Bài giảng Giải tích II - Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số - Bùi Xuân Diệu

45 trang haiha333 08/01/2022 2720

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích II - Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số - Bùi Xuân Diệu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_giai_tich_ii_chuong_3_tich_phan_phu_thuoc_tham_so.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích II - Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số - Bùi Xuân Diệu

Tích phân phụ thuộc tham số TS. Bùi Xuân Diệu Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 1/24
Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số 1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3 Tích phân Euler Hàm Gamma Hàm Beta TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 2/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số 1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3 Tích phân Euler Hàm Gamma Hàm Beta TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 3/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Giới thiệu Định nghĩa Cho hàm số f (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d]. Khi đó, × b I (y)= f (x, y)dx (1) Za là một hàm số xác định trên [c, d], và được gọi là một TP PTTS. Mục đích: Khảo sát tính liên tục, khả vi, khả tích của I (y). TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 4/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính liên tục) Nếu f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số liên tục × trên [c, d], i.e., TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 5/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính liên tục) Nếu f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số liên tục × trên [c, d], i.e., b b b lim I (y)= lim f (x, y)dx = lim f (x, y)dx = f (x, y0)dx = I (y0). y y0 y y0 y y0 → → Za Za → Za TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 5/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính liên tục) Nếu f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số liên tục × trên [c, d], i.e., b b b lim I (y)= lim f (x, y)dx = lim f (x, y)dx = f (x, y0)dx = I (y0). y y0 y y0 y y0 → → Za Za → Za Ví dụ 2 Tính lim x2 cos xydx. y 0 → 0 R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 5/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Tính liên tục Định lý (Tính liên tục) Nếu f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số liên tục b b × trên [c, d], i.e., lim f (x, y)dx = lim f (x, y)dx y y y y → 0 a a → 0 R R Ví dụ 1 yf (x) Khảo sát sự liên tục của tích phân I (y)= x2+y 2 dx , với f (x) là hàm số 0 dương, liên tục trên [0, 1] . R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 6/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Tính liên tục Định lý (Tính liên tục) Nếu f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số liên tục b b × trên [c, d], i.e., lim f (x, y)dx = lim f (x, y)dx y y y y → 0 a a → 0 R R Ví dụ 1 yf (x) Khảo sát sự liên tục của tích phân I (y)= x2+y 2 dx , với f (x) là hàm số 0 dương, liên tục trên [0, 1] . R i) Xét tính liên tục của I (y) trên mỗi hình chữ nhật [0, 1] [c, d] và × [0, 1] [ d, c] với 0 < c < d bất kì. × − − ii) Xét tính liên tục của I (y) tại 0. TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 6/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính khả vi) Nếu i) f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d], ′ × ii) f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] y × thì I (y) là hàm số khả vi trên (c, d) và b ′ I ′ (y)= f (x, y)dx =   Za y   TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 7/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính khả vi) Nếu i) f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d], ′ × ii) f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] y × thì I (y) là hàm số khả vi trên (c, d) và b ′ b ′ I ′ (y)= f (x, y)dx = f (x, y) dx.   y Za y Za   TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 7/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính khả vi) Nếu i) f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d], ′ × ii) f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] y × thì I (y) là hàm số khả vi trên (c, d) và b ′ b ′ I ′ (y)= f (x, y)dx = f (x, y) dx.   y Za y Za   Ví dụ 1 α n Tính tích phân In (α)= x ln xdx , n là số nguyên dương. 0 TS. Bùi Xuân Diệu R Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 7/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Ví dụ 1 α n Tính In (α)= x ln xdx , n là số nguyên dương. 0 R B1. Kiểm tra các điều kiện của Định lý Leibniz’ (n) B2. Nhận xét rằng In′ 1 = In nên In (α)=[I0 (α)] . − TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 8/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Ví dụ 1 α n Tính In (α)= x ln xdx , n là số nguyên dương. 0 R B1. Kiểm tra các điều kiện của Định lý Leibniz’ (n) B2. Nhận xét rằng In′ 1 = In nên In (α)=[I0 (α)] . − Ví dụ 1 x Tính I (y)= arctan y dx. 0 R B1. Kiểm tra các điều kiện của Định lý Leibniz. 1 y 2 B2. Tính I ′(y)= 2 ln 1+y 2 . 2 1 1 y . B3. I (y)= arctan y + 2 y ln 1+y 2 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 8/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính khả tích) Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số khả × tích trên [c, d] , và: d d b I (y) dy := f (x, y) dx dy =   Zc Zc Za   TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 9/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính khả tích) Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số khả × tích trên [c, d] , và: d d b b d I (y) dy := f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx.     Zc Zc Za Za Zc     TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 9/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số Định lý (Tính khả tích) Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số khả × tích trên [c, d] , và: d d b b d I (y) dy := f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx.     Zc Zc Za Za Zc     Ví dụ Tính 1 xb xa − , (0 < a < b). ln x Z0 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 9/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi b(y) J (y)= f (x, y) dx, với y [c, d] . a(y) ∈ R Định lý (Tính liên tục) Nếu i) f (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d] , × ii) a (y) , b (y) liên tục trên [c, d] và a a (y) , b (y) b y [c, d] ≤ ≤ ∀ ∈ thì J (y) là một hàm số liên tục đối với y trên [c, d] . Ví dụ 1+y dx Tìm lim 2 2 . y 0 1+x +y → y R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 10/24
