Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều - Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên - Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều - Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên - Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

1. Chương IV ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU - HÀM CỦA CÁC ĐLNN I- Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
2. Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nĩ cĩ thể nhận biểu thị bằng một số được gọi là đại lượng ngẫu nhiên một chiều.
3. Ngồi những đại lượng ngẫu nhiên một chiều, trong thực tế ta cịn gặp những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nĩ cĩ thể nhận được biểu thị bằng 2, hoặc 3, . . . , hoặc n số.
4. Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nĩ cĩ thể nhận là những véc tơ 2 chiều được gọi là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều.
5. Tổng quát: Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nĩ cĩ thể nhận là một véc tơ n chiều được gọi là đại lượng ngẫu nhiên n chiều.
6. Ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều là (X, Y). Trong đĩ X và Y được gọi là các thành phần của ĐLNN 2 chiều. Cả hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được xét một cách đồng thời tạo nên ĐLNN 2 chiều.
7. Tương tự n đại lượng ngẫu nhiên được xét một cách đồng thời tạo nên đại lượng ngẫu nhiên n chiều
8. Thí dụ: Khi khảo sát các siêu thị, nếu ta quan tâm đến doanh số bán (X1) và lượng vốn (X2) ta sẽ cĩ đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X1, X2). Cịn nếu quan tâm cả chi phí quảng cáo (X3) thì ta sẽ cĩ đ.l.n.n 3 chiều (X1, X2, X3).
9. Trong thực tế người ta cũng phân chia đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều thành hai loại: rời rạc và liên tục. Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu các thành phần của nĩ là các ĐLNN rời rạc.
10. Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là liên tục nếu các thành phần của nĩ là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục. II- Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
11. Đối với đại lượng ngẫu nhiên hai chiều người ta cũng dùng bảng phân phối xác suất hoặc hàm phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất để thiết lập phân phối xác suất của chúng.
12. 1- Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc cĩ dạng:
13. Y y1 y2 ym X x1 p11 p12 p 1m x p p p2m 2 21 22 xn pn1 pn2 pnm
14. Trong đĩ: xi (i = 1, 2, . . . , n) là các giá trị cĩ thể nhận của thành phần X yj (j = 1, 2, . . . , m) là các giá trị cĩ thể nhận của thành phần Y
15. pij (i = 1, 2, . . . n; j = 1, 2, . . . , m) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y) nhận giá trị (x , y ) i j n m Ta luơn cĩ: p i j 1 i 1 j 1
16. Biết được phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều ta cĩ thể tìm được bảng phân phối xác suất của các thành phần.
17. Bảng phân phối xác suất của thành phần X cĩ dạng: X x1 x2 . . . xn PX p1 p2 . . . pn Trong đĩ: m p i p ij j 1
18. Từ bảng phân phối xác suất của X với các cơng thức ở chương 2 ta cĩ thể tính được E(X), Var(X), Mod(X), . . .
19. Tương tự ta cĩ bảng phân phối xác suất của thành phần Y cĩ dạng: Y y1 y2 . . . ym PY q1 q2 . . . qm n Trong đĩ: q j pij i 1
20. Từ bảng phân phối xác suất của Y ta cũng cĩ thể tính được E(Y), Var(Y), Mod(Y).
21. Thí dụ: Cho biết bảng phân phối xác suất của ĐLNN 2 chiều (X, Y), trong đĩ X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo của các cơng ty tư nhân kinh doanh cùng một mặt hàng như sau: (đơn vị tính của X và Y đều là triệu đồng/tháng).
22. X Y 100 150 200 0 0,1 0,05 0,05 1 0,05 0,2 0,15 2 0 0,1 0,3
23. Từ bảng phân phối xác suất của (X, Y) ở trên, ta cĩ: ª Bảng phân phối xác suất của X: X 100 150 200 PX 0,15 0,35 0,5
24. Từ đĩ ta dễ dàng tính được: E(X) = 100 0,15 + 150 0,35 + 200 0,5 = 167,5 Tức doanh thu trung bình của một cơng ty tư nhân là 167,5 triệu đ/tháng.
