›
›

Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 7: Mô tả toán toán học hệ thống điều khiển rời rạc - Võ Văn Định

ppt 138 trang cucquyet12 4850
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 7: Mô tả toán toán học hệ thống điều khiển rời rạc - Võ Văn Định", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_7_mo_ta_toan_t.ppt

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 7: Mô tả toán toán học hệ thống điều khiển rời rạc - Võ Văn Định

  1. BÀI GIẢNG LÝ THIẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Thạc sĩ VÕ THANH VIỆT NĂM 2009
  2. CHƯƠNG 7: MÔ TẢ TOÁN TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1 Hệ thống điều khiển rời rạc 7.2 Phép biến đổi Z 7.3 Mô tả hệ thống rời rạc bằng hàm truyền 7.4 Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái
  3. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian. Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa tinq hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau. Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử lý loại tín hiệu này gọi là hệ thống rời rạc.
  4. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ là kết quả nhận được là tín hiệu số. Hệ thống xử lý tín hiệu số là hệ thống số. Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển – biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu. Vì có thời gian trể tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống phức tạp hơn so với liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc biệt.
  5. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm Sự phát triển mạnh mẽ của kỷ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng để điều khiển. Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng cáh lập trình.
  6. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điêu khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau.
  7. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm r(kT) u(kT) uR(kT) c(t) Máy tính số D/A Đối tượng cht(kT) A/D Cảm biến Đây là sơ đồ khối của hệ thống điều khiền số thường gặp, trong hệ thống có hai loại tín hiệu: Tín hiệu liên tục: c(t), uR(t) và tín hiệu số: r(kT), cht(kT), u(kT)
  8. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng. Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính. Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học được quá trình chuyển đổi A/D và D/A.
  9. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm Tuy nhiên, hiện nay không có phương pháp nào cho phép mô tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hóa biên độ. Vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số như sơ đồ khối trên ta khảo sát hệ rời rạc ở hình sau: r(kT) u(kT) uR(kT) c(t) Máy tính số Lấy mẫu Đối tượng cht(kT) Lấy mẫu Cảm biến Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc
  10. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm Trong chương này, chúng ta phát triển phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc. Nếu độ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong phần này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển số.
  11. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) đầu ra là tín hiệu rời rạc x*(t) như hình.
  12. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu x(t) x*(t) T x(t) t 0 x*(t) t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T s(t) 1 t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
  13. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau: x(t) = x(t).s(t) (7.1) Trong đó s(t) là chuỗi xung dirac: + s(t) =  (t − kT) (7.2) k=-
  14. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử x(t) = 0 khi t < 0, ta được: + x(t) =  x(t) (t − kT) k =0 + x(t) =  x(kT) (t − kT) (7.3) k =0 Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được: + X (s) =  x(kT)e−kTs (7.4) k =0 Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu.
  15. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu Định lý Shannon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện: 1 f = 2 f (7.5) T c Trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu. Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu.
  16. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.3 Khâu giữ dữ liệu Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian. Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero – Order Hold – ZOH) như hình sau
  17. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.3 Khâu giữ dữ liệu * x (t) xR(t) ZOH r(t) x*(t) 1 t t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 0 c(t) x (t) R 1 t t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 0 T Khâu giữ bậc 0 (ZOH)
  18. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.3 Khâu giữ dữ liệu Ta tìm hàm truyền của ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T. ta có: R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac) C(s) = L c(t) 1 1 = L u(t) − u(t −T)= − e−Ts s s 1− e−Ts = s
  19. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.3 Khâu giữ dữ liệu C(s) Theo định nghĩa: G (s) = ZOH R(s) Do đó: 1− e−Ts 1− e−z G (s) = = (7.6) ZOH s s Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH).
  20. 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.3 Khâu giữ dữ liệu Nhận xét: Bằng các sử dụng pháp biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và (7.6). Tuy nhiên, các biểu thức toán học (7.4) và (7.6) lại chứa hàm ex nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi Z trình bày ở mục 7.2.
  21. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.1 Định nghĩa Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là: + X (z) = x(k)=  x(k)z −k (7.7) k =− Trong đó: z = eTs (s là biến Laplace) Z Ký hiệu: x(k) X(z) Nếu x(k) = 0, k < 0 thì biểu thức định nghĩa trở thành: + X (z) = x(k)=  x(k)z −k (7.8) k =0
  22. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.1 Định nghĩa • Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC) ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn.
  23. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.1 Định nghĩa • Ý nghĩa của việc biến đổi Z Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT). Biểu thức lấy mẫu: + X (z) =  x(kT)e−kTs (7.9) k =− Biểu thức biến đổi Z: + X (z) =  x(k)z −k (7.10) k =0 Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc tín hiệu đó.