Tích phân xác định phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi b(y) J (y)= f (x, y) dx, với y [c, d] a(y) ∈ R Định lý (Tính khả vi) Nếu i) f (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d] , ′ × ii) f (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d] , y × iii) a (y) , b (y) khả vi trên [c, d] và a a (y) , b (y) b y [c, d] ≤ ≤ ∀ ∈ thì J (y) là một hàm số khả vi đối với y trên [c, d], và b(y) ′ ′ ′ J′ (y)= f (x, y) dx + f (b (y) , y) b (y) f (a (y) , y) a (y) y y − y a(Zy) . TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 11/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số 1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3 Tích phân Euler Hàm Gamma Hàm Beta TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 12/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số + Xét TPSR phụ thuộc tham số I (y)= ∞f (x, y)dx, y [c, d]. a ∈ R Định nghĩa Ta nói TPSR phụ thuộc tham số là ∞ i) hội tụ tại y0 [c, d] nếu f (x, y0)dx hội tụ, i.e., ∈ a R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 13/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số + Xét TPSR phụ thuộc tham số I (y)= ∞f (x, y)dx, y [c, d]. a ∈ R Định nghĩa Ta nói TPSR phụ thuộc tham số là ∞ i) hội tụ tại y0 [c, d] nếu f (x, y0)dx hội tụ, i.e., ǫ> 0, b = b(ǫ, y0) ∈ a ∀ ∃ R A I (y ) f (x, y )dx = ∞ f (x, y )dx b. 0 − 0 0 ∀ Za ZA ii) hội tụ trên [c, d] nếu I (y) hội tụ tại mọi y [c,d], ∈ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 13/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số + Xét TPSR phụ thuộc tham số I (y)= ∞f (x, y)dx, y [c, d]. a ∈ R Định nghĩa Ta nói TPSR phụ thuộc tham số là ∞ i) hội tụ tại y0 [c, d] nếu f (x, y0)dx hội tụ, i.e., ǫ> 0, b = b(ǫ, y0) ∈ a ∀ ∃ R A I (y ) f (x, y )dx = ∞ f (x, y )dx b. 0 − 0 0 ∀ Za ZA ii) hội tụ trên [c, d] nếu I (y) hội tụ tại mọi y [c,d], ∈ iii) hội tụ đều trên [c, d] nếu ǫ> 0, b = b(ǫ) > a sao cho ∀ ∃ ∞ f (x, y)dx b, y [c, d]. ∀ ∀ ∈ ZA ♥ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I HUST 13/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Ví dụ Chứng minh rằng I (y)= ∞sin(yx)dx hội tụ khi y = 0 và phân kỳ khi 1 y = 0. R 6 TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 14/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Ví dụ Chứng minh rằng I (y)= ∞sin(yx)dx hội tụ khi y = 0 và phân kỳ khi 1 y = 0. R 6 Ví dụ + ∞ yx a) Tính I (y)= ye− dx (y > 0). 0 b) Chứng minh rằngR I (y) hội tụ đến 1 đều trên [y , + ) với mọi y > 0. 0 ∞ 0 c) Giải thích tại sao I (y) không hội tụ đều trên (0, + ). ∞ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 14/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tính chất của TPSR phụ thuộc tham số Định lý (Dấu hiệu hội tụ Weierstrass) Nếu i) f (x, y) g (x) (x, y) [a, + ) [c, d] , | |≤+ ∀ ∈ ∞ × ii) TPSR a ∞ g (x) dx hội tụ + thì TPSR I R(y)= a ∞ f (x, y)dx hội tụ đều trên [c, d]. R Ví dụ Chứng minh rằng ∞ x cos y R. a) I (y)= x2+1 là hội tụ đều trên 0 R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 15/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tính chất của TPSR phụ thuộc tham số Ví dụ + + ∞ yx ∞ yx Chứng minh rằng lim ye− dx = lim ye− dx y 0+ 6 y 0+ → 0 0 → R R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 16/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tính chất của TPSR phụ thuộc tham số Ví dụ + + ∞ yx ∞ yx Chứng minh rằng lim ye− dx = lim ye− dx y 0+ 6 y 0+ → 0 0 → R R Định lý (Tính liên tục) Nếu i) f (x, y) liên tục trên [a, + ) [c, d], + ∞ × ii) TPSR