›
›

Bài giảng Hàm số nhiều biến số - Phan Xuân Thành

pdf 121 trang haiha333 08/01/2022 3700
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Hàm số nhiều biến số - Phan Xuân Thành", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ham_so_nhieu_bien_so_phan_xuan_thanh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Hàm số nhiều biến số - Phan Xuân Thành

  1. Hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành Viện Toán ứng dụng và Tin học Đại học Bách Khoa Hà nội 16/03/2020 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 1 / 40
  2. Nội dung 1 Các định nghĩa 2 Giới hạn và liên tục của hàm số nhiều biến số 3 Đạo hàm và vi phân 4 Cực trị của hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 2 / 40
  3. Nội dung 1 Các định nghĩa 2 Giới hạn và liên tục của hàm số nhiều biến số 3 Đạo hàm và vi phân 4 Cực trị của hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 3 / 40
  4. Các khái niệm cơ bản n Không gian R = {x = (x1, x2, , xn): xi ∈ R}, x = (x1, x2, , xn) ứng với điểm M hay vectơ, viết n M(x1, x2, , xn) ∈ R . Cho hai điểm M(x1, x2, , xn) và N(y1, y2, , yn). Khoảng cách v u n uX 2 d(M, N) = t (xi − yi ) khoảng cách Euclide. i=1 Định nghĩa n Cho điểm M0 ∈ R , ε > 0. ε-lân cận của M0 là n Sε(M0) = {M ∈ R : d(M, M0) < ε}. Lân cận của điểm M0 là một tập chứa một ε-lân cận nào đó của M0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 4 / 40
  5. Các khái niệm cơ bản Cho tập A, điểm M là điểm trong của A nếu tồn tại Sε(M) ⊂ A. Điểm M là điểm biên của A nếu với mọi ε > 0 thì Sε(M) chứa điểm thuộc A và chứa điểm không thuộc A. Khái niệm tập đóng, tập mở, tập bị chặn. Định nghĩa Miền là một tập mở và liên thông. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 5 / 40
  6. Định nghĩa Ta gọi ánh xạ f : D → R xác định bởi x = (x1, x2, , xn) ∈ D 7→ u = f (x) = f (x1, x2, , xn) ∈ R là một hàm số của n biến số xác định trên D. D gọi là miền xác định của hàm số f , các biến số x1, x2, , xn gọi là các biến số độc lập. n x = (x1, x2, , xn) tương ứng với một điểm M ∈ R có các tọa độ (x1, x2, , xn). Hàm số f (x) có thể viết dưới dạng u = f (M). Với hàm số hai biến số n = 2, hoặc hàm số ba biến số n = 3, ta dùng ký hiệu z = f (x, y), hay u = f (x, y, z), tương ứng. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho tập hợp D ⊂ Rn, khác rỗng. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 6 / 40
  7. n x = (x1, x2, , xn) tương ứng với một điểm M ∈ R có các tọa độ (x1, x2, , xn). Hàm số f (x) có thể viết dưới dạng u = f (M). Với hàm số hai biến số n = 2, hoặc hàm số ba biến số n = 3, ta dùng ký hiệu z = f (x, y), hay u = f (x, y, z), tương ứng. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho tập hợp D ⊂ Rn, khác rỗng. Định nghĩa Ta gọi ánh xạ f : D → R xác định bởi x = (x1, x2, , xn) ∈ D 7→ u = f (x) = f (x1, x2, , xn) ∈ R là một hàm số của n biến số xác định trên D. D gọi là miền xác định của hàm số f , các biến số x1, x2, , xn gọi là các biến số độc lập. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 6 / 40
  8. Với hàm số hai biến số n = 2, hoặc hàm số ba biến số n = 3, ta dùng ký hiệu z = f (x, y), hay u = f (x, y, z), tương ứng. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho tập hợp D ⊂ Rn, khác rỗng. Định nghĩa Ta gọi ánh xạ f : D → R xác định bởi x = (x1, x2, , xn) ∈ D 7→ u = f (x) = f (x1, x2, , xn) ∈ R là một hàm số của n biến số xác định trên D. D gọi là miền xác định của hàm số f , các biến số x1, x2, , xn gọi là các biến số độc lập. n x = (x1, x2, , xn) tương ứng với một điểm M ∈ R có các tọa độ (x1, x2, , xn). Hàm số f (x) có thể viết dưới dạng u = f (M). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 6 / 40
  9. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho tập hợp D ⊂ Rn, khác rỗng. Định nghĩa Ta gọi ánh xạ f : D → R xác định bởi x = (x1, x2, , xn) ∈ D 7→ u = f (x) = f (x1, x2, , xn) ∈ R là một hàm số của n biến số xác định trên D. D gọi là miền xác định của hàm số f , các biến số x1, x2, , xn gọi là các biến số độc lập. n x = (x1, x2, , xn) tương ứng với một điểm M ∈ R có các tọa độ (x1, x2, , xn). Hàm số f (x) có thể viết dưới dạng u = f (M). Với hàm số hai biến số n = 2, hoặc hàm số ba biến số n = 3, ta dùng ký hiệu z = f (x, y), hay u = f (x, y, z), tương ứng. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 6 / 40
  10. Miền xác định Cho hàm số u = f (M). Miền xác định của u là tập hợp tất cả các điểm M sao cho biểu thức f (M) có nghĩa. Ví dụ • Miền xác định của hàm số z = (x + 2y)p1 − x 2 − y 2 là hình tròn đóng tâm O(0; 0) bán kính 1. x 2 + y 2 • Hàm số f (x, y, z) = + arctan(x + z) có miền xác định là p3 x 2 + y 4 + z6 R3 \{(0, 0, 0)}. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Ví dụ Hàm số p z = 1 − x 2 − y 2 hàm số hai biến số, x + y u = + sin(x − y) + 1 hàm số ba biến số. p3 x 2 + y 4 + z6 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 7 / 40
  11. Ví dụ • Miền xác định của hàm số z = (x + 2y)p1 − x 2 − y 2 là hình tròn đóng tâm O(0; 0) bán kính 1. x 2 + y 2 • Hàm số f (x, y, z) = + arctan(x + z) có miền xác định là p3 x 2 + y 4 + z6 R3 \{(0, 0, 0)}. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Ví dụ Hàm số p z = 1 − x 2 − y 2 hàm số hai biến số, x + y u = + sin(x − y) + 1 hàm số ba biến số. p3 x 2 + y 4 + z6 Miền xác định Cho hàm số u = f (M). Miền xác định của u là tập hợp tất cả các điểm M sao cho biểu thức f (M) có nghĩa. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 7 / 40
  12. x 2 + y 2 • Hàm số f (x, y, z) = + arctan(x + z) có miền xác định là p3 x 2 + y 4 + z6 R3 \{(0, 0, 0)}. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Ví dụ Hàm số p z = 1 − x 2 − y 2 hàm số hai biến số, x + y u = + sin(x − y) + 1 hàm số ba biến số. p3 x 2 + y 4 + z6 Miền xác định Cho hàm số u = f (M). Miền xác định của u là tập hợp tất cả các điểm M sao cho biểu thức f (M) có nghĩa. Ví dụ • Miền xác định của hàm số z = (x + 2y)p1 − x 2 − y 2 là hình tròn đóng tâm O(0; 0) bán kính 1. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 7 / 40
  13. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Ví dụ Hàm số p z = 1 − x 2 − y 2 hàm số hai biến số, x + y u = + sin(x − y) + 1 hàm số ba biến số. p3 x 2 + y 4 + z6 Miền xác định Cho hàm số u = f (M). Miền xác định của u là tập hợp tất cả các điểm M sao cho biểu thức f (M) có nghĩa. Ví dụ • Miền xác định của hàm số z = (x + 2y)p1 − x 2 − y 2 là hình tròn đóng tâm O(0; 0) bán kính 1. x 2 + y 2 • Hàm số f (x, y, z) = + arctan(x + z) có miền xác định là p3 x 2 + y 4 + z6 R3 \{(0, 0, 0)}. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 7 / 40
  14. Ví dụ • Đồ thị của hàm số z = pR2 − x 2 − y 2 là nửa trên mặt cầu tâm O, bán kính R. • Hàm số z = x 2 + y 2 biểu diễn mặt paraboloit. • Hàm số z = px 2 + y 2 biểu diễn mặt nón, phía trên mặt phẳng Oxy. • Hàm số z = x 2 + 3y 2 biểu diễn mặt paraboloit eliptic. • Hàm số z = 3x 2 − y 2 biểu diễn mặt paraboloit hypebolic. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Đồ thị của hàm hai biến số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y, f (x, y)), với (x, y) ∈ D. Đó là một mặt cong trong không gian ba chiều R3. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 8 / 40
  15. • Hàm số z = x 2 + y 2 biểu diễn mặt paraboloit. • Hàm số z = px 2 + y 2 biểu diễn mặt nón, phía trên mặt phẳng Oxy. • Hàm số z = x 2 + 3y 2 biểu diễn mặt paraboloit eliptic. • Hàm số z = 3x 2 − y 2 biểu diễn mặt paraboloit hypebolic. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Đồ thị của hàm hai biến số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y, f (x, y)), với (x, y) ∈ D. Đó là một mặt cong trong không gian ba chiều R3. Ví dụ • Đồ thị của hàm số z = pR2 − x 2 − y 2 là nửa trên mặt cầu tâm O, bán kính R. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 8 / 40
  16. • Hàm số z = px 2 + y 2 biểu diễn mặt nón, phía trên mặt phẳng Oxy. • Hàm số z = x 2 + 3y 2 biểu diễn mặt paraboloit eliptic. • Hàm số z = 3x 2 − y 2 biểu diễn mặt paraboloit hypebolic. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Đồ thị của hàm hai biến số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y, f (x, y)), với (x, y) ∈ D. Đó là một mặt cong trong không gian ba chiều R3. Ví dụ • Đồ thị của hàm số z = pR2 − x 2 − y 2 là nửa trên mặt cầu tâm O, bán kính R. • Hàm số z = x 2 + y 2 biểu diễn mặt paraboloit. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 8 / 40