25. E(X2) = 1002 0,15 + 1502 0,35 + 2002 0,5 = 29375 Var(X) = E(X2) E(X)2 = 29375 (167,5)2 = 1318,75 (X) = 1318,75 36,3146
26. Tức là mức chênh lệch trung bình về doanh thu của các cơng ty vào khoảng 36,3 triệu đồng/tháng.
27. ª Bảng phân phối xác suất của Y: Y 0 1 2 PY 0,2 0,4 0,4 E(Y) = 0 0,2 + 1 0,4 + 2 0,4 = 1,2
28. Tức chi phí quảng cáo trung bình của một cơng ty tư nhân là 1,2 triệu đ/tháng. Var(Y) = E(Y2) E(Y)2 = 2 (1,2)2 = 0,56 (Y) = 0,56 = 0,74833
29. Tức là mức chênh lệch trung bình về chi phí quảng cáo của các cơng ty vào khoảng 0,748 triệu đồng/tháng. 2- Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều liên tục (đọc giáo trình)
30. 3- Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (đọc giáo trình) III- Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
31. 1- Hiệp phương sai: Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là: cov(X, Y), được định nghĩa: cov(X,Y) E X E(X).Y E(Y) = E(XY) E(X)E(Y)
32. Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc thì: n m cov(X,Y)  x i y jp ij E(X)E(Y) i 1 j 1 Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều liên tục thì: cov(X,Y) xyf(x,y)dxdy E(X)E(Y)
33. Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: cov(X, Y) = 0 Nếu cov(X, Y) = 0 thì X và Y khơng tương quan, ngược lại, nếu cov(X, Y) 0 thì X và Y cĩ tương quan, khi đĩ X, Y là hai biến ngẫu nhiên khơng độc lập.
34. cov(X, X) = var(X); cov(X, Y) = cov(Y, X) 2- Hệ số tương quan Hệ số tương quan, ký hiệu là XY, được định nghĩa như sau: cov(X,Y) XY  X Y
35. trong đĩ:  X ; Y tương ứng là độ lệch chuẩn của X và Y Cĩ thể chứng minh: XY 1 var aX bY a 2 var(X) b 2 var(Y) 2abcov(X,Y)
36. IV- Phân phối xác suất cĩ điều kiện và kỳ vọng tốn cĩ điều kiện Thí dụ: Cho biết bảng phân phối xác suất của ĐLNN 2 chiều (X, Y), trong đĩ X là doanh thu, Y là chi phí quảng cáo của các cơng ty tư nhân.
37. (đơn vị tính của X & Y là triệu đồng/tháng). Tìm phân phối xác suất của X (doanh thu) với điều kiện Y = 1
38. X Y 100 150 200 PY 0 0,1 0,05 0,05 0,2 1 0,05 0,2 0,15 0,4 2 0 0,1 0,3 0,4 PX 0,15 0,35 0,5 1
39. Các giá trị X cĩ thể nhận: 100; 150; 200 P(X 100/ Y 1) P(X 100)(Y 1) 0,05 0,125 P(Y 1) 0,4 Tính tương tự ta được: 0,2 P(X 150/ Y 1) 0,5 0,4
40. 0,15 P(X 200/ Y 1) 0,375 0,4 Vậy phân phối cĩ điều kiện của X (điều kiện là Y= 1) như sau: X 100 150 200 PX/Y= 1 0,125 0,5 0,375
41. Từ bảng phân phối xác suất cĩ điều kiện ở trên, ta tính được kỳ vọng tốn cĩ điều kiện: E(X/Y= 1) = 100 0,125 + 150 0,5 + 200 0,375 = 162,5
42. Tức doanh thu trung bình của những cơng ty cĩ chi phí quảng cáo 1 triệu đ/tháng là 162,5 triệu đồng/tháng. Tính tương tự ta được: Phân phối cĩ điều kiện của X (điều kiện là Y= 2) như sau:
43. X 150 200 PX/Y= 2 0,25 0,75 E(X/Y= 2) = 150 0,25 + 200 0,75 = 187,5 Kết quả này cho biết doanh thu trung bình của những cơng ty cĩ chi phí quảng cáo ở mức 2 triệu đ/tháng là 187,5 triệu đồng/tháng.