I (y)= a ∞ f (x, y)dx hội tụ đều trên [c, d] thì I (y) liên tục trênR [c, d] , i.e., TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 16/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tính chất của TPSR phụ thuộc tham số Ví dụ + + ∞ yx ∞ yx Chứng minh rằng lim ye− dx = lim ye− dx y 0+ 6 y 0+ → 0 0 → R R Định lý (Tính liên tục) Nếu i) f (x, y) liên tục trên [a, + ) [c, d], + ∞ × ii) TPSR I (y)= a ∞ f (x, y)dx hội tụ đều trên [c, d] thì I (y) liên tục trênR [c, d] , i.e., + ∞ + + ∞ ∞ lim I (y)= lim f (x, y)dx = lim f (x, y)dx = f (x, y0)dx. y y0 y y0 a y y0 a → → Za Z → Z TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 16/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tính chất của TPSR phụ thuộc tham số Ví dụ + ∞ e−αx e−βx Tính −x , (α,β > 0). 0 R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 17/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tính chất của TPSR phụ thuộc tham số Ví dụ + ∞ e−αx e−βx Tính −x , (α,β > 0). 0 R Định lý (Tính khả vi) Nếu i) f (x, y) và f (x, y) liên tục trên [a, + ) [c, d], y′ ∞ × + ii) I (y)= ∞f (x, y)dx hội tụ trên [c, d], a + R ∞ ′ iii) fy (x, y)dx hội tụ đều trên [c, d] a R + ∞ ′ thì I (y) là hàm số khả vi trên [c, d] và I ′ (y)= fy (x, y) dx. a R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 17/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tính chất của TPSR phụ thuộc tham số Ví dụ + ∞ e−αx e−βx Tính −x , (α,β > 0). 0 R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 18/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các tính chất của TPSR phụ thuộc tham số Ví dụ + ∞ e−αx e−βx Tính −x , (α,β > 0). 0 R Định lý (Tính khả tích) Nếu i) f (x, y) liên tục trên [a, + ) [c, d], ∞ × + ii) I (y)= ∞f (x, y)dx hội tụ đều trên [c, d] a thì I (y) là khảR tích trên [c, d] và d d + + d I (y) dy := ∞ f (x, y) dx dy = ∞ f (x, y) dy dx. Zc Zc Za Za Zc TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 18/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các phương pháp tính TPSR phụ thuộc tham số Đạo hàm qua dấu tích phân + ′ B1. Tính I ′ (y) bằng cách I ′ (y)= a ∞ fy (x, y) dx. B2. I (y) bằng cách I (y)= I ′ (y)Rdy + C. B3. Tính I (y0) với một giá trịR đặc biệt nào đó của y0 để suy ra C. Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện chuyển dấu đạo hàm qua tích phân. Ví dụ Tính các tích phân sau (a, b,α,β > 0): + 1 −αx2 −βx2 xb xa ∞ e e . a) ln−x dx. c) x−2 dx 0 0 R+ +R ∞ e−αx e−βx ∞ dx b) − dx. d) n . x (x2+y) +1 0 0 R R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 19/24
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Các phương pháp tính TPSR phụ thuộc tham số Đổi thứ tự lấy tích phân d B1. Biểu diễn f (x, y)= F (x, y) dy. c B2. Sử dụng tính chất đổiR thứ tự lấy tích phân: + + d d + ∞f (x, y)dx = ∞ F (x, y)dy dx = ∞F (x, y)dx dy. a a c ! c a R R R R R Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân. Ví dụ + 1 −αx2 −βx2 xb xa ∞ e e . a) ln−x dx. c) x−2 dx 0 0 R+ +R ∞ e−αx e−βx ∞ ax sin bx sin cx b) −x dx. d) e− −x . 0 0 TS.R Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc thamR số I ♥ HUST 20/24
Tích phân Euler Chương 3: Tích phân phụ thuộc tham số 1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3 Tích phân Euler Hàm Gamma Hàm Beta TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 21/24