  17. • Hàm số z = x 2 + 3y 2 biểu diễn mặt paraboloit eliptic. • Hàm số z = 3x 2 − y 2 biểu diễn mặt paraboloit hypebolic. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Đồ thị của hàm hai biến số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y, f (x, y)), với (x, y) ∈ D. Đó là một mặt cong trong không gian ba chiều R3. Ví dụ • Đồ thị của hàm số z = pR2 − x 2 − y 2 là nửa trên mặt cầu tâm O, bán kính R. • Hàm số z = x 2 + y 2 biểu diễn mặt paraboloit. • Hàm số z = px 2 + y 2 biểu diễn mặt nón, phía trên mặt phẳng Oxy. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 8 / 40
  18. • Hàm số z = 3x 2 − y 2 biểu diễn mặt paraboloit hypebolic. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Đồ thị của hàm hai biến số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y, f (x, y)), với (x, y) ∈ D. Đó là một mặt cong trong không gian ba chiều R3. Ví dụ • Đồ thị của hàm số z = pR2 − x 2 − y 2 là nửa trên mặt cầu tâm O, bán kính R. • Hàm số z = x 2 + y 2 biểu diễn mặt paraboloit. • Hàm số z = px 2 + y 2 biểu diễn mặt nón, phía trên mặt phẳng Oxy. • Hàm số z = x 2 + 3y 2 biểu diễn mặt paraboloit eliptic. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 8 / 40
  19. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Đồ thị của hàm hai biến số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y, f (x, y)), với (x, y) ∈ D. Đó là một mặt cong trong không gian ba chiều R3. Ví dụ • Đồ thị của hàm số z = pR2 − x 2 − y 2 là nửa trên mặt cầu tâm O, bán kính R. • Hàm số z = x 2 + y 2 biểu diễn mặt paraboloit. • Hàm số z = px 2 + y 2 biểu diễn mặt nón, phía trên mặt phẳng Oxy. • Hàm số z = x 2 + 3y 2 biểu diễn mặt paraboloit eliptic. • Hàm số z = 3x 2 − y 2 biểu diễn mặt paraboloit hypebolic. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 8 / 40
  20. Nội dung 1 Các định nghĩa 2 Giới hạn và liên tục của hàm số nhiều biến số 3 Đạo hàm và vi phân 4 Cực trị của hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 9 / 40
  21. Giả sử hàm số z = f (M) = f (x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M0(x0, y0), có thể trừ tại điểm M0. Ta nói rằng hàm số f (x, y) có giới hạn là ` khi M dần đến M0 nếu với mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận V , dần đến M0 ta đều có lim f (xn, yn) = `. n→∞ Khi đó ta viết lim f (x, y) = ` hay lim f (M) = `. (x,y)→(x0,y0) M→M0 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 2 Ta nói dãy điểm {Mn(xn, yn)} dần tới điểm M0(x0, y0) trong R và viết Mn → M0 khi n → ∞ nếu p 2 2 lim d(Mn, M0) = lim (xn − x0) + (yn − y0) = 0, n→∞ n→∞ tức là xn → x0, yn → y0 (hội tụ theo từng tọa độ). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 10 / 40
  22. Khi đó ta viết lim f (x, y) = ` hay lim f (M) = `. (x,y)→(x0,y0) M→M0 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 2 Ta nói dãy điểm {Mn(xn, yn)} dần tới điểm M0(x0, y0) trong R và viết Mn → M0 khi n → ∞ nếu p 2 2 lim d(Mn, M0) = lim (xn − x0) + (yn − y0) = 0, n→∞ n→∞ tức là xn → x0, yn → y0 (hội tụ theo từng tọa độ). Giả sử hàm số z = f (M) = f (x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M0(x0, y0), có thể trừ tại điểm M0. Ta nói rằng hàm số f (x, y) có giới hạn là ` khi M dần đến M0 nếu với mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận V , dần đến M0 ta đều có lim f (xn, yn) = `. n→∞ Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 10 / 40
  23. Giới hạn của hàm số nhiều biến số 2 Ta nói dãy điểm {Mn(xn, yn)} dần tới điểm M0(x0, y0) trong R và viết Mn → M0 khi n → ∞ nếu p 2 2 lim d(Mn, M0) = lim (xn − x0) + (yn − y0) = 0, n→∞ n→∞ tức là xn → x0, yn → y0 (hội tụ theo từng tọa độ). Giả sử hàm số z = f (M) = f (x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M0(x0, y0), có thể trừ tại điểm M0. Ta nói rằng hàm số f (x, y) có giới hạn là ` khi M dần đến M0 nếu với mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận V , dần đến M0 ta đều có lim f (xn, yn) = `. n→∞ Khi đó ta viết lim f (x, y) = ` hay lim f (M) = `. (x,y)→(x0,y0) M→M0 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 10 / 40
  24. Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số. Ví dụ 1 π lim = ∞, lim arctan(x − 2y) = . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(∞,1) 2 Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số. x 2y Ví dụTìm giới hạn lim (Đề thi 2010). (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Giới hạn của hàm số nhiều biến số Định nghĩa tương đương Hàm số f (M) có giới hạn ` khi M dần tới M0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |f (M) − `| < ε với d(M0, M) < δ. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 11 / 40
  25. Ví dụ 1 π lim = ∞, lim arctan(x − 2y) = . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(∞,1) 2 Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số. x 2y Ví dụTìm giới hạn lim (Đề thi 2010). (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Giới hạn của hàm số nhiều biến số Định nghĩa tương đương Hàm số f (M) có giới hạn ` khi M dần tới M0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |f (M) − `| < ε với d(M0, M) < δ. Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 11 / 40
  26. Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số. x 2y Ví dụTìm giới hạn lim (Đề thi 2010). (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Giới hạn của hàm số nhiều biến số Định nghĩa tương đương Hàm số f (M) có giới hạn ` khi M dần tới M0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |f (M) − `| < ε với d(M0, M) < δ. Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số. Ví dụ 1 π lim = ∞, lim arctan(x − 2y) = . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(∞,1) 2 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 11 / 40
  27. x 2y Ví dụTìm giới hạn lim (Đề thi 2010). (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Giới hạn của hàm số nhiều biến số Định nghĩa tương đương Hàm số f (M) có giới hạn ` khi M dần tới M0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |f (M) − `| < ε với d(M0, M) < δ. Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số. Ví dụ 1 π lim = ∞, lim arctan(x − 2y) = . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(∞,1) 2 Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 11 / 40
  28. Giới hạn của hàm số nhiều biến số Định nghĩa tương đương Hàm số f (M) có giới hạn ` khi M dần tới M0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |f (M) − `| < ε với d(M0, M) < δ. Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số. Ví dụ 1 π lim = ∞, lim arctan(x − 2y) = . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(∞,1) 2 Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số. x 2y Ví dụTìm giới hạn lim (Đề thi 2010). (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 11 / 40
  29. • Đưa về các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số. • Phương pháp đánh giá, dùng nguyên lý kẹp. Ví dụ Tìm các giới hạn sau y sin2 x x(e2y − 1) − 2y(ex − 1) lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số 0 0 • Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy (xn, yn) → (x0, y0) và (xn, yn) → (x0, y0) sao 0 0 cho lim f (xn, yn) 6= lim f (xn, yn) n→∞ n→∞ • Hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) → (x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai giới hạn khác nhau. Ví dụ Tìm giới hạn lim f (x, y) với f (x, y) = ln (x 2) − ln (x 2 + 2y 2). (x,y)→(0,0) Giới hạn của hàm số nhiều biến số Tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 12 / 40
  30. • Phương pháp đánh giá, dùng nguyên lý kẹp. Ví dụ Tìm các giới hạn sau y sin2 x x(e2y − 1) − 2y(ex − 1) lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số 0 0 • Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy (xn, yn) → (x0, y0) và (xn, yn) → (x0, y0) sao 0 0 cho lim f (xn, yn) 6= lim f (xn, yn) n→∞ n→∞ • Hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) → (x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai giới hạn khác nhau. Ví dụ Tìm giới hạn lim f (x, y) với f (x, y) = ln (x 2) − ln (x 2 + 2y 2). (x,y)→(0,0) Giới hạn của hàm số nhiều biến số Tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số • Đưa về các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 12 / 40
  31. Ví dụ Tìm các giới hạn sau y sin2 x x(e2y − 1) − 2y(ex − 1) lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số 0 0 • Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy (xn, yn) → (x0, y0) và (xn, yn) → (x0, y0) sao 0 0 cho lim f (xn, yn) 6= lim f (xn, yn) n→∞ n→∞ • Hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) → (x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai giới hạn khác nhau. Ví dụ Tìm giới hạn lim f (x, y) với f (x, y) = ln (x 2) − ln (x 2 + 2y 2). (x,y)→(0,0) Giới hạn của hàm số nhiều biến số Tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số • Đưa về các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số. • Phương pháp đánh giá, dùng nguyên lý kẹp. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 12 / 40
