›
›

Bài giảng Giải tích II - Chương 2: Phân tích bội - Bùi Xuân Diệu

pdf 111 trang haiha333 08/01/2022 3720
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích II - Chương 2: Phân tích bội - Bùi Xuân Diệu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_ii_chuong_2_phan_tich_boi_bui_xuan_dieu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích II - Chương 2: Phân tích bội - Bùi Xuân Diệu

  1. Tích phân bội TS. Bùi Xuân Diệu Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 1/89
  2. Chương 2: Tích phân bội 1 Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Ứng dụng của tích phân kép 2 Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi biến số trong tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội ba TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 2/89
  3. Tích phân kép Chương 2: Tích phân bội 1 Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Ứng dụng của tích phân kép 2 Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi biến số trong tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội ba TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 3/89
  4. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép Bài toán tính diện tích hình phẳng - Tích phân xác định b n f (x)dx = lim f (x∗)∆x. n i a →∞ i Z X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 4/89
  5. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép Bài toán tính diện tích hình phẳng - Tích phân xác định b a Chia [a, b] thành n khoảng bằng nhau [xi 1, xi ] với ∆x = − − n Chọn xi∗ [xi 1, xi ], − ∈ n Thành lập tổng Riemann f (xi∗)∆x i=1 b P n Lấy giới hạn A = f (x)dx = lim f (x∗)∆x n i a →∞ i=1 TS. Bùi Xuân Diệu R Tích phân bộiP I ♥ HUST 5/89
  6. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép Bài toán tính thể tích vật thể - Tích phân kép m n f (x, y)dxdy = lim f (x∗, y ∗)∆x∆y. m,n ij ij R →∞ i j ZZ X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 6/89
  7. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tính thể tích và tích phân kép 1 Chia [a, b] thành m khoảng và chia [c, d] thành n khoảng bằng nhau. 2 Chọn (xij∗, yij∗) Rij =[xi 1, xi ] [yj 1, yj ]. ∈ − × − 3 Tổng Riemann m n m n V = Rij f (x∗, y ∗)∆x∆y. ≈ ij ij i j i j X=1 X=1 X=1 X=1 m n 4 f (x, y)dxdy = lim f (x∗, y ∗)∆x∆y. m,n ij ij R →∞ i=1 j=1 RRTS. Bùi Xuân Diệu P TíchP phân bội I ♥ HUST 7/89
  8. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính TP kép trên miền hình chữ nhật Nguyên tắc chung: Đưa về tính các tích phân lặp. Fubini b d d b f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy.     ZZD Za Zc Zc Za     y d D c O a b x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 8/89
  9. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép Ví dụ R2 π π x sin (x + y) dxdy, D = (x, y) : 0 y 2 , 0 x 2 . D ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ RR  TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 9/89
  10. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép Ví dụ R2 π π x sin (x + y) dxdy, D = (x, y) : 0 y 2 , 0 x 2 . D ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ RR  Tính chất cộng tính Nếu D = D D , ở đó D và D không chồng lên nhau thì 1 ∪ 2 1 2 f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy. ZZD ZZD1 ZZD2 y D1 D2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 9/89 O x
  11. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép trên miền bị chặn bất kì f (x, y), nếu (x, y) D, F (x, y)= ∈ (0, nếu (x, y) R D. ∈ \ và f (x, y)dxdy = F (x, y)dxdy. ZZD ZZR TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 10/89
  12. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính TP kép trên miền (D): a x b, g (x) y g (x) ≤ ≤ 1 ≤ ≤ 2 D = (x, y) a x b, g1(x) y g2(x) . { | ≤y ≤ ≤ ≤ } R =[a, b] [c, d] d × y = g2(x) D y = g1(x) c O a b x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 11/89
  13. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính TP kép trên miền (D): a x b, g (x) y g (x) ≤ ≤ 1 ≤ ≤ 2 D = (x, y) a x b, g1(x) y g2(x) . { | ≤y ≤ ≤ ≤ } R =[a, b] [c, d] d × y = g2(x) D y = g1(x) c O a b x f (x, y)dxdy = F (x, y)dxdy ZZD ZZR
  14. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính TP kép trên miền (D): a x b, g (x) y g (x) ≤ ≤ 1 ≤ ≤ 2 D = (x, y) a x b, g1(x) y g2(x) . { | ≤y ≤ ≤ ≤ } R =[a, b] [c, d] d × y = g2(x) D y = g1(x) c O a b x f (x, y)dxdy = F (x, y)dxdy ZZD ZZR