  24. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.1 Định nghĩa • Phép biến đổi Z ngược Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược của X(z) là: 1 x(k) = X(z)z k-1dz 2 C Với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc tọa độ.
  25. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z 1. Tính tuyến tính Nếu: x (k) Z 1 X1(z) x (k) Z 2 X2(z) Z Thì: a1x1(k) + a2x2(k) a1X1(z) + a2X2(z) (7.11)
  26. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z 2. Dời trong miềm hội tụ Nhận xét: Nếu trong miềm Z ta nhân X(z) với z-k0 thì tương đương với trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) k0 chu kỳ lấy mẫu. Z Vì: x(k – 1) z-1 X(z) Nên z-1 được gọi là toán tử hàm trễ một chu kỳ lấy mẫu.
  27. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z 2. Dời trong miềm hội tụ Z Nếu: x(k) X(z) Z -k Thì: x(k – k0) z X(z) (7.12) x(k) k 0 1 2 3 4 5 6 7 x(k-k0) k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k0
  28. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z 3. Tỉ lệ trong miềm Z Z Nếu: x(k) X(z) Z akx(k) X(a-1z) (7.13) 4. Đạo hàm trong miềm Z Z Nếu: x(k) X(z) Z dX (z) thì: k.x(k) − z (7.14) dz
  29. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z 5. Định lý giá trị đầu Z Nếu: x(k) X(z) thì: x(0) Z lim X (z) (7.15) z→ 6. Định lý giá trị cuối Z Nếu: x(k) X(z) thì: x( ) Z lim (1− z1)X (z) (7.16) z→1
  30. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 1. Hàm dirac (k) 1 nếu k = 0  (k) = 1 t 0 nếu k 0 0 Theo định nghĩa: +  (k)=  (k)z −k =  (0)z −0 =1 k=− Z Vậy: (k) 1 (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z
  31. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 2. Hàm nấc đơn vị Hàm nấc đơn vị (liên tục trong miền thời gian) u(t) 1 nếu t 0 u(t) = 1 t 0 nếu t < 0 0 Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: u(k) 1 nếu k 0 u(k) = 1 k 0 nếu k < 0 0
  32. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 2. Hàm nấc đơn vị Theo định nghĩa: + + u(k)= u(k)z −k = u(k)z −k k=− k=0 =1+ z + z −1 + z −2 + + z − Nếu z-1 1 1− z −1 z −1
  33. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 3. Hàm dốc đơn vị Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền thời gian) r(t) t nếu t 0 r(t) = 1 t 0 nếu t < 0 0 Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: r(k) kT nếu k 0 r(k) = k 0 nếu k < 0 0 r(k) = kTu(k)
  34. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 3. Hàm dốc đơn vị Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính chất tỷ lệ trong miềm Z. 1 Ta có: u(k) Z 1− z −1 −1 Z d 1  z ku(k) − z −1  = 2 dz 1− z  (1− z−1 ) −1 Z Tz Tz kTu(k) 2 = 2 (1− z−1 ) (z −1) −1 Z Tz Tz Vậy: r(k) = kTu(k) 2 = 2 (ROC: Z > 1) (1− z−1 ) (z −1)
  35. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 4. Hàm mũ Theo định nghĩa: + + x(k)=  x(k)z −k =  x(k)z −k k=− k=0 =1+ e−aT z −1 + e−2aT z −2 + −1 −2 =1+ (eaT z) + (eaT z) +
  36. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 4. Hàm mũ Hàm mũ (liên tục trong miền thời gian) x(t) 1 e−at nếu t 0 x(t) = t 0 nếu t < 0 0 Lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: −akT x(k) e nếu k 0 x(k) = 1 0 nếu k < 0 k 0 x(k) = e-kaTu(k)
  37. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 4. Hàm mũ Nếu (eaTz)-1 1 z > e-aT Kết quả trên ta dễ dàng suy ra: Z 1 z aku(k) = 1− az −1 z − a
  38. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k). Theo công thức biến đổi Z ngược ta có: 1 x(k) = X (z)zk−1dz 2 j C Với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ. Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng các cách sau:
  39. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bản biến đổi Z z Ví dụ: Cho X (z) = tìm x(k) (z − 2)(z −3) − z z Giải: Phân tích X(z) ta được: X (z) = + (z − 2) (z −3) Z z Tra bảng biến đổi Z ta được: aku(k) z − a Suy ra: x(k) = (-2k + 3k)u(k)
  40. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa Theo định nghĩa biến đổi Z: + X (z) =  x(k)z −k k=0 = x(0)k 0 + x(1)k −1 + x(2)k −2 + x(3)k −3 + Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuỗi lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần z-k.