  32. Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số 0 0 • Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy (xn, yn) → (x0, y0) và (xn, yn) → (x0, y0) sao 0 0 cho lim f (xn, yn) 6= lim f (xn, yn) n→∞ n→∞ • Hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) → (x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai giới hạn khác nhau. Ví dụ Tìm giới hạn lim f (x, y) với f (x, y) = ln (x 2) − ln (x 2 + 2y 2). (x,y)→(0,0) Giới hạn của hàm số nhiều biến số Tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số • Đưa về các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số. • Phương pháp đánh giá, dùng nguyên lý kẹp. Ví dụ Tìm các giới hạn sau y sin2 x x(e2y − 1) − 2y(ex − 1) lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 12 / 40
  33. 0 0 • Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy (xn, yn) → (x0, y0) và (xn, yn) → (x0, y0) sao 0 0 cho lim f (xn, yn) 6= lim f (xn, yn) n→∞ n→∞ • Hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) → (x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai giới hạn khác nhau. Ví dụ Tìm giới hạn lim f (x, y) với f (x, y) = ln (x 2) − ln (x 2 + 2y 2). (x,y)→(0,0) Giới hạn của hàm số nhiều biến số Tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số • Đưa về các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số. • Phương pháp đánh giá, dùng nguyên lý kẹp. Ví dụ Tìm các giới hạn sau y sin2 x x(e2y − 1) − 2y(ex − 1) lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 12 / 40
  34. • Hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) → (x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai giới hạn khác nhau. Ví dụ Tìm giới hạn lim f (x, y) với f (x, y) = ln (x 2) − ln (x 2 + 2y 2). (x,y)→(0,0) Giới hạn của hàm số nhiều biến số Tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số • Đưa về các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số. • Phương pháp đánh giá, dùng nguyên lý kẹp. Ví dụ Tìm các giới hạn sau y sin2 x x(e2y − 1) − 2y(ex − 1) lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số 0 0 • Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy (xn, yn) → (x0, y0) và (xn, yn) → (x0, y0) sao 0 0 cho lim f (xn, yn) 6= lim f (xn, yn) n→∞ n→∞ Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 12 / 40
  35. Ví dụ Tìm giới hạn lim f (x, y) với f (x, y) = ln (x 2) − ln (x 2 + 2y 2). (x,y)→(0,0) Giới hạn của hàm số nhiều biến số Tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số • Đưa về các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số. • Phương pháp đánh giá, dùng nguyên lý kẹp. Ví dụ Tìm các giới hạn sau y sin2 x x(e2y − 1) − 2y(ex − 1) lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số 0 0 • Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy (xn, yn) → (x0, y0) và (xn, yn) → (x0, y0) sao 0 0 cho lim f (xn, yn) 6= lim f (xn, yn) n→∞ n→∞ • Hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) → (x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai giới hạn khác nhau. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 12 / 40
  36. Giới hạn của hàm số nhiều biến số Tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số • Đưa về các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số. • Phương pháp đánh giá, dùng nguyên lý kẹp. Ví dụ Tìm các giới hạn sau y sin2 x x(e2y − 1) − 2y(ex − 1) lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 Chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số 0 0 • Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy (xn, yn) → (x0, y0) và (xn, yn) → (x0, y0) sao 0 0 cho lim f (xn, yn) 6= lim f (xn, yn) n→∞ n→∞ • Hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) → (x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai giới hạn khác nhau. Ví dụ Tìm giới hạn lim f (x, y) với f (x, y) = ln (x 2) − ln (x 2 + 2y 2). (x,y)→(0,0) Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 12 / 40
  37. Bài tậpTìm các giới hạn sau x arctan y x ln(2y + 1) − y arctan x lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + 2y 2 (x,y)→(0,0) y sin x Giới hạn của hàm số nhiều biến số Chú ý Các giới hạn lặp  x 2   x 2  lim lim ln = 0, lim lim ln = −∞. x→0 y→0 x 2 + 2y 2 y→0 x→0 x 2 + 2y 2 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 13 / 40
  38. Giới hạn của hàm số nhiều biến số Chú ý Các giới hạn lặp  x 2   x 2  lim lim ln = 0, lim lim ln = −∞. x→0 y→0 x 2 + 2y 2 y→0 x→0 x 2 + 2y 2 Bài tậpTìm các giới hạn sau x arctan y x ln(2y + 1) − y arctan x lim , lim . (x,y)→(0,0) x 2 + 2y 2 (x,y)→(0,0) y sin x Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 13 / 40
  39. Nếu miền D đóng và M0 là điểm biên của D thì lim f (M) được hiểu là giới M→M0 hạn của f (M) khi M dần tới M0 ở bên trong của D. • Hàm số f (M) liên tục tại điểm M0(x0, y0) nếu ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0. • Hàm số f (M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. Hàm số liên tục • Giả sử hàm số f (M) xác định trong miền D, M0 ∈ D. Ta nói rằng hàm số f (M) liên tục tại điểm M0 nếu lim f (M) = f (M0) M→M0 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 14 / 40
  40. • Hàm số f (M) liên tục tại điểm M0(x0, y0) nếu ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0. • Hàm số f (M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. Hàm số liên tục • Giả sử hàm số f (M) xác định trong miền D, M0 ∈ D. Ta nói rằng hàm số f (M) liên tục tại điểm M0 nếu lim f (M) = f (M0) M→M0 Nếu miền D đóng và M0 là điểm biên của D thì lim f (M) được hiểu là giới M→M0 hạn của f (M) khi M dần tới M0 ở bên trong của D. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 14 / 40
  41. • Hàm số f (M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. Hàm số liên tục • Giả sử hàm số f (M) xác định trong miền D, M0 ∈ D. Ta nói rằng hàm số f (M) liên tục tại điểm M0 nếu lim f (M) = f (M0) M→M0 Nếu miền D đóng và M0 là điểm biên của D thì lim f (M) được hiểu là giới M→M0 hạn của f (M) khi M dần tới M0 ở bên trong của D. • Hàm số f (M) liên tục tại điểm M0(x0, y0) nếu ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 14 / 40
  42. Hàm số liên tục • Giả sử hàm số f (M) xác định trong miền D, M0 ∈ D. Ta nói rằng hàm số f (M) liên tục tại điểm M0 nếu lim f (M) = f (M0) M→M0 Nếu miền D đóng và M0 là điểm biên của D thì lim f (M) được hiểu là giới M→M0 hạn của f (M) khi M dần tới M0 ở bên trong của D. • Hàm số f (M) liên tục tại điểm M0(x0, y0) nếu ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0. • Hàm số f (M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 14 / 40
  43. • Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên tục. Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm số 2x 2y − xy 2  khi x 2 + y 2 6= 0, f (x, y) = x 2 + y 2 a khi x 2 + y 2 = 0. Hàm số liên tục • Hàm số f (M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |f (M) − f (M0)| < ε với mọi cặp điểm M, M0 ∈ D mà d(M, M0) < δ. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 15 / 40
  44. Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm số 2x 2y − xy 2  khi x 2 + y 2 6= 0, f (x, y) = x 2 + y 2 a khi x 2 + y 2 = 0. Hàm số liên tục • Hàm số f (M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |f (M) − f (M0)| < ε với mọi cặp điểm M, M0 ∈ D mà d(M, M0) < δ. • Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên tục. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 15 / 40
  45. Hàm số liên tục • Hàm số f (M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |f (M) − f (M0)| < ε với mọi cặp điểm M, M0 ∈ D mà d(M, M0) < δ. • Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên tục. Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm số 2x 2y − xy 2  khi x 2 + y 2 6= 0, f (x, y) = x 2 + y 2 a khi x 2 + y 2 = 0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 15 / 40
  46. Với mọi a, hàm số f (x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), hàm f không liên tục tại điểm (0, 0). Ví dụ 3 Xét tính liên tục của hàm số  |xy|α  khi (x, y) 6= (0, 0), g(x, y) = x 2 + y 2 0 khi (x, y) = (0, 0). Hàm số g(x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0). Hàm g liên tục tại điểm (0, 0) nếu α > 1 và gián đoạn (không liên tục) tại điểm (0, 0) nếu α ≤ 1. Hàm số liên tục Ví dụ 2 Xét tính liên tục của hàm số x 2(x 2 − y)  khi (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = x 4 + y 2 a khi (x, y) = (0, 0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 16 / 40