  15. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính TP kép trên miền (D): a x b, g (x) y g (x) ≤ ≤ 1 ≤ ≤ 2 D = (x, y) a x b, g1(x) y g2(x) . { | ≤y ≤ ≤ ≤ } R =[a, b] [c, d] d × y = g2(x) D y = g1(x) c O a b x f (x, y)dxdy = F (x, y)dxdy ZZD ZZR b d b g2(x) = dx F (x, y)dy = dx f (x, y)dy. Za Zc Za Zg1(x) TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 11/89
  16. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes Tích phân kép trên miền (D): a x b, g (x) y g (x) ≤ ≤ 1 ≤ ≤ 2 b g2(x) f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy. ZZD Za g1Z(x) y y y d d d D D D c c c O a b x O a b x O a b x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 12/89
  17. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes Tích phân kép trên miền (D): c y d,ϕ (y) x ψ (y) ≤ ≤ ≤ ≤ d ψ(y) f (x, y) dxdy = dy f (x, y) dx ZZD Zc ϕZ(y) y x = ψ(y) x = ϕ(y) d D c O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 13/89
  18. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes Ví dụ Tính x2 (y x) dxdy với D giới hạn bởi y = x2 và x = y 2. D − RR y y = x2 x = y 2 1 O 1 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 14/89
  19. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép Các tính chất Tính chất tuyến tính: [f (x, y)+ g (x, y)] dxdy = f (x, y) dxdy + g (x, y) dxdy ZZD ZZD ZZD αf (x, y)= α f (x, y) . ZZD ZZD Tính chất cộng tính: Nếu D = D D và D và D không giao 1 ∪ 2 1 2 nhau, ngoại trừ phần biên chung, thì f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy ZZD ZZD1 ZZD2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 15/89
  20. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi thứ tự lấy tích phân Ví dụ 2 Tính I = xey dxdy, ở đó D = (x, y): 0 x 1, x2 y 1 . D { ≤ ≤ ≤ ≤ } RR y y = x2 1 O 1 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 16/89
  21. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi thứ tự lấy tích phân Ví dụ 1 1 x2 Đổi thứ tự lấy tích phân dx − f (x, y) dy. 1 √1 x2 −R − R− y 1 D1 O 1 x D2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 17/89
  22. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi thứ tự lấy tích phân Ví dụ 1+√1 y 2 1 − Đổi thứ tự lấy tích phân dy f (x, y) dx. 0 2 y R −R y 2 1 O 1 2 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 18/89
  23. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi thứ tự lấy tích phân Ví dụ 2 √2x Đổi thứ tự lấy tích phân dx f (x, y) dx. 0 √2x x2 R R− y 2 1 x O 1 2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 19/89
  24. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi thứ tự lấy tích phân Ví dụ √ y √4 y 2 2 2 − Đổi thứ tự lấy tích phân dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx. 0 0 √2 0 R R R R y √2 x O √2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 20/89
  25. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép có chứa giá trị tuyệt đối Tính f (x, y) dxdy. Nguyên tắc chung: Phá dấu giá trị tuyệt đối. D | | ĐườngRR cong f (x, y)= 0 sẽ chia miền D thành hai miền, + D = D f (x, y) 0 , D− = D f (x, y) 0 . ∩ { ≥ } ∩ { ≤ } f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy (1) | | − ZZD ZZD+ DZZ− TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 21/89
  26. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép có chứa giá trị tuyệt đối Tính f (x, y) dxdy. Nguyên tắc chung: Phá dấu giá trị tuyệt đối. D | | ĐườngRR cong f (x, y)= 0 sẽ chia miền D thành hai miền, + D = D f (x, y) 0 , D− = D f (x, y) 0 . ∩ { ≥ } ∩ { ≤ } f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy (1) | | − ZZD ZZD+ DZZ− Các bước thực hiện 1 Vẽ đường cong f (x, y)= 0 để phân chia miền D. + 2 Để xác định xem miền nào là D , miền nào là D−, ta chỉ cần xét một điểm (x0, y0) bất kì và xét dấu f (x0, y0). 3 Sử dụng công thức (1) để tính tích phân. TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 21/89
  27. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép có chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ Tính x + y dxdy, D : (x, y) R2 x 1 , y 1 . D | | ∈ || ≤ | | |≤ RR  y 1 D+ x O 1 D − TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 22/89
  28. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép có chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ Tính y x2 dxdy, D : (x, y) R2 x 1, 0 y 1 . D | − | ∈ || |≤ ≤ ≤ RR p  y 1 D+ D − O 1 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 23/89