  41. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa z Ví dụ: Cho X (z) = tìm x(k) (z − 2)(z −3) Giải: Phân tích X(z) ta được: z z X (z) = = (z − 2)(z −3) z 2 −5z + 6 Chia đa thức ta được: X (z) = z−1 +5z−2 +19z−3 + 65z−4 + Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65
  42. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ quy z Ví dụ: Cho X (z) = tìm x(k) (z − 2)(z −3) Giải: Ta có: z z−1 X (z) = = (z − 2)(z −3) 1−5z−1 + 6z−2 (1−5z−1 + 6z−2 )X (z) = z−1 X (z) −5z−1X (z) + 6z−2 X (z) = z−1
  43. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ quy Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian), ta được: x(k) −5x(k −1) + 6x(k − 2) =  (k −1) x(k) = 5x(k −1) − 6x(k − 2) + (k −1) Với điều kiện đầu: x(k −1) = 0; x(k − 2) = 0 Thay vào công thức trên ta được: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65
  44. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư k−1 x(k) = Re sz X(z) Tại các cực của zk-1X(z) Nếu z0 là cực bậc p thì: p−1 k−1 1 d p k−1 Re sz X (z)z=z = (z − z0 ) z X (z) 0 ( p −1)! dz p−1 z=z0
  45. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư z Ví dụ: Cho X (z) = tìm x(k) (z − 2)(z −3) Giải: Áp dụng công thức thặng dư ta được: k−1 k−1 x(k) = Re sz X (z)z=2 + Re sz X (z)z=3 Mà: x(k) = Re s z k−1 X (z) = (z − 2)z k−1 X (z)  z=2 z=2 z z k = (z − 2)z k−1 = = −2k (z − 2)(z − 3) z=2 (z − 3) z=3
  46. 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư x(k) = Re sz k−1X (z) = (z −3)z k−1 X (z) z=3 z=3 z z k = (z −3)z k−1 = = 3k (z − 2)(z −3) z=3 (z − 2) z=3 Do đó: x(k) = -2k + 3k
  47. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc r(k) c(k) Hệ thống rời rạc Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô ta bằng phương trình sai phân: a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = = b0r(k + m) + b1r(k + m −1) + + bm−1r(k +1) + bmr(k) (7.17) Trong n m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
  48. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc Biến đổi Z hai vế phương trình (7.17) ta được: n n−1 a0 z C(z) + a1z C(z) + + an−1zC(z) + anC(z) = m m−1 = b0 z R(z) + b1z R(z) + + bm−1zR(z) + bmR(z) n n−1 (a0 z + a1z + + an−1z + an )C(z) = m m−1 = (b0 z + b1z + + bm−1z + bm )R(z) m m−1 C(z) b0 z + b1z + + bm−1z + bm = n n−1 R(z) a0 z + a1z + + an−1z + an
  49. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc Đặt: m m−1 C(z) b0 z + b1z + + bm−1z + bm G(z) = = n n−1 (7.18) R(z) a0 z + a1z + + an−1z + an G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc. Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương vầ dạng −(n−m) −1 −m+1 −m z b0 + b1z + + bm−1z + bm z  G(z) = −1 −n+1 −n (7.19) a0 + a1z + + an−1z + an z Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.
  50. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc Ví dụ: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi bởi phương trình sai phân sau: c(k + 3) + 2c(k + 2) −5c(k +1) + 3c(k) = 2r(k + 2) + r(k) Tìm hàm truyền của hệ thống? Giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống ta được: z3C(z) + 2z2C(z) −5zC(z) +3C(z) = 2z2R(z) + R(z) C(z) 2z2 +1 z−1(2 + z−2 ) G(z) = = = R(z) z3 + 2z2 −5z + 3 1+ 2z−1 −5z−2 + 3z−3
  51. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc. Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét một số sơ đồ khối thường gặp sau đây:
  52. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu R(s) R*(s) C*(s) = C(z) G1(s) G1(s) Hàm truyền: C(z) G(z) = = G (z).G (z) (7.20) R(z) 1 2 Trong đó: G1(z) = G1(s) ; G2 (z) = G2 (s)
  53. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu Ví dụ: Cho sơ đồ khối hệ thống như hình vẽ. Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống R(s) R*(s) C*(s) = C(z) G1(s) G1(s) 1 1 G (s) = ; G (s) = 1 s + a 2 s + b
  54. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có: 1  z G1(z) = G1(s)=  = s + a z − e−aT 1  z G2 (z) = G2 (s)=  = s + b z − e−bT Dễ dàng suy ra: z2 G(z) = G (z)G (z) = 1 2 (z − e−aT )(z − e−bT )