  47. Ví dụ 3 Xét tính liên tục của hàm số  |xy|α  khi (x, y) 6= (0, 0), g(x, y) = x 2 + y 2 0 khi (x, y) = (0, 0). Hàm số g(x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0). Hàm g liên tục tại điểm (0, 0) nếu α > 1 và gián đoạn (không liên tục) tại điểm (0, 0) nếu α ≤ 1. Hàm số liên tục Ví dụ 2 Xét tính liên tục của hàm số x 2(x 2 − y)  khi (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = x 4 + y 2 a khi (x, y) = (0, 0). Với mọi a, hàm số f (x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), hàm f không liên tục tại điểm (0, 0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 16 / 40
  48. Hàm số g(x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0). Hàm g liên tục tại điểm (0, 0) nếu α > 1 và gián đoạn (không liên tục) tại điểm (0, 0) nếu α ≤ 1. Hàm số liên tục Ví dụ 2 Xét tính liên tục của hàm số x 2(x 2 − y)  khi (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = x 4 + y 2 a khi (x, y) = (0, 0). Với mọi a, hàm số f (x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), hàm f không liên tục tại điểm (0, 0). Ví dụ 3 Xét tính liên tục của hàm số  |xy|α  khi (x, y) 6= (0, 0), g(x, y) = x 2 + y 2 0 khi (x, y) = (0, 0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 16 / 40
  49. Hàm số liên tục Ví dụ 2 Xét tính liên tục của hàm số x 2(x 2 − y)  khi (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = x 4 + y 2 a khi (x, y) = (0, 0). Với mọi a, hàm số f (x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), hàm f không liên tục tại điểm (0, 0). Ví dụ 3 Xét tính liên tục của hàm số  |xy|α  khi (x, y) 6= (0, 0), g(x, y) = x 2 + y 2 0 khi (x, y) = (0, 0). Hàm số g(x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0). Hàm g liên tục tại điểm (0, 0) nếu α > 1 và gián đoạn (không liên tục) tại điểm (0, 0) nếu α ≤ 1. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 16 / 40
  50. Nội dung 1 Các định nghĩa 2 Giới hạn và liên tục của hàm số nhiều biến số 3 Đạo hàm và vi phân 4 Cực trị của hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 17 / 40
  51. ∂f Đạo hàm riêng của f đối với biến x tại M , ký hiệu là f 0(x , y ) hay (x , y ) 0 x 0 0 ∂x 0 0 ∂z hay (x , y ), được định nghĩa như sau ∂x 0 0 ∂f f (x0 + 4x, y0) − f (x0, y0) 4x f (x0, y0) = lim = lim , ∂x 4x→0 4x 4x→0 4x trong đó 4x f = f (x0 + 4x, y0) − f (x0, y0) gọi là số gia riêng của hàm f (x, y) theo x tại điểm (x0, y0). Tương tự, đạo hàm riêng của f đối với biến y, ∂f f (x0, y0 + 4y) − f (x0, y0) 4y f (x0, y0) = lim = lim . ∂y 4y→0 4y 4y→0 4y Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M0(x0, y0) ∈ D. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 18 / 40
  52. Tương tự, đạo hàm riêng của f đối với biến y, ∂f f (x0, y0 + 4y) − f (x0, y0) 4y f (x0, y0) = lim = lim . ∂y 4y→0 4y 4y→0 4y Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M0(x0, y0) ∈ D. ∂f Đạo hàm riêng của f đối với biến x tại M , ký hiệu là f 0(x , y ) hay (x , y ) 0 x 0 0 ∂x 0 0 ∂z hay (x , y ), được định nghĩa như sau ∂x 0 0 ∂f f (x0 + 4x, y0) − f (x0, y0) 4x f (x0, y0) = lim = lim , ∂x 4x→0 4x 4x→0 4x trong đó 4x f = f (x0 + 4x, y0) − f (x0, y0) gọi là số gia riêng của hàm f (x, y) theo x tại điểm (x0, y0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 18 / 40
  53. Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M0(x0, y0) ∈ D. ∂f Đạo hàm riêng của f đối với biến x tại M , ký hiệu là f 0(x , y ) hay (x , y ) 0 x 0 0 ∂x 0 0 ∂z hay (x , y ), được định nghĩa như sau ∂x 0 0 ∂f f (x0 + 4x, y0) − f (x0, y0) 4x f (x0, y0) = lim = lim , ∂x 4x→0 4x 4x→0 4x trong đó 4x f = f (x0 + 4x, y0) − f (x0, y0) gọi là số gia riêng của hàm f (x, y) theo x tại điểm (x0, y0). Tương tự, đạo hàm riêng của f đối với biến y, ∂f f (x0, y0 + 4y) − f (x0, y0) 4y f (x0, y0) = lim = lim . ∂y 4y→0 4y 4y→0 4y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 18 / 40
  54. Ví dụ 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số f (x, y) = x ln(x 2 + y 3 + 1), g(x, y, z) = x 2y + y z arctan(x + y). Ví dụ 2 Tính các đạo hàm riêng của hàm số  x 2 − y 2 xy , (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0, (x, y) = (0, 0). Đạo hàm riêng Chú ý Khi tính đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số theo biến số nào thì xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến số ấy, các biến khác xem như không đổi, rồi tính đạo hàm theo biến ấy, như tính đối với hàm số một biến số. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 19 / 40
  55. Ví dụ 2 Tính các đạo hàm riêng của hàm số  x 2 − y 2 xy , (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0, (x, y) = (0, 0). Đạo hàm riêng Chú ý Khi tính đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số theo biến số nào thì xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến số ấy, các biến khác xem như không đổi, rồi tính đạo hàm theo biến ấy, như tính đối với hàm số một biến số. Ví dụ 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số f (x, y) = x ln(x 2 + y 3 + 1), g(x, y, z) = x 2y + y z arctan(x + y). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 19 / 40
  56. Đạo hàm riêng Chú ý Khi tính đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số theo biến số nào thì xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến số ấy, các biến khác xem như không đổi, rồi tính đạo hàm theo biến ấy, như tính đối với hàm số một biến số. Ví dụ 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số f (x, y) = x ln(x 2 + y 3 + 1), g(x, y, z) = x 2y + y z arctan(x + y). Ví dụ 2 Tính các đạo hàm riêng của hàm số  x 2 − y 2 xy , (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0, (x, y) = (0, 0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 19 / 40
  57. Nếu như 4f có thể biểu diễn dưới dạng 4f = A 4 x + B 4 y + α 4 x + β 4 y trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc x0, y0 còn α, β → 0 khi M → M0, tức là khi 4x → 0, 4y → 0, thì ta nói hàm số z khả vi tại M0. Biểu thức A 4 x + B 4 y được gọi là vi phân toàn phần của z = f (x, y) tại M0 và được kí hiệu là dz hay df dz = A∆x + B∆y. Vi phân toàn phần Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm M0(x0, y0) ∈ D, M(x0 + 4x, y0 + 4y) ∈ D. Biểu thức 4f = f (x0 + 4x, y0 + 4y) − f (x0, y0) được gọi là số gia toàn phần của f tại M0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 20 / 40
  58. Biểu thức A 4 x + B 4 y được gọi là vi phân toàn phần của z = f (x, y) tại M0 và được kí hiệu là dz hay df dz = A∆x + B∆y. Vi phân toàn phần Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm M0(x0, y0) ∈ D, M(x0 + 4x, y0 + 4y) ∈ D. Biểu thức 4f = f (x0 + 4x, y0 + 4y) − f (x0, y0) được gọi là số gia toàn phần của f tại M0. Nếu như 4f có thể biểu diễn dưới dạng 4f = A 4 x + B 4 y + α 4 x + β 4 y trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc x0, y0 còn α, β → 0 khi M → M0, tức là khi 4x → 0, 4y → 0, thì ta nói hàm số z khả vi tại M0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 20 / 40
  59. Vi phân toàn phần Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm M0(x0, y0) ∈ D, M(x0 + 4x, y0 + 4y) ∈ D. Biểu thức 4f = f (x0 + 4x, y0 + 4y) − f (x0, y0) được gọi là số gia toàn phần của f tại M0. Nếu như 4f có thể biểu diễn dưới dạng 4f = A 4 x + B 4 y + α 4 x + β 4 y trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc x0, y0 còn α, β → 0 khi M → M0, tức là khi 4x → 0, 4y → 0, thì ta nói hàm số z khả vi tại M0. Biểu thức A 4 x + B 4 y được gọi là vi phân toàn phần của z = f (x, y) tại M0 và được kí hiệu là dz hay df dz = A∆x + B∆y. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 20 / 40
  60. Chú ý Nếu hàm số f (x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0) thì ta suy ra rằng ∆f → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0, tức là hàm số f (x, y) liên tục tại M0. Xét hàm số  x sin y  nếu (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0 nếu (x, y) = (0, 0) Hàm số có các đạo hàm riêng tại điểm (0, 0), nhưng không liên tục tại điểm (0, 0) và do đó không khả vi tại điểm (0, 0). Vi phân toàn phần Hàm số z = f (x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 21 / 40
  61. Xét hàm số  x sin y  nếu (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0 nếu (x, y) = (0, 0) Hàm số có các đạo hàm riêng tại điểm (0, 0), nhưng không liên tục tại điểm (0, 0) và do đó không khả vi tại điểm (0, 0). Vi phân toàn phần Hàm số z = f (x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy. Chú ý Nếu hàm số f (x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0) thì ta suy ra rằng ∆f → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0, tức là hàm số f (x, y) liên tục tại M0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 21 / 40