  29. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép trên miền đối xứng Định lý Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và f (x, y) là hàm lẻ đối với y (tương ứng đối với x) thì f (x, y) dxdy = 0. ZZD TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 24/89
  30. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép trên miền đối xứng Định lý Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và f (x, y) là hàm lẻ đối với y (tương ứng đối với x) thì f (x, y) dxdy = 0. ZZD Định lý Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và f (x, y) là hàm chẵn đối với y (tương ứng đối với x) thì f (x, y) dxdy = 2 f (x, y) dxdy. ZZD ZZD+ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 24/89
  31. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép trên miền đối xứng Định lý Nếu miền D là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ O và hàm f (x, y) thoả mãn f ( x, y)= f (x, y) thì f (x, y) dxdy = 0. − − − D RR TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 25/89
  32. Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép trên miền đối xứng Định lý Nếu miền D là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ O và hàm f (x, y) thoả mãn f ( x, y)= f (x, y) thì f (x, y) dxdy = 0. − − − D RR Ví dụ Tính x + y dxdy. x + y 1 | | | | | | | |≤ RR y 1 O 1 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 25/89
  33. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Tích phân kép trong tọa độ cực r = −−→OM Tọa độ cực của điểm M là bộ số (r,θ), ở đó  \ θ = −−→OM,Ox . y  y M r = −−→OM | | θ O x x x = r cos θ, Tọa độ cực vs Tọa độ Đề các: (y = r sin θ. TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 26/89
  34. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Tích phân kép trong tọa độ cực 1 2 1 2 1 2 2 ∆Ai = ri ∆θ ri 1∆θ = (ri ri 1)∆θ 2 − 2 − 2 − − 1 = (ri + ri 1)(ri ri 1)∆θ = ri∗∆r∆θ. 2 − − − TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 27/89
  35. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Tích phân kép trong tọa độ cực m n f (x, y)∆A = lim f (r ∗ cos θ∗, r ∗ sin θ∗)∆Ai m,n i j i j →∞ i j ZZR X=1 X=1 m n = lim f (r ∗ cos θ∗, r ∗ sin θ∗)r ∗∆r∆θ m,n i j i j i →∞ i j X=1 X=1 = f (r cos θ, r sin θ) r drdθ. ZZR TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 28/89
  36. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Tích phân kép trong tọa độ cực Tích phân kép trong tọa độ cực θ θ θ Nếu f là một hàm số liên tục trên miền 1 ≤ ≤ 2 thì (r1 (θ) r r2 (θ) , ≤ ≤ θ2 r2(θ) I = dθ f (r cos θ, r sin θ) r dr θZ1 r1Z(θ) Chú ý x = r cos ϕ, Trong một số sách, tọa độ cực được viết dưới dạng (y = r sin ϕ. TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 29/89
  37. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ 4x x2 + y 2 8x, Tính I = dxdy, ở đó D : ≤ ≤ D (x y √3x. ≤ ≤ RR y O 24 8 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 30/89
  38. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ 2 2 dxdy 4y x + y 8y Tính (x2+y 2)2 , ở đó D : ≤ ≤ D (x y x√3. RR ≤ ≤ y 8 y = x√3 y = x 4 O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 31/89
  39. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ x2 +(y 1)2 = 1 xy 2dxdy D Tính với giới hạn bởi 2 2 − D (x + y 4y = 0. RR − y 4 2 O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 32/89
  40. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ x2 + y 2 12, x2 + y 2 2x xy dxdy D Tính x2+y 2 trong đó : 2 2 ≤ ≥ D (x + y 2√3y, x 0, y 0. RR ≥ ≥ ≥ y 2√3 D2 D1 O 2 2√3 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 33/89
  41. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép b d Giải tích 1, f (x)dx = f (x(t)) x′(t) dt, ở đó x = x(t). a c R R Mong muốn, f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) hệ số dudv, R S x = x(RRu, v), RR ở đó (y = y(u, v). Ví dụ x = x(u, v)= u2 v 2, Xét phép biến đổi T : − (y = y(u, v)= 2uv. Tìm ảnh của hình vuông S = (u, v): 0 u 1, 0 v 1 qua phép { ≤ ≤ ≤ ≤ } biến đổi T . TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 34/89
  42. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép xu′ xv′ ∆A ru rv ∆u∆v = ∆u∆v, ≈| × | y ′ y ′ u v TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 35/89
  43. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép xu′ xv′ D(x, y) xu′ xv′ ∆A ru rv ∆u∆v = ∆u∆v, J = = . ≈| × | y ′ y ′ D(u, v) y ′ y ′ u v u v TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 35/89