  55. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu R(s) R*(s) C*(s) = C(z) G (s) G (s) T 1 1 T Hàm truyền: C(z) G(z) = = G G (z) (7.21) R(z) 1 2 Trong đó: G1G2 = G1(s)G2 (s) Cần chú ý là: G1(z)G2 (z) = G1(s) G2 (s) G1(s)G2 (s)= G1G2 (z)
  56. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu Ví dụ: Cho sơ đồ khối hệ thống như hình vẽ. Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống R(s) R*(s) C*(s) = C(z) G (s) G (s) T 1 1 T 1 1 G (s) = ; G (s) = 1 s + a 2 s + b
  57. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có: 1 1  G1G2 (z) = G1(s)G2 (s)=  s + a s + b 1 1 1 1  = +  (b − a) (s + a) (a − b) (s + b) 1 1  1 1  =  +  (b − a) (s + a) (a − b) (s + b)
  58. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu 1 z 1 z G G (z) = + 1 2 (b − a) (z − e−aT ) (a − b) (z − e−bT ) z(e−bT − e−aT ) = (b − a)(z − e−aT )(z − e−bT )
  59. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số R(s) T C(s) G(s) H(s) Hàm truyền: C(z) G(z) G (z) = = (7.22) k R(z) 1+ GH(z)
  60. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số Trong đó: G(z) = G(s) ; GH(z) = G(s)H(s) Trong trường hợp H(s) = 1(hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có: C(z) G(z) G (z) = = (7.23) k R(z) 1+ G(z)
  61. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số Ví dụ: Cho sơ đồ khối hệ thống như hình vẽ. Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống? R(s) T C(s) G(s) H(s) 1 1 G(s) = ; H(s) = s + a s + b
  62. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có: 1  z G(z) = G(s)=  = s + a z − e−aT 1 1  GH(z) = G(s)H (s)=  s + a s + b z(e−bT − e−aT ) = (b − a)(z − e−aT )(z − e−bT )
  63. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số Thay vào công thức (7.22) ta được: z C(z) G(z) (z − e−aT ) G (z) = = = k R(z) 1+ GH(z) z(e−bT − e−aT ) 1+ (b − a)(z − e−aT )(z − e−bT ) C(z) (b − a)(z − e−bT )z G (z) = = k R(z) (b − a)(z − e−aT )(z − e−bT ) + z(e−bT − e−aT )
  64. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 4. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp R(s) C(s) G(s) T H(s) Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau: RG (z) C(z) = (7.24) 1+ GH(z) Trong đó: RG(z) = R(s)G(s) ; GH(z) = G(s)H(s)
  65. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 5. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận R(s) C(s) G(s) T T H(s) Hàm truyền: C(z) G(z) G (z) = = (7.25) k R(z) 1+ G(z)H(z)
  66. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 5. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận Trong đó: G(z) = G(s) ; H(z) = H(s) Trong trường hợp H(s) = 1(hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có: C(z) G(z) G (z) = = (7.23) k R(z) 1+ G(z)
  67. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 6. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và khâu nối tiếp ở nhánh thuận R(s) C(s) G1(s G2(s T ) T ) H(s) Hàm truyền: C(z) G1(z)G2 (z) Gk (z) = = (7.26) R(z) 1+ G1(z)G2 H (z) Trong đó: G1(z) = G1(s) ; G2 (z) = G2 (s) G2H(z) = G2 (s)H(s)
  68. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 7. Sơ đồ tín hiệu - công thức Mason cho hệ rời rạc Có thể mở khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương hai cho hệ thống liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc sau đây: ▪ Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong vòng thuận (ví dụ G(s) ) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng RG(z). Do đó trong trường hợp này không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống.
  69. 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 6. Sơ đồ tín hiệu - công thức Mason cho hệ rời rạc ▪ Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và đầu ra của nó hoàn toàn độc lập với biến đổi Z. ▪ Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không phân biệt với các khâu kế cận hay với đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó với đầu vào. Dùng lý thuyết Mason và 3 nguyên tắc trên cho hệ rời rạc.
  70. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân: c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k) (7.26) Chú ý: Ở phương trình trên hệ số a0 = 1. Nếu a0 1 ta chia hai vế cho a0 để được phương trình sai phân có dạng (7.26).