  62. Hàm số có các đạo hàm riêng tại điểm (0, 0), nhưng không liên tục tại điểm (0, 0) và do đó không khả vi tại điểm (0, 0). Vi phân toàn phần Hàm số z = f (x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy. Chú ý Nếu hàm số f (x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0) thì ta suy ra rằng ∆f → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0, tức là hàm số f (x, y) liên tục tại M0. Xét hàm số  x sin y  nếu (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0 nếu (x, y) = (0, 0) Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 21 / 40
  63. Vi phân toàn phần Hàm số z = f (x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy. Chú ý Nếu hàm số f (x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0) thì ta suy ra rằng ∆f → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0, tức là hàm số f (x, y) liên tục tại M0. Xét hàm số  x sin y  nếu (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0 nếu (x, y) = (0, 0) Hàm số có các đạo hàm riêng tại điểm (0, 0), nhưng không liên tục tại điểm (0, 0) và do đó không khả vi tại điểm (0, 0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 21 / 40
  64. Định lý Nếu hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của M0 và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì f (x, y) khả vi tại M0 và 0 0 dz = fx 4 x + fy 4 y. Nếu x, y là các biến số độc lập thì dx = ∆x, dy = ∆y, do đó 0 0 dz = fx dx + fy dy. Ví dụ Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x, y) = xpx 2 + y 2. Tính df (1; 0). Vi phân toàn phần Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) khả vi tại M0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 22 / 40
  65. Nếu x, y là các biến số độc lập thì dx = ∆x, dy = ∆y, do đó 0 0 dz = fx dx + fy dy. Ví dụ Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x, y) = xpx 2 + y 2. Tính df (1; 0). Vi phân toàn phần Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) khả vi tại M0. Định lý Nếu hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của M0 và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì f (x, y) khả vi tại M0 và 0 0 dz = fx 4 x + fy 4 y. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 22 / 40
  66. Ví dụ Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x, y) = xpx 2 + y 2. Tính df (1; 0). Vi phân toàn phần Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) khả vi tại M0. Định lý Nếu hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của M0 và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì f (x, y) khả vi tại M0 và 0 0 dz = fx 4 x + fy 4 y. Nếu x, y là các biến số độc lập thì dx = ∆x, dy = ∆y, do đó 0 0 dz = fx dx + fy dy. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 22 / 40
  67. Vi phân toàn phần Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) khả vi tại M0. Định lý Nếu hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của M0 và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì f (x, y) khả vi tại M0 và 0 0 dz = fx 4 x + fy 4 y. Nếu x, y là các biến số độc lập thì dx = ∆x, dy = ∆y, do đó 0 0 dz = fx dx + fy dy. Ví dụ Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x, y) = xpx 2 + y 2. Tính df (1; 0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 22 / 40
  68. Ví dụ 1 (Đề thi 2010) Dùng vi phân toàn phần của hàm số để tính giá trị gần đúng của biểu thức A = p(3, 04)2 + (2, 02)3 − 1. p 2 3 Lời giải Xét hàm số f (x, y) = x + y − 1. Lấy điểm (x0, y0) = (3; 2) và ∆x = 0, 04, ∆y = 0, 02. Ví dụ 2 (Đề thi 2010) Tính giá trị gần đúng của các biểu thức a) A = e0,01 sin(0, 02) b) B = (1, 02)1,01. Vi phân toàn phần Công thức tính xấp xỉ 0 0 f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0) + fx (x0, y0)∆x + fy (x0, y0)∆y. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 23 / 40
  69. p 2 3 Lời giải Xét hàm số f (x, y) = x + y − 1. Lấy điểm (x0, y0) = (3; 2) và ∆x = 0, 04, ∆y = 0, 02. Ví dụ 2 (Đề thi 2010) Tính giá trị gần đúng của các biểu thức a) A = e0,01 sin(0, 02) b) B = (1, 02)1,01. Vi phân toàn phần Công thức tính xấp xỉ 0 0 f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0) + fx (x0, y0)∆x + fy (x0, y0)∆y. Ví dụ 1 (Đề thi 2010) Dùng vi phân toàn phần của hàm số để tính giá trị gần đúng của biểu thức A = p(3, 04)2 + (2, 02)3 − 1. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 23 / 40
  70. Ví dụ 2 (Đề thi 2010) Tính giá trị gần đúng của các biểu thức a) A = e0,01 sin(0, 02) b) B = (1, 02)1,01. Vi phân toàn phần Công thức tính xấp xỉ 0 0 f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0) + fx (x0, y0)∆x + fy (x0, y0)∆y. Ví dụ 1 (Đề thi 2010) Dùng vi phân toàn phần của hàm số để tính giá trị gần đúng của biểu thức A = p(3, 04)2 + (2, 02)3 − 1. p 2 3 Lời giải Xét hàm số f (x, y) = x + y − 1. Lấy điểm (x0, y0) = (3; 2) và ∆x = 0, 04, ∆y = 0, 02. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 23 / 40
  71. Vi phân toàn phần Công thức tính xấp xỉ 0 0 f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0) + fx (x0, y0)∆x + fy (x0, y0)∆y. Ví dụ 1 (Đề thi 2010) Dùng vi phân toàn phần của hàm số để tính giá trị gần đúng của biểu thức A = p(3, 04)2 + (2, 02)3 − 1. p 2 3 Lời giải Xét hàm số f (x, y) = x + y − 1. Lấy điểm (x0, y0) = (3; 2) và ∆x = 0, 04, ∆y = 0, 02. Ví dụ 2 (Đề thi 2010) Tính giá trị gần đúng của các biểu thức a) A = e0,01 sin(0, 02) b) B = (1, 02)1,01. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 23 / 40
  72. Ta không phân biệt giữa F và f . Chẳng hạn có thể viết ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x Đạo hàm của hàm số hợp Giả sử F = f ◦ ϕ là hàm số hợp của hai hàm số f và ϕ ϕ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), z = F (x, y) = f (u(x, y), v(x, y)). Định lý ∂f ∂f Nếu f có các đạo hàm riêng , liên tục trong ϕ(D) và nếu u, v có các đạo ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂F ∂F hàm riêng , , , trong D thì tồn tại các đạo hàm riêng , và ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 24 / 40
  73. Đạo hàm của hàm số hợp Giả sử F = f ◦ ϕ là hàm số hợp của hai hàm số f và ϕ ϕ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), z = F (x, y) = f (u(x, y), v(x, y)). Định lý ∂f ∂f Nếu f có các đạo hàm riêng , liên tục trong ϕ(D) và nếu u, v có các đạo ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂F ∂F hàm riêng , , , trong D thì tồn tại các đạo hàm riêng , và ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Ta không phân biệt giữa F và f . Chẳng hạn có thể viết ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 24 / 40
  74. Xét ví dụ Cho hàm số hợp z = (u2 + 1) sin(v), với u = ex−y , v = x 2 + y 2. Nếu hàm z = f (x, y) và y = y(x) thì z là hàm số hợp của x (hàm một biến số đối với x), z = f (x, y(x)). Đạo hàm của hàm số này là dz ∂f ∂f = + y 0(x). dx ∂x ∂y Nếu hàm z = f (x, y) và x = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gian x, y, z = f (x(t), y(t)). Đạo hàm của hàm số này là dz ∂f ∂f = x 0(t) + y 0(t). dt ∂x ∂y Đạo hàm của hàm số hợp Ma trận Jacobi ∂u ∂u  D(u, v) := ∂x ∂y  D(x, y) ∂v ∂v  ∂x ∂y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 25 / 40
  75. Nếu hàm z = f (x, y) và y = y(x) thì z là hàm số hợp của x (hàm một biến số đối với x), z = f (x, y(x)). Đạo hàm của hàm số này là dz ∂f ∂f = + y 0(x). dx ∂x ∂y Nếu hàm z = f (x, y) và x = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gian x, y, z = f (x(t), y(t)). Đạo hàm của hàm số này là dz ∂f ∂f = x 0(t) + y 0(t). dt ∂x ∂y Đạo hàm của hàm số hợp Ma trận Jacobi ∂u ∂u  D(u, v) := ∂x ∂y  D(x, y) ∂v ∂v  ∂x ∂y Xét ví dụ Cho hàm số hợp z = (u2 + 1) sin(v), với u = ex−y , v = x 2 + y 2. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 25 / 40
  76. Nếu hàm z = f (x, y) và x = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gian x, y, z = f (x(t), y(t)). Đạo hàm của hàm số này là dz ∂f ∂f = x 0(t) + y 0(t). dt ∂x ∂y Đạo hàm của hàm số hợp Ma trận Jacobi ∂u ∂u  D(u, v) := ∂x ∂y  D(x, y) ∂v ∂v  ∂x ∂y Xét ví dụ Cho hàm số hợp z = (u2 + 1) sin(v), với u = ex−y , v = x 2 + y 2. Nếu hàm z = f (x, y) và y = y(x) thì z là hàm số hợp của x (hàm một biến số đối với x), z = f (x, y(x)). Đạo hàm của hàm số này là dz ∂f ∂f = + y 0(x). dx ∂x ∂y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 25 / 40