  44. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép m n f (x, y)dA = lim f (xi , yj )∆A m,n →∞ i j ZZR X=1 X=1
  45. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép m n f (x, y)dA = lim f (xi , yj )∆A m,n →∞ i j ZZR X=1 X=1
  46. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép m n f (x, y)dA = lim f (xi , yj )∆A m,n →∞ i j ZZR X=1 X=1 m n xu′ xv′ = lim f (x(ui , vj ), y(ui , vj )) ∆u∆v m,n yu′ yv′ →∞ i=1 j=1 X X = f (x(u, v), y(u, v)) J dudv. | | ZZS TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 36/89
  47. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Phép đổi biến số x = x(u, v), Cho T : , S R, (y = y(u, v) → x(u, v), y(u, v) có các đạo hàm riêng liên tục trên S, phép biến đổi này là ánh xạ 1 1. − x x Định thức Jacobi J = u′ v′ = 0 trên S. y ′ y ′ 6 u v Khi đó f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) J dudv. D S | | RR RR TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 37/89
  48. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Phép đổi biến số x = x(u, v), Cho T : , S R, (y = y(u, v) → x(u, v), y(u, v) có các đạo hàm riêng liên tục trên S, phép biến đổi này là ánh xạ 1 1. − x x Định thức Jacobi J = u′ v′ = 0 trên S. y ′ y ′ 6 u v Khi đó f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) J dudv. D S | | RR RR Ví dụ 1 xy 4 Tính I = 4x2 2y 2 dxdy, ở đó D : ≤ ≤ D − (x y 4x. RR  ≤ ≤ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 37/89
  49. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Ví dụ 1 xy 4 Tính I = 4x2 2y 2 dxdy, ở đó D : ≤ ≤ D − (x y 4x. RR  ≤ ≤ y y = 4x y = x 1 xy = 4 xy = 1 O 1 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 38/89
  50. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Chú ý Mục đích đưa miền D có hình dáng phức tạp về miền Duv đơn giản hơn. làm đơn giản biểu thức tính tích phân f (x, y). ′ ′ 1 D(u,v) ux uy Có thể tính J thông qua J = = ′ ′ . − D(x,y) v v x y TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 39/89
  51. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực Công thức đổi biến x = r cos ϕ J = D(x,y) = r r = −−→OM y r ϕ ⇒ D(r,ϕ) | | ( = sin y M I = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. ϕ A DZZrϕ O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 40/89
  52. Tích phân kép Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực Công thức đổi biến x = r cos ϕ J = D(x,y) = r r = −−→OM y r ϕ ⇒ D(r,ϕ) | | ( = sin y M I = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. ϕ A DZZrϕ O x Miền D có dạng hình quạt y ϕ r (ϕ) r = r2(ϕ) 2 2 I = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr. ϕZ1 r Zϕ r = r1(ϕ) 1( ) O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 40/89
  53. Tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng x2 y 2 x = ar cos ϕ Nếu D : a2 + b2 1, thì đổi biến , J = abr ≤ (y = br sin ϕ Ví dụ 2 2 x2 y 2 Tính 9x 4y dxdy, ở đó D : 4 + 9 1. D − ≤ RR y 3 O 2 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 41/89
  54. Tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng x = a + r cos ϕ Nếu D :(x a)2 +(y b)2 R2, thì , J = r − − ≤ (y = b + r sin ϕ Ví dụ 2 √4 x2 Tính dx − 2x x2 y 2dy. − − 0 √4 x2 − − R R p y x O 2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 42/89
  55. Tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Ví dụ Tính xydxdy, với D là mặt tròn (x 2)2 + y 2 1. D − ≤ RR y O 1 3 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 43/89
  56. Tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Ví dụ Tính xydxdy, với D là nửa mặt tròn (x 2)2 + y 2 1, y 0 D − ≤ ≥ RR y O 1 3 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 44/89
  57. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính diện tích hình phẳng Ví dụ y 2 = x, y 2 = 2x D Tính diện tích của miền giới hạn bởi: 2 2 (x = y, x = 2y. y y = x2 x2 = 2y 2x = y 2 x = y 2 O 1 √3 2√3 4 2 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 45/89
  58. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính diện tích hình phẳng Ví dụ y = 0, y 2 = 4ax Tính diện tích miền D giới hạn bởi (x + y = 3a, y 0 (a > 0) . ≤ y 3a 3a O x 6a − TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 46/89
  59. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính diện tích hình phẳng Ví dụ x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x Tính diện tích miền D giới hạn bởi (x = y, y = 0. y y = x O 2 4 x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 47/89