  71. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Tương tự như đã làm đối với hệ lên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân bậc nhất. Đặt biến trạng thái như sau: x1(k) = c(k) x2 (k) = x1(k +1) x2 (k) = c(k +1) x3 (k) = x2 (k +1) x3 (k) = c(k + 2)  xn (k) = xn−1(k +1) xn (k) = c(k + n −1) xn (k +1) = c(k + n)
  72. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Thay vào phương trình (7.26) ta được: xn (k +1) + a1xn (k) + + an−1x2 (k) + an x1(k) = b0r(k) xn (k +1) = −a1xn (k) − − an−1x2 (k) − an x1(k) +b0r(k)
  73. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được hệ phương trình sau: x1(k +1) = x2 (k) x2 (k +1) = x3 (k)  xn−1(k +1) = xn (k) xn (k +1) = −a1xn (k) − − an−1x2 (k) − an x1(k) + b0r(k)
  74. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Viết lại dưới dạng ma trận: x1(k +1) 0 1  0 0 x1(k) 0 x (k +1) 0 0  0 0 x (k) 0 2 2  =       +  r(k) xn−1(k +1) 0 0  0 1 xn−1(k) 0 xn (k +1) − an − an−1  − a2 − a1 xn (k) b0
  75. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Đáp ứng của hệ thống: x1(k) x (k) 2 c(k) = 1 0  0 0  xn−1(k) xn (k)
  76. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Đặt: x1(k) 0 1  0 0 x (k) 0 0  0 0 2 x(k) =  Ad =      xn−1(k) 0 0  0 1 xn (k) − an − an−1  − a2 − a1
  77. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Đặt: 0 0 Cd = 1 0  0 0 Bd =  0 b0 Ta được hệ phương trình trạng thái: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) c(k) = Cd x(k)
  78. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Ví dụ: Cho hệ thống điều khiển rời rạc bởi phương trình sai phân: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = 3r(k) Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống.
  79. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Giải: Ta có: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = 3r(k) c(k + 3) + 0,5c(k + 2) + 2,5c(k +1) + 2c(k) =1,5r(k) Đặt biến trạng thái như sau: x1(k) = c(k) x2 (k) = x1(k +1) x3 (k) = x2 (k +1)
  80. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống đã cho là: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) c(k) = Cd x(k) Trong đó: x1(k) 0 1 0 0 1 0 x(k) = x (k) A = 0 0 1 = 0 0 1 2 d x3 (k) − a3 − a2 − a1 − 2 − 2,5 − 0,5
  81. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 1. Vế phải của phương trình trạng thái không chứa sai phân của tín hiệu vào Trong đó: 0 0 B = 0 = 0 C = 1 0 0 d d   b0 1,5
  82. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân: c(k + n) + a1c(k + n −1) + + anc(k) = = b0r(k + n) + b1r(k + n −1) + + bnr(k) (7.27) Chú ý: Ở phương trình trên hệ số a0 = 1. Nếu a0 1 ta chia hai vế cho a0 để được phương trình sai phân có dạng (7.27).
  83. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào Đặt biến trạng thái như sau: x1(k) = c(k) − 0r(k) x2 (k) = x1(k +1) − 1r(k) x3 (k) = x2 (k +1) − 2r(k)  xn (k) = xn−1(k +1) − n−1r(k)
  84. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau: xn (k +1) = −an x1(k) − an−1x2 (k) − − a1xn (k) + nr(k) Trong đó: 0 = b0 1 = b1 − a10 2 = b2 − a11 − a20 3 = b3 − a12 − a21 − a30  n = bn − a1n−1 − a2n−2 − a3n−3 − − an0
  85. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào 1  2 Bd =  C = 1 0  0 0 Dd = 0 d n−1 n
  86. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) c(k) = Cd x(k) + Dd r(k) Trong đó: x1(k) 0 1  0 0 x (k) 0 0  0 0 2 x(k) =  Ad =      xn−1(k) 0 0  0 1 xn (k) − an − an−1  − a2 − a1
  87. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào Ví dụ: Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = r(k + 2) + 3r(k) Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống.
  88. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào Giải: Ta có: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = r(k + 2) + 3r(k) c(k + 3) + 0,5c(k + 2) + 2,5c(k +1) + 2c(k) = 0,5r(k + 2) +1,5r(k) Đặt biến trạng thái như sau: x1(k) = c(k) − 0r(k) x2 (k) = x1(k +1) − 1r(k) x3 (k) = x2 (k +1) − 2r(k)
  89. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào Suy ra: x3 (k +1) = −a3x1(k) − a2 x2 (k) − a1x1(k) + 3r(k) Trong đó: 0 = b0 = 0 1 = b1 − a10 = 0,5 − 0,5.0 = 0,5 2 = b2 − a11 − a20 = 0 − 0,5.0,5 − 2,5.0 = −0,25 3 = b3 − a12 − a21 − a30 =1,5 − 0,5.(−2,5) − 2,5.0,5 = −0,375
  90. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) c(k) = Cd x(k) + Dd r(k) Trong đó: x1(k) 0 1 0 0 1 0 x(k) = x (k) A = 0 0 1 = 0 0 1 2 d x3 (k) − a3 − a2 − a1 − 2 − 2,5 − 0,5
  91. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 2. Vế phải của phương trình trạng thái có chứa sai phân của tín hiệu vào 1 0,5 B =  = − 0,25 Cd = 1 0 0 Dd = 0 = 0 d 2 3 0,375
  92. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền: m m−1 C(z) b0 z + b1z + + bm−1z + bm G(z) = = n n−1 (7.28) R(z) z + a1z + + an−1z + an Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số a0 = 1. Nếu a0 1 ta chia tử và mẫu cho a0 để được hàm truyền có dạng (7.28).