  77. Đạo hàm của hàm số hợp Ma trận Jacobi ∂u ∂u  D(u, v) := ∂x ∂y  D(x, y) ∂v ∂v  ∂x ∂y Xét ví dụ Cho hàm số hợp z = (u2 + 1) sin(v), với u = ex−y , v = x 2 + y 2. Nếu hàm z = f (x, y) và y = y(x) thì z là hàm số hợp của x (hàm một biến số đối với x), z = f (x, y(x)). Đạo hàm của hàm số này là dz ∂f ∂f = + y 0(x). dx ∂x ∂y Nếu hàm z = f (x, y) và x = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gian x, y, z = f (x(t), y(t)). Đạo hàm của hàm số này là dz ∂f ∂f = x 0(t) + y 0(t). dt ∂x ∂y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 25 / 40
  78. Từ công thức đạo hàm của hàm số hợp  ∂f ∂u ∂f ∂v   ∂f ∂u ∂f ∂v  dz = + dx + + dy ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂f ∂u ∂u  ∂f ∂v ∂v  = dx + dy + dx + dy ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y ∂f ∂f = du + dv. ∂u ∂v Vi phân toàn phần Tính bất biến của vi phân cấp 1 Vi phân toàn phần ∂f ∂f dz = dx + dy. ∂x ∂y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 26 / 40
  79. Vi phân toàn phần Tính bất biến của vi phân cấp 1 Vi phân toàn phần ∂f ∂f dz = dx + dy. ∂x ∂y Từ công thức đạo hàm của hàm số hợp  ∂f ∂u ∂f ∂v   ∂f ∂u ∂f ∂v  dz = + dx + + dy ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂f ∂u ∂u  ∂f ∂v ∂v  = dx + dy + dx + dy ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y ∂f ∂f = du + dv. ∂u ∂v Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 26 / 40
  80. 0 0 Các đạo hàm riêng fx , fy là những đạo hàm riêng cấp một. Các đạo hàm riêng cấp hai   2 ∂ ∂f ∂ f 00 00 = = f (x, y) = f 2 (x, y) ∂x ∂x ∂x 2 xx x ∂  ∂f  ∂2f = = f 00 (x, y) ∂y ∂x ∂y∂x xy ∂  ∂f  ∂2f = = f 00 (x, y) ∂x ∂y ∂x∂y yx   2 ∂ ∂f ∂ f 00 00 = = f (x, y) = f 2 (x, y). ∂y ∂y ∂y 2 yy y Ví dụTính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = arctan(x 2 + y) + ex+2y + xy 2. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 27 / 40
  81. Các đạo hàm riêng cấp hai   2 ∂ ∂f ∂ f 00 00 = = f (x, y) = f 2 (x, y) ∂x ∂x ∂x 2 xx x ∂  ∂f  ∂2f = = f 00 (x, y) ∂y ∂x ∂y∂x xy ∂  ∂f  ∂2f = = f 00 (x, y) ∂x ∂y ∂x∂y yx   2 ∂ ∂f ∂ f 00 00 = = f (x, y) = f 2 (x, y). ∂y ∂y ∂y 2 yy y Ví dụTính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = arctan(x 2 + y) + ex+2y + xy 2. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). 0 0 Các đạo hàm riêng fx , fy là những đạo hàm riêng cấp một. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 27 / 40
  82. Ví dụTính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = arctan(x 2 + y) + ex+2y + xy 2. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). 0 0 Các đạo hàm riêng fx , fy là những đạo hàm riêng cấp một. Các đạo hàm riêng cấp hai   2 ∂ ∂f ∂ f 00 00 = = f (x, y) = f 2 (x, y) ∂x ∂x ∂x 2 xx x ∂  ∂f  ∂2f = = f 00 (x, y) ∂y ∂x ∂y∂x xy ∂  ∂f  ∂2f = = f 00 (x, y) ∂x ∂y ∂x∂y yx   2 ∂ ∂f ∂ f 00 00 = = f (x, y) = f 2 (x, y). ∂y ∂y ∂y 2 yy y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 27 / 40
  83. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). 0 0 Các đạo hàm riêng fx , fy là những đạo hàm riêng cấp một. Các đạo hàm riêng cấp hai   2 ∂ ∂f ∂ f 00 00 = = f (x, y) = f 2 (x, y) ∂x ∂x ∂x 2 xx x ∂  ∂f  ∂2f = = f 00 (x, y) ∂y ∂x ∂y∂x xy ∂  ∂f  ∂2f = = f 00 (x, y) ∂x ∂y ∂x∂y yx   2 ∂ ∂f ∂ f 00 00 = = f (x, y) = f 2 (x, y). ∂y ∂y ∂y 2 yy y Ví dụTính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = arctan(x 2 + y) + ex+2y + xy 2. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 27 / 40
  84. y Ví dụ 1 Cho hàm số z = y sin . Tính x 2 00 00 2 00 x zxx + 2xyzxy + y zyy . 1 00 00 00 Ví dụ 2 Cho hàm số u = . Tính ∆u := zxx + zyy + zzz . px 2 + y 2 + z2 Ví dụ 3 Cho hàm số  x sin3 y  khi x 2 + y 2 6= 0, f (x, y) = x 2 + y 2 0 khi x 2 + y 2 = 0. 0 00 Tính fx (x, y) và fxy (0, 0). Đạo hàm cấp cao Định lý (Schwarz) Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0, y0) hàm số z = f (x, y) có các 00 00 00 00 đạo hàm riêng fxy , fyx và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 28 / 40
  85. 1 00 00 00 Ví dụ 2 Cho hàm số u = . Tính ∆u := zxx + zyy + zzz . px 2 + y 2 + z2 Ví dụ 3 Cho hàm số  x sin3 y  khi x 2 + y 2 6= 0, f (x, y) = x 2 + y 2 0 khi x 2 + y 2 = 0. 0 00 Tính fx (x, y) và fxy (0, 0). Đạo hàm cấp cao Định lý (Schwarz) Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0, y0) hàm số z = f (x, y) có các 00 00 00 00 đạo hàm riêng fxy , fyx và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. y Ví dụ 1 Cho hàm số z = y sin . Tính x 2 00 00 2 00 x zxx + 2xyzxy + y zyy . Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 28 / 40
  86. Ví dụ 3 Cho hàm số  x sin3 y  khi x 2 + y 2 6= 0, f (x, y) = x 2 + y 2 0 khi x 2 + y 2 = 0. 0 00 Tính fx (x, y) và fxy (0, 0). Đạo hàm cấp cao Định lý (Schwarz) Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0, y0) hàm số z = f (x, y) có các 00 00 00 00 đạo hàm riêng fxy , fyx và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. y Ví dụ 1 Cho hàm số z = y sin . Tính x 2 00 00 2 00 x zxx + 2xyzxy + y zyy . 1 00 00 00 Ví dụ 2 Cho hàm số u = . Tính ∆u := zxx + zyy + zzz . px 2 + y 2 + z2 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 28 / 40
  87. Đạo hàm cấp cao Định lý (Schwarz) Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0, y0) hàm số z = f (x, y) có các 00 00 00 00 đạo hàm riêng fxy , fyx và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. y Ví dụ 1 Cho hàm số z = y sin . Tính x 2 00 00 2 00 x zxx + 2xyzxy + y zyy . 1 00 00 00 Ví dụ 2 Cho hàm số u = . Tính ∆u := zxx + zyy + zzz . px 2 + y 2 + z2 Ví dụ 3 Cho hàm số  x sin3 y  khi x 2 + y 2 6= 0, f (x, y) = x 2 + y 2 0 khi x 2 + y 2 = 0. 0 00 Tính fx (x, y) và fxy (0, 0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 28 / 40
  88. Vi phân toàn phần của hàm số dz nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của hàm z và được ký hiệu là d 2z. Vậy 2 0 0 0 0 0 0 0 0 d z = d(dz) = d(fx dx + fy dy) = (fx dx + fy dy)x dx + (fx dx + fy dy)y dy 00 2 00 00 00 2 = fxx (dx) + (fxy + fyx )dxdy + fyy (dy) . 00 00 Với giả thiết các hàm số fxy và fyx liên tục, và do đó chúng bằng nhau, suy ra  ∂ ∂ 2 d 2z = f 00 (dx)2 + 2f 00 dxdy + f 00 (dy)2 =: dx + dy f . xx xy yy ∂x ∂y Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến số z = f (x, y). Vi phân toàn phần 0 0 dz = fx dx + fy dy gọi là vi phân cấp 1 - là một hàm số hai biến số. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 29 / 40
  89. Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến số z = f (x, y). Vi phân toàn phần 0 0 dz = fx dx + fy dy gọi là vi phân cấp 1 - là một hàm số hai biến số. Vi phân toàn phần của hàm số dz nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của hàm z và được ký hiệu là d 2z. Vậy 2 0 0 0 0 0 0 0 0 d z = d(dz) = d(fx dx + fy dy) = (fx dx + fy dy)x dx + (fx dx + fy dy)y dy 00 2 00 00 00 2 = fxx (dx) + (fxy + fyx )dxdy + fyy (dy) . 00 00 Với giả thiết các hàm số fxy và fyx liên tục, và do đó chúng bằng nhau, suy ra  ∂ ∂ 2 d 2z = f 00 (dx)2 + 2f 00 dxdy + f 00 (dy)2 =: dx + dy f . xx xy yy ∂x ∂y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 29 / 40
  90. Ví dụTìm vi phân cấp hai của các hàm số sau p x 2 z = x 2 + y, z = arctan(x + 2y), z = . x + y 2 Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến số z = f (x, y). Vi phân cấp n  ∂ ∂ n d nz = d(d n−1x) =: dx + dy f . ∂x ∂y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 30 / 40
  91. Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến số z = f (x, y). Vi phân cấp n  ∂ ∂ n d nz = d(d n−1x) =: dx + dy f . ∂x ∂y Ví dụTìm vi phân cấp hai của các hàm số sau p x 2 z = x 2 + y, z = arctan(x + 2y), z = . x + y 2 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 30 / 40
  92. Ví dụ √ • x 3 + y 2 = 1 =⇒ y = ± 1 − x 3. 1 • x 5 + cos x − 3 + e3y = 0 =⇒ y = ln (3 − cos x − x 5). 3 • x 2y 3 + ln(x 2 + y 2 + 1) − arctan(x + y) − y 2 = xy =⇒ y =? Tương tự, phương trình F (x, y, z) = 0 có thể xác định một hay nhiều hàm số ẩn z của các biến số x và y: z = f (x, y). Ví dụ • x 2y + xy 2 + sin x + z3 = 1 =⇒ z = p3 1 − x 2y − xy 2 − sin x. • ln(x 2 + 1) + x sin y + sin(y + z) − z2 = xyz =⇒ z =? Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn Cho phương trình liên hệ giữa hai biến số x, y F (x, y) = 0, xác định một hay nhiều hàm số ẩn của y theo x. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 31 / 40
  93. Tương tự, phương trình F (x, y, z) = 0 có thể xác định một hay nhiều hàm số ẩn z của các biến số x và y: z = f (x, y). Ví dụ • x 2y + xy 2 + sin x + z3 = 1 =⇒ z = p3 1 − x 2y − xy 2 − sin x. • ln(x 2 + 1) + x sin y + sin(y + z) − z2 = xyz =⇒ z =? Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn Cho phương trình liên hệ giữa hai biến số x, y F (x, y) = 0, xác định một hay nhiều hàm số ẩn của y theo x. Ví dụ √ • x 3 + y 2 = 1 =⇒ y = ± 1 − x 3. 1 • x 5 + cos x − 3 + e3y = 0 =⇒ y = ln (3 − cos x − x 5). 3 • x 2y 3 + ln(x 2 + y 2 + 1) − arctan(x + y) − y 2 = xy =⇒ y =? Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 31 / 40