Tích phân Euler Hàm Gamma Hàm Gamma + ∞ p 1 x Γ(p)= x − e− dx xác định trên (0, + ). 0 ∞ R Ví dụ 1 Tính Γ(1), Γ 2 . TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 22/24
Tích phân Euler Hàm Gamma Hàm Gamma + ∞ p 1 x Γ(p)= x − e− dx xác định trên (0, + ). 0 ∞ R Ví dụ 1 Tính Γ(1), Γ 2 . Các tính chất 1) Hạ bậc: Γ(p + 1)= pΓ(p). Ý nghĩa: chỉ cần nghiên cứu Γ(p) với 0 < p 1 mà thôi. ≤ Nếu α (n, n + 1] thì Γ(α)=(α 1)(α 2) (α n)Γ(α n). ∈ − − − − Γ(1)= 1, Γ(n)=(n 1)! Đặc biệt , 1 nên 1 − (2n 1)!! (Γ 2 = √π (Γ n + 2 = 2−n √π. TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 22/24
Tích phân Euler Hàm Gamma Hàm Gamma + ∞ p 1 x Γ(p)= x − e− dx xác định trên (0, + ). 0 ∞ R Ví dụ 1 Tính Γ(1), Γ 2 . Các tính chất 1) Hạ bậc: Γ(p + 1)= pΓ(p). Ý nghĩa: chỉ cần nghiên cứu Γ(p) với 0 < p 1 mà thôi. ≤ Nếu α (n, n + 1] thì Γ(α)=(α 1)(α 2) (α n)Γ(α n). ∈ − − − − Γ(1)= 1, Γ(n)=(n 1)! Đặc biệt , 1 nên 1 − (2n 1)!! (Γ 2 = √π (Γ n + 2 = 2−n √π. (k) + p 1 k x 2) Đạo hàm của hàm Gamma: Γ (p)= 0 ∞ x − ln x e− dx. R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 22/24
Tích phân Euler Hàm Gamma Hàm Gamma + ∞ p 1 x Γ(p)= x − e− dx xác định trên (0, + ). 0 ∞ R Ví dụ 1 Tính Γ(1), Γ 2 . Các tính chất 1) Hạ bậc: Γ(p + 1)= pΓ(p). Ý nghĩa: chỉ cần nghiên cứu Γ(p) với 0 < p 1 mà thôi. ≤ Nếu α (n, n + 1] thì Γ(α)=(α 1)(α 2) (α n)Γ(α n). ∈ − − − − Γ(1)= 1, Γ(n)=(n 1)! Đặc biệt , 1 nên 1 − (2n 1)!! (Γ 2 = √π (Γ n + 2 = 2−n √π. (k) + p 1 k x 2) Đạo hàm của hàm Gamma: Γ (p)= 0 ∞ x − ln x e− dx. π 3) Γ(p)Γ(1 p)= π 0<p<1. R − sin p ∀ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 22/24
Tích phân Euler Hàm Beta Hàm Beta 1 q 1 Dạng 1: B (p, q)= xp 1 (1 x) − dx. 0 − − R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 23/24
Tích phân Euler Hàm Beta Hàm Beta 1 q 1 p 1 − Dạng 1: B (p, q)= 0 x − (1 x) dx. + xp−1− Dạng 2: B (p, q)= ∞ dx. R0 (1+x)p+q R Mối liên hệ giữa hàm Gamma và Beta Γ(p)Γ(q) i) B (p, q)= Γ(p+q) . π ii) B (p, 1 p)=Γ(p)Γ(1 p)= . − − sin pπ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 23/24
Tích phân Euler Hàm Beta Hàm Beta 1 q 1 p 1 − Dạng 1: B (p, q)= 0 x − (1 x) dx. + xp−1− Dạng 2: B (p, q)= ∞ dx. R0 (1+x)p+q R Mối liên hệ giữa hàm Gamma và Beta Γ(p)Γ(q) i) B (p, q)= Γ(p+q) . π ii) B (p, 1 p)=Γ(p)Γ(1 p)= . − − sin pπ Các tính chất 1) Tính đối xứng: B (p, q)= B (q, p). p 1 B (p, q)= p+−q 1 B (p 1, q) , nếu p > 1 2) Hạ bậc: q −1 − (B (p, q)= p+−q 1 B (p, q 1) , nếu q > 1. − − Ý nghĩa: chỉ cần nghiên cứu hàm Beta trong khoảng (0, 1] (0, 1]. (m 1)!(n 1)! ×N Đặc biệt, B (1, 1)= 1 nên B (m, n)= (m−+n 1−)! , m, n . − ∀ ∈ TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 23/24
Tích phân Euler Hàm Beta Tích phân Euler Ví dụ π 2 m m Biểu thị 0 sin t cos tdt qua hàm Beta. π R 2 m m 1 m+1 n+1 Gợi ý: Đặt sin x = √t để suy ra 0 sin t cos tdt = 2 B 2 , 2 . R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 24/24
Tích phân Euler Hàm Beta Tích phân Euler Ví dụ π 2 m m Biểu thị 0 sin t cos tdt qua hàm Beta. π R 2 m m 1 m+1 n+1 Gợi ý: Đặt sin x = √t để suy ra 0 sin t cos tdt = 2 B 2 , 2 . Dạng lượng giác của hàm GammaR π 2 2p 1 2q 1 B (p, q)= 2 0 sin − t cos − tdt. R Ví dụ π + √x 2 6 x 4 xdx. d) ∞ dx. a) 0 sin cos 0 (1+x2)2 a 2n x √a2 x2dx a > . + 1 b) 0 ( 0) R ∞ . R − e) 0 1+x3 dx + 10 x2 c) R0 ∞ x e− dx. 1 1 f) R n dx, n N . 0 √1 xn ∈ ∗ R − R TS. Bùi Xuân Diệu Tích phân phụ thuộc tham số I ♥ HUST 24/24