  93. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân: n n−1 (7.28) (z + a1z + + an−1z + an )C(z) m m−1 = (b0 z + b1z + + bm−1z + bm )R(z) c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k + m) + b1r(k + m −1) + + bm−1r(k +1) + bmr(k) Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra được hệ phương trình biến trạng thái.
  94. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Ví dụ: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả bởi hàm truyền là: C(z) z2 + 3 G(z) = = R(z) 2z3 + z2 + 5z + 4 Giải: Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với: C(z) 0,5z2 +1,5 G(z) = = R(z) z3 + 0,5z2 + 2,5z + 2
  95. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc (z3 + 0,5z2 + 2,5z + 2)C(z) = (0,5z2 +1,5)R(z) c(k + 3) + 0,5c(k + 2) + 2,5c(k +1) + 2c(k) = 0,5r(k + 2) +1,5c(k) Đặt biến trạng thái như sau: x1(k) = c(k) − 0r(k) x2 (k) = x1(k +1) − 1r(k) x3 (k) = x2 (k +1) − 2r(k)
  96. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Suy ra: x3 (k +1) = −a3x1(k) − a2 x2 (k) − a1x1(k) + 3r(k) Trong đó: 0 = b0 = 0 1 = b1 − a10 = 0,5 − 0,5.0 = 0,5 2 = b2 − a11 − a20 = 0 − 0,5.0,5 − 2,5.0 = −0,25 3 = b3 − a12 − a21 − a30 =1,5 − 0,5.(−2,5) − 2,5.0,5 = −0,375
  97. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) c(k) = Cd x(k) + Dd r(k) Trong đó: x1(k) 0 1 0 0 1 0 x(k) = x (k) A = 0 0 1 = 0 0 1 2 d x3 (k) − a3 − a2 − a1 − 2 − 2,5 − 0,5
  98. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc 1 0,5 B =  = − 0,25 Cd = 1 0 0 Dd = 0 = 0 d 2 3 0,375
  99. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Cách 2: Do G(z): m m−1 C(z) b0 z + b1z + + bm−1z + bm G(z) = = n n−1 R(z) z + a1z + + an−1z + an Nên ta có thể đặt biến phụ E(z) sao cho: m m−1 C(z) = (b0 z + b1z + + bm−1z + bm )E(z) (7.29) n n−1 R(z) = (z + a1z + + an−1z + an )E(z) (7.30) (7.30) e(k + n) + a1e(k + n −1) + + an−1e(k +1) + ane(k) = r(k)
  100. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái: x1(k) = e(k) x2 (k) = x1(k +1) x2 (k) = e(k +1) x3 (k) = x2 (k +1) x3 (k) = e(k + 2)  xn (k) = xn−1(k +1) xn (k) = e(k + n −1) xn (k +1) = e(k + n)
  101. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Ta được phương trình: x1(k +1) 0 1  0 0 x1(k) 0 x (k +1) 0 0  0 0 x (k) 0 2 2  =       +  r(k) xn−1(k +1) 0 0  0 1 xn−1(k) 0 xn (k +1) − an − an−1  − a2 − a1 xn (k) 1
  102. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Phương trình (7.29) trở thành như sau: c(k) = b0e(k + m) +b1e(k + m −1) + +bm−1e(k +1) +bme(k) c(k) = b0 xm+1(k) +b1xm (k) + +bm−1x2 (k) +bm x1(k) x1(k) x (k) 2 c(k) = bm bm−1  b1 b0 0 0  xn−1(k) xn (k)
  103. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) c(k) = Cd x(k) Trong đó: x1(k) 0 1  0 0 x (k) 0 0  0 0 2 x(k) =  Ad =      xn−1(k) 0 0  0 1 xn (k) − an − an−1  − a2 − a1
  104. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc 0 0 Bd =  0 b0 Cd = c(k) = bm bm−1  b1 b0 0 0
  105. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Ví dụ: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống bởi hàm truyền là: C(z) z2 + 3 G(z) = = R(z) 2z3 + z2 + 5z + 4 Giải: Hàm truyền đã cho tương đương với: C(z) 0,5z2 +1,5 G(z) = = R(z) z3 + 0,5z2 + 2,5z + 2