  94. Ví dụ • x 2y + xy 2 + sin x + z3 = 1 =⇒ z = p3 1 − x 2y − xy 2 − sin x. • ln(x 2 + 1) + x sin y + sin(y + z) − z2 = xyz =⇒ z =? Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn Cho phương trình liên hệ giữa hai biến số x, y F (x, y) = 0, xác định một hay nhiều hàm số ẩn của y theo x. Ví dụ √ • x 3 + y 2 = 1 =⇒ y = ± 1 − x 3. 1 • x 5 + cos x − 3 + e3y = 0 =⇒ y = ln (3 − cos x − x 5). 3 • x 2y 3 + ln(x 2 + y 2 + 1) − arctan(x + y) − y 2 = xy =⇒ y =? Tương tự, phương trình F (x, y, z) = 0 có thể xác định một hay nhiều hàm số ẩn z của các biến số x và y: z = f (x, y). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 31 / 40
  95. Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn Cho phương trình liên hệ giữa hai biến số x, y F (x, y) = 0, xác định một hay nhiều hàm số ẩn của y theo x. Ví dụ √ • x 3 + y 2 = 1 =⇒ y = ± 1 − x 3. 1 • x 5 + cos x − 3 + e3y = 0 =⇒ y = ln (3 − cos x − x 5). 3 • x 2y 3 + ln(x 2 + y 2 + 1) − arctan(x + y) − y 2 = xy =⇒ y =? Tương tự, phương trình F (x, y, z) = 0 có thể xác định một hay nhiều hàm số ẩn z của các biến số x và y: z = f (x, y). Ví dụ • x 2y + xy 2 + sin x + z3 = 1 =⇒ z = p3 1 − x 2y − xy 2 − sin x. • ln(x 2 + 1) + x sin y + sin(y + z) − z2 = xyz =⇒ z =? Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 31 / 40
  96. Định lý Giả sử F (x0, y0, z0) = 0. Nếu hàm số F (x, y, z) có các đạo hàm riêng liên tục ở 0 lân cận điểm M0(x0, y0, z0) và nếu Fz (x0, y0, z0) 6= 0. Khi đó phương trình F (x, y, z) = 0 xác định một hàm số ẩn z = f (x, y) trong một lân cận nào đó của (x0, y0) thỏa mãn f (x0, y0) = z0 và có các đạo hàm riêng 0 0 0 Fx 0 Fy zx = − 0 zy = − 0 . Fz Fz Đạo hàm của hàm số ẩn Định lý Giả sử F (x0, y0) = 0. Nếu hàm số F (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận 0 điểm M0(x0, y0) và nếu Fy (x0, y0) 6= 0. Khi đó phương trình F (x, y) = 0 xác định một hàm số ẩn y = f (x) trong một lân cận nào đó của x0 thỏa mãn f (x0) = y0 và có đạo hàm 0 0 Fx y (x) = − 0 . Fy Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 32 / 40
  97. Đạo hàm của hàm số ẩn Định lý Giả sử F (x0, y0) = 0. Nếu hàm số F (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận 0 điểm M0(x0, y0) và nếu Fy (x0, y0) 6= 0. Khi đó phương trình F (x, y) = 0 xác định một hàm số ẩn y = f (x) trong một lân cận nào đó của x0 thỏa mãn f (x0) = y0 và có đạo hàm 0 0 Fx y (x) = − 0 . Fy Định lý Giả sử F (x0, y0, z0) = 0. Nếu hàm số F (x, y, z) có các đạo hàm riêng liên tục ở 0 lân cận điểm M0(x0, y0, z0) và nếu Fz (x0, y0, z0) 6= 0. Khi đó phương trình F (x, y, z) = 0 xác định một hàm số ẩn z = f (x, y) trong một lân cận nào đó của (x0, y0) thỏa mãn f (x0, y0) = z0 và có các đạo hàm riêng 0 0 0 Fx 0 Fy zx = − 0 zy = − 0 . Fz Fz Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 32 / 40
  98. Ví dụ 2 (Đề thi K55) Phương trình x 3 − 2y 3 + 3z3 = (x + y)z xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(1;-1). Ta có F (x, y, z) = x 3 − 2y 3 + 3z3 − (x + y)z = 0. Ví dụ 3 (Đề thi K52) Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình 3 2 z 0 00 z − x y + 2yz = 2xye . Tính zx (0; 2) và zxx (0; 2). Ví dụ 4 Phương trình xeyz = y + z + 1 xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(0; 0). Đạo hàm của hàm số ẩn Ví dụ 1 (Đề thi 2005) Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình x 3 + ln y = x 2ey . Tính y 0(0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 33 / 40
  99. Ta có F (x, y, z) = x 3 − 2y 3 + 3z3 − (x + y)z = 0. Ví dụ 3 (Đề thi K52) Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình 3 2 z 0 00 z − x y + 2yz = 2xye . Tính zx (0; 2) và zxx (0; 2). Ví dụ 4 Phương trình xeyz = y + z + 1 xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(0; 0). Đạo hàm của hàm số ẩn Ví dụ 1 (Đề thi 2005) Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình x 3 + ln y = x 2ey . Tính y 0(0). Ví dụ 2 (Đề thi K55) Phương trình x 3 − 2y 3 + 3z3 = (x + y)z xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(1;-1). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 33 / 40
  100. Ví dụ 3 (Đề thi K52) Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình 3 2 z 0 00 z − x y + 2yz = 2xye . Tính zx (0; 2) và zxx (0; 2). Ví dụ 4 Phương trình xeyz = y + z + 1 xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(0; 0). Đạo hàm của hàm số ẩn Ví dụ 1 (Đề thi 2005) Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình x 3 + ln y = x 2ey . Tính y 0(0). Ví dụ 2 (Đề thi K55) Phương trình x 3 − 2y 3 + 3z3 = (x + y)z xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(1;-1). Ta có F (x, y, z) = x 3 − 2y 3 + 3z3 − (x + y)z = 0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 33 / 40
  101. Ví dụ 4 Phương trình xeyz = y + z + 1 xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(0; 0). Đạo hàm của hàm số ẩn Ví dụ 1 (Đề thi 2005) Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình x 3 + ln y = x 2ey . Tính y 0(0). Ví dụ 2 (Đề thi K55) Phương trình x 3 − 2y 3 + 3z3 = (x + y)z xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(1;-1). Ta có F (x, y, z) = x 3 − 2y 3 + 3z3 − (x + y)z = 0. Ví dụ 3 (Đề thi K52) Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình 3 2 z 0 00 z − x y + 2yz = 2xye . Tính zx (0; 2) và zxx (0; 2). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 33 / 40
  102. Đạo hàm của hàm số ẩn Ví dụ 1 (Đề thi 2005) Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình x 3 + ln y = x 2ey . Tính y 0(0). Ví dụ 2 (Đề thi K55) Phương trình x 3 − 2y 3 + 3z3 = (x + y)z xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(1;-1). Ta có F (x, y, z) = x 3 − 2y 3 + 3z3 − (x + y)z = 0. Ví dụ 3 (Đề thi K52) Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình 3 2 z 0 00 z − x y + 2yz = 2xye . Tính zx (0; 2) và zxx (0; 2). Ví dụ 4 Phương trình xeyz = y + z + 1 xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(0; 0). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 33 / 40
  103. Định lý Giả sử hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0, y0). Nếu điểm M(x0 + ∆x, y0 + ∆y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có 1 1 f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x , y ) + df (x , y ) + d 2f (x , y ) + + d n(x , y ) 0 0 0 0 0 0 2! 0 0 n! 0 0 1 + d n+1f (x + θ∆x, y + θ∆y), (n + 1)! 0 0 trong đó 0 < θ < 1. Chứng minh Chứng minh của định lý dựa trên công thức khai triển Taylor của hàm một biến số F (t) = f (x0 + t∆x, y0 + t∆y), 0 ≤ t ≤ 1. Công thức khai triển Taylor Công thức Taylor đối với hàm số z = f (x, y) Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 34 / 40
  104. Chứng minh Chứng minh của định lý dựa trên công thức khai triển Taylor của hàm một biến số F (t) = f (x0 + t∆x, y0 + t∆y), 0 ≤ t ≤ 1. Công thức khai triển Taylor Công thức Taylor đối với hàm số z = f (x, y) Định lý Giả sử hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0, y0). Nếu điểm M(x0 + ∆x, y0 + ∆y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có 1 1 f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x , y ) + df (x , y ) + d 2f (x , y ) + + d n(x , y ) 0 0 0 0 0 0 2! 0 0 n! 0 0 1 + d n+1f (x + θ∆x, y + θ∆y), (n + 1)! 0 0 trong đó 0 < θ < 1. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 34 / 40
  105. Công thức khai triển Taylor Công thức Taylor đối với hàm số z = f (x, y) Định lý Giả sử hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0, y0). Nếu điểm M(x0 + ∆x, y0 + ∆y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có 1 1 f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x , y ) + df (x , y ) + d 2f (x , y ) + + d n(x , y ) 0 0 0 0 0 0 2! 0 0 n! 0 0 1 + d n+1f (x + θ∆x, y + θ∆y), (n + 1)! 0 0 trong đó 0 < θ < 1. Chứng minh Chứng minh của định lý dựa trên công thức khai triển Taylor của hàm một biến số F (t) = f (x0 + t∆x, y0 + t∆y), 0 ≤ t ≤ 1. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 34 / 40
  106. Công thức số gia giới nội Trong công thức Taylor ta cho n = 1, thu được công thức số gia giới nội sau f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) = df (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y). Công thức khai triển Taylor Chú ý Nếu dùng cách biểu diễn tượng trưng vi phân cấp cao, ta có thể viết công thức Taylor như sau: n k X  ∂ ∂  f (M) = f (M ) + ∆x + ∆y f (M )+ 0 ∂x ∂y 0 k=1 1  ∂ ∂ n+1 + ∆x + ∆y f (M ), (n + 1)! ∂x ∂y 1 trong đó M1 nằm trên đoạn thẳng nối M0 với M. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 35 / 40
