Bài giảng Giải tích II - Chương 1: Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học - Bùi Xuân Diệu

Nội dung text: Bài giảng Giải tích II - Chương 1: Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học - Bùi Xuân Diệu

1. Giải tích II TS. Bùi Xuân Diệu Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 1/22
2. Chương 1: Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 1 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hàm véctơ Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Độ cong của đường cong Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số 2 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Phương trình tiếp diện của mặt cong. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 2/22
3. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Chương 1: Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 1 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hàm véctơ Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Độ cong của đường cong Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số 2 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Phương trình tiếp diện của mặt cong. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 3/22
4. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hàm véctơ Hàm véctơ Giả sử I là một khoảng trong R. Một hàm số "thông thường" f : I → R. Định nghĩa Ánh xạ I → Rn, t 7→ ~r (t) ∈ Rn được gọi là một hàm véctơ. Nếu n = 2, ta viết ~r(t)= x(t)~i + y(t)~j. Nếu n = 3, ta viết ~r(t)= x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 4/22
5. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hàm véctơ Hàm véctơ Giả sử I là một khoảng trong R. Một hàm số "thông thường" f : I → R. Định nghĩa Ánh xạ I → Rn, t 7→ ~r (t) ∈ Rn được gọi là một hàm véctơ. Nếu n = 2, ta viết ~r(t)= x(t)~i + y(t)~j. Nếu n = 3, ta viết ~r(t)= x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k. Giới hạn - Liên tục Giới hạn: Ta nói hàm véctơ có giới hạn là ~a khi t → t0 nếu lim |~r (t) − ~a| = 0, kí hiệu lim ~r (t)= ~a. t t t t → 0 → 0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 4/22
6. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hàm véctơ Hàm véctơ Giả sử I là một khoảng trong R. Một hàm số "thông thường" f : I → R. Định nghĩa Ánh xạ I → Rn, t 7→ ~r (t) ∈ Rn được gọi là một hàm véctơ. Nếu n = 2, ta viết ~r(t)= x(t)~i + y(t)~j. Nếu n = 3, ta viết ~r(t)= x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k. Giới hạn - Liên tục Giới hạn: Ta nói hàm véctơ có giới hạn là ~a khi t → t0 nếu lim |~r (t) − ~a| = 0, kí hiệu lim ~r (t)= ~a. t t t t → 0 → 0 2 chiều: lim ~r(t)= lim x(t)~i + lim y(t)~j. t t t t t t → 0 → 0 → 0 3 chiều: lim ~r(t)= lim x(t)~i + lim y(t)~j + lim z(t)~k. t t t t t t t t → 0 → 0 → 0 → 0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 4/22
7. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hàm véctơ Hàm véctơ Giả sử I là một khoảng trong R. Một hàm số "thông thường" f : I → R. Định nghĩa Ánh xạ I → Rn, t 7→ ~r (t) ∈ Rn được gọi là một hàm véctơ. Nếu n = 2, ta viết ~r(t)= x(t)~i + y(t)~j. Nếu n = 3, ta viết ~r(t)= x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k. Giới hạn - Liên tục Giới hạn: Ta nói hàm véctơ có giới hạn là ~a khi t → t0 nếu lim |~r (t) − ~a| = 0, kí hiệu lim ~r (t)= ~a. t t t t → 0 → 0 2 chiều: lim ~r(t)= lim x(t)~i + lim y(t)~j. t t t t t t → 0 → 0 → 0 3 chiều: lim ~r(t)= lim x(t)~i + lim y(t)~j + lim z(t)~k. t t t t t t t t → 0 → 0 → 0 → 0 Liên tục: ~r (t) liên tục tại t0 nếu lim ~r (t)= ~r (t0). t t → 0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 4/22
8. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hàm véctơ Đạo hàm của hàm véctơ Định nghĩa ~ ~r(t + h) − ~r(t) r ′(t)= lim . h 0 h → Khi đó ta nói hàm véctơ ~r (t) khả vi tại t0. Đạo hàm của hàm véctơ 1 2 chiều: ~ ~ ~r ′ (t0)= x′(t)i + y ′(t)j. 2 3 chiều: ~ ~ ~ ~r ′ (t0)= x′(t)i + y ′(t)j + z′(t)k. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 5/22
9. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Đường cong trong mặt phẳng Mỗi hàm vectơ ~r(t) ứng với phương trình tham số của một đường cong. x = x(t), 1 2 chiều: Đường cong tương ứng (y = y(t) x = x(t), 2 3 chiều: Đường cong tương ứng y = y(t), z = z(t).  TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 6/22
10. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Đường cong trong mặt phẳng Mỗi hàm vectơ ~r(t) ứng với phương trình tham số của một đường cong. x = x(t), 1 2 chiều: Đường cong tương ứng (y = y(t) x = x(t), 2 3 chiều: Đường cong tương ứng y = y(t), z = z(t).  Trường hợp 2 chiều x = x (t) Cho đường cong (y = y (t) . Điểm M (x (t0) , y (t0)) được gọi là điểm chính quy nếu ∃x′ (t0) , y ′ (t0) không đồng thời bằng 0. Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 6/22
11. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Cho hàm vectơ ~r(t) khả vi và điểm M chính quy. Định nghĩa ~ 1 Vectơ r ′(t) được gọi là vectơ tiếp tuyến của đường cong ~r = ~r(t) tại điểm M. r~′(t) 2 ~ Vectơ tiếp tuyến đơn vị T (t)= ~r(t) . | | TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 7/22
12. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Cho hàm vectơ ~r(t) khả vi và điểm M chính quy. Định nghĩa ~ 1 Vectơ r ′(t) được gọi là vectơ tiếp tuyến của đường cong ~r = ~r(t) tại điểm M. r~′(t) 2 ~ Vectơ tiếp tuyến đơn vị T (t)= ~r(t) . | | Phương trình tiếp tuyến của đường cong x x(t0) y y(t0) 1 Tiếp tuyến (d): −′ = −′ . x (t0) y (t0) 2 Pháp tuyến (d′): x′ (t0) . [x − x (t0)] + y ′ (t0) . [y − y (t0)] = 0. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 7/22
13. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Đường cong cho dưới dạng hàm ẩn f (x, y)= 0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 8/22
14. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Đường cong cho dưới dạng hàm ẩn f (x, y)= 0 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong f (x, y)= 0 Cho M là một điểm chính quy. ′ ′ 1 Tiếp tuyến (d): fx (M) . (x − x0)+ fy (M) . (y − y0)= 0. x x0 y y0 2 Pháp tuyến (P): ′− = ′− . fx (M) fy (M) TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 8/22
15. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Đường cong cho dưới dạng hàm ẩn f (x, y)= 0 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong f (x, y)= 0 Cho M là một điểm chính quy. ′ ′ 1 Tiếp tuyến (d): fx (M) . (x − x0)+ fy (M) . (y − y0)= 0. x x0 y y0 2 Pháp tuyến (P): ′− = ′− . fx (M) fy (M) Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong: 1 y = x3 + 2x2 − 4x − 3 tại (−2, 5). 1 x2 2 y = e − tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 . 1+t x = 3 3 t A , 3 1 tại (2 2). (y = 2t3 + 2t 2 2 2 4 x 3 + y 3 = a 3 tại M(8, 1). TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 8/22
16. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Tích phân của hàm vectơ Tích phân của hàm vectơ b b b 1 2 chiều ~r(t)dt = x(t)dt ~i + y(t)dt ~j. a a ! a ! Rb Rb Rb b 2 3 chiều ~r(t)dt = x(t)dt ~i + y(t)dt ~j + z(t)dt ~k. a a ! a ! a ! R R R R TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 9/22
17. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Tích phân của hàm vectơ Tích phân của hàm vectơ b b b 1 2 chiều ~r(t)dt = x(t)dt ~i + y(t)dt ~j. a a ! a ! Rb Rb Rb b 2 3 chiều ~r(t)dt = x(t)dt ~i + y(t)dt ~j + z(t)dt ~k. a a ! a ! a ! R R R R Độ dài đường cong b b 2 2 ~ 1 2 chiều: L = x′(t) + y ′(t) dt = |r ′(t)|dt. a a Rbp R b 2 2 2 ~ 2 3 chiều: L = x′(t) + y ′(t) + z′(t) dt = |r ′(t)|dt. a a Rp R TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 9/22
18. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong Hàm độ dài t ~ ~ s(t)= |r ′(τ)|dτ (Chú ý: s′(t)= |r ′(t)|). Za TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 10/22
19. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong Hàm độ dài t ~ ~ s(t)= |r ′(τ)|dτ (Chú ý: s′(t)= |r ′(t)|). Za ~′ Cho T~ (t)= r (t) là vectơ tiếp tuyến đơn vị. Độ cong của đường cong C r~′(t) | | tại một điểm là một đại lượng đo tốc độ biến thiên của vectơ tiếp tuyến đơn vị tại điểm đó. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 10/22
20. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong Hàm độ dài t ~ ~ s(t)= |r ′(τ)|dτ (Chú ý: s′(t)= |r ′(t)|). Za ~′ Cho T~ (t)= r (t) là vectơ tiếp tuyến đơn vị. Độ cong của đường cong C r~′(t) | | tại một điểm là một đại lượng đo tốc độ biến thiên của vectơ tiếp tuyến đơn vị tại điểm đó. Định nghĩa Độ cong của đường cong là dT~ K = , ds ở đó T~ là vectơ tiếp tuyến đơn vị vàs là hàm độ dài. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 10/22
21. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong Định lý |T~ (t)| K = ′ ~ |r ′(t)| TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 11/22
22. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong Định lý |T~ (t)| |r~ (t) × r~ (t)| K = ′ = ′ ′′ . ~ ~ 3 |r ′(t)| |r ′(t)| TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 11/22
23. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong Định lý |T~ (t)| |r~ (t) × r~ (t)| K = ′ = ′ ′′ . ~ ~ 3 |r ′(t)| |r ′(t)| Độ cong của đường cong phẳng y ′′ Đường cong cho bởi phương trình y = f (x) ⇒ K = | | (1+y ′2)3/2 x = x (t) Đường cong cho bởi phương trình tham số (y = y (t) x′ y ′ x′′ y ′′ ⇒ K = 2 2 3/2 (x′ + y ′ ) ♥ TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I HUST 11/22
24. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong phẳng y ′′ y = f (x) ⇒ K = | | (1+y ′2)3/2 x′ y ′ x = x (t) x′′ y ′′ ⇒ K = ′2 ′2 3/2 (y = y (t) (x +y ) Ví dụ Tính độ cong của: 1 3 1 y = −x tại điểm có hoành độ x = 2 . x = a (t − sin t) 2 (a > 0) tại điểm bất kì. y = a (t − cos t)  2 2 2 3 x 3 + y 3 = a 3 tại điểm bất kì (a > 0). TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 12/22
25. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Độ cong của đường cong Độ cong của đường cong trong không gian x = x(t) Cho đường cong y = y(t) và M(x0, y0, z0) là một điểm chính quy. z = z(t)  y z 2 z x 2 x y 2 ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ s y ′′ z′′ z′′ x′′ x′′ y ′′ K . = 3 (x 2 + y 2 + z 2) 2 ′ ′ ′ Ví dụ (Cuối kì K62) Tính độ cong của đường xoắc ốc cho bởi phương trình π x = cos t, y = sin t, z = t tại điểm ứng với t = 2 . TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 13/22
26. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số Hình bao của họ đường cong phụ thuôc tham số Định nghĩa Cho họ đường cong (L): F (x, y, c)= 0 phụ thuộc vào một tham số. Nếu mỗi đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E và, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L) tiếp xúc với (E) thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L). TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 14/22
27. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số Hình bao của họ đường cong phụ thuôc tham số Định nghĩa Cho họ đường cong (L): F (x, y, c)= 0 phụ thuộc vào một tham số. Nếu mỗi đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E và, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L) tiếp xúc với (E) thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L). Định lý (Quy tắc tìm hình bao) Nếu họ đường cong F (x, y, c)= 0 không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách khử c từ hệ phương trình F (x, y, c)= 0 ′ (1) (Fc (x, y, c)= 0. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 14/22
28. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số Hình bao của họ đường cong phụ thuôc tham số Chú ý Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1) bao gồm hình bao (E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho. Ví dụ Tìm hình bao của họ đường cong sau: x 2 a. y = c + c b. cx2 + c2y = 1 c. y = c2 (x − c)2 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 15/22
29. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Chương 1: Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 1 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng Hàm véctơ Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Độ cong của đường cong Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số 2 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Phương trình tiếp diện của mặt cong. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 16/22
30. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Cho hàm vectơ ~r(t) khả vi và điểm M chính quy. Định nghĩa ~ 1 Vectơ r ′(t) được gọi là vectơ tiếp tuyến của đường cong ~r = ~r(t) tại điểm M. r~′(t) 2 ~ Vectơ tiếp tuyến đơn vị T (t)= ~r(t) . | | TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 17/22
31. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Cho hàm vectơ ~r(t) khả vi và điểm M chính quy. Định nghĩa ~ 1 Vectơ r ′(t) được gọi là vectơ tiếp tuyến của đường cong ~r = ~r(t) tại điểm M. r~′(t) 2 ~ Vectơ tiếp tuyến đơn vị T (t)= ~r(t) . | | Phương trình tiếp tuyến tại M x x(t0) y y(t0) z z(t0) (d): −′ = −′ = −′ . x (t0) y (t0) z (t0) Phương trình pháp diện tại M (P): x′ (t0) . [x − x (t0)] + y ′ (t0) . [y − y (t0)] + z′ (t0) . [z − z (t0)] = 0. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 17/22
32. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: x = a sin2 t π a. y = b sin t cos t tại điểm ứng với t = 4 , (a, b, c > 0).  2  z = c cos t t x = e sin t  √2 b. y = 1 tại điểm ứng với t = 2.  t  z = e cos t  √2  TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 18/22
33. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp diện của mặt cong. Phương trình tiếp diện của mặt cong Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z)= 0 và M(x0, y0, z0) là một điểm chính quy của S. Mặt cong cho bởi phương trình z = z (x, y) TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 19/22
34. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp diện của mặt cong. Phương trình tiếp diện của mặt cong Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z)= 0 và M(x0, y0, z0) là một điểm chính quy của S. Mặt cong cho bởi phương trình z = z (x, y) (P): z − z0 = zx′ (M) . (x − x0)+ zy′ (M) . (y − y0) . Mặt cong cho bởi phương trình f (x, y, z)= 0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 19/22
35. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp diện của mặt cong. Phương trình tiếp diện của mặt cong Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z)= 0 và M(x0, y0, z0) là một điểm chính quy của S. Mặt cong cho bởi phương trình z = z (x, y) (P): z − z0 = zx′ (M) . (x − x0)+ zy′ (M) . (y − y0) . Mặt cong cho bởi phương trình f (x, y, z)= 0 (P): fx′ (M) . (x − x0)+ fy′ (M) . (y − y0)+ fz′ (M) . (z − z0)= 0. Phương trình pháp tuyến của mặt cong f (x, y, z)= 0 x − x y − y z − z (d): 0 = 0 = 0 . fx′ (M) fy′ (M) fz′ (M) TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 19/22
36. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp diện của mặt cong. Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong Ví dụ Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong: a) x2 − 4y 2 + 2z2 = 6 tại điểm (2, 2, 3). b) z = 2x2 + 4y 2 tại điểm (2, 1, 12). c) z = ln (2x + y) tại điểm (−1, 3, 0) TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 20/22
37. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp diện của mặt cong. Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong f (x, y, z)= 0 Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong (g (x, y, z)= 0. Đặt n~f = fx′ (M) , fy′ (M) , fz′ (M) n~ = g (M) , g (M) , g (M) . g x′ y′ z′
    
    TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 21/22
38. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp diện của mặt cong. Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong f (x, y, z)= 0 Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong (g (x, y, z)= 0. Đặt n~f = fx′ (M) , fy′ (M) , fz′ (M) n~ = g (M) , g (M) , g (M) . g x′ y′ z′
    Véctơ chỉ phương của tiếp tuyến
    Khi đó n~f × n~g =(A, B, C) là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến tại M. Phương trình tiếp tuyến x − x y − y z − z 0 = 0 = 0 A B C Phương trình pháp diện A(x − x0)+ B(y − y0)+ C(z − z0)= 0. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 21/22
39. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian Phương trình tiếp diện của mặt cong. Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong Ví dụ Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: x2 + y 2 = 10 a. tại điểm A (1, 3, 4) y 2 + z2 = 25  2x2 + 3y 2 + z2 = 47 b. tại điểm B (−2, 6, 1) x2 + 2y 2 = z  TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích II I ♥ HUST 22/22