Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Đặc tính động học của hệ thống - Võ Văn Định

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Đặc tính động học của hệ thống - Võ Văn Định

1. BÀI GIẢNG LÝ THIẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Thạc sĩ VÕ THANH VIỆT NĂM 2009
2. CHƯƠNG 3: ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 3.1 Khái niệm về đặc tính động học 3.2 Các khâu động học điển hình 3.3 Đặc tính động học của hệ thống tự động 3.4 Tóm tắt
3. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.1 Đặc tính thời gian Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị. r(t) c(t) Hệ thống R(s) C(s) Nếu tín hiệu vào là hàm xung đơn vị r(t) = (t) thì đáp ứng của hệ thống là: C(s) = R(s).G(s) = G(s) (do R(s) = 1) c(t) = L −1 C(s)= L −1 G(s)= g(t) (3.1) g(t) được gọi là đáp ứng đáp ứng xung hay còn gọi là hàm trọng lượng của hệ thống.
4. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.1 Đặc tính thời gian Vậy, đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị. Theo biểu thức (3.1) đáp ứng xung chính là biến đổi Laplace ngược của hàm truyền. Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị r(t) = 1(t) thì đáp ứng của hệ thống là: G(s) 1 C(s) = R(s).G(s) = (do R(s) = ) s s t −−11 Gs() c(t) =LL C( s ) =  = g(τ)dτ (3.2) s 0
5. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.1 Đặc tính thời gian Biểu thức (3.2) do áp dụng tính chất ảnh của tích phân của phép biến đổi Laplace. Đặt: t h(t) = g( )d (3.3) 0 h(t) được gọi là đáp ứng nấc hay con gọi là hàm quá độ của hệ thống. Vậy, đáp ứng nấc là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị. Theo biểu thức (3.3) đáp ứng nấc là tích phân của đáp ứng xung.
6. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.1 Đặc tính thời gian Ví dụ 1: Cho hệ thống có hàm truyền là: s +1 G(s) = s(s + 5) Xác định hàm trọng lượng và hàm quá độ của hệ thống? Giải: Hàm trọng lượng: −1 −1 s +1  −1 1 4  g(t) = L G(s)= L  = L +  s(s + 5) 5s 5(s + 5) 1 4 g(t) = + e−5t 5 5
7. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.1 Đặc tính thời gian Hàm quá độ: Cách 1: tt t 1 4−55  1 4 −  h()() t= g  d  = + e d  =  − e 00 5 5 5 25 0 1 4 4 h(t) = t − e−5t + 5 25 25
8. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.1 Đặc tính thời gian Hàm quá độ: Cách 2: −1 G(s) −1 s +1  h(t) = L  = L 2  s  s (s + 5) Thực hiện phép biến đổi Laplace ngược ta có kết quả như ở cách 1.
9. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.1 Đặc tính thời gian Nhận xét: Ở chương 2 ta đã biết có ba cách mô tả toán học hệ thống tuyến tính liên tục là dùng phương pháp vi phân, hàm truyền và hệ phương trình trạng thái. Do quan hệ giữa hàm trọng lượng và hàm quá độ với hàm truyền cho bởi biểu thức (3.1) và (3.3) ta thấy rằng có thể dùng hàm trọng lượng và hàm quá độ đề mô tả toán học hệ thống tự động. Khi đã biết hàm trọng lượng hay hàm quá độ thì sẽ suy ra được hàm truyền dễ dàng bằng các công thức sau: G(s) = L g(t) (3.4) dh(t) G(s) = L  (3.5) dt 
10. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.1 Đặc tính thời gian Ví dụ 2: Cho hệ thống có có đáp ứng nấc đơn vị là: h(t) =1−3e−2t + 2e−3t Xác định hàm truyền của hệ thống? Giải: Theo đề bài ta có: dh(t) −2t −3t G(s) = L  = L 6e − 6e  dt  6 6 6 = − = s + 2 s + 3 (s + 2)(s + 3)
11. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Đặc tính tần số của hệ thống tuyến tính liên tục mô tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu dao động điều hòa tác động ở đầu vào của hệ thống. Xét hệ thống liên tục có hàm truyền là G(s), giả sử tín hiệu vào là tín hiệu hình sin: R r(t) = R sin t R(s) = m m s2 + 2
12. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Tín hiệu ra của hệ thống là: R C(s) = R(s).G(s) = m .G(s) s2 + 2 Giả sử G(s) có n cực pi phân biệt thỏa pi j, ta có thể phân tích C(s) dưới dạng: n  C(s) = + +  i s + j s − j i=1 s − pi
13. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Biến đổi Laplace ngược biểu thức trên ta được: n − jt jt pit c(t) = e + e +  ie i=1 Nếu hệ thống ổn định thì tất cả các cực pi đều có phần thực âm (khái niệm ổn định sẽ nói rõ hơ trong chương 4). Khi đó: n pit lim ie = 0 t→+  i=1 Do đó: − jt jt cxl (t) = e + e (3.6)
14. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Nếu G(s) có cực bội thì ta cũng có thể chứng minh được đáp ứng xác lập của hệ thống có dạng (3.6). Các hệ số và xác định bởi công thức: Rm RmG(− j) = G(s) 2 2 (s + j) = − (3.7) s + s=− j 2. j Rm RmG( j) = G(s) 2 2 (s − j) = (3.8) s + s= j 2. j
15. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Thay (3.7) và (3.8) vào (3.6), rút gọn biểu thức ta được: cxl (t) = Rm G( j) sin(t +G( j)) (3.9) Biểu thức (3.9) cho thấy ở trạng thái xác lập tín hiệu ra của hệ thống là tín hiệu dạng sin, cùng tần số với tín hiệu vào, biên độ tỉ lệ với biên độ tín hiệu vào (hệ số tỉ lệ là G(j) và lệch pha so với tín hiệu vào (độ lệch pha là  G(j)).
16. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin. C( j) Đặc tính tần số = (3.10) R( j) Từ định nghĩa (3.10) và biểu thức (3.9) ta rút ra: Đặc tính tần số = G(s) = G( jω) (3.11) s= jω
17. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Ví dụ 3: Nếu hệ thống có hàm truyền là: 10(s + 3) G(s) = s(s +1) thì đặc tính tần số: 10( j + 3) G( j) = j( j +1)
18. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Tổng quát đặc tính tần số G(j) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dưới dạng đại số hoặc dạng cực: G( j) = P() + jQ() = M ().e j () (3.12) Trong đó: P() là phần thực; Q() là phần ảo của đặc tính tần số. M() là đáp ứng biên độ; () là đáp ứng pha.
19. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Quan hệ giữa hai cách biểu diễn G(j) như sau: M() = G() = P2 () +Q2 () (3.13) −1 Q() () = G( j) = tg (3.14) P() P() = M()cos( ()) (3.15) Q() = M()sin( ()) (3.16)
20. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Để biểu diễn đặc tính tần số một cách trực quan, ta có thể dùng đồ thị. Có hai dạng đồ thị thường sử dụng: 1 - Biểu đồ Bode là hình vẽ gồm hai thành phần: - Biểu đồ Bode biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp ứng biên độ L() theo tần số . L() = 20lg M () (3.17) - Biểu đồ Bode pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha () theo tần số . Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuông góc với trục hoành  chia theo thang logarith cơ số 10. khoảng cách giữa hai tần số hơn kém nhau 10 lần goi là decade.
21. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số 2 - Biểu đồ Nyquist (đường cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G(j) trong hệ tọa độ cực khi  thay đổi từ 0 → . Nói cách khác đường cong Nyquist chính là tập hợp tất cả các điểm ngọn của véc tơ biểu diễn số phức G(j) (biên độ véc tơ là M(), góc của véc tơ là ()) khi  thay đổi từ 0 → . Mặc dù biểu diễn dưới hai dạng đồ thị khác nhau nhưng thông tin có được về hệ thống từ biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist là như nhau. Từ biểu đồ Bode ta có thể suy ra được biểu đồ Nyquist và ngược lại.
22. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Biểu diễn đặc tính tần số từ đồ thị: L() [dB] Độ dự trữ biên 40 Lp 20 -1 0 1  2 lg 0 c 0,1 1 p 10  -20 100 () [độ] -1 0 1 - 2 lg 0 0,1 1 10 100  - 90 - 180 Độ dự trữ pha - 270 Biểu diễn đặc tính tần số từ đồ thị biểu đồ Bode
23. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Biểu diễn đặc tính tần số từ đồ thị: jQ() 1 Độ dự trữ biên - 1  →  = 0 P() () Độ dự trữ pha M() Mp p Biểu diễn đặc tính tần số từ đồ thị biểu đồ Nyquist
24. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Đặc tính tần số của hệ thống có các thông số quan trọng sau đây: Đỉnh cộng hưởng (Mp): là giá trị cực đại của M(). Tần số cộng hưởng (p): là tần số tại đó có đỉnh cộng hưởng. Tần số cắt biên (c): là tần số tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (hay bằng 0dB). M c () =1 (3.18) hay Lc() = 0 (3.19)
25. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Tần số cắt pha (- ): là tần số tại đó pha của đặc tính tần số bằng - (hay bằng – 180o) o (− ) = −180 (3.20) Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin) 1 MG = (3.21) M (− ) hay GM = -L(− ) [dB] (3.22) Công thức tính theo dB được sử dụng nhiều hơn.