  60. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính diện tích hình phẳng Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường tròn r = 1, r = 2 cos ϕ. √3 y O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 48/89
  61. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính diện tích hình phẳng Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x2 + y 2 2 = 2a2xy (a > 0).  y r = a√sin 2ϕ O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 49/89
  62. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính diện tích hình phẳng Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x3 + y 3 = axy (a > 0) (Lá Descartes) y TCX: y = x 1 − − 3 1 2 1 x O 2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 50/89
  63. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính diện tích hình phẳng Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường r = a (1 + cos ϕ) (a > 0) (đường Cardioids hay đường hình tim) y a O 2a x a − TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 51/89
  64. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính thể tích vật thể 0 z f (x, y), Ω: ≤ ≤ V (Ω) = f (x, y) dxdy. ((x, y) D ⇒ ∈ ZZD z z = f (x, y) O y D x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 52/89
  65. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính thể tích vật thể z1(x, y) z z2(x, y), V : ≤ ≤ V (Ω) = (z2 (x, y) z1 (x, y))dxdy. ((x, y) D ⇒ − ∈ ZZD z z = z2(x, y) Ω z = z1(x, y) y O D x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 53/89
  66. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính thể tích vật thể Ví dụ 3x + y 1, y 0 Tính thể tích miền giới hạn bởi ≥ ≥ (3x + 2y 2, 0 z 1 x y. ≤ ≤ ≤ − − z O y x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 54/89
  67. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính thể tích vật thể Ví dụ z = 4 x2 y 2 V Tính thể tích của miền giới hạn bởi − 2− 2 (2z = 2 + x + y . z 2z = 2 + x2 + y 2 O z = 4 x2 y 2 y − − x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 55/89
  68. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính thể tích vật thể Ví dụ 0 z 1 x2 y 2 Tính thể tích của V : ≤ ≤ − − ( y x, y √3x ≥ ≤ z 1 O 1 y x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 56/89
  69. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính thể tích vật thể Ví dụ x2 + y 2 + z2 4a2 V ≤ Tính thể tích : 2 2 ( x + y 2ay 0 − ≤ z 2a O 2a 2a x y TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 57/89
  70. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính thể tích vật thể Ví dụ x2 y 2 z = + , z = 0 a2 b2 Tính thể tích của miền V giới hạn bởi   x2 y 2 2x  + = a2 b2 a z  x2 y 2 z = a2 + b2 1 O a x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 58/89
  71. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính thể tích vật thể Ví dụ az = x2 + y 2 Tính thể tích của miền V : ( z = x2 + y 2 p z a a O a y − x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 59/89
  72. Tích phân kép Ứng dụng của tích phân kép Tính diện tích mặt cong z f x, y , = ( ) 2 2 S : σ = 1 +(fx′) +(fy′) dxdy. ((x, y) D ⇒ ∈ ZZD q z z = f (x, y) O y D x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 60/89
  73. Tích phân bội ba Chương 2: Tích phân bội 1 Tích phân kép Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi biến số trong tích phân kép Đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng Ứng dụng của tích phân kép 2 Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Đổi biến số trong tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội ba TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 61/89
  74. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân bội ba Bài toán tính diện tích hình phẳng - Tích phân xác định b n f (x)dx = lim f (x∗)∆x. n i a →∞ i Z X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 62/89
  75. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép Bài toán tính diện tích hình phẳng - Tích phân xác định b a Chia [a, b] thành n khoảng bằng nhau [xi 1, xi ] với ∆x = − − n Chọn xi∗ [xi 1, xi ], − ∈ n Thành lập tổng Riemann f (xi∗)∆x i=1 b P n Lấy giới hạn A = f (x)dx = lim f (x∗)∆x n i a →∞ i=1 TS. Bùi Xuân Diệu R Tích phân bộiP I ♥ HUST 63/89
  76. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân kép Bài toán tính thể tích vật thể - Tích phân kép m n f (x, y)dxdy = lim f (x∗, y ∗)∆x∆y. m,n ij ij R →∞ i j ZZ X=1 X=1 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 64/89