44. Hiệp phương sai của (X, Y): cov(X, Y) =  xiy jpij E(X).E(Y) i j = 100 0 0,1 + 150 0 0,05 + . . . + 200 2 0,3 167,5 1,2 = 215 201 = 14
45. Hệ số tương quan giữa 2 biến X và Y: cov(X,Y) 14 XY  X Y 36,3146 0,7483 = 0,5153
46. Nếu với mỗi giá trị cĩ thể cĩ của đại lượng ngẫu nhiên X, qua hàm f(X), ta xác định được một giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Y thì Y được gọi là hàm của đại lượng ngẫu nhiên X: Y = f(X)
47. a- Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và ứng một giá trị của X ta cĩ một giá trị của Y
48. Thí dụ 1: Đại lượng ngẫu nhiên X cĩ bảng phân phối xác suất như sau: X 2 3 4 P 0,3 0,5 0,2 Tìm phân phối xác suất của Y Y = 2X + 5
49. Giải: Các giá trị mà Y cĩ thể nhận là: y1 = 2 2 + 5 = 9 y2 = 3 2 + 5 = 11 y3 = 4 2 + 5 = 13 P(Y= 9) = P(X= 2) = 0,3 P(Y= 11) = P(X= 3) = 0,5 P(Y= 13) = P(X= 4) = 0,2
50. Phân phối xác suất của Y: Y 9 11 13 P 0,3 0,5 0,2 b- Nếu tương ứng với hai giá trị của X ta cĩ một giá trị của Y
51. Thí dụ 2: Đại lượng ngẫu nhiên X cĩ bảng phân phối xác suất như sau: X -2 1 2 P 0,1 0,4 0,5 Tìm phân phối xác suất của Y: Y = X2 + 3
52. Giải: Khi X = 2 thì Y= ( 2)2 + 3 = 7 Khi X = 1 thì Y= 12 + 3 = 4 Khi X = 2 thì Y= 22 + 3 = 7 (Y= 7) = (X= 2)  (X= 2)
53. P(Y= 7) = P(X= 2) + P(X= 2) = 0,6 P(Y = 4) = P(X = 1) = 0,4 Vậy phân phối xác suất của Y như sau: Y 4 7 P 0,4 0,6
54. Nếu ứng với mỗi giá trị của ĐLNN 2 chiều (X, Z), qua hàm (X, Z) ta xác định được một giá trị của Y thì Y được gọi là hàm của 2 ĐLNN X và Z.
55. Y = (X, Z) Nếu biết được phân phối xác suất của X và Z, ta cĩ thể tìm được phân phối xác suất của Y.
56. Thí dụ: Xác suất để máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8; Xác suất này đối với máy thứ hai là 0, 7; Cho máy thứ nhất sản suất 3 sản phẩm và máy thứ hai sản xuất 1 sản phẩm. Tìm phân phối xác suất của số sản phẩm loại A cĩ trong 4 sản phẩm do hai máy sản xuất ?
57. Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A cĩ trong 3 sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất. X  B(3; 0,8). Bảng phân phối xác suất của X như sau: X 0 1 2 3 P 0,008 0,096 0,384 0,512
58. Gọi Z là số sản phẩm loại A cĩ trong 1 sản phẩm do máy thứ hai sản xuất. Z  B(1; 0,7) Bảng phân phối xác suất của Z như sau: Z 0 1 P 0,3 0,7
59. Gọi Y là số sản phẩm loại A cĩ trong 4 sản phẩm do hai máy sản xuất thì: Y = X + Z Để tìm các giá trị mà Y cĩ thể nhận và tính các xác suất tương ứng ta lập bảng như sau:
60. X 0 1 2 3 Z 0 0 1 2 3 1 1 2 3 4 P(Y = 0) = P(X = 0)P(Z = 0) = 0,008 * 0,3 = 0,0024 P(Y = 1) = P(X = 0)P(Z = 1) + P(X = 1)P(Z = 0)
61. = 0,008 * 0,7 + 0,096 * 0,3 = 0,0344 Tính tương tự, ta được: P(Y = 2) = 0,384* 0,3 + 0,096 * 0,7 = 0,1824 P(Y = 3) = 0,384 *0,7 + 0,512 *0,3 = 0,4224 P(Y = 4) = 0,512 * 0,7 = 0,3584
62. Phân phối xác suất của Y như sau: Y 0 1 2 3 4 P 0,0024 0,0344 0,1824 0,4224 0,3584
63. Tổng kết chương 4 ĐLNN ĐN, phân loại. 2 chiều Bảng pp xs Các tham số Khái niệm Hàm của Hàm của 1 ĐLNN các ĐLNN Hàm của 2 ĐLNN
64. Bài tập 4.6; 4.8; 4.13; 4.18; 4.19; 4.20; Hết chương 4