  106. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Đặt biến phụ E(z) sao cho: C(z) = (0,5z2 +1,5)E(z) 3 2 R(z) = (z + 0,5z + 2,5z + 2)E(z) c(k) = 0,5e(k + 2) +1,5e(k) R(z) = e(k + 3) + 0,5e(k + 2) + 2,5e(k +1) + 2e(k)
  107. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Đặt biến trạng thái: x1(k) = e(k) x2 (k) = x1(k +1) x3 (k) = x2 (k +1) Ta được hệ phương trình: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) c(k) = Cd x(k)
  108. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Trong đó: x1(k) 0 1 0 0 1 0 x(k) = x (k) A = 0 0 1 = 0 0 1 2 d x3 (k) − a3 − a2 − a1 − 2 − 2,5 − 0,5 0 B = 0 d Cd = b2 b1 b0 = 1,5 0 0,5 1
  109. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thống có sơ đồ khối như sau: r(t) e(t) e(kT) c(t) ZOH G(s) T
  110. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Trình tự thành lập hệ phương trình trạng thái Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái liên tục: eR(t) c(t) G(s) x(t) = Ax(t) + Be R (t) c(t) = Cx(t)
  111. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Trình tự thành lập hệ phương trình trạng thái Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục: (t) = L −1 (s) với: Φ(s) = (sI − A)−1
  112. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Trình tự thành lập hệ phương trình trạng thái Bước 3: Rời rạc hóa phương trình biến trạng thái ở bước 1, ta được: x(k =1)T= Ad x(kT) + Bd eR (kT) c(kT) = Cd x(kT) Ad = (T) T Trong đó: B = ( )Bd d 0 Cd = C
  113. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Chứng minh bước 1 và bước 2 thành lập phương trình trạng thái và tính ma trận quá độ của hệ liên tục không có gì phải chứng minh. Ta chứng minh từ bước 3, ở bước này ta suy ra phương trình trạng thái của hệ rời rạc từ phương trình trạng thái của hệ liên tục. Bước 3 ở chương 2 ta đã biết nghiệm của phương trình trạng thái hệ liên tục cho bởi công thức: t x(t) = (t)x(0) + ( )Be ( )d R 0
  114. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Tổng quát: t x(t) = (t −t )x(t ) + ( −t )Be ( )d 0 0 0 R t0 t0 = kT Áp dụng công thức trên với: t = (k +1)T
  115. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục (k+1)T x (k +1)T = (T)x(kT) + ( − kT)Be ( )d Ta được:   R kT Ta lại có: eR () = e(kT); :kT  (k +1)T (do eR() là tín hiệu ở ngõ ra của khâu giữ ZOH) Thay vào công thức trên ta được: (k+1)T x(k +1)T= (T)x(kT) + ( − kT)Be(kT)d kT
  116. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Do e(kT) không phụ thuộc vào biến lấy tích phân  nên: (k +1)T x (k +1)T = (T)x(kT) + ( − kT)Bd e(kT)   kT Đổi biến phép lấy tích phân ta được: T x (k +1)T = (T)x(kT) + ( )Bd e (kT) (7.31)    R 0 Ad  Bd Rời rạc hóa phương trình ngõ ra của hệ liên tục, ta được: c(kT) = Cd x(kT)
  117. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống ta thấy e(kT) = r(kT) −c(kT) = r(kT) −Cd x(kT) Thay vào (7.31) ta được kết quả cần chứng minh.