  77. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tính thể tích và tích phân kép 1 Chia [a, b] thành m khoảng và chia [c, d] thành n khoảng bằng nhau. 2 Chọn (xij∗, yij∗) Rij =[xi 1, xi ] [yj 1, yj ]. ∈ − × − 3 Tổng Riemann m n m n V = Rij f (x∗, y ∗)∆x∆y. ≈ ij ij i j i j X=1 X=1 X=1 X=1 m n 4 f (x, y)dxdy = lim f (x∗, y ∗)∆x∆y. m,n ij ij R →∞ i=1 j=1 RRTS. Bùi Xuân Diệu P TíchP phân bội I ♥ HUST 65/89
  78. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân bội ba trên hình hộp Định nghĩa Cho B =[a, b] [c, d] [r, s]. × × 1 Chia [a, b] thành l khoảng bằng nhau Chia [c, d] thành m khoảng bằng nhau Chia [r, s] thành n khoảng bằng nhau 2 Chọn (x , y , z ) Bijk ijk∗ ijk∗ ijk∗ ∈ 3 Tổng Riemann l m n Slmn = f (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ )∆V i=1 j=1 k=1 P P P 4 f (x, y, z)dV = lim Slmn. l,m,n B →∞ RRR TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 66/89
  79. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật Định nghĩa l m n f (x, y, z)dxdydz = lim f (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ )∆x∆y∆z. l,m,n B →∞ i=1 j=1 k=1 RRR P P P Nếu chọn (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ )=(xi , yj , zk ) ta được biểu thức đơn giản hơn l m n f (x, y, z)dxdydz = lim f (xi , yj , zk )∆V . l,m,n →∞ i j ZZZB X=1 X=1 Xk=1 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 67/89
  80. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật Định nghĩa l m n f (x, y, z)dxdydz = lim f (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ )∆x∆y∆z. l,m,n B →∞ i=1 j=1 k=1 RRR P P P Nếu chọn (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ )=(xi , yj , zk ) ta được biểu thức đơn giản hơn l m n f (x, y, z)dxdydz = lim f (xi , yj , zk )∆V . l,m,n →∞ i j ZZZB X=1 X=1 Xk=1 Định lý (Fubini) Nếu f là một hàm số liên tục trên B =[a, b] [c, d] [r, s] thì × × b d s f (x, y, z)dxdydz = dx dy f (x, y, z)dz. a c r ZZZB Z Z Z TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 67/89
  81. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân bội ba Tích phân bội ba trên miền bị chặn bất kì Cho V là một miền bị chặn bất kì, chọn B =[a, b] [c, d] [r, s] V và × × ⊃ f (x, y, z), nếu (x, y, z) V , F (x, y, z)= ∈ (0, nếu (x, y, z) B V . ∈ \ Định nghĩa f (x, y, z)dV = F (x, y, z)dV . ZZZE ZZZB TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 68/89
  82. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes z (x, y) z z (x, y) Nếu V : 1 ≤ ≤ 2 thì ((x, y) D ∈ z2(x,y) I = f (x, y, z) dxdydz = dxdy f (x, y, z) dz ZZZV ZZD z1(Zx,y) z z = z2(x, y) V z = z1(x, y) O y D TS. Bùi Xuân Diệu x Tích phân bội I ♥ HUST 69/89
  83. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes Chuyển tích phân ba lớp về tích phân hai lớp 1. Xác định hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy. 2. Xác định biên dưới z = z1 (x, y) và biên trên z = z2 (x, y) của V . 3. Sử dụng công thức z2(x,y) I = f (x, y, z) dxdydz = dxdy f (x, y, z) dz ZZZV ZZD z1(Zx,y) để hoàn tất việc chuyển đổi. Nguyên tắc chung: Tích phân ba lớp Tích phân hai lớp Tích phân lặp ⇒ ⇒ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 70/89
  84. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes Ví dụ x2 + y 2 + z2 = 1 x2 y 2 dxdydz V Tính + trong đó giới hạn bởi: 2 2 2 V ( x + y z = 0 RRR  − z z = 1 x2 y 2 − − p z = x2 + y 2 py O D x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 71/89
  85. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Các tính chất cơ bản của tích phân bội ba Tính chất tuyến tính [αf (x, y, z)+ βg (x, y, z)] dxdydz = ZZZV α f (x, y, z) dxdydz + β g (x, y, z) dxdydz. ZZZV ZZZV Tính chất cộng tính: Nếu V = V V và V , V không giau nhau 1 ∪ 2 1 2 (ngoại trừ phần biên) thì: f (x, y, z) dxdydz = ZZZV f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz. ZZZV1 ZZZV2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 72/89
  86. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân bội ba trên miền đối xứng Định lý Nếu 1 V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0, 2 f (x, y, z) là hàm số lẻ đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 0. V RRR TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 73/89