26. 3.1 ĐẶC TÍNH THỜI GIAN 3.1.2 Đặc tính tần số Độ dự trữ pha ( M – Phase Margin) o M =180 + (c ) (3.23) Độ dự trữ biên và độ dự trữ pha của hệ thống cho biết hệ thống có ổn định hay không. Chương 4 sẽ đề cập chi tiết về vấn đề này.
27. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại) Hàm truyền: G(s) = K (K 0) (3.24) ➢Đặc tính thời gian: C(s) = G(s).R(s) = KR(s) c(t) = K.r(t) (3.25) Vậy, tín hiệu ra của khâu tỉ lệ bằng tín hiệu vào khuếch đại lên K lần.
28. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại) Hình sau mô tả hàm trọng lượng và hàm quá độ của khâu tỉ lệ. Đặc tính thời gian của khâu tỉ lệ như hình sau: g(t) h(t) K K t t a) Hàm trọng lượng b) Hàm quá độ
29. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại) ➢Đặc tính tần số: G( j) = K Biên độ: M () = K L() = 20lg K Pha: () = 0
30. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại) Đặc tính tần số của khâu tỉ lệ như hình sau: L() [dB] 20lgK - 1 0 1 lg jQ() 10 -1 100 101  - 20  = 0 P() () [độ] 0  → 90o - 1 0 1 lg 10 -1 100 101  - 90o b) Biểu đồ Nyquist a) Biểu đồ Bode
31. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại) Các biểu thức trên cho thấy đặc tính tần số của khâu tỉ lệ là hằng số với mọi , do đó biểu đồ Bode về biên độ là một đường song song với trục hoành, cách trục hoành 20lgK; biểu đồ Bode về pha là một đường nằm ngang trùng với trục hoành; biểu đồ Nyquist là một điểm là do véc tơ G(j) không đổi với mọi .
32. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.2 Khâu tích phân lý tưởng 1 Hàm truyền: G(s) = (3.26) s ➢Đặc tính thời gian: R(s) C(s) = G(s).R(s) = s Hàm trọng lượng: −1 −1 1 g(t) = L G(s)= L  =1(t) (3.27) s Hàm quá độ: −1 G(s) −1 1  h(t) = L  = L  = t.1(t) (3.28) s  s2 
33. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.2 Khâu tích phân lý tưởng Vậy, hàm trọng lượng và hàm quá độ của khâu tích phân lý tưởng tương ứng là hàm nấc đơn vị và hàm dốc đơn vị. Đặc điểm quan trọng cần quan tâm là hàm quá độ của khâu tích phân lý tưởng tăng đến vô cùng. Đặc tính thời gian của khâu tích phân lý tưởng: g(t) h(t) 1 1 t t 0 0 1 a) Hàm trọng lượng b) Hàm quá độ
34. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.2 Khâu tích phân lý tưởng ➢Đặc tính tần số: 1 1 G( j) = = − j (3.29) j  Biên độ: 1 M () = (3.30)  1 L() = 20lg M () = 20lg = −20lg () (3.31)  o Pha: () = −90 (3.32)
35. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.2 Khâu tích phân lý tưởng Đặc tính tần số của khâu tích phân lý tưởng như hình sau: L() [dB] - 20dB/dec jQ() 20 - 1 0 1 lg P() 10 -1 100 101   → - 20 0 () [độ] 90o  = 0 - 1 0 1 lg 10 -1 100 101  - 90o b) Biểu đồ Nyquist a) Biểu đồ Bode
36. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.2 Khâu tích phân lý tưởng Nếu vẽ L() trong hệ tọa độ vuông góc thông thường thì đồ thị L() là đường cong. Tuy nhiên do trục hoành của biểu đồ Bode được chia theo thang logarith cơ số 10 nên dễ dàng thấy rằng biểu đồ Bode về biên độ của khâu tích phân lý tưởng là đường thằng có độ dốc -20dB/dec. Biểu đồ Bode về pha của khâu tích phân lý tưởng là đường nằm ngang do () = -90o với mọi . Biểu đồ Nyquist là nửa dưới của trục tung do G(j) có phần thực bằng 0, phần ảo luôn luôn âm.
37. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.3 Khâu vi phân lý tưởng Hàm truyền: G(s) = s (3.33) ➢Đặc tính thời gian: C(s) = G(s).R(s) = sR(s) Hàm quá độ: −1 G(s) −1 h(t) = L  = L 1=  (t) (3.34) s  Hàm trọng lượng: dh(t) g(t) = =  (t) (3.35) dt
38. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.3 Khâu vi phân lý tưởng Hàm quá độ của khâu vi phân lý tưởng là hàm xung đơn vị, hàm trọng lượng là đạo hàm của hàm quá độ, chỉ có thể mô tả bằng biểu thức toán học, không biểu diễn bằng đổ thị được. g(t) 1 t 0 Hàm quá độ của khâu vi phân lý tưởng
39. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.3 Khâu vi phân lý tưởng ➢Đặc tính tần số: G( j) = j (3.36) Biên độ: M () =  (3.37) L() = 20lg M() = 20lg () (3.38) o Pha: () = +90 (3.39)
40. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.3 Khâu vi phân lý tưởng Đặc tính tần số của khâu vi phân lý tưởng như hình sau: L() [dB] + 20dB/dec 20 lg jQ() - 1 0 1  → 10 -1 100 101  - 20  = 0 P() 0 () [độ] 90o - 1 0 1 lg 10 -1 100 101  - 90o b) Biểu đồ Nyquist a) Biểu đồ Bode
41. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.3 Khâu vi phân lý tưởng Đặc tính tần số của khâu của khâu vi phân lý tưởng hoàn toàn trái ngược so với khâu tích phân lý tưởng. Biểu đồ Bode về biên độ của khâu vi phân lý tưởng là đường thẳng có độ dốc +20dB/dec, biểu đồ Bode về pha là đường nằm ngang () = +90o. Biểu đồ Nyquist là nửa trên của trục tung do G(j) có phần thực bằng 0, phần ảo luôn luôn dương.
42. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất 1 Hàm truyền: G(s) = (3.40) Ts +1 ➢Đặc tính thời gian: R(s) C(s) = G(s).R(s) = Ts +1 Hàm trọng lượng: −1 11− 1 g(t)==L  eT 1(t) (3.41) Ts+ 1 T Hàm quá độ: −1 1 − 1 h(t)=L  =( 1 − eT ) 1(t) (3.42) s(Ts+ 1)
43. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Hàm trọng lượng của khâu quán tính bậc nhất là hàm mũ suy giảm về 0, hàm quá độ tăng theo quy luật hàm mũ đến giá trị xác lập bằng 1. Tốc độ biến thiên của hàm trọng lượng và hàm quá độ tỉ lệ với T nên T được gọi là thời hằng của khâu quán tính bậc nhất. T càng nhỏ thì đáp ứng càng nhanh, T càng nhỏ thì đáp ứng càng chậm. Thay t = T vào biểu thức (3.42) ta được h(T) = 0,63, do đó thời hằng của khâu quán tính bậc nhất chính là thời gian cần thiết để hàm quá độ tăng lên bằng 63% giá trị xác lập (giá trị xác lập của h(t) = 1). Cách khác để xác định thời hằng T là vẽ tiếp tuyến với hàm quá độ tại gốc tọa độ, khoảng cách từ giao điểm của tiếp tuyến này với đường nằm ngang có tung độ bằng 1 chính là T.
44. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Minh họa đặc tính thời gian của hai khâu quán tính bậc nhất có thời hằng tương ứng là T1 và T2 trong đó T1 < T2. g(t) h(t) 1/T 1 1 1/T 2 0,63 t t 0 0 T1 T2 a) Hàm trọng lượng a) Hàm quá độ
45. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất ➢Đặc tính tần số: 1 1−Tj G( j) = = (3.43) Tj +1 1+T 2 2 1 Phần thực: P() = 1+T 2 2 −T Phần ảo: Q() = 1+T 2 2
46. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Biên độ: 2 2 1 T M () = P2 () + Q2 () = + 1+T 2 2 1+T 2 2 1 = (3.44) 1+T 2 2 L() = 20lg M () = −20lg 1+T 2 2 (3.45) −−11 Q( ) Pha: (  ) = tg = − tg (T  ) (3.46) P( )
47. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Biểu thức (3.45) biểu đồ Bode biên độ là một đường cong. Có thể vẽ gần đúng biểu đồ Bode bằng các đường tiệp cận như sau; - Nếu  1/T T > 1: L() = -20lg  2T 2 = -20lgT, do đó ta có thể vẽ gần đúng bằng đường thẳng có độ dốc -20dB/dec. Như phân tích ở trên, ta thấy tại tần số 1/T độ dốc của các đường tiệp cận thay đổi, biểu đồ Bode là một đường gấp khúc nên tần số 1/T gọi là tần số gãy của khâu quán tính bậc nhất.
48. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Thay giá trị  vào biểu thức (4.46) ta vẽ được biểu đồ Bode về pha. Để ý một số điểm đặc biệt sau:  → 0: () → 0  = 1/T: () → - 45o  → : () → - 90o
49. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Biểu đồ Bode khâu quán L() [dB] tính bậc nhất như hình: 20 - 1 0 1/T 1 lg Đường cong đứt nét ở 10 -1 100 101  biểu đồ Bode biên độ - 20 - 20dB/dec chính là đường L() vẽ chính xác. Sai lệch giữa đường cong vẽ chính xác () [độ] và các đường tiệm cận - 1 0 1 lg 0 0 xuất hiện tại tần số gãy. 10 -1 10 101  - 45o - 90o Biểu đồ Bode
50. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Đường cong đứt nét ở biểu đồ Bode biên độ chính là đường L() vẽ chính xác. Sai lệch giữa đường cong vẽ chính xác và các đường tiệm cận xuất hiện tại tần số gãy, tại tần số này giá trị chính xác của L() là -20lg 2 = 3dB, trong khi giá trị gần đúng là 0dB, sai lệch này khá bé có thể bỏ qua được. Do đó, khi phân tích và thiết kế hệ thống tự động trong miền tần số ta có thể biểu diễn bằng biểu đồ Bode biên độ vẽ bằng các tiệm cận thay cho biểu đồ Bode biên độ vẽ chính xác.
51. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Điều này chứng tỏ biểu đồ Nyquist của khâu quán tính bậc nhất nằm trên đường tròn tâm (½,0), bán kính ½ . Do pha của G(j) luôn âm khi  thay đổi từ 0 đến + (xem biểu thức (3.46)) nên biểu đồ Nyquist là nửa dưới của đường tròn. jQ()  → 1 P() 0  = 0 G(j) Biểu đồ Nyquist
52. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất Để vẽ biểu đồ Nyquist ta có thể nhận xét sau: 2 2 2 1 1 1 −T P() − + Q2 () = + + 2 2 2 2 2 1+T  2 1+T  2 2 1−T 2 2 −T = + 2 2 2 2 2(1+T  ) 1+T  1− 2T 22 +T 44 4T 22 1 = + = 4(1+T 22 )2 4(1+T 22 )2 4
53. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.5 Khâu vi phân bậc nhất Hàm truyền: G(s) = Ts +1 (3.47) ➢Đặc tính thời gian: C(s) = R(s).G(s) = R(s).(Ts +1) Hàm quá độ: −1 Ts +1 h(t) = L  = T (t) +1(t) (3.48) s  Hàm trọng lượng: g(t) = h(t) = T(t) +(t) (3.49)
54. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.5 Khâu vi phân bậc nhất Hàm quá độ của khâu vi phân bậc nhất là tổ hợp tuyến tính của hàm xung đơn vị và hàm nấc đơn vị: h(t) T 1 t 0 Ta thấy rằng khâu vi phân lý tưởng và khâu vi phân bậc nhất có đặc điểm chung là giá trị hàm quá độ vô cùng lớn tại t = 0. Hàm trọng lượng là đạo hàm của hàm quá độ, chỉ mô tả bằng biểu thức toán học (3.49), không biểu diễn bằng đồ thị được.
55. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.5 Khâu vi phân bậc nhất ➢Đặc tính tần số: G( j) = Tj +1 (3.50) Phần thực: P() =1 (3.51) Phần ảo: Q() = T (3.52) Biên độ: M () = P2 () + Q2 () = 12 + (T)2 L() = 20lg M () = 20lg 1+T 2 2 (3.53) −1 Q() −1 Pha: () = tg = tg (T) (3.54) P()
56. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.5 Khâu vi phân bậc nhất Đặc tính tần số của khâu vi phân bậc nhất L() [dB] 20dB/dec 20 jQ() - 1 0 1 lg 10 -1 100 1/T 101   → - 20 G(j) () [độ]  = 0 P() + 90o 0 1 + 45o b) Biểu đồ Nyquist 0 - 1 0 1 lg 0 10 -1 10 101  a) Biểu đồ Bode
57. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.5 Khâu vi phân bậc nhất So sánh biểu thức (3.53) và (3.54) với (3.45) và (3.46) ta rút ra được kết luận: biểu đồ Bode của khâu vi phân bậc nhất và khâu quán tính bậc nhất đối xứng nhau qua trục hoành. Do G() có phần thực P() luôn luôn bằng 1, phần ảo Q() có giá trị dương tăng dần từ 0 đến + nkhi thay đổi từ 0 đến + nên biểu đồ Nyquist của khâu vi phân bậc nhất là nửa đường thẳng qua điểm có hoành độ bằng 1 và song song với trục tung.
58. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.6 Khâu dao động bậc hai 1 Hàm truyền: G(s) = (3.55) T 2s2 + 2Ts +1 ➢Đặc tính thời gian:  2 1 C(s) = R(s).G(s) = n ( víi  = ) (3.56) s2 + 2 s + 2 n T Hàm trọng lượng: n n 2 −1 n  g(t) = L 2 2  s + 2ns +n  − nt ne 2 g(t) = sin (n 1− )t (3.57) 1− 2
59. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.6 Khâu dao động bậc hai Hàm quá độ: 2 −1 1 n  h(t) = L 2 2  s s + 2ns +n  − nt ne 2 h(t) =1− sin (n 1− )t +  (3.58) 1− 2 Trong đó độ lệch pha  xác định bởi  =cos-1
60. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.6 Khâu dao động bậc hai Biểu thức (3.57) và (3.58) cho thấy đặc tính thời gian của khâu dao động bậc hai có dạng dao động suy giảm, hàm trọng lượng là dao động suy giảm về 0, hàm quá độ là dao động suy giảm đến giá trị xác lập là 1. o - Nếu  = 0: h(t) = 1 - sin(nt - 90 ), đáp ứng của hệ là dao động không suy giảm với tần số n do đó n gọi là tần số dao động tự nhiên của khâu dao động bậc hai. - Nếu 0 <  < 1 đáp ứng của hệ là dao động với biên độ giảm dần,  càng lớn biên độ suy giảm càng nhanh, do đó  gọi là hệ số tắt dần (hay hệ số suy giảm).
61. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.6 Khâu dao động bậc hai Đặc tính thời gian biều diễn bằng đồ thị của khâu dao động bậc hai như hình sau: g(t) h(t) 1 t t 0 0 a) Hàm trọng lượng a) Hàm quá độ
62. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.6 Khâu dao động bậc hai 1 ➢Đặc tính tần số: G( j) = (3.59) −T 2 2 + 2Tj +1 Biên độ: 1 M () = G( j) = (3.60) (1−T 2 2 )2 + 4 2T 2 2 L() = 20lg M () = −20lg (1−T 2 2 )2 + 4 2T 2 2 (3.61) −1 Q() −1 2T Pha: () = tg = −tg 2 2 (3.62) P() 1−T 
63. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.6 Khâu dao động bậc hai Biểu thức (3.61) cho thấy biểu đồ Bode biên độ của khâu dao động bậc hai là một đường cong. Tương tự như đã làm đối với khâu quán tính bậc nhất, ta có thể vẽ gần đúng biểu đồ Bode bằng các đường tiệm cận như sau: - Nếu  1/T T > 1: L() = -20lg (− 2T 2 )2 = -40lgT, do đó ta có thể vẽ gần đúng bằng đường thẳng có độ dốc -40dB/dec. Ta thấy rằng tại tần số 1/T độ dốc của các đường tiệp cận thay đổi, nên tần số 1/T gọi là tần số gãy của khâu dao động bậc hai.
64. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.6 Khâu dao động bậc hai Biểu đồ Bode vầ pha của khâu dao động bậc hai là đường cong, để ý biểu thức (3.62) ta thấy biểu đồ Bode vầ pha có các đặc điểm sau:  → 0: () → 0  = 1/T: () → - 90o  → : () → - 180o Biểu đồ Nyquist của khâu dao động bậc hai có dạng đường cong như hình minh họa. Khi  = 0 thì G(j) có biên độ bằng 1, pha bằng 0; khi → thì G(j) có biên độ bằng 0, pha bằng -180o. Giao điểm của đường cong Nyquist với trục tung có G(j) = -90o, do đó tương ứng với tần số  =1/T, thay  =1/T vào biểu thức (3.60) ta suy ra biên độ tại giao điểm với tung độ là 1/2.
65. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.6 Khâu dao động bậc hai Biểu đồ đặc tính tần số của khâu dao động bậc hai: L() [dB] 1/T 0 jQ() - 1 1 lg 0   → 1 P() - 20 0  = 0 - 40dB/dec 1 - 40 2 G(j) L() [dB]  = 1/T 0 1 lg 0 - 1 1/T  - 90o b) Biểu đồ Nyquist - 180o a) Biểu đồ Bode
66. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.7 Khâu trì hoãn (khâu trễ) Hàm truyền: G(s) = e−Ts (3.63) ➢Đặc tính thời gian: C(s) = R(s).G(s) = R(s)e−Ts Hàm trọng lượng: g(t) = L −1 e−Ts =  (t −T) (3.64) Hàm quá độ: −Ts −1 e  h(t) = L  =1(t −T) (3.65) s 
67. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.7 Khâu trì hoãn (khâu trễ) Đặc điểm của khâu trễ là tín hiệu ra trể hơn tín hiệu vào một khoảng thời gian là T. g(t) h(t) 1 1 t t 0 T 0 T a) Hàm trọng lượng b) Hàm quá độ
68. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.7 Khâu trì hoãn (khâu trễ) ➢Đặc tính tần số: G( j) = e−Tj (3.66) Biên độ: M() = G( j) =1 L() = 20lg M () = −20lg 1 = 0 (3.67) Pha: () = G( j) = −T (3.68)
69. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.7 Khâu trì hoãn (khâu trễ) Biểu đồ Bode biên độ của khâu trì hoãn lả đường thẳng nằm ngang trùng với trục hoành do L() = 0 với mọi . Để ý rằng biểu thức (3.68) là phương trình của một đường thẳng nếu trục hoành  chia theo thang tuyến tính. Tuy nhiên do trục hoành của biểu đồ Bode lại chia theo thang logarith nên biểu đồ Bode về pha của khâu trì hoãn là đường cong dạng hình mũ như hình vẽ. Do G(j) có biên độ bằng 1 với mọi  và có pha giảm từ 0 đến - nên biểu đồ Nyquist của khâu trễ là trường tròn đơn vị có mũi tên chỉ chiều tăng của  như hình vẽ.
70. 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 3.2.7 Khâu trì hoãn (khâu trễ) Đặc tính tần số của khâu trì hoãn: L() [dB] 0 lg jQ() - 1 1 j 10 -1 100 101  P() - 1 0 1 () [độ] G(j) 0 - 1 0 1 lg -j 0 10 101  10 -1 - 90o b) Biểu đồ Nyquist -180o a) Biểu đồ Bode
71. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống Xét hệ thống có hàm truyền: m m−1 b0s + b1b + + bm−1s + bm G(s) = n n−1 (3.69) a0s + a1s + + an−1s + an Biến đổi Laplace của hàm truyền quá độ: G(s) 1 b sm + b bm−1 + + b s + b H(s) = = 0 1 m−1 m (3.70) n n−1 s s a0s + a1s + + an−1s + an
72. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống Tùy theo đặc điểm của hệ thống mà đặc tính thời gian của hệ thống có thể có tác dụng khác nhau. Tuy vậy chúng ta có thể rút ra một số kết luận quan trọng sau: ➢Nếu G(s) không có khâu tích phân, vi phân lý tưởng thì hàm trọng lượng suy giảm về 0, hàm quá độ có giá trị xác lập khác 0. g( ) = lim sG(s) s→0 b sm + b bm−1 + + b s + b = lim s 0 1 m−1 m = 0 s→0 n n−1 a0s + a1s + + an−1s + an
73. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống h( = ) limsH(s) s0→ 1 b sm+ b b m− 1 + + b s + b b = lims 0 1 m− 1 m =m 0 s0→ n n− 1 s a0 s+ a 1 s + + a n− 1 s + a n a n ➢Nếu G(s) có khâu tích phân lý tưởng (an = 0) , thì hàm trọng lượng có giá trị xác lập khác 0, hàm quá độ tăng đến vô cùng. g( ) = lim sG(s) s→0 b sm + b bm−1 + + b s + b b = lim s 0 1 m−1 m = m 0 s→0 n n−1 a0s + a1s + + an−1s an−1
74. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống h( ) = lim sH (s) s→0 1 b sm + b bm−1 + + b s + b = lim s 0 1 m−1 m = s→0 n n−1 s a0s + a1s + + an−1s ➢Nếu G(s) có khâu vi phân lý tưởng (bm = 0) , thì hàm quá độ suy giảm về 0. h( ) = lim sH (s) s→0 1 b sm + b bm−1 + + b s = lim s 0 1 m−1 = 0 s→0 n n−1 s a0s + a1s + + an−1s + an
75. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống ➢Nếu G(s) là hệ thống hợp thức (m n) thì g(0) = 0. h(0) = lim H (s) s→0 1 b sm + b bm−1 + + b s + b = lim 0 1 m−1 m = 0 s→0 n n−1 s a0s + a1s + + an−1s + an ➢Nếu G(s) là hệ thống hợp thức chặt (m < n) thì g(0) = 0. g(0) = lim G(s) s→+ b sm + b bm−1 + + b s + b = lim 0 1 m−1 m = 0 s→+ n n−1 a0s + a1s + + an−1s + an
76. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống ➢Nếu G(s) không có khâu tích phân, vi phân lý tưởng và có n cực phân biệt, H(s) có thể phân tích dưới dạng: h n h H(s) = 0 +  i (3.71) s i=1 s − pi Biến đổi Laplace biểu thức (3.71) ta được hàm quá độ của hệ thống là: n pit h(t) = h0 + hie (3.72) i=1 Do đó hàm quá độ là tổ hợp tuyến tính của các hàm mũ cơ số tự nhiên. Nếu tức cả các cực pi đều là cực thực thì hàm quá độ không có dao động; ngược lại nếu có ít nhất một cặp cực phức thì hàm quá độ có dao động.
77. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống Xét hệ thống tự động có hàm truyền G(s). Giả sử G(s) có thể phân tích thành tích của các hàm truyền cơ bản như sau: l G(s) = Gi (s) (3.73) i=1 Đặc tính tần số của hệ thống là: l G( j) = Gi ( j) (3.74) i=1
78. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống ➢ Biên độ: l l • M () = G( j) = Gi ( j) =  Gi ( j) i=1 i=1 l M () =  M i () (3.75) i=1 l l • L() = 20lg M () = 20lg  M i () = 20lg M i () i=1 i=1 l L() = 20 Li () (3.76) i=1
79. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống Biểu thức (3.76) cho thấy biển đồ Bode biên độ của hệ thống bằng tổng các biểu đồ Bode biên độ của các khâu cơ bản thành phần. ➢ Pha: l l () = G( j) = arg Gi ( j) = Gi ( j) i=1 i=1 l () =  i () (3.77) i=1 Biểu thức (3.77) chứng tỏ biểu đồ Bode pha của hệ thống bằng tổng các biểu đồ Bode biên độ của các khâu cơ bản thành phần.
80. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống Từ hai nhận xét trên ta thấy rằng để vẽ được biểu đồ Bode của hệ thống, ta vẽ biểu đồ Bode của các khâu thành phần, sau đó cộng đồ thị lại. Dựa trên nguyên tắc cộng đồ thị, ta có phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống bằng các đường tiệm cận như sau: Phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ bằng các đường tiệm cận Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng: l G(s) = KGi (s) i=1
81. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống Bước 1: Xác định tất cả các tần số gãy i = 1/Ti và xắp xếp theo thứ tự tăng dần: 1 < 2 < 3 Bước 2: Nếu tất cả các tần số i 1 thì biểu đồ Bode gần đúng phải qua điểm A có tọa độ:  =1 L() = 20lg K Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc: ▪ (-20dB/dec ) nếu G(s) có khâu tích phân lý tưởng. ▪ (+20dB/dec ) nếu G(s) có khâu vi phân lý tưởng Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp
82. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống Bước 4: Tại tần số gãy i = 1/Ti độ dốc của đường tiệm cận được cộng thêm: ▪ (-20dB/dec ) nếu i là tần số gãy của khâu quán tính bậc một. ▪ (+20dB/dec ) nếu i là tần số gãy của khâu vi phân bậc một. ▪ (-40dB/dec ) nếu i là tần số gãy của khâu dao động bậc hai. ▪ (+40dB/dec ) nếu i là tần số gãy của khâu vi phân bậc hai, (T2s2 + 2Ts +1) . ( là số nhiệm bội tại i) Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp Bước 5: lập lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận tại tần số gãy cuối cùng.
83. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền: 100(0,1s −1) G(s) = s(0,01s −1) Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của hệ thống? Giải: 1 1 Các tần số gãy: 1 = = =10(rad / sec) T 1 0,1 1 1 2 = = =100(rad / sec) T 2 0,01
84. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ:  =1 L() = 20lg K = 20lg 100 = 40dB Biểu đồ Bode biên độ gần đúng có dạng như hình vẽ. Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 103rad/sec. L() [dB] 40 -20dB/dec 0dB/dec 20 -20dB/dec lg 0 1 2 0 10-1 10 10 10 c 
85. 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống Ví dụ 2: Hãy xác định hàm truyền của hệ thống, biết rằng nếu biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có dạng như hình sau: L() [dB] E 54 B +40dB/dec 34 -20dB/dec 0 -1 2 lg 6 C D 4  1 2 3