  118. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Ví dụ: Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình vẽ. Hãy thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái được xác định trên hình vẽ. e (t) r(t) e(t) e(kT) R 1 x2 1 x1 c(t) ZOH K T=1 s + a s
  119. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái: e (t) R 1 x2 1 x1 c(t) K s + a s Theo hình vẽ ta có: X X (s) = 2 sX (s) = X (s) 1 s 1 2 x1(t) = x2 (t) (7.32)
  120. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: E (s) X (s) = R (s + a)X (s) = E (s) 2 s + a 2 R x2 (t) + ax2 (t) = eR (t) x2 (t) = −ax2 (t) + eR (t) (7.33)
  121. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: Kết hợp (7.32) và (7.33) ta được hệ phương trình: x1(t) = x2 (t) x2 (t) = −ax2 (t) + eR (t) x1(t) 0 1 x1(t) 0 = + eR (t) x2 (t) 0 − a x2 (t) 1 x(t) = Ax(t) + Be R (t) (7.34)
  122. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: Đáp ứng của hệ thống: x1(t) c(t) = Kx1(t) = K 0 = Cx(t) x2 (t) Do đó: 0 1 0 A = B = C = K 0 0 − a 1
  123. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: Bước 2: Tính ma trận quá độ: −1 −1 1 0 0 1 s −1 −1 (s) = (sI − A) = s. − = 0 1 0 − a 0 s + a 1 1 1 s + a 1 s s(s + a) = = s(s + a) 0 s 1 0 s + a
  124. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải:  1 1 -1 -1 s s(s+a) (t) = L (s)= L  1 0 s+a 
  125. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải:   -1 1  -1 1 L  L  s  s(s+a) (t) =   -1 1  0 L  s+a   1 1 (1− e−at ) (t) = a −at 0 e
  126. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: Bước 3: Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được: x(k =1)T= Ad x(kT) + Bd eR (kT) c(kT) = Cd x(kT) Trong đó: 1 −at 1 −aT 1 (1− e ) 1 (1− e ) Ad = (T) = a = a −at −aT 0 e t=T 0 e
  127. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: T T 1 −a 0 T 1 −a 1 (1− e ) (1− e ) Bd = ( )Bd = a d = a d −a 1 −a 0 0 0 e 0 e T  e−a T e−aT 1 + 2 + 2 − 2 = a a = a a a e−a e−aT 1 − − + a 0 a a Cd = C = K 0
  128. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r(kT) là: x(k =1)T= Ad − BdCd x(kT) + Bd r(kT) c(kT) = Cd x(kT) Trong đó: T e−aT 1 1 −aT + 2 − 2 1 (1− e ) a a a Ad − Bd Cd = a − −aT K 0 −aT e 1 0 e − + a a
  129. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: T e−aT 1 1 1− K + − (1− e−aT ) 2 2 a a a a Ad − Bd Cd = −aT e 1 −aT K − e a a
  130. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Ví dụ bằng số cụ thể: a = 2, T = 0,02 sec, K = 10 Bước 1: 0 1 0 A = B = C = 10 0 0 2 1 Bước 2: 1 1 1 (1− e−at ) 1 (1− e−2t ) (t) = a = 2 −at −2t 0 e 0 e
  131. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 3: 1 −aT 1 −2.0,5 1 0,316 1 (1− e ) 1 (1− e ) Ad = a = 2 = −aT −2.0,5 0 0,368 0 e 0 e T e−aT 1 0,5 e−2.0,5 1 + − + − 2 2 2 2 0,092 B = a a a = 2 2 2 = d e−aT 1 e−2.0,5 1 0,316 − + − + a a 2 2 Cd = C = 10 0
  132. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 4: 1 0,316 0,092 Ad − Bd Cd = − 10 0 0 0,368 0,316 1 0,316 0,920 0 = − 0 0,368 3,160 0 0,080 0,316 = − 3,160 0,368
  133. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Kết luận: hệ phương trình biến trạng thái cần tìm là: x1(k +1) 0,080 0,316 x1(k) 0,092 = + .r(k) x2 (k +1) −3,16 0,368 x2 (k) 0,316 x1(k) c(k) = 10 0 x2 (k)
  134. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) c(k) = Cd x(k) C(z) Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền: G(z) = R(z) Biến đổi Z hệ phương trình trạng thái, ta được: zX (z) = Ad X (z) + Bd R(z) C(z) = Cd X (z)
  135. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái (zI − Ad )X (z) = Bd R(z) C(z) = Cd X (z) X (z) = (zI − A )−1 B R(z) d d C(z) = Cd X (z) −1 C(z) = Cd (zI − Ad ) Bd R(z)
  136. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái C(z) −1 Lập tỉ số ta được: G(z) = = C zI − A  B (7.35) R(z) d d d Ví dụ: Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái: x(k =1)T= Ad x(kT) + Bd eR (kT) c(kT) = Cd x(kT) Trong đó: 0 1 0 A = B = d d Cd = C = 1 0 − 0,7 − 0,1 2 Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên?
  137. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Giải: Áp dụng công thức (7.35), hàm truyền của hệ thống là: C(z) G(z) = = C zI − A −1 B R(z) d d d Ta có: −1 −1 z 0 0 1 z −1 zI − A −1 = − =  d  0 z − 0,7 − 0,1 0,7 z + 0,1 1 z + 0,1 1 = z(z +1) + 0,7 − 0,7 z
  138. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái −1 1 z + 0,1 1 0 zI − Ad  Bd = z(z +1) + 0,7 − 0,7 z 2 1 2 = z(z +1) + 0,7 2z −1 1 2 2 C d zI − Ad  Bd = 1 0 = z(z +1) + 0,7 2z z(z +1) + 0,7 2 Vậy: G(z) = z(z +1) + 0,7