  87. Tích phân bội ba Định nghĩa, tính chất, cách tính Tích phân bội ba trên miền đối xứng Định lý Nếu 1 V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0, 2 f (x, y, z) là hàm số lẻ đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 0. V RRR Định lý Nếu 1 V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0, 2 f (x, y, z) là hàm số chẵn đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 2 f (x, y, z) dxdydz, trong đó V V + V +RRR= V z 0 . RRR ∩ { ≥ } TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 73/89
  88. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba b d 1 Giải tích 1, f (x)dx = f (x(t)) x′(t) dt, ở đó x = x(t). a c R R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 74/89
  89. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba b d 1 Giải tích 1, f (x)dx = f (x(t)) x′(t) dt, ở đó x = x(t). a c R R x = x(u, v), 2 f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) J dudv, R S | | (y = y(u, v). RR RR TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 74/89
  90. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba b d 1 Giải tích 1, f (x)dx = f (x(t)) x′(t) dt, ở đó x = x(t). a c R R x = x(u, v), 2 f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) J dudv, R S | | (y = y(u, v). RR RR 3 Mong muốn, f (x, y, z)dxdydz = ZZZB f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) hệ số dudvdw, ZZS x = x(u, v, w), ở đó y = y(u, v, w), z = z(u, v, w). TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 74/89
  91. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Bài toán: Tính I = f (x, y, z) dxdydz. Thực hiện phép đổi biến số V RRR x = x (u, v, w) y = y (u, v, w) : Vuv V (1)  w →  z = z (u, v, w) thoả mãn  x, y, z cùng với các đạo hàm riêng của nó liên tục trên Vuvw . Công thức (1) xác định song ánh Vuvw V . D(x,y,z) → J = = 0 trong Vuvw . D(u,v,w) 6 Khi đó f (x, y, z) dxdydz = f [x (.,.,.) , y (.,.,.) , z (.,.,.)] J dudvdw | | ZZZV ZZZVuvw TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 75/89
  92. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Ví dụ x + y + z = 3 ± Tính thể tích miền V giới hạn bởi x + 2y z = 1 biết  − ±  x + 4y + z = 2 ± V = dxdydz. V  RRR u = x + y + z Thực hiện phép đổi biến v = x + 2y z ta có  −  w = x + 4y + z  1 1 1 1 D (u, v, w) 1 J− = = 1 2 1 = 6 J = . D (x, y, z) − ⇒ 6 1 4 1 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 76/89
  93. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ trụ Công thức đổi biến z x = r cos ϕ D x y z y = r sin ϕ J = ( , , ) = r M  ⇒ D(r,ϕ,z) r = OM−−→′ z = z | \| ϕ Ox, OM−−→  = ′  I = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz. O  y ZZZVrϕz ϕ M′ x Mục đích: Đưa TP bội ba về TP lặp ϕ2 r2(ϕ) z2(r cos ϕ,r sin ϕ) I = dϕ rdr f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz. ϕZ1 r1Z(ϕ) z1(r cosZϕ,r sin ϕ) TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 77/89
  94. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ trụ Ví dụ x2 + y 2 1 Tính x2 + y 2 dxdydz, trong đó V : ≤ V ( 1 z 2 RRR  ≤ ≤ z 2 V 1 y O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 78/89
  95. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ trụ Ví dụ Tính z x2 + y 2dxdydz, trong đó: V p a) VRRRlà miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y 2 = 2x và z = 0, z = a (a > 0). b) V là nửa của hình cầu x2 + y 2 + z2 a2, z 0 (a > 0) ≤ ≥ z z O y O y x x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 79/89
  96. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ trụ Ví dụ y = z2 + x2 Tính I = ydxdydz, trong đó V giới hạn bởi: V ( y = ph. RRR z y O h x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 80/89
  97. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ trụ Ví dụ x2 + y 2 = z2 Tính I = x2 + y 2dxdydz trong đó V giới hạn bởi: V ( z = 1. RRR p z y O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 81/89
  98. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ trụ Ví dụ x2 + y 2 = 1 Tính dxdydz , trong đó V : ≤ √x2+y 2+(z 2)2 V − ( z 1. RRR | |≤ z y O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 82/89
  99. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu Công thức đổi biến z x = r sin θ cos ϕ M y = r sin θ sin ϕ J = D(x,y,z) = r 2 sin θ  ⇒ D(r,θ,ϕ) − r = −−→OM  z = r cos θ θ | |   O  y ϕ M′ x f (x, y, z) dxdydz = ZZZV f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r 2 sin θdrdθdϕ ZZZVrθϕ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 83/89
  100. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu Trường hợp đặc biệt ϕ ϕ ϕ , (ϕ ϕ 2π) 1 ≤ ≤ 2 2 − 1 ≤ Nếu Vrθϕ : θ (ϕ) θ θ (ϕ) thì  1 ≤ ≤ 2  r (θ,ϕ) r r (θ,ϕ) 1 ≤ ≤ 2  ϕ2  θ2(ϕ) r2(θ,ϕ) I = dϕ sin θdθ f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r 2dr ϕZ1 θ1Z(ϕ) r1(Zθ,ϕ) TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 84/89
  101. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu Trường hợp đặc biệt ϕ ϕ ϕ , (ϕ ϕ 2π) 1 ≤ ≤ 2 2 − 1 ≤ Nếu Vrθϕ : θ (ϕ) θ θ (ϕ) thì  1 ≤ ≤ 2  r (θ,ϕ) r r (θ,ϕ) 1 ≤ ≤ 2  ϕ2  θ2(ϕ) r2(θ,ϕ) I = dϕ sin θdθ f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r 2dr ϕZ1 θ1Z(ϕ) r1(Zθ,ϕ) Khi nào đổi biến trong tọa độ cầu? Miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu, hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức x2 + y 2 + z2 .  TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 84/89
  102. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu Ví dụ 1 x2 + y 2 + z2 4 x2 y 2 z2 dxdydz V ≤ ≤ Tính + + , trong đó : 2 2 2 V ( x + y z . RRR  ≤ z V1 y O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 85/89
  103. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu Ví dụ Tính x2 + y 2 + z2dxdydz trong đó V : x2 + y 2 + z2 z. V ≤ RRR p z y O x TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 86/89
  104. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu, trụ suy rộng x = ar sin θ cos ϕ x2 y 2 z2 1 V : + + 1 y = br sin θ sin ϕ , J = abcr 2 sin θ a2 b2 c2 ≤ ⇒  −  z = cr cos θ  TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 87/89
  105. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu, trụ suy rộng x = ar sin θ cos ϕ x2 y 2 z2 1 V : + + 1 y = br sin θ sin ϕ , J = abcr 2 sin θ a2 b2 c2 ≤ ⇒  −  z = cr cos θ 2 2 2 2 V :(x a) +(y b) +( z c) R2 − −  − ≤ x = a + r sin θ cos ϕ y = b + r sin θ sin ϕ , J = r 2 sin θ ⇒  −  z = c + r cos θ  TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 87/89
  106. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu, trụ suy rộng x = ar sin θ cos ϕ x2 y 2 z2 1 V : + + 1 y = br sin θ sin ϕ , J = abcr 2 sin θ a2 b2 c2 ≤ ⇒  −  z = cr cos θ 2 2 2 2 V :(x a) +(y b) +( z c) R2 − −  − ≤ x = a + r sin θ cos ϕ y = b + r sin θ sin ϕ , J = r 2 sin θ ⇒  −  z = c + r cos θ  z = bz′ x2+y 2 z2 3 V : + 1 x = ar cos ϕ a2 b2 ≤ ⇒   y = ar sin θ  TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 87/89
  107. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng Ví dụ 2 2 2 2 x +y z2 Tính z x + y dxdydz, với V : a2 + b2 1, z 0, (a, b > 0) . V ≤ ≥ RRR p TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 88/89
  108. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng Ví dụ 2 2 2 2 x +y z2 Tính z x + y dxdydz, với V : a2 + b2 1, z 0, (a, b > 0) . V ≤ ≥ RRR p Cách 1: Toạ độ trụ suy rộng. Cách 2: Toạ độ cầu suy rộng. z = bz′ x = ar sin θ cos ϕ Đặt  x = ar cos ϕ, ta có Đặt  y = ar sin θ sin ϕ , ta có  y = ar sin θ  z = br cos θ   TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 88/89
  109. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng Ví dụ 2 2 2 2 x +y z2 Tính z x + y dxdydz, với V : a2 + b2 1, z 0, (a, b > 0) . V ≤ ≥ RRR p Cách 1: Toạ độ trụ suy rộng. Cách 2: Toạ độ cầu suy rộng. z = bz′ x = ar sin θ cos ϕ Đặt  x = ar cos ϕ, ta có Đặt  y = ar sin θ sin ϕ , ta có  y = ar sin θ  z = br cos θ 0 ϕ 2π, 0 ϕ 2π,  ≤ ≤  ≤ ≤ J = a2br và 0 r 1, J = a2br 2 sin θ và 0 θ π ,  ≤ ≤  ≤ ≤ 2 0 z √1 r 2. 0 r 1. ≤ ′ ≤ − ≤ ≤   TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 88/89
  110. Tích phân bội ba Đổi biến số trong tích phân bội ba Đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng Ví dụ 2 2 2 2 x +y z2 Tính z x + y dxdydz, với V : a2 + b2 1, z 0, (a, b > 0) . V ≤ ≥ RRR p Cách 1: Toạ độ trụ suy rộng. Cách 2: Toạ độ cầu suy rộng. z = bz′ x = ar sin θ cos ϕ Đặt  x = ar cos ϕ, ta có Đặt  y = ar sin θ sin ϕ , ta có  y = ar sin θ  z = br cos θ 0 ϕ 2π, 0 ϕ 2π,  ≤ ≤  ≤ ≤ J = a2br và 0 r 1, J = a2br 2 sin θ và 0 θ π ,  ≤ ≤  ≤ ≤ 2 0 z √1 r 2. 0 r 1. ≤ ′ ≤ − ≤ ≤ 2πa3b2  I = .  15 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 88/89
  111. Tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội ba Tính thể tích vật thể Công thức tổng quát: V = dxdydz. V RRR Ví dụ x + y + z = 3 ± Tính thể tích miền V giới hạn bởi x + 2y z = 1  − ±  x + 4y + z = 2. ± u = x +y + z Thực hiện phép đổi biến v = x + 2y z ta có  −  w = x + 4y + z 1 1 1 1 D (u, v, w) 1 1 J− = = 1 2 1 = 6 J = , V = dudvdw = 8. D (x, y, z) − ⇒ 6 6 1 4 1 ZZZ Vuvw TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân bội I ♥ HUST 89/89