡 ′ 푡 푡 = (푡) Nghiệm൝ = ׬ 푡 ′(푡) đ푡
6. VD: 1) ′ = 푒 Nghiệm = ׬ 푒 = 푒 − + 2) = ′ + ′2 Đặt 푡 = ′ → = 푡 ; = 푡 + 푡2 → = 푡 + 2푡 푡 푡2 2 = 푡 1 + 2푡 푡 → න = න 푡 + 2푡2 푡 = + 푡3 + 2 3 = 푡 + 푡2 Nghiệm ቐ 푡2 2 = + 푡3 + 2 3 Dạng 2: 퐹 , ′ = 0 (vắng ) Cách giải: 1 1 i) ′ = → = → = → = ׬ + ( ) ii) = ′ . Đặt t = y′ → = 푡 → = ′ 푡 푡 ′(푡) ′(푡) 푡 = → = = 푡 → = න 푡 푡 푡 푡
7. VD:1) ′ = 2 + 4 1 1 = 2 + 4 → = → 푡 푛 + = 2 + 4 2 2 2) = ′ + ′3 Giải: 푡 = ′ → = 푡 + 푡3 → = 1 + 3푡2 푡 ; 1 1 + 3푡2 = 푡 → = = 푡 푡 푡 1 + 3푡2 3 = න 푡 = 푙푛 푡 + 푡2 + 푡 2 3 = 푙푛 푡 + 푡2 + Nghiệm ቐ 2 = 푡 + 푡3
8. 2.2 Phương trình biến số phân ly: = ( ) Cách giải: Tích phân 2 vế. 2−1 2−1 1 VD 1. ′ = → = → = 2−1 1 − 1 න = න → 푙푛 = 푙푛 + 푙푛 = 푙푛 2 − 1 2 + 1 − 1 1 + 2 2 = 2 2 → = + 1 1 − 2 2 2. ′ = 표푠2( − ) Đặt = − → = + → ′ = ′ + 1 → ′ + 1 = 표푠2 = 표푠2 − 1 = −푠𝑖푛2 → = −푠𝑖푛2 න = න → 표푡 = + → cot − = + −푠𝑖푛2
9. 2.3 Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) ′ = , = Cách giải: Đặt = → = → ′ = + ′ → pt biến số phân ly VD: 3 + 2 ′ = 3. 3 3 3 Giải: ′ = = . Đặt = → ′ = + ′ = 3 2 2 2 + 1+ 1+ 3 − − ′ = − = → = − 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 → = − 1 + 2 1 2 න = − න → 푙푛 + = −푙푛 + 푙푛 = 푙푛 2 2 2 2 → 푙푛 − 푙푛 = → 푙푛 = → = 푒2 2 2 2 2 2
10. 2.4 Phương trình tuyến tính ′ + = 푞( ) (1) Phương trình thuần nhất ′ + = 0 (2) Định lý: Nếu và 푞 liên tục trên , chứa điểm 0 thì pt (1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn 0 = 0 trong đó 0 là giá trị tùy ý. Cách giải. 1 • Bước 1. Giải (2): = − → = − 푙푛 = − න + 푙푛 → = 푒− ׬
11. Bước 2 (PP biến thiên hằng số Lagrange) = ( )푒− ׬ ( ′ = ′( )푒− ׬ + ( )푒− ׬ . (− ) thay vào (1 ′( )푒− ׬ = 푞 → ′ = 푞 푒׬ → → න 푞 푒׬ + 퐾 = = න 푞 푒׬ + 퐾 푒− ׬ →
12. 2 VD: ′ − 2 = 2 푒 (1) Giải: Cách 1 2 ′ − 2 = 0 → = 2 → 푙푛 − 푙푛 = 2 → = 푒 . 2 2 2 Đặt = 푒 → ′ = ′( )푒 + ( )푒 2 thay vào (1) 2 2 2 2 ′ 푒 + 푒 2 − 2 푒 = 2 푒 2 2 → ′( )푒 = 2 푒 2 → ′ = 2 → = 2 + 퐾 → = 2 + 퐾 푒 . Cách 2: Dùng trực tiếp công thức 2 = න 푞 푒׬ + 퐾 푒− ׬ = න 2 푒 푒׬ −2 + 퐾 푒׬ 2 2 2 . = ׬ 2 + 퐾 푒 = 2 + 퐾 푒
13. 2.5 Phương trình Bernoulli ′ + = 푞( ) 훼 훼 ∈ 푅 Cách giải: Nếu 훼 = 1 → ′ + − 푞( ) = 0 (PT thuần nhất) Nếu 훼 ≠ 1 → −훼 ′ + 1−훼 = 푞( ) (1). 1 Đặt = 1−훼 → ′ = 1 − 훼 −훼 ′ → −훼 ′ = ′ thay vào (1): 1−훼 1 ′ + = 푞 → ′ + 1 − 훼 = 1 − 훼 푞( ) (pttt) 1−훼 VD: ′ + = 3 3 (2) Giải: −3 ′ + −2 = 3 (2′). Đặt = −2 → ′ = −2 −3 ′ 1 2′ → − ′ + = 3 → ′ − 2 = −2 3 (3) 2 Nghiệm của (3): = 퐾 + ׬ −2 3 푒׬ −2 푒׬ 2 2 2 2 2 2 = 퐾 − 2 න 3푒− 푒 = 퐾 + 2푒 + 푒 푒− 2 2 = 2 + 1 + 퐾푒 → −2 = 2 + 1 + 퐾푒 là nghiệm của (2)
14. 2.6 PTVP toàn phần a) ĐN :푃 , + 푄 , = 0 thỏa mãn 푃′ = 푄′ Cách giải: Nghiệm của PTVP là ׬ 푃 , 0 + ׬ 푄 , = HOẶC 0 0 .׬ 푄 0, + ׬ 푃 , = trong đó 0, 0 tùy chọn 0 0 VD: + + 1 + − 2 + 3 = 0 Giải: 푃 , = + + 1 → 푃′ = 1 2 ′ 푄 , = − + 3 → 푄 = 1 Chọn 0 = 0 = 0. 2 Nghiệm ׬0 + 1 + ׬0 − + 3 = 2 3 + + − + 3 = 2 3 b) Nhân tử tích phân: Phương trình 푃 , + 푄 , = 0 không phải PTVP toàn phần. Nếu tồn tại hàm số ℎ( , ) sao cho ℎ , 푃 , + 푄 , = 0 là PTVP toàn phần
15. ℎ , 푃( , ) ′ = ℎ , 푄( , ) ′ thì ℎ( , ) gọi là nhân tử Cách tìm nhân tử ℎ , : 푃′ −푄′ 푃′ −푄′ ׬ TH1: Nếu chỉ phụ thuộc vào thi ℎ = 푒 푄 푄 푃′ −푄′ 푃′ −푄′ ׬ TH2: Nếu chỉ phụ thuộc vào thi ℎ = 푒 −푃 −푃 VD: Giải PTVP 3 − 2 + 2 − = 0 bằng cách tìm nhân tử thích hợp. ′ ′ 1 푃 −푄 1 ׬ 푃 = 3 − 2;푄 = 2 − → = → ℎ = 푒 = 푄 3 − 2 + 2 − = 0 là PTVP toàn phần 1 Chọn = = 0 → ׬ 3 − 2 = → 3 − 2 2 = 0 0 0 2