  107. Công thức khai triển Taylor Chú ý Nếu dùng cách biểu diễn tượng trưng vi phân cấp cao, ta có thể viết công thức Taylor như sau: n k X  ∂ ∂  f (M) = f (M ) + ∆x + ∆y f (M )+ 0 ∂x ∂y 0 k=1 1  ∂ ∂ n+1 + ∆x + ∆y f (M ), (n + 1)! ∂x ∂y 1 trong đó M1 nằm trên đoạn thẳng nối M0 với M. Công thức số gia giới nội Trong công thức Taylor ta cho n = 1, thu được công thức số gia giới nội sau f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) = df (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 35 / 40
  108. Nội dung 1 Các định nghĩa 2 Giới hạn và liên tục của hàm số nhiều biến số 3 Đạo hàm và vi phân 4 Cực trị của hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 36 / 40
  109. Định nghĩa Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong một miền D và M0(x0, y0) ∈ D. Ta nói rằng hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M trong lân cận nào đó của M0 nhưng khác M0, hiệu số f (M) − f (M0) có dấu không đổi. Nếu f (M) − f (M0) > 0 trong một lân cận nào đó của M0 thì M0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f . Nếu f (M) − f (M0) < 0 trong một lân cận nào đó của M0 thì M0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f . Cực trị của hàm số nhiều biến số Cực trị tự do Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 37 / 40
  110. Cực trị của hàm số nhiều biến số Cực trị tự do Định nghĩa Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong một miền D và M0(x0, y0) ∈ D. Ta nói rằng hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M trong lân cận nào đó của M0 nhưng khác M0, hiệu số f (M) − f (M0) có dấu không đổi. Nếu f (M) − f (M0) > 0 trong một lân cận nào đó của M0 thì M0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f . Nếu f (M) − f (M0) < 0 trong một lân cận nào đó của M0 thì M0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f . Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 37 / 40
  111. Điều kiện cần của cực trị Định lý Nếu hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0 và tại đó các đạo hàm riêng 0 0 p = fx (M0), q = fy (M0) tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng không: p = 0, q = 0 tại M0. Điểm tới hạn Điểm mà tại đó hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp một p và q triệt tiêu hoặc tại đó p hoặc q không tồn tại được gọi là điểm tới hạn. Cực trị của hàm số nhiều biến số Chúng ta dùng các ký hiệu sau 0 0 00 00 00 p = fx (M), q = fy (M), A = fxx (M), B = fxy (M), C = fyy (M). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 38 / 40
  112. Định lý Nếu hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0 và tại đó các đạo hàm riêng 0 0 p = fx (M0), q = fy (M0) tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng không: p = 0, q = 0 tại M0. Điểm tới hạn Điểm mà tại đó hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp một p và q triệt tiêu hoặc tại đó p hoặc q không tồn tại được gọi là điểm tới hạn. Cực trị của hàm số nhiều biến số Chúng ta dùng các ký hiệu sau 0 0 00 00 00 p = fx (M), q = fy (M), A = fxx (M), B = fxy (M), C = fyy (M). Điều kiện cần của cực trị Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 38 / 40
  113. Điểm tới hạn Điểm mà tại đó hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp một p và q triệt tiêu hoặc tại đó p hoặc q không tồn tại được gọi là điểm tới hạn. Cực trị của hàm số nhiều biến số Chúng ta dùng các ký hiệu sau 0 0 00 00 00 p = fx (M), q = fy (M), A = fxx (M), B = fxy (M), C = fyy (M). Điều kiện cần của cực trị Định lý Nếu hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0 và tại đó các đạo hàm riêng 0 0 p = fx (M0), q = fy (M0) tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng không: p = 0, q = 0 tại M0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 38 / 40
  114. Cực trị của hàm số nhiều biến số Chúng ta dùng các ký hiệu sau 0 0 00 00 00 p = fx (M), q = fy (M), A = fxx (M), B = fxy (M), C = fyy (M). Điều kiện cần của cực trị Định lý Nếu hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0 và tại đó các đạo hàm riêng 0 0 p = fx (M0), q = fy (M0) tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng không: p = 0, q = 0 tại M0. Điểm tới hạn Điểm mà tại đó hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp một p và q triệt tiêu hoặc tại đó p hoặc q không tồn tại được gọi là điểm tới hạn. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 38 / 40
  115. Chú ý 2 Nếu B − AC = 0 thì chưa kết luận được điều gì về điểm M0, nó có thể là cực trị, cũng có thể không. Trong trường hợp đó ta sẽ dùng định nghĩa để xét xem M0 có phải là cực trị hay không bằng cách xét hiệu f (M) − f (M0), nếu nó xác định dấu trong một lân cận nào đó của M0 thì nó là cực trị và ngược lại. Cực trị của hàm số nhiều biến số Định lý Giả sử hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của M0(x0, y0). Giả sử tại M0 ta có p = q = 0. Khi đó 2 1. Nếu B − AC 0, là cực đại nếu A 0 tại M0 thì f (x, y) không đạt cực trị tại M0. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 39 / 40
  116. Cực trị của hàm số nhiều biến số Định lý Giả sử hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của M0(x0, y0). Giả sử tại M0 ta có p = q = 0. Khi đó 2 1. Nếu B − AC 0, là cực đại nếu A 0 tại M0 thì f (x, y) không đạt cực trị tại M0. Chú ý 2 Nếu B − AC = 0 thì chưa kết luận được điều gì về điểm M0, nó có thể là cực trị, cũng có thể không. Trong trường hợp đó ta sẽ dùng định nghĩa để xét xem M0 có phải là cực trị hay không bằng cách xét hiệu f (M) − f (M0), nếu nó xác định dấu trong một lân cận nào đó của M0 thì nó là cực trị và ngược lại. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 39 / 40
  117. Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), trong đó (0; 0), (0; 3), (3; 0) không là điểm cực trị. Điểm (1; 1) là điểm cực đại. Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số z = x 4 + y 4 − x 2 − y 2 − 2xy. Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm số z = 4xy − 2x 2 − y 4. Ví dụ 4 (Đề thi TC hè 2010) Tìm cực trị của hàm số z(x, y) = x 2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y. Cực trị của hàm số nhiều biến số Ví dụ 1 (Đề thi K55) Tìm cực trị của hàm số z = xy(3 − x − y). Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40
  118. Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số z = x 4 + y 4 − x 2 − y 2 − 2xy. Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm số z = 4xy − 2x 2 − y 4. Ví dụ 4 (Đề thi TC hè 2010) Tìm cực trị của hàm số z(x, y) = x 2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y. Cực trị của hàm số nhiều biến số Ví dụ 1 (Đề thi K55) Tìm cực trị của hàm số z = xy(3 − x − y). Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), trong đó (0; 0), (0; 3), (3; 0) không là điểm cực trị. Điểm (1; 1) là điểm cực đại. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40
  119. Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm số z = 4xy − 2x 2 − y 4. Ví dụ 4 (Đề thi TC hè 2010) Tìm cực trị của hàm số z(x, y) = x 2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y. Cực trị của hàm số nhiều biến số Ví dụ 1 (Đề thi K55) Tìm cực trị của hàm số z = xy(3 − x − y). Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), trong đó (0; 0), (0; 3), (3; 0) không là điểm cực trị. Điểm (1; 1) là điểm cực đại. Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số z = x 4 + y 4 − x 2 − y 2 − 2xy. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40
  120. Ví dụ 4 (Đề thi TC hè 2010) Tìm cực trị của hàm số z(x, y) = x 2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y. Cực trị của hàm số nhiều biến số Ví dụ 1 (Đề thi K55) Tìm cực trị của hàm số z = xy(3 − x − y). Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), trong đó (0; 0), (0; 3), (3; 0) không là điểm cực trị. Điểm (1; 1) là điểm cực đại. Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số z = x 4 + y 4 − x 2 − y 2 − 2xy. Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm số z = 4xy − 2x 2 − y 4. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40
  121. Cực trị của hàm số nhiều biến số Ví dụ 1 (Đề thi K55) Tìm cực trị của hàm số z = xy(3 − x − y). Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), trong đó (0; 0), (0; 3), (3; 0) không là điểm cực trị. Điểm (1; 1) là điểm cực đại. Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số z = x 4 + y 4 − x 2 − y 2 − 2xy. Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm số z = 4xy − 2x 2 − y 4. Ví dụ 4 (Đề thi TC hè 2010) Tìm cực trị của hàm số z(x, y) = x 2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